 Je pense qu'on peut commencer cette session du matin, qui est la dernière journée de cette conférence, avec Claire Voisin, et le titre est là, de l'Analysie des Etats-Unis pour la théorie des périodes. Merci. Je remercie les organisateurs pour nous inviter à parler ici. Ce n'est pas d'obus parce que je travaille en géométrie, et on peut avoir l'impression que le travail de Poincaré n'est pas particulièrement en géométrie. En fait, ce n'est pas vrai, je vais parler de la théorie des périodes. Donc le titre de la parole me donne l'impression que la théorie des périodes a commencé après Poincaré, qui est complètement longue. Et en fait, ce que j'ai envie d'interpréter, c'est que la théorie des périodes existe sur une variété de petites dimensions, c'est-à-dire les surfaces, comme beaucoup avant Poincaré. Et le travail de Poincaré en géométrie, c'était absolument utile pour faire la théorie des périodes possibles. Je vais continuer. Je vais essayer de parler de Louderre. Alors, ce que j'ai envie de dire, c'est que Poincaré lui-même contribuait à la théorie des périodes sur les surfaces, par son travail sur le terrain, qui était directement, la motivation, c'était la théorie des périodes de curve elliptiques. Mais plus important, ses contributions viennent de son travail dans l'algebraic topologie, qui a été très important pour faire possible la théorie des périodes, en général, dans une meilleure dimension. Alors, ce qui est la théorie classique des périodes, c'est-à-dire que c'est initié par Riemann et aussi par Abel et Jacobi. Ça concerne le étudiant peut-être pas exactement de la théorie, mais certaines intégrales qui ont été construites par un curve elliptique. Les exemples simples sont les surfaces hyperélyptiques. Ils ont un modèle très simple de l'algebraic géométrie. Ils sont représentés comme les couvres doublers de la sphère Riemann à l'équation U2 à l'équation F où F est un polynomial en Z. Je vois la sphère Riemann comme la compactification de la plane complexe. Dans la plane complexe, j'ai cette ordinateur Z. Bien sûr, j'ai eu l'infinité pour le faire. Cette surface Riemann a une surface de genou d-1. Bien sûr, ces couvres doublers ont une ramification à l'équation F et ici, il n'y a que deux roues de l'équation F de l'EPI. Quand vous avez cet modèle, c'est très facile de comprendre la topologie ou la base pour l'h1 homologie de la surface Riemann. Ce que vous faites est que vous considérez deux points sur la surface Riemann et puis, vous considérez un pass entre ces deux points et maintenant, vous avez deux couvres de l'équation F et ça ressemble à ça. Bien sûr, j'ai eu l'infinité de la ramification. Et bien sûr, maintenant, votre pass, qui n'était pas fermé avant, donne un loop dans la surface Riemann. Et donc, c'est le premier ingrédient. Et le deuxième ingrédient, c'est l'introduction de ce qu'on appelle la forme homomorphique, qui est en fait très algebraique parce qu'on a cette forme explicite sur la surface Riemann. Donc, ici, vous avez l'impression que cette forme a des singularités parce que de l'EPI, mais en fait, si vous computez localement, vous voyez qu'il n'y a pas de singularité. Donc, c'est une forme homomorphique qui est très définie sur le sigmar et les périodes sont les intégrales de ces formes homomorphiques sur ces contours, les gammes. Et, bien sûr, il y a un énorme nombre de travail concernant ces périodes. Par exemple, les paramètres, bien sûr, c'est le F, bien sûr, peut-être le choix de P. Et il y a des paramètres algébriques, mais les périodes elles-mêmes sont seulement les fonctions homomorphiques de ces paramètres. Et en fait, ils sont multivalents, et ce qui se fait est que ma gamme ici, ce n'est pas... j'ai eu un choix, et quand je suivis les paramètres, j'ai eu des paramètres homomorphiques qui changent la classe de gammes et les objectifs résultats. Il y a des solutions des équations différentes de P. Il y a des paramètres homomorphiques de ces équations. Donc, c'est un aspect qui a été très étudié. Et un autre aspect qui est beaucoup plus à l'intérieur de la géométrie c'est que vous pouvez voir les périodes en déterminant un complexe tors qui est associé à la surface de la gamme. C'est appelé le Jacobian de Sigbar. Et, bien sûr, il joue un rôle très important dans le étudiant de la surface de la gamme. Et ce que je veux expliquer maintenant, c'est essentiellement ce que les périodes sont dans une dimension plus grande. Donc, je reviens au début de la théorie homologie. Et je pense que ce que je vais dire c'est que c'est pour le Poincaré mais je vais aussi expliquer que, de temps en temps, il y a des extra-ingrédients qui ont été nécessaires pour donner une très solide et complète théorie. Donc, le Poincaré commence avec la notion de la homologie, ce qu'on appelle la homologie. Et, bien essentiellement, vous avez, ici