 C'est le casuicost automata, une nouvelle variante de fausse. C'est le joint-work avec Michael van den Boeum. Le but de ce travail est d'étudier la théorie des fonctions régulaires, qui est l'extension de la notion de langues. C'est de la fausse que nous avons déjà étudié un peu de problèmes par rapport aux langues, en considérant ce genre de fonctions. Pour définir ces fonctions, nous pouvons les définir sur des arbres, qui peuvent être finites ou infinies. Pour définir ces fonctions, nous pouvons utiliser des variantes comme automata, logique ou algebres. Comment pouvons-nous utiliser un automaton pour définir ces fonctions? Nous commençons par un automaton nondeterministe, mais nous ajoutons des compteurs qui commencent à la valeur 0. Et sur chaque transition, nous pouvons faire des opérations sur les compteurs. Il y a un increment, nous ajoutons une pour la valeur du compteur. En résettant, nous étudions la valeur sur la valeur 0. Donc, basicalement, nous regardons la valeur et nous la mettons dans une bague pour la utilisation des lettres, ou nous serons au-delà de ne rien faire sur le compteur. Et nous allons utiliser cet automaton pour définir une fonction des mots ici pour terminer avec l'infinité de valeur. Alors, comment fonctionne-t-il? Il y a un thématique qui s'appelle le b-thématique. Donc, quand nous regardons un ronde d'un automaton nous pouvons regarder toutes les valeurs checkées par le ronde. Et nous voulons juste remercier le maximum pour donner une valeur sur le ronde. Et le thématique de l'automate sera l'infinité de toutes les valeurs de ronde. Pour l'instant ici, nous voulons compter les minimums langues de blocs de A sur le b-thématique. Donc ici, c'est un automaton non déterminique et chaque ronde compute les valeurs de l'un bloc de A. Donc, l'infinité de toutes les valeurs de ronde sera les minimums langues de blocs de A. Il y a un thématique du dual, qui s'appelle le s-thématique, où tout est réversé. La valeur de l'une ronde est la valeur minimum et la valeur entre toutes les valeurs est la valeur du maximum. Donc ici, si nous voulons faire la même chose nous pouvons le faire avec un automaton déterminique qui ne compute que chaque bloc. Donc il n'y a que l'un ronde et nous collerons les valeurs de chaque bloc et la valeur du ronde sera l'infinité de toutes les valeurs de blocs. Alors, on sait que c'est indécidable que deux types d'automates compute la même fonction. C'est pourquoi nous voulons relaxer ce que nous voulons décider. Et maintenant, nous voulons juste regarder si deux fonctions sont bondées sur le même set. Et c'est indécidable. Donc, ce que nous allons décider c'est une classe équivalente pour cette relation. Par exemple, ici, si A est représentée par la curve grise et B par la bleue A et B n'ont pas les mêmes valeurs mais elles sont équivalentes. A l'autre côté, ici, si nous prenons pour A cette ligne le set de red dots sera un exemple de set où A n'est pas bondée mais B est bondée c'est une hausse qui prouve que A n'est pas équivalent à B. Donc, maintenant, toutes les fonctions seront considérées par cette relation équivalente. Donc, cela a provoqué d'être utile par le passé parce que nous pouvons décider un peu de propères langues régulaires sur des structures. Donc, je vais passer à cela. C'est un type d'automatage qu'on doit décider. Maintenant, nous allons être intéressés par l'input structure par Sigma Label l'infinite trise qui est un cas particulier de construction. Donc, comme avant, nous pouvons définir un dual B et un S mais maintenant, nous allons définir les fonctions de trises à la union de l'infinité. Nous pouvons mettre d'autres conditions que nous voulons sur l'infinite trise donc cela pourrait être B, C, B ou quelque chose qui fonctionne sur l'infinite trise. Maintenant, le problème est que nous ne savons pas qu'il soit décédable pour ces fonctions. Nous devons regarder les subclasses. Le premier remarque est que si nous prenons un automaton A qui n'a pas d'infinite trise et nous voulons considérer le B ou le S automaton, cela définirait la fonction caractéristique de l'infinite trise comme un automaton S où la fonction caractéristique est définie comme cela. C'est pourquoi nous pouvons considérer que le switch entre le B et le S est comme une complémentation des fonctions. Nous pouvons remarquer que l'équivalence entre la fonction caractéristique de l'infinite trise est la même qu'à l'équalité de l' fraction caractéristique de l'inter meno et c'est une fonction caractéristique pour