 Merci. Donc je vais donner mon parler en anglais, mais je vais commencer par dire quelques mots sur Jean-Marc. Donc je remercie les organisateurs pour l'invitation à cette conférence, à la mémoire de Jean-Marc Fontaine et Jean-Pierre Vintembergé. Donc je voulais juste dire deux mots sur Jean-Marc. J'ai été son étudiant en thèse. Le souvenir que j'ai, c'est qu'il m'a pris en thèse, alors que je ne connaissais rien à rien. Je suis arrivé, le cursus, je n'avais rien appris, je ne savais rien. Je ne m'étravais pas qu'il y ait rien intéruit des nombres, vraiment. Je ne savais pas ce que c'était comme pour du temps sorriel, par exemple. Bon, j'étais motivé et il m'a pris en thèse, il m'a fait confiance. Bon, il ne peut pas l'avoir pour entendre, mais je me remercie pour sa générosité. Ok, merci. Maintenant, je vais... aller avec... quelque chose de Drainfall Space et des représentations locales. Donc, je vais commencer avec une petite introduction, pour expliquer le problème que je vais faire dans ce parler. Donc, P est un numéro primaire, et N est un intérieur plus grand que 2, très bientôt, il sera 3. Et, je vais dire, mais h est de Qp, donc je ne sais pas si c'est une notation standard, mais c'est un Drainfall Space de dimension n-1. Drainfall Space de dimension n-1. Donc, j'ai remarqué que l'âge de l'analyte rigide est Pn-1-Qp, qui est la place rigide, où vous oubliez tous les hyperplanes avec l'équipe de Qp. Donc, l'union de l'âge, c'est tous les hyperplanes rationnelles de Qp. Ok? Et je pense que je vais juste avoir besoin de ça, pour le parler. Vous n'avez pas besoin d'une interprétation moduelle ou autre pour mon parler. Donc, il y a un complexe de Drainfall. Ok? Ce que je vais justifier par Omega, avec un dot. Et, depuis que c'est un space de Stein, il n'y a pas d'hier cohérent de la cohémologie. Donc, si vous voulez conclure la cohémologie de Drainfall H, c'est suffisant de conclure la cohémologie. Je veux dire, vous pouvez prendre la section globale de la cohémologie de Drainfall, et conclure la cohémologie de la cohémologie, et vous pouvez, par contre, prendre cette section globale. Donc, c'est ce que je fais ici. Ok, donc, j'ai un complexe de 2 Omega n-1. Et c'est la section globale, en fait. Et nous savons que, il y a aussi une cohémologie de GLN Qp, qui s'actue sur H, via l'action Pn-1. Et donc, c'est aussi... chaque termes Omega I, c'est une représentation de GLN Qp, en un sens. Je vais faire un peu plus précis. Maintenant, donc, je vais me rappeler des résultats très non-results sur ce complexe et sa cohémologie. La première, c'est la cohémologie. Comme vous le savez, cela va retourner au résultat de Schneider et Stuller. Je pense que c'était l'année 90, et c'était l'année 90. Donc, ils ont prouvé que la cohémologie de ce complexe, comme je l'ai dit, c'est exactement la suivante. C'est V, donc je vais expliquer tout. Pn-1-i, Infinity dual. C'est l'algebraic dual de la représentation Steinberg. L'algebraic dual de V, Pn-1-i, Infinity, qui est la suivante représentation. Vous induisons 1 de Pn-1-i de Qp à GLN de Qp. Donc, on va prendre une induction smooth, une fonction smooth, et vous m'adresse, mais tout est en variant dans un grand subgroupement parabolique, un subgroupement parabolique qui constate Pn-1-i de la même induction de Qp. Et où Pn-1-i Pn-1-i est la suivante représentation parabolique. Vous mettez GL-i dans l'arrivée, et GL1, tout autre chose. Et c'est ce que j'ai fait en bas bruit. C'est... OK ? Et il y a seulement un cas où je vais modifier mon notation, parce que j'ai l'habitude de ça, que je ne peux pas le faire, en cas où... Donc, ici, Pn-1-i est entre 0 et Pn-1, et quand Pn-1-i est... Pn-1-i, oui, c'est la représentation Steinberg, donc je vais le dénoter par Steinberg et Infinity. La représentation de GLN. Usuale Steinberg. OK ? Donc, c'était dans les années 90. Maintenant, peut-être 10 ans plus tard, peut-être un peu plus, j'ai oublié un peu. Ils ont commencé à investiguer pas seulement la cohomologie. Donc, vous voyez que la cohomologie est une doule de smooth, mais ce n'est pas tout le cas des membres individuels de l'analystique locale. Donc, c'était commencé par Schneider-Titelbaum, Schneider-Titelbaum, et puis, completé par le travail de Sacha Orlik. Donc, je ne vais pas vous dire tout ce qu'ils prouvent, mais, en particulier, ce qu'ils prouvent, le suivi est contenu dans ce qu'ils prouvent. Donc, ils prouvent que l'Omega-i est une doule continue de présentation de G, L, N, Q, P. Donc, bon, je vais finir. Ce qui est typologiquement de langues finies, de langues finies, et comme c'est un constituent irréduciable, un constituent typologique irréduciable, un constituent irréduciable, sont des subcautions, toujours subcautions de la série principale localéanétique. La série principale localéanétique. Donc, des choses comme, de Borel à G, L, N, des personnages, mais tu prends les fonctions localéanétiques à l'aide des fonctions smoothes. Donc, je ne vais pas définir en détail ce qu'est la représentation localéanétique, parce qu'il n'y a pas trop de Simon, et je pense que ce n'est pas nécessaire