4時間、5時間では、3つのレクションを始めましょう昨日、このタイプの必要なレクションは、このガンマーゼロのイメージですこのアプロジェクトは、このコンボルーションを作り、コンピュータメインカバチャーベクターを作り、このスムーズが小さくなりますこのパラメタイプションは、スムーズのスケールを作り、最後に、リミットを作り、�急にスマートア ディンカバッチは野下製金ではありませんしかし、このアプロジェクトは、小さくなってくるんではありませんこのスムーズが小さかったのです解消することが必要です今回、リミットのアプロジェクトについてジムーズのコンボルーションを作り、ラムディンカバチャーベクターを作り、一般上、ケース・オレミディは、毎回一度、また一つの段階の段階の段階の段階の段階の段階、でも、ローコルの下地の段階で、下地と同じように下地の段階で、リプシュスマップの時期の形を維持することが重要です。リプシュスマップと同じように下地の段階で、リプシュスマップと同じように下地の段階の形を維持することが重要です。それでは、このビデオをご紹介します。今、このサービスのイベントの変化は、メインチェンジです。このような状況については非常に具体的になります。では、この動き込みの説明を与えましょう。このNの数はこの動き込みの数です。この動き込みの説明を与えましょう。この動き込みの数はこの動き込みの数です。この動き込みの数はこの動き込みの数です。この動き込みの数はこの動き込みの数です。これまで。エンプティがあるので、エアイはエンプティセットであるので、エンプティは重要です。エンプティもないので、Bはファイナイトのコンプレメントがあるので、ファイナイトのコンプレメントのスタックを見たことを考えています。この2つは、4開放パティションがあるので、4のコンプレメントがあるので、ファイナイトのコンプレメントがあるので、この2つのコンプレメントが、このエンプティをあの場所であまり、エンプティをこの場所で付けられていないかとしてはいけません。そのときはこのEIですurgical boundaryを関する They are the same as tzipological boundary.points e that is the topological boundary of the What? Union of...The union of the topological boundary of EI.you can have any interior points. drug C, the third one,コントレクトファイバルこれはクロースセットそしてファイナイトメジャーもコントレクトファイナイトメジャーその理由はオープンパーティションはクリアだと思いますパティションRNプラス1ファイナイトオープンドメージはい、プラス1ありがとうオープンパティションRNプラス1パティションNオープンセットそれはこの状況そしてこのセットは行っているのですオーダー?オーダーはカジュアリーですこのNのエレメントをカジュアリーにしているのですオーダーをオーダーにしているのですそしてこのセットは行っているのですステップ by ステップはい、短い間にこのノーテーションオープンパティションのエレメントをこのスクリフトnを書いていますちょっと短い間にこのスクリフトnのバウンリーを書いていますこのシェフトnは同じだったこのオープンパティションのバウンリーのシェフトnと同じだったそしてこのノーテーションを使っていますこの丸く形は、マイザーの襟の周りに 負けられます。これを見ると、 平らな地面的に減っています。それは明らかに思うのですが、 短い時間で見るのです。で、今、立ち上がって、 自分の線を表現していきます。この形で、自然的に 保管しています。同時に、このような設定をすることができます。では、2.3のディフニーションについて説明します。し オープンヒーチョンに対してnを表してこのMNはE1 EI12 N素直よりオープンヒーチョンで参考をや onde ministそうですねd Blitzyou'aRNプラス1からRNプラス1からRNプラス1からRNプラス1です。こちらはM-admissibleで、この言葉を説明します。まず、E-tildeを説明します。EI-tildeはインテリアのポイントで、イメージのEIを説明します。これは非常に変わりませんが、私はこれを説明します。1-NのEIを説明します。EI-Fのイメージを説明します。インテリアのポイントで、EI-tildeを説明します。その後、私は説明します。このEI-tildeはこのポイントで、Bはこのポイントで、イメージのイメージを説明します。このAとBを説明します。このFはM-admissibleです。これはオープンパーティションで、オープンパーティションで、このadmissibleを説明します。私はこれを説明します。私はこれを説明します。私はこれを説明します。admissibleのクラスのリフシズマは、オープンパーティションのストラクターを保つことができます。まず、レマ2.5を説明します。これを説明します。このEI-tildeを説明します。ここで、オープンパーティションのエネルメントを説明します。実際にこれを説明します。イルダ keepこれを説明します。 shake説明します。這いに直接説明します。この部分の部分は 実際に開きました開きが大きいので 大丈夫です2つの部分も 難しいですこのヴァウンドリーは 見えないように見えますしかしこのヴァウンドリーの イメージがあるそしてこれはリプシッズマップリプシッズマップは 素敵な物理についてこのヴァウンドリーは 付いていることですこの生き物の分離が このフで 発生されているのですこのエピーサーの メジャーについてフをつけた by power n と言うことが できるのですそのように書かれていますそして まだこのフは 素敵なものですその為、ここはファイナットです。その経験の結果について、この最初にファイナットのイメージが均一になります。3つのつもり、実際に実績を動かし、このイメージの結果について、これがファイナットのユニオンの構成では同じな、大きなこのセットはレクトファイバルセットのイメージの中です。レクトファイバルセットのイメージはレクトファイバルセットのイメージです。このセットは絶対に合わせて、しかし、リプシスマップのイメージは、カウントウェニュー・エレクトヴァイブルセットです。カウントウェニュー・エレクトヴァイブルセットは、カウントウェニュー・エレクトヴァイブルセットです。その理由は、この説明をしています。では、私が説明するために、Cを下手して、カウントウェニュー・エレクトヴァイブルセットの奥浦・エレクトヴァイブルセットのデフィニッションの説明では、カウントウェニュー・エレクトヴァイブルセットです。その理由は、カウントウェニュー・エレクトヴァイブルセットです。この明らかに、リプシスマップの人間の活動が新しい開発機に移動します。