 Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypothénus est égal à la somme du carré de ces deux autres côtés. Ainsi s'énonce le plus célèbre des théorèmes de la géométrie euclidienne. Grafiquement, cela signifie que l'air d'un carré construit sur l'hypothénus d'un triangle rectangle serait égal à l'air des carré construits sur les deux autres côtés. Mais comment le démontrer formellement ? Faisons-le en deux minutes. Soit ABC rectangle en A. On construit BCOD, ACKH et FBHG carré extérieur à ABC. Les triangles FBC et ABD sont à l'air isométrique et donc en la même air. Soit D, la droite parallèle ABD passant par A. Elle coupe BC en P et ED en L. Alors BPLD est un rectangle de même base et entre deux mêmes parallèles que ABD. L'air de BPLD est donc égal au double de celle de ABD. De même, l'air de FBHG est le double de celle de FBC. Par égalité d'air des deux triangles, FBHG égal BPLD. On montre de même que PCEL égale ACKH et donc l'air du carré de côté BC et la somme de celle des deux autres carré, CQFD. Soit ABC rectangle en A. On construit les carré extérieures CBFG, CIH et BADE. Soit J symétrique de A par rapport au centre du carré CBFG. Alors, les quadrilataires HDI, HBC, JABF et HIGC sont identiques et donc les hexagones CBODH et CABFJG sont identiques. En retirant deux fois l'air de ABC de chaque hexagone, on trouve que l'air de CBFG est égal à la somme des airs des deux autres carré, CQFD. Soit ABC triangle rectangle de longueur ABC. On construit une ligne copie de ABC dans le prolongement de AB. Alors, le trafesse AEDC a pourrir ABC plus AD factor de AE sur 2, c'est-à-dire B plus C factor de B plus C sur 2. De plus, l'air des triangles ABC et BED sont BC sur 2 et l'air de triangle C rectangle BCD est ACKH sur 2. Puisque l'air du trafesse AEDC est égal à la somme des airs des deux autres triangles, on a B plus C factor de B plus C sur 2, égal BC sur 2 plus BC sur 2 plus ACKH sur 2. Après simplification, il reste B carré plus C carré égal ACKH. CQFD. Soit ABC triangle rectangle de longueur ABC. Avec 4 exemplaires de ce triangle, on construit un carré de côté A plus B. L'air de ce grand carré est égal à l'air des 4 triangles plus l'air du carré de côté A. En déplaçant ces triangles, l'air du grand carré devient la somme de l'air de 4 triangles plus l'air de 2 carré de côté BEC. Donc ACKH égal BC carré plus C carré. CQFD. Soit un triangle rectangle de longueur ABC. Avec 4 exemplaires de ce triangle, on construit un carré de côté A. Ces 4 triangles d'air BC sur 2 délimit un carré d'air C moins B au carré. Donc ACKH égal BC sur 2 plus C moins B au carré, qui se simplifie en ACKH égal BC carré plus C carré. CQFD. Soit ABC rectangle en A. Soit H le pied de la hauteur issu de A. Alors les triangles ABC, HBR et HACC sont semblables. L'air de ces triangles est proportionnel à l'air du carré construit sur leur base. Puisque HBA plus HACC égal ABC, alors AB carré plus ACKH égal BC carré, CQFD. Soit ABC triangle rectangle, on construit ces carré extérieurs et on les découpe façon tant de grammes. Les aires se correspondent CQFD. Ou alors on peut les découper comme ça. CQFD.