de comprendre ce que je vais parler. La main input, c'est que les maps orbitaires, G va au GV, sont localéanétiques en fonction du groupe GLNQP. Mais, bien sûr, tu as aussi besoin d'une topologie, donc c'est le tout un issue technique, il y a beaucoup de techniques, mais tu dois y aller. Donc, il y a une topologie, et c'est comme que l'Omega I est en fait un espace frais. Ok. Et puis, ce n'est pas terminé, un petit peu, peut-être en même temps, peut-être un petit peu plus tard. C'était entre 2000 et 2010. Il y avait un résultat de Jean-François Datt, mais complétée par tu as besoin d'un argument pour faire le travail. Il m'a dit la suivante du complexe, ce temps-là. D de GLN, la distribution localéanétique. Donc, en définition, c'est la fonction localéanétique, la duale de la fonction localéanétique sur GLNQP, avec la valeur de QP. Et puis, je prends la duale. Donc, cela signifie localéanétiques. Tu peux mettre une topologie sur S, ne pas aller dans S, et prendre la continue duale, et cela se trouve à être un ring, ce qui n'est pas très bon, et tu peux toujours considérer l'abstract category, l'abstract category de DGLN module. Abstract DGLN modules, pas de topologie. Donc, ce qu'ils prouvent, c'est que Omega est isomorphique dans l'abstract category. Donc, aucun Omega I peut être vu comme un module d'abstract DGLN. Et donc, le tout complexe est un complexe de module DGLN. Donc, vous pouvez le voir dans l'abstract category et dans l'abstract category d'abstract DGLN modules, cela s'exprime. Donc, vous avez un isomorphisme, de 0 à n-1, de V, P, n-1-i, d'infinité duale, et c'est un changement, bien sûr, dans l'abstract category de DGLN modules. Ok. Et la question que j'aime ici, bien, c'est une question naturelle, à moins, la question, peut-on trouver explicitement toutes ces splittings, pas seulement en travaillant dans ce très abstracting, mais seulement en utilisant des complexes très concrètes d'explicites représentations locales qui sont des langues finales, de principales séries, etc. Ok, peut-on faire cela explicitement ? Peut-on trouver explicitement toutes les splittings en utilisant, bien sûr, vous devez dualiser tout, des joues de complexes de langues finales locales et d'explicites représentations. Ok. Et donc, pour N equals 2, pour exemple, je vous remercie en 1 minute, c'est ok, c'est due au charin. Et c'était aussi en utilisant la suggestion de Genestier, à la Genestier, de l'époque. Et bien, un résultat de cette discussion c'est que c'est toujours ok pour N equals 3. Je me souviens que N equals 3 n'est pas assez, mais je ne sais pas comment le faire pour N. Et bien sûr, vous pouvez générer des pièces pour G.L.N. mais pour G.L.N., les représentations sont plus compliquées, il y a des multiplicités, etc. Donc, vous devez vraiment trouver de nouvelles idées. Encore une fois, on peut commencer avec, oui. Donc, dans ce cas, la catégorie c'est purement abstrait. Donc, l'idée c'est que vous perdez quelque chose parce que vous n'avez pas d'autopologie, et que vous avez unique comme la composition ? Non, non, non, bien sûr, vous pouvez composer avec l'endomorphisme de cette catégorie c'est un borrel, parce que vous avez des extensions entre ces représentations. Mais quand vous avez un, vous avez le automorphisme ici, ok ? Donc, non, bien, c'est... Je comprends, ce n'est pas très satisfait. C'est pourquoi je veux... Je vais vous donner le cas de G.L.N. C'est simple, et vous voyez ce que je veux. Je vais vous donner le splitting pour G.L.N. C'est le cas de G.L.N. Ok, c'est pour vous pour N.N. vous avez une description d'Omega. Vous avez... vous avez donné une description semi-explicit pour G.L.N. mais il définit la filtration mais les pièces gradées ne sont pas réduisables. Il y a du travail pour comprendre en général, mais pour N.N. 2 et 3, nous avons la description d'explicit de la complexe. C'est exactement comme ça. Omega 1 0 après. Et c'est exactement comme ça. 1, C dual, maps to C dual, Steinbeck 2 infinity dual où C est un principal série local de G.L.N.2QP un principal série local de G.L.N.2QP local de G.L.N.2QP Et donc ce que je veux dire, c'est que c'est un continuous dual et donc ça veut dire une extension non-split non-split extension donc ici ça veut dire qu'une est un sub-objet je veux dire, une est la A0 de toute façon, donc ça doit être un sub et il y a une extension non-split avec des joues de des principales séries locales et ça map pour voir la même joue juste par, vous savez, par 1 et le co-carnal est le Steinbeck donc vous avez la cohomologie. Et donc vous voulez expliquer ça avec le splitting vous pouvez aller là-bas donc utilisez le PAD-CLOG utilisez le PAD-CLOGARISM pour sort de coller les 2 représentations ensemble PAD-CLOGARISM pour coller et ce que je veux dire c'est qu'il y a une famille de représentations qui sont comme ça dépendant du choix d'un branch de PAD-CLOGARISM donc ils dépendent du choix de LOGP en QP ok, donc il y a une représentation donc je ne vais pas, je veux dire que vous le trouvez en utilisant le LOG, ce n'est pas très mystérieux LOGARISM donc un est un sub quand vous mettez le