なぜこのようなことを決めるのか?このアルミスボーファクションは同じプロパティションで オープンパティションを決めることができますなぜこのようなことを決めるのか?では例を見てみましょうとにかく トポロジカの変化が 起きています例えばこのクロッシングフィギュアを 考えていますこのように トポロジカの変化は 何かと言いますこの4つの エクステンディングは何かと言いますエクステンディングは 何かと言いますでは見てみましょうこのように トポロジカの変化が起きていますこのような クロッシングフィギュアを 始めることができますこれは エクステンディマイジングではなくこのように トロポジカの変化は何かと言いますエクステンディングは これを スライドラインに make a straight line like thisこのように トロポジカの変化は彼はこれを スライドラインに 変化しますこのような部分を見てみてくださいこの部分をクラッシュしてこのようにこのレッドラインを向かいますそしてこの白い部分をクラッシュしてこの黄色の部分を作りますリフシスマンで作ることができますこれをクラッシュしてこのようにこのようにも違うことを確認しますしかしこの黄色の部分をクラッシュしてこの白の部分を黄色の部分をクラッシュしてこの黄色の部分をクラッシュしてこの部分はこの方向に合わせることができます。このマップは全ての部分に合わせることができます。この部分は全ての部分に合わせることができます。まず、インテリアポイントのイメージは?インテリアポイントのイメージはこの部分に合わせることができます。この部分に合わせることができます。最後に、この部分に合わせることができます。このインテリアポイントのイメージはこの部分に合わせることができます。そして、このイメージのバウンドリーがこの赤いマップに合わせることができます。この2つのコンディションは素晴らしいです。新しいバウンドリーがこのイメージに合わせることができます。この部分に合わせることができます。この部分に合わせることができます。この部分に合わせることができます。その部分には合わせることができます。この部分に合わせることができます。自分で拠点することで、何か小さくなります。どうするか、あなたは赤にいるそこにあることを見られます。オーケーがあって、このような西都市の予定を教えてください。これは、初めてに、レイドオープンではないです。こちらのレイドオープンではないでしょう。これはあなたが有名なことがあります。やはり、そのため、ーこの場合を伸ばすそれまでは難しいですねエクスプロメラを描くことになりますこの場合を伸ばすその場合は、その下の色のことをこれを伸ばすプラマの下を伸ばすそして、この場合を伸ばしてここに伸ばしてこれをどうしてもいいかといったらいいです。そしてこれを外して、エンプリセットに取り出しましょう。このような内容は、何か言うか分からないけど、内容のバウンドリーが取り出すことができます。このようなデフニーションを取り出すことができます。この場合は、全く確認していないので、このデフニーションは正しいのですが、しかし、このように何を活用するのなら、多くの選手たちのプロジェクトについて何ていけないかを思い出しています。実は、これは正しいアサンプションを実際にしています。そのようなものを実際にすることができる。でも、それを受け取りにすると違っているようなことがあるのか、しかし、これは描いているようなものです。このようなオープンパッタションのでも同時に、私たちが何をしたいかを取り除くことができます。リバースセットを取り除くことができます。このようなことは、C1が必要です。このようなことは、常にリトラクションが必要です。このようなことは、C1が必要です。それはリプシットです。私はこのリプシットのデフォーマーションを使用します。私はこのリプシットのデフォーマーションを使用します。私はこのリプシットのデフォーマーションを使用します。このリプシットのデフォーマーションを使用します。 ツーの説明で、私がこのトップロジカを書いたビルのサービスを書くことができます。このオープンパーティション、ミスボーファンクションについて、このオープンパーティションについて、このリプシースデフォメーションのマップを描くのが難しいです。このマップはとてもトポロジカのマップですが、私はそれを描くのが難しいです。今、このオープンパーティションは2.5のレマットについて、私が作ったオーデシャンのマップを描くのが難しいです。次に、私はこのミスボーファンクションを描くのが難しいです。私はそのまま延長しています。このデフィションのまでは、私はこのマップを描くのが難しいです。私はこのマップを描くのが難しいです。私はこのマップを描くのが難しいです。このC2の仕上げは、ポジティブな仕上げは、少し少し1があります。この仕上げは、この仕上げは、この仕上げは、Number of xこれは、この仕上げは、J times functionの仕上げで、2nd derivative of phi is also bounded by j times phi of x itself.This is pointwise everywhere, r and plus 1.So this may look strange.I mean the gradient and second derivative,first derivative and second derivative is bounded times some huge number.j is going to be big number.Just don't think that's a small number,but it's going to be some number which is going to infinity.But that's the one that is pointwise bounded by the functions itself.And I notice that, so now, well, this class of test function,which is as j goes to infinity in some sense,as j goes to infinity converges to,I mean in a very weak weird uniform norm to functionwith phi because I equal to 1.Because when, so, you see, yeah, okay.Maybe I should write before,okay, so maybe I should explain this later.So by definition, this test function satisfies this rather