 اسلام علیکم، لیکچر نمبر 18 کے ساتھ کالکلس کے ایک بار پھر حاضر، ابھی تک ہوبفلی سب کچھ ٹھیک ٹھاک جا رہا ہے آپ کی جو کالکلسی بیسک چیز جب تک کلیر نہیں ہو جاتییں تو آگے چلکہ پرولمز ہوتی ہیں تو یہی ستیج ہے یہاں پر ہم دیولب کر رہا ہے بیسک آیڈیس کالکلس کے ظاہر ہے کچھ تھوڑے سے پرولمز ہوں گی، ایک بیسک چیز ہے ظاہر ہے لیکن یہ کے ابھی سے ان کو کلیرفائی کر لی جے اور اچھی طرح سمجھ لی جی یا نہیں میکشور you ask the appropriate questions جہاں پر کوئے پرولم ہے آپ کو میکشور you email اور اُن کی انکسٹر ایمے لیے ہیں۔ کیوں کہ ابھی اگر بیسکس کلیر نہیں ہوگے تو زیرہ آگے چلے پروبرم ہوگی اور عام طور پر بیسے مہتھمٹکس میں یہ ہوتا ہے مے رہ ساتھ بھی ہوتا تھا جب میں سٹورنٹ تھا کہ روانی میں ہم یہ سمشتے ہیں کہ ٹیکے جا لیکچر سن لیا کلاسروم میں یا جسے ہم لیکچر میں بات کرتے ہیں کہ جا انسٹر نے بات کی سمجھ آگئی ٹھیک ہے سمجھا گئے ہوگی اس وقت لیکن پریکٹس کی بات ہوتی ہے ساری تو ہوبفلی آپ پریکٹس بھی کرویں ہومبرک اسائنمنٹس کے ساتھ ساتھ اور مزید اس میں کوئی کویسٹنز اگر عرائیس کرتے ہیں تو ان کو آپ ذہن میں رکھتے ہوں گے اور ایمیل ضرور کیجئے کونٹیکٹ کیجئے اور اس کو پھر ہم دیکھیں گے کہ کیسے مزید اس کو کلیرفائ کر سکتے ہیں اور ابھی کلیرفائ کر لیں تاکہ آگے چل کے پروبرم نہ ہو تو یہ تو آپ کا جناب ہو گیا اندروڈکشن آج کے اس لیکچر کی تھوڑی سی جو پرلیمانیزی ہوتی ہے اب اس کے بارے میں مزید بات کرتے ہیں اچھا جی تو اب آج کے لیکچر کی شروعات کرتے ہیں آج کے لیکچر کا topic ہے جناب چینرول اور چینرول کیا چیز ہوتی ہے چینرول ایک رول ہے آبیسلی لیکن کس حوالے سے ہے ڈریویٹفس کے حوالے سے ہے اور اس میں بیسکلی کونٹسپٹی ہے کہ اگر آپ کے پاس فنکشنز دیئے ہیں ہم نے جتنی بھی بات کیئے ڈریویٹفس کی جیسے بات کی تھی ہم نے تو اس میں ہم نے یہ دیکھا کہ سب کچھ جو کیا تھا وہ ہم نے ایک function کے کونٹیکٹس میں کیا تھا یعنی جتنی بھی باتی ہوئیں وہ function اس میں آپ کے پاس تھے اور ان پر آپ نے کوئی ایک طرح سے ہم نے دیکھا کہ ایک اوپریٹر کے طور پر ہم نے ڈریویٹف کو ڈیو کیا تو function پر ہم نے ڈریویٹر اپلائے کیا اور ایک نیا function آیا جس کو ہم ڈریویٹف function کیا تھے تو اب یہ اس طرح کی یعنی ہم بات چیٹ کو مزید ڈیویٹف کریں گے اور اس میں مخصص فیحی ہے کہ کہ ڈریویٹف کچھ بیسک طرح کی ہوتے ہیں جو ہم دیکھ چکے پہلے کافی پہلے جو ہم نے بیسک کالکلس سے پہلے کی جو باتیں کی تھی اس نے ہم نے دیکھا تھا کہ پھر ہم نے کامپزیشن کا ایڈیہ دیہتا تھا کہ functions کو compose بھی کر سکتے ہیں to get a new function آپ کے پاس اگر تو کیا تو لوگ فنشن دیے own جس سے یہ ہوتا تھا کہ آپ جب وہ ڈریویٹر اپلائے کرتے تھے تو ایک نیا فنشن رزلٹ کرتا تھا جہاں ہم دو نمبر زیادہ ملیتیں ڈریویٹر خرام نمبر ایٹھا اگر سمجھر لیے جو یہ کامپزیشن میں نے ڈریویٹف کی تھی یہاں پا چینول کا فرمہ دیے کہ اگر آپ کے پاس دو function دیئے میں ان کو آپ کمپوز کرلیں ایک نیا function آ جاتا ہے اس function کا derivative کیسے معلوم کریں گے یعنی ابھی تک تو ہم نے derivative معلوم کیا تھے پچھلے لیکچرز میں وہ بیسک کسم کے کچھ وہ تھے function جس میں power function تھا تو ہم نے power rule بنائے تھا پھر trigonometric function دیکھے تھے ان کے کچھ rules تھے کچھ form level کے اس میں تھے involved جو ہم نے prove بھی کیتے ظاہر ہے تو اب یہ ہے کہ یہاں پہ اگر آپ کے پاس ہے complicate function آ جاتا ہے جس میں کوئی functions ہے مثال کے طور پہ f of x کے لیجی ہے x square g of x جو ہے وہ ہے one over x اور آپ کہتے ہیں کہ g f of g of x معلوم کریں یعنی f composed with g of x یہ آپ کو تھوڑا سا ریکال کرنا پڑھے گا پچھلے لیکچر بہت شروع کے لیکچرز میں ہم نے بات کی تھی کہ compose کیسے کرتے ہیں I'm sure آپ کو یاد ہوگا تو اب یہ f or g کو اگر میں compose کروں گا تو میرے پاس ایک function نیا function جو آئے گا وہ ہوگا f of x تھا squaring function x square g of x جو تھا وہ ریسی پروکل function تھا one over x f of g of x معلوم کرنا ہے تو یہ دیکھنا ہے کہ f of x میں جہاں پہ بھی x دکھے ہم آپ پہ function g of x ڈال دی جی آپ تو بیسکی آپ کے پاس function آئے گا one over quantity quantity one over x squared تو یہ آپ کا نیا function آئے گا اس کا derivative کیسے معلوم کریں گے تو اس طرح کچھ سوال آتے ہیں جو اس میں ہم لیکچر میں entertain کریں گے تو آئی اس کین پر تھوڑا سا میں اس کو دیکھ لیتے ہیں کہ آج کا agenda کی ہے let's go to the screen آج کا topic ہے جنہ آپ chain rule اور آج کیا کیا بات ایک ہر نہیں سب سے پہلی بات تو یہ کہ جی composition of functions اگر آپ کے پاس ہے تو اس کا derivative کیسے معلوم کرتے ہیں اسی کو بلکی اسی process call کہتے ہیں chain rule اس کے بعد ہم یہ دیکھیں گے کہ شروع میں جب ایک basic idea ڈی فائن کر دیں گے chain rule کا اس کے بعد آپ اس کو generalize کریں گے so basically will try to get a generalized derivative formula اس کے بعد پھر ہم کچھ اور detail میں دیکھیں گے یعنی کیا لی جی more generalized derivative formula ایک طرح سے کہہ سکتے ہیں جو derivative formula آپ نے derive کریں گے آگے چلکیں اس کو مزید generalize کر دیں گے اور اس کے بعد ایک ایک approach اور دیکھیں گے to using the chain rule تو یعنی یہ ساری چیزیں جس میں basic idea ڈی کہ chain rule ایک جو کہ بہت ایک important differentiation میں ایک rule ہے اس کو ہم استعمال کریں گے اور اس کو دیکھیں گے کہ اسے کتنی طریقوں سے دیکھا جا سکتے ہیں so کئی ذابیوں سے دیکھ سکتے ہیں اس طرح بھی کہہ سکتے ہیں اور یہاں میں کہتا چاہتا ہوں کہ again ہر topic میں ہم نے جو بھی تک دیکھا ہوں میں نے کئی lectures ایسے آئے تھے جانا پہ گا تھا کہ یہ بہت ایک لیکچر ہے اس کو ضرور اور اسے سنی ساری لیکچر ہوتے ہیں لیکن کچھ بہت زیادہ ہوتے ہیں اسی طرح سے یہ والا جو لیکچر ہے اس میں جو chain rule ہے this is going to basically give you a general view of differentiation یعنی جناریک لی آپ کیسے function کو کوئی بھی function لیکے آپ اس کو کیسے differentiate کر سکتے ہیں یا کیسے اس کا derivative معلوم کر سکتے ہیں تو یہ سار آج کی ہم باچیت کریں گے تو اس کو start کرتے ہیں پھر ایسے کرتے ہیں suppose کرتے ہیں کہ دو functions ہمارے پاس f or g ایک function ہے y equals f of x ایک function ہے y equals g of x شاٹ کٹ کے لیے شاٹ فرم میں میں کہوں گا جی function f function g پہلے بھی کہتا آئے ہوں تو ان کو اب ایسے کرتے ہیں ان کو compose کریں گے اور without look اس کا ہم کوئی formula define نہیں کریں گے ان کے لیے یہ دیکھیں گے جنرلی ہم کیسے ایک جو اس کی composition لیں گے اس کو جنرلی کیسے ہم اس کا derivative معلوم کر سکتے ہیں تو مقصد یہ کہ اب یہ میں پاس دو functions آگیں f of x اور g of x ان کو میں compose کرتا ہوں تو میرے پاس result آئے گا f جو ایک circle notation ہم نے دیکھی تھی circle g of x اس کو ہم اس طرح بھی پر سکتے ہیں اور لکھ سکتے ہیں کہ g f of g of x مقصد کہہنے کہ یہ کہ function جو تھا f of x اس میں جہاں پہ بھی x نظر آیا آپ کو اس میں آپ g of x function جو ہے وہ انپٹ کر دیں تو اس میں ذہر ہمارے پاس تو formula نہیں ہے ہم جنرلیکلی دیکھیں گے کیا ہوتا ہے پھر ہم دیکھیں گے کہ اگر اس پر ہم derivative operator اپلائے کریں اس کا derivative معلوم کریں اے دفنشیٹ کریں اس composition of functions کو تو کیا اس کا result لائے گا کیسے کریں گے تو سکین پر دیکھ لیتے ہیں اس کا تھوڑا سا یہاں پر دیکھی ہے کہ سب سے پہلے تو ہمارے پاس یہاں کہ جی دو function تھے f and g اس کو ہم نے compose کیا f circle g quantity کی طور پہ لکھلی جی of x اس کو ہم basically idea ہوتا ہے کہ f of g of x اور اب اس کو ہم دفنشیٹ کرنا چاہیں گے تو اس کو کیسے کریں گے کیا اس کا process ہوگا تو اس کے میں دیکھئے کہ first of all you have y equals f of g of x تو اس میں ایک substitution میں انٹردوس کر رہوں to make life a little bit easier for computation sake یہاں پہ میں کہتا ہوں کہ let u equals g of x u equals g of x سے کیا مطلب ہے سیمپل سی ایک substitution ہے کوئی بڑی بات نہیں یہ صرف کہنے کا مقصد یہ کہ جہاں پہ میں f of g of x بار بار لکھ رہا تھا وہاں پہ g of x کی جگہ میں ایک substitution کر رہوں value کی یعنی g of x جو function ہے اس کو میں u کا نام دے رہوں اس سے یہ ہوگا کہ computation جو ہم کریں گے آگے چلکے ہسان ہو جائیں گی تو یعنی اب آپ کے پاس جتاf of g of x it's basically now turned into f of u یعنی اب آپ کے پاس ایک نیا فنکشن آگئے which is in which the independent variable is u یعنی originally تو یہ تھا concept کے ایک function ہے آپ کا independent variable اب آپ نے اس کو ایک نیا a short cut a short form لکنے کے لیے آپ نے کہا کہ اس کو ہم variable کا نام دیتے ہیں you اور اب ایک function آپ کا نیا بنگے جس میں independent variable u ہے so let's continue with this example اب یہ دیکھئے کہ یہ ساہر ہے y equals the f of g of x جو ہے یہ f of u بنگے and what do we want to do we want to basically use the known things that we have جو ابی تک ہم نے لکھی ہیں اور ان کو استعمال کرتے ہوئے یہ جو اور لکھی جو ہے اور بلکہ جو ہم جانتے ہیں derivatives کے بارے میں ان کو استعمال کرتے ہوئے ہم معلوم کرنا چاہیں گے dy over du which is obviously going to equal to f prime of u and also we would like to know what du over dx is which is going to off of course equal g prime of x اچھا یہ اب دو نئی quantities آپ کے سامنے سکرین پہنی تھی یہ کیا ہیں مطلب یہ کہ جب ہم نے کہا ہمیں معلوم کرنا ہے dy over du تو یہاں پر دیکھیں کہ اب x تھوڑی درکلے غایب ہو چکے اب یہ دیوہ او دیو کیا یہ بیسکلی derivative ہے f of u function کا جو اب نے بیسکلی this f of u is a composition of two functions اور صرف میں نے یہ کیا ہے کہ g of x کو نئی ویلی دیے دیے یو کی تو اب بیسکلی میرے پاس ایک نیا فنکشن آگیا ہے in terms of a new independent variable اور اب میں اس کا derivative معلوم کرنا چاہتا ہوں obviously with respect to the independent variable ہم نے derivatives ابھی تک اسی طرح معلوم کییں کہ ایک فنکشن جو تھا اس میں dependent variable ہوتا ہے ایک independent variable ہوتا ہے عام طور پہ y اور x ہوتے ہیں یہاں پر ہم نے x کی جگہ you کو ہم نے لیے as independent variable اور اب اس کا dy by over du معلوم کرنا ہے تو obviously that's equal to f prime of you notation کی بات ہے وہی بات ہو جاتی ہے لیکن یہ بھی نوٹ کیجئے کہ چونکہ you equals g of x تھا یہ ہم نے define کیا تھا تھوڑے در پہلے سکین پر آپ نے دیکھا you equals g of x تو یہاں پہ میں دی you over dx معلوم کر سکتا ہوں you equals g of x جو یہ بھی ایک طرح کا نیا فنکشن بن چکا ہے right یہاں پہ you independent variable بھی ہے لیکن you equals g of x جو ہے وہ ایک function بھی ہے right یعنی you اس میں dependent variable ہے اور جو آپ کا x جو ہے وہ independent variable ہے تو ایک طرح کا ایک طرح کی composition والی بات آرہی ہے کہ پہلے function میں جس میں f of you ہے آپ کے پاس اس میں you جو ہے وہ independent variable ہے اور جو next function ہے جو ہم نے you equals g of x define کیا ہے اس میں you جو ہے وہ dependent variable ہے لہذا next function میں جو ہم نے definition کی تھی اس کی اس میں du over dx معلوم کرنا ہم چاہیں گے which will equal g prime of you. So let's continue with this and let's see how this works out تو ہم اس کو کیسے کریں گے ہم یہ ابھی تک جو ہم نے لکھی ہیں equation اس کو تھوڑا