 آسلام علیکم. آج چالیسوہ لیکچر شروع کرتے ہیں کیل کلس کا اور جیسے پہلے بھی میں کہا تھا پہلے لیکچر میں کہ اب یہ آخر کے کچھ لیکچرز رہ گئے ہیں تو اب ہم جلدی سے ان کو ختم کریں گے تھوڑے دن میں اور بہت ہی چیزیں ہم نے دیکھی ہیں ابھی تاکہ پہلے لیکچر میں بڑے مزدار چیزیں میرے خیال سے دیکھی تھی ہم نے ریلیٹنگ تو لیمٹس اور انتگرلس تو ہمپفلی آپ نے اس کو خور سے سنوگا اور اپریشیٹ کیا ہوگا کہ وہ جو پروبلم تھی ایک جس میں ہم نے فنل بنائی تھی اور اس کو ہم نے کہا تھا اس کے اندر ہم یہ معلوم کر سکتے ہیں کہ کتنا پینٹ حول ہو سکتا ہے لیکن یہ نہیں معلوم کر سکتے یا یہ نہیں کر سکتے کہ اس کے اندر کے حصے کو ہم پینٹ کرنے تو بڑے مزے کی بات تھی اور ہمپفلی آپ نے اپریشیٹ کیا ہوگا اس کو اچھا جی تو اب ہم آج کے لیکٹر میں پھر باتے شروع کریں گے لیمٹس کے حوالے سے ریلیٹٹ باتیں ہوں گی لیمٹس جو ہم پہلے بھی دیکھ چکے ہیں اور بہت ٹیٹیلز میں اس سے شروع شروع میں دیکھی تھی ہم نے اور اس کے علاوہ ہم ڈریوٹس کے بارے میں کچھ بات کریں گے ایک خاص point of view سے تو جو باتشیت ہے آج کی اس کا پھر ایک plan بنالتے ہیں جندہ اور دیکھ لیتے ہیں سکین پر پہلے تھے کہ آج کیا چیز ہیں جو ہم کبر کریں گے تو آئیے دیکھتے جنا اب آج کے لیکٹر کا topic ہے لوپیٹالز رول and in determinant forms تو سب سے پہلے تو یہ کہ یہ لوپیٹال کیا چیز ہے تو جناب یہ لوپیٹال sound kind of funny لیکن it's a French name کچھ لو کہتے ہیں کہ French پوری زبانی کافی funny سی ہے لیکن ڈیفرین پرسپیکٹیو ہوتے ہیں میرے خاص بہت کافی اچھی زبان ہے لوپیٹال بیسکی ایک French mathematician تھے ان کے حوارے سے یہ ایک رول ہے کافی important اور کافی basic major rule جو ہم ابھی دیکھیں گے اس کو اور وہ بیسکی ہمیں ایک ٹیکنیک دیتا ہے for evaluating a certain kind of limits تو ابھی اس کے بارے ہم دیٹیلز میں دیکھیں گے کیا ہے وہ ٹیکنیکل ٹیکنیکالٹیز اس رول کی میرا مخصصفیہ تھا کہ لوپیٹال کے حوارے سے بہت کافی ہوتا دیں its a funny kind of name but its a French name and named after a mathematician تو آئیے باکی چیزیں دیکھ لیتے ہیں آج کے جندہ کی تو جنا لوپیٹال رول دیکھیں گے اور اس میں ہم indeterminate forms کی بات کریں گے تو سب سے پہلے ہم لوپیٹال رول کی بات کریں گے کہ وہ کیا چیز ہے اور پھر ہم ایسی چیزیں دیکھیں گے ایسے لیمٹس جس کے اندر 0 over 0 ڈائپ کی آنسرز آنے کا خطشہ ہوتا ہے یا بلکہ آ جاتے ہیں تو ان کو کس طرح ٹیکل کیا جاتا ہے کس طرح ان کو evaluیٹ کرتے ہیں اس کے بارے میں ہم بات چیٹ کریں گے اس کے بعد پھر ہم دیکھیں گے indeterminate form of the type infinity over infinity indeterminate form کیا ہوتی ہے یہ بھی اس کی بھی definition دے دیں گے جیسے لیکن جیسے لیکچہ شروع ہوگا لیکن یہ کہ تھوڑی سی preview یہ ہے کہ it's basically a term in which you have جیسے پہلے 0 over 0 تھا اس طرح سے اب آپ کے پاس ایک ایسی چیز ہے جہاں پہ infinity ڈائپ کر رہی ہے infinity کو اس کو ہم کہیں گے indeterminate form اور اس کے اوپر بات چیٹ کریں گے پھر جناب ہم دیکھیں گے indeterminate form of type 0 0 multiplied by infinity یہ کیا چیز ہوتی ہے اس کے بارے میں غور کریں گے بات چیٹ کریں گے اور اس کے بعد ہم دیکھیں گے indeterminate form forms بلکے of type 0 rest of the power 0 infinity rest of the power 0 and 1 rest of the power infinity اور اسی کے ساتھ ہم دیکھیں گے infinity minus infinity کہ یہ کیا چیز ہوتی ہے that's also a very interesting idea کہ what do you mean by infinity minus infinity اور یہ چیزیں جو ہیں indeterminate forms ہم آج دیکھیں گے تو جناب اب سب سے پہلے لوپٹال لوپٹال's rule جو ہے اس کی بات کرتے ہیں اچھا یہ لوپٹال's rule جو میں کہ ابھی شروع میں میں نے کہا تھا کہ ایک بڑا عجیب سا نام ہے ہم اس کے آدینی ہوتے ہم طور پر it's a French name اور اس کی ساون جو ہے وہ درہ آجیب سی ہے تھوڑا ہزی آتی ہے سنگے کہ یہ لوپٹال کیا چیز ہوتی ہے لیکن اس میں گے کہ اس کی اگر actually proper spelling اگر آپ دیکھیں تو یہ کبھی کبھی ہم نے تو اس کو سپل کیا تھا h o p اس کے بعد it a l اور اس کے بعد وہ فرنچ کی جو ایکو پروپسٹرفی ہوتی ہے وہ کر کے اس طرح سے سپل کیا تھا لیکن کبھی کبھی اس کو ہوسپٹال کے نام سے بھی لکھا جاتا ہے یعنی سپلنگ جو ہوتی اس کو آپ اس کے اندر ایک اس بی ڈالا ہوتا ہے لیکن تو اس کو کبھی بہت لوگ کہتے ہیں جی لا ہوسپٹال رول تو وہ بھی ایک طرح گا جوک ہے ہمارے mathematical community میں کہ جی لا ہوسپٹال رول کیا چیز ہوتی ہے لیکن یہ کہ it's not hospital it's actually لا پیٹال not لا ہوسپٹال تو یہ ایک بارہ لیک ٹرم ہے جس کو ہمیں basically understand کرنا ہے اور اس کی technicalities کیا ہیں یہ اب ہم شروع کرتے ہیں دیکھنا تو آئیئے ایک example سے شروع کرتے ہیں اور یہ مقصد اس example کا ہوگا دکھانے کا کہ جی یہ جو لا ہوسپٹال رول جو ہم دیکھیں گے تھوڑی دیر میں اس کی ضرورت کہاں محسوس ہوتی اور کہاں سے یہ کیوں develop کیا گیا تو ایک چیز پہلے دیکھتے ہیں آئیئے اس کو لکھ لیتے ہیں یہ جناب آپ کے سامنے ہم دیکھ رہے ہیں کہ جی limits ہیں دو جی کہ جی پہلے limit ہے as x goes to 2 of the function x square minus 4 divided by x minus 2 اور دوسرا والا ہے جناب limit as x goes to 0 of sin x divided by x تو جی یہ ایکینان آپ کو یاد آگیا ہوگا یہ جو دو ابھی limit equations ہم نے لکھیں یہ ہم جب شروع شروع میں ہم نے limits کی بات کی تھی اس کے بعد ہم نے پھر derivatives کی بات کی تھی تو یہ ہم اس وقت دیکھ چکیں دون ایکویشنز اور یہ تب بھی ہم نے ایک model کے طور پہ استعمال کی