C, le dual est le sub et quand vous mettez le co-carnal, vous avez le Steinbeck et donc ici vous avez le splitting oh oui, ok, donc pour construire le splitting, je n'ai que peut-être que je dois remettre ça avant évidemment j'ai le complexe concentré en 1, invéde en omega, parce que c'est juste l'H0, donc je n'ai que pour construire un morphisme de ceci à omega, qui induit un isomorphisme sur H1 je sume avec 1 et j'ai mon isomorphisme, ok, donc c'est la seule chose que je dois construire, un isomorphisme sur H1 et donc, je vais le donner pour vous ok, nous faisons ça et en fait, cette map 0 de Steinbeck c'est omega ok, donc ici, la map omega est juste obviante, c'est l'identité ici, et ici, vous avez juste modifié en 1 et ici, la map de Steinbeck est aussi obviante je veux dire, ça va 0 et vous modifiez par ça et évidemment, c'est un isomorphisme parce que vous avez l'isomorphisme sur H1 et donc, c'est votre map, et quand vous avez ça, vous avez fait et vous avez tous les sprités comme ça parce que, vous savez, tous les sprités sont basé par un parabolique donc il y a un paramètre unipotent unipotent mais c'est juste par le log c'est un X1, vous pouvez vérifier ok, donc maintenant, nous voulons dire GL3 faire la même chose pour GL3 et vous pouvez utiliser le log je veux dire, vous pouvez faire un petit peu pour GL3, mais à un moment vous êtes en train donc, première, je vais vous donner la description du complexe pour GL3 qui arrive de tous les travail, GL3 n'est encore pas trop compliquée, donc vous pouvez faire les choses assez explicitement donc, c'est, bien sûr, un petit peu plus compliquée, mais ça ressemble à la suivante donc, le O c'est un genu en isomorphisme pas dans la catégorie de derived, ça signifie le complexe donc, il y a un C1 dual C2 dual maps 2 donc, C1 dual C3 dual, donc ici vous avez VP1 dual smooth dual il y a un C2 dual, je pense il y a quelque chose qui est assez simétrique comme ça, C4 dual et le dernier c'est C3 dual sorry, une extension C4 dual et le dual de la smooth et c'est votre complexe où les CIs sont des constitutions irrésumables de la série principale de GL3 donc, pas encore les séries principales, seulement la série irrésumable mais vous pouvez faire cela très explicitement donc, je ne vais pas le faire ici, je veux dire mais tout est très explicitement donc ici, bien sûr, le map ici est modifié par 1 et ça va là et puis quand vous avez le kernel ici, vous avez seulement ce mod de l'image, donc vous avez VP1 et ici le map de là c'est juste modifié par ça donc ça se modifie dans C3, C4 et le H3 est le H2, sorry, c'est votre point de vue non, non, non, oui, oui, oui dans le milieu, j'ai le H3 oui, ok, donc je devrais faire ça clair donc, c'est un sub quand j'ai modifié par ça j'ai directement des 3 guys avec une extension non-split et quand j'ai modifié par ça j'ai une cauchembe non-reducible ok, ça toujours signifie une extension non-split pour moi donc si vous voulez construire une splitting de ce complexe vous pouvez avoir une une sur le niveau 0 qui investit en Omega et vous pouvez aller plus loin par la même idée pour GL2 donc laissez-moi donner l'explicité, parce que ce n'est pas c'est juste la même idée donc vous pouvez constructer un morphisme dans la catégorie DRAF induisant un isomorphisme sur H1 comme vous pouvez le voir en utilisant le log encore une fois 1, C1 dual, C2 dual maps 2 vous sortez de l'incorporation partie et vous pouvez l'incorporer comme ça C2 dual et puis vous avez 0 après ok, donc je peux l'incorporer 1 partie sur cette partie et cette map est 0, V, P1, dual 0 bien évidemment, dans l'explicité et cette, vous pouvez vérifier aussi les maps naturelles sur Omega et cette induisant un isomorphisme sur H1 ok, donc cette est votre section de toute façon maintenant le problème c'est que si vous voulez faire la partie Steinberg alors apparemment vous avez été stocké, je vous ai été stocké pour beaucoup de années sur cette, même si vous pouvez trouver cette étude d'être stocké mais je suis stocké je vais vous expliquer pourquoi je suis stocké donc je veux maintenant je veux construire un morphisme dans la catégorie de derived du lieu de Steinberg placé en degrés 2 2, Omega 1, 2, 2, 2, 2, 2, Omega pour que ça induise un isomorphisme sur H2 et si vous essayez de faire la même idée, vous fallez sur le problème vous voulez vous avez toujours voulu des représentations, mais ça n'existe pas donc cette représentation ici VP1, dual C2 dual C4 dual n'existe pas avec une extension non-sprit n'existe pas ok, donc si ça existe, ça devrait être terminé ça n'existe pas parce que ça n'existe pas ça n'existe pas ok, donc oui, j'étais stocké par ça pour un moment et en fin la façon dont le split est venu de la théorie numérique des spaces de formes automorphiques donc je vais me reminder je vais commencer quelque chose qui a priori il est disconnecté de ça je vais revenir à cette map, à la fin de mon parler parce que ça sera beaucoup plus naturel je pense donc spaces de formes automorphiques pour beaucoup de ans les gens comme Peter Schneider, moi et d'autres on a essayé de trouver des