trivial inequalityfor phi in this class, script a,j phi of x is less than or equal to phi of yof exponential function of j times x minus y.This is true for any x and y.Okay, so let me, first I explain why I'm talking about this.I'd like to show this one.I think it's, so this one's just by one line proof, nothing hard.This is proof is because if you look at log of phi and derivative,this is phi of number of phi, which is bounded by definition by j, okay.So integrating this gives you this, easy.Now this estimate tells you the formula.So this is, okay, now this tells you the character of this function is that nowif you're looking at x and y with the distance being,let's say less than 1 over j square, okay.So small distance.Then this number is going to be very, very small, very close to 0.That means, you know, this exponential function is close to 1.So that means phi of x and phi of y is sort of compatible value, right.That's fine, easy, yeah.So the distance, if distance is very close, say 1 over j square,then phi behaves more or less like a constant, okay.So if x and y is like that, then phi is compatible, phi is like constant.So this is a class of test function where,you know,if you look at this sort of not so small scale,this behaves not, with not so much restriction,but once you get down to the size of 1 over j square,it behaves more like constant.So this introduces some length scale here,which I'm going to utilize, okay, in a moment.So in some sense, this is a class of, and also I just, yeah,also, okay, going back to this.Any c2 function can be almost in this class,as long as j is very large,because whenever you're given any function here,okay, here,then you just add a little number here,positive number,okay,which is,well,almost phi,by adding some little number,and as long as you choose j huge,this guy is going to do a script a j,okay,because this delta will bound this from below,after all.So any c2 function for j huge,as long as j is large,you know,this guy is in this class.So,well,given this any c2 functions,which can be,which can be 0,yeah?Not that,of course,this implies that phi cannot be 0 anywhere,right?If it's 0 at some point,then it has to be identically 0,right?So it has to be always positive,but any function which is in this classand equal to 0,as long as you add a little number,will be in this class,okay?Oh,yeah,yeah,I'm assuming that,yeah.Second question?Yeah,yeah,I guess so,yeah,okay,sorry,yeah,maybe I should,here.Well,here,no,no bounds,but,I guess,somehow,yeah,given a function whose norm is bound in c2,maybe that's what I should say,yeah.Okay,now,so that's fine,so far.Now,I want to restrict my map,deformation map,ipsy's deformation back to the following.So,for,given open partition,okay?Open partition of an element,I define this specific class oflipsy's map,f of mj,okay?To be,so I need it.Let f,capital f of script mj be a set of all,all,this admissible class of functions,okay?Set of all m admissible function,admissible