 Donc, oui, nous allons étudier les pentagons, les pièces de pentagons, et nous allons faire ça randomement, les pièces de pentagons randomement. En fait, c'est juste un exemple pour commencer mon tour et ce que nous allons faire, en fait, c'est que nous allons éterrir randomement les défeuillements holomorphiques de complexe des surfaces projectives. Donc, nous allons avoir une surface objective complexe et avoir deux défeuillements holomorphiques de cette surface objective complexe et nous allons appliquer les défeuillements randomement et nous voulons comprendre la distribution des orbites typiques. C'est ce que nous allons faire. C'est partie du joint-work avec Romain du Jardin et c'est un projet en haut. Donc, nous avons encore des questions, nous ne savons pas l'answer. Je veux dire, dans ce projet, même pour les pentagons. Donc, nous allons commencer avec les pentagons. Donc, le premier exemple avec nous sera les pentagons. Vous fixez les 5 reales positifs, donc 5 langues et vous assumez que vous avez un pentagon avec ces 5 langues. Donc, un pentagon est juste une séquence de 5 points dans le plan. Donc, p1, p2, p3, p4 et p5, comme la distance entre p1 et p2 est l1, et puis entre p2 et p3, c'est l2, etc. Donc, la distance entre p5 et p1 est l5. Donc, je fixe la distance et je assume que c'est au moins un pentagon avec ces 5 langues. Mais ce que j'ai fait, c'est un pentagon convoqué, mais ce que j'ai dit, je n'ai pas assumé que le pentagon est convoqué. Les côtés du pentagon peuvent intersexer. Donc, ici, c'est un pentagon aussi. Donc, ce n'est pas supposé d'être convoqué et que les côtés peuvent intersexer ensemble. Et maintenant, sur le espace, j'ai regardé le espace de pentagons avec ces fixés langues. Et j'ai dit qu'il y a un bon système dynamique sur cet espace, qui est donné par le folding de pentagons. Donc, je vais faire une picture. Vous commencez avec le pentagon. Et je vais définir 5 involutions sur le espace de pentagons. Donc, vous fixez un index J entre 1 et 5. Dis que J est 4. Donc, vous regardez le point pJ. Ici, c'est p4. Et vous fixez les 4 points restants. Donc, vous fixez les 4 points restants et maintenant vous movez pJ. Et comment vous faites ça ? Vous faites toute la ligne avec pJ-1 et pJ-1. Et vous faites juste le symétrique de pJ avec respect à cette ligne. Et c'est pJ-prime. Donc, l'induction index J, donc S-J, prend le pentagon p1, p2, p3, p4, p5. Et il bouge. Donc, il fixe tout le PI. Excepte pJ, qui est changé dans la valeur seconde possible pour pJ. Ok ? Je veux dire, la formule que j'ai écrit est... Vous devez m'écouter. Je ne ferai pas le problème. Ok ? Donc, vous avez 5 involutions comme ça. Et bien sûr, ils réservent la ligne à côté. Donc, les involutions actent sur le espace de pentagons avec une ligne. Ok ? Ok, donc la question que je vous demande est la suivante. Donc, vous commencez avec un de vos pentagons que vous aimez. Et vous mettez une ligne avec 5 faces. Et vous trouvez la ligne. Et chaque fois que vous readez le numéro, vous vous appuyez sur la ligne. Et vous appliquez une de ces... Je veux dire, l'involution correspondante. Et votre pentagone s'appuie quand vous appliquez l'involution. Et vous voulez comprendre l'assimptotique de cette séquence de pentagons. Ok ? Ok, donc ce que nous allons faire, en fait, est un problème simple. Ce n'est pas pour la pentagone dans le plan. C'est pour la forme de la pentagone. Donc, je vais dire que deux pentagons sont identiques. Si je peux bouger la première à la seconde, par une isométrie directe. Donc, le espace que je regarde est le espace de pentagons avec ces langues modulées, translation et rotation. Ok ? Et ce que je dis est une surface, ce que je vais dénoncer par X ou X de L1, L2, L3, L4, L5. X est le espace de pentagons avec ces langues modulées, SO2, l'osométrie directe R2. Donc, translations et rotations. Et je dis que c'est une surface objective réelle. Et plusover, les cinq involutions sont les transformations algébriques de cette surface. Donc, je vais dire comme ça. SO1, SO2, et SO5 sont les automorphismes de X qui sont définis par les vrais numéros. Ok ? Donc, j'ai écrit X index R. Je veux dire que les transformations algébriques sont régulaires, les inverses sont régulaires et elles sont définies par les formules avec les coefficients réelles. Ok ? Et quand je dis que X est une surface objective réelle, dans un sens, c'est obvious que c'est quelque chose qui est algébrique. Tu as écrit des choses comme la distance entre un point et un autre qui est equal à quelque chose. Donc, c'est une équation quadratique dans les coordinates. Ok ? Donc, c'est algébrique. Et ce qui est peut-être moins évident, c'est que la dimension est deux. Donc, c'est une surface. Ok ? Et c'est clair. En fait, aussi, c'est clair parce que pour la translation modulaire, on peut assumer que la p1 est l'origine de la plane. Puis, pour la rotation modulaire, on peut assumer que la p2 est sur un axis réel positif. Donc, je vais l'écrire. Donc, la p1, maintenant, la translation modulaire est 0, la origine. Puis, la p2 est juste la pointe à distance