la picture dans la dimension 2, mais vous travaillez dans toute la dimension, vous avez un orienté-manifold capital gamma. Et il y a le Poincaré et, comme Poincaré l'explique, le Poincaré a maintenant une orientation technique comme le Poincaré. Et, de ce temps, ce qui est, bien sûr, très géométrique, on règle cette relation que la boundary du capital gamma est la somme de ces 3 termes. Et, en main, l'idée extraordinaire est de commencer avec quelque chose qui est très géométrique, tout le monde peut avoir l'idée de ce qu'est la boundary et d'y écrire comme quelque chose complètement algebraique. C'est une équalité à l'intérieur d'une certaine abellienne. Donc, la main de la difficulté est ce que l'idée doit être de construire une groupe de 3 abelliennes sur certaines lettres et les lettres correspondent à certains objectifs géométriques. Et cette groupe de 3 abelliennes sera appelée la groupe de la chaine de l'oeil et, bien sûr, la chaine de l'oeil dans cette picture. Et un très important problème est qu'est-ce que c'est le right choice pour ces chaines de chaines. Si vous vous contentez vous-même en travaillant avec des formes orientées des formes de votre ex ou des maps différenciables des formes orientées avec une boundary de l'oeil, ce que vous avez est intéressant mais ce n'est pas ce que vous voulez. Ce n'est pas de définir les groupes homologiques. C'est une façon orientée des groupes de l'oeil. Donc, après un moment, ce fut Pancaré qui préfère changer d'une autre théorie qui, je vais expliquer une minute, qui est une théorie simplifiée. Et maintenant ce qu'on utilise c'est la théorie de la homologie singular. Dans cette théorie la groupe de la chaine c'est ce free abélien de groupes construit sur la continue si vous préférez si votre ex est un manifold qui peut prendre des marques différenciables des marques de la théorie simplifiée à l'oeil. Donc, je vais expliquer ce que c'est. Et puis la théorie simplifiée a un naturel de la boundary dans ce sens et par la restriction de la map qui vous donne une différenciation de la map de ck à ck-1 qui satisfy cette relation fondamentale que la théorie compose avec elle-même c'est 0 et vous définissez une groupe de groupes avec l'effet cernel de la théorie ici modulo l'image de la théorie qui vient de ck-1. Alors, pourquoi je parle de la théorie simplifiée qui a été introduite par Poincaré ? C'est le fait que la théorie simplifiée est très, très belle. C'est tout ce que vous voulez et il y a une grande advantage sur la théorie que vous travaillez avec des groupes génératifs et en particulier vous avez ce fameux formulaire Poincaré qui vous donne des groupes génératifs qui vous faites dans le contexte de la théorie de la théorie mais le problème qui a été réalisé très tard est le fait que Poincaré introduit la théorie simplifiée et il prouve que c'est indépendant qu'il commence par la théorie et il prouve que c'est indépendant par la théorie de la théorie de la théorie qu'il croit qu'il y a deux triangles et qu'il peut refaire un refinement commun et c'était très tard je pense dans les 60s et les 70s dans le Manifold Calf et donc finalement la théorie de la théorie a été réscuée en fait la théorie et c'est la seule chose qui est garantie que la théorie de la théorie a été exertible par qui highlighting la théorie et la théorie qu'il couvre de cela et on peut le boulot de votre simplex. Donc, encore une fois, il y a un truc avec les signes, le boulot géométrique qui est de l'intérêt, c'est la face, le boulot de la face, c'est-à-dire que tu as appris les orientations de la face. Et maintenant, si tu considères que les faces sont générées par prendre un vector moins, mais si tu considères ce ordre, tu ne peux pas prendre la haute orientation. C'est pourquoi nous devons mettre ce sign en minus 1 à la haute. Et donc, nous avons la notion de complexe simplex. Tu as donné un certain nombre de vertices, et tu as choisi un set S, qui détermine votre complexe simplex, qui est un sub-set de parts en V. Et la seule condition que tu as, c'est que si tu as un élément dans ton set S, et si tu choisis un sub-set de parts en V, qui est en A, ça aussi s'agit de ton set S. Et bien, c'est bien sûr la définition de l'abstract, mais en fait, quand tu penses sur la réalisation géométrique, ça fait que c'est beaucoup plus simple. Tu mets tes vertices à l'intérieur de la haute à la haute, avec une haute très grande. Et pour chaque élément A, dans ton complexe simplex, tu considères que c'est un sub-set de vertices, et tu considères simplement que le complexe géométrique génère une haute à la haute. Et c'est un sub-set de la union de toutes ces simplices. Et c'est, à partir d'un manifold X, si tu as une triangulation, tu peux faire un homomorphisme pour la réalisation d'un complexe simplex. Et dans la homologie simplex, comme je l'ai dit, le