تھی کہ جی ان کو دیکھ کی ہم نے کہا تھا کہ ان کے ان کے اندر کچھ انترستنگ باتے تھی اور پھر ان کے حوالے سے ہم نے limits کے بارے میں ایک theory develop کی تھی اسی طرح سے یہاں پہ بھی ہم لاپٹالز رول جب develop کریں گے اس کی theory تو یہ ہی دو examples ہیں جن کو ہم استعمال کرتے ہیں اور ان ہی کی بیسس پہ ان کو analyze کر کے ہم دیکھتے ہیں کہ کہ کہاں پہ ضرورت میں ایسوث ہوتی ہے ایک نیا رول استعمال کرنے کی جو ابھی ہم نے ڈفائن نہیں کیا ہے لیکن ابھی ہم کرنے والیں تو ان کو تھوڑا سر اکال کرتے ہیں کہ جب یہ limit equations جو ہم نے دیکھیں تو اس میں کس طرح سے ہم نے solve کیا تھا تو آئیے ان کے بارے میں کچھ چیزے لکھ لیتے ہیں اس میں سب سے پہلے والا جو ہے سب سے پہلی بات جو ہے وہ نوٹ کرنے کی ہے کہ جو پہلے بھی ہم نے کی تھی جب ہم بالکل شروع میں limits کی بات کرتے تھے کہ یہ جو top اور bottom ہیں دونوں limit equations میں یہ جو ہے جیزیروں کو اپروچ کر رہے ہیں یعنی اگر آپ limit لیتے ہیں as x goes to 2 یہ ایک fraction ہے fraction کا limit جو ہوتا ہے اگر ہمارے پاس کس آتا ہے کہ x square minus 4 میں اگر میں x کی value کے قریب کریں value دالوں تو میرے پاس 0 کو میں اپروچ کر رہا ہوں at the top اور similarly at the bottom اگر میں x کی 2 کی value دالوں تو I am approaching the value of 0 and the same thing is happening with the second function second function میں بھی دیکھیں sin x over x میں کہ sin of 0 is 0 اور similarly x کا limit as x goes to 0 بھی 0 ہوتا ہے تو problem یہ ہے کہ وہ جو ہم نے پہل کے وہی بات جو پہلے بھی شروع شروع میں جب limits کی بات کی تھی اس وقت بھی ہم نے یہ دیکھا تھا کہ یہ ہمارے پاس situation ہوتا ہے تو problem یہ ہے کہ وہ جو ہم نے پہل کے وہی بات جو پہلے بھی شروع شروع میں جب limits کی بات کی تھی اس وقت بھی ہم نے یہ دیکھا تھا کہ یہ ہمارے پاس situation آ رہی ہے کہ division by 0 is taking place پہلے ہم نے کہا تھا پہلے زمانے میں جب ہم limits کی بات کر رہے تھے from a very basic point of you کہ جی problem ہے کہ bottom پہ 0 آ رہا یا you are basically having the situation where you are dividing by 0 اور اس کی ہمیں پتہ تھا کہ جی that's not allowed اس کی بھی ہم نے بات کی تھی کہ you get some sort of inconsistencies کہ کوئی definite value نہیں آتی اگر آپ اسوم کریں کہ division by 0 leads to a number finite number تو we get some problems in mathematics تو اس کی وجہ سے ہم نے کہا تھا کہ اس کو کچھ اور طریقوں سے ٹکل کرتے ہیں لیکن وہ کیا تھا وہ طریقے وہ بھی دیکھ لیتے ہیں لیکن کہنے کا مصد یہ کہ اصل بات یہ کہ یہاں پر ٹکہ division by 0 تو ہو رہی ہے لیکن at the top جو ہے top کے جو function سے وہ بھی 0 آ رہے تو یقینن میں نے پہلے بھی یہ بات کہی ہوگی اور پھر ہم دیکھ رہے ہیں اور میں کہہ رہوں کہ 0 اگر جیسے 0 over 0 ہے تو دل تو یہ چاہتا ہے کہ یہ 1 کی براہ براہ ہے کہ اگر میں 2 over 2 لکھتا ہوں تو I can write that fraction as 1 کیونکہ 2 cancels with the 2 giving a remainder of 1 I am sorry not a remainder but the quotient of 1 similarly اگر کوئی بھی نمبر لکھوں میں a over a whatever that number تو میرے پاس یہ رزلٹ آتا ہے 1 تو یہ لوگ بہت سے پوچھتے بھی ہیں اور اب ہم بھی سوال پوچھ رہے ہیں کہ 0 over 0 کو ہم 1 کیوں نہیں لکھتے تو اس کے بہت ساری interesting جواب ہیں ایک تو یہ ہے کہ division by 0 رہی جو ہم کہی چکیں تو from that point of view لوگ کہہ سکتے ہیں کہ 0 over 0 is not allowed it's not a finite it's not a quantifiable quantity لیکن یہ بھی ایک کچھ لوگ سیٹفائی نہیں ہوں شاہد اس آرگیمنٹ سے اور وہ کہیں کہ نہیں جس طرح any number a divided by a is 1 if I let a equals 0 then I should get a 1 also that's also one way of thinking about it تو اس کا جواب یہ یہ کہ 0 کی properties جائیں وہ بڑی اجیب و غریب ہوتی ہیں اصل جواب جو اس کا ملتا ہے کہ 0 over 0 کیوں نہیں ہے allowed وہ جب ملتا ہے جب آپ 0 کو analyze کریں as a number اور اس کی historical background اگر آپ پڑیں یعنی میں شاہد پہلے کہا ہوں کہ 3 کتابے تو میں خود پڑھ چکا ہوں جو کہ 0 کے اوپر لکھی گئی ہیں تو یعنی وہ کوئی mathematical کتابے تو نہیں ہیں as such they're basically books that tell you about the history and the evolution of the number 0 کہ یہ 0 کیسے evolve ہوا over a period of 3000 years اور اس میں اس کی کیا value تھی کہاں سے ایک اس طرح سے صفر کیا یعنی ایک دور تھا جب قدیم یونانی لوگ جو تھے وہ کہتے تھے کہ 0 جو ہے وہ شیطان کی برابر ہے قدیم یونانی لوگ جو تھے ان کی جو قائنات کی جو understanding تھی یعنی جو ان کی approach تھی اس میں جو 0 number تھا صفر اس میں اس کی وجہ سے کئی inconsistencies create ہوتی نہیں اسی طائق کی جیسی آج کل modern mathematics میں بھی ہوتی ہیں تو لہذا ہم لوگ تو اس کو accept کر لیتے ہیں because we're modern people لیکن جو پرانے لوگ تھے بزرگ ہمارے وہ کہتے تھے کہ نہیں یہ ایک شیطانی number ہے اس سے ہماری خوبصورتی mathematical theory کی ختم اور خراب ہو رہی ہے لہذا اس کو ignore کریں اس کو بہر نکالیں mathematics کے ذائرے سے لیکن اسی کا اولٹ روائیہ تھا قدیم ڈین جو تھے ہمارے انڈیا کی جو civilization see ان کا اولٹ روائیہ تھا وہ کہتے تھے کہ نہیں جیزی رو تو بڑی زبزست چیز ہے اس سے تو infinities create ہوتی ہیں وہ infinities کیسے create ہوتی ہیں ایسے کہ اگر آپ limit لیں اور ایک number کو 0 سے ڈیوائٹ کریں in the limiting process تو ایک infinite