function f,such that,with this following property,such that,there are three kinds,a,is that f does not move much,okay?So,I want this to be less than,this,this,this,deformation issomehow,stays small,within this length of 1 over j square.So,it does only a little bit of change,okay?And the b,is that,I want this to be writing this,let's see,f star of m.That's the one that you get by this,lipsy's deformation.Writing this,we want,we require,the change of the volume of each element is small.Let's say,this is not so important,but let's say 1 over j,okay?So,this,this change of,lipsy's deformation changes only the volume,very tiny amount.I ask them to be so,okay?And the third,is the most important one.Third,is that,for any test function,f,in this script,aj,I want this integration,with respect to this new surface measure,to be decreasing,if star of m.It's less than equal to phi of the,the one that you move before.Okay,so,this,this is something.So,I will ask these three things.It seems like a lot,but it's not so much.So,first one,ask you,as I said,moves only a little bit,okay?You allow f to be a little bit tiny,tiny change.I ask,the second one,is just saying that,after this map,I want the volume to be only a little bit different,okay?So,I want this open,the partition is moved a little bit,yeah?And the third one,is the most important,it says that,for any test function in this class,the surface measure,if you integrate this test function,is decreasing,okay?That's,so,this is,is really important property.And the remark is that,remark is,not that this,this class is,let's see,oh,sorry,yeah,no,the remark is,let's see.Yeah,by the way,phi is,this script.j always contains,script.j always contains,contains,phi is identically equal to one,okay?That's easy to check,I mean,constant function,one,is obviously going to satisfy all the conditions here,right?And just derivative of zero,right?So,let's satisfy,so,this function,phi equal to one,is in this class.So,if,if,if this,if f is in this class,with one,this has to be satisfied.So,you know,phi equal to one,this has to be satisfied.That means,really,that it has to be area,decreasing map.This is less than equal to this,okay?So,at least,this has to be area,minimizing map,but it's not only that,but with respect to any test function in this class,I want this to be decreasing.Now,what is the consequence we get from this?Maybe,I should also point out that this class always,f always contains the identity map,identity map from Rn plus Rn.So,that is fine,because identity map,of course,this is always equal,and this is zero,and this is zero.Okay?So,the identity map is always in this class.So,it's,this guy is not empty set always.At least,contains identity map,right?Okay.Now,this is actually a very interesting class of function.So,let's,this is very localizing,the minimizing behavior,the procedure.Let me explain what this means.The point is,this class of function,okay,let's see,what do I do?Yeah,so,the