représentations locales de GLN, GL3QP et on a des espaces favoris peut-être pas Peter mais au moins l'I qui ne sont pas très intéressés pour les gens qui font des formes automorphiques parce que les groupes sont compactes à l'infinité, les variables de dimension 0 les formes de trace sont probablement triviales mais on juste focussons les représentations des représentations de toutes les difficultés classiques parce que nous espérons que les représentations de Piédic seraient les mêmes dans un contexte plus compliqué donc je vais vous donner les espaces qu'on veut considérer ce qui peut sembler un peu étrange c'est juste parce que nous avons les difficultés de toutes les autres pour focusser sur la question de Piédic donc ici sont ces espaces S c'est les espaces vanard donc je définis les espaces de fonction de G de finite adhérés de F mod G de Q de la gauche, mod de l'open-compact de la droite pour E où donc E est une extension finite de Qp en fait pour la purpose de leur stock probablement on pourrait prendre Qp mais en général on a une extension finite G de Q est un groupe unitaire qui est compact à l'infinité donc GxR est un de R et split à Pi Gqp est GLN Qp GLN de Qp parce que nous voulons regarder les représentations de GLN Qp donc nous voulons être split à Pi et en fait G devient GLN G GLN sur des quadratiques sur F qui est un quadratique imaginaire quadratique extension de Q qui est split à Pi ok et Up est un groupe compact à l'infinité de G de la finite à l'infinité de Pi ok et je pense que c'est tout donc vous avez un espace de fonction, donc c'est un set de finite profine donc c'est un espace banar et il est enduré avec une section de GLN Qp juste en multipliant sur la droite donc vous pouvez multiplier sur la droite mais toutes les métriques de GLN Qp ça vous donne une action continue ok, c'est un espace banar et nous utilisons comme un laboratoire pour faire des expériences c'est comme je le vois en ce cas comme suivi donc nous commençons par une représentation galore un modulaire, une représentation automorphique et on va prendre un espace pour voir qu'est-ce qu'il y a donc je vais me fixer Ro de Galois Q bar par F pour GLN E qui est absolument irréducible et automorphique pour G continue, continue, continue continue, c'est un C c'est un C c'est un C et le norme est le soup? le norme est le soup ok, c'est un profiléon c'est compact donc à la force du p il s'entend dans les intergènes le balle unit est le match dans le rang des intergènes ok parce que c'est compact ok, donc maintenant G est compact tu l'as vu? oui, oui, oui oui, oui c'est le mongol c'est une bonne hypothèse mais tout de suite, la représentation est très non triviale, comme vous le voyez c'est le point absolument irréducible plus automorphique pour G donc d'ailleurs, cela implique de très bases théorèmes mais classiques maintenant la restriction de Ro de Ro de Ro de Ro avec des droits distincts ok et donc comme je l'ai dit, nous utilisons ces spaces pour ces rôles nous associons une présentation localisée qui priori dépend de la rôle même si on l'espère que ça seulement dépend de la rôle P mais on est très fort à savoir par définition, ce sont les suivants de la présentation localisée donc nous prenons un espace correspondant donc c'est un espace de Ro donc il y a un algibre commutatif actif sur cet espace en regardant les places qui sont totalement expliquées dans G et F et en ramie dans Ro et U il y a un espace d'algibre commutatif donc on peut prendre un espace de Ro Ro et les vectores localisées par définition c'est ces V dans un espace de Ro comme la map de G et V est localisée sur GLN QP ok c'est une présentation localisée c'est un espace de Ro qui est totalement mystérieuse quand on ne parle pas de GLN QP ok, donc maintenant, je vais mettre moi-même dans une situation spécifique parce que j'ai cette complexe de Drenfeld donc je vais assumer que je suis dans le Steynberg case ce sera un peu plus simple et je vais aussi assumer que tous mes weights de Hot State sont concentrés donc je vais assumer que 1 par les correspondances localisées de l'anglais appris à la représentation de Ro vous avez le Steynberg donc sur le twist sur le twist et je vais assumer 2 que les weights de Hot State de Ro sont N-1 N-2 0 peut-être de la shift je n'aime pas le twist je n'ai pas le droit de me faire des erreurs mais il y a probablement de la twist et de la shift sur le place mais ce n'est pas très difficile de le faire je vous rappelle aussi peut-être que c'est un peu de clarification que cette représentation de Ro ici c'est juste on l'a vu hier-bas le DST de Ro c'est BST danser QP RoP invariant sous Galois QP bar par QP qui est un E-Vectorspace et c'est c'est juste de la Ro mais on n'oublie pas la filtration c'est juste d'avoir un E-Vectorspace mais on n'oublie pas d'avoir un E-Vectorspace et d'avoir une représentation de Ro ok donc j'aimerais rester dans la conjecture j'ai un E-Wending maintenant dans cet état spécifique peut-être ici donc nous sommes concernés d'en comprendre et l'idée est que tout ce qu'il y a dans cette représentation sera intéressant j'espère