les les fonctions. On va lamps Rochester. D'ici il y a pour s'observer cewlax que nous swallowons alors quelques dimensions, vous pouvez augmenter la fonction caractéristique de l'infinite, pour今天的 part. La seconde riverside Уisyu Donc, c'est une théorique que nous avons intéressée dans l'extendu, c'est la théorique de Rabin, Kupterman et Vardy, qui dit que c'est équivalent pour une langue pour être tous les deux défenables de bûchis, et que le complément est défenable de bûchis, et pour être défenable par une haute alternation automata, ou équivalent de bûchis par une logique secondaire de monadix. Donc, je vais définir ce qu'est la haute alternation automata ici. C'est un automaton qui est défendu par un jeu. Donc, il a des priorités 1 et 2. Et on forbid des cycles dans la fonction de transition avec les deux priorités. C'est-à-dire qu'il y a une ligue de nombre de temps que l'on peut changer entre 1 et 2 dans un jeu de l'automaton. Et donc, la théorique est acceptée si l'existentiel joueur a une stratégie pour cette théorique. Donc, depuis qu'on veut externer Rabin's theorem, nous devons définir ce qui est l'analogue de cette fonction. Donc, la simple idée est de juste ajouter des compteurs. Donc, on prend un automaton et on ajoute un set de compteurs. Maintenant, Eve est essayant de minimiser la valeur du jeu, et Adam est essayant de maximiser. Et la valeur d'une théorie sera la stratégie optimale pour Eve. Donc, c'est appelé Week B Automata, et ça a été introduit dans le précédent paper par Van Den Boom. Donc, dans le même paper... Oh, c'est assez dark. Il y avait une transition de Week Automata pour les B-Bushies et S-Bushies. Donc, ça montre que la classe de Week est inclusée dans l'intersection de ces classes. Mais la classe a un nombre de bonnes propriétés, comme la closure par un nombre d'opérateurs, et une équivalence avec l'analogue de Week MSO, que l'on appelle Week Cost MSO. Donc, maintenant, la question est... Est-ce que l'on peut externer la CORM en cause-fonction? Donc, est-ce que la classe red est toute l'intersection? Ou est-ce que c'est une inclusion stricte? Donc, pour un long temps, on essaie d'exprimer cette conjecture que la cause-fonction est définie par un Week B Automaton si, seulement si, c'est B-Bushies et S-Bushies. Mais il se trouve que ce n'est pas exactement ça. D'ailleurs, on a dû considérer le Week Quasi-Week B Automata, et c'est la classe que l'admite une caractérisation de Rabin Style. Donc, qu'est-ce que le Week Quasi-Week B Automata? Donc, je me souviens que Week a un nombre d'alternations avec un nombre d'alternations entre les priorités, et c'est l'équivalent de la facture qu'il n'y a pas de cycle avec les deux, les deux et les deux, dans la fonction transition. Donc, ici, nous sommes toujours alternatis B-Bushies. Et nous stillons toujours le nombre d'alternations, mais maintenant, nous sommes allés de faire que ce nombre dépend de la valeur de la fonction. Donc, ça veut dire que si la function de cause est plus grande, le bond peut aussi être plus grand. Donc, c'est équivalent à une condition structurelle, c'est que maintenant, nous pouvons avoir un cycle avec les deux priorités 1 et 2, mais si nous faisons ça, nous devons augmenter la valeur de la fonction, donc nous devons avoir un increment sur le cycle et pas un reset. D'aujourd'hui, cette classe est une extension de la classe week donc nous avons cette séparation de résultats. Donc, pour conclure, donc nous avons montré que c'est un B-B automatique, et pas un B-B automatique qui a une caractérisation de ruban style. Si A et B et tous les procédures sont effectifs, ça signifie que si nous avons un B-B automatique, nous pouvons obtenir un B-B et un S-B et si nous avons un B-B et un S-B, nous pouvons obtenir un B-B automatique. Et d'ailleurs, si A et B sont deux B-B automatique, nous pouvons décider l'équivalent. Donc, la classe est plus expressive. Donc, c'est une nouvelle classe qui est une sorte de symétrique, parce que c'est l'interfection du B-B et du S-B pour laquelle nous pouvons décider l'équivalent de cause-function. Comme la corollerie, nous obtenons que si, en retour aux langues classiques, nous avons donné un B-B automatique non déterministique, nous pouvons maintenant décider si la langue que l'on définit est en fait une langue weak. Et c'est en utilisant une réduction par Colconbert et Lodin. Donc, maintenant, la question principale de cet état est peut-on décider pariti automata qui semble être une question très difficile. Donc, merci.