values آتی ہیں آپ کے پاس تو انہوں اس کو totally accept کر لیے کہ نہیں جی بڑا اچھا number ہے تو یہ خیر بڑی انٹرسٹنگ بات ہے اس کے بارے میں غور فکر کرنے چاہیے تو مقصد یہ تھا کہ اس کے بارے میں اگر آپ اس طرح کی کتابے پڑھیں گے and we get into the real history of the number 0 we'll see why we don't allow something like 0 over 0 to be equal to 1 خیر یہ تو تھوڑی سی ڈائگریشن ہو گئی یہاں پہ اب اصلا مقصد کیا ہے ہمارا اصلا مقصد تھا جناب کے ہم law of its rule کی طرف جائیں اور اس طرح کی جو problems ابھی ہم نے دیکھیں کہ 0 over 0 جو آرائے limit میں ان کو avoid کریں اچھا جی تو اس میں اب جو limits ہیں یہ دو equations ہم نے دیکھیں ان کے بارے میں کچھ چیزیں کچھ باتشیت کرتے ہیں اس میں یہ کہ سب سے پہلے تو یہ کہ جو situation جیسے یہاں پر 0 over 0 آرائے اس میں دو چیزیں ہو سکتی ہیں given these 2 examples کہ یا تو یہ limit value converge کرے گی یا پھر یہ diverge کرے گی converge سے مطلب یہ کہ کوئی finite number آجائے گا اور وہ کیسے آئے گا ابھی ہم example میں دیکھتے ہیں یا پھر کوئی infinite number آئے گا تو کچھ چیزیں جو write لیتے ہیں اور ان کے بارے میں اور دیکھتے ہیں کہ ہم ہم کیا گنا چاہر ہیں تو ہم نے کہا کہ جی کہ this kind of limit can converge in which case it will have a finite real value or it can diverge in which case of course it won't have a finite real value the value if it converges is not obvious right away اور وہ کیوں نہیں ہے وہ اس لیے کہ limit کی situation ہے وہ کچھ convoluted سی ہے لیکن یہاں کچھ کیا جا سکتا ہے what we can do is we can first factored and then cancel some things some equations with the top to get a finite value اور جو second equation ہے یہ میں نے بات کی پہلے والے کی اور جو second equation ہے اس میں ہم geometrical observation کریں گے جو پہلے ہم نے کی بھی تھی اور اب ہم وہ دیکھتے ہیں وہ کیا ہیں تو دیکھیں کہ سب سے پہلے جو پہلی ہے اس کے اندر x square minus 4 divided by x minus 2 تھا تو اس میں جو top ہے اس کو میں فکٹر کر لیتا ہوں x plus 2 times x minus 2 اور bottom والے x minus 2 سے میں کانسل کر دیتا ہوں and I get the result 4 as the limit value finite value آگی sin x over x جو ہے اس میں اگر میں limit لیے رہا ہوں as x goes to 0 تو کوئی algebraic manipulation تو ظاہر نہیں ہے لیکن یہ کہ اس کی geometrically اگر اس کی picture دیکھیں جیسا ہم نے پہلے بھی کیا تھا ہم نے دیکھا تھا کہ اس کا result آتا ہے one تو جناب یہ in those situations میں ہم دیکھتے ہیں کہ we have limits in which you have apparently have a situation where you get 0 over 0 but there is a way around it and we saw کہ پہلے والے میں جو تھا well algebraic manipulation say you can get around the situation of 0 over 0 in the limit and in the other one you make a geometrical observation and you get away with it لیکن problem یہ کہ یہ دونوں جو functions جن کا ہم نے limit بھی لیا ایک algebraic تھا اور ایک trigonometric تھا ان کے اندر کچھ limited properties ہوتی ہیں جن کو ہم exploit کر سکتے ہیں ہم طور پہ functions جو ہمارے پاس ہوں گے ان میں اتی سمپل سے رول جو اتنے سمپل سے ہم لگایا بھی وہ ہم نہیں لگا سکیں گے تو ضرورت اس چیس کیا ایک ایسا general process ہو جس کے ذریعے کوئی ایسا general tool جو ہم already دیکھ چکیں وہ اگر میں اپلائے کروں اپنے limits equation میں جہاں پہ میرے پاس 0 over 0 آرہا ہے تو وہ ہر جگہ کام کریں تو وہ ہم یہاں پہنچ کرتے ہیں کیونکہ ایک problem یہ ہوتی ہے کہ اگر general rule نہ ہو تو وہی problem ہے کہ given the properties of the function you need to get something out of that لیکن ہو سکتا ہے کہ function کی properties ہمیں کلیلی ہمیں نہ پتا ہوں تو ہم کچھ نہ کر سکیں تو لہذا یہاں پہ ہم ہم انتدیوز کرتے ہیں اپنا law patrols rule تو یہ جہاں law patrols rule ہے یہ کیا کرتا ہے یہ بیسکل ایک ایسا formula ایک process دیتا ہے جس کے ذریعے آپ کوئی بھی function اگر آپ کے پاس ہو جن کی division ہو رہی ہے اور آپ ایک limit لے رہے ہیں جہاں پہ وہ limit لے کے دونوں functions ہے fraction میں ان کی value of 0 over 0 آرہیں تو آپ اس کے around کام کر سکتے ہیں by using law patrols rule اور وہ کیا ہے وہ اب ہم دیکھ لیتے ہیں اس کو a theorem کی form میں right away لکھ دیتے ہیں کہ کیا ہے ہم theorem prove نہیں کریں گے we will take it for granted اور دیکھ لیں کہ کیا ہے تو آپ یہ لکھ لیتے ہیں اس کو یہ جناب ہے law patrols rule اور یہ theorem کی form میں ہم نے لکھا ہے اور یہاں پہ دیکھیں کہ یہ ہم نے لکھا ہے law patrols rule for the form 0 over 0 یہ 0 over 0 this is what we call an indeterminate form یعنی ابھی تک ہم نے اس کی بات کر لی as something جس کی میں نے پورا background بھی دی ہے historical لیکن یہ نہیں بتایا تھا کہ this has a special name and the special name is indeterminate form of the type 0 over 0 اب یہاں پہ ہم کیسے تیکل کریں گے اس تھیرم کے ذریعے well theorem define کرتے لکھتے let's say that limb l im stands for one of the limits جو ان میں سے چاروں میں سے کوئی بھی ہو سکتے limb as x goes to a yeah limb as x goes to a from the positive side from the negative side limb as x goes to plus infinity or limb as x goes to minus infinity یہ ہم رپریزن کر سکتے l im کو ساروں میں سے I can use any of them to سبسٹوٹ for l im limb and