other remark is that,this map,f,this guy for large j,in fact,and also,in case,this is just,smooth,say,you know,if it's smooth,this is smooth,or c2,it sees enough,but suppose that you have just say,you know,for example,just extremely simple situation,in 182.Okay?Suppose,this is what you have here.Now,what is going to be discussed?I claim that,for large j,this f has to be identity map.Okay?You cannot move,in fact,this,this smooth set.Well,the reason is the following.Okay?So,if you try to move this,well,it has to be decreasing the area,or length,in this case,sorry,it has to be decreasing the length.So,maybe,okay,well,why don't we just move a little bit,like this?Okay?Maybe,let's try to move this way,by this function.But,what you can do,is you can actually cook up some fire,which,for example,is one,let's say,one-half on this circle,okay,on the circle,and let's say,one-half plus,sort of,sign to distance function.Okay?Maybe,I should write this as,distance function,maybe,just a distance function from x to distance,x to this circle,okay?With the positive sign in this y,in this side,and minus sign on this side,okay?So,it's more like a,you know,con-like function,takes value of one-half,and maybe I have to do truncation away from this circle,but it doesn't matter very much.But now,with this,not that if you move this,it's easy to see that,you know,the integration,you can arrange it so that it's going to increase.Not that if j is large enough,you can arrange it so that this phiis bounded by some j of phi,for this kind of function,and the second derivative also,too,well,that's very easy,actually,for,this can be arranged,okay?achieved.I mean,after all,this is sort of bounded function.So,if j is large enough,and also,the value of phi is like one-half around this circle.So,this can be achieved easily.And so,if you try to even move a,even a tiny little bit,actually,you can get a contradiction to the property c,okay?So,the point is,this class of function,if you're around the area of the smooth part,it doesn't move at all,because if it does,you can cook up some言葉.The class function such that,the property c is going to be violated.So,the point is,only place where you can move is,actually,around the singular point. Okay?So,think about this situation as I wrote before,here.So,suppose this scale,the size of this ball instead of the order of one of a j,q.これが小さくなっているのですが、これが1番のキューブです。そしてこれを実際にすることは、このような長さを減らせることができます。このファインは基本的に動きができません。しかし、長さが減っているのです。このボールは1番のキューブの長さを減らせることができます。そしてこれを減らせることができます。このボールの大きさはこの小さくなります。このボールはこの小さくなっているのですが、このボールは1番のキューブの長さを減らせることができます。そしてこれを減らせることができます。このデフォメーションはリフシスマーで、このボールの長さを減らせることができます。そしてこのファインの長さを減らせることができます。それはスモーサイズで、マップが動かせることができますここでのリマークはこのようにFはJ大Fは非アイデンテリティーフォーリーについてフォーリーについてレンズを減らせることができますレンズを減らせることができます人間のマップが動かせることができますエイチンを減らせることができます2.8%のマップができますこれがいいですマップがあります。それに対して、それに対して、私は、カーバーは、C2の面の部分、カーバーは少しJ2の面で、それに対して、カーバーは動かさない。それに対して、カーバーは動かない。そして、はい。はい。はい。では、最後に、この数を開いた部分を説明します。Jはエンテージャーです。このフォーマンの数を説明します。