فرمالیس کرتے ہیں یعنی preliminary سا idea میرے خال سے آپ کو ہوگی ہوگا کہ ہم کرنا کیا چاہتے ہیں ہم ایک طرح کی composition functions کی dv تھی f of g of x اس کا derivative فرمالہ معلوم کرنا ہے کوئی تو ابھی تک ہم نے دیکھا کہ اس کے دو quantities involved ہیں dy by du and du by dx تو ہم اس کا final answer کیا ہوگا یعنی what we are trying to find out is what is dy by dx یعنی why آپ کو یادہ ہم نے کیا substitution کی تھی why was equal to f of g of x تو وہ composition کی function کی ذاہر ہے ہم interested ہیں in finding out dy over dx تو اس کو screen پر لکھ دیتے ہیں اس ایک theorem کی form میں پھر اس کے بارے میں بات کریں گے let's go to the screen دیکھ لی جیے یہاں پر لکھ بھی دی ہے میں نے کہ we are interested in finding out dy over dx which is obviously equal to d over dx of the composition of two functions f of g of x کیسے معلوم کریں گے here it is it's a theorem اس کو چینرول کا ثیرم کیا سکتے ہیں if g is a differentiable if g is differentiable at the point x and the function f is differentiable at the point g g of x یعنی جو g of x بھی ذاہر ہے جب x کی value ڈالیں گے تو a point ہی بن جائے گا ایک نیمیریک value آئی گی eventually اس کی تو ہم g of x function بھی ہے اس کو point کے طور پر لیے رہے ہیں for as input for the function f then the composition f of g of x equals is going to be differentiable at the point x and moreover if y equals f of g of x and u equals g of x then y equals f of u ذاہری سی بات ہے substitution کی بات ہے basically and the formula for finding d y over d x which we want to find is going to equal d y over d u multiplied by d u over d x تو یہ جناب آپ کا ثیرم ہو گیا so this is your theorem تھوڑا سا complicated لگتا ہے لیکن اتنا مشکل نہیں ہے but it's not that difficult اگر ابھی تک آپ اور ساستندرے سے تو I think it's probably clear کہ ہم کیسے کریں گے اس کو how will we do it it's a simple thing بات ہے کہ جب substitution کی ہم نے simplify کرنے کے لیے تو اس میں دو کوانٹی زائن تھی ایک آئی تھی آپ کے پس d u over d x اور ایک آئی تھی d x over I'm sorry ایک آئی تھی d x over d u اور اس کے لیے آئی تھی d y by d u تو ان کا دونوں کا product آپ لیں گے تو آپ کے پاس results آجائے گا d y d x یعنی ایک طرح آپ سوچہ انتوٹیوزی speaking آپ کہہ رہے ہیں کہ جی آپ کانسلیشن کرنا چاہر ہیں along the diagonal جو اب ہم نے equation دے کی تھیورم میں for d y by d x تو وہی process ہے اسی طرح سہاں انٹویٹیوزی speaking وہ بات ہوتی ہے لیکن that's not the case exactly یہ صرف ایک nemonic device ہے کہ آپ سوچنا چاہیں کہ جی composition کا derivative کیسے معلوم کرتے ہیں ایسے معلوم کرتے ہیں کہ آپ diagonal میں جو d x's ہیں d use ہے ان کو کانسل کردے ہیں اور آپ کے پاس results آجائے تھے d y by d x تو ایک example کرتے ہیں اس کی and it'll make the point more clearer تھیورم بھی تھوڑا کلر ہو جائے گا let's go to the screen and look at that an example ہے جناب آپ کے پاس function دیا ہے y equals 4 cosine of x cubed or d y by d x معلوم کرنا ہے تو یہاں پہ بوی بات ہے کہ جی یہاں پہ سب سے پہلی بات تو یہ رکھنائس کرنے کی ہے کہ جو function ہے y equals 4 times cosine of x cube this is a composition of 2 functions کون سے functions ہے ایک function ہے y equals cosine x اور ایک function ہے y equals x cube یعنی اس میں دو function ہے and the composition آپ لیں گے یہاں اگر f for g کے بارے میں بات کرنے ہیں تو اس کو screen پیرنٹ فائے کر لیتے ہیں let's look at this further نورٹ کیجے کہ اگر میں یہاں پہ جی of x کو کہدوں x cube اور f of x کو کہدوں 4 cosine x تو یہاں پہ میرے پاس substitution ہے بن سکتی ہے یعنی میں compose کروں گا f of x اور g of x کو تو I will get the original function یہاں پہ وہی بات ہے کہ you کو مجھے کنی سے لانا ہے اس میں تو g of x جو تھا وہ x cube کی برابر تھا تو یہاں پہ دیکھئے کہ I get u equals x cube so that my function becomes original function becomes y equals 4 times cosine of u تو اب اس کو مجھے دفنشیٹ کرنے تو یہاں پہ substitution صرف میں نے اس لے کیونکہ cosine x کا derivative تو مجھے معلوم ہے یہاں ہم نے جب trigonometric functions کے derivatives کی بات کی تھی تو ہم نے دیکھا تھا کہ اس کا ہم بڑے سانی سے معلوم کر سکتے ہیں proof بھی کیا تھا the derivative came out to be minus sine x problem یہاں ہے کہ یہاں پہ آپ کے پاس x کے اوپر power 3 ہے تو اس کو کیسے ان کوبریٹ کریں اپنے derivative کی اندر تو اس کے لیے ہم یہ دیکھتے ہیں کہ یہ رکھنا اس کرتے ہیں کہ یہ جو آپ کے پاس formula آیا تھا function کا اس پرٹکلو ڈیمپل میں یہ composition ہے دو functions کی اور پھر ہم اس پر اپلائے کر سکتے ہیں chain rule to get the derivative of this function تو اس کو اب ہم نے substitution یہاں کی ہے کہ u کو ہم نے کہا ہے کہ x cube ہے تو ہمہاں پر اس function simplify ہو کہ بن گیا 4 times cosine u cosine u کو اگر آپ u کو ایک طرح سے independent variable لے رہے ہیں فلحال تو ظہر ہے it's the same thing it looks like cosine x جس کو ہم differentiate کر سکتے ہیں اور پھر بعد میں ہم u کو دیکھیں گے کہ اس کا ایک actually کوئی equation ہے u equals x cube x cube کا بھی ہم a derivative معلوم کرنا آتے ہیں اس کو پھر ہم بعد میں differentiate کر لیں گے to get divided by dx using the chain rule تو اسی calculation کاملیٹ کرتے ہیں let's go to the screen بسکلی ہمہاں معلوم کرنا ہے dy by dx تو نوٹ کی جیے by the chain rule I will get dy over dx equals dy over du times du