l1 dans la plane complexe. Et puis, qu'est-ce qu'il y a pour la p3 ? Donc, la p3 doit être sur un circulier avec la radiance l2 sur la pointe p2, qui est fixée. Et la p5 est sur un circulier sur la pointe p1. Ok ? Et si vous fixez, je veux dire, ils peuvent bouger vraiment sur ces circuliers, mais si vous fixez la p3 et la p4, donc la p5, donc vous avez deux paramètres, puisque vous avez deux circuliers. Alors, maintenant, la pointe p4 est uniquement déterminée à l'involution de la p4. Parce qu'elle doit être à l'intersection entre la circule centrale de la p3 et la radiance l3, et la circule centrale de la p5. Ok ? Donc, vous avez deux circuliers et la p4 est ici. Donc, pas seulement... Alors, quand je dis ça, j'ai prouvé deux choses. J'ai prouvé que c'est une surface. C'est une surface objective réelle. Et en fait, vous pouvez mapper votre pente. Je vais à la p3 et la p5. Les deux sont sur un conic, parce que c'est sur un circulier. Et c'est un couvercle de 2 à 1. Donc, dans cette picture, je réalise que mes surfaces sont un couvercle de 2 à 1 de p1 à p1. Parce que le conic est de p1. Ok ? Donc, c'est une géométrie de base algebraique. Ok. Et donc, la question c'est ceci. Alors, maintenant, j'ai envie de regarder les dynamismes de cette... Je veux dire, les dynamismes randomes de ces involutions sur mes surfaces. Ok ? Parce que... Donc, c'était un exemple pour justifier le titre. Ok ? Alors que j'ai un titre qui a un bon ordre, comme pentagons, foldings et randomes. Mais maintenant, je vais donner un deuxième exemple, qui est très similaire et plus facile à décrire. Donc, c'est un exemple qui a été étudiant par Weller. Et je vais appeler cet exemple Weller surfaces. Donc, tu prends une surface. Donc, je vais le dénoncer par x aussi, mais c'est une autre surface. C'est dans p1 x p1 x p1. Je vais utiliser des coordinates, disons, des coordinates x, y, z sur les p1. Et j'assume que la surface est définie par une équation algebraique. P de x, y, z est 0. Avec le constrain de suivi, j'ai besoin d'un degrés de p avec respect à chaque variable pour être equal à 2. Donc, le degrés de p avec respect à x est 2. Le degrés de p avec respect à y est equal à 2 aussi. Et c'est le même pour les variables z. Ok ? Je ne dis pas que c'est une équation quadratique parce que tu peux avoir des termes comme x squared times y squared times z, pour exemple. Ok ? Mais si tu fixes y et z génériquement, alors l'équation avec respect à x est degré 2. Et géométriquement, cela veut dire que si tu oublies l'une des variables, et que tu projectes x sur p1 x p1, alors tu as un 2-2-1 couvert. Ok ? Parce que si tu fixes y et z, pour exemple, tu oublies l'une des variables x, tu fixes y et z, puis tu as 2 solutions avec respect à x. Ok ? Donc, nous allons faire une picture x, y, z. Donc, tu as une surface ici. Et pour exemple, si je projecte sur p1 x p1 correspondant à la coordinates x et y, donc si je fixe x et y, alors il y a 2 points. Génériquement, il y a 2 points au-delà d'un xy sur la surface x. Donc, disons x, y, z. Et x, y, z prime. Et c'est un ramifiant 2-2-1 couvert. Ok ? Donc, tu as une involution qui permute ces 2 points. Disons, involution s index z. Ok ? Donc, nous avons encore 3 involutions parce que nous avons 3 projections comme ça avec le G2. Ok ? Donc, dans le premier exemple, nous avons 5 involutions. Dans le deuxième, nous avons 3 involutions. Ok ? Donc, ce que je veux faire, je veux étudier les morbides de la rente. Donc, je vais introduire quelques notations. Donc, je prends le groupe de automorphismes de x. Donc, holomorphiques, difformorphismes, ou holomorphiques, difformorphismes. Je veux dire, les transformations algebras sont définies par R, dans le premier exemple. J'ai un autre groupe dans ce groupe de homomorphiques, difformorphismes, qui est une groupe générée par mes involutions. Donc, je vais utiliser juste les 2 exemples, les surfaces de la rente. Donc, ok ? Et maintenant, je vais prendre une mesure de probabilité sur ce groupe. Et pour être spécifique, je vais juste prendre une nouvelle mesure de probabilité sur le set Sx, Sy, Z. Donc, le support de la nouvelle est ce set. Donc, la probabilité que j'ai pické une de ces involutions est positive pour tous les démons, et la somme est une. Et maintenant, je regarde les séquences de ces involutions. Donc, ce sont nos points en gamma jusqu'à la n°. La n° est pour Z+. Donc, un point comme ça, je vais le dénoncer par C. Et c'est une séquence F0, F1, F2, etc. Chaque de ces FI sont dans le groupe gamma générée par les involutions. Ok ? En fait, chaque de eux sera une de ces involutions. Et je vais commencer avec un point sur la surface. Ok ? Donc, pour la notation, je vais utiliser le suivi. Donc, je vais dire que le point Q est en X. Ou, si je veux spécifier où le point vit, pour exemple, si la séquence est définie par les coefficients réelles, en fait, j'ai deux surfaces. J'ai la séquence par les solutions réelles de la séquence. Donc, c'est une surface réelle. Ou, j'ai la surface complexe quand je regarde les solutions complexes. Donc, je vais dénoncer ce genre-là. Donc, Q