 Le 11 avril dernier, le mathématicien John Conway nous quittait, victime d'une certaine maladie. De tous les mathématiciens, Conway est celui qui m'a le plus inspiré par ses centres d'intérêts multiples et son approche souvent décalée des mathématiques. Dans tout ce que j'ai produit sur internet et ailleurs, il y a toujours eu un peu de Conway. Je dois avouer que sa disparition me touche particulièrement et j'ai deux minutes pour vous en parler. 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, etc. Tels sont les premiers termes de ce que l'on appelle la suite audioactive de Conway, auquel j'avais déjà consacré 2 minutes dans une ancienne vidéo. Le travail de John Conway est très loin de se limiter à cette suite. Donc je vous propose aujourd'hui de vous faire une petite idée de son travail à travers un tour d'horizon de ce qui nous a laissé. Il me sera impossible d'être exhaustif, donc je vais me contenter d'évoquer 10 sujets auxquels son nom restera associé. Je vais également tenter de ne pas trop m'appesentir sur chaque sujet, puisqu'il pourrait individuellement faire l'objet d'une véritable vidéo de 2 minutes. Numéro 10, le cercle de Conway. Commençons doucement avec un petit résultat de géométrie élémentaire que l'on doit à John Conway. On prend un triangle ABC et on va prolonger en chacun de ses sommets les côtés de façon à former 3 triangles isocèles, dont les longueurs des jambes sont celles du côté opposées dans le triangle. On obtient alors 6 points D, E, F, G, H et I, qui se trouvent être cosycliques, c'est-à-dire qu'ils appartiennent à un même cercle. Ce cercle, on l'appelle le cercle de Conway. Pour prouver que ces 6 points sont sur un même cercle, on a besoin que de connaître quelques propriétés de géométrie du triangle. On commence par tracer les 3 bisectrices du triangle, concurrentes en un point O, qui se trouve être le centre du cercle inscrit du triangle. On remarque alors que la bisectrice issue de A est aussi une bisectrice du triangle ADE. Comme c'est un triangle isocèle, cette bisectrice est aussi une médiatrice du segment DE, si bien qu'OD est égal à OE. De même, la bisectrice du triangle ABC issue de B est une médiatrice du segment EF, d'oE égale OF. Avec les mêmes raisonnements, on montre que OD, OE, OF, OG, OH et OI sont tous égaux. O est donc le centre d'un cercle qui passe par les 6 points DE, F, G, H et I, le cercle de Conway. Numéro 9, l'algorithme Doomsday. John Conway est né le 26 décembre 1937. C'était un dimanche. Pour le savoir, j'ai simplement consulté un calendrier, c'est un peu de la triche. Mais pour Conway, déterminer le jour de la semaine d'une date donnée au hasard, c'est quelque chose qui peut se faire aisément de tête, en utilisant ce qu'il a baptisé l'algorithme du jugement dernier ou algorithme Doomsday. Pour s'entraîner à utiliser mentalement sa méthode, Conway avait mis au point un programme qui lui demandait à chaque fois qu'il allumait son ordinateur le jour de la semaine d'une date choisi au hasard. Sa méthode s'appuie sur le fait que certaines dates du calendrier tombent toujours sur le même jour. Si le dernier jour du mois de février tombe à samedi comme c'est le cas cet année 2020, ça sera aussi le cas du 4 avril, du 6 juin, du 8 août, du 10 octobre ou du 12 décembre. On dit alors que le samedi est le Doomsday de l'année 2020. Ces dates et quelques autres sont ce que l'on appelle les dates pivots du calendrier qui tombent toujours un même jour. Si on est capable de connaître le Doomsday pour l'année de son choix, on pourra retrouver le jour de n'importe quelle date de cette année en ce site par rapport à ces dates repères. Ainsi, le 20 octobre 2020 tombera un mardi puisqu'il se situe une semaine et trois jours après la date pivots du 10 octobre qui, en 2020, est un samedi. De même, le Doomsday de l'année 1937 est le dimanche puisque Conway est né le 26 décembre 1937, soit deux semaines tout pile après la date pivots du dimanche 12 décembre, on peut en déduire qui n'est né un dimanche. Reste alors à calculer le Doomsday de l'année de son choix. Prenons l'année 1987 pour l'exemple. On commence par identifier le siècle de la date qui nous intéresse. Ici, on est face aux années 1900. Il nous faut alors connaître le jour balise de ce siècle. Pour le besoin des calculs, ne parlons plus de dimanche de lundi ou de mardi, mais parlons plutôt de zéro-dix, de indies, de dodis ou de trois-dix, etc. Conway parlait ainsi volontiers de Wednesday ou de Tuesday pour parler du premier ou du deuxième jour de la semaine. Le jour balise des années de 1900 à 1999, c'est le mercredi, pardon, le 3d. Pour les années allant de 2000 à 2099, c'est le 2d. Entre 2100 et 2199, c'est le 0d. Et pour les années de 1800 à 1899, c'est le 5d. Le cycle des calendriers est de 400 ans, donc pour les siècles suivants et précédents, il suffit de compléter. On peut alors calculer le doomsday de cette année 1987. On a dit, le jour balise du siècle, c'est le 3d. On met ce nombre 3 de côté et on s'intéresse au nombre 87. L'algorithme de Conway demande de calculer 3 choses. Le quotient du nombre dans la division par 12, le reste dans la division par 12 et le quotient par 4 de ce reste. Ainsi, 87 divisé par 12, ça donne 7 et il reste 3. En divisant ce reste par 4, on obtient 0. Il ne reste plus qu'à ajouter ces 3 nombres, ainsi que le nombre balise qu'on a mis de côté, 7 plus 3 plus 0 plus 3, égal 13. Si nécessaire, on se ramène à un nombre entre 0 et 6, en soustrayant 7. On obtient alors 6. Cette formule nous a donc permis de calculer que le doomsday de l'année 1987 est le 6d, c'est-à-dire le samedi. Si je veux savoir quel jour de la semaine était le 3 décembre 1987, je me repère donc par rapport à la date pivot du samedi 12 décembre 1987. Le 3 décembre, c'était une semaine et deux jours plus tôt, c'était donc un jeudi. Bref, avec cet algorithme pas si difficile à calculer mentalement avec un peu d'entraînement, on peut déterminer le jour de n'importe quelle date du calendrier grégoriens. Merci Conway. Numéro 8, les pavages de Conway. En 1994, Charles Radine présente le pavage en moulin avant. Un pavage du plan a l'aide d'une tuile triangulaire qui présente une propriété assez inattendue. Ce pavage est aperiodique, c'est-à-dire que même s'il recouvre l'infinité du plan, il n'y a pas de motif qui se répète par un simple déplacement. Radine donne tout le crédit de sa découverte à John Conway, qui a mis au point la construction sur laquelle il s'est appuyé. On part d'un triangle rectangle deux fois plus long que large, c'est-à-dire de côté respectif 1, 2 et racine de 5. On peut remarquer qu'une construction assez simple permet de découper ce triangle en 5 triangles plus petits, similaires aux triangles initiales. À partir de ce découpage, on peut alors créer un pavage du plan entier. Il suffit pour cela d'agrandir le premier triangle et de refaire notre découpage sur chacun des 5 triangles obtenus. On a maintenant 25 triangles et on peut alors poursuivre la construction. Il en résulte alors ce superbe pavage aperiodique. Une de ces propriétés étonnantes, c'est que les triangles de ce pavage peuvent prendre une infinité de directions différentes. Les contributions de Conway au monde des pavages ne s'arrêtent pas là. On lui doit par exemple une notation des groupes de papier peint que j'évoquais dans ma vidéo sur la classification des pavages. Selon Conway, ce pavage se note 2222, celui-là 22x et celui-là étoile 632. On lui doit aussi un critère suffisant pour créer la tuile d'un pavage. Le critère de Conway indique que l'on peut pavé le plan avec une tuile polygonale si les 3 critères suivants sont respectés. Il s'agit d'un polygon non croisé possédant dans l'ordre 6 points A, B, C, D, E et F, dont au moins 3 sont distincts. Les côtés A, B et E, D sont superposables par translation et les côtés B, C, D et E, F possèdent un centre de symétrie. Si une tuile vérifie ces 3 critères, alors on peut être assuré qu'elle pourra recouvrir le plan de façon périodique. La réciproque n'est cependant pas vraie. Certaines tuiles qui pavent le plan ne respectent pas le critère de Conway. Enfin, Conway explore les pavages en 3 dimensions avec la découverte d'un poulièdre qui répond au problème Einstein. Rien à voir avec le physicien, il s'agit de trouver une tuile, Einstein en allemand, qui peut pavé le plan ou l'espace, mais uniquement de façon à périodique. En 1995, Conway, Schmidt et Denzer construisent un biprisme qui permet de répondre au problème. Leur poulièdre engendre cependant un pavage un peu décevant, constitué de couches successives plus ou moins équivalentes. Suite à cet exemple de pavage à périodique, il a fallu redéfinir exactement ce que l'on attendait d'un véritable pavage à périodique d'appellation d'origine contrôlée. Merci Conway. Numéro 7, la nomenclature des grands nombres. Voici un nombre un peu grand. Comment doit-on le lire en français ? La méthode nous vient de chouquet au XVe siècle. On commence par rassembler les chiffres par groupe de 6, puis on ajoute les mots en Lyon qui correspondent aux puissances de 1 million. Millions, billions, trillions, quadrillions, etc. Le nombre s'appelle donc 1 quadrillion, 303.577 trillions, 269.344.296.391.257.099. Au XVIe siècle, on introduit les mots en liars pour les milliers de puissances d'un million. Un millier de millions, c'est un milliard. Un millier de billions, c'est un billard. Un millier de trillions, c'est un trilliard, etc. Notre nombre s'appelle donc aussi 1 quadrillion, 303.577 trillions, 269.344.296.391.257.099. Cette façon de nommer les grands nombres en les groupant par 6 est la nomenclature officielle utilisée en français. On parle ici d'échelles longues. Les anglophones quant à eux utilisent une toute autre échelle, l'échelle courte, qui groupe les chiffres non pas par 6, mais par 3. Pour un anglophone, notre nombre s'appelle donc 1 7.303.6.577.15.269.344.296.391.257.099. Cette nomenclature alternative, qui utilise les mêmes mots qu'en français, permet à coup sûr de se tromper lorsque l'on traduit un nombre de l'anglais au français. Bref, oublions l'échelle courte. Les mots qui désignent les puissances du million sont donc billion, trillion, quadrillion, quintillion, sextillion, septillion, octillion, nonillion et décillion. Et ensuite, comment