over dx تو dy by du کیا تھا well y equals 4 times cosine of u اس کم a different derivative معلوم کرنا چاہرا ہوں with respect to u so I get d over du of 4 times cosine u and then I have that equation multiplied by that quantity multiplied by du by dx تو u جہاں ہو x cube ہے تو لہذا I get d over dx of x cube یہ آپ کی chain rule کے اندر میں جو فرملہ تھا اس کے اندر values ڈال دیئے functions کی اب اس کو ہم سیمپلفائی کر سکتے ہیں تو کر لیتے ہیں میرے خال سے بجائے آپ کی اوپر میں چھوڑوں there are more tougher things that I'll leave up to you to solve afterwards لیکن اس کو کمپریٹ کر لیتے ہیں تو یہاں پہ دیکھئے کہ اوپر 4 times cosine u جو ہے وہ جناب آپ کا بنے گا negative 4 times sine u ظاہر ہے cosine u کا derivative جو ہوگا وہ cosine x کی طرح minus sine x جیسے ہوتا ہے cosine x کا یہاں پہاچیز کو ڈال کر رہے ہیں تو I get negative sine u 4 ویسی اس کے اندر involved ہے derivatives پر پلائ نہیں ہوتا تو I get negative 4 times sine u multiplied by the derivative of x cube وہ کیا ہے وہ ہے 3x square تو سیمپلفائی کریں گے اس کو تھوڑا سا فردر یعنی کہ یہ جو u ہے اس کو ہم x ملانا چاہتے ہیں کیونکہ ہم معلوم یہی کرنا چاہ رہے ہیں کہ derivative of the original function y with respect to x کیا ہے تو use اس میں آخر میں جب آپ کا جواب آئے اس میں x ہونے چاہیے use کہیں نہیں ہونے چاہیے تو جہاں پہ sine u لکھا تھا وہاں پہاں اس کی value ڈال دیجے u کو ہم نے substitute کیا تھا as x cube so we get minus 4 times sine of x cubed times 3x square سیمپلفائی کر لیجے final result آتا ہے minus 12x square times sine of x cube اچھا دی تو یہ آپ کی example کمپیٹ ہو گئی تو یہاں پہاں آئے I think hopefully آپ کو کچھ کلیرفائے ہوگا کہ what is exactly happening جو derivative معلوم کرتے ہیں composition of functions کا اس طرح کیا جاتا ہے basic formula chain rule وہ یہ ہے کہ آپ کے پاس اگر composition of functions ہے اس میں آپ ایک extra variable ڈال دیتے ہیں inner function جیسے ہم کہتے ہیں جس کو آپ input کے طور پہاں دوسرے function کے لیے تو outer function جیسے کہتے ہیں تو اس کو آپ ایک نیا نام دیتے ہیں variable کا u کہتے اور پھر اس کے بعد وہ سارہ process involved جو ابھی ہم نے دیکھا formula وہ طریقہ ہوتا ہے اس composition of functions کا derivative معلوم کرنے کا اس کے بارے میں تھوڑا سوچنا پڑے گا but I'll leave it up to you to do that ہم آگے چلتے ہیں تو یہاں پہاں ایک بات یہ کہتا ہے چلنوں کہ یہ جو formula ہے اس کو ابھی ہم تھوڑی در میں دیکھیں گے کہ اتنا مشکل نہیں ہے بلکہ اس کا ایک اور شاٹ کٹ بھی طریقہ ہم معلوم کر سکتے ہیں for writing down the chain rule اس کو یات کرنا بھی اسان ہوتا ہے لیکن اس formula کو یات کرنا بھی تنا مشکل نہیں ہیں کیونکہ formula کیا تھا یہ ہی تھا کہ dy over dx equals dy over du times du over dx تو میں نے تھوڑی در پہلے بھی کہا تھا کہ اس کو آپ ایک طرح سے امجھن کریں کہ جو ڈائگنل میں use بن رہے cross multiply ایک طرح سے سوچیں کہ du's جو وہ کینسل ہو جاتے ہیں تو اس کے بعد کینسل ہوں گے تو کیا ریزل داتا ہے ریزل ظاہرہ dy over dx آئے گا لیکن اصل میں ہوتا یہ نہیں ہے یہ صرف ایک نمانک دیوائی سے یات کرنے کے لیے تو if you want to remember that chain rule that's a good way to remember it لیکن یہ یاد رکھیں کہ you're not actually cancelling the du's کیونکہ وہ تو operators ہیں لیکن we can think of it like that تو with that caveat ہم آگے چلتے ہیں اچھا جی تو اب بات کرتے ہیں generalized chain rule یعنی جو derivative ہم نے formula معلوم کیا for the derivative of the composition of functions تو اس میں اب generalization تھوڑی سی کرتے ہیں تو وہی بات ہے کہ chain rule تو ہمیں پتہ چل گیا ہم ابھی لکھ لیں گے پھر سے سکرین پے اس کو تھوڑا سا complicated تھا اس کے اندر آپ کے پاس کچھ quantities ہیں 3 quantities basically dy over dx اور اس کے علاوہ dy over du پھر du over dx تو اس میں یہ ہے کہ یاد کرنا گو کے آسان ہے نمانک ایک device ابھی آپ کو میں نے بتا ہی کہ آپ اس کو cancellation کے طور پہ سوچیں اگر it's easy to remember لیکن it's cumbersome to apply basically بہت ساری چیزیں لکھنے پڑتی ہیں تو کوئی اور shortcut elegant way ہے اس کو لکھنے کی یکینن ہے تو اس کو تھوڑی درکلی سکرین پے دیکھ لیتے ہیں chain rule سب سے پہلے تو لکھ لیں گا تو وہ ہے جناب آپ کے سامنے کہ dy over dx equals dy over du times du over dx اب یہاں پر ایسا کرتے ہیں کہ یہ جو y equals f of u کرلیں اگر ٹھیکے جی اور اس میں دیکھئے کہ اگر اس کو differentiate کریں ہم تو ہمارے پاس یہ with respect to u یعنی we want to differentiate the function y equals f of u with respect to u of course because u is the independent variable so I will get dy over du equals f prime of u یہ تو بیسک سے فارملائز آئے رہے تو کیا مقصدہ اس کو انتدوز کرنے کا this notation کو یعنی y equals f of u کہاں سے آیا ابھی دیکھتے ہیں کہ کہاں سے آیا اور کیوں ہم استعمال کر رہے ہیں اس کو اب لیکن ابھی تک یہاں کیوں کہ y equals f of u کو اگر differentiate کریں تو notation y is simply the same thing as dy over du equals f prime of u یہ تو صرف notation ہم نے بہت پہلے دیکھی تھی that's all I have written down سیمپل سی بات ہے یہ ہے کہ notation اگر compact ہو تو thinking بھی تھوڑی سے کلیر ہو جاتی ہے وہ ہم کرنا چاہ رہے ہیں so let's further continue with this example اب یہاں پہ دیکھیں کہ اس equation کو use کرتے ہوئے میں chain rule کو تھوڑا some modify کر سکتا ہوں chain rule تھا جناب اس میں دیکھیں سب سے پہلے تو یہ کہ dy over du جو