en X de R ou en X de C. Donc, le point de départ est Q en X0. Et puis, quand je fais les dynamismes, j'ai Q1 est F0 de Q0 et puis Q2 est F1 de Q1 etc. Ok, donc, j'ai la séquence de point Qn. Et la question est de comprendre la séquence de point Qn au moins pour une choisie générique de l'automorphisme FI. Donc, la séquence C. Et la chose qu'on peut regarder est la distribution en termes probabilistiques de cette séquence. Donc, on prend une des n des n de J, je veux dire 4J est 0 à n-1 de la séquence directe de point Qj. Ok, donc, c'est la measure empirique qui est distribuée en je veux dire uniformement distribuée sur la première n en termes de la séquence de point. Ok, et il y a un théorique par Breiman que si cette séquence se convertit en termes de la séquence de point Qj à moins entre des sub-séquences et de l'I, donc, et de l'I plus de l'infinité puis la limite, la séquence de point Qj à la limite est une séquence stationnelle. Ok, donc qu'est-ce que cela veut dire que la séquence de point Qj est une séquence stationnelle cela veut dire que cela satisfait la séquence de point Qj qui est un donc, tu prends ta measure mu tu transportes cela par un élément de ta groupe f mais tu dévoiles cela par la probabilité nu de f donc sum par f nu de f times f star mu doit être equal à mu Ok, donc f en gamme depuis que je suppose que le support de nu est un set de 3 évolutions en fait, le summe est sur les 3 évolutions et ici j'ai laissé un espace parce que bien sûr, ce n'est pas vrai pour n'importe x donc pour n'importe l'intérêt rendu mais c'est vrai presque sûrement donc, presque sûrement sur x ce qui signifie que c'est vrai avec la probabilité 1 avec respect à la mesure qui est nu à la n la probabilité mesure qui modèle le fait que les f i sont indépendant et identically distribué avec respect à nu Ok Ok, donc en fait non, sûrement il arrive avant le le il s'occuper oui, oui avec la probabilité 1 sur la séquence de éterrits je veux dire sur la séquence x et la c'est comment on appelle ça les valeurs d'adhérence en termes de limiter les valeurs de la séquence d'impéricales mesures sont des mesures stationnelles Ok Ok, donc le but est de décrire des mesures stationnelles pour ce type de systèmes dynamiques donc des systèmes dynamiques qui sont mises par les éterritions randomes d'automobiles des surfaces complexes projectives Ok et on peut faire ça au moins pour les surfaces réelles algébres donc on ne on ne au moins au début je ne vais pas décrire les dynamiques sur la surface complexe mais juste sur la partie réelle de la surface donc je vais me donner un premier un statement disons Théorème A donc je vais dire pour le général je vais expliquer ce que le général veut dire pour le général réel surface Ok donc ça veut dire encore que je regarde une de ces surfaces au-dessus avec degrés 2, 2, 2 en p1 x p1 x p1 et défini par une équation polynomial avec réelles coefficients et je regarde la partie réelle Ok, donc et le général signifie que ce que je vais dire dans quelques minutes signifie que pour le statement pour être vrai je dois remercier un set de clous de Zariski dans l'espace de équations polynomiales Ok, donc quand vous regardez les équations p de x, y, z est 0 je dois remercier un p que les coefficients de p satisfait une explication polynomiale Ok, donc en fait pour être plus précis dans cet espace je pense que vous savez que Thomas dans cet espace de surfaces il y a des surfaces qui sont coumer surfaces donc un coûtant d'un million de varieties et je dois remercier cette partie de l'espace modulé donc pour le général nous serons avec la surface x par farce et pour aucune probabilité de measure nouveau qui supporte c'est donné par les trois évolutions et donc maintenant j'ai donc une fois une nouvelle c'est c'est donné je peux regarder les mesures stationnelles par respect à nouveau donc j'ai pris n'importe donc j'ai pris une nouvelle mesure stationnelles mu sur x par farce donc sur la surface et les propriétés sont la suivante première mu est automatiquement invariant donc plutôt d'être stationnerie qui signifie que c'est invariant en avantage en fait c'est invariant sous les trois évolutions c'est invariant sous l'action de groupe donc chaque élément dans votre groupe préserve la mesure deux quand vous savez que c'est invariant en fait c'est soit une mesure avec des supportes finales c'est une mesure sur l'orbitage finale de la groupe ou c'est donné par une expérience algebraique de la formule dont je ne vais pas détenir omega je vais je vais décrire ce formule dans quelques minutes et la troisième est d'ailleurs il n'y a que plein de finales orbites finales quand je dis finale orbite je veux dire pour la groupe gamme ok donc c'est un statement maintenant m'expliquer pourquoi c'est si surprise que la mesure est invariante ensuite je vais expliquer ce que est omega et pourquoi la mesure de la mesure implique que en fait la mesure est sur un orbitage finale ou est omega et la troisième partie je ne vais pas à tout décrire la preuve de la partie et la dernière partie parce que les techniques sont complètement