 اسلام علیکم امید ہے سب ٹھیک ٹھاک ہوں گے خیریت سے ہیں سب لوگ چونکہ ہم لوگ میتہمیٹیکز کا ایک کورس کر رہے ہیں کیلکلس کا اور چونکہ میں ابھی میتہمیٹیشن ہوں اور آپ سب بھی این میں اپنیون آپ سب لوگ بھی ایک طرح کے میتہمیٹیشن زیادہ ہیں تو ہماری ایک تھوڑی سی ایک سرے گریٹنگ ہوتی ہے ہم جب سلام دوہ کرتے ہیں یا ایک دوسرے کے حالات پوچھتے ہیں تو اس میں یہ تو جیسے میں نے بھی پوچھا کے بھی امیدہ آپ سب ٹھیک ٹھاک ہوں گے خیریت سے ہوں اس کے لعبہ ایک چیز آئڑیے کرنی چاہیے کہ امیدہ میت ٹھیک ٹھاک جا رہی ہوگی تو اپنی آپ سب کی میتہمیٹیکز ہے جو کالکلس ابھی تک چل رہے جو آپ نے بھی تک اٹمٹ کیا امیدہ وہ سب بھی ٹھیک ٹھاک جا رہا ہوگا اچھا جی تو اب ہم کہاں تک پہچے ہیں کالکلس میں آج لیکچر نمبر ٹھرٹی سٹارٹ کرتے ہیں تو پچھلے لیکچرس میں یہ تھا کہ بیسک آئڈیہ جو ابھی تک ہم نے دیکھا ہے وہ کالکلس کا دوسرا حصہ جو تھا جس کو ہم نے دو حصہ میں باتا تھا اس کو کالکلس کو کہ ایک جی ڈیفرینشل کالکلس یہ ڈریوٹیوز جس میں معلوم کیے تھے اور اس کے بعد والا حصہ جو ہے وہ ہے انتگرل کالکلس یا جس میں ڈیفرینشل کالکلس میں بہت بڑا ایک وہ ہے اس کا اسیشل پارٹ ہے اور انتگرل کالکلس of course opposite ہے ڈیفرینشل کالکلس کا in some sense roughly speaking ڈیفرینشل ڈریوٹیوز لیں کسی چیز کا کسی فنکشن کا اور اس کے ڈریوٹیوز کو جب لیتے ہیں تو اس کو ہم کہتے ہیں جی its part of differential ڈیفرینشل کالکلس اور اس کا ڈریوٹ کالکلس اور اس کا ڈریوٹ کالکلس اور اس کو ڈریوٹ کریں تو we get some function ڈیس کو اگر ہم پھر سے differentiate کریں تو ہمارے پاس وہی function آتا ہے جس کو ہم نے ڈریوٹ کیا ہوتا ہے تو یہ relationship ابھی تک ہم نے develop کر بھی لیے بلکے ہم دیکھ چکیں اس کو تو hopefully یہ concept ڈیوٹیوز ہو چکا ہے آپ کے دماغ میں اور اگر ابھی تک نہیں ہوا تو اس کو کوشش کریں کہ this is exactly what you should make clear in your minds کہ یہ جو relationship between derivatives and integrals ڈیوٹیوز اور ڈیفرینشل میں جی relationship ہے یہ کیا ہے ہم بات چیت کر چکیں اسی کافی detail میں اس کو اب تک آپ کو اپنے ذہن کا ایک solid ڈیوٹیوز پختہ ہیسا بنالے نا چاہیے اور بن چکا ہوگا میرے خالصے اچھا دی تو ٹھیک ہے پچھے لیکچس میں ہم نے بات کی تھی ابھی جو میں نے کہا ڈیوٹیوز کالکلس کی ڈیوٹیوز کی بات کی تھی تو اس میں ہم دیکھ چکیں پورا ڈیوٹیوز کیا ہے جو ڈیوٹیوز ہوتی کیا ہے ڈیوٹیوز کیا ہوتا ہے its another way of saying ڈیوٹیوز ڈیوٹیوز ڈیوٹیوز اس میں ڈیوٹیوز کی بات کی تھی پھر ہم نے اس کو ڈیفائن کیا تھا in terms of limits ڈیوٹیوز کی بات کی تھی تو اس میں دیکھا تھا کہ ہم نے اپا سا گراف دیا ویہا تھا function کا اس کو ہم نے کہا کہ اس کے نیچے اس جو ڈیوٹیوز کیا ہے وہ معلوم کرنا ہے اور ڈیوٹیوز کیا ہے تو اس کو ہم نے ڈیوٹیوز میں ڈیوٹیوز کیا ہے اس کو بہت زیادہ ڈیوٹیوز میں ڈیوٹیوز کیا ہے تو اس میں ڈیوٹیوز کیا ہے تو اس کے لئے وہ جو اس کے ذریعہ میننے میں today ہم نے اس ہو دیا اور اتنا سا ہم نے کہا تھا کہ بھی اس لیمٹ لیلیجی as n goes to infinity تو آپ کے پاس ہزاروں و کروڑوں لاکھو کی رکھٹانگلز تھی وہ ہزاروں کی دادات میں ایہا اس طرح سے آپ کے پاس آتے تھے concept یہ تھی یہ تھا کہ ہزاروں کی دادات کیا بلکہ اس کو آپ where n was representing the number of these rectangles بنائے تھے آپ نے تو اس طرح سے ہم نے دیکھا تھا کہ area under the curve معلوم کیا جا سکتا ہے اور یہ جو area under the curve معلوم کیا تھا in terms of his کی ہم نے definition دیتی لیمٹس میں یا لیمٹس کی terminology میں وہ ایک summation بھی تھا اس میں ایک سام لیا تھا ہم نے area of all the rectangles اور پھر اس کا limit لے لیا تھا تو اس کو ہم نے definite integral کے طور پہ ڈفائن کر دیا تھا تو یہ ہمارے پاس definition تھی definite integral کی اور وہاں سے ہم نے کہا تھا کہ جی اس طرح سے ہم نے define کیا ہے کہ integration جو ہے وہ area under the curve معلوم کرنے کے برابر ہے اس طرح سے اس کی definition ہم نے بنائی تھی تو ٹھیک ہے بہت کچھ اس میں ہم نے پھر یہ بھی کیا immediately pistol lecture میں ہم نے دیکھا تھا کہ definite integrals کو evaluate کیسے کیا جاتا ہے یعنی اگر آپ کے پاس ظاہر اسی بات ہے کہ اس کی definition تو ہمارے پاس ہے definite integral کی جس میں ایک limit ہے اور ساتھ میں ایک sum ہے اور limit ایسا ہے کہ جس میں آپ کی نمبر کا limit لے رہے ہیں وہ infinity کو اپروچ کر رہا ہے positive infinity کو تو ظاہر اسی بات ہے کہ ہم نے بلکہ کچھ کیے بھی تھے آج کی لیکچر میں ایک اور ایک سمپل بھی کریں گے اس کی تو وہاں بات ہے کہ definition کافی heavy duty سی ہے یعنی ٹھیک تھاک complicated سی ہے calculations کریں تو بہت بڑی calculations آسکتی ہیں اگر آپ کا جو function تھا f of x اگر complicated looking ہے یعنی اس کا formula اگر complicated سا ہے تو یہ sum لینے میں ایک تو problem ہوگی اور پھر course اس کا پھر limit آپ کو لینا ہوگا تو یہ کافی heavy duty calculation ہوجاتی ہے لیکن this is exactly how you do it یعنی جو write down to کہتے ہیں جسے کہ آپ if you go down to the basics this is how you should evaluate