ہے وہ برابر تھا f prime of uk well f prime u is also equal to d over dx of the quantity f of u this is basically playing around with the notation یہ نہیں اس میں کوئی نئی بات نہیں ہے notation پہلے دیکھ چکیں اب اس کو فردر اگر میں simplify کروں تو یہ برابر ہوگا f prime of u times du over dx تو یہ f prime of u times du over dx یہ آیا یہ آیا chain rule سے کیونکہ آپ کا function وہ u کی term میں دیا ہے آپ کو x's ملانا ہے تو آپ یہ لکھنا چاہ رہے ہیں کہ ظاہر اسی بات ہے کہ du over dx وہ اس میں multiply کرے گا f prime of u کو تاکہ آپ کے پاس chain rule کی وہ ہے requirements وہ فل فل ہو جائے تو اب chain rule پرہا ہے پورا لنبسا ایک تھوڑا فرملہ تھا جس میں d ratio سے بنیویں تھی اس کو اب ہم اسمال کریں گے فردر دیوالب کریں گے اس کو سکین پر پھر سے دیکھتے ہیں اس کو لیبل بھی کر دیتے ہیں because we'll use it again یہ بات ہی کہ dy over dx وہ برابر تھا dy over du times du over dx تو dy over du وہ obviously آپ کا ہے کیونکہ y equals f of u تھا تو du over du so f of u وہ برابر ہوتا f prime of uk اور du over dx یہاں پر فرملے میں آپ کو دیکھ رہا ہے that's just part of the chain rule اس کو ہم لیبل کرتے ہیں اس کو ہم آگے استعمال کریں گے یہ یاد رکھیں کہ یہ فرملہ it's a very powerful formula simplifies life tremendously تو آگے چلکے اسی کو ہم بیسکلی عادت بنا لیں گے کہ یہی چیز ہم استعمال کریں اور آگے چلکے ہی ہوتا ہے کہ اسی یہ جو بیسکرولزہ ہم دیکھ رہیں آگے چلکے they'll become second nature تو اس میں یاد کرنے کی ضرورت بھی نہیں ہوگی یہ ایک اجامل کرتے ہیں اس فالے فرملے کو استعمال کرتے ہیں یہ دیکھیں کہ ایک اجامل ہے اسی فرملہ ایک پولونومیل ہے ایک دل کے پولونومیل ہے اور اس کی پولونومیل ہے تو ضہرا کامپزیشن ہے اس میں it's not a simple function it's a power function but it's a composition of two functions آپ کے لئے اوپر میں� Joyتا ہوں کون سے فنکشن سے آپ دیسٹنگوش کر سکتے ہیں. میں اس کو کتنیو کرتا ہوں اچھا ہے اس اجامپل کو یہ سکین پہ چلتے ہیں. دیکھئے کہ یہاں پہ مجھے چین رول سمال کرنا ہے to find the derivative یعنی یہ فنکشن تھا y equals x square minus x plus one to the power 23 اس کو مجھے دفنشیٹ کرنا ہے تو اس میں سبسٹیوشن میں پہلے کروں گا کہ u کیا ہونا چاہیے؟ u جو ہے وہ میں inside والی کونٹی جو ہے اس کو use کروں گا so i'll say u equals x square minus x plus one so the function جو original تھا f of x وہ اب بن جائے گا جناب f of u equals u to the power 23 i hopefully یہ کلیر ہے کہ کیوں ایسا ہوگا کیوں کہ جو f of x تھا وہ تھا x square minus x plus one to the power 23 اب آپ نے u کو وہ ساری inside والی چیز کر دیے تو جہاں پہ بھی x نظر آئے گا وہ جو پوری کونٹی ہے وہ u بن گئے تو اب جو نیا فنشن آئے گا اس کو ہم کہہ رہے ہیں f of u it's just u to the power 23 اب دیکھتے ہیں چینرول استعمال کر کے ہم derivative کیسے معلوم کرتے ہیں derivative ہم یہی معلوم کرنا ہے کہ f prime of u کیا ہے so let's continue چینرول اگر اپلائے کریں یہاں پہ جو ابھی ہم نے نیا فاوملہ use کیا تھا equation age اس کو ہم نے کہا تھا تو ہمارے پاس results آتا ہے d over dx of x square minus x plus one to the power 23 equals d over dx of u to the power 23 یعنی compact form آگئے اس کی لیکن یہاں پہ دیکھیں کہ d over dx of u to the power 23 کیا ہوگا basically it's the derivative of u to the power 3 which is 23 times u to the power 22 لیکن multiplied by the derivative of u with respect to x تو یہاں بے بیسکلی concept یہ کہ جب میں نے کہا d over dx of u to the power 23 تو problem یہ ہے یہاں پہ اب کلیر ہو گے ہوگا آپ کو کہ آپ derivative معلوم کر رہے ہیں with respect to x لیکن function جہاں وہ u کی terms میں تو problem یہ ہے ساری کہ اس کو how do you deal with this how do you basically make your equations work when you find the derivative with respect to one variable but your function is defined in terms of a different variable تو وہاں پہ آپ کو ایک extra اس طرح سے سوچ لیجے کہ آپ عام جیسے derivative معلوم کریں گے u to the power 23 کا with respect to u اسی طرح سے معلوم کر لیجے لیکن to incorporate the idea the slight problem کہ جی آپ ڈفنشیٹ کر رہے ہیں with respect to a different variable آپ آخر میں جو رزالت آتا ہے اس کو multiply کر دیتے ہیں with the derivative of that variable that function define in terms of that different variable with respect to x بیسک ہمارا ڈیپنٹنٹ ڈیپنڈنٹ ڈیپنڈنٹ ڈیٹ کرنا چاہتے ہیں تو وہ اس طرح سے اس کو سوچہ جا سکتے ہیں اب اس کو کمپلیٹ کر دیتے ہیں یہ 23 times u to the power 22 times du over dx آیا تھا آپ کے پاس اب یہاں پر دیکھیے کہ u کیا تھا ہمیں پتا ہے u was x square minus x plus one یہاں پر واپس ویلیو ڈال دیجی اس کی تو you get basically 23 times x square minus x plus one to the power 22 اب یہاں پر لیکن problem یہ کہ آپ کو multiply کرنا اس کو with the derivative of with respect to x of the quantity u اور u کیا ہے x square minus x plus one تو یہاں پر دیکھ لیجے کہ وہ جو u ڈیپنڈنٹ ڈیپنڈنٹ ڈیپنڈنٹ ڈیپنڈنٹ ڈیپنڈنٹ یہاں پر دیکھ لیجے تھا وہ آئے بہر ہے اور سب equation لہن وہ logically they are falling into place تو آپ کی جو du over dx ہے وہاں پر u ڈیپنڈنٹ جائے گا اور آپ end up you'll end up with basically differentiating a function which is in terms of x with respect to x that is the point تو یہاں پر دیکھ لیتے ہیں کالپلیشن کا یہاں پر دیکھ لیجے کہ پہلہ پر تو as it is 23 times x square minus x plus one to the power 23 لیکن derivative of x square minus x