groupe de chaînes, c'est beaucoup plus petit que la théorie homologique. Tu considères que, si tu as une haute à haute, ou que tu as une haute à haute, tu considères que tu as déjà une haute à haute comme un complexe simplex. Tu as juste travaillé avec les simplices qui sont partie de votre complexe simplex. Donc, comme avant, ça vous donne un certain complexe, où tu as la tête, la maitre de la haute à la haute, c'est la case homologie de la réalisation d'un complexe simplex. Donc, comme je l'ai dit, tu as besoin, finalement, de la théorie homologique pour montrer que tu as besoin. Donc, si tu as commencé une triangulation d'un manifold, ça ne dépend pas de la chance d'une triangulation. Ok, et un autre, voilà, il s'est dit que, dans beaucoup de cas, la contribution de Poincaré a dû être complétée ou correctée, et la dualité Poincaré d'URM, qui est, bien sûr, en topologie, c'est un exemple où rien n'a dû être changé. Je pense que c'était bien état et prouvé complètement par Poincaré. Et la prouve est remarquablement simple. Donc, au lieu de la homologie, tu peux être intéressé et, en fait, c'est peut-être la homologie est plus géométrique, la homologie est plus un peu plus algebraique. Donc, la priorité, c'est très simple. Tu as juste dualisé, tu as eu un complexe de chaine, où la map boundary s'est envoyée à ck-1. Et la théorie homologique est juste obtenue par la dualité du objectif, qui est aussi complexe, c'est-à-dire que la dimension de ck-1 est juste un transpose de la map boundary de ton complexe de chaine. Donc, tu introduis un complexe dual et la homologie de x avec des valeurs d'z est définie, comme avant, c'est la homologie de ce complexe, c'est le kernel de la dimension différente, c'est l'image de la dimension différente. Donc, c'est l'image de la dimension différente de ck-1 et de ck-1. Donc, il y a un truc, parce que nous sommes avec z coefficient, donc ce que nous faisons, c'est que nous avons le complexe, nous considérons le complexe dual et nous prenons sa homologie. Et si nous étions avec une coefficient dans un fil, la solution sera très simple, c'est la même chose que considérons la dualité de la homologie. Il y a des susceptibles qui sont relativement à la torsion. Et donc, parce que la homologie et la homologie sont très utiles si vous travaillez avec ces coefficients. Et ce qui est le théorème de la compagnie dualité est celui-ci. Vous considérez un n-fold connecté et puis il y a un isomorphisme naturel entre la homologie en k° et la homologie en k°. Donc, quand je dis naturel, bien sûr, ça dépend de la choice de l'orientation. Si vous changez l'orientation de x. Donc, bien, quand je dis naturel isomorphisme, c'est un peu mystérieux cet isomorphisme naturel. Vous le voyez bien dans le proof, mais il n'est pas évident de le construire. Il y a beaucoup de formulations qui existent avec q coefficient. Parce que, en ce cas, l'isomorphisme naturel, c'est donné par le péril intersectional. Ça le fait très concret. Mais, comme je l'ai dit, avec q coefficient, la homologie n'est pas la dualité de la homologie. Donc, en ce cas, c'est juste que la homologie de k° avec q coefficient et la homologie de k° avec q coefficient sont duales. Et la homologie c'est juste l'intersection de péril construite par intersectorer les chains par l'orientation et par l'intersection par l'orientation global de votre x. Et le proof est remarquable et simple. Mais, bien sûr, vous devez imaginer que vous avez une triangulation. C'était une belle picture de celle de David Gabbay. Vous commencez avec votre complexe simplifiant par triangulation de votre manifold et vous constructez une duale triangulation. Mais la idée c'est que, si vous avez quelque chose comme ça donc let's assume que vous... Assumez que vous avez le début de votre triangulation comme ça ce que vous devez faire pour construire cette duale triangulation ou cellulation la nouvelle vertex correspond à la triangulation que vous avez ici. J'ai mis une vertex pour chaque triangulation et deux triangles avec une longue ligne j'ai mis une âge. Et pour la vertex qu'il y a dans le milieu j'ai mis une face. Donc, bien sûr, c'est une simple picture et en général, les choses sont plus compliquées parce que vous avez le droit d'avoir plus de triangles, donc ce que vous avez n'est pas exactement une triangulation mais en tout cas, ce que vous dites c'est que d'abord, vous obtenez une nouvelle triangulation de votre X donc si vous faites la théorie homologie avec cette nouvelle triangulation ça vous donnera, bien sûr, la homologie de votre X. Mais un point très important c'est que si vous regardez la construction cette triangulation est la duale de la première et cela signifie que si vous considérez un complexe de chaine simple de la nouvelle triangulation c'est en fait isomorphique avec un changement de degrés pour