 En 2020, l'essayiste et conférencié Nacré Basigrini annonce avoir résolu la conjecture de Syracuse. Personne n'y croit vraiment puisque depuis que ce problème est ouvert depuis les années 50, de très nombreux mathématiciens amateurs comme professionnels s'y sont cassés les dents. Ça tombe bien, j'ai 2 minutes pour en parler. Prenons un nombre entier de votre choix n'importe lequel. Si ce nombre est un père, vous le multipliez par 3 et ajoutez 1, sinon, vous le divisez par 2. Vous avez maintenant un nouveau nombre sur lequel vous pouvez recommencer l'opération. Que se passe-t-il si on répète cette opération plusieurs fois ? Prenons par exemple le nombre 3 puisque c'est un père, je le multiplie par 3 et ajoute 1, ce qui donne 10. 10 est un nombre père donc je divise par 2, ce qui donne 5. 5 est un père donc je prends le triple et ajoute 1, j'ai maintenant 16. C'est un nombre père donc on divise par 2, on a maintenant 8 qui est toujours père donc on divise encore ce qui donne 4 que l'on divise à nouveau pour obtenir 2 puis 1. Puisque 1 est un père, on prend le successeur du triple, ce qui donne 4 qui va nous donner donc 2, puis 1, puis 4, puis 2, puis 1, puis 4, puis 2, puis 1 et ainsi de suite. Nous sommes donc bloqués dans un cycle 4, 2, 1. L'opération que nous venons d'appliquer plusieurs fois est ce que l'on appelle l'application de Syracuse. Cette application devient intéressante lorsqu'elle est itérée, c'est-à-dire répéter plusieurs fois. A partir d'un entier de départ donné, elle pourra générer une suite de nombres ce que l'on appelle son vol. Nouveau nombre de départ, 15. En itérant l'application de Syracuse, le vol qu'elle engendre commence par prendre doucement de la hauteur, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160. A partir de cette étape, c'est la dégragolade, 80, 40, 20, 10, 5. Ce nombre 5 a beau être un père, ce sera insuffisant pour repartir, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1. Le vol du nombre 15 contient donc 16 nombres avant de retomber sur le nombre 1 qu'il a fait boucler. Lorsqu'un vol atteint 1, on dit qu'il atterrit. Testons un autre nombre, disons 73. Son vol est 220, 110, 55, 166, 83, 255, 125, et cetera, et cetera, et cetera. La suite finit tout de même par atteindre 9232, mais la chute est inévitable. Après quelques étapes supplémentaires, on retrouve 46. Puisque ce nombre était déjà dans le vol de 15, ils auront le même destin. Atterrir avant de boucler sur 4, 2, 1. Que je parte de 42, de 703, de 855 ou de 1087, la finalité semble être toujours la même. 4, 2, 1, 4, 2, 1 en boucle. Ce cycle peut cependant prendre parfois beaucoup de temps pour apparaître. En partant par exemple de 63,728,127, il faudra 950 étapes avant d'atterrir. Bref, avec l'application de Syracuse, le cycle 4, 2, 1 semble inexorablement apparaître, quel que soit le nombre de départ choisi. Tout vol finit par atterrir. Tel est l'énoncé de la conjecture de Syracuse, que l'on appelle aussi conjecture de Colatz, ou conjecture de Cacoutanie, ou conjecture de Houlame, ou conjecture de Hasse, ou conjecture 3X plus 1, ou conjecture de… bref, c'est une conjecture, et on n'a aujourd'hui aucune preuve qui permettrait de démontrer définitivement qu'elle est vraie. Ce problème apparaît pour la première fois dans un article de 1971, dans le compte rendu d'une conférence donnée l'année précédente par le mathématicien britannique Harold de Cocteterre. Il y évoque un problème qui circule pas mal de bouches à oreilles ces derniers temps dans son université, une histoire de fonction itérée, qui finit toujours sur 1. Il s'agit ici de la première apparition écrite de la conjecture de Syracuse, mais sa première apparition publique à tester est attribuée à l'Otarkolatz 20 ans plus tôt lors du congrès international des mathématiciens. Il détaille en particulier ce problème lors d'une discussion entre deux portes avec Stanislas Ulam et Shizuo Cacutanie. Il leur avouera être incapable de le résoudre, c'est pourquoi il préfère ne rien publier à son sujet. Ulam et Cacutanie diffusent alors le problème dans leurs universités respectives, au laboratoire national de Los Alamos et à l'université de Yale. Colatz en parlera quelques années plus tard à Elmuth Asseux