complètement différentes donc aujourd'hui nous allons faire des théories de paix et la troisième partie est prouvenée par les tools de la dynamique ok donc première je vais me donner un exemple pour comparer la mesure stationnelle versus la mesure invariante ok donc vous voyez que l'équation la propriété de la mesure stationnelle c'est à dire que votre mesure de probabilité est un point fixé pour l'opérateur qui est l'avantage quand vous laissez le groupe acte ok donc vous vous regardez juste l'espace de la mesure de probabilité c'est un set compact compact et vous regardez l'opérateur de l'avantage subf nuf ff star c'est une transformation qui préserve ce set compact donc il y a un point fixé là-dedans donc il y a toujours des mesures stationnelles ou si vous préférez vous vous applique de Brian ok donc il y a toujours des mesures stationnelles mais c'est généralement c'est rare que vous obtenez des mesures invariantes donc l'exemple basé c'est vous avez l'Omda un subgroup dans PSL2R actez sur le cercle ou si vous regardez le cercle c'est p1 de r la ligne projective la ligne projective et vous assume que le groupe n'est pas élémentaire ok donc donc vous avez un élément de luxe dans votre groupe avec un sud de la dynamique et donc si vous avez une mesure de probabilité invariante alors bien sûr la mesure de probabilité devrait être concentrée sur le point fixé de cette transformation mais depuis que vous avez beaucoup d'éléments comme ça vous n'avez pas aucune mesure de probabilité invariante et sur l'autre vous avez au moins une mesure stationnelle et en fait unique unique unique la théorie donc ce qui est spécifique ici pour exemple pour le fait que je regarde où sont les surfaces est-ce que un exemple comme ça ne peut pas être embêté dans ma dans ma surface donc dans les autres une partie de ce statement ici est que dans ce très spécifique exemple il n'y a pas de curve dans ma surface qui est invariant par le groupe généré par les trois involutions ok parce que si vous avez une sorte de curve je veux dire quoi donc je vais me donner un autre exemple ok Assume que vous avez juste un point fixé donc Assume qu'il y a un orbit final donc Assume que vous avez un orbit final donc à l'index final vous avez un groupe sub qui fixe un point et vous blow-up ce point et ce que vous faites quand vous faites ça votre point est remplacé par votre p1 et typiquement ce que vous avez l'action sur ce p1 est quelque chose comme ça c'est un groupe non-élémentaire ok donc donc ce type d'exemples généralement vous les trouverez dans dans la surface projective c'est aussi avec ce type d'exemples ok ce que je dis est que dans ce spécifique cas de surface vous n'avez pas cette curve parce que chaque invariant probablement chaque mesure stationnelle est invariante donc vous n'avez pas ces exemples ok ok maintenant je veux expliquer qu'est-ce que l'Omega ok donc en fait x dans tous les exemples les pentagons ou les surfaces de Vela x ou l'Omeprocesis un complexe surface x de c c'est un appel k3 surface donc la surface complexe est compact simplement connecté et ce qui est important pour nous c'est que il existe une forme holomorphique deux formes say Omega index C donc localement c'est comme A of X, Y DX, DY si vous avez un ordinateur local holomorphique où A est holomorphique et l'important est que la forme n'est pas détenue donc c'est un c'est une forme oréale mais dans la setting holomorphique et dans l'exemple ici tout est défendu sur les vrais numéros en fait X of R aussi a je veux dire ce holomorphique deux formes j'ai dit holomorphique mais en fait c'est l'algebrae c'est je veux dire c'est défendu par l'algebrae formulae en termes des coordonnées et c'est la même forme X of R comme un un algebrae deux formes maintenant une forme réelle dont je n'ai pas omega qui ne défend pas et maintenant si vous normalisez omega en such manière que l'intégral de omega sur X of R est un alors en fait omega est unique donc c'est divisé par l'algebrae géométrique je dis que c'est unique je veux dire c'est un unique secteur de la bunde canonique comme ça c'est réel et la probabilité la mesure que ça définit c'est une mesure de probabilité donc depuis que c'est unique c'est automatiquement invariant sous l'action de l'automorphisme en fait vous pouvez l'encomputer donc j'ai laissé un formulae donc si vous ne comprenez pas ce que j'ai dit avec ma bunde canonique et des surfaces catholique et ainsi c'est assez simple donc vous write le formulae P de X, Y, Z est 0 ok et omega donc maintenant j'utilise la coordonnée X, Y, Z en P1 x P1 x P1 omega est DX DY divided by c'est un dérivé partial de P avec respect à Z c'est aussi DY par DZ divisé par le dérivé partial de P avec respect à X etc ok donc c'est complètement explicite question qu'est-ce que l'automorphisme gros donc ici ça dépend ok donc si vous utilisez une très générale donc si vous utilisez une générale P c'est exactement la groupe générale de mes trois relations ok et maintenant juste dans quelques minutes je veux expliquer comment vous pouvez donc les deux statements sont en fait 1 et 3 et 2 est