le complexe du complexe original de la triangulation et puis, bien sûr, cela vous donnera exactement ce que vous voulez donc cette isomorphisme pour ce qui est remarquable c'est déjà le niveau de chaines que l'isomorphisme est constaté ok donc maintenant je vais changer tout cela est très géométrique mais cela n'a pas à faire avec la géométrie et maintenant on va faire quelque chose qui est un peu plus近 c'est-à-dire la géométrie différenciale donc maintenant je considère un magnifique différenciable donc vous avez une notion de formes différenciales je vais dénoncer des formes différenciales d'un gré K un grand classe c'est une classe infinie et maintenant j'ai l'extérieur différenciale qui est très simple et la définition en Poincaré est vraiment très difficile à lire je ne comprends pas très bien ce qu'il fait mais c'est en fait un D un DXI une forme différenciale une combination avec des coefficients de ces monoméles dans les coordonnées locales et la différence de cela c'est juste un DF une forme différenciale et donc il y a un important fact que D se compose d'une surface c'est la symétrie de la derivation et vous définissez la homologie d'oram et avec une coefficient d'art d'être le kernel de la map différenciale à partir du KK à la forme exacte l'image de la map différenciale de l'existence maintenant la relation entre la homologie d'oram et la homologie et la homologie c'est une formule que vous pouvez intégrer sur les contours et puis si vous avez un sub-manifold de dimension K plus 1 avec une boundary bien sûr, vous pouvez assurer que c'est un sub-manifold d'une map différenciable de gamme à x vous avez la formule que l'intégral de gamme d'alpha est l'intégral de gamme de gamme d'alpha donc tout ceci est écrit très clairement en point carré mais maintenant formulez les choses un petit plus un petit plus abstracte ce qui dit la formule c'est que vous avez une naturelle map d'un espace KK d'un espace de des formules K avec des coefficients des formules K donc dans une formule différenciable vous associérez la map de gamme de gamme de gamme d'alpha donc pour alpha vous associérez une map d'un espace de chaines et cette formule dit que cette map de gamme de gamme de gamme de gamme de gamme de gamme de gamme d'alpha est simplement compatible avec la différence donc la conclusion est qu'il y a un map induisant de la comologie de durant et de la comologie de singular et de la théorème de durant ce map induisant de la comologie de durant est un isomorphisme donc elle a montré un endroit d'analysie Poincaré une phrase de Poincaré que il a réellement dans la tête peut-être partie de cette théorème qu'on arrive à la conclusion qu'il croit ou peut-être qu'il a la provenance de la facture que cette map est surjective qui est une phrase qui dit que les classes homologues peuvent être distinguées par période, ou par intégral donc c'est exactement le statement de la surjectivité ici si j'ai une forme close j'assume que l'intégral est 0 sur toutes les contourses et je dois prouver que c'est exact et je ne pense pas qu'il a payé attention à ce problème Je ne peux pas résister parce que je pense que c'est une très belle partie de l'histoire de l'algebraique je veux expliquer une nouvelle preuve par rapport à l'algebraique de la théorème et aussi parce que c'est abusant de ce que j'ai dit que l'algebraique est très important dans l'algebraique de l'algebraique et dans l'algebraique de cette théorème vous voyez aussi beaucoup de l'algebraique mais légèrement et c'est basiquement parce que l'algebraique c'est ce que l'on appelle l'algebraique de l'algebraique il commence par le point carré disant que si vous avez un manifold différenciable puis formes de positif sont exacts et puis la preuve va nous suivre donc maintenant vous utilisez un point que vous êtes un bon couvercle qui signifie que c'est un couvercle d'open set contractibles et vous assumez que toutes les intersections successives de votre open set sont either contractibles ou émpliquées ce qui est toujours existant par exemple de la théorème de la théorème et maintenant vous avez ce couvercle et vous faites le suivi vous avez une formule ferme donc maintenant vous appelez alpha i, la restriction de votre alpha pour votre open set UI et vous appelez le point carré Le Mans et vous conclurez qu'il y a c'est un d'beta i bien sûr le problème c'est que le beta ne correspond pas à l'intersection mais maintenant vous considérez que l'intersection UI intersectée avec un g comme ça vous considérez la différence beta i minus beta g peut-être non zéro mais c'est fermé par cette formule donc maintenant vous appelez le point carré Le Mans c'est fermé donc c'est exactement et vous l'avez écrit d gamma i i g et vous continuez vous appelez la différence de l'intersection de ce gamma i g vous trouvez quelque chose ce qui peut