suppose that limb f of x equals 0 and limb g of x equals 0 if limb of the fraction f prime x over g prime of x has a finite value l or if this limit is plus infinity or minus infinity then limit جسے ہم limb کریں f of x over g of x equals limb f prime of x g prime of x اچھا جی تو یہ اس کا کیا مخصد اس کا مخصد یہ ہے کہ اگر آپ ایک limit معلوم کرنا چاہ رہے ہیں جیسے ہم نے ابھی جو دو ایکزمپلز دیکھیں اور ان میں سیچویشن یہ ہو رہی ہے کہ لیمٹ جب اویلیوٹ کرتے ہیں تو 0 over 0 آجاتے تو اس کو سب سے پہلے تو یہ کہ ہوسکتا ہم کچھ کریں آسکے ہیں کوئی الگیبریک مانیپلیشن کوئی ایسے ہی پروبرمہ ہمارے پاس تو اس میں ہم یہ کر سکتے ہیں کہ لیوپٹال رول یہ کہتا ہے کہ آپ بجائے اورجنل لیمٹ کو اویلیوٹ کرنے کے آپ ٹرائے کریں ان دونا کے دریوٹیس لے ان دونا کے دریوٹیس لے کے پھر فریکشن بنائے ان دونا دریوٹیس کی اور پھر ان کا لیمٹ لیں تو رزلٹ جو ہوگا ان کے لیمٹ کا اگر آپ اویلیوٹ کر سکتے ہیں ان دریوٹیس کے تو وہ رزلٹ will be جو ہوگا وہ برابر ہوگا اورجنل لیمٹ کے تو یہ بڑے مزدار چیز ہے کہ ٹھیک ہے اورجنل ایکویشن کافی مشکل تھی لیکن اگر میں دریوٹیس معلوم کر لوں اندیوڈیوٹ فریکشن کے جو فریکشن کو بنا رہے ہیں تو ان کا اگر میں لیمٹ لوں with the same you know limiting value and if I get a result out of it that result will be equal to the original result تو یہ کافی ایک powerful تھیورم ہے اس میں بیسکلی آپ تھیوری ہے اس کا philosophy ہے کہ جی اگر اورجنل problem مشکل ہے تو میں or limit problem مشکل ہے تو I can give you a different problem which might be easier یہ کہنا چاہے کہ which ought to be easier امید یہ ہوتی ہے کہ اگر derivatives لیں اور ان کا لیمٹ لیں تو that will be easier than the finding the limit of the original equations تو وہی پھر سے میں کہوں گا کہ کافی powerful تھیورم ہے کہ original functions کی fraction کیا جو لیمٹ ہے وہ برابر ہے ان دونوں functions کی derivatives کی fraction کا k limit کی تو this is itself a very powerful thing proof of course آپ شاہت تھوڑا سا انترستیدوں کہ جی how can you say that جو آپ یہ کہ آپ کی جو ٹیکس بوک ہے اس میں اس کا proof دیا ہوئے تھوڑا سا ٹیکنیکل ہے you're welcome to look at it ہم اس کو نہیں دیکھیں گے we'll just you know use it in all its glory یہ جو result ہے اور دیکھیں گے ہم کیسے this indeterminate form of the type 0 over 0 کے around ہم کیسے کام کرتے ہیں اچھا تو اب یہ تھیورم کی form ہے تو ہم نے لکلیا law patrols rule اس میں کیا steps involved لیں کہ ہم کیسے کریں گے اس کو تو اس کے لیے کرتے ہیں کہ example سے پہلے اس کے جو کچھ steps ہیں وہ لکھ لیتے ہیں what are these steps so تھوڑا سی ہمیں guidance ملے گی example کرتے وقت تو آئی ان کو دیکھ لیتے ہیں لکھے یہ جناب steps ہیں آپ کے سامنے اس میں پہلہ step یہ ہے کہ جی آپ چیک کیجئے کہ limit of the fraction f over g is first of all an indeterminate form or not یا ضرورت ہے اس کو law patrols rule لگانی کی کہ نہیں اگر یہ انڈیٹرمیٹ فرم نہیں ہے 0 ور 0 کی فرم کی تو پھر ہم الہوپ طور پر لگانی کوئی ضرورت نہیں ہے وہ ہم use نہیں کر سکتے کیونکہ تھیورم کہتا ہے کہ تھیورم کی سٹیٹمن کے خلاف ہوگی یہ بات اگر ہے تو پھر ایسا کیجئے کہ step number 2 میں differentiate کر لیں f or g کو علاگ علاگ not as a fraction but separately and then in step number 3 find the limit of the fraction f prime if this limit is finite plus infinity or minus infinity then it is equal to the limit of the original fraction چکے جی تو یہ ہو گیا آپ کے پاس step wise procedure for applying law patrols rule تھوڑا سا اور کلیر ہو گیا ہوگا کہ کب اس کی تھیورم کی فرم میں ہم نے دیکھا تھا تو اس میں کیا سٹیٹمن تھی اس کی تھیورم کی اب ایک example کرتے ہیں اور دیکھتے ہیں کہ تھوڑا سا اور کلیر ہو جائے گی اور اس کی پوری اپریشیشن ہم کر سکیں گے اس کی پاور کی تھیورم کی تو یہ جناب example ہے آپ کے سامنے اس کو ہم لکھ لیتے ہیں اور دیکھتے ہیں کہ اس میں law patrols rule کیسے apply ہوتا ہے آئی دیکھتے یہ جناب ہے example آپ کے سامنے کے use law patrols rule to evaluate limit as x goes to 2 of x square minus 4 divided by x minus 2 اور یہ پہلا part ہے اس کا second part ہے limit as x goes to 0 of sin 2x over x تو اس کا سلوشن ہم پہلے والے کا دیکھتے ہیں پہلے part A کا سلوشن ہے کہ جی limit as x goes to 2 of x square minus 4 جہاں وہ کیا ہے یہ سیمپل سی بات ہے کہ 0 کی برابر ہے اور جو bottom پہ یہ بھی 0 کی برابر ہے اور of course اب آپ نوٹ کر رہے ہوں گے کہ یہ وہی problem ہے جو ابھی تھوڑی در پہلے ہم نے solve کی تھی using algebra اب ہم اس پے law patrols rule لگا رہیں تو چونکے دو نوٹ لیمٹ لیتے ہیں آپ تو آپ کے پاس form آتی یہ 0 over 0 ہم law patrols rule apply کرتے ہیں اور ہمارے پاس result آتا ہے کہ جی جو limit ہے as x goes to 2 of x square minus 4 divided by x minus 2 یہ برابر ہے limit as x over 2 of the fraction derivative of x square minus 4 divided by derivative of x minus 2 کی this is equal to of course اب اگر آپ different derivatives لے لیں top or bottom کی result آتا ہے limit as x goes to 2 of 2x divided by 1 اور سیمپل سی بات ہے کہ اس کا جواب آئے گا 4 تو جناب یہ پہلیہ جو part تھا اس example کا اس کا سلوشن ہم نے دیکھا اور سیمپل سی بات ہے آپ نے دیکھ لیے ہوگی کہ result جو آیا 4 it agrees with the result that