qu'il rencontre à Hambourg. Ce problème sera alors renommé par ce dernier conjecture de Syracuse, dans un article publié en 1975 où il essaie de généraliser la question. Aucun rapport avec la ville Sicilienne, le nom fait référence à l'université de Syracuse dans l'état de New York, où Asseux a propagé le problème. Depuis que le problème est dans la place, un très grand nombre de mathématiciens s'y sont attelés. L'apparente simplicité du problème a attiré également nombre d'amateurs plus ou moins éclairés, amenant des résultats parfois très intéressants et parfois moins. Si vous cherchez dans l'espace commentaire de cette vidéo, vous en verrez peut-être fleurir. On a donc des débuts de preuves, des résultats encourageants, mais rien d'aujourd'hui de définitif. Il a même été tenté de tester chaque nombre pour tenter d'en trouver un qui ne bouclerait pas sur 4 de 1 mais sans succès. Il n'en existe aucun plus petit que 2 puissances 68, soit environ 300 trillions. A vrai dire, il n'est pas tout à fait utile de calculer complètement le vol d'un nombre pour vérifier qu'il finit bien par atterrir. On peut se contenter de calculer son vol en altitude, c'est-à-dire le vol passé au-dessus du nombre de départ. On peut en effet facilement prouver que si on arrive à démontrer que le temps de vol en altitude de tout nombre est fini, alors la conjecture de Syracuse sera tant partie démontrée. Cela donne alors une méthode pour chercher les candidats à devenir un contre-exemple à Syracuse. On cherche des nombres qui ne passent pas en-dessous de leur point de départ. Par exemple, on peut éliminer les nombres pairs, puisqu'ils sont divisés par 2 dès la première étape, ils n'auront aucun vol en altitude. On a donc éliminé 50% des nombres attestés. Il reste alors les nombres impairs qui sont toujours de la forme 4k plus 1 ou 4k plus 3, mais certains peuvent aussi être mis de côté. Un nombre de la forme 4k plus 1 par exemple, c'est un nombre impère, donc on va multiplier par 3 et ajouter 1. Il devient alors 12k plus 4. Ce nombre étant pair il devient 6k plus 2, lui aussi pair il devient 3k plus 1. Le nombre 3k plus 1 étant plus petit que le nombre de départ 4k plus 1, il a un vol en altitude qui est bien fini. Il ne reste donc que les nombres impairs de la forme 4k plus 3 attestés, ce qui en élimine donc 75%. Avec le même type de raisonnement, on peut montrer que certains nombres de la forme 4k plus 3 peuvent être éliminés, ceux qui sont de la forme 16k plus 3. Il ne reste donc que les nombres de la forme 16k plus 7, 16k plus 11 et 16k plus 15. Bref, en ne gardant que les nombres de la forme 16k plus p intéressants, on en a éliminé un peu plus de 80%. En s'intéressant au nombre de la forme 256k plus p, on peut même montrer que plus de 90% des entiers sont inutiles à tester. Cette approche ne peut cependant pas amener à éliminer 100% des cas, il restera donc toujours des candidats. Visualisons plutôt autrement la conjecture. Plutôt que de prendre un nombre entier et de voir où sa suite nous mène, on peut prendre le problème à l'envers. On a notre cycle 4 de 1, 4 de 1, 4 de 1. Pour tomber dans ce cycle, il a fallu une division par 2. On vient donc forcément de 8. Maintenant, comment est-on tombé sur 8 ? Il semble qu'il y a deux possibilités. Soit on vient d'une division par 2, c'est-à-dire de 16, soit on vient de l'application de Syracuse sur les nombres impairs, 3x plus 1. En prenant cette opération à l'envers, il faut donc soustraire 1 puis diviser par 3. Pour tomber sur 8, il faudrait donc venir de 7 tiers. Puisque ce n'est pas un nombre entier, cette seconde possibilité n'est pas possible. Bref, pour tomber sur 8, il faut venir de 16. Mais pour tomber sur 16, il y a cette fois-ci vraiment deux possibilités. On peut venir de 32 via la division par 2 ou bien venir de 5 via l'opération 3x plus 1. De même, pour tomber sur 32, il faut venir de 64 et pour tomber sur 5, il faut venir de 10 et ainsi de suite. En poursuivant cette construction, on va construire l'arbre de Syracuse. La conjecture de Syracuse énonce donc que tous les nombres entiers se trouvent bien dans cet arbre et qu'il n'y en a aucun dans un autre arbre. Cette formulation est visuellement très jolie, mais elle ne nous permet