juste une conséquence de 1 et je veux expliquer pourquoi comment vous dérivez 2 de 1 et et et je veux expliquer comment vous faites et aussi ça va illustrer une autre spécifique property de ces surfaces ok donc let's say 3 1 implies 2 donc ce que j'ai voulu pour montrer est que ce que j'ai voulu c'est que j'ai voulu classifier une probabilité invariante mesures ok ok donc je vais juste décrire la main main ID donc donc mu b gamma invariant probability measure ok so you look at your surface so it's a x of r it's a real algebraic surface and you project it on the z axis so if you I want to look at the fibers of this so you fix z z 0 some altitude and you slice your surface with the plane z is equal to z 0 ok so you get a curve and it's a curve in p 1 times p 1 of the grid 2 with respect to each variable and what I'm saying is that it's an elliptic curve so it's a here it's a it's a real elliptic curve so it's a real part of a of a complexe elliptic curve so let me denote it by c index c 0 c index z 0 so it's a it's this slice and what I'm saying is that the real part is the real part of an elliptic curve or genus 1 curve c is a complexe line that you divide by some lattice but the lattice depends on z 0 so if you prefer the projection on the z axis is is a genus 1 vibration ok and now dans mon groupe je peux regarder g le automorphisme qui est la composition de s x et s y donc s x prend un point x y z sur la surface et bouge le coordinate x to x prime et s y il bouge y to y prime 2 donc les deux ils gardent la variable z et changent donc donc ce automorphisme g préserve cette vibration donc il acte sur chaque de ces curves et il acte comme une translation disons j'ai utilisé un ordinateur sur les curves elliptiques donc u maps pour u plus des t mais t dépend sur z 0 aussi ok et dans ce complexe curve elliptique vous avez la partie réelle qui est c'est un circle ou deux circles et donc la dynamique de cette spécifique automorphisme est comme c'est comme un twist d'an mais avec respect à une vibration de genus 1 ok donc il tourne par le fibreur de la vibration et maintenant si tu prends quand tu reviens à la surface réelle et tu prends une altitude générique z z 0 que ce que je dis est que tu as une rotation sur un circle ou un paire de circles et cette rotation est irrationale avec respect à la circulation mais pour un numéro comptable de z 0 bien sûr c'est une translation de c'est une rotation de l'angle qui est un multiple rational de pi ok donc pour beaucoup de valeurs de la haine ici tu as une rotation finite mais pour une valeur générique de la haine tu as un unique et tu as une rotation qui est irrationale ok donc c'est le basic tool que je vais utiliser et maintenant la preuve est est facile je veux dire si tu veux comprendre toutes les mesures invariantes tu fais comme ça tu prends ta probabilité de measure mu et tu désintégrer avec respect à cette projection donc tu as une mesure sur la coordinate z et tu as mesures sur les fibres pour la simplicité Assume que la projection n'a pas d'atomes donc il ne charge pas n'importe ce point dans le set comptable où la rotation est une ordre finite ok donc maintenant tu regardes la mesure que tu as sur les fibres quand tu désintégrer c'est une mesure sur un cycle qui est invariant par une rotation irrationale donc il doit être la mesure de la haine la mesure de la haine avec respect à cette donc en fait ta mesure en ce cas est invariant par toutes les rotations ok et tu utilises ça pour montrer que ta mesure en fait est smooth dans cette horizontale avec respect à cette vibration horizontale maintenant j'ai juste utilisé une des projections sur la coordinate z tu peux projeter sur la coordinate y sur la coordinate x et tu regardes ta mesure avec respect à toutes ces fibres et tu as easily le second point donc j'ai juste voulu dire ça je veux dire je suis sûr que tout le monde ici sait comment avoir une proof de cette construction ok et le fait que les rotations sont uniquement ergotiques mais pourquoi ai-je fait cette proof c'est parce que ça montre quelque chose qui est aussi spécifique à la surface de la haine ou à la surface je veux dire surfaces de pentagons c'est que quand je compose cette je compose deux évolutions comme je l'ai fait ici ce que je peux construire ou automorphismes préservant une généreuse vibration avec ce système dynamique qui est comme un twist et je comprends ce que la transformation fait sur les fibres généreux mais si j'ai changé ma mesure de probabilité ou mon groupe et je prends pour exemple un subgroupe de la groupe générée par les trois évolutions qui ne contiennent pas aucun automorphisme comme ça préservant une vibration puis je ne sais pas comment classifier une mesure de probabilité invariante ok donc maintenant je peux bouger à la dernière partie de la parole qui est comment vous vous montre que je veux dire le premier statement que une mesure stationnelle est en fait une mesure invariante ok donc ce que je vais faire donc il y a un résultat très fort qui a été obtenu par Brown et Rodrigues Hertz et qui suivent par le travail de Benoît