plus one کیا ہے نوٹ کیجے یہ سیمپل function ہیں power function ہیں ان کو آپ derivative operator distribute کر سکتے ہیں over the sum and the difference تو بیسکل جب آپ کریں گے تو آپ کو اس results آئے گا 2x minus one یہ تھا جناب آپ کی example using the new chain rule کیا لیجے جو simplified version of chain rule کا تو یہ کافی سیمپل ہو جاتا ہے اس میں وہ dy over dx او du over dx والی notation ختم ہو جاتی ہے اور idea بھی اس میں آپ دیکھیں ہے کہ سیمپل فائی ہو جاتا ہے تو یہ آپ کی example ہو گئی اب ہم آگے چلتے اچھا جی تو اس میں پھر وہی بات ہے کہ ایک میں پھر سے کہتا چلوں کہ chain rule میں یہ ذیاد رکھیں کہ problem ساری ہی ہو رہی ہے جب composition کی بات ہم نے کی functions کی تو ان کو differentiate کیسے کرتے ہیں ان کا derivative کیسے معلوم کرتے ہیں تو اس process میں میں دیکھا کہ ہم extra ایک variable ڈالتے ہیں you کچھ بھی ہو سکتا ہے ہم اس کو you کہہ رہے ہیں تو اس میں یہ کہ جب آپ یہ نیا والا جو formula ہم نے simplified version دیکھا ہے اس کا chain rule کا اس میں ایک step ایسا آتا ہے جہاں پہ آپ ڈفنشیٹ کر رہے ہوتے ہیں ایک function کو جس میں آپ ایک ایسے variables کی respect میں کر رہے ہوتے ہیں differentiate ایک ایسے function کو جن کا variable مجھن نہیں کرتا یعنی d over dx of you to the power 23 جیسے ہم نے کیا تو وہ ایک problem تھی لیکن اس کا حل یہ تھا کہ آپ normally differentiate کریں ایسا ہی کریں جیسے آپ x to the power 23 کو کریں گے لیکن ساتھ میں آپ پھر تو اس کے بعد آپ نے جب کیا تو you to the power 23 times you to the power 22 آگیا تھا لیکن ساتھ میں آپ ملٹپلائے کر دیں with the derivative of the function define in terms of you کی value تھی d over dx basically اس میں جو you define کرا تھا ایک function کو اس کے derivative کو multiply کر دیں that's how you basically get the chain rule to work اب یہ آپ کا ایک ہو گیا generalized version اس میں ایک بات اور note کرنے کی یہ ہے کہ میں ایک screen پر لکھتا ہوں بلکے it'll be easier to see نوٹ کیجئے کہ پشلی ایک سامپل میں ہم نے یہ کیا تھا کہ d over dx of you to the power 23 جو ابھی میں نے تھوڑے در پہلے بات کی equals 23 times you to the power 22 times d over dx اب اس میں یہ کیجئے کہ یہاں پہ تو ہم نے ٹھیک ہے یہ تو ہم نے ابھی کیا تھا اگر ایسا کریں کہ ہم you کو x کا value یہاں پہ دے دیں اگر تو کیا ہوگا یعنی let's say کہ you equals x so what happens to this new you to the different derivative معلوم کیا تھا اس کو کیا ہوتا ہے اس پر افیکٹ کیا ہوتا ہے اس کا let's look at the screen and see what happens تو بیسکلی ڈیئے یہ ہے کہ let you equals x well then we get d over dx of x to the power 23 equals 23 times x to the power 22 times the derivative of the function x یعنی d over dx of x کیونکہ you تھا یہاں پہ ہم نے اس کو you کو کہا دیئے یہ x کی برابہ ہے تو اس کو ڈریفنشیٹ کریں گے تو result آئے گا 23 times x to the power 22 یہاں پہ یہ اس کا d over dx of x کو کیا ہوتا ہے well we know that this is just one اور اس کی وجہ میں پتہ ہے یہ power rule سے آپ اس کو ڈریفنشیٹ کریں تو x کے اوپر power one ہے of course when you apply the power rule you get just one تو یہ ہے یہاں پر تھوڑسا ڈریفنشیٹ کریں گے ہو کیا رہا ہے what's actually going on so hopefully chain rule now make looks a little bit easier کیونکہ باس سے فیس اگر last کی یہ تھی کہنے کا مقصد یہ تھا کہ یہ جو اس کا جو ہم نے ابھی تک ڈریفنشیٹ معلوم کیے تھے simple functions کے ان کی یہ generalization ہے یعنی ذوری نہیں ہے کہ یہاں پر ہم نے u equals x جب کہا تو ہم نے یہ کہا دیا کہ آپ کی composition ختم ہو چکی ہے and your function is just defined in terms of x and that's it and you get a simpler function and you can just do it by using you know chain rule لیکن eventually it works out just like finding the derivative of a simple function جس میں compositions نہیں ہوتی لیکن یہاں پر اس سے ظاہر ہو گیا اس کے generalization chain rule ہی ہونی چاہیے and that is the point basically اچھا یہاں پر ایک table میں بنادیتا ہوں آپ کے لیے I'll put it on the screen for you یہ آپ کی reference کی لیے اس میں basically few ideas and basic concepts کس کس situation میں concept formula apply ہوتا ہے chain rule کے بارے میں جو ہم بات کر رہے ہیں اس کے حوالے سے let's put it on the screen for you اچھا یہ آپ نے table دیکھ لیا it's also in your textbook you can look at it further in detail afterwards لیکن یہ بھی reference کی لیے آپ کی لیے میں نے ڈال دیا تھا ہے دا اب یہ ہے کہ ایک ازامپل اور کر لیتے ہیں it's always good to do more and more examples so again let's go back to the screen and do an example an example جنہاں آپ کی had find the derivative i.e. d over dx of the function sin 2x یہاں پر trigonometric function involved ہے پہلے بھی ہم نے دیکھا تھا a trigonometric function involved تھا جس کی example ہم نے پہلے کی تھی with the simpler chain rule اب اس میں ہم درہا یہ جو more sophisticated version ہے چینرول کا وہ اپلائے کریں گے and let's see what happens یہاں پر دیکھ لیں کہ let's say that u equals 2x تو یہاں پر جو فرملہ ہم نے لکھا تھا جس کو میں نے کہا تھا a اس کو اگر ہم اپلائے کریں تو ہمہاں پر اس result آتا ہے اور مقصد یہاں یہاں کہ d over dx معلوم کرنا ہے so we get d over dx of sin 2x یہ سبسٹوشن ہم نے کی تھی u equals 2x so we basically get d over dx of sin of u یہاں میں معلوم ہے کیا ہوتا ہے یہ ہوتا ہے جناب cosine u لیکن وہی بات ہے کہ now you