we got when we solved the same problem using algebra تو لوپٹال رول کی ایک طرح سے ایک verification ہوگی کہ جیہا یہ it does work ظاہر پروف تو نہیں کیا but proof دیا بای بک میں we know it's a correct proof تو it has to work لیکن ایک verification بھی ہوگی تو آئیے اب دوسرے کا سلوشن دیکھتے part 2 جو ہے part b اس میں دیکھیں کہ sine 2x کاگر آپ لیمٹ لیتے ہیں as x goes to 0 you get 0 اور سیمپل لیے اگر x کا limit لیں as x goes to 0 تو تبیرزل 0 آتا ہے لہذا یہ انڈیٹرمیٹ فرم ہے of the type 0 ور 0 یہاں پہ لوپٹال رول اپلائے کرتے ہیں تو ہمیں پر سیزلٹ آتا ہے کہ جی limit as x goes to 0 of sine 2x divided by x جو کے عرجل problem ہے that limit should equal to the limit as x goes to 0 of 2 cosine 2x which is the derivative of the top function sine 2x divided by 1 1 is the derivative of the bottom function x and of course now you see that the result is 2 تو جناب یہ سیکن کا سلوشن ہمارے پاس آگیا اس problem کے سیکن حصے کا تو یہاں پہاں ہم نے دیکھا کہ first of all part as ظاہر ہوا کہ the theorem is correct application wise of course proof تو ہم نہیں دیکھا اور ساتھی میں ہم نے یہ بھی دیکھا کہ کس طرح اپلائے ہوتا ہے اور سو کس طاکل کرتے تو اب آگے چلتے ہیں اور کچھ اور چیزے دیکھتے کچھ اور چیزوں میں ایسا کرتے ہیں کہ before we get into the other indeterminate forms ایک اجامبل اور کر لیتے ہیں اس کی indeterminate form of the type 0 ور 0 کی اور لوپرٹالز رول کیا سی اپلائے ہوتا ہاں پہاں دیکھ لیتے ہیں دیکھ لیتے ہیں تھا کہ اور درسا سولیٹ ہو جا اندرسٹیننگ تو آئی اس کو لکھ لیتے ہیں اور دیکھتے ہیں کہ کیا ہے جناب اجامبل آپ کے سامنے ہے evaluate the limit as x goes to pi divided by 2 of the fraction 1 minus sin x divided by cosin x تو یہ ایک فریکشن ہے اور اس میں چیکی کرنا ہے کہ سب سے پہلے تو یہ ایک وہ بنالی جی آدت کہ اگر کوئی اجامبل آپ کو دی کوئی problem دی گئے اور اس میں ایک فریکشن انوالبڈ ہے اور آپ limit لیتے ہیں اس کا تو make sure before applying لوپرٹالز رول that indeed when you directly apply and directly try to evaluate the limit the type indeterminate form of the type 0 over 0 اگر آپ کے پاس 0 over 0 کی form نہیں آ رہی ہے تو ہم لوپرٹالز رول apply کر ہی نہیں سکتے یہ تھیورم کی سٹیٹمنٹی تو اب دیکھتے ہیں کہ چیک کر لیتے ہیں اس اجامبل میں کہ واقی ہے بھی 0 over 0 طاپ کی یا نہیں آئی دیکھتے ہیں اس میں دیکھتے ہیں کہ جی سب سے پہلے چیک کرتے ہیں کہ limit as x goes to pi divided by 2 of the top function کیا ہے top function ہے 1 minus sin x اس میں آپ اس کا اگر وہ لیتے ہیں limit as x goes to pi divided by 2 تو ریزلٹ آتا ہے 0 اور سمجھللی bottom function کا بھی limit لیں اگر as x goes to pi divided by 2 cosin x تو وہ بھی 0 کی برابر آتے لہذا یہ واقی میں ایسی form ہے جس میں 0 over 0 ہمارے پاس آ رہا ہے لہذا ہم لوپرٹالز رول apply کر سکتے limit as x goes to pi divided by 2 اگر ہم کریں of this original problem تو یہ برابر ہوگا to the limit as x goes to pi over 2 of minus cosin x divided by minus sin x minus cosin x جو ہے وہ derivative ہے 1 minus sin x کا minus sin x جو ہے denominator میں یہ derivative ہے cosin x کا اب اگر آپ دیکھتے ہیں کہ جی ہم apply کرتے ہیں limit direct اس کے اندر limit as x goes to pi over 2 تو ریزلٹ آتا ہے 0 over minus 1 which is equal to 0 تو یہ جناب ہمارے پاس رزلٹ آگیا اور تھیورم یہ ہی کہتا تھا کہ اگر آپ کا لوپرٹالز رول apply کرتے ہیں آپ اور پھر a limit evaluate کرتے ہیں تو جواب آتا ہے وہ اگر finite value ہو تو دیفنیٹلی وہی value ہوگی یہ جو original problem کی ہوگی سو لہذا ہم کہا سکتے ہیں یہاں پرزلٹ سہی ہے because we are working according to اچھا جی تو اب ہم نے بیسکل تکل کر لی وہالی problem جس میں ہمارے پاس limits ہم جب لیتے تھے کچھ fractions کے fractions of functions کے تو رزلٹ آتا تھا 0 over 0 اور وہ ہمیں پتا تھا کہ جی وہ ایک indeterminate form ہے allow نہیں ہے تو how do we basically go around it sort of تو ہم نے لوپرٹالز رول دیفن کیا and we see that's a good way to get around this problem and get a finite value without getting into this problem of تو یہ تو ہم نے کر لیا اب آگے کیا ہے آگے کی بات ہم کرتے ہیں آگے اب ہم ایک اور indeterminate form دیکھتے ہیں جو ہم نے پہلے اپنے شروع میں بھی دیکھی تھی اجندہ پے لکھی تھی کہ کیا ہوگی تو وہ form ہے جناب the form of the type infinity divided by infinity تو جس طرح سے 0 over 0 allow نہیں ہے جس کے بارے میں میں پوری بات کی تھی ابھی تھوڑی در پہلے اس کی history بتائی تھی اسی طرح سے infinity over infinity بھی ایک طرح کی problematic situation ہے کیونکہ وہ بات ہے کہ جسے میں نے کہا تھا کہ اگر ہم کہتے ہیں کوئی بھی real number a divided by a is equal to 1 ہے تو 0 بھی جو ہے وہ اس میں سبسٹیوت کروں تو 1 آنا چاہیے لیکن ہمیں پتا ہے کہ نہیں آتا سیملر لی ہے اگر ہم کہیں کہ جی infinity بھی کوئی number ہے تو infinity over infinity بھی 1 آنا چاہیے لیکن ہمیں پتا ہے کہ جو symbol infinity کا ہوتا ہے it does not represent a number it represents a concept the concept of a really huge number somewhere out there on the positive side یا on the negative side تو infinity over infinity میرے حاصل سمجھنا دا دا سان ہے کہ یہ 1 کی برابر کیوں نہیں ہوگا because it's not even a number