pas de vraiment mieux comprendre ce qu'il se passe. Revenons donc à la première formulation. Quel que soit l'entier n que l'on choisit, le cycle 4 de 1 apparaît toujours dans le vol de n. Que faut-il faire pour vaincre cette conjecture ? Il y a a priori deux alternatives. Ou bien la conjecture est vraie, ou bien elle est fausse. Si elle est vraie, ce que les trillions des 7 ont à assurer, alors il faut le démontrer rigoureusement. Sinon, elle pourrait être fausse. Il faut donc trouver un nombre, un seul, qui engendrerait une suite qui ne boucle pas sur 4 de 1 le cycle de longueur 3. Un vol qui bouclerait sur un autre cycle ferait l'affaire, mais on n'est pas contre un vol sans la moindre répétition. Un tel contre-exemple, ce n'est en fait pas difficile à trouver, mais c'est parce que mon énoncé n'était pas très précis. Je peux par exemple commencer par 0, ce qui engendre la pas très passionnante suite, 0, 0, 0, 0, 0, cycle de longueur 1. Mais on peut aussi s'aventurer du côté des nombreux entiers négatifs qui réservent ces surprises. En partant de moins 1, on a le cycle moins 1, moins 2 de longueur 2. On peut aussi partir de moins 5, ce qui donne moins 5, moins 14, moins 7, moins 20, moins 10, avant de revenir sur moins 5. On a donc un cycle de longueur 5. On a aussi un cycle de longueur 18, en commençant par l'entier négatif moins 17. Il semble que le destin de tout entier négatif est de tomber dans l'un de ces trois cycles, mais là encore, rien n'est moins sûr tant que ce n'est pas prouvé. Bref, il faut bien préciser que le nombre de départ doit être strictement positif pour notre conjecture de Syracuse originelle. Puisqu'il existe de multiples cycles du côté des nombreux négatifs, on peut en envisager aussi plusieurs du côté des positifs. Mais est-ce vraiment possible ? Par exemple, peut-on trouver un autre cycle de longueur 3 que le cycle 4 de 1 ? Pour comprendre ça, on va devoir raisonner sur la parité des termes qui composent ces cycles. On va s'appuyer sur le fait que, si un nombre positif est un père, son successeur sera père et plus grand. Tandis que si un nombre est père, son successeur sera plus petit, mais il peut être aussi bien père que un père. Cherchons donc un cycle A, B, C de trois entiers positifs ou, via l'application de Syracuse, A donne B, B donne C et C donne A. Disons que A est le plus petit du cycle. On peut alors affirmer que ce nombre est un père, sinon il serait divisé par deux, ce qui donnerait B plus petit que A. A est un père, on a donc B égale à 3A plus 1, qui sera donc père. Et C, le terme suivant, vaudra B sur 2. Il est donc égal à 3A plus 1 sur 2. Puisque C donne A et que C ne peut pas être inférieur à A, on en est dû alors que C est nécessairement père. On a donc A égale C sur 2 et donc A égale 3A plus 1 sur 4. On peut alors résoudre cette petite équation. Si un cycle ABC de longueur 3 existe, alors nécessairement A égale 1. On vient donc de prouver que 1, 4, 2 est le seul cycle de longueur 3 qui puisse exister dans les nombres positifs. En appliquant le même type de raisonnement, vous pouvez prouver qu'il n'existe aucun cycle positif de longueur 2 ou 5. En poussant un peu plus dans l'abstraction, on peut même démontrer qu'à part le cycle 4 de 1, il n'existe aucun cycle de nombreuses entiers positifs dont la longueur est inférieure ou égale à 180 milliards. On ne peut cependant pas aujourd'hui exclure des cycles plus grands. On peut aussi envisager un autre type de contre-exemple, un vol qui, au lieu de boucler sur un autre cycle que 4 de 1, s'envolerait vers l'infini sans jamais vraiment descendre. On ne connaît bien sûr aucun exemple de telle suite, mais on peut en trouver pour des variants de l'application de Syracuse. Et si, au lieu de multiplier par 3, on multiplie par 5. Cette fois, les suites générées ont des comportements bien différents. En partant de 6, on obtient 3 puis 16 et ainsi de suite jusqu'à atteindre le nombre 1. Puisque l'image de 1 et 6, c'est que l'on est à l'intérieur de la boucle 6, 3, 16, 8, 4, 2, 1, qui est de longueur 7. En partant de 5, on tombe sur un autre cycle, 26, 13, 66, 33, 166, 83, 46, 208, 104, 52, cette fois-ci de longueur 10 et surtout qui ne retombe jamais sur 1. On peut aussi débuter par 