être non zéro mais c'est fermé et vous continuez et l'idée que vous passez par cette formule donc où est le processus stop c'est très simple que stop seulement à un point où vous ne pouvez pas appliquer le point carré Le Mans parce que les formules que vous obtenez ne sont pas de positif de gré et donc il faut être de gré zéro et en ce cas ce que vous obtenez c'est que la formule de gré zéro qui est déclose c'est une fonction constante et cela signifie que quand vous arrêtez c'est exactement un code de renouvelage et par cet argument qui est absolument élémentaire et je pense que le point carré vous avez aimé vous passez de la compagnie de la gré pour ce qu'on appelle la compagnie de l'ex avec valeur avec coefficient r et relativement à ce bon couvert et une très bonne conclusion de de l'écran ici ce que l'écran s'occupe maintenant nous avons ce bon couvert associé à ça, vous pouvez construire un complexe simple naturel les vertices correspondent juste à l'open set de votre de votre c'est vous le mettez en formule des vertices et vous devez décider quel set sera dans votre complexe simple naturel et ce sont ces sets pour les UIs c'est l'intersection de l'I le petit I n'est pas élevé associé à ça, vous avez la réalisation de ce complexe simple naturel et vous pouvez prouver que votre X est le même type que le r de S et donc maintenant la prouve est complétée parce que nous avons cet isomorphisme c'est complètement abusé de la construction de ce complexe simple naturel que cette chèche homologie est la même que la compagnie simple naturel que le r de S et en utilisant cette compagnie vous trouverez que c'est le même que la compagnie simple naturel de votre X ok maintenant je viens au sujet de mon tour et peut-être je vais vite sur ce slide vous pouvez dire que maintenant nous avons le rampeur et ceci est terminé ceux qui ont des formes différentes qui utilisent une seule homologie ce n'est absolument pas ce qui devrait être fait parce que pour moi la théorème c'est l'importance que cela compare bien sûr, différents théorismes avec ou avec des coefficients mais bien sûr, la théorisme cela ne vous donnait la homologie avec des coefficients qui sont très importants pour nous et les autres qu'est-ce que les formes différentes qu'ils reflèrent la géométrie particulière de votre X comme une manifold différenciable d'essentiel, chaque fois que vous avez une structure extra de la géométrie différenciée et je pense pour le cas de la géométrie complexe la géométrie complexe cela peut être reflécté sur la homologie de DORAM par exemple, dans le cas de la manifold complexe vous avez les formes holomorphiques et bien sûr ils forment un complexe sub appelant le complexe de DORAM de tous les complexes de DORAM et donc le but est d'utiliser essentiellement les deux sets de données pour combiner quelque chose d'intéressant et c'est essentiellement la main idée dans la théorie des périodes maintenant je vais changer le sujet qui est la période en général, je considère un complexe complexe donc il y a un autre ingrédient qui est bien sûr très important et qui explique pourquoi la théorie DORAM est si importante, c'est ce qui dit que pas seulement si d'abord vous avez une métrique de Riemann sur votre manifold X vous avez des représentatives de DORAM et donc associé à cette structure de Riemann vous avez la plachane qui s'occupe de différentes formes qui sont élatées par la plachane et nous savons que si X est compact les formes harmoniques sont close donc ils ont une classe DORAM et le Riemann dit que dans chaque classe DORAM il existe une forme harmonique et la utilisation dans la métrique complexe dans la métrique complexe nous avons les coordonnées locales et donc nous pouvons les utiliser pour définir la notion de formes de la plachane PQ donc il y a les coordonnées locales les combinations de monoméles DZI ou DZG où la cardinale d'I est P et la cardinale d'OG est Q et bien sûr les coefficients sont complexes des fonctions infinites nous avons la notion de la classe de la plachane PQ c'est juste la classe de la plachane de la forme de la plachane PQ donc cela vous donne une subspace complexe de la plachane de la plachane X avec une coefficient complexe donc elle se contient dans la plachane PQ parce que la forme de la plachane PQ est de la plachane PQ et maintenant un résultat fondamental dit que si la métrique c'est la plachane PQ donc pour les choses pour la plachane PQ donc c'est la plachane PQ donc c'est la plachane PQ et vous pouvez considérer la métrique de la restriction de la métrique de la plachane PQ donc cela vous donne ce qu'on appelle la métrique de la plachane PQ et ce qu'on dirait dans cette assumption C'est une pièce de PQ ou bien, toute forme de la plachane PQ et pour la plachane PQ mais quand la forme totale est ferme il n'y aura plus de raisons pour chaque