rappellent-on la 42e puissance d'un million et la 386e ? John Conway propose en 1996 une nomenclature de ses grands nombres dans le livre The Book of Numbers, qu'il co-écrit avec Richard Guy. Pour la 1e puissance de 1 million, pour n compris entre 10 et 999, on va se référer à ce tableau. Par exemple, si on veut nommer ce nombre-là constitué de 1, 1 suivi de 252, 0, c'est-à-dire 1 million à la puissance 42, on se référera au tableau. On a deux unités, quatre dizaines et aucune centaine, ce qui donne le préfixe du haut cadrage intê. 1, 1 suivi de 250, 0, et donc en français, le duo cadrage intilien. Pour 1 million à la puissance 386, on a 6 unités, 8 dizaines et 3 centaines, ce qui donne le préfixe 6 octogenta trécenti, un 1 suivi de 2300, et donc un 6 octogenta trécentilien. Pour les puissances plus grandes que 999, Conway propose d'intercaler la syllabe Li entre les différents préfixes. Ainsi, la 42 386e puissance d'un million se nomme le duo cadrage intilien 6 octogenta trécentilien. Merci Conway. Numéro 6, le problème de l'ange. En 1982, Conway présente un problème qui restera ouvert pendant 24 ans, une histoire d'ange et de démons qui jouent au jeu du chat et de la souris sur un échecier infini. La situation est la suivante. Un ange se trouve sur un échecier infini et peut se déplacer comme le roi du jeu d'échec d'une case dans chacune des huit directions possibles. À chaque fois qu'il fait un pas, un démon viendra neutraliser une case de l'échecier, celle de son choix n'importe où. Lorsqu'une case est neutralisée, l'ange ne peut plus s'y déplacer. L'objectif pour le démon est alors d'enfermer l'ange sur une île de laquelle il ne pourra sortir, tandis que l'objectif pour l'ange est d'échapper indéfiniment aux pièges du démon. Existe-t-il une stratégie qui garantit sa lange de s'échapper indéfiniment ou bien existe-t-il une stratégie qui permet aux démons de gagner à coup sûr en un temps fini ? Ce problème a rapidement été résolu par Elvim Berlecamp, qui montre qu'un démon peut toujours confiner l'ange dans un carré de 35 cases de côté. Il suffit pour le démon de tracer consciencieusement les coins de ce carré, le temps que l'ange s'approche, puis d'entrasser les contours une fois que l'ange est suffisamment près du bord. Donnons alors un peu plus de pouvoir à l'ange. Au lieu de se déplacer d'une case à chaque pas, il peut maintenant se déplacer de deux cases dans la direction de son choix. On dit que l'ange est de force 2. À chaque étape, 24 cases sont donc accessibles à cette ange de force 2. Il peut même sauter par-dessus une case neutralisée par le démon. Existe-t-il alors toujours une stratégie gagnante pour le démon qui doit creuser un fossé d'au moins deux cases de large ? Et pour un ange de force 3, de force 4, de force 8, c'est sur ces nouvelles questions que le problème devient difficile et donc intéressant. Conway avait l'intuition qu'une stratégie de fuite parfaite existait, mais il n'était parvenu qu'à démontrer la supériorité du démon que dans certains cas de stratégie simpliste de l'ange. Par exemple, si l'ange adhote la stratégie montante qui consiste à toujours se déplacer d'au moins une case vers le haut, on peut montrer qu'il existe toujours un moyen pour le démon de creuser un fossé infranchissable. Le démon doit tout de même bien préparer son plan puisque pour un ange de force 2, cela requiert de préparer à l'avance un billion de coups. Pour un ange de force plus grande, le démon aura toujours une stratégie imbattable lorsque l'ange adopte la stratégie montante, mais il lui faudra faire preuve de beaucoup de patience. Pour un simple ange de force 3, il faut s'éprendre plus d'un sextilion de coups à l'avance. Le démon se doit donc d'être très patient. D'autres stratégies pour l'ange ont été envisagées par Conway comme la stratégie montante molle qui interdit d'aller vers le bas, mais celles-ci seront aussi contrées par un démon très, très patient. Existe-t-il alors une stratégie infaillible pour le démon qui lui permettrait d'enfermer n'importe quel ange, de n'importe quelle force ? Conway, impatient d'avoir une réponse à ce problème, a proposé une récompense pour la première personne qui en découvrerait une solution. 100 $ pour une stratégie gagnante de l'ange de force 2 ou plus et 1000 $ pour une stratégie gagnante pour le démon. En 2006, il a finalement dû débourser ses 100 $, car quatre mathématiciens ont proposé leur réponse. Il existe bel et bien une stratégie infaillible pour un ange de force 2 ou plus. Chématiquement, cette stratégie consiste à chercher à aller toujours vers le haut, en s'autorisant de revenir en arrière dès que le démon commence à fabriquer un piège un peu trop imposant. Un problème qui demande beaucoup de temps et d'ingéniosité pour être résolu est un beau problème. Le problème de l'ange est donc un beau problème. Merci Conway. Numéro 5, le jeu des pouces. Dans les années 60, John Conway présente le jeu des pouces qui permet à deux joueurs de s'affronter. Le seul matériel nécessaire, c'est du papier et des crayons. On commence par dessiner sur la feuille plusieurs points. Chaque à leur tour, les joueurs vont venir