donc j'ai une conjecture avec E-Wending qui n'a absolument pas dit ce qu'il dit parce que c'est très compliqué et peut-être que ce n'est pas une bonne idée pour essayer d'expliquer mais nous expliquons à vous une petite partie de la conjecture avec un E-Wending dans la Béginine donc pour chaque J dans 1 n-1 il existe des langues finies dans la composable tout ce qui est trop politique dans la composable de la représentation de D-L-N-Q-P sur E fait de donc la représentation locales j'ai dénoncé par Pi-J cette conjecture locales la représentation locales seulement fait de la subquestion de la série principale fait de la subquestion par laquelle je veux dire les consignes irréducibles sont un subquestion de la série principale locales fait de la série principale de la série principale locales donc les consignes irréducibles je veux dire ce n'est pas un problème d'understaurer la consignes irréducibles le problème est les extensions oui des consignes canadiens peuvent être trouvées par parabolique la série principale d'induce de Borrel il y a des choses claires et pour un moment vous avez vraiment besoin de Borrel fait de la subquestion de la série principale et et un naturalismorphisme peut-être que je dois dire un isomorphisme il devrait être canonique à la multiplication par un scaler non-zero et un isomorphisme les deux seulement selon J j'ai fixé mon présentation c'est le Steinberg ce qui est fixé ça doit seulement dépendre de J en fait et j'ai aussi fixé mon hodge-late-weight donc les deux ce présentation et l'isomorphisme sont seulement dépendant de J donc entre x1 glnqp pi avec le Steinberg donc je regarde toutes les extensions de pi J par le Steinberg ce doit être isomorphique à lambda et minus J de la représentation de Ro-P comme ça n'importe l'embêtement de mon Steinberg dans cette représentation mystérieuse ici vous savez qu'on a des embêtements parce que c'est juste la partie smooth et la partie smooth est élevée par la théorie classique donc on peut avoir même beaucoup d'embêtements selon la prime-to-p Ro-n extends pour un embêtement avec un certain extension avec le J par P de Ro-n où cette extension est la seule pour un embêtement peut-être que je vais ici où cette extension ici qui sort de l'extérieur est la seule map à la ligne donc c'est le point fil minus N minus J DST qui fil minus N minus J plus 1 DST jusqu'à la dernière étape fil minus N minus 1 DST ok donc on a une extension de non-speed donc ça vous donne une ligne dans l'extérieur et sous cet isomorphisme ça doit être map à une ligne ici et cette ligne doit juste être donnée par la dernière étape pour que l'induce haute-filtration soit identifiée avec BST et Ro-P ok donc en particulier, ce que ça veut dire c'est que, après les vectors vous avez une extension avec quelque chose qui ne dépend pas de la haute-filtration mais cette extension dépend seulement de cette partie de la haute-filtration et vous avez la haute-filtration pour tout J oui, ce n'est pas ça, ce n'est pas ça c'est l'image ok, tous ces spaces sont incluses en l'une et l'autre donc au final vous avez une ligne ok c'est juste la dernière étape de la haute-filtration naturellement indusée sur ce gars qui devient une ligne donc on a un théorème avec Yuen une partie de théorème je veux dire, un théorème qui est une version de la conjecture pour N equals 3 ce que je veux dire et donner quelques idées ah, peut-être que je ne dois pas... oui oui l'expérimentation ou vous avez... bien... c'est ok, donc c'est ok pour N equals 2, en utilisant tous les résultats qu'on a pour GL2QP non, bien... comment je peux répondre en partie oui, tous les exemples j'ai satisfait c'est-à-dire tout ce business un constituant plané mais ici c'est vraiment pour la haute-filtration c'est ce que je... ce que peut-être ok donc on a un théorème avec Yuen qui a déjà, je veux dire, le spot n'est pas nouveau théorème 2 avec Deng donc on assume N equals 3 ok puis donc on a seulement J equals 1 et 2 puis pour J equals 1 et 2 il n'y a pas il existe il existe pi J satisfait un isomorphisme je veux dire, on a aussi un isomorphisme un isomorphisme comme ça comme que d'autres embêtements d'une pi P de Roan s'étendent d'une seule extension donc vous avez cette embêtement de Roan pi J qui s'étendent de pi P Roan et la seule chose qu'on ne sait c'est qu'une seule extension où cette extension seulement dépend seulement dépend et détermine la ligne là-bas donc fil minus 3 minus J Wage Wage, fil, je pense que ça s'arrête à minus 2 mais on ne sait pas très rapidement comment vous pouvez construire une extension mais la preuve ne vous dit pas que l'image de cette extension ici est exactement cette ligne, vous pouvez avoir des signes minus des combinations linéaires des variants de l'alien, quelque chose comme ça que nous ne savons pas mais nous savons que ça seulement dépend et détermine en un sens cette ligne, ça vient de la preuve donc je vais vous donner très rapidement des idées de la preuve parce que cette pi J sera la chose qui est nécessaire pour expliquer le complexe je veux dire, à un moment de oublier l'étude globale mais c'est