compétition individuelle mais ce qui veut dire est que pour la forme harmonique les pièces de PQ sont harmoniques et parce que c'est ce qui estанный vous voyez que la grammologie de votre plachane est décomposée et s'étend par le fil étrier de la plachane PQ pour le dégradement de la subspecies HPQ. Et ça vous donne ce qu'on appelle la filtration de la filtration sur la comologie de la manifold collective complexe. Donc, c'est une filtration décrisant. La plus grande, la plus petite, la plus spécifique est. Donc, la termes de la filtration de l'FP sont les summes de la subspecies HRK-R, avec R, c'est à peu près de P. Donc, pour l'exemple, le FK-HK est juste HK-0. C'est en fait le espace de formes homomorphiques de la gré K, en ce cas. Et une très importante théorème, qui est due à Dreyfus, c'est que cette grosse filtration est homomorphique avec une structure complexe en X. Donc, ça donne le sens à ça. Si vous déformez la structure complexe, c'est quelque chose qui est compliqué de faire. Vous devez déformer la structure complexe, mais en gardant les conditions de la intégrabilité de Nuremberg-Nuremberg. Donc, c'est déjà un task difficile. Et quand vous avez fait ça, vous avez un problème, vous avez un espace infinidimensional, parce que les homomorphismes de votre ex actent sur ça. Mais vous devez questionner l'espace des actions des homomorphismes et les résultats qui vous donnent ce qu'on appelle la structure complexe. Et ça se termine par un argument difficile. C'est la structure complexe qui a la structure de l'espace analytique. Peut-être pas smooth, mais analytique. Donc, ça donne le sens de parler d'un marque homomorphique sur cet espace. Et pour spécifier dans quel sens cette map est homomorphique, en fait, la filtration hot c'est une filtration sur un espace fixé. Parce que, ici, l'espace homomorphique c'est le given d'atom. Donc, cette filtration varie, mais c'est à l'intérieur d'un espace complexe. Maintenant, ces filtres sont paramétrés par un objet qui a la structure complexe qui s'appelle le flage manifold. Donc, c'est un objet de l'algebraicimétrique. Il se trouve que ces filtres qui viennent de la filtration ne refusent pas le flage manifold, mais seulement l'open set. Et c'est ce qu'on appelle le périodomain. Donc, maintenant, donc, cette théorème homomorphique est, bien sûr, très important. C'est la généralisation de ce que l'on a vu au début. Mais en général, ce que l'on fait, le périodométrique, ce qu'ils font, c'est que... Donc, nous avons cette filtration sur notre espace. Il dépend de la structure complexe. Et maintenant, sur cet espace HK, vous avez aussi la structure intégrale qui est donnée par la communauté intégrale. Donc, ce que l'on fait, la généralisation du périodométrique, c'est simplement que vous étudiez la position de cette filtration avec respect à la base de cette laitisse, qui vous donne, bien sûr, une base complexe de cet espace. C'est ce que l'on appelle le périodomain. Et ensuite, vous voyez qu'on découvre exactement ces intégrations que nous avons au début, parce que les formes que j'ai intégrées ont été décrites, en fait, dans tous les formes de formes sur votre surface de surface, ou sur la clé de protection. Et c'est exactement ce qu'on appelle l'espace F1H1 de ce qu'on appelle ici. Ok. Et donc, maintenant, j'aimerais finir avec quelque chose qui est... je veux dire, un mystérie complet, qui est, au lieu d'un périodométrique, je considère la notion d'un périodométrique arithmétique. Donc, je dois... Bien sûr, peut-être, ça a l'air un peu compliqué, mais jusqu'à maintenant, je n'ai vraiment pas utilisé le fait que mon X est algebraique. Donc, je considère ça comme un téléphone complexe et ensuite, j'utilise le fait qu'il y ait des formes homomorphiques, des formes de type PQ, ou des choses comme ça. Mais maintenant, je veux utiliser l'algebraic géométrique. Et donc, pour cela, nous devons passer de la catégorie homomorphique à l'algebraic catégorie. Et c'est ce que l'on a acheté par Serre dans ce que l'on appelle le Gagard principle. Donc, c'est l'algebraic géométrique et l'analytique géométrique, peut-être de l'autre façon. Et... Qu'est-ce que Serre fait ? Donc, maintenant, nous avons vu une homologie avec une constante coefficient. Mais bien sûr, nous pouvons faire une homologie avec d'autres types de coefficients. Et particulièrement, par exemple, nous considérons ce que l'on appelle les chiffres d'algebraic sections d'une algebraic vector bundle et d'une algebraic variety. Qu'est-ce que ça veut dire ? Donc, vous avez votre algebraic variety, vous avez l'open-set de Zariski et vous considérez un vector bundle qui est trivialisé sur l'open-set de Zariski. Et l'importance de l'algebraicité est que la fonction de transition quand vous passez d'une trivialisation à l'open-set de l'autre. C'est un algebraic. Donc, c'est la