the area under the curve ٹھوہا سا یہ review ہوگیا I'm sorry of the stuff we have done before تو آج پھر ہم اسی concept کو مزید develop کرتے ہیں تو آج کا لیکچر ہے اس کا topic کیا ہے اس کا agenda کیا ہے اس کو دیکھ لیتے ہیں آج کا جناب topic جو ہے وہ ہے first fundamental theorem of calculus اور agenda کچھ ہی ہے کہ سب سے پہلے ہم دیکھیں گے کہ first fundamental theorem of calculus ہوتا کی ہے پھر اس کے بعد دیکھیں گے ہم جناب کہ یہ جو definite integral اور ہم نے جس کی بات ابھی میں نے کی تھوڑی در پہلے اور ہم دیکھ چکیں اس کو پہلے لیکچز میں اس کے درمیان اور indefinite integral جو ہم نے پہلے دیکھا تھا ان کے درمیان کیا relationship ہے اس کے بارے میں تھوڑی سی بات چیت کر لیں گے اس کے بعد ہم ایک اور دیکھیں گے جسے کہا جاتا ہے mean value theorem for integrals یہ جب ہم نے derivatives کی بات کی تھی اگر آپ کو یاد ہے تو وہاں پہ بھی ایک ہم نے ثیرم دیکھا تھا derivatives کے بارے میں جس کا نام اس کا نام بھی تھا mean value theorem تو of course اس میں ہم نے کچھ بڑے مزدار results دیکھتے تو اسی طرح کا ایک یہاں پہ ایک mean value theorem ہے جو کہ integration کے حوالے سے define ہوا ہے اس کو بھی دیکھیں گے کہ یہ کیا چیز ہے اور یہ جو average value of a function یہ ہم آخر میں دیکھیں گے اور اس کو دیکھ لیں گے کہ کیا چیز ہے تو اب اس کو start کرتے ہیں یہ agenda ہو گیا اچھ کا کیا کس چیز کے بارے میں بات چیت کرنی ہے تو start کرتے ہیں پہلے topic سے جو کہ ایک بہتی crucial topic ہے calculus کا اچھا تو first fundamental theorem of calculus جو ہے اس کو ہمیں دیکھنا ہے تو اب یہ جو fundamental theorems ہوتے ہیں mathematics میں یہ actually مزے کی بات یہ کہ بہت سارے ہوتے یعنی کئی چیز ہے ایسی ہیں جن کو fundamental theorem کہا جاتا ہے تو لہذا اس لئے ہم نے یہاں پہ جونکہ calculus کا ایک crucial fundamental theorem دیکھنا ہے تو جونکہ ایک اور بھی دیکھیں گے ہم آگے چلکے تو اس کو ہم کہتے ہیں first fundamental theorem of calculus تو کیونکہ fundamental سے مراد یہ کہ یہ اتنا basic ہے اتنی basics بات کرتا ہے یہ اتنی ضروری بات کہ اس کے بغیر چارہ کوئی نہیں ہے یعنی اس کے بغیر آپ اگر calculus کی بات کریں گے تو آپ کی ساری باتیں کمپلیٹ سی ہوں گی تو یہ ہم دیکھ لیتے ہیں بھی ظاہرہ آپ دیکھیں گے اس کو ڈیٹیل میں تو پتہ چل جائے گا کہ کیوں یہ اتنا ضروری ہے اور کیوں اس کو fundamental کہا جاتا ہے لیکن first fundamental کی وجہ یہ ہے کہ اس کے بعد ایک اور theorem دیکھیں گے اور مجھے یقینہ آپ خوش ہو رہوں گے سمجھے کہ بھی ایک اور theorem آئے گا لیکن جیف ہم اس دیکھیں گے تو اس کو ہم کہیں گے second fundamental theorem of calculus that's why we are calling this one the first fundamental theorem of calculus تو آپ دیکھتے ہیں کہ یہ ہے کیا let's write down this theorem and see what it's all about جناب theorem یہ ہے آپ دیکھلی گے first fundamental theorem of calculus if f is a continuous function on the interval a b closed interval a b and if capital F is an antiderivative of the function small f on the interval a b closed interval a b then the definite integral from a to b of small f of x dx equals capital F of b minus capital F of a یہ a theorem ہو گیا یہاں پہلے بھی شہت ہم دیکھ چکیں کہ capital F اور small f میں اس لیے استعمال کر رہوں کہ تھوڑا سک convenient رہتا ہے چونکہ function کی بات ہو رہی ہے تو ہم کہہ رہے ہیں کہ small f وہ function ہو گیا capital F جہاں وہ antiderivative of the small f function ہو گیا تو یہ تھوڑی سی نوٹیشن ہے اس میں کوئی حرج نہیں ہے اگر ہم اس کو جی کہہ لے دیکھے یہ جی function ہے that's the antiderivative of function small f لیکن چونکہ ہم تھوڑا سک consistent رہنا چاہتے ہیں ٹیکسپوک میں بھی ایسای کچھ استعمال کی گئی نوٹیشن تو ہم اس لیے capital F اور small f کو use کریں گے ذہن میں وہ رکھیے کے بات ہو رہی ہے small f جو ہے وہ ایک continuous function ہے ایک given interval a سے لے کے b تک اور جو capital F function ہے that is the antiderivative of the small f function کہنے کا مقصد یہ کہ اگر capital F کو آپ ڈفنشیٹ کریں یہ اس کا آپ ڈربیٹف معلوم کریں تو آپ کے پاس result آتا ہے small f function ٹیکی جی یہ تو آپ کا ثیرم ہو گیا اس کا مطلب ہے I think آپ ابھی تک دیکھے اس کو ریلائس کر چکے ہوں گے کیونکہ یہ بیسکل آپ کو بتا رہا ہے کہ definite integral کو کس طرح evaluate کیا جا سکتا ہے جلدی سے یعنی بجائے اس کے کہ وہ پوری اس کی definite integral کی جو میں نے شروع میں اس لیکچر کے کہا تھا کہ ہم نے definition دیکھی تھی جس میں ایک limit involved تھا اور ایک summation کی term involved تھی جو یعنی function f of x delta x جس کو ہم کہتے تھے تو ان چیزوں کو evaluate کرنے میں تو یہاں پر ایک طرح شوٹ کٹی ہے آپ کے پاس یہ جو first fundamental theorem ہے of calculus یہ آپ کو بتا رہا ہے کہ آپ جلدی سے evaluate کر سکتے ہیں in a quick way the definite integral of a continuous function on a given interval closed interval ab using the simple formula کہ آپ پہلے اس کا small f function جو ہے یا جو given continuous function ہے آپ کا ایک interval پر اس کو آپ پہلے اس کا پہلے antiderivative معلوم کر لیجی اس کا ہم capital F نام دیتے ہیں اور پھر جو interval کے end points a اور b ان end points پہاں آپ اپنے antiderivative function کو evaluate کیجئے جو capital F function تھا تو آپ کے پاس f of a اور f of b آئے گا اور پھر آپ سپٹریک کر دیں ان دونوں values کو اس طرح سے کہ f of b minus f of a پھر سے رپیٹ کرتا ہوں f سے مراد میری capital F تھا capital F of b minus capital f of a تو آپ یہ کریں گے تو آپ کے پاس definite integral کا result آجائے گا یعنی ایک طرح سے اگر آپ سوچیں definite integral represents the area under the curve of the area under the graph of the small f function تو یعنی antiderivative اگر آپ معلوم کر لیتے ہیں اس کا تو بڑے عرام سے آپ کو پورا area معلوم ہو جائے گا it's just the difference the area under the curve or area under the graph of small f function it's just the difference of the antiderivative function of small f evaluate it at the end points of the given interval یہ آپ کا سیمپل سا ایک طریق ہے اس definite integral کو evaluate کرنے کا اچھا یہ چونکہ بڑا انٹرسٹنگ تھیورم ہے کہ I'm sure یقینان آپ نے نوٹ کیا ہوگا کہ تو بڑی اچھے سی چیز ہے کہ جناب بجائے پوری کالکلیشن کرنے کے جس میں لیمٹ بھی ہے سمیشن بھی ہے اس کی جگہ آپ صرف antiderivative معلوم کر لیجے اس کے بارے میں ابھی ہم بات کرتے ہیں چھوڑی سی کہ antiderivative کیسے معلوم کریں گے لیکن ایسا کرتے ہیں اس تھیورم کو پروف کر لیتے ہیں یہ چونکہ بہتی بیسک اور فندمانٹل تھیورم ہے اور انٹرسٹنگ سا بھی ہے کہ آپ نے ایک دم ستنی بڑی بات کیا دی کہ دیفرنٹ انٹیکرال بجائے اتنی لن بھی کالکلیشن کے صرف ایک چھوٹے سے سٹیب سے ہو سکتا ہے تو وہ کیسے ہو سکتا ہے کہ آپ نے دعوہ کیا تو اس دعوے کا سبوت دیکھ لیتے ہیں یہ دیکھتے ہیں اس میں ایسے کرتے ہیں جی کے پروف شروع کرتے ہیں اور اس فندمانٹل تھیورم کو پروف کرنے کے لیے گیس what ہم استعمال کریں گے مین value تھیورم that was for the derivatives i.e. we will use the derivatives to prove the first fundamental theorem of calculus تو یہ ہم کیسے کریں گے یہ ابھی دیکھ لیتے ہیں لیکن پہلے سے اس کو پورا سٹارٹ کرتے ہیں سٹپ کرتے ہیں اس پروف کا اس تھیورم کے پروف کا یہ جو first fundamental theorem ہے تو آئی دیکھتے ہیں اس کو اب یہ دیکھیں کہ اس میں اب ہم an integration کی بات کی جائے رہی ہے اس فندمانٹل تھیورم میں تو ایسا کرتے ہیں کہ پہلے ہم جو ہمارا انٹرول دیا ہوتا انٹگریگریشن کا یعنی کلوز انٹرول a,b اس کو سپ دیوائٹ کر لیتے ہیں انٹرولس اس کو پوائنس x1,x2 and all the way to the point xn-1 in the انٹرول a,b such that a is less than x1 x1 is less than x2 and all the way یہ جو انٹرولیٹی ہے چلتی رہ گی all the way to xn-1 and that has to be less than b تو جناب یہ آپ نے پہلے سٹپ کیا ہے اس تھیورم کے پروف میں یعنی وہی بات ہے کہ کیوں کیا میں نے اس سٹپ یہ اس لیے کیا کہ میرے پاس ایک دیفنٹ انٹگرل کے بارے میں کلیم کیا گیا ہے کچھ تو that has to be my first point of focus یعنی مجھے سوچنا چاہیے میں ایک ایسی چیز کو پروف کر رہا ہوں جس میں دیفنٹ انٹگرل اوٹ ہے اور اس کی دیفنیشن ہمیں پتا ہے کیا ہے اس کی دیفنیشن وہی تھی جس میں ایک لیمٹ تھا اور سمیشن وغیرہ تھا تو آپ کہہ رہے ہوں گے بھائی کہ ایسے تھیورم کا کیا فائد ہے جس کے پروف میں اتنی لن بیچاری دیفنیشن آجائے جس کو ہم اوائیڈی کرنا چاہ رہے ہیں تو اس کا جواب یہ ہے جناب کہ پروف کر لیجے پہلے بھی کہا تھا کہ ایسا پروف آپ ایک بار دیکھ لیں ایک بار دیکھ لیں اور یقین کر لیں کہ ہاں واقعی ہو سکتا ہے اس کے بعد فریلی اس کو سمال کیجئے گا تو دیفنٹ انٹگرل دیفنٹ انٹگرل دیفنٹ انٹگرل دیفنٹ انٹگرل دیفنٹ انٹگرل تو یہ ہم نے اس میں یہ کیا ہے کہ بیسکل جو انٹرول تھا ہمارے پاس انٹگریشن کا ایسلے کے بی تک ہم نے کہا کہ جی چون کے انٹگریشن انٹگرل دیفنٹ انٹگرل دیفنٹ انٹگرل تو ایسا کرتے ہیں کہ آپ کا جو انٹرول اس کو سب دیفنٹ کر لیں انٹو سم پوزیٹرل سب انٹرول اور وہ ہم پہلے بھی کر چکے تھے جب دیفنٹ انٹگرل کی دیفنٹ دیکھی تھی تو اس میں ہم نے کیا کہ ہم ایسے پوڈنٹ سمال کریں گے اب یہاں پی ایاد رکھیں کہ ہم سارے جو انٹرولز سے یاد ہے آپ کو کہ سب انٹرولز بناتے تھے ہم پھر ہم اس کے اوپر انٹرولز کے اوپر رکھٹانگلز بناتے تھے تو وہ یہاں پہ بھی کریں گے لیکن سب انٹرولز بنانے کے لیے ہم کوئی سارے سب انٹرولز کی ویٹھ برابر ہونا ضوری نہیں ہے یہ ہم نے اس کا جنرلائیز برشن دیکھا تھا کہ رکھٹانگلز جو ہم بنائیں گے یعنی ان سے پہلے رکھٹانگلز بنانے سے پہلے جو آپ ان کی کوئی بھی اربیٹرری ویٹھ ہو سکتی ہے تو یہاں پہ ہم نے وہی کیا کہ x1 سے لیکے xn-1 تک پوائنٹز لیے اور ہم نے کہا کہ یہ جو انٹرول تھا a سے لیکے b تک اس میں مارک آف کردن یہ سارے پوائنٹز یعنی اگر یہاں پہ آئے تو مثال کے طور پہ ہوسکتا ہے یہاں پھجا کے میں کہو یہ x1 پوائنٹ تو میرے پاس ایک چھوٹا سا سب انٹرولز آجائے گا پھر میں کہوں گا کہ یہ x1 سے لیکے یہاں پہ x2 مارک کرتا ہوں تو یہ میرے پاس ایک ایک اور انٹرول آجائے گا جس کی ویٹھ زادہ ہوگی تو اس میں اور سی طرح سے میں continue کرتا جائوں گا اور میرے پاس ایک اور بہت سارے and many انٹرولز آجائیں گے لیکن ایک سٹیپلیلیشن یہاں پہ یہاں ایک condition یہاں ہے کہ جو آپ کے values ان پوائنٹز کی یہ کہاں سے آ رہی ہیں یہ ظاہر ہے آپ نے a سے start کرنا ہے اور پھر آگے جا کے x1 مارک کرنا ہے تو x1 کی اپرانہ نے condition رکھیئے کہ a جو ہے وہ x1 سے چھوٹا ہو x1 جو ہے وہ x2 سے چھوٹا ہو اور اس طرح کر کے سارے انٹر جو points آپ mark off کریں گے وہ اس طرح سے continue جو آپ کریں in increasing manor میں تو سارے چھوٹے ہو ایک دوسرے سے تو یہ اگر آپ مدنہ دے نظر کریں اور اس کو follow کریں تو that's going to work out کیوں ہے ایسا اس کا جواب یہ کہ میرے خال سے یہ جو اس طرح کی condition رکھیئے کہ سارے ایک دوسر سے چھوٹے ہو یہ آپ کی calculations کافی اسان کر دے گی تو ہم اس کو استعمال کر لیتے ہیں زیادہ ڈیٹیل میں نہیں جائیں گے کیوں کہ جا سکتے ہیں لیکن ہو سکتا ہے کہ اس کی وجہ ہمارے جو ہمارے پاس نولجے اس سے زیادہ ڈیپ ہو تو ہم اس کو avoid کرتے ہیں and let's just continue with what we have اچھا اب یہ point آگئے تو ہمارے پاس کیا ہے اب ہم نے basically sub intervals بنالیئے اور وہ کیسے sub intervals ہیں sub intervals ہمارے پاس ہیں جناب a سے لے کے x1 تک ایک پہلہ close interval ہے پھر جناب x1 سے لے کے x2 تک ایک اور close interval بن گیا اور اسی طرح بہت سارے بیچ میں close intervals ہوں گے اور آخری جو ایک sub interval بنتا ہے ab کا وہ ہے xn-1,b تو یہ آپ کے پاس n sub intervals آگئے دیکھ لیجے کہ n ہوں گے تو یہ ان کو ہم استعمال کریں گے اب نوٹ کیجے کہ ان سب کی ہم width کو بھی دینوٹ کر سکتے ہیں in delta notation اور ہم کہیں گے جی delta x1 جو ہے وہ width ہے a سے لے کے x1 تک جو interval تھا sub interval اس کی width ہے delta x1 x1 سے لے کے x2 تک جو interval ہے اس کی width ہے delta x2 اور delta xn جو ہے وہ آخری sub interval کی ہے جو تھا xn-1 سے لے کر بھی تک تو یہ آپ کے پاس نوٹیشن ہم develop کر رہے ہیں to prove this تھیورم اور delta نوٹیشن اگر آپ کو اگر میں کہتا ہوں delta x2 جیسے یہاں پہنے بھی دیکھا تو یہ برابر ہوگا x2-x1 کے یعنی اوٹر point جو دیفائن کر رہا ہے interval کا جو upper limit کہلی جی minus the lower end point or lower limit ہم دیکھ چکیں پہلے I think you're all comfortable with this اچھا اب اگر آپ کو یاد ہے کہ جو تھیورم کی statement تھی اس میں یہ کہا گیا تھا کہ جو capital F function ہے وہ ہے antiderivative of the small f function یعنی کہنے کا مطلب یہ ہے کہ اگر میں f prime of x لیتا ہوں یا ڈفنشیٹ کرتا ہوں capital F کو capital F prime of x وہ برابر ہوگا small f of x کے that's what it means to say that capital F is an antiderivative of small f of x تو اب اس کو استعمال کرتے ہیں اس کے بارے میں کچھ دیکھتے ہیں کیا ہم کہہ سکتے ہیں اس سے کیا آس کیا جاتا ہے کیا کیا جاتا ہے اس میں دیکھیں کہ چونکہ capital F ایک antiderivative ہے small f کا for all x in the interval ab it's pretty obvious that f of x capital f of x satisfies the requirements of the mean value theorem involving derivatives on each of the in sub intervals we just defined تو یہ کافی powerful statement کہہی ہے اس میں I think you can see how this is done اس کے بارے میں تھوڑا سا غور کیجئے گا کہ جو آپ کا mean value theorem تھا اس کی condition آپ ٹیکسپوک میں دیکھ لیں کہ کیا اس کی statement ہے اور یہاں پھر نوٹ کیجئے کہ جو ہم نے ابھی تک باتے کییں intervals دیکھیں اور یہ جو ہمارے continuous function ہے اس کا ایک antiderivative ہے تو یہ ساری requirements meet ہوتی ہیں کیا نہیں ہوتی تو یہ آپ کے پر شورتا ہوں you can look at this and we will continue with the proof اچھا اب ہم mean value theorem for derivatives کو استعمال کرتے رے ہم یہ کہہ سکتے ہیں کہ ہر ایک سب انٹرول میں جو ہم نے ابھی بنائے ایک ایسا point exist کرتا ہے جس پے اگر ہم function کے بارے ہم کچھ کہہ سکتے ہیں تو اس کو لکھ لیتے ہیں کہ ہم کہانا کیا چاہا رہے ہیں سب سے جو میں کہانا چاہا رہا ہوں وہ کچھ یوں ہے کہ چونکہ mean value theorem یہاں پر اپلائے ہو رہا ہے derivatives کا we can find point x1 star x2 star all the way to xn star in each of the respective sub intervals a comma x1 x1 comma x2 all the way to xn minus 1 comma b and these points will satisfy a certain conditions guaranteed by the mean value theorem for the derivatives and what are those conditions and what are those conditions you can check the mean value theorem you can check but here we write about its conditions the mean value theorem for derivatives we can make these following equations we can write f of capital f of x1 minus capital f of a equals capital f prime x1 star times x1 minus a and that's just equal to f of x1 star delta x1 and similarly you can see that these other equations are also followed by the mean value theorem