 Estadísticas y preguntas de inferencia estadística de Excel sobre qué tan cerca y qué tan seguros obtuvieron los datos. Vamos a meternos en ello con las estadísticas y Excel. Introducción a la inferencia estadística. La inferencia estadística es el proceso de utilizar datos de una muestra para hacer estimaciones o probar hipótesis sobre una población. Como recordarán, en presentaciones anteriores, hablamos de dos grandes grupos o categorías de estadísticas. El primer cubo es donde conocemos toda la información, tenemos todos los datos. Nuestro objetivo es tratar de organizar esos datos de tal manera que podamos extraer significado de ellos utilizando herramientas como herramientas matemáticas, como calcular el promedio, o la media, la mediana, los quartiles, etc. Y utilizando herramientas pictóricas, como la caja y los bigotes o el diagrama de caja. Y el histograma, el segundo gran grupo de estadísticas, en lo que nos estamos enfocando ahora es en donde no conocemos todos los datos de toda la población, sin embargo, podríamos obtener como una muestra de datos de la población. Y lo que queremos hacer allí es tratar de extraer el significado de los datos de muestra que tenemos, una vez que hemos extraído ese significado, esperamos poder inferir algo de ese significado en toda la población. Así que la inferencia, lo más importante que viene a la mente de la mayoría de la gente es una situación de tipo electoral, donde la gente, los tiradores están tratando de hacer encuestas para determinar cuáles serán los resultados de la elección, tomando una muestra de la población y viendo si pueden inferir los resultados que tienen allí a lo que va a suceder en toda la población votante cuando ocurra la elección real. Fíjate, y en este tipo de análisis estadístico, la muestra real que estamos viendo los datos que realmente estamos analizando no es el objetivo. Ese no es el punto importante. Esas personas no son importantes en sí mismas, son importantes como personas, pero no para el conjunto estadístico, lo que estamos obteniendo es la inferencia de toda la población, estamos buscando significado para toda la población. Así que vamos a usar herramientas similares, como con el primer grupo de estadísticas, donde sólo estamos tratando de extraer el significado si ya conocemos a toda la población, lo que significa que para la muestra. Todavía vamos a estar mirando cosas como el promedio, la media, la mediana, etcétera, la propagación de los datos. Pero lo que esperamos hacer, una vez que sepamos eso, es inferir eso en toda la población, por lo que tenemos poder predictivo sobre toda la población. Por lo tanto, el objetivo clave es proporcionar una descripción aproximada de la población más grande basada en los datos observables de una muestra más pequeña. Por lo tanto, la muestra pequeña, no es nuestro objetivo saber todo sobre la muestra pequeña, queremos saber información sobre la muestra pequeña para poder inferirla a la población más grande. Por lo tanto, lo cerca que está el centro de la forma y la propagación de una parte de la población de la forma, el centro y la propagación de toda la población, recordarán de presentaciones anteriores. A menudo, cuando miramos un conjunto de datos, lo que queremos obtener de ese conjunto de datos es cuál va a ser el punto medio del conjunto de datos, cuál va a ser la forma del conjunto de datos, etcétera. Por lo tanto, queremos conocer esas características de la muestra, pero no para poder entender más la muestra. Pero podemos inferir eso y decir, esto va a ser similar para toda la población, es toda la población lo que es importante, aunque vamos a estar analizando, por supuesto, la muestra de manera similar a como lo hacíamos cuando conocíamos a toda la población. Y solo estamos tratando de entender los datos que tenemos. Y luego esta cuestión de que tan seguros estamos, se vuelve bastante complicada y profundizaremos más en eso en futuras presentaciones. Solo queremos tener una idea de lo que estamos haciendo con una inferencia estadística aquí. Pero si se toma la muestra, entonces las preguntas son, ya sabes, podemos inferir esa muestra a toda la población. Y con cuánta confianza podemos hacerlo, podemos hacer eso con un cierto nivel de competencia? Cuantos más datos numéricos podamos obtener sobre la confianza que tenemos, cuánto mejor poder predictivo tengamos, mejores herramientas solemos tener también? Por lo tanto, aplicaciones prácticas de la inferencia estadística. Así que, claramente, las encuestas electorales suelen ser lo primero que viene a la mente de la gente a menudo. Y en esa situación, cuando una elección es inminente, no es