dessiner une ligne éventuellement courbe qui relie deux points, puis ajouter un nouveau point sur cette ligne. Il n'y a alors que deux règles à respecter. Les lignes ne doivent jamais se traverser et un même point ne peut pas être relié à plus de trois lignes. Un joueur gagne lorsque son adversaire ne peut plus jouer de coups-valides. Partons par exemple d'une situation à deux points initiaux, A et B. Le premier joueur en bleu commence par les reliés et ajoute le point C. Le deuxième joueur en rouge poursuit en reliant les deux points des extrémités et rajoute le point D. Le joueur 1 poursuit en reliant A à C et ajoute E. Le joueur 2 relient alors E à B et ajoute F. Et enfin, le joueur 1 relie F à D et ajoute J. Puisque ce dernier point est le seul qui n'est pas relié à trois traits, la victoire revient donc au joueur 1. En fait, ce deuxième joueur aurait pu être un peu plus malin lors de son deuxième coup en reliant B à D. Les seuls points encore disponibles sont alors E et F, mais il est impossible de les relier sans couper une autre ligne. On peut alors remarquer que quel que soit le nombre de points initiaux, le jeu se terminera tôt ou tard. En effet, on peut accrocher en chaque point un maximum de trois lignes. Si on dispose au départ de N point, on a donc trois N en placements disponibles pour accueillir des lignes. À chaque étape, on relie deux points, ce qui diminue de deux le nombre d'emplacement. On ajoute un point avec un nouvel emplacement. Chaque coup diminue donc de 1 le nombre d'emplacement. Dans le meilleur des cas, le jeu s'arrête lorsqu'il ne reste plus qu'un seul emplacement, ce qui arrive donc après trois N moins un coup. Puisque une partie se termine forcément après un nombre fini de coup et qu'il n'y a pas d'égalité possible, un théorème important de la théorie des jeux sur lequel il serait bon que je me penche deux minutes affirme que l'un des joueurs dispose forcément d'une stratégie gagnante, c'est-à-dire d'une liste de réponses à donner à chaque coup possible de son adversaire et qui le mène nécessairement à la victoire. Pour deux points initiaux, par exemple, c'est le joueur 2 qui dispose de cette stratégie gagnante, ce que l'on va essayer de prouver. Pour son premier coup, le joueur 1 peut envisager cinq coups différents, mais on sent que quatre d'entre eux sont grosso modo équivalents. Disons qu'il choisit de relier le point A à lui-même, en créant le point C. Dans ce cas, la bonne réponse à apporter est de relier A à C, de manière à ce que le nouveau point créé soit inatténiable depuis B. Quel que soit le coup suivant pour le joueur 1, il sera bloqué au coup d'après. Le joueur 2 gagnera donc à coup sûr. Au contraire, si le joueur 1 avait relier A à B lors de son premier coup, le joueur 2 gagnera à coup sûr en reliant lui aussi A à B. En effet, quel que soit le coup suivant du joueur 1, il existera une réponse du joueur 2 qui lui permette de gagner. Bref, il existe une stratégie gagnante à coup sûr pour le joueur 2. Se pose alors la question, pour quel nombre initial de points le joueur 1 dispose d'une stratégie gagnante et dans quel cas est-ce le joueur 2 ? On vient de voir que c'est le joueur 2 qui a la stratégie gagnante pour N égale 2 points initiaux. On peut facilement se convaincre que c'est aussi le cas pour un point initial. Pour N égale 3, c'est le joueur 1 qui a cette stratégie gagnante, de même pour N égale 4 et N égale 5. Le joueur 2 reprend l'avantage pour N égale 6, N égale 7 et N égale 8 points initiaux, puis change à nouveau pour N égale 9, N égale 10 et N égale 11 et ainsi de suite. Les calculs ont été menés jusqu'au cas N égale 44 et le motif est vérifié. Cependant, jusqu'aujourd'hui, personne n'a été capable de prouver que c'était bien le cas dans le cas général. Pour un grand nombre de points initiaux, on ne sait donc pas aujourd'hui dire qui aura l'avantage du joueur 1 ou du joueur 2. Bien qu'il existe des stratégies gagnantes, ce n'est pas pour autant que ce jeu n'est pas intéressant à jouer, puisque ces stratégies parfaites sont impossibles à connaître dès que N est un petit peu grand. Malgré sa simplicité, le jeu des pouces restera toujours d'une grande complexité. Merci Conway. Numéro 4, la notation fléchée des grands nombres. C'est bien de nommer des grands nombres, mais c'est encore plus intéressant de les fabriquer. Toujours en 1996, il propose un opérateur de calcul sur les nombres entiers qui produisent des résultats extraordinairement grands. Ces nombres gigantesques se présentent sous la forme d'une chaîne d'entier séparée par des flèches, comme par exemple 3 flèches 2 flèches 3. Ce nombre est de l'ordre de 7 billion. Pour évaluer un nombre écrit avec les flèches de Conway, on utilisera trois règles. Première règle, si la chaîne compte deux éléments, la flèche correspond à une exponentiation, c'est-à-dire à l'opération de puissance. Ainsi, 5 flèches 2 est égal à 5 puissance 2, c'est-à-dire 25. Deuxième règle, si une chaîne comporte un 1, on peut la couper juste avant ce 1. Par exemple, la chaîne 5 flèches 2 flèches 1 flèche 42 est égal à 5 flèches 2, c'est-à-dire à 25. Enfin, la troisième règle, celle