for derivatives and now let's note that if we add up all of these equations all the values on the left-hand side will be cancelled except capital f of b and capital f of ak and we will have f of b that is capital f of b minus capital f of a is equal to summation from k equals 1 to n of f of xk star delta xk that is you can see that I have come very close to proving this theorem I have f of b minus f of a which is part of the theorem and now I have to prove that the left-hand side is a summation involving the function small f continuous function on the interval a to b which is its values are in the sub-intervals these are adding from 1 to k 1 to n now if I take the limit as n goes to infinity then what will happen that is to say that the equation we just saw in the last I take the limit as n goes to infinity and the result is that there is no n on the left-hand side what happens I still have f of b capital f of b minus capital f of a on the right-hand side I get basically the definition of the definite integral you can see that is exactly what is happening here I pay f of b capital f of b minus capital f of a equals limit as maximum delta xk goes to 0 summation k equals 1 to n f of x k star times delta x the integral of small f of x dx from a to b and this follows from theorem 5.6 0.9 a اچھا دی تو یہ اب چونکہ ہم کر چکیں this proof تو ایک تھوڑی سی terminology دیکھ لیجے یہ جو ابھی ہم نے لکھا اس کا یہ جو first fundamental theorem ہے کالکلس کا اس میں ہم نے لکھا تھا کہ ہے capital f b minus capital f of b minus capital f of a کے اس کو ایک اوہ طریق سے بھی لکھا جا سکتا ہے اس کو دیکھ لیتے ہیں کیسے لکھتے ہیں ایک طریقہ لکھنے کا اس کا ہے جی آپ لکھیں capital f of x اور ساتھ میں اس کے ایک برکٹ دال کے برکٹ کے اوپر اور نیچے جو limit سے انتگریشن کے وہ لکھ دیجے یعنی capital f of x bracket a and b اس کو ایسے بھی پر سکتے ہیں capital f of x أیفالیوےٹیت اس کو ایک لکھاív جو اس کی ابنوٹیشن کی کوچھ اسی ہو جائے گی کہ انتگریل ایک برکٹ بہت اس کا اس سے ایک لکھا جانتے ہیں capital f of x کھوٹر شخص ایک برکٹ ایک دویشن برکٹ نکد ستر اس کو ڈل ایک عہ بی آئیے پھر ایک ایک اکسامپل کر لیتے ہیں ظاہر ہے انڈیسٹینڈنگ در اچھی ہو جائے گی اس تھیورم کی سو لیٹسوکہ دیس اکسامپل اکسامپل میں ہمیں ایوالیویٹ کرنا ہے انٹگرل فرم 1 to 2 of x dx تو کیسے اس کو ایوالیویٹ کریں گے نوٹ کیجئے کہ جو فنکشن ہے کپٹل f of x اس کو ہم اگر لکھیں 1 over 2 x square تو یہ جو ہوگا اس آنج ری وڈیوار of F of x اسے بہت ایک خالیا جاتا ہے تو اگر یہ پہنچ습ی پہنچ تھی تک ہ線 لہ کی آپنما کا عنظمہ الصغ으�الی دوجدی لنے مrig الطاقت ہے فирس فراقی میں چاہے اپنا اپنا اپنا اپنا برس سیروم اپنے کالکلوس دیکھا ہے وہ دیکھ لیتے ہیں اب اس کو چونکہ ہمارے پاس کپٹل اپ فنشن آگیا ہے تو ہم کہہ سکتے ہیں کہ جی انٹگرل 1 to 2 x dx is equal to 1 over 2 x square evaluated at the end point 1 and 2 and that's just going to e to the end point of the final point اپنے اپنے اپنے اپ دیکھا ہے اپنے اپنے اپنے اپنے اپنے اپنے اپنے اپنے اپنے اپنے اپنے اپنے مالک اصدیت کے لئے عطا ہے number 1 بہت بہت جو تلویہ و کنات گیا۔ لہذا یہ برابر آتا ہے آپ کے ایک 2 بہت ایک ٹاہرٹ فرمجhinking اور وہ اس جو کل تلوہ 3 over 2 لہذا یہ جناب آپ کی ایک زمبر ہو گئی اور بہتر آپ نے دیکھا کہ کیسے ہم اپلائے کر سکتے ہیں آپ میں دیکھن thanamental ثیورم اس کیاس کالکلس تحت انجار بتاہرنہ و اٹھویٹ انتگریلز اچھا سوالہ بھی دیکھنی ہیں یہ آبین ہوئی ہے کہ ہم کیسے ان کو اویلیوٹ کرتے ہیں یعنی اویلیوٹ جیسے کرتے ہیں وہ تو میں پتا ہے اویلیوٹ کیسے معلوم کیا جاتا ہے اس کی ابھی تھوڑی در میں بات چیت کر لیتے ہیں کچھ پروپٹیز ہیں اس جو میں ابھی آپ کو دکھانا چاہتا ہوں تو ان کو دیکھ لیتے ہیں these will help us later on so let's look at these properties these properties are actually of the bracket notation for we just actually introduced a while ago اس میں properties ہیں جناب جو آپ actually خود پروف کر سکتے ہیں کہ اگر سی کوئی کونسٹنٹ نمبر ہے سی اور آپ اس کو capital F function سے ملٹپلائے کرتے ہیں یعنی جو انٹی دریوٹے فونکشن ہے small f کا اور پھر اویلیوٹ اس کو یعنیہ a bracket notation میں ہم کہہ رہے ہیں کس کو اویلیوٹ کریں گے b or a پر تو this is the same as evaluating the capital F function first at the end points and then multiplying the result with the constant c ایک تو یہ property ہے اگر آپ کبھی دو فنکشن ہے capital F or capital G جی ہمیں انٹی دریوٹیز of 2 فنکشن اس کو ابھی ہم دیکھیں گے ان کا کیا مطلب اس طرح کی سم کا تو ان کو آپ پہلے سم کر کے اگر evaluate کرنا چاہ رہے ہیں at b and a that is the same as first evaluating ایک فنکشن at b and a and then adding the result اور ایسی جو process ہے وہ آپ اگر difference ہے آپ کے پاس ایسے فنکشن کی تو وہ بھی اپلائے کر سکتے ہیں یہ پروپرٹیز بھی ہم نے دیکھ لی