notion d'un algebraic vector bundle. Mais quand vous avez un algebraic vector bundle, vous avez l'analytique ou l'interpart que vous oubliez sur l'algebraic datant. Vous savez, dans l'open-set de Zariski, il y a des open-sets où vous avez un vector bundle qui est trivialisé sur certains open-sets. Et la fonction de transition, quand il y avait un algebraic, en particulier, ils étaient homomorphiques. Et vous obtenez un nouveau objet qu'on appelle Fn. Et l'important point est que, par le point de vue de l'algebraic théorie, nous n'avons pas le même algebraic parce qu'on considère l'algebraic section d'un algebraic vector bundle plus en respect de l'algebraic topologie. Nous considérons l'algebraic section d'un algebraic vector bundle considéré dans l'algebraic topologie. Bien sûr, il y a beaucoup plus d'open-sets et il y a beaucoup plus d'algebraic sections et beaucoup d'entre eux n'existent pas à l'algebraic point. Et ce qu'est-ce qu'est-ce ce fantastique théorème de Seyre est-ce que même si vous faites ce grand changement de catégorie, vous n'aurez pas de changement de comologie. Je dis que la comologie c'est juste de penser à la comologie de Seyre. Juste de l'utiliser, les restrictions de sections et de construire un complexe de Seyre de l'autofit. Et donc, c'est un peu incroyable parce que pas seulement vous changez le chiffre de l'algebraique à l'analytique, mais aussi vous changez l'autopologie. Ici, bien sûr, vous devez prendre la comologie de Seyre avec respect à l'open-set de Zarisky, l'open-cover. Ici, vous le permettez, la comologie de Seyre avec respect à l'open-cover par l'open-set de l'usule. Donc, et maintenant, encore une fois, je suis en variété de l'algebraique donc il y a une notion de l'algebraique de la comologie de Zarisky. Le facteur est que votre X est l'algebraique, donc ça rend le sens de parler de l'algebraique de l'algebraique sur l'algebraique. C'est-à-dire de penser que votre X est en Seyre, donc assumez que c'est un bon cas, que l'algebraique soit couvert par un bon open-set. Et puis, les formes de l'algebraique sur l'algebraique, il y aura simplement les restrictions de l'algebraique de l'algebraique qui sont en Seyre, c'est-à-dire, ces formes différentes qui ont une coefficient polinomiale. Et donc, ici, il y a un ordinateur global de l'algebraique sur l'algebraique de Zarisky. Donc, ça vous donne un set dans l'espace de l'algebraique de l'algebraique de l'algebraique. Et il y a un conséquent remarquable de la théorème de Gaigar, qui a été prouvé par Grotendick en 1966. Et il dit que si vous avez une fin de variété, une fin de l'algebraique de l'algebraique, donc c'est une fin de l'algebraique dans la C à la N, vous pouvez composer. Donc, c'est un analogue de la théorème de Durham, mais dans la théorème de Durham, vous devez mettre une forme différente. Et ce que Grotendick dit, c'est que, bien sûr, nous travaillons avec la communauté avec une complète coefficient. Et puis, ça peut être computé en utilisant les formes de l'algebraique de Grotendick. Ah, pardon, ici, c'est parce que c'est un amigus. Ciel signifie classique, ça signifie que c'est la comologie de l'espèce topologique parce qu'à un moment, j'utilise aussi la topologie zarisky. C'est-à-dire que c'est la même objectif que j'ai commencé au début. Je considère que mon X est la espèce topologique et je le fais. C'est un singulant. La théorie, par exemple, c'est l'intervention de la théorie de gefondation de phrase de RAM. Le point important est de passer de différentes sources dans un format de l'algebraique. Et il y a des versions pour des variants de projection, bien sûr, c'est plus compliqué parce qu'on ne nousigationnera pas assez de formes globales et nous devons introduire deux complexes sur le format de l'algebraique où vous introduisez les formes algebraiques sur un beach un oranges vol Mais c'est toujours une récipe, une récipe algébaraique pour comprendre ce objectif qui dépend de la topologie seulement par la géométrie algébaraique. Maintenant je dois arrêter, mais peut-être il y a une ou deux minutes plus, parce que je voulais expliquer ce sont les périodes arhythmiques. Maintenant, c'est comme ceci est défendu en suivant. Je suppose maintenant que vous êtes dans la même situation que la précédente. Je suppose que votre X est défendu sur un petit set de l'open. Ensuite, sur un petit set de l'open, c'est la première fois que c'est défendu sur un petit set de l'open. Mais parfois, les questions, les questions, elles ont leur coefficient dans un petit set de l'open. C'est-à-dire qu'on appelle ça K, ça peut être Q, par exemple. Et puis, bien sûr, vous pouvez faire le sens d'une formule d'algébaraique avec une coefficient de K. Vous pouvez construire ce qu'on appelle une structure K sur l'algébaraique d'Orham Comolody. C'est-à-dire que la structure K est la date