 Consideremos la clave pública de un cifrado RCA, donde n recordad que es el producto de dos primos P y Q. La clave secreta será el inverso de E módulo phi dn. Recordad que ciframos un mensaje m del anillo de los enteros z módulo n calculando esta potencia de aquí, puesto que E y n son conocidos, es fácil de calcular y es posible de calcular. Desciframos calculando esta otra potencia. La pregunta es si esto se cumple o no. Veamos que sí. La potencia c elevado a la d, puesto que c acabamos de ver que es la potencia m a la e módulo n, podemos expresarlo así. Ahora bien esto es una potencia de potencias con lo cual lo podemos expresar de esta manera de aquí. Ahora bien, sabemos que E y D son inversos el uno del otro módulo phi dn o lo que es lo mismo, E por D es igual a uno más un cierto múltiplo de phi dn, que llamaremos K. No importa el valor exacto. Así pues lo podemos expresar de esta manera de aquí y utilizando las propiedades de las potencias de esta otra manera de aquí. Ahora utilizamos el teorema de Euler y sabemos que puesto que m a la phi dn es congruente con 1 módulo n, tendremos que esta expresión de aquí es congruente a m módulo n. Ahora bien hemos utilizado el teorema de Euler y como bien apuntabais es necesario. Tendremos esta igualdad siempre y cuando m y n sean relativamente primos. Veamos qué ocurre cuando no es el caso. El paso donde hemos utilizado que m y n eran relativamente primos era este de aquí donde decíamos que aplicábamos el teorema de Euler. Veamos que aunque no sea posible aplicarlo directamente, sí que nos permitirá este mismo teorema llegar a este mismo resultado. Si m y n no son coprimos, puesto que n es el producto de dos números primos p y q, querrá decir que o bien m es un múltiplo de p para un cierto r, o bien m lo podemos expresar de esta manera para un cierto múltiplo de q, digamos s por q. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que estemos en este caso de aquí. Esto es que m lo podemos expresar como r por p. Si no, si pues en el otro caso procederíamos exactamente de la misma manera. Supongamos pues que m es r por p. Puesto que es un múltiplo de p y p y q son primos, tendremos que m y q son ahora sí relativamente primos. Pero si son relativamente primos podemos aplicar el teorema de Euler y sabemos que m a la phi de q es congruente con 1 mq. En particular, si consideramos esta potencia para un cierto, para de hecho para cualquier valor entero k, tendemos que es congruente con 1 a la k, pero 1 a la k es congruente con 1, con lo cual lo podemos expresar así. Ahora bien, como hemos hecho antes, si m a la phi de q a la k es congruente con 1 mq, podemos expresarlo de esta manera que acabamos de indicar aquí. Esto es m a la phi de n por q por k, perdón, es igual a 1 más k veces 1 por t, donde t será un cierto entero. Ahora multiplicaremos ambos lados de esta igualdad por m, con lo cual tendremos que m a la phi de n por k por m será m más m por q por t. Pero ahora recordad que estábamos considerando que m era r por p, con lo cual sustituiremos esta m de aquí por r por p y obtendremos esta expresión, pero observar que aquí encontramos una n, esto es, esta expresión la podemos expresar como r por t por n. Así pues, m elevado a la phi de n por k, todo multiplicado por m es igual a m más rt por n. O hablando en términos de congruencias, tenemos que esta expresión de aquí es congruente con m módulo n, tal y como queríamos ver. Así pues, esta expresión no solo se cumple para aquellos valores de m, que sean relativamente primos con n, sino para cualquier valor de m del anillo de los enteros módulo n.