تو پروف کر لیجے گا آپ بڑی اسان ہے یہاں رکھیں کہ یہ جو بریکٹ نوٹیشن ہے اس کا مطلب کی ہے and I think everything else will follow automatically اب ہم next point start کرتے ہیں جو بات کرنے آج کی وہ ہے relationship between the definite and the indefinite integral ان کے درمیان کیا relationship ہے اس کی بات کچھ اس طرح شروع کرتے ہیں یہ جو first fundamental theorem ابھی ہم نے دیکھا calculus کا تو اس میں نوٹ کریں کہ آپ نے ایک antiderivative سمال کیا تھا capital F of the small f function تو اس میں ہم نے یہ نہیں کہا کہ جی کون سا antiderivative ہے یہ کہنے کا مقصد کچھ ہوں تھا کہ کوئی بھی antiderivative آپ سمال کریں small f کا so you will get the same answer یہ جو fundamental theorem میں آپ نے right-hand side پر لکھتا capital F of B minus capital F of A تو یہ پھر بھی وہ رزلت آئے گا اس کا چھوٹا سا ایک پروف کچھ ہوں ہوسکتا اگر آپ دیکھیں کہ اگر آپ کے پاس capital F is any antiderivative of the small f function then by theorem 5.2.2 all others all other antiderivatives will have to have the form capital F of X plus C i.e. they only differ by a constant تو یہ دیکھ لیں کہ اس کے حوالے سے ہم اگر evaluate کرتے ہیں مثال کے طور پر اگر capital F of X plus C کوئی اور antiderivative ہے ہمارے small f function کا تو ہم کہہ سکتے ہیں کہ اس کو اگر evaluate کریں B اور A پر یعنے ہم بیسکل apply کر رہے ہیں اپنا first fundamental theorem of calculus تو results یہ calculation results in calculation ہوگی وہ آپ کے سامنے ہے اور دیکھیں کہ results وہی آتا ہے جو آنا چاہیے جو ہم چاتے ہیں آئے تو اس ایکویشن کو جو ابھی دیکھی ہم نے اس کو لیبل کر لیتے ہیں اس capital A اس کو ہم بعد میں استعمال کریں گے تو اب یہ کالکلیشن ہم نے دیکھلی اور اس کو ہم نے نام دیدی ہے capital A کا اس کو ابھی استعمال کرتے ہیں to see the relationship between the definite and the indefinite integrals that we have talked about so far تو اس میں یہ کرتے ہیں کہ ظاہر اگر indefinite integrals ہے میں لیتا ہوں اپنے small f function کا تو result کیا آئے گا یہ ہم جانتے ہیں پہلے کر چکے ہیں کہ it will be the antiderivative of small f function جس کو ہم کہہ رہے ہیں capital F لیکن ہم ساتھ میں constant add کرتے ہیں یاد ہے آپ کو کہ اگر antiderivative لے رہوں یا integral لے رہوں indefinite integral لے رہوں میں کسی function کا یہاں پر small f of x تو اس کا جو ہم جنرل طریقہ لکنے کا جواب کا وہ تھا کہ it is the antiderivative capital F whatever that function may be plus some constant C because we had a theorem which says کہ اگر کوئی ہے اور ہو سکتا ہے کئی antiderivatives ہوں اگر وہ کئی ہیں تو وہ بیسکری differ کرتے ہیں by a constant چیک ہے تو یہ دیکھتے اس کو لکھ لیتے ہیں کہ ہم پہلے کیا دیکھ چکے ہم یہ دیکھ چکے ہیں کہ جی integral indefinite integral of f of x dx is equal to capital F of x plus C where the capital F function is the antiderivative of the small f function now اب یہ دیکھئے کہ یہ تو ہمار پاس سے ایک رزال پہلے سے establishment تھا اب جو a equation ہم نے دیکھی تھی تھوڑی در پہلے اس سے ہم یہ کہہ سکتے ہیں کہ definite integral from a to b of the small f function will now have to equal the indefinite integral of f of x evaluated at in bracket notation from b at b and then evaluated at a یعنی کیا کہانے کا مقصد ہے مقصد یہ کہ ہم نے a میں دیکھا تھا کہ جی یہ جو f of x plus c ہے اس کوگر آپ انٹگرے evaluate کرتے ہیں at b and subtract the result from that of the same thing evaluated at a یعنی bracket notation میں ہم لکھ لیتے ہیں f of x plus c کو تو رزال جو تا برابر ہوتا ہے آپ کے definite integral یہ جو بگے ہم نے لکھا تھا ایکویشن کا نام تھوڑے در پہلے ہم نے کہا تھا تو وہ ہم نے یہاں استعمال کیے کہ جی جو definite integral ہے its equal to the end derivative evaluated at the end points that's how we get this result تو relationship basically یہ ظاہر ہوتی ہے کہ یہ جو آپ کا between definite and indefinite integrals is that to evaluate the definite integral of some function on a given interval یہ اس چیز کے برابر ہے کہ اگر آپ کہیں کہ جی پہلے آپ indefinite integral معلوم کر لیں small f کا اور پھر اس result کو evaluate کر لیں using the first fundamental theorem of calculus تو یہ basically simple سرزالتا ایک طرح کا intuitively بھی کلیر ہے کہ جیہاں ہونا تو کچھ ایسا ہی ہے ان کو اگر ہٹا دیں اور پھر results پہلے معلوم کر لیں کہ antiderivative ہے کیا small f کا اور پھر اس کو bracket notation میں لکے first fundamental theorem apply کریں we get the result that we would like it to be the way that way basically تو یہ ایک طرح کا relationship ہے between definite and indefinite integrals اچھا تو ایک example کر لیتے ہیں to make things make things a little bit more clear example جناب یہ ہے کہ using the first fundamental theorem of calculus find the