have to multiply this result with the derivative of with respect to x of u what is u we know that it's just 2x so we get or u کی یہاں پر جو cosine u میں آپ substitute کر سکتے ہیں value تو وہاں 2x so you get cosine of 2x times 2x کا derivative کیا ہوتا ہے it's only 2 so you get basically cosine of 2x یہ تو ہوتا ہے اب اس میں یہاں سوال ہوتا ہے جو آگے چلکے بھی ٹیٹ کر لیں گے ہم پھر سے دیکھ لیں گے لیکن یہاں یہاں کہ یہ u جو ہے how do we know what to make u سیمپل سی بات ہے کہ جو چیز simplify کر دے آپ کے given function کو in terms of بیسی کلو ایک ایسا function بنا دے جس کو ہم سیمپل دیفنشیٹ کر لیں تو وہ سبسٹوشن آپ کو استعمال کرنے چاہیے جسی یہاں پہاں آپ کے پاس function تا sign 2x تو آپ کو یہ سوچنا چاہے تھا کہ بھئی ہمیں sign of x کو تو دیفنشیٹ کرنا آتا ہے sign 2x کو نہیں آتا تو کیوں نام ایسا کریں کہ جو 2x ہے اس کو ایک سیمپل دے دیں سیمپل سا یعنی u کا تو ہمہاں پاس function آجائے گا sign of u it'll be in terms of a different variable لیکن it looks like sign x and we can then differentiate it using the chain rule تو یہ ایک general سا concept ہے کہ ایسا جو آپ کے function کو given function کو less complicate کر دے اور ایسا less complicate کرے کہ جو آپ کے پاس result آتا ہے وہ سیمپل function میں ہو شامل جو ہم نے پہلے دیکھے تھے کیسے دیفنشیٹ کرتے ہیں ان میں شامل ہو اور اس کو آپ پھر درکلی دیفنشیٹ کر سکتے ہیں because you know how to do it لیکن پھر ساتھ میں multiply کرنا ہوگا with the derivative of that new u value give it keeping in mind کی u کی value کیا ہے تو آگی ایک example اور کر لیتے ہیں example ہے جناب یہاں پہ کے find the derivative of tangent یا ten x square plus one یعنی d over dx of ten x square plus one تو اب یہاں پہ یہی بات ہے کہ u کیا ہوگا تو یہاں پہ I think you should be able to see کہ اگر آپ tangent x square plus one میں x square plus one کو اگر تھوڑی دیرکلی ہٹا دیں اور ایک ایسی simple value ڈال دیں یعنی u کی تو آپ کا function بن جاگا tangent یا ten u which looks like ten x اور ten x کو ہمیں وہاں پہاں پہاں جنڈل فرملہ ہے اس کا کیا ہوتا ہے وہ اب ہم دیکھیں گے تو یہ یہاں پہاں بات ہے کہ substitution ایسی ہونی چاہیے جو simplify کر دے turns your given function into a simpler function let's continue with this example تو وہی بات ہے کہ اسے یہاں پہاں میں کروں گا u equals x square plus one اور وہ جو فرملہ تھا equation a میں وہ ہم سمال کریں گے so we get d over dx of tangent یا ten x square plus one ہم دیکھیں گے because that's substitution I made well I know how to differentiate tangent u it looks like tangent x تو tangent x کا derivative ہوتا ہے secant squared x یہاں پہ چکے u ہے میرے پاس so I get secant squared u but now I have to multiply it with du over dx اور u کیا چیز ہے وہاں x square plus one so what is d over dx of x square plus one well that's just 2x تو اور اس کے ساتھ یہاں بھی آد رکھیں کہ secant squared u میں u کی جگہ آپ x's ڈالنے x جو اس کی value ہے u کی in terms of x so basically you get secant squared x square plus one times 2x and that's equal to 2x times secant squared x square plus one تو یہ جناب آپ کیا اس طرح سی سارہ process جو ہے یہ یہاں پہاں دیکھا ہے کیسے سمال ہوتا ہے and I think with these examples آپ کو کافی ہتا کلیر ہوگا how to apply اچھا جی تو so far so good hopefully everything is going okay وہی بات ہے کہ میں جیسے پہلے بھی کہہ با کہ اچھو کام practice makes perfect تو we'll just do some more examples پھر آگے بات کریں گے تو let me put an example down for you on the screen یہاں پہ جناب ایک طرح سے complicated function ہے طرح ہے چونکہ ہم زادہ زادہ complicated functions کو سٹمپلفائے ان کا derivative معلوم کرنا چاہے ہیں تو examples کر لیتے ہیں find d over dx of the function square root of x cube plus cosecant x اچھا جی کافی complicated function ہے but وہی بات ہے کہ simplify کیسے کریں گے ایک square root ہے اور اس کے اندر کافی complicated quantity ہے square root x کا ہمیں اگر آپ یاد کرنے derivative معلوم کرنا آتا ہے تو یہاں پہ simple سی بات ہے آپ کی substitution کیا ہونی چاہئے you should equal to whatever is inside the square root symbol and then you'll just get square root of you which you can differentiate تو آئے اس کو کرتے let you equal x cube plus cosecant x than using the formula in equation a we will get d over dx of square root of x cube plus cosecant x that's just equal to d over dx of square root of you یہ ہمیں یاد ہے کہ کیسے کرتے ہیں اس کا results آئے گا 1 over 2 times square root of you لیکن آپ اس کو multiply کرنے ہوگا du over dx سے well that's just 1 over 2 times the square root of x cube plus cosecant x یہاں پر you کی جگہ اس کی value ڈال دی ہے میں نے just substitution کی تھی times the derivative of with respect to x of x cube plus cosecant x یہاں پر میں نے کر دیا ہے I think یہاں پر میں آپ کو کرنے دوں یہ مزید final step کیسے solve کریں گے they'll be good practice so I'll let you do it اور ہم آگے چل کے اور دیکھتے ہیں کیا ہے کرنے کے لئے اچھا جی تو آگے اب یہ ہے کہ آج کا جو ایک last topic جو ہے ہمارا اس میں یہ ہے کہ ایک ابھی تک ہم نے دیکھا کہ شروع میں ہم نے basic concept with chain rule کی بات کرنی ہے اس میں ہم نے پہلے define کیا کیا تھا بہتی basic notation میں تو اصل چیز یہ ہے کہ notation اگر simplifier ہوتی جائے the things become easier تو پھر ہم