qui engendre les nombres gigantesques. Si le dernier nombre d'une chaîne est plus grand que 1, on peut le diminuer d'une unité en remplaçant l'avant dernier nombre par une copie de la chaîne initiale dans laquelle l'avant dernier terme est diminué d'une unité. Pour comprendre, reprenons le premier exemple, 3 flèches 2 flèches 3. Pour simplifier ce nombre, on commence par appliquer la règle numéro 3. On décrémente le dernier terme 3 et on remplace l'avant dernier terme 2 par une copie de la chaîne initiale 3 flèches 1 flèches 3. On a à présent la chaîne 3 flèches entre parenthèses 3 flèches 1 flèches 3 flèches 2. On repère un 1 dans l'avant dernier terme, ce qui nous permet de la simplifier grâce à la règle numéro 2. Elle devient donc 3 flèches 3 flèches 2. Appliquons à nouveau la règle numéro 3. Notre chaîne devient à présent 3 flèches entre parenthèses 3 flèches 2 flèches 1. On peut encore utiliser la règle numéro 3 sur le terme entre parenthèses. Notre chaîne devient donc 3 flèches entre parenthèses 3 flèches entre parenthèses 3 flèches 1 flèches 2 flèches 1 flèches 1. On peut maintenant couper tous les 1 grâce à la règle numéro 2. La chaîne devient donc 3 flèches entre parenthèses 3 flèches 3. On peut à présent appliquer la règle numéro 1. 3 flèches 3 est égal à 3 puissance 3 c'est à dire 27. La chaîne est donc finalement égal à 3 flèches 27 c'est à dire 3 puissance 27 soit 7.625.597.484.987. C'est un très grand nombre mais il paraîtra ridicule à côté de 3 flèches 2 flèches 4. Quand on cherche à l'évaluer, on sera amené après simplification à évaluer 3 flèches 3 puissance 27 flèches 2. Ce qui est égal à la tour de puissance 3 puissance 3 puissance 3 puissance 3 puissance 3 avec 3 puissance 27. C'est un nombre très grand, vraiment très grand, vous ne pouvez pas imaginer à quel point c'est grand. A titre de comparaison avec seulement 4 étages, on aurait déjà un nombre qui compte plus de 3 billons de chiffre. Là c'est 7 billons d'étages, de quoi donner un vertige vertigineux. Merci Conway. Numéro 3, les nombres sur réels. Jusqu'ici, nous n'avons parlé que des nombres entiers, mais les nombres ne se résument pas qu'à ça. On peut par exemple citer les nombres décimaux, ceux qui s'écrivent avec une virgule et un nombre fini de chiffre derrière. Mais il y a des nombres qui ne sont pas décimaux comme un tiers, qui lui possèdent une infinité de chiffres derrière la virgule. Un tiers est ce que l'on appelle un nombre rationnel, que l'on peut exprimer comme une fraction de deux entiers. Cependant, certains nombres ne sont pas rationnels comme racine carré de deux. Il s'agit d'un nombre réel, ce qui correspond, en première approximation, à une longueur que l'on peut mesurer géométriquement. On a enfin des nombres qui demandent plus de dimensions pour être représentés, comme les nombres complexes à deux dimensions ou les quaternions à quatre dimensions, mais je n'en parlerai pas. Pour construire l'ensemble des nombres réels, on commence par fabriquer à partir des nombres entiers, tous les nombres rationnels en créant toutes les fractions différentes possibles. Cet ensemble de nombres contient alors plein de trous. Le mathématicien allemand Richard Dedekind a proposé une méthode pour d'une certaine façon boucher ces trous, ce qui permet de fabriquer l'ensemble des nombres réels. Pour créer le nombre racine carré de deux, par exemple, on va boucher le trou qui sépare tous les nombres rationnels positifs dont le carré est inférieur à deux, de ceux dont le carré est supérieur à deux. L'ensemble des nombres réels obtenus est alors totalement ordonné, c'est-à-dire que si on prend deux nombres réels, il y en a toujours un qui est plus petit que l'autre. Cette propriété peut sembler évidente, mais ce n'est pas le cas chez les nombres complexes, par exemple. De plus, l'ensemble des nombres réels forme ce que l'on appelle en algebre un corps, c'est-à-dire un ensemble de nombres dans lequel on peut sans trop de problèmes réaliser les opérations de base, addition, soustraction, multiplication et division. Les nombres réels permettent même de faire encore plus, sous certaines conditions, des racines carré, des cocinus, des logaritmes, etc. Mais il existe une catégorie de nombres qui échappe à tout ça, les nombres ordinaux. On les utilise pour numéroter les éléments d'un ensemble, zéro yem, premier, deuxième, troisième, etc. Mais un ensemble peut contenir une infinité d'éléments, comme l'hôtel de Hilbert par exemple, qui a plusieurs étages, qui comprennent chacun une infinité de chambres. Quand on parcourt les chambres de cet hôtel étage par étage, le ray de chaussée sera numéroté par les nombres entiers. Tous les nombres entiers sont donc utilisés quand on arrive au deuxième étage, il nous faut donc un nombre plus grand que tous les entiers. Ce nombre infini est ce que l'on appelle un ordinal et on le note omega. La première chambre du deuxième étage est donc la chambre numéro omega, la suivante est numérotée omega plus 1, puis omega plus 2 et ainsi de suite. La première chambre de l'étage du dessus est alors numérotée omega plus omega autrement dit omega fois 2. La chambre suivante est