Wackin mais mais dans le dans le sétting d'une théorie de paix pour les systèmes dynamiques sur les surfaces et je vais prendre ceci comme un black box et puis je vais expliquer comment vous pouvez faire mieux par utiliser les dynamiques holomorphiques donc premièrement le Yapunov exponent et le travail de Brown et Rodrigues Hertz ok ok donc je vais juste décrire un deuxième point de vue sur le système dynamique que je suis en train de regarder au lieu de regarder un système dynamique random je veux regarder un système dynamique qui n'est pas un système dynamique invertible c'est sûr donc je vais avoir deux je veux dire je vais prendre le produit de quoi des séquences d'automorphismes donc groupes d'automorphismes de X jusqu'à la fin dans le sétting times ma surface X ok donc dans le fibre j'ai une pièce de X ok et donc si je prends un point dans cet endroit j'ai un point Q sur ma surface et une séquence C qui est F0 F1 FN etc dans l'espace de séquences et le système dynamique c'est quoi donc dire le point est Q Q0 et je le bouge Q1 par la map F0 mais ensuite la transformation que j'apprécie la prochaine fois sera F1 donc je peux l'inforter sur F0 donc ce que je fais c'est que je fais un shift sur la séquence X et je mappe donc la transformation est que j'ai shift X donc c'est theta de X donc theta est la séquence qui oublie le premier élément de ma séquence et je mappe Q0 à Q1 par la map F0 ok et maintenant j'ai juste une transformation d'un espace qui est un plus grand espace un produit ok donc c'est la première chose que je fais et maintenant j'ai mis un remand en matrixe sur X et je peux mesurer la séquence de la séquence de F0 ok donc la quantité que je compute sera la norme de la dérivé de F0 à point Q0 ok et maintenant vous éterrez et vous regardez le comportement de cette quantité quand vous éterrez la fin de la séquence donc je dois l'éterrer précisément donc vous l'éterrez je dirais la fin de la séquence pour la séquence Fnx est F0 puis vous appliquez F1 puis vous appliquez F2 jusqu'à Fn-1 ok et la quantité que je regarde est la norme de la dérivé de Fnx à un point Q0 ok et je veux comprendre l'exponentiale grossesse de ça 1 over N log de cette quantité et je dirais que ça converges à un certain numéro qui est le top ou positive de l'exponent de la séquence comme N goes to infinity et donc la convergence est pour presque tous les séquences et presque et mu presque tous les points Q0 ok et c'est ce qu'est ce que c'est la théorie ok donc c'est le top de l'exponent mais nous sommes sur la surface donc en fait vous avez juste un positif de l'exponent et un négatif ou non positif de l'exponent ok donc en fait nous avons 2 de l'exponent et depuis le depuis qu'il y a une réforme qui est invariant vous trouvez que le summe de les deux exponents est 0 ok donc c'est le début c'est de la théorie et puis ce qui vient de ça donc assume que lambda plus est positive et puis lambda minus est négatif puis vous pouvez introduire la manifold stable et la direction stable ok donc je suis durant la direction stable donc la direction stable est une ligne dans l'espace tangent E index S pour la table ça dépend de quoi sur le point Q et sur la séquence random c et donc pour pour mu presque tous les points sur x et pour la nouvelle an presque avec c vous avez une certaine direction stable mais la direction stable a priori il dépend pas seulement de la cube mais aussi de la théorie étonnée qui est donnée par c ok donc si vous fixez la cube mais vous laissez la move puis le slope ici je veux dire la direction stable change ok typiquement c'est ce qui s'occupe ok donc ceci est pour la direction stable et puis vous avez la manifold stable et le manifold stable ici est un curve dans notre surface donc je le dénote par W, S, Q et c il dépend aussi sur c et je veux dire si vous regardez les dynamiques quand vous avez deux points dans la direction stable alors c'est pratiquement ça devient plus loin et plus loin ok et maintenant la théorie de donc je vais mettre ensemble théorèmes de le drapier coureur brown et rodriguez et donc dans nos conditions donc pour les surfaces réelles la alternative que ils ont est la suivante donc je suis en train de rester dans la même position que la théorie A et les surfaces réelles soit la mu est invariante ou la direction stable ne dépend pas sur c sur la séquence réelle et détermine une ligne invariante ok donc je veux dire par ce que pour la mu presque chaque point il y a une ligne tendance qui est invariante par l'action de la groupe et qui en fait coïncide avec la direction stable ok et quand je dis je veux dire tout ce que j'ai écrit est mu presque chaque point et pour la mu jusqu'à la fin presque chaque séquence et tout ça peut-être que vous expliquez qu'ils ont prouvé exactement parce que j'imagine que vous vous appelez quelque chose sur les surfaces oui donc ce que j'ai utilisé c'est c'est juste ce qu'ils ont prouvé et ce que j'ai prouvé ici quand j'ai classifié l'invariant probability mesures ou ce qu'ils prouvent c'est que si vous prenez une bonne groupe de différents morphismes de la surface