factible preguntar a cada votante por quién votará. Así que, claramente, cuando se trata de predecir los resultados de las elecciones. No podemos preguntarle a todo el mundo porque básicamente estaríamos tomando las elecciones en ese momento. Entonces, lo que podemos hacer es que los encuestadores tomen una muestra, digamos, de mil votantes y, en función de sus respuestas, traten de estimar el patrón de voto de todo el electorado. Así que, por supuesto, van a tratar de obtener una muestra y ver si pueden obtener los datos de la muestra e inferir esos resultados a toda la población. Por lo tanto, el desafío de la inferencia estadística es extrapolar de la muestra pequeña a la población más grande. Ese va a ser nuestro objetivo. Así que para los ensayos médicos es otro ejemplo común. Así que cada vez que hacemos cualquier tipo de prueba científica, un enfoque de prueba de hipótesis, que es algo así como lo fundamental que vas a hacer en la ciencia, que a menudo va a ser una especie de prueba estadística, ¿verdad? Así, en medicina, por ejemplo, y probando un nuevo medicamento, no es posible probar el medicamento en toda la población. Entonces, si estamos tratando de decir, ¿es efectivo este medicamento? Si alguien toma este medicamento, ¿hará lo que creemos que va a hacer? Bueno, no podemos tomar a toda la población, incluso a la población que está enferma con lo que es, tomar un grupo más pequeño y luego hacer pruebas en el grupo más pequeño. Ahora, obviamente, hay mucho más en las pruebas que esto, de lo que hablaremos en futuras presentaciones, porque tienes cosas como un placebo, una especie de efecto. Y cuando entras en la prueba de los encuestadores y tienes cosas como puedes llegar a toda la población, etc. ¿Y cómo vamos a elegir exactamente la muestra? Así que entraremos en todos esos tipos de matices y presentaciones futuras, que son matices muy importantes. No son solo cosas menores, sino que entiendes la esencia general, la idea de lo que estamos haciendo aquí. Por lo tanto, basándonos en las reacciones de este grupo, inferimos la eficacia de los medicamentos y sus efectos potenciales en la población en general. Muy bien, echemos un vistazo a un escenario. Imaginemos que tenemos datos de altura para un grupo específico de hombres adultos, y nuestro objetivo es obtener una comprensión integral de la distribución de la estatura para todos los hombres adultos. Ahora bien, la altura es una buena opción para probar, a menudo, cuando se analiza por primera vez el concepto de este tipo de análisis de inferencia. Porque en primer lugar, las alturas normalmente llegarán a ser algo así como una distribución en forma de campana. En otras palabras, la mayoría de la gente, cuando miras la altura de los hombres, por ejemplo, van a tener una tendencia hacia un punto medio. La mayoría de las personas van a estar en algún lugar en una estatura promedio, y luego tienes las distribuciones un poco alrededor del promedio. Y a medida que te acercas a ser muy alto o muy bajo, entonces es mucho menos probable, hay muchas menos personas que caen en esa categoría. Así que tiene esa distribución, que es una especie de distribución en forma de campana. Además, la gente ya tiene una idea de cómo debería hacer la distribución de la altura, sólo por observar a la gente. Así que tienes una idea de lo que esperas que suceda. Y luego, cuando realizas las pruebas, puedes ver eso en tu mente. Sin embargo, tenga en cuenta que, por supuesto, con muchos otros tipos de pruebas que podríamos ejecutar, podríamos tener diferentes distribuciones de los datos. Y si no tuviéramos idea de cuál es el efecto de, cómo se verán los resultados, podríamos estar probando algo de lo que no tenemos idea. Pero es bueno empezar con un tipo de alturas. Por lo tanto, podríamos seleccionar un pequeño número de hombres cuyas alturas parezcan reflejar las alturas de todos los hombres. Así que podrías decir, oye, mira, si tuviera que tomar una muestra, la pregunta, por supuesto, será, ¿cómo voy a tomar una muestra de hombres? No puedo hacer pruebas a todos los hombres y a la población para ver cuál es la estatura promedio de los hombres. Pero lo que podría hacer es tomar una muestra, bueno, ¿cómo voy a tomar la muestra? Bueno, tengo, se podría decir, tengo una idea en mi mente de lo alta que es la gente. Entonces, ¿por qué no elijo en mi muestra a hombres que creo que se ven más o menos promedio, y luego seleccionaré a hombres que tengan una distribución que creo que es correcta, que refleje la distribución real, y luego será fácil para mí elegir mi muestra? Sin embargo, partimos de la falta de conocimiento sobre la distribución