omega fois 2 plus 1 et ainsi de suite. Bref, la collection des ordinaux est totalement ordonnée et permet de généraliser les nombres entiers au-delà de l'infini. Je vous renvoie à ma vidéo sur l'hydro de Kirby pour davantage de détails. Le problème des nombres ordinaux, c'est qu'il ne s'agit pas du tout d'un corps. On peut sous certaines conditions faire des additions et des multiplications, mais ni soustractions ni divisions sont tolérés. Les nombres omega moins 1 ou omega divisé par 4 n'ont donc aucun sens et hors de question de parler d'horreur comme racine carré de omega ou cocinus de exponentiel de omega. Mais ça, c'était avant que Conway propose au détour de l'étude du jeu de go un nouveau type de nombre, une généralisation des nombres réels qui incluent les ordinaux et qui autorisent toutes sortes d'opérations extravagantes. Impressionnée par cette construction, le mathématicien Donald Nutt l'ématisera les nombres sur réels. Pour comprendre ces nombres sur réels, Conway propose de revoir la méthode des déquines de la construction des nombres réels. On va fabriquer des nombres étape par étape ou pour reprendre le vocabulaire de Conway jour par jour. On commence au jour 0, où l'on ne dispose que de un seul nombre, 0. Le jour 1, on ajoute un nombre avant et après que l'on appellera moins 1 et 1. Au jour 2, on ajoute un nombre dans chaque trou laissé à l'étape précédente, on ajoute donc moins 2, moins 1 demi, 1 demi et 2. On poursuit alors en comblant chaque jour les trous laissés à l'étape précédente. Au jour 3, viennent donc s'ajouter 8 nouveaux nombres, moins 3, moins 3 demi, moins 3 quart, moins 1 quart, 1 quart, 3 quart, 3 demi et 3. Et ainsi de suite. En poursuivant ce processus, on sera alors amené à créer l'ensemble des nombres dits d'illadiques. C'est-à-dire, les nombres rationnels dont le dénominateur est une puissance de 2 comme 5 demi, 13 huitième ou 187 sur 256. Le twist, c'est que les jours ne sont pas numérotés par les nombres entiers, mais par les nombres ordinaux. Le jour omega, on vient donc compléter tous les trous laissés dans l'ensemble des nombres dits d'illadiques. On le complète donc avec l'ensemble des nombres réels qui manquaient. Au jour omega, son nom de créer des nombres comme un tiers, racine carré de 2 ou même pi. Mais ce n'est pas tout. On ajoute aussi un nombre plus grand que tous les réels, c'est omega. Mais aussi un nombre plus petit que tous les réels, c'est moins omega. Mais on rajoute aussi un nombre entre 0 et l'ensemble de tous les nombres positifs. On notera ce nombre 1 sur omega. C'est ce que l'on appelle un infinitésimal, un nombre strictement plus grand que 0, mais plus petit que n'importe quel nombre positif. Ce qui n'existait pas dans l'ensemble des nombres réels. Bref, au jour omega, on a complé tous les trous imaginables des nombres réels. Mais on ne s'arrête pas là. Le jour suivant, on ajoute à nouveau des nombres dans tous les trous que l'on a laissés. Entre l'ensemble des réels et omega, on va pouvoir ajouter omega moins 1. Entre 0 et 1 sur omega, on va pouvoir ajouter 1 sur omega plus 1 et ainsi de suite. A chaque nouveau jour, on va venir bourrer un peu plus l'ensemble déjà plein à craquer de l'étape précédente. Et on va poursuivre ce processus pour chaque ordinal, ce qui va réclamer une bonne infinité d'infinité d'infinité d'étape. L'objet mathématique que l'on obtient à l'issue de cette construction est alors l'ensemble ultime des nombres que l'on appelle la collection des nombres sur réels. La structure est tellement pleine à craquer que l'on arrive dans les limites de ce que le formalisme mathématique permet de décrire. On est alors à la frontière de la théorie des ensembles, si bien que l'on ne peut même pas parler de l'ensemble des sur réels, mais on doit se limiter au terme un peu plus vague de « collection des sur réels ». Ces nombres sur réels possèdent alors tout ce qu'il faut pour faire des mathématiques proprement. Par construction, les sur réels sont totalement ordonnés et on ne peut rien faire de plus ordonnés que ça. On peut y faire aussi des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions, ce qui fait de la collection des sur réels un corps. On peut même faire des opérations plus complexes et donner un sens à quelque chose comme racine carré de « omega » ou cocinus de « omega ». La collection des nombres sur réels est en quelque sorte l'évolution ultime des nombres réels. Pour cette construction, merci Conway. Numéro 2, le Monstrous Moonshine Le nom de Conway restera longtemps associé à ses travaux en algèbre dans la classification des groupes simples finis. Il s'agit d'un problème particulièrement technique, donc je vais essayer de rester dans les généralités sur ce sujet et me permettre beaucoup de simplification. En algèbre, ce que l'on appelle un groupe est un ensemble muni d'une opération appelée « loi de composition interne » qui vérifie certaines propriétés intéressantes. En gros, il s'agit d'un concept algébrique bien commode pour décrire les symétries de certaines structures géométriques comme les symétries des polygones ou les opérations d'un Rubik's Cube. Prenons un exemple