これがブラックスブックについて、同じように使用しています。これがこのこの数の数の数を説明します。この数を減って減ってこの-この数を説明します。はい。この数を説明します。減って減って減ってこの数を減って減って減ってこの数を説明します。0の数を説明します。この数を説明します。0の数を説明します。減ってこの数を説明します。減って減って1を減って1を減って1を説明します。分かりません。です。減って減って1を説明します。減って1を説明します。これを説明します。ここにもアイデンテリーマップがあります。アイデンテリーマップをプラグしていると同じセットです。でも、ベタを作ることができます。では、私たちは全ての必要があります。このディスクリートアプロクスメントを見ましょう。こんにちは。そのディスクリートアプロクスメントを見ましょう。まずはこのディスクリートアプロクスメントを見ましょう。では、我々はあなたの体制が以上認定されるために、メントの最後のデリスクリートアプロクスメントを使って、次に、次のディスクリートアプロクスメントを見ましょう。0を乗せます。これから始めましょう。この開くパティションはデフィニューションで開くパティションを乗せます。このように選びます。では、Jを乗せます。デアのインフィニティを乗せます。Jを乗せます。Jを乗せます。Jを乗せます。Jは模範の模型を見る。と言います。Jを乗せます。実は車両の位のアーティストがわかりません。私がとてもこのリテーションについてそれらのスケールを時間がかかると、これが、私の紙の中から出てきていると思いますが、私は少し少し少しに選択する必要があります。そして、このようなものを見つける必要があります。なので、この数字を使ってもらえません。それは重要です。私は、スムーズのスケールを選択します。マインカーベジオヴェクターを見たことができます。少しも小さくなります。J-squareの1番の大きさは、リプシュスのデフェーションで、リプシュスのデフェーションで、このスムーズが、少しも小さくなります。リプシュスのデフェーションで、しかし、少しも小さくなります。このスムーズのパラメータによって、少しも小さくなります。このスムーズが、リプシュスのデフェーションで、少しも小さくなります。このスムーズが、リプシュスのデフェーションで、3つのパラメータです。では、インドクティフの製造をしてみましょう。フォローズの製造です。まず、インドクティフを使って、キー・ステップの松の開くことに、キー・ステップのDKのKステップを使って、ラフを付けます。これをアップルして、隅々、これを話すことができる。アンクティフを使って、これを話すことができる。これを話すことができる。次の方法を、私はこのリプシスデフォーメーションを選択します。Fを選択します。J、Kを選択します。Kステップです。このリプシスデフォーメーションは、このFのリプシスデフォーメーションをほぼ減っています。現地の Solar マップに、TJが少し長くなっています。ガンラクのこれは最多としたものです。 gonna have to give him a value.You see, this guy's there.This is the infinitely value.So you multiply some little number, which is less than one,then you can actually have some map having this property by the property of infinity map.We have such such map.0はアイデンテリーマンですが、ベタを作ると、ノントリビュアルのリフスデフォーメーションがあります。この人を選びます。それについて、これを12にすることができます。12の答えです。これを動かせると、このマップのリプセットを動かせると、このマップのリプセットを動かせると、DELTA TJのJを2.0Jのマップ1のJを動かせると、2.5のパーティションを選択することができます。このリプシスレフォーマーションを選択しました。MQ.jkTjを選択します。そして、今、コンピュータをコンピュータします。次のコンピュータです。このアプロクスメイトミンカーベチャヴェクターを選択します。x plus deltaTj times this approximate mean curvature.J is for this one.このリプシスレフォーマーションをコンピュータします。このアプロクスメイトミンカーベチャヴェクターを選択します。このアプロクスメイトミンカーベチャヴェクターを選択します。次のコンピュータを選択します。このK plus deltaTjはこのリプシスレフォーマーションを選択します。このアプロクスメイトミンカーベチャヴェクターを選択します。これを選択します。このリプシスレフォーマーションはディフェアモーフィズムと同じように難しい事が起こります。このアプロクスメイトミンカーベチャヴェクターを選択します。ok so nowwe now, so you have these two steps things for each time stepand after this then you repeat this as many times as you want basicallynow combining these twocombine 11and 12which is the estimate we had次に、エネルギーの動きを獲得します。この動きの動き、スムーズビンカバチャで、昨日、この動きの動きの動きについて、この動きの動き、この動きの動きの動きの動き、これがエスメンの動きで、昨日、この動きの動きについて、J² δTJという…うん、この動きは初からットインを加えると思いますでも、後で結構同じのはできますデザインへとデザインへとデザインへとデザインへとそして、Htjは少し長くなっています。delta tj square by イプションj Hnjkdelta tj plus イプションj Exスムースミンカーバジャーベクターのモーションです。昨日のモーションです。このモーションは、このモーションは、delta tj square by イプションj Hnこのモーションは、delta tj square by イプションj Hn1 plus イプションj square by イプションj square by イプションj Hn次は、delta tj square by イプションj Hn同じプロセスです。同じプロセスです。このモーションを、このモーションを、この1を書くことができます。もう一度書くことができます。しかし、このエクストランを書くことができます。1-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-51-j-5