7 et là, rien ne va plus. La suite grandit, grandit et devient hors de contrôle. Elle diverge sans aucun espoir de l'avoir finit par boucler. Bref, quand on itère cette variante de l'application de Syracuse, les 3, 4 figures se présentent. Le vol peut boucler sur un cycle qui contient 1, boucler sur un autre cycle qui ne contient pas 1 ou ne pas boucler du tout. Il y en fait une bonne raison à cela, mais l'argument n'est pas très rigoureux. Observons pour cela la parité des nombres qui interviennent dans un vol. Pour cela, on va devoir transformer légèrement la définition de l'application de Syracuse. En effet, lorsqu'un nombre est un père, on sait que le suivant sera père si bien qu'on peut prévoir que l'opération suivante sera une division par 2. On peut donc modifier la définition de l'application pour toujours faire ces deux étapes en une seule. Lorsqu'un nombre est père, il sera donc divisé par 2, c'est-à-dire multiplié par 1,5. Et le suivant aura en gros autant de chances d'être père que d'être un père. Lorsqu'un nombre est un père, le suivant aura lui aussi en gros autant de chances d'être père que un père. Et il aura été multiplié par environ 3,5. Bref, on peut donc dire que sous l'action de l'application de Syracuse, les nombres seront en gros multipliés une fois sur deux par un demi et une fois sur deux par trois demi. En moyenne, ils seront donc multipliés à chaque état par environ 0,86. Or, quand on répète une multiplication par un même nombre compris entre 0 et 1, la séquence obtenue décroît toujours vers 0. En partant d'un grand nombre pris au hasard, disons ce nombre-là à 16 chiffres, on va donc s'attendre à ce que son vol ait un profil comme celui-ci, en supposant qu'elle est multipliée par 0,86 à chaque étape. Quand on regarde ce qu'il se passe en pratique, on peut observer que l'approximation est loin d'être mauvaise. Bref, avec ce raisonnement probabiliste, l'aspect globalement décroissant des suites de Syracuse n'a rien d'extraordinaire. Si on fait le même raisonnement avec la variante où l'on multiplie par 5 au lieu de 3, on s'aperçoit que chaque terme sera en moyenne multiplié par 1,12. Il en résulte que la trajectoire typique d'un nombre sera croissante, ce que l'on observe notamment en partant du nombre 7. Ce type de raisonnement probabiliste, lorsqu'il est élaboré avec Rieger, peut amener de véritables avancées dans la compréhension du problème. C'est ce qu'a fait le mathématicien Thérène Stau en septembre dernier dans un article où il démontre que la conjecture de Syracuse est presque vraie pour presque tous les entiers. Dis comme ça, l'énoncé semble un peu ridicule, mais les mots « presque » ont ici un sens extrêmement précis que je ne vais pas détailler. En résumant grossièrement, on peut dire aujourd'hui que si des contre-exemples existent à la conjecture de Syracuse, alors ils sont de plus en plus rares. Pour résoudre complètement notre conjecture, il faut donc en fait résoudre deux sous conjecture. Il faut résoudre d'un côté la conjecture de non-divergence, qui dit qu'un vol le diverge vers l'infini, et de l'autre la conjecture des cycles non-trivaux, qui dit qu'il n'existe aucun autre cycle que le cycle 4 de 1. Ces conjectures sont au centre d'une constellation de problèmes dérivés et de généralisation. Existe-t-il d'autres cycles que les cycles générés par moins 1, moins 5 et moins 17 du côté des nombres négatifs, et si on multiplie par un autre nombre que 3 ? Il y a les généralisations de Cucatanie et celle de Conway, et on peut généraliser aux fractions et même à d'autres ensembles de nombres. On peut aussi chercher d'autres conjectures qui impliquent ou qui sont équivalentes à Syracuse. Bref, notre conjecture est la partie émergée d'un iceberg de problèmes. Et n'a-t-il vraiment vaincu la conjecture de Syracuse ? Si on l'écoute, il n'y a aucun doute envisageable, et tous ceux qui disent le contraire sont des puits en du monde académique corrompu. J'ai bien tenté de lire son papier, mais j'avoue n'y avoir rien compris. C'est d'ailleurs aussi le cas des mathématiciens qui ont tenté cette lecture. Mais bon, s'il dit avoir démontré Syracuse, ça doit être vrai, non ? Personne n'oserait dire délibérément des trucs faux sur Internet.