area under the curve y equals cosine x over the interval یا over the closed interval 0 comma pi over 2 اچھا اس situation کی ایک picture بھی ہے آپ کے سامنے دیکھ لیجے کہ یہ picture ہے اس میں interval 0 سے pi over 2 تک جو آپ کا graph ہے اس کو considering کر کے اس کے نیچے کا area معلوم کرنے تو اب یہ نوٹ کریں یہ ظاہر ہے picture سے بھی کہ cosine x جو ہے یہ 0 سے بڑا ہے یا 0 کی برابر ہے for all the x values in the interval 0 to pi over 2 یعنی یہ کہ جو function کی values ہیں یعنی جو y values ہیں corresponding to the x values in 0 to pi over 2 یہ ساری positive ہیں یا تو non-negative بلکے کہنا چاہیے کیونکہ 0 بھی ہو سکتی ہیں یہ ہم اس ہی بات کرنا چاہے تو آگے چلتے ہیں اس example کو دیکھتے ہیں مزید اس میں دیکھیں کہ آپ اس چیز کو مدنظر رکھتے ہوئے ہم area معلوم کرتے ہیں تو area جناب ہوگا in terms of a definite integral the integral from 0 to pi over 2 of cosine x dx but now I know how to evaluate this this is equal to the indefinite integral cosine x dx in brackets یعنی جو خاص bracket notations بھی introduce کی تھی for evaluating the definite integral from 0 to pi over 2 indefinite integral جو ہے cosine x کا وہ ہوتا ہے sine x کیونکہ زائرہ sine x کو اگر differentiate کریں گے تو cosine x result آگا اور اب sine x کو ہم نے evaluate کرنے at the end points 0 and pi over 2 using the first fundamental theorem of calculus تو اب یہ ہم دیکھ سکتے ہیں کہ this result will be sine of pi over 2 minus sine of جناب یہ آپکہ ایک ایک سامپل ہو گئے اس میں میں نے نوٹ کیجے جانبوچ کر constant جو ہے c اس کو 0 چوس کیا تھا it's my choice it could be مخصد یہ کہ sine of x plus 2 جو ہے وہ بھی end derivative ہوتا cosine x کا لیکن میں نے وہ والا چوس کیا ہے جس میں constant 0 ہوگا it's open to choice اچھا جی اب next بات کرتے ہیں جو ہمارے آچکے topic تھا مین value theorem for integrals اس کے بارے میں تھوڑی سی بات کرتے ہیں کہ یہ ہے کیا اور اس میں اس سے کیا فائدہ ہو سکتے تو آئی دیکھیں اس کے بارے میں کچھ لکھ دیتا ہوں میں چونکہ یہ تھوڑا سا involved theorem ہے تو let's write some stuff about it اس میں سب سے پہلے تو ایک پکچر بناتے ہیں اور یہ پکچر آپ دیکھئے کہ اس میں کچھ چیزیں ہیں جو ہمیں considering کرنی ہوگی پکچر میں a continuous function دیا با ہے small f یا اب میں خالی اس کو f کہہ رہتا ہوں اور ایک interval دیا ہے a,b نوٹ کریں کہ اگر میں ایک m capital M لیتا ہوں ایک number and I'll use it to designate the maximum value of f on ab یعنی جو highest value لے سکتا ہے function یعنی اگر گراف میں بات کریں تو جو highest peak بنتی ہے گراف کی وہ m ہو جائے گی اس کو m value number دیتے ایک نام دیتے capital M اور جو minimum value اس function کی ab پر interval میں اس کو ہم small m کہہ لیتے ٹھیک ہے گی ہم پہلے بات کر چکے maximum minimum value اس کی now let's say that if we draw a rectangle of height capital M and another rectangle of height small m then notice from the picture that it's clear that the area under the curve of f is at least as large as the area of rectangle with height m and it's no larger than the area of the rectangle with height capital M اچھا جی یہ میں نے لکتو دین چیزے مقصد کیا کہنے کا مقصد یہ ہے کہی پیچھر ابھی پھر سے دیکھئے گا کہ اس میں جو area ہے معلوم کرنا under the curve of f وہ confined ہے between the area of two rectangle ایک ایسا rectangle جو ہم function f معلوم کرکے بنا سکتے ہیں جو میکسرم ویلیو اس کو ہم height کی طور پیلیں گے اس rectangle کی اور ایک اور rectangle ایسا بناتے ہیں جو f function کی minimum value کو use کرے گا as height تو اس میں صاحب ظاہر ہے تصییر پے بھی خور کیجی بک میں بھی آپ کے کہ جو area ہوگا وہ اس کے درمیان کہیں لائے کرتا ہے کہنے کا مقصد یہ کہ جو area آپ دھوننا چاہر ہیں under the curve of small f function f is between the areas of the large rectangle تو مقصد یہ ہے کہنے کا کہ ہم یہ کہنا چاہیں گے this is something this is exactly what the mean value theorem will say that ایک ایسا rectangle exist کرتا ہے with a certain height such that the area under the curve of function f is equal to the area of that rectangle یا یہ ہم چاہتے ہیں کہ ایسا ہو that would be nice actually کہ ہم ایک طرح سے ہم آپس ایک powerful tool آجائے گا کہ جو function یعنی چونکہ it is confined between two large and two rectangles one is you know very big and one is very small تو ایک ایسا rectangle ہونا چاہئے کہ جو exactly area دے وہ area دے جو کہ graph کے نیچے لائے کرتا ہے function f یہ ہم اس کے بارے میں تھوڑی سی بات کرنی ہے یہ بات کچھ یوں ہے کہ اس کو theorem کے طور پر لکتے ہیں کہ ہے کیا یعنی مقصد یہ کہ exactly ہوگا یہی جو ابھی بات کی so let's write it down a theorem and that theorem is the mean value theorem for integrals let's read this theorem ہے جناب کے اگر آپ کے پاس ایک