de la subspace K vector, qui a la propriété que l'extension de C vous donne un espace complexe. Et comment est-ce que ceci est fait ? Il y a deux exemples de ça. Il y a une compréhension complexe avec une coefficient complexe. Il y a une structure BtQ qui vient de la change de coefficient d'Orham Comolody qui dit que la compréhension complexe est la même que la compréhension rationnelle qui vous donne une structure BtQ. C'est-à-dire que vous avez la notion d'une classe rationnelle à l'intérieur d'un set de classes complexes. Mais, comme conséquences d'algébaraique d'Orham Comolody, si la structure X est définie par K, vous avez une autre structure K qui vient de l'algébaraique d'Orham Comolody et qui vient de la compréhension de la forme d'algébaraique avec une coefficient K et ce sera ce que l'on appelle la classe d'Orham Comolody de l'Orham Comolody. Et quelle est la notion de période arithmétique ? Assurez-vous que la structure X est définie par Q. Ensuite, vous avez deux structures Q pour cette compréhension complexe, c'est-à-dire la structure BtQ et la structure Durham qui vient de la forme d'algébaraique avec une coefficient Q. Et le facteur est que ces deux structures Q n'ont absolument rien à faire et elles sont relativement conjecturées. Et les structures Q sont aussi transcendantes que possible avec respect aux autres. Je voulais expliquer ce que l'a été conjecturé par Grotanique mais la idée est que il est seulement par le présence de l'algébaraique qui explique des défaits peut-être les plus élevés de l'exemple qui explique le défait de la transgénéance de la période si il y a des périodes qui se passent à l'algébaraique qui peuvent être expliquées seulement par le présence de l'algébaraique j'espère que ce sera pour l'exemple. C'est une belle lecture de Topology pour Arithmetic pour les questions. Comments ? Qu'est-ce que je veux dire ? Alors, c'était mon next slide mais on sait parfaitement bien qu'il y a des classes de l'algébaraique si vous considérez les classes de l'algébaraique parce qu'essentiellement il y a deux coefficients de 2 pi à l'aile Ces coefficients sont nécessaires par exemple si vous faites il y a un formulaire c'est un exemple qui est très transcendant parce que ici vous avez cet S1 qui vous donne la structure de l'homologie de c'estar c'est une variété de l'algébaraique et politiquement c'est un cercle c'est le générateur de l'homologie et ici vous avez une forme avec des coefficients q donc la structure q sur le côté d'oram et la structure q sur le côté d'oram sur le côté bétis et la période c'est deux pi donc ces deux pi sont nécessaires mais c'est pour l'algébaraique pour les classes de l'algébaraique c'est essentiellement que les pouvoirs de 2 pi donc par exemple si vous considérez les variétés de l'homologie ce sont seulement classes de l'algébaraique donc la comparaison en ce cas c'est très facile la comparaison entre les deux structures c'est élevé par ces coefficients de 2 pi à l'aile si je travaille avec l'h2k et si je dois comparer les classes de l'homologie des classes de l'algébaraique donc mais d'autres fois je pense que la conjecture de la transondance c'est très ouvert la variété d'algébaraique c'est un complexe donc c'est actif par les producteurs si la conjecture de l'agébaraique est de la même type de nature si c'est de la même type je pense je ne sais pas je pense que les gens plus en arithmétique de la théorie comme Valphe Miet ou Daniel Bertrand c'est exactement ce qu'ils font c'est je pense que la conjecture de la transondance de la transondance est un genre de géométrique de l'attempt de interpréter pour interpréter géométriqually des résultats de la transondance qui est en fait le contexte naturel qui était exactement celui-ci je ne suis pas je ne suis pas pas exactement sûr je pense que je pense je pense qu'ils en ont développé indépendamment ça veut dire que tu doutes qu'il a fait des prouves j'ai discuté avec des gens j'ai commencé le Diodoni en Poincaré qui est un désastre parce qu'il dit que Poincaré n'est pas réellement compris pour lui, Poincaré n'a même pas compris exactement ce qu'est la forme différente c'était un très mauvais début et ensuite j'ai discuté avec Catherine Goldstein et elle n'était pas sûre qu'il a prouvé exactement ce statement pour elle, il s'est dit que le D compose avec le D est zéro mais il n'a pas prouvé le local mais puis il m'a donné quelques pages de Poincaré que ces gens donc personnellement je ne travaille pas dans l'histoire je n'ai pas de personnalité mais je pense que Poincaré a joué beaucoup peut-être qu'il n'a pas payé attention pour faire des choses de manière dont nous avons besoin dans cette forme mais peut-être il a dit que c'est un product extérieur parce qu'il a dit que c'est déterminant pour le product extérieur des choses comme ça d'autres questions ? non ?