نے دیکھا کہ اس کی notations سے اگر ہم چھوڑا سکتے جسے کہتے ہیں play around کریں تو ہم ایک اور طرح سے لکھ سکتے تھے chain rule کو اور اس سے یاد کرنے میں ایسان رہتا ہے chain rule conceptual understanding بہتر ہو جاتی ہے اب یہ کہ ایک اپروچ ہے chain rule کو دیکھنے کی it's another way of looking at it تو اس کو بھی دیکھ لیں let's go to the screen یہاں بھی دیکھیں کہ basically it's an alternative approach to using the chain rule یاد رکھیں if you remember we started with f of g of x and then basically labeled g of x as u تو اس کا فکت کیا ہوتا ہے اس کا فکت یہ ہوتا کہ we got f of x was our original function y equals f of g of x یہاں پہ سمپلیفکیشن کیلی ہم نے کہا تھا کہ g of x جیس کو u کا نام دے دیں تو ہمہاں پر سالت آگیا تھا y equals f of u تو اس کو ہم تھوڑا سا دیکھنا چاہتے ہیں کہ پھر ہم نے chain rule of course درائف کر دیا تھا یہاں پہ ہم notation چینج کر کے کچھ تھوڑا سا دیکھنا چاہتے ہیں let it put on the screen for you یہاں پہ یہی بات ہے کہ وہی مخصد لیکن یہاں پر میں کس طرح لکھوں گا اس کو I will write this as f prime of g of x times g prime of x تو یہ کہاں سے آئی یہ ساری notation یہ ایسے آئی کہ بجائے u equals g of x لکنے کے what if I don't do that تو اس میں بھی کوئی مشکل بات نہیں ہے کیونکہ وہ تو صرف آسانی کیلئے تھی اگر آپ u کا نام نہ دیں اس کو تب بھی chain rule سے یہی رزلت آئے گا جب ہم نے کہا تھا u equals g of x یہاں پہ میں نے وہ سبسوشن نہیں کیے and I have just written down the chain rule directly in terms of prime notation so let's look at it again basically بات وہ یہ کہ d over dx of f of g of x equals f prime of g of x times g prime of x تو یہ نئی notation ہے اس سے notation والی بات ہے کہ different notations can give you a different kind of understanding of the same thing یہ ہوتی کہ different notations سمال کریں گے تو understanding بہتر سے بہتر ہو جائے گی تو اس notation سے نئی طریقے سے I am a chain rule کہہ سکتے ہیں دیکھ سکتے ہیں اس کو میں لکھ دیتا ہوں screen پہ with this notation we can say informally of course that the chain rule basically says derivative of the outer function f یہ تھوڑی در پہلے میں بات کی تھی outer function or inner function کی وہی بات میں کر رہوں کہ derivative of the outer function f the derivative of the inner function G and then multiply the two together that's just another way of looking at the chain rule اور وہی بات ہے کہ notation different یہاں پہلے مقصد ہوئیے this is notation سے یہ ہوا کہ ایک طرح سے نئی طریقے سے آپ دیکھ سکتے ہیں کہ حصل میں ہو کیا رہا ہے آپ کے پاس کمپوزیشن ہے functions کی outer function جو اس کا derivative لیں پھر ملتپلائے کر دیں inner function کی derivative سے اس کو and that is I can see that it's obviously the same thing but آپ کو شہت ہو سکتا ہے تھوڑی سی مشکل ہو رہی ہو دیکھنے میں تو اس میں وہی بات ہے کہ دونوں جو ہم نے equations دیکھی ہیں ابھی تک جتنے بھی chain rule کی ان کو لکھی and convince yourself کہ they're the same thing we know how we got U in the previous formulas وہی بات ہے کہ U was equal to G of X تو وہاں پہنے یہاں پہاں آخری بالے میں میں نے کہا تھا notation میں کہ یہاں پہاں اگر میں ناکرونی substitution تو اس نوٹیشن کو استعمال کرتے ہیں ہم ایک اگر آخری کر لیتے ہیں and then we'll wrap it up so let's go to the screen example ہے جناب find d over dx of cosine of 3x plus 1 یہاں پہاں functions identify کرنے یہ بڑے مزے کی بات ہے اس نوٹیشن کی کہ یہاں پہاں آپ کو پہلے functions identify کرنے پڑیں گے so f of x وہ cosine x ہو جائے گا g of x ہے وہ ہے decomposition of functions یعنی ایک function آپ کو دیا ہے which is the composition of two functions اب آپ کو break کرنے کہ وہ individual functions ہے کیا تو وہ کی طریقے سے ہوسکتے ہیں یہاں پہاں میں اس طرح سے ہوسکتے ہیں لیکن I invite you to play around with this also ہوسکتا ہے کوئی اور طریقہ بھی ہو let's continue with this decomposition although یہاں پہاں دیکھیے کہ اب مجھے bride ہم inevitableуется ghee ہ umaिوم迟 عم لیکفother اس ا dissolved不知道ہاں پر ہ番 یہاں ایک ناز 거야 ایک فرم انظر ایکiin فرم بہت کوئی سبسٹوشن مضانے کی ضرورت نہیں تھی کوئی ڈیو اوڈ ڈییکس ڈھکنے کی ضرورت نہیں تھی ہو سکتا ہے آپ کو کنفیوز کر رہاو You don't need to do it with this notation یہ صرف یاد رکھنے کی بات ہے کہ آپ کو Primes لینے تو یہ اس کی notation کی اچھی بات ہے کہ use سارے ہٹ جاتے ہیں اور result ہو یا تا ہے پھر بھی اور وہی بات ہے کہ آپ اس کو اور سے دیکھئے اور اس کو اس you والی notations سے بھی کر کے دیکھ لیں اس example کو And you'll get the same result تو جناب یہ آچکا چینرول کا لیکچر ہو گیا ہمارا چینرول کے بارے میں بات کی very important rule of finding derivatives or differentiating تو اس کو اچھی طرح سے یاد کر لیجی سمجھ لیجی یاد تو ظاہرہ کر لیں گے یاد کرنا سان ہوتا ہے سمجھنا جو ہے that's the crucial thing so hopefully جو ہم نے بات چیٹ کیسے آپ سمجھ آگیا ہوگا کہ چینرول کیا ہوتا ہے وہی بات ہے کہ the basic idea is why do we need chain rule we need it because we want to have a way of finding derivatives of functions that are compositions of other functions that is why we need the chain rule ہم نے اس کا دیکھ لیا کیا ہوتا ہے یہ تو اس کو یاد کر لیجی ہومورٹ کیجی اس کا اور کوئی problem ہوتا تو مجھ سے پوچھ لیجے گا email کر کے تو اس وقت یہ لیکچر یہاں پر ختم کرتے ہیں and I will see you next time Thank you and Khuda Hafiz