it's as such تو یہاں پے اب ہم دیکھتے ہیں کہ اس کی problem ہمی سمجھ آ گئی ایک problem یہ بھی اس طرح سے بھی سوچ جا سکتا ہے کہ اگر میں کہتا ہوں کہ infinity over infinity 1 کیوں نہیں ہے اس لیے نہیں ہے کہ جو انفنیٹیز آ رہی ہیں آپ کے پاس top اور bottom پر اگر infinity لکھا ہوا ہے تو میرا سوال یہ ہوگا آپ سے کہ آپ نے جو یہ انفنیٹیز لکھی ہیں ایک top پر ایک bottom پر اس فرکشن کے یہ سوال ہے کہ آپ کو کیسے معلوم کہ یہ دونوں ایک ہی انفنیٹی ہے یہاں پر ایک بڑے مزے کی اور بات یہ کریٹ ہو رہی ہے کہ what do you mean when you say کہ دو انفنیٹیز برابر کی ہے کہ نہیں ہے کیوں کہ ہمیں تو پتا ہے fact like infinity means something really big so how can you have something really big in two different magnitudes تو یہ interesting concept ہے اور اس کے بارے میں بہت کام ہو چکاиб 1800's میں چھ��도� WHERE Vegeta زا کہ وики تو انفنیٹی کو quantify کیا تھا確akenelnay مخل alla show کیا تھا mathematically prove کیا تھا کہ کچی انفنیٹیز gardens but Alleけ endSad یعنی آپ کہیں کہ جی، one something out there is bigger than the other something out there. تو اس طائق کا کنسپٹ ہے جوکہ بڑا انٹرستنگ ہے it's a fact. اگزام پل یہ کہ جی جو real number کی infinity ہے وہ بڑی ہے natural number کی infinity سے. تو یہ میرا ہاں سے شاہت پہلے بھی میں اگزامپل آپ کو دیو تو again وہی بات ہے کہ یہاں پہ یہاں پرولم آتی ہے کہ اگر آپ کو infinity کو واقی کونٹفائے کرنا ہے اور کہنا ہے کہ نئی جیس کو میں کانسل کر سکتا ہوں. تو سوالی ہونا چاہیے کہ جو سمبل آپ نے لکھیں infinity اور infinity you better make sure that it's the same infinity. But then again even if you make it make sure کہ جی دونوں infinity برابہ رہے ہیں problem یہ ہوتی ہے کہ you can't still cancel infinities using the algebra of real numbers. Again you just can't do it. خیر تو یہ تھوڑی سی بات چیز اس کے بارے میں بھی ہو گئی یہ وہ topics ہے جس کے بارے میں extra curricular reading کرنی چاہیے تو I hope آپ ضرور کریں گے books بہت سی اچھی اچھی ہیں اس کے بارے میں بزار میں مجاتی ہیں I hope you look for them. اب یہ جو ہماری at hand issue ہے اس کے بارے میں دیکھ لیتے ہیں کہ ہمیں کیا کرنا ہے تو سب سے پہلے تو یہ کہ کچھ اس طیب کی infinity اور infinity کی جو indeterminate form ہم نے دیکھی ہے بھی. اس کو ٹکل کرنے کے لیے کچھ notation بناتے ہیں. لکھ لیتے ہیں آئی دیکھتے ہیں. notation ہے جناب کہ سب سے پہلے تو کچھ فیگرز ہیں. آپ کے سامنے کچھ فیگرز بنے میں اور ان میں دیکھیں کہ پہلے فیگر میں ایک ایسی situation create ہو رہی ہے جہاں پر ایک function ہے جس کا آپ limit لیتے ہیں as x approaches some no. a تو result آتا ہے positive infinity. یعنی جو y values ہیں وہ بہت بڑی ہو رہی ہیں positive direction میں دوسری طرف دوسرہ گراف میں دیکھئے کہ situation ڈلٹی ہو گئی ہے as x approaches you get minus infinity in the limit. تیسرے میں دو situation میں limit as x goes to a from the positive side you get minus infinity and the other one you go to a from the left and you get positive infinity. اس کے بعد جو چوتھا ہے اس کے اندر تیسرے والے کا تو یہ کچھ graphical interpretation ہے کچھ باتے ہیں جو ہم نے note کرنی ہیں اور اس کے بارے میں ہم کیا کہ سکتے ہیں اس کے بارے میں کچھ چیزیں میں لکھنا چاہوں گا corresponding to these graphs وہ بھی دیکھ لیتے ہیں یہ جو graphs ہیں ان سے correspond کرتی ہے جی کچھ notation اور وہ یہ ہے کہ limit as x goes to a f of x equals infinity کا مطلب ہے ہم اس کو لکھ سکتے ہیں اس کا مطلب یہ ہوگا کہ چاہروں میں سے جو situation ہم نے بنایا ہے بھی graphs میں جو ہیں ان چاہروں میں سے کوئی بھی ہو سکتی ہے یہ for convenience sake میں ابھی کر رہوں کہ ان چاہروں میں سے کوئی بھی case اگر اکر ہو رہے تو میں اس کو لکھوں گا limit as x goes to a f of x equals infinity سمجھلرلی اگر f of x limit as x goes to plus infinity equals infinity means کہ جی آپ کا limit as x goes to positive infinity ہے اور جواب یا تو plus یا minus infinity آسکتا ہے اور اگر اپروچ کر رہے ہیں آپ minus infinity کو اور میں اس کو صرف infinity لکھ رہا ہوں تو مطلب یہ ہے کہ limit وہ plus infinity یا minus infinity ہوگا اب ہم ایسا کرتے ہیں کہ آپ بات کرتے ہیں اس indeterminate form کی جہاں پہ infinity over infinity آپ کے پاس آئے گا تو یہ کب اکر کرتی ہے کہ situation میں ایسی problem آپ کے پاس آئے گی اس میں ہوتا ہے کہ تب ہوگا ایسا situation اکر جب آپ limit لیں کسی fraction کا of functions آپ کے پاس ان کی fraction ہو f over g اور دونوں f of x کا limit as x goes to some number equals infinity اور نیچے والے کب infinity ہو تو obviously آپ کے پاس form آجائے گی infinity over infinity مثال کے طور پہ ہم ایک دیکھ لیتے ہیں example کہ جی اگر میں limit لیتا ہوں as x goes to zero from the right side of ln x divided by cosecant x تو اس میں دیکھیں کہ یہاں پہ result کیا آئے گا result آئے گا infinity over infinity کیوں کہ numerator جہاں وہ minus infinity کو اپروچ کر رہا ہے اور denominator جہاں وہ plus infinity کو اپروچ کر رہا ہے اور جو convention میں ابھی بنائی تھی graphs کے ذریعے تھوڑی در پہلے notation کی میں نے بات کی تھی اس کے حوالے سے یہ form آتی ہے even though top or bottom infinity's کی signs different ہے لیکن again it's the type infinity over infinity تو