une surface close avec je veux dire une bonne probabilité de la mesure et donc vous avez besoin d'une condition pour l'instant de la support finie et vous prenez une mesure stationnelle sur la surface avec respect à cette mesure de probabilité puis ok soit la mesure est invariante ou j'ai oublié exactement les 4 possibilités donc la deuxième possibilité est c'est une mesure SRB mais depuis que l'on a une invariante ou une réforme en fait il doit être une réforme ou il a une support finie ou ou c'est pas ok ou c'est pas hyperbolic donc en ce cas je veux dire lambda plus est-ce equal à 0 est-ce equal à lambda minus mais dans ce cas vous pouvez impliquer la théorème de Cowell qui vous dit que c'est invariant ok ok donc mais ceci je prends comme une boîte parce que maintenant je veux je veux dire de 2 ou 3 minutes pour expliquer comment nous roulons le fait que que la direction stable ne dépend pas sur sur l'éthénérique ok donc si on veut dire que chaque mesure stationnelle est en fait invariant ce qu'on veut faire est qu'on veut dire que en fait ce n'est pas possible dans notre cas que la direction stable ne dépend pas de ceci ok c'est ce qu'on veut faire ok donc on veut pour comprendre comment c'est je veux dire pour donner un critérium qui dit que cette direction stable doit dépendre sur l'éthénérique et je vais juste summariser la preuve en 2 minutes ce n'est pas facile ok donc maintenant vous pouvez oublier le set de réel je veux dire ici on utilise le fait que la dimension réelle est aussi dans cette théorème mais maintenant ce que je vais dire fonctionne pour surfaces complexes ok donc c'est complexe géométrie et complexe dynamique ok donc je je veux juste expliquer le main pour montrer que dans notre cas de surfaces complexes cette direction stable dépend de ceci donc le premier step c'est de pour montrer que la direction stable dépend de ceci ok donc ce qui peut arriver c'est que la direction stable dépend sur l'éthénérique de ceci mais ils ont tous la même direction ils sont tangents l'un à l'autre ok pour ceci je ne vais pas expliquer pourquoi vous pouvez aller d'être je veux dire vous pouvez rouler cette tangentialité pour ceci donc je veux juste montrer que Ws qx ça dépend de ceci et pour faire ça vous commence avec quelque chose qui est dans l'ex de ceci vous avez la manifold stable mais au lieu de regarder la dynamique sur la surface réelle je regarde la dynamique sur la surface complexe et je regarde la manifold stable pour la dynamique complexe donc au lieu de être une curve réelle dans une surface réelle algébrique maintenant c'est une curve complexe contene ma curve réelle et cette curve complexe est c'est facile de voir c'est un copier de c la ligne complexe donc c'est paramétré par un map holomorphique de c à x donc map eta ça dépend de q et c ok donc c'est la première chose pour pour dire c'est ceci la deuxième donc vous avez un c dans votre surface complexe x of c et de cela vous pouvez construire un current positif donc ce que vous faites c'est que vous regardez des marges larges dans votre c et vous divisez par l'arrière donc vous vous prendre c sorry eta q c d'un large disque et vous divisez par l'arrière de l'image de ce disque ok donc donc c'est c'est comme un large piece de surface remont dans votre surface complexe mais avec l'arrière et väité par l'arrière pour que le total arrière est algébrique c'est un et ce que vous pouvez faire vous pouvez extracter un sub-séquence qui convertit des marges pour un current positif ce que je dis c'est que vous pouvez prendre un large et un large disque dans un de cette manière que le paramètre est négligeable avec respect à l'arrière et quand vous faites ça vous avez quelque chose qui est comme une forme close accepte que ce n'est pas smooth donc c'est un current positif et associé à ce current positif vous avez une classe homologique donc c'est comme c'est comme la classe homologique de la surface remont mais c'est un genre d'infini de la surface remont et donc pour faire ça vous allez de la dynamique sur la surface complexe pour le pour l'action de la groupe sur la homologie ok donc c'est un lien entre la dynamique sur la surface complexe et la homologie et maintenant la seconde ingrédient un stop est que vous comprenez la dynamique sur la homologie parce que donc je vais le décrire pour Weloser la homologie donc ici vous êtes intéressés par la classe homologique de la surface remont donc donc on est en c'est-à-dire homologiquement en h2 de x avec la coopération réelle et vous pouvez couper dans deux parts en utilisant la homologie et la plus importante est h11 et les classes de ces clés positifs qu'ils vivent ici en h11 et en h11 vous avez la forme d'intersection qui a une signature plus minus minus minus minus donc c'est un formule hyperbole c'est un formule hyperbole et la groupe de ma surface Weloser s'actue sur cet endroit a la groupe d'isométries d'un espace hyperbole qui n'est pas élémentaire ok et le fait que cette action n'est pas élémentaire implique que ces classes homologiques doivent dépendre sur l'internerie vous voyez les classes homologiques