le plus précis pour comprendre. Le groupe des rotations du pentagone régulier. On prend un pentagone régulier à 5 côtés et on regarde toutes les rotations qui le laissent invariant. Il y en a 5. La symétrie d'angle 72 degrés, celle d'angle moins 72 degrés, celle d'angle 144 degrés et celle d'angle moins 144 degrés. Sans oublier la rotation qui ne bouge rien, d'angle 0 degrés. Cet ensemble est muni d'une opération « La composition » qui consiste à effectuer successivement deux rotations. En effet, lorsque l'on effectue deux rotations à la suite, on obtient encore une rotation. Par exemple, deux rotations successives d'angle 144 degrés correspond à une rotation d'angle moins 72 degrés. Tandis qu'une rotation d'angle 72 degrés suivi d'une rotation d'angle moins 72 degrés est une rotation d'angle 0 degrés. Ces cinq rotations forment alors ce que l'on appelle Z5, le groupe cyclique des rotations du pentagone. Prenons un nouvel exemple. Au lieu de regarder les rotations du pentagone, on peut regarder l'ensemble complet de ces symétries et rotations. Il y en a très exactement 10. On a d'un côté les cinq rotations que l'on vient de décrire, mais il y a aussi cinq symétries axiales. Il est à nouveau possible de composer ces symétries. Une symétrie axiale suivie d'une autre symétrie axiale est équivalent à une rotation. Ces dits transformations forment ce que l'on appelle le groupe d'hédrale D5 des symétries du pentagone. Ce que l'on peut alors remarquer, c'est que l'on retrouve dans le groupe D5 les éléments du groupe Z5. Autrement dit, parmi les symétries du pentagone, on a entre autres les rotations. En langage mathématique, on dira que le groupe des rotations Z5 est un sous-groupe distingué du groupe D5 des symétries. On pourra alors d'une certaine façon diviser le gros groupe par le plus petit. Si bien que le groupe D5 peut d'une certaine façon s'écrire comme une sorte de produit de groupe plus petit. Il y a bien sûr ici des tonnes de détails techniques que je viens de survoler comme si c'était évident. On distingue alors deux types de groupes, ceux comme D5 que l'on peut écrire à partir de groupes plus petits et les autres comme Z5 qui sont appelés les groupes simples. On peut alors voir les groupes simples comme les briques de base du monde des groupes, de la même façon que les nombres premiers sont les briques des entiers ou que les atomes sont les briques de la matière. Les groupes simples sont donc incontrônables, on les appelle parfois les atomes de la symétrie. Dans les années 50, les mathématiciens du monde entier ont commencé à défricher cette jungle que sont les groupes simples. Plus d'une centaine six sont mis, produisant plus de dix mille pages de démonstration pour arriver au plus gros théorème que l'on connaît aujourd'hui, le théorème de classification des groupes finis. Ce théorème énonce qu'il existe une infinité de groupes finis simples différents, mais il rentre tous dans l'une des catégories suivantes. On a les groupes cycliques, ils correspondent aux rotations d'un polygône régulier dont le nombre de côtés est premier. On a les groupes alternés, c'est par exemple le groupe des rotations du dos des cahètes réguliers ou celui des mouvements du tachin. On a aussi les groupes de type de lit, il en existe 16 différents et il est hors de question que je rentre dans les détails de ce qu'il représente. Tous les groupes finis simples rentrent dans l'une de ces trois catégories, tout sauf 26. Ces 26 exceptions portent le nom de groupe sporadique. Parmi ces 26, on retrouve les groupes CO1, CO2 et CO3, des structures qui apparaissent quand on étudie l'empilement optimal des hypersphères en dimension 24. Pourquoi la dimension 24 ? Parce que c'est une dimension parfaite pour empiler des trucs, mais ça c'est une autre histoire. Ces groupes ont notamment été étudiés par John Conway à la fin des années 60, d'où leur nom de baptême, co1, co2 et co3, qui sont les groupes de Conway. De tous les groupes sporadiques, le plus gros d'entre eux découvert en 1973, porte humblement le nom de groupe monstre. Il faut dire qu'il s'agit d'une structure unique qui représente les transformations dans un espace à 186,883 dimensions. Il compte un peu plus de 800 000 nonilions d'éléments, ce qui est avant le, beaucoup. John Conway, il mentalisera un résultat inattendu sur ce groupe monstre, un résultat qu'il baptisera sombrement, Monstros Monshine. Il est question de faire le lien entre les coefficients du développement de fourrier de la fonction modulurgie qui apparaît un théorie des nombres et le représentant irréductible du groupe monstre. Bien évidemment, je ne rentrerai pas dans les détails, ça prendrait beaucoup plus que deux minutes. Le terme moonshine signifie ici, complètement dingue, soit la première pensée de Conway, quand on lui a dit qu'il y avait un lien entre ce groupe monstre et les fonctions modulaires. Merci Conway. Pour terminer, je dois évidemment évoquer l'une des créations majeures de John Conway, qu'il a inventé et étudié au début des années 70, le jeu de la vie. Il ne s'agit pas d'un jeu à proprement parler, puisqu'il n'y a pas d'affrontement entre plusieurs