continuous function ہے f and that function is continuous on a closed interval ab then there is at least one number x star in the interval ab such that the definite integral a to b of f of x dx which is namely the area under the curve is equal to f of x star multiplied by x excuse me b minus a تو یہ آپ کا mean value theorem ہے اس کا کہانے کا مقصد یہ ہے کہ x star جو ہے وہ چونکہ ab کی درمیان کیں لائے کرتا ہے تو ایک number ایسا exist کرتا ہے جس پر اگر آپ function کو evaluate کریں یعنی آپ کے پاس height آئیگی ایک طرح کی height آجتی ہے تو اور اس کو multiply کریں b minus a سے which is the width of the given interval تو آپ کے پاس ایک ریکٹانگل کا area ہی تو آتا ہے ظاہر سی بات ہے تو وہ area جو ہوگا اس ریکٹانگل کا برابر ہوگا area under the curve that's what you want to do اور اس کو prove کرلتے ہیں and we'll see how this works actually تو یہ prove کرتے ہیں اس کا prove میں یہ ہے جناب کہ میں extreme value theorem ستمال کروں گا جو ہم نے کسی ایک پچھلے لیکچر میں دیکھا تھا اس کو textbook میں آپ دھون سکتے ہیں as theorem 4.6.4 اس میں دیکھیں کہ اس تھیورم کے حوالے سے reference کیلے آپ دیکھلیجے گا اس کو ابھی اچھا وقت ہے دیکھنے کا تو جو function f ہے وہ continuous ہے so by the extreme value theorem it has to assume a maximum value capital M and a minimum value small m on the interval ab of course that's what we want it to be and then so we can say that for all x in the interval ab f of x is between small m and capital M basically confined by those two things اب یہ امپلائے کرتا ہے کہ integral اگر میں لوں it's an equality کا یہ جو میں لکھی دی اس میں any integral میں لیتا ہوں from a to b تو میرے پاس result کیا آتا ہے result یہ آتا ہے کہ integral of m dx a to b is less than equal to integral ab f of x dx is less than equal to the integral of capital M dx and this actually follows from theorem 5.6.7 part b in your textbook you can look it up اب یہ ہے کہ یہ میں بڑا رام سے value it کر سکتا ہوں جو left-hand side well انتگرل تھا وہ برابر ہے small m times b minus a and the اور جو right-hand extreme right تھا وہ برابر ہے capital M times b minus a کے اور ان دونوں درمیان of course I have the definite integral of f of x اور یہ area represent کر رہا ہے under the curve over the interval b minus a سے ڈیوائٹ کر دیتا ہوں ڈیوائٹ اس ساری نیکوالتی کو تو result آتا ہے small m and capital M confines the quantity one over b minus a times the definite integral over the interval ab of f of x dx اب یہ جو last inequality اب ہم نے دیکھی this is actually a number between m small m and capital M i.e. one over b minus a times the it's a number between these two numbers that we just talked about small m and capital M so what can we say now since the function f is continuous on ab then we can say something about it using the intermediate value theorem جو ہم نے کافیر سے پہلے دیکھا تھا اور یہ آپ بہت سارے تھیورم سب سمال کر رہے ہیں اور now hopefully now you can see why we needed these تھیورم or intermediate value theorem تھیورم آپ دیکھ لی جے وہ بھی اسی وقت دیکھ لیں تو اس کے حوالے سے ہم کہہ سکتے ہیں کہ لکھ لیتے ہیں اس کو ہم کہہ سکتے ہیں ہم کہہ سکتے ہیں ہم کہہ سکتے ہیں اور جانتے ہیں all values on a,b using the intermediate value theorem ف must assume the value one over b minus a times the definite integral of f of x on ab at some point x star in that interval a,b so basically now we can say that this quantity one over b minus a times the definite integral equals f of x star and of course if you multiply both sides by b minus a تو ہمارے پاس result آتا ہے جو ہم چاہتے ہیں یہ جناب آپ کا پروف ہوگیا اس تھیورم کا mean value for integrals good theorem اور اس کو آپ کی homework problems میں آپ استعمال کریں گے تو please do that ایک آخر چیز جو ہے آج کی وہ لکھ لیتے ہیں کی اس کے بارے میں آپ خود دیکھلی جے گا کہ وہ ہے کیا last thing to be seen today is the average value of a function تو اس کی جناب definition آپ کے سامنے ہے definition ہے کہ جی if f is an integral if f is integrable on the interval ab then the average value of the function f on the interval ab is defined as one over b minus a one integral f of x dx یہ جناب آپ کی وہی value ہے جو ابھی ہم نے دیکھی proof میں of the mean value theorem for the integrals تو اس کے بارے میں غورہ فکر آپ کر سکتے in your own good time تھوڑیسی homework problems بھی ہیں اس کے حوالے سے تو آپ کریں گے تو you will see what this means actually باقی سوارات of course we can entertain on the email تو یہ جناب آج کا لیکچر ہوگیا hopefully we had fun very important theorems we saw today سوالات چلتے رہنگے next time پھر آپ سے ملاقات ہوگی thank you for your time Allah Hafiz