 Dedicamos este vídeo a dar un paso más en nuestro repaso a la división entera, haciendo hincapié en los aspectos relacionados con los signos de los dividendos y los divisores, y que serán especialmente útiles en el módulo 2 al realizar cálculos con la aritmética modular. En primer lugar, enunciamos el siguiente teoría. Segura que, dados un par de números enteros n y d, siendo d diferente de cero, existe un mecanismo que permite calcular la división entera de n entre d, obteniendo así un cociente y un resto, de manera que el resto es siempre positivo, independientemente del signo de dividendo y de divisor, y menor que el valor absoluto del divisor. Además, nos garantiza que tanto cociente como resto son únicos. Así, dados los siguientes pares de números, si calculamos la división entera de 15 entre 7 y 43 entre 11, respectivamente obtenemos la siguiente expresión, que 15 es 2 por 7 más 1, y que 43 son 3 por 11 más 10. Como hemos dicho al comienzo de este vídeo, haremos un uso extensivo del mecanismo de la división entera cuando nos adentremos en el cálculo de la aritmética modular en el módulo 2. Refrescaremos a continuación de manera muy rápida el mecanismo de la división que todos, a buen seguro, estudiamos en la escuela primaria. Comencemos con el caso en el que tanto dividendo como divisor son positivos, y veremos luego los retos que se nos plantean cuando no se cumple este hecho y cómo lo solventaremos. Por ejemplo, la división entre 4.712 y 23 involucraría los siguientes pasos. Comenzaremos dividiendo 47 entre 23, el cociente 2 será nuestro cociente, y el resto que restaremos a 47 será el resultado de multiplicar 23 por 2, esto es 46. Bajamos la siguiente cifra y repetimos el procedimiento 11 entre 23, el cociente será 0, con lo que este será el cociente que nosotros añadiremos. La multiplicación en este caso sería 0, con lo cual no restamos ninguna cantidad y bajamos la siguiente. Tenemos 112 entre 23, el cociente será 4, este será nuestro cociente y cuando multipliquemos 23 por 4 el 92 será lo que le restaremos a 112, el resultado 20 será el resto de nuestra división. Así pues, cuando el dividendo es 4712, el divisor 23 hemos obtenido un cociente de 204 y un resto de 20, que observemos es positivo y menor que 23. Así pues, podemos escribir 4712 como 204 por 23 más el resto 20. Además, esta simple comprobación multiplicando nos permite verificar que el resultado de la división es correcto. Veamos qué ocurre cuando el divisor es negativo. Para ello calcularemos la división de 4712 entre menos 23. ¿Cómo calculamos el cociente y el resto? Sabemos como acabamos de ver que 4712 es 204 veces 23 más 20. Observemos que podemos multiplicar el sumando 204 por 23 por 1, puesto que es el elemento de la multiplicación y de hecho más precisamente por menos 1 por menos 1. Nos interesa menos 1 por menos 1 puesto que aplicaremos la asociativa y agruparemos un factor menos 1 con 204 y el otro con 23. Esto nos permite reescribir 4712 de la siguiente manera, pero esta expresión ya nos da el valor del cociente que será menos 204 y el del resto que será 20. Observad que tal y como enunciaba el teorema, el resto es positivo y menor que el valor absoluto del divisor. Veamos qué ocurre cuando es el dividendo el que es negativo mientras que el divisor sea positivo. Supongamos que queremos realizar la siguiente división entera dividiendo menos 4712 entre 23. Esto es, queremos calcular cociente y resto. Para ello partimos de la igualdad inicial al dividir 4712 entre 23 ambos positivos. Multiplicamos ambos términos de la igualdad por menos 1 y obtenemos la siguiente expresión al agrupar menos 1 con el factor 204 aplicando la asociativa. Nos puede parecer que de aquí podemos obtener, hemos obtenido el cociente y el resto, pero observemos que no, puesto que el supuesto resto menos 20 es un valor negativo. Para solucionar esto sumamos el elemento neutro de la suma, esto es el 0, pero de manera especial, en particular sumando y restando el valor del divisor, esto es 23. Aplicamos convenientemente la asociativa de manera que agrupamos más 23 con el sumando menos 20 y menos 23 con el sumando menos 204 por 23. Esto nos permite reescribir menos 4712 de la siguiente manera, donde obtenemos el cociente y el resto, que ahora sí es un valor positivo y menor que 23. Y para finalizar este repaso a la división entera, veamos cómo calcular la división entera de menos 4712 entre menos 23. Partiremos para ello de la última igualdad que acabamos de obtener. Con la única observación de que el menos 1 que habíamos agrupado con 205, lo agruparemos con 23. Así obtenemos el cociente que será 205 y el resto 3 un valor positivo de nuevo y menor que 23. Y ahora que habéis refrescado la división entera, supongo que no resultará complicado ver cuál de las siguientes soluciones corresponde a la división entera de menos 49 entre 12. Efectivamente, espero que todos coincidáis en que es la tercera la opción correcta como se deduce rápidamente del hecho de que de las tres opciones es la única que tiene un resto positivo. Observemos además que menos 49 efectivamente lo podemos calcular como Y acabaremos proponiendo que realicéis las siguientes divisiones enteras. Con el fin de comprobar, si habéis refrescado correctamente o en algún caso igual adquirido, bien los conceptos propuestos. Recordad que en un vídeo podréis encontrar la solución por si surge alguna duda o queréis comprobar el resultado. Es muy importante que os familiaricéis bien con este tipo de divisiones, puesto que como ya he comentado en un par de ocasiones anteriormente, las utilizaremos en el módulo 2.