joueurs. On parle même parfois de jeu à zéro joueur. Il s'agit en fait de la simulation d'un univers virtuel, dont l'évolution suit des règles extrêmement simples, mais dont l'évolution extrêmement chaotique peut faire surgir des structures vraiment inattendues. Pour jouer au jeu de la vie, on a besoin d'une grille infinie. Dans les cases de scène grille peuvent être présents ou pas, ce que l'on appellera des cellules, représentées lorsqu'elles sont en vie par ces points rouges. Dans cette situation par exemple, on a 11 cellules en vie. Lorsqu'une cellule est présente dans une case, on dit qu'elle est vivante, sinon on dira qu'elle est morte. La vie et la mort de ces cellules est alors régie par quelques règles très simples. Si une cellule en vie n'a aucune ou une seule cellule vivante dans ces 8 cases voisines, elle mourra de solitude. Si une cellule en vie a 4 voisines ou plus, elle mourra de surpopulation. Si une cellule a 2 ou 3 voisins, elle restera en vie. Et enfin, si une case vide a dans son voisinage exactement 3 cellules vivantes, alors une nouvelle cellule naîtra. Une fois que le destin de toutes les cellules a été déterminé, on obtient une nouvelle configuration, composée ici de 9 cellules, sur laquelle on peut à nouveau appliquer les règles. On peut alors regarder la façon dont elles vont évoluer des tapes en étape. Après cette étape, il ne reste plus que 3 cellules. Ces 3 cellules ont alors un comportement assez notable, puisqu'elles alternent entre 2 configurations, toujours les mêmes. Une structure comme celle-ci qui revient à son état initial après plusieurs étapes est appelée un oscillateur. On est donc ici face au plus petit des oscillateurs appelé le clignotant. Puisqu'il alterne entre 2 positions, on dira que sa période est de 2. On peut trouver bien d'autres oscillateurs de période 2 et certaines portent un petit nom comme le crapeau, les lunettes, le renard ou ce truc énorme. Dans cette dernière construction, chaque cellule est importante. Un moindre changement dans une cellule entraîne la destruction complète de la structure dans un belet de motifs interagissant les uns avec les autres. Après 400 étapes, il ne reste qu'un nuage de débris épar qui contient une dizaine de clignotants mais aussi des structures stables composées de quelques cellules. Chacune porte un petit nom, on a ainsi 4 blocs, 3 miches de pain, 1 tube, une ruche, un bateau et une barre. Il existe bien sûr des configurations stables bien plus grandes mais qu'il est bien plus improbable de rencontrer naturellement. On peut également s'amuser à chercher d'autres oscillateurs d'une autre période que 2. Par exemple, on a des oscillateurs de période 3 comme le pulsar ou le casard. On en a de périodes 4 comme l'horloge et on peut en trouver de périodes 5, de périodes 6 et ainsi de suite. On a ainsi les oscillateurs pour à peu près n'importe quelle période, seuls les périodes 19, 38 et 41 restent à découvrir. Mais certaines structures sont encore plus étonnantes. Lors de la destruction de la structure que j'ai présentée tout à l'heure, outre les débris finaux, vous avez peut-être vu à partir de l'étape 33 et à partir de l'étape 66, un autre type de motif, le vaisseau. Il s'agit d'une structure qui retrouve son état initial après quelques étapes, mais décalé de quelques cases. Le planeur, par exemple, retrouve son état initial après 4 étapes, mais c'est décalé entre temps de une case vers le haut et une case vers la droite. Le planeur est loin d'être le seul vaisseau à avoir été découvert. On en a de toutes les tailles qui se déplacent plus ou moins rapidement ou qui se déplacent dans d'autres directions. Les configurations qui se déplacent autrement qu'horizontalement, verticalement ou diagonalement sont cependant plus rares. On peut citer l'hypocam, par exemple, découvert seulement en 2018, qui se déplacent deux fois plus vite vers le haut que vers la droite. Mais il y a encore plus impressionnant. Cette structure là, qui appartient à la famille des puffers, il s'agit d'un vaisseau de période 2, mais qui laisse dans son sillage un beau bordel de débris divers et variés. Dans un autre registre, on a cette structure là qui génère des vaisseaux à intervalle régulier toutes les 30 étapes. On appelle ça un canon, et celui-ci est le plus petit d'entre eux. Mais il existe des canons un peu plus impressionnants. Le plus rapide d'entre eux est celui-ci, qui fabrique un planeur toutes les 20 étapes. Mais on a également ce genre de choses qui construit un vaisseau un peu plus élaboré. Grâce à toute cette complexité, il est possible de créer des structures encore plus dingues, vraiment dingues. Ce que vous voyez ici à l'écran a été créé en 2006 par BriceDew. Il s'agit d'un assemblage de métapixels, ce qui permet tout simplement de recréer dans le jeu de la vie le jeu de la vie. A partir de là, je pense que vous pouvez comprendre que l'on peut littéralement tout recréer à partir du jeu de la vie. Bref, l'enseignement de ce jeu, c'est qu'il est possible de créer des configurations d'une complexité incroyable à partir de règles parfaitement déterministes et extrêmement simples. Merci Conner.