جی اب یہ ہے کہ ٹیک ہے example لیکلی اب اس کو tackle کیسے کریں کوئی process lopitals rule جیسے ہم نے دیکھا zero over zero کیلئے کیا lopitals rule ایسا بھی ہے کوئی جو اس پہ اپلائے ہو infinity over infinity پہ تو اس کا جواب ہے کہ جیہاں بالکل ہے اور آئی دیکھ لیتے ہیں اس کو لکھے theorem کی form میں تو یہ جناب theorem کی form میں آپ کے پاس lopitals rule آرہا ہے for the form infinity over infinity again let's say that limb stands for one of the limits جو آپ کے سامنے لکھے ہوئے میں ان کو پڑھوں گا نہیں اور suppose کرتے ہیں کہ limit of f of x equals infinity اور یہاں پہ جب میں infinity لکھتا ہوں خالی تو میں وہ convention use کر رہا ہوں جو تھوڑے دیر پہلے میں نے introduce کی تھی اور similarly limit of g of x equals infinity then if limit of the fraction of the derivatives of the two functions has a finite value l or if this limit is plus infinity or minus infinity then limit of the original fraction equals to the limit of the fraction of the derivatives یہاں جناب آپ کا rule lopitals rule for type infinity over infinity example کرکے دیکھ لیتے ہیں let's write it down example ہے آپ کے سامنے جناب کے evaluate limit as x goes to plus infinity of x divided by e to the x تو solution اس کا کیا ہے solution ہے کہ سب سے پہلے تو نوٹ کیجئے کہ top function جو x ہے اس میں اگر آپ limit لیتے ہیں as x goes to plus infinity تو result کیا تھا result obviously infinity آئے گا اور more particularly it'll be plus infinity similarly جب آپ limit لیتے ہیں e to the x کا as x goes to plus infinity تو again result آتا ہے plus infinity and we can basically say that this is an indeterminate form of the type infinity over infinity so using lopitals rule we get the original limit equals to the limit as x goes to plus infinity of 1 over e to the x چونکہ one جو ہے وہ derivative ہے x کا اور e to the x ہے derivative e to the x کا لہذا result کیا آتا ہے result آتا ہے one divided by some huge number and that of course is equal to zero when you take the limit تو جناب یہ ایک سامپل ہو گئی lopitals rule کی جہاں پہ یہ help کرتا ہے to find to work around the problem of infinity over infinity اب ایسا کرتے ہیں کہ let's talk about another indeterminate form اور اس کو دیکھتے ہیں کیسے تکل کریں گے تو وہ in determinate form کنسی ہے جناب وہ in determinate form ہے zero times infinity بالی اس کے بارے میں بھی شروع میں ہم نے دیکھا تھا کہ اس کے بارے میں بات کریں گے تو یہاں پر یہ problem ہے کہ what do you mean by zero times infinity یہ بلکہ واقعی کافی interesting in determinate form ہے کہ zero اور infinity جو ہوتے ہیں they are basically antithesis of each other فلسوکلی اگر آپ سٹرڑی کریں دونوں کی relationship تو آپ بہت بڑی debates دیکھیں گے جہاں پے کہاں گیا ہے اور it's a fact کہ zero is the antithesis of infinity but they work hand in hand جب آپ کہتے ہیں کہ zero multiplied by nothing multiplied by something very big what should the result be آپ کا دل جائے گا کہنے گا کہ zero times anything is zero but not infinity anything should be a real number in that case zero times anything is zero but if it's infinity then algebra doesn't work the way we want it to تو اب ہم کیسے کریں گے کیا ہے یہ چیز تو آئی اس کے بارے میں کچھ لکھ لیتے ہیں یہ جناب problem ہے کہ اگر limit f of x zero ہے اور limit g of x infinity ہے اور اگر آپ کے پاس ایک product ہے limit کا جس طرح کے جسے آپ کے سامنے ہیں کہ limit f of x times g of x تو ابیسی بات ہے کہ result آئے گا zero times infinity تو یہ result of course ہم نہیں چاہتے کیونکہ یہ in determinant form ہے تو اس کو کیسے تکل کریں گے اس کے لیے بھی ایک rule ہے اور وایک طرح کی modification ہے لوپٹال's rule کی تو ہم کیسے اپلائے کریں گے یہاں پہ یہ ہوگا کہ ہم given لوپٹال's rule ہے fractions کے لیے جو ابھی دو in determinant forms دیکھیں فریکشن والی اس کو modify کر کے ہم یہاں product پر اپلائے کریں گے کس طرح کریں گے لکھ لیتے ہیں دیکھیں کہ جو product ہے f of x g of x اس کو میں لکھ سکتا ہوں as f of x divided by 1 over g of x تو مقصد یہ کہانے گا کہ آپ نے جو product ہے given اس کو fraction کی form لکھ دی ہے تو یہ طریقہ ہوگا جس سے آپ لوپٹال's rule جو fraction والی ہے وہ product پر اپلائے کریں گے تو ہی اس کی بھی example کر دیکھ لیتے ہیں تو جناب example آپ کے سامنے ہے کہ evaluate the limit as x goes to 0 from the right side of x times ln x اس کا solution ہے کہ جی سب سے پہلے دا دیکھیں کہ limit of x جو ہے وہ 0 آتا ہے and limit of ln x جو ہے وہ minus infinity آتا ہے minus اس لیے کہ اگر آپ گراف بنائیں ln x کا اور appropriate limit لیں تو result minus infinity آئے گا اس کو کیسے تکل کریں گے اس کو ایسا کرتے ہیں کہ اس کو convert کر لیتے ہیں into a fraction تو result آئے گا limit as x goes to 0 from the right side x times ln x is equal to the limit as x goes to 0 from the positive side of ln x divided by 1 over x اگر اس طرح ہم لکھیں اس کو تو result آپ اویسی بات ہے کہ result آجائے گا ln x کی جگہ اگر 0 دالیں گے تو limit لیں گے as x goes to 0 تو minus infinity آئے گا اور 1 over x کا اگر limit لیں گے as x goes to 0 تو of