bien de voir d'où ça vient donc je vais vous donner des idées de la preuve ce qui est nécessaire dans la preuve pour faire la pi J une forme naturelle peut-être des idées des idées de la preuve donc je vais je veux seulement définir cette extension ok, je ne vais pas vouloir prouver que c'est la chose qui s'occupe dans le contexte globale mais juste pour définir, une fois que nous avons fixé la pi donc nous avons fixé la pi et par contre, nous devons tourner la pi toujours a la forme suivante je veux dire, si vous regardez mes assumptions où la pi epsilon est la piédique ciclone piédique ciclotomy caractère et oui, c'est la table la piédique 012 donc il doit être comme ça et par symétrie je vais seulement traiter J equals 1, J equals 2 est symétrique ok donc nous commençons avec le premier point le premier point c'est d'utiliser tout ce qu'on peut d'un gl2qp et d'induce, c'est une idée très raf ici, tout sur la piédique ok, donc par exemple, on peut considérer la suivante représentation ok, c'est le premier square ici, qui s'inverse dans la piédique c'est la représentation de dimension 2 donc nous savons qu'il y a un gl2qp représentation associée à cela donc nous avons la pi p, ou même la piédique pi de pi p1 l'analytique c'est le local l'analytique représentation de gl2qp associé ok et nous avons plus parce que dans le gl2qp il y a des résultats fortes en utilisant tous les résultats de ces gens en fait, c'était le cas que j'ai pensé très longtemps en fait, c'est un cas particulier et puis il y a tous ces résultats de Colmais, de Merton et de Peter Schneider donc il y a aussi un isomorphisme sur le x1 mais au niveau de gl2, bien sûr donc si vous regardez le x1 de l'isomorphisme local avec lui-même l'infinitisme ou des déformations il y a un isomorphisme naturel avec le x1 sur le galois galois qp bar qp pi p1 pi p1 c'est un isomorphisme de 5 dimensions pour les espaces ok, donc c'est une chose maintenant je vais donner mon deuxième point donc l'idée qui se termine à travailler dans ce contexte c'est d'utiliser un pairing poitouté donc je vais faire un petit pour ici je suis seulement sur le galois pour cette partie donc nous avons le parfait pairing le suivant, le parfait pairing entre x1 1 pi p1 ok, donc c'est le prochain de la galois qp bar avec les representations avec le x1 de pi p1 epsilon, le caractère piédicique qui apprécie 1 epsilon qui est E et c'est le parfait pairing de 3 dimensions pour les espaces ok, maintenant vous vous rappelez de toutes ces représentations nous pouvons les voir comme des modus de 5 gamme sur le ruban par contre les modus de 5 gamme sur le ruban ont été introduits par Fontaine il y avait Charbonnier qui travaillait sur ça et toute la théorie était travaillée par Charbonnier, Colmez, Kedlaya, Berger et beaucoup d'autres des gens donc en tout cas vous pouvez toujours répliquer la représentation galois par le module de 5 gamme sur le ruban ok, donc en particulier j'apprécie que cet parfait pairing induisant un autre parfait pairing de 2 dimensions pour les espaces mais vous devez aller par les modules de 5 gamme sur le ruban pour voir ça donc je vais le faire à la route P1 cross x 1 5 gamme Ah non, je prends l'extension hot state ça c'est un point de question mais je n'ai pas le temps de le faire mais c'est un point de charge route P1 en rebarrant fait par epsilon x pour E donc très rapidement cet homme vous pouvez le voir dans le ruban de maître 1 à l'élément T qu'est-ce qu'il y a d'aujourd'hui. Et donc par fonctionnalité, vous avez un maître de là à là, qui semble être réjectif. Donc, c'est deux-dimensional. Donc, ce gars est un quotient deux-dimensional de celui-là. Et ce gars, vous pouvez vérifier juste par la même fonctionnalité qu'il y a un subspace deux-dimensional de celui-là. Donc, on a un parfait parrain qui induise un autre parrain entre le quotient deux-dimensional et le quotient ici et le subspace deux-dimensional ici. OK, bien, on a ça. Maintenant, je vais retourner vers le GL2QP, même le GL3QP maintenant. C'est le premier point. Je vais mélanger les deux. Donc, c'est trois. Donc, on utilise une plus parabolique induction, ce qui concrètement signifie que si on a une extension comme ça, donc, c'est ma notation. Pi p, pi of rho p1, rho p1 and, comme ça. Bien, nous paraboliquons l'induce. L'induction de l'induction est exacte. Donc, vous en avez encore un x1, un élément en x1. Nous induisons de la borale P1QP, ce qui est l'un que j'ai introduit, le GL2, GL1, GL3, pi of rho p1 and. Donc, c'est bien sûr une induction parabolique de localité. Et la même chose. Donc, vous pouvez jouer ce jeu. Vous commencez avec une extension, vous en utilisez parabolique. Et ensuite, il y a beaucoup de conséquences irréliables qui arrivent dans ces inductions paraboliques. Donc, en particulier ici, comme un sub, vous avez l'autre sort de Steinberg, où q1 est GL1, GL2, 0, c'est à dire que p1 est GL2, 0, GL1. C'est en fait un sub ici. Et ici, comme un sub, ce n'est pas un sub, je ne sais pas comment le dire, mais comme un sub, nous avons la suivante représentation. Donc, je vais utiliser la notation