de ces curves vous assurez qu'elles ont besoin de coopérer avec des points limites de séquences randomes dans cet espace homologique que vous comprenez par la théorie first and back ok, j'ai arrêté parce que j'ai eu du temps questions vous avez une très spécifique surface dans une très spécifique groupe oui je suis très spécifiquement heureux avec ça non en fait donc les résultats les résultats que nous avons nous commençons avec un X une surface complexe avec une structure réelle et non vous n'avez pas besoin d'assumer K3 c'est-à-dire c'est-à-dire c'est-à-dire ce que vous... ok donc donc j'ai essayé de dire que une grande partie du travail est faite par cette théorie qui est là-bas ok, la théorie par Ludra Pieck-Rowell et puis par Brown et Rodrigues Hertz ok, si vous assumez cette grande partie alors ce que nous devons faire c'est que nous devons expliquer comment nous pouvons contrôler le fait que les défauts stabilisent dépendent d'un X ok que le défaut stabilisant vraiment dépend de la séquence réelle et pour montrer ça donc j'ai juste sketché le proof à l'endement mais pour montrer que vous pouvez commencer avec une surface complexe de surface d'autres groupes comme la action sur la comologie n'est pas élémentaire et puis nous pouvons contrôler tout ok donc nous avons un bon statement dans ce set pour ce facteur que le défaut stabilisant dépendent de la séquence réelle ok alors si vous voulez mixer cet argument avec les idées de Barnet et d'Hodrigues Hertz ce que nous devons supposer c'est qu'il y a un environnement pour obtenir bons résultats et le type des résultats qu'on obtient c'est que d'abord il doit être sur des surfaces réelles parce que l'argument de Barnet et d'Hodrigues Hertz ou l'argument de Benoît Keun nous n'avons pas je veux dire ce que vous obtenez vous avez une mesure stationnelle vous voulez montrer que cette mesure est invariante et en lieu de prouver que la mesure est invariante vous intégrer la mesure en respectant les défauts stabilisés donc vous devez le faire donc c'est une théorie et vous trouvez que c'est invariant dans un paramètre une groupe de translations c'est ce que nous pouvons produire dans une dimension réelle la mesure stationnelle est une dimension donc c'est suffisant de dire que c'est la mesure quand vous intégrer et puis c'est facile de montrer que c'est un environnement mais dans une dimension complexe deux la mesure stationnelle sont des curves complexes et nous avons juste une direction d'environnement ce sont des curves électriques ce sont des curves électriques non, non, non ici je suis intégrer sur la mesure stationnelle je ne fais pas exactement la même chose et donc nous ne savons pas encore comment conclurer nous avons besoin d'autres invariants donc c'est pourquoi si nous voulons dire que les mesures stationnelles sont invariantes les mesures ce que nous pouvons faire maintenant est en train de travailler sur les surfaces réelles d'algebraie ok et ensuite il y a un troisième tapis qui si vous voulez être completé l'understand est le troisième tapis c'est de dire que vous comprenez toutes les invariants pour l'action de groupe donc ce que j'explique pour les surfaces réelles et et l'important c'est que quand j'impose deux évolutions j'ai ce automorphisme qui acte comme un twist et si vous avez ça nous pouvons le faire sur toute la surface mais c'est une grande assumption nous avons ça sur les pantagons nous avons ça sur les surfaces réelles nous avons ça sur une surface généreuse sur une surface généreuse mais encore donc oui mais oui si vous voulez juste un très général statement pour nos groupes de automorphismes de surfaces complexes nous n'avons pas ça même une classification d'invariants mesures donc c'est le groupe quel genre de propriétés que vous avez que vous avez je veux dire c'est le groupe de automorphismes que vous avez donc ça dépend sur les exemples je veux dire le qui je vous enfaîte sur les surfaces réelles c'est juste je veux dire pour une surface très généreuse donc vous avez une question p de x, y, z 0 avec p de degré 2, 2, 2 p très généreuse donc générique si vous préférez donc le groupe généré par les trois évolutions est le groupe de homomorphismes et homomorphismes et c'est juste un produit libre de trois évolutions pas de relation z mod 2 star z mod 2 star z mod 2 dans le cas dans le cas de les pantagons je ne me souviens pas exactement quel groupe vous avez mais vous voyez vous avez des relations si vous avez deux évolutions que vous n'involvez pas à juste des vertices alors ils commutent et sinon ils ne commutent pas donc vous avez la relation et je pense que le groupe est ce qui est je ne pense pas que c'est un prouve mais je pense que c'est ça aussi vous avez au lieu de folder juste un vertex vous pouvez folder deux adressants vertens à la même time donc vous avez plus d'involutions et si vous avez donc vous avez 5 plus 5 10 10 involutions vous devez prendre les 10 d'entre eux qui génèrent le groupe de homomorphismes et nous savons explicitement quel groupe c'est quand je dis nous savons que c'est un chef dolgat merci merci merci