course result infinity آئے گا and we will have the type infinity over infinity we know how to tackle that we tackle it using L'Opital's Rule and we see that limit as x goes to 0 from the plus side of the original problem now equals to the limit as x goes to 0 from the positive side of 1 over x which is the derivative of log natural x divided by minus 1 over x square which is the derivative of 1 over x and that equals to the limit as x goes to 0 of minus x and of course simply that's equal to just the number 0 تو جناب یہ طریقہ ہے جس کے ذریعے آپ 0 times infinity کی problem کو convert کر سکتے ہیں into a fraction problem where you have infinity over infinity and apply the known L'Opital's Rule اب سوال یہ کہ اس میں میں نے fraction میں convert کیا تو میں نے لکھا تھا ln x over 1 over x تو اس میں یہ بھی ہو سکتا تھا کہ میں لکھتا x over 1 over ln x تو تب کیا ہوتا? تب بھی جواب وہی آتا جو ابھی آیا مرے پاس اور اس کی try آپ کوشش کر کے دیکھ لیں اور آپ دیکھیں گے کہ result is the same thing اچھا اگر اب میں ایک limit لیتا ہوں ایک ایسی equation کا جس کے اندر ایک function ہو جو کے جس کی power لی جاری ہو with a function یعنی اگر اس کو میں لکھتا ہوں تو میرے پاس ایک equation آئیگی limit as x goes to a f of x raise to the power g of x اچھا جی تو اس میں اب آپ نوٹ کریں کہ اگر appropriate limit لیہ جائے تو یہ بلکہ آپ کے اپنے ایک exercise کی طور پہ چھوڑتا ہوں میں کہ اگر کسی ایک appropriate limit لیہ جائے تو اس form میں جس میں ایک function raise to the power of function ہے تو میرے پاس form آسکتی ہے 0 to the power 0 1 to the power infinity یا infinity to the power 0 given کے appropriate limits کیا آرہیں چیک جی تو اس میں ابھی example بھی کریں گے لیکن یہ سوال ہے کہ اس کو tackle کیسے کریں گے idea کیا ہے اس کے پیچھے کہ how do you tackle a problem like this تو اس کو کسی طرح تکل کرتے ہیں اس کو لکھ لیتے ہیں تاکہ کلرلی سمجھا جائے تو آئیگی کچھ calculations کرتے ہیں دیکھیں کہ اگر میں y equals f of x to the power g of x لکھتا ہوں تو پھر میں کہہ سکتا ہوں کہ ln y جو ہوگا وہ برابر ہوگا ln of یا log natural جیسے کہتے ہیں so g of x اور log کی property استعمال کرتے ہوئے میں اس کو لکھ سکوں گا as g of x times ln f of x تو میرے پاس log natural y equals g of x times log natural f of x آجائے گا اب اگر میں limit لیتا ہوں as x goes to a which will result in any of these 3 indeterminate forms تو میں limit میرا بن جائے گا limit as x goes to ln y equals limit as x goes to a of the product g of x اور اگر the value of the limit as x goes to a of ln y is known ایک کچھ جو دیتے ہیں limit as x goes to a of y is equal to limit as x goes to a f of x to the power g of x یہ بیسیک ڈیئہ ہے اور اس کو آپ اگزائمپل کی فرم میں کرنے قرکے دیکھتے ہیں تا کہ کلرکے سمجھا ہے کہ ہم کیا سکتا ہے تو ہای اگزائمپل کر لیتے ہیں اگزائمپل جناب ہے کہ explodes as x goes to zero of 1plusx to the power of one over x equals e show کرنا ہے تو اس میں دیکھیں کہ سب سے پہلا تو یہ کہ جو وان پل one plus x جو ہے اس کا اگر میں لی مٹ لیتا ہوں as x goes to zero تو وہ 1 آتا ہے اور جو one over x اس کا لی مٹ اگر zero کے اپروچ کریں تو وہ انفنٹی آتا ہے تو میرے پاس انڈیٹرامنٹی افارم آتی ہے 1 فرصہ پرنفنیٹی تو اب ایسا کرتے ہیں کہ ایک ویریبل انتوڈیوز کرتے ہیں y اور ہم گیتیں y equals 1 پلس x to the پاور 1 over x اور اس سیکویشن کا نیچر لاغ لے کے ہم λکسکتے ہیں ڈلن y equals ڈلن of 1 plus x to the پاور 1 over x which is equal to 1 over x times ڈلن 1 plus x and simply put i can write that as ڈلن of 1 plus x divided by x اب جو لیمیٹ ہے از x گوز تو 0 of l and y will equal to لیمیٹ از x گوز تو 0 of l and 1 plus x over x and that of course happens to be an inderminate form of the type 0 over 0 so now I can apply L'Hopital's rule and the following calculations follow that limit as x goes to 0 of l and y will equal to the limit as x goes to 0 of the derivatives of l and 1 plus x divided by x and that gives me those derivatives basically happen to be 1 over 1 plus x divided by 1 ان کاگر میں لیمیٹ لوں از x گوز تو 0 تو result آتا ہے 1 اب دیکھئے کہ چونکہ log natural y 1 کو اپروچ کرے گا as x اپروچ تو 0 ذہر ایک ویزنی یہی کہہ رہی تو it follows from the continuity of the natural exponential function یعنی جو اس کا انٹیل ہوتا ہے انورس فنکشن ہوتا ہے لاغ کا تو وہ ہمیں کہ بتاتا ہے کہ جی ای تو دا لن ویا شوٹ اپروچ ای تو دا وین یا ایکویولنٹلی پاورز کو ایکویٹ کرکے ہم کہہ سکتے ہیں کہ I'm sorry پاور کو ایکویٹ نہیں کریں گے بلکہ ہم کہہ سکتے ہیں کہ y goes to e as x goes to 0 لہذا result ہے جو ہمیں شو کرنا تھا جناب یہ ایک اور فارم ہو گئی تو اس کو بھی ہم نے ٹیکل کر لیے اب ایسا کرتے ہیں کہ جو last form تھی جس کو میں نے جنڈے پہ لکھا تھا کہ infinity minus infinity یہ بھی ایک in determinate form تھی اس کو میں exercise کے طور پہ آپ کے اوپر چھوڑ دیتا ہوں اس کے بارے میں یہ اتنی مشکل form نہیں ہے لیکن کر کے آپ دیکھیں گے تو it'll be doable تو جناب لیکچر آپ ختم کرتے ہیں اور کوئی سوالات جو ہوں گے وہ آپ obviously email کریں گے مجھے I look forward to that اور اگر لیکچر میں ملقات ہوگی Thank you Allah Hafiz