précédente. Donc, nous avons le Steinberg. Et ensuite, nous avons quelque chose comme ça. C4, C3, vp1, infinity. Donc, ces gars sont les mêmes que ceux qui apparaissent dans mon complexe, qui est là-bas, ici, là-bas. Mais il y a un autre, C5, qui je pouvais aussi décrire, qui est aussi un consistant irréliable dans la série principale. Ce n'apparaît pas dans le complexe de Durham. C'est le point. Ok, donc, vous pouvez, et puis, en jouant avec beaucoup de bouche, et poursuivre et poursuivre. Alors, en jouant avec le boule, plus poursuivre et poursuivre. Vous pouvez évaluer l'homophison entre la X1, en utilisant entre ces choses. X1, pour le Del3 cette fois, la VQ1, infinity, et ce gars. C4, C3, Vp1∞c5, ce qui est en train d'être asomophique à l'extension de la haute state. Donc, ce n'est pas un facturiel, parce que vous devez utiliser les résultats de Dospinescu, la haute state entre la règle de pi1 et l'arrêt de epsilon x. Donc, nous avons terminé avec quelque chose comme ça. Et maintenant, on est presque terminé de construire une extension comme là-bas, en regardant les suivants. Non, peut-être que je peux l'utiliser maintenant. Donc, nous commençons avec la rôpée. On voit notre représentation de rôpée comme la prochaine, en utilisant la rôpée pi1 et la représentation tribe. Ok. Donc, on commence avec la rôpée. Donc, on commence avec la rôpée et on voit la rôpée pi1 comme l'élément de x1 de la rôpée pi1. C'est ce que c'est. Vous devez apprécier ça sur le x1, comme je l'ai dit, dans le monde de gamma modus de r e de x de la rôpée pi1. Ok. Donc, ça vous donne un élément. Je vais me coller le u de la rôpée pi1. C'est une ligne. C'est deux dimensions. C'est une ligne, une subspace dimensionnelle. Et ensuite, vous utilisez l'arrêt de votre x1. Et vous utilisez l'autogonal. u de la rôpée pi1. C'est aussi une ligne dans l'élément de x1 de la rôpée pi1 et de la rôpée pi1. R e de la rôpée pi1. Ok. Donc, c'est une ligne parce que les espaces sont dimensionnels 2. Donc, l'autogonal de la ligne est toujours une ligne. Et puis, c'est isomorphique pour votre x1 pour gl3, ce qui est là. Ok. Donc, ça signifie que la ligne que vous avez donne à l'isomorphisme une extension unique de la rôpée pi1. Ok. Donc, vous en avez comme ça, une extension unique Pour Manchester-Beaard A Ley öz du bacon C4. C3 vp1 d'infinités C5. Et, vq1 OK. Et ce 이 ce Strike Est en permanence c'est l'gi21ционale difícil Parce que vous pouvez interviewer rodeau constituant c'est parfaitement le temps de finir ma application. Donc, maintenant, l'idée est que cette chose semble être intéressante. Donc, on va essayer de placer dans le complexe. Et c'est vraiment comment les choses se passent. Et c'est ce que vous pouvez faire. Vous commencez avec un récolteur que je veux que vous ayez 0, le dual du Steinberg, placé à niveau 2, sur l'un de l'autre, et sur l'autre côté de l'oméga. Je veux construire une map dans les catégories de dérives, qui induisent un isomorphisme en H2. Et je veux aller, comme je l'ai fait, par un complexe explicit ici, qui est lié à tous les maps. Et qui est un isomorphisme quasiment ici, et qui naturellement ne tourne pas à l'oméga. Ok, donc pour le début, nous avons juste de copier ce qu'on a. Parce qu'on n'a pas... Il n'y a pas de choix, pour cette partie. Et pour cette partie, si vous dualisez tout, cette partie, le dual de cette partie est dans le complexe. Donc, la idée est de juste ajouter ça, sans juste essayer. Et c'est vraiment espérant que c'est intéressant, donc il y a quelque chose d'intéressant. Donc, let's write the dual of this. We get vq1 infinity dual, c5 dual, c3 dual, c... Non, sorry, vp1 infinity dual, c4 dual and Steinberg 3 infinity dual. Ok. And we want something which only has comology in degree 2, and being the Steinberg. So, remember, we had this problem that we could not glue. So, ok, let me write it c1 dual, vp1 dual, c2 dual, and we have this c4 dual. So, this representation, as I told you, doesn't exist. So, it looks like you've made things worse by adding these two guys. But in fact, you can prove, now there's a small miracle that happens, that if you add these two constituents like this, so vq1 infinity dual, and yeah, you put c5 dual. So, this is just this thing that I want sort of to compensate. And then I have to put an extension here and here. Then you can prove that there's a unique such representation. There exists a unique local magnetic representation which has this form. Ok, so the sub is one. When you mod out, you have c1 and vq1 dual as a sub. When you mod out, you have these three as a sub and so on. Just follow the non-speed extensions. There exists a unique such representation. And then, this is a complex. Ok, so, sorry, sorry, sorry, sorry. Yeah, yeah, this is three here and two here. The words that would be. So, this part goes here. And the map here, you just take the other part. And this naturally maps to omega. We can check. This is the identity here. To go to the part in the middle, you just mod out by this part. And to go to the last thing, you just mod out by this. And, well, you can check this. Quasir as a morphism was here. So, you get your section. Ok, so the thing is, and you get all splitings like this. Ok, because this representation actually depends on two parameters. This, you can prove. You had the former section with a VP1, which depends on some log. And you get your three parameters which gives you all possible splitings. Ok. So, the only new feature for GL2 is that this, you have to add these two things to make the thing work. And these two things do not appear under the RAM complex. So, you have to, wow. For GL2, you just have to glue. So, I don't know how to do this for GLN, for N, bigger than 4, because representations are too complicated. I mean, you cannot do, you have to make more clever arguments. It can be so explicit. But you can guess what you have to do. You have to glue some parts together. And for this, you may need to add some extra constituents. But you also need to add some extra constituent to compensate the constituent. You added to glue the degree before. Ok, so, but now, I don't know how to make this less explicit and more conceptual. Ok, so, I guess, two minutes later. Qu'est-ce qu'il y a, les questions ? I have a very nice question, so, very long ago, we had some criteria to work for a complex to be decomposable indeed. So, the morphism of degree 2, for example, is inducing a certainismorphism from the HN side to HN plus side. So, some kind of religious operator, or a family of PI from X to X, or some kind of homology, you get a data ID. So, there's some, I'm struggling. So, I have no idea, probably you tried, but there is no interesting endomorphism or even in the derived category. You mean, endomorphism of... Well, the derived complex, you know the endomorphisms. This is what I answered. No, but also in the derived category. No, I don't... Stoom, for example. No, I don't think I know this. Derived category. I can't tell you where the splitting of that is coming from. It's just coming from some X i are 0. For instance, X 2 between VP 1 and Steinberg, smooth is 0, something like that. So, he uses things like that. So, I don't know if it's the same thing as Delin's thing, which I don't know, but... Two theorems in Delin's paper. One is about some kind of glitches operator, probably you don't have that. The other is about the family of endomorphisms, but also in the derived category. The family pi i is that fj of pi i is delta fj. I don't know. Probably, when n comes bigger and bigger, you would need maybe some general... I don't know, but I suspect, in a way, that probably with Delin, he's probably some abstract statement, right? Anyway, he doesn't construct explicitly... Does he construct explicitly the splitting with explicit complexes and so on? No. I don't know, I don't know in that setting. I have no idea in that setting, but I'm curious to learn. C'est pas la structure, c'est le méga et l'endomorphisme, il y a plus d'optérateurs... Je vois, je vois. Parce qu'on veut vendre le Steinberg minus 2 en 2, et c'est très fort, oui. Oui, en général, oui. Bien, pas seulement le Steinberg, quand tu es dealé avec GLN, tout le species précédent est aussi... Oui, mais tu es dealé avec X1, X2, X3, X4, c'est beaucoup plus... Donc, il n'y a pas de temps, c'est de manière systématique. Ok, je dois vérifier ça. Merci. Louis? Dans cette situation, si je comprends correctement, dans l'espace de Bayardique, tu as juste l'origine originale, tu as aussi un smooth représentation à l'intérieur. Oui, c'est le smooth Steinberg. Oui, si tu as des bonnes choix, tu peux manéler que la partie smooth n'est qu'une copie de le Steinberg. Probablement, oui. Donc, une copie de multiplicité, oui. Donc, c'est tout ce qu'il y a. Je veux dire, c'est la seule copie de smooth. Oui. Bien, tu peux réussir à avoir une copie de multiplicité, la copie de smooth, probablement, par augmenter l'up. Oui, mais tu arranges le niveau minimum. Oui, oui, oui. Tu as seulement une copie de le Steinberg. Oui, mais non, mais ça veut dire que tu as une copie aussi que l'extrême. Je ne sais pas. Qu'est-ce que tu as ? Ok, donc ce que tu as c'est que si tu as des copies de le Steinberg, c'est ce que tu as, d'ailleurs, ce n'est pas spécifique pour le Steinberg, c'est ce que tu as. Non, mais je ne sais pas, je ne sais pas si tu as ce qu'il y a dans ce base de l'agent, ce que je veux dire, c'est que tu as des copies d'extensions, c'est tout ce que l'Amaga m'a dit. Ok, c'est tout ce que je dis. Je ne sais pas si c'est ce que tu as. Ok, c'est que si tu as des copies d'extensions, c'est ce qu'il y a. Et puis ? Et puis ? Tu as dit que tu as plus d'extensions. Non, non, non, ce n'est pas spécifique. Non, ce sont des copies d'extensions. Non, c'est que tu as des copies d'extensions. Ok, mais la seule chose qui sera en ce cas, en multipliant un et les autres, c'est peut-être juste ce qu'il y a dans le Steinberg, c'est ce qu'il y a. Les copies d'extensions seraient seulement ce qu'il y a dans le Steinberg, je pense. Ce n'est pas spécifique pour le Steinberg, par the way. Oui, aussi si tu as des autres... Oui, avec de l'assemblée. Ok, merci. Merci encore pour l'exposé.