 El siguiente conjunto de números que describiremos será el de los números reales, mucho podríamos hablar de estos números y de su estructura, los introduciremos intuitivamente, aunque podríamos hacerlo de una manera mucho más formal, a través de una definición axiomática, incluyendo a la definición de los racionales el axiomal del extremo superior. Esta aproximación tendría más sentido, sin embargo, si intentas hemos de escodificar cálculo, pero puesto que no es el caso, continuaremos priorizando la intuición, recordaremos su estructura y hablaremos de los conceptos de radicales y de potencias. Y para ello continuamos con nuestras ecuaciones, y nos planteamos ahora para qué valores de x se satisface esta igualdad. ¿Tendríamos suficiente con que los conjuntos de números que hemos definido hasta el momento, o lo que es lo mismo, existe algún número racional de manera que sea solución de esta ecuación? Supongamos que sí, que existe un tal valor racional de manera que al cuadrado vale 2. Puesto que el cuadrado será positivo, podemos suponer que x será positivo. Esto es, nos estamos preguntando si existen dos números racionales p y q, de manera que p al cuadrado partido por q cuadrado sea igual a 2. Elegiremos además p y q de manera que sean coprimos, esto es, que p partido por q sea una fracción irreducible. Puesto que x cuadrado vale 2, tendremos que p cuadrado partido por q cuadrado vale 2, esto es, p partido por q cuadrado es 2. A partir de esta igualdad, se sigue que p cuadrado es 2 por q cuadrado. Luego p es un número natural que elevado al cuadrado nos da un número par, por lo que p fortosamente ha de ser un número par. Recordad que es uno de los resultados que vimos cuando hablábamos de divisibilidad. Puesto que es p es par, tendremos que existe una cierta k natural de manera que p lo podemos escribir como 2 por k. Reemplazando p por 2k, obtenemos que 2k cuadrado es 2 por q cuadrado. Esto es, 4k cuadrado es 2q cuadrado y si simplificamos obtenemos que 2k cuadrado es igual a q cuadrado. Pero exactamente por el mismo razonamiento que hemos comentado antes, podemos deducir que q es un número par o lo que es lo mismo, que existe una cierta k, vamos a llamarle k barra para no confundir con la anterior puesto que de hecho no puede ser igual, de manera que q es 2 por k barra. Pero observar el siguiente hecho, tenemos que p es 2k y que q es 2k barra y sin embargo partimos de la hipótesis de que p y q eran coprimos, es decir que su máximo común divisor era 1. Llegamos pues a una contradicción, así pues hemos demostrado que en la ecuación de la que partíamos no tiene solución en los números racionales, por lo que deberemos considerar otro conjunto si es que queremos resolverla. La manera de demostrarlo recordad que ha sido suponiendo que sí que existía 1, este tal p partido por q y hemos llegado a una contradicción. Es lo que se conoce como demostración por reducción al absurdo o por contradicción y es un tipo de argumento lógico muy utilizado en demostraciones matemáticas y que consiste en demostrar que un cierto enunciado es verdadero probando que si no lo fuera conduciría a una contradicción. Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como una fracción, esto es, no existen enteros a y b con b diferente de cero que permitan expresar al número como el cociente a partido por b. Los notaremos así, debido que no existe una representación fraccionaria, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales, posiblemente los tres más conocidos son los siguientes. Aparte del raíz de 2, que aunque no hemos hablado de radicales lo haremos en breve y que corresponde a la solución x cuadrado igual a 2 que hemos trabajado antes y que hemos visto que cuya solución no te era un número fraccionario, tendremos al número p, esto es, a la proporción entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, al número e, considerado como el número por excelencia del cálculo y base de los conocidos logaritmos de perianos y finalmente al número aorio, representado por la letra griega phi y cuyo valor es 1 más raíz de 5 partido por 2 y al cual se le atribuye un carácter estético ya que los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea como la distancia entre el hombrigo y la planta de los pies de una persona respecto a su altura total, la disposición de los pétalos de las flores o bien la relación entre la distancia entre las espirales del interior de cualquier caracol, como el que se muestra la imagen, se considera que guardan bellas proporciones. Puesto que hemos citado solo unos pocos puede parecer que el conjunto de los irracionales es relativamente pequeño, pero nada más lejos de la realidad, contiene infinitos números, por ejemplo la solución de la ecuación x cuadrado igual a p, donde p es un número primo, es un número irracional. No lo hemos visto todavía pero lo veremos en el módulo 2 que hay infinitos primos, con lo cual para comenzar tendremos infinitos números irracionales, así pues definimos el conjunto de los números reales como el conjunto de los números racionales añadiendo también aquellos números que son irracionales, como los que hemos citado anteriormente. Extendiendo las operaciones de suma y producto definidas para el conjunto de los números racionales se cumple que el conjunto de los números reales tiene estructura de cuerpo, como ya pasase con el conjunto de los números racionales, esto querrá decir que con la suma tiene estructura de grupo ya el igual que con el producto y en particular cualquier número real no lulo tendrá inverso. El conjunto de los reales con el orden inducido por el orden ya visto en los naturales, los enteros y los racionales es un conjunto ordenado. Hemos hablado al inicio de este vídeo de aquel valor x que era solución de la ecuación x cuadrado igual a 2. La solución de la ecuación diremos que es la raíz cuadrada de 2 y por definición es un valor tal que al cuadrado vale 2. Más en general, dado un real a y un número natural n definimos la raíz n-sima como aquel valor b tal que la potencia de b a la n es igual a a. Lo definimos así en el caso en el que n sea en par. Si n es par lo definimos como aquel valor b positivo que satisface que la potencia de b a la n sea igual a 1. Observemos que n es par y sólo está definida la raíz n-sima de a para aquellos valores positivos de a. En efecto, sólo es necesario observar que b a la n será un valor positivo al ser n un número par y recordar que b elevado a la n es a. Si a es negativo, por lo tanto, no existe la raíz n-sima en los números reales. Importar de remarcar que sobre los reales, los radicales de índice e ímpar está siempre definidos. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2 mientras que la de menos 8 será menos 2. Sin embargo, los de índice par sólo están definidos para los positivos. Así, la raíz cuadrada de 4 vale 2 mientras que la raíz cuadrada de menos 4 no estará definida sobre los reales. Veamos algunas propiedades relacionadas con los radicales y que nos permitirán operar con ellos. Así, dados a y b reales y m y n naturales se cumple que la raíz n-sima de a a la n es a si n es ímpar y el valor absoluto de a si n es par. Así, por ejemplo, la raíz cúbica de menos 8 será menos 2 o bien la raíz cuadrada de menos 5 al cuadrado será el valor absoluto de menos 5, esto es 5. Esta expresión la podemos escribir como la raíz n por m-sima de a siempre y cuando n y m sean impares para cualquier valor de a y si alguno de los dos no es impar la podríamos escribir de esta manera pero sólo en aquellos casos en los que a sea positivo. Un ejemplo será este de aquí. Las siguientes propiedades establecen que la raíz n-sima de un producto o un cociente es el producto de las raíces n-simas cuando n es ímpar. Si n es par pero tanto a como b no son negativos también lo podemos continuar definiendo de esta manera. Lo mismo pasaba como hemos comentado para el un ejemplo sencillo para calcular la raíz cúbica de 64 puesto que 64 es 8 x 8 lo podemos expresar de esta manera y como hecho es 2 al cubo de esta otra manera de aquí utilizando la propiedad 1 de hecho que ya hemos visto tenemos que esto será 2 x 2 por lo tanto la raíz cúbica de 64 valdrá 4. Como podíamos haber visto directamente si sabíamos que 4 al cubo eran 64 de manera similar la raíz cuadrada de 4 novenos utilizando esta la cuarta propiedad tendremos que la podemos expresar así y será 2 tercios. Es importante remarcar que la condición de que a y b sean positivos si no son y suponemos que es cierta la igualdad tendríamos que este radical por ejemplo es igual a la raíz de menos 1 por la raíz de menos 2 que a la vez sería la raíz cuadrada de 2 pero estamos viendo hemos dicho que ni la raíz de menos 1 ni la raíz de menos 2 tiene solución en los números reales con lo cual claramente tenemos que esta igualdad no es posible si nos restringimos al conjunto de los reales hemos definido a lo largo de este módulo las potencias en el caso de exponentes naturales y enteros y puesto que el producto de números reales está inducido por el producto de los conjuntos que ya hemos ido definiendo en particular los racionales tanto la definición como las propiedades de una potencia cuando la base es un número real y el exponente es un número entero se mantienen veamos a continuación cómo definir las potencias fraccionarias a partir de los radicales que acabamos de definir en particular definiremos dado un número real a la potencia fraccionaria a elevado a 1 partido por n como la raíz enésima de a de aquí deducimos que a elevado a menos 1 partido por n será el inverso del anterior esto es 1 partido por la raíz enésima de a finalmente si la fracción del exponente es m partido ponen lo que tendremos es la potencia mésima de la raíz enésima de a por ejemplo dada la potencia fraccionaria 27 elevado a menos 1 tercio expresado como radical sería 1 partido por la raíz cúbica de 27 pero puesto que 27 es 3 a cubo esto sería 1 partido por 3 esto es 1 tercio como resultado final al igual que pasaba con los enteros las siguientes propiedades se satisfacen con las potencias fraccionarias es decir que ahora tenemos en el exponente números racionales aquí tenemos las igualdades veamos a continuación algunas preguntas para que podáis evaluar si se han seguido los conocimientos del vídeo correctamente o no comencemos por buscar la forma radical equivalente a la siguiente expresión donde asumimos que tanto a como b son números reales positivos bien espero que todos vosotros hayáis marcado la primera como la opción correcta y para aquellos que no os resumo aquí brevemente los cálculos que podéis realizar utilizando estas propiedades las propiedades que hemos visto para llegar a la conclusión de que la primera era la opción correcta a continuación utilizando las propiedades de las potencias fraccionarias os pedimos que expreséis en forma radical la siguiente expresión y de nuevo espero que hayáis visto que es la primera la opción correcta para aquellos que no la hayáis visto demasiado claro aquí tenéis un pequeño repaso a los cálculos que os pueden llevar a la elección de la primera como la opción correcta finalmente sumamos exponentes y expresamos esto como x partido por la raíz de y antes de acabar os proponemos que hagáis un par de ejercicios que os permitan garantizar que os sentís cómodo operando con radicales y potencias fraccionarias así os proponemos que hagáis uso de las propiedades que hemos visto para expresar con radicales estas tres expresiones no olvidéis consultar el vídeo de resolución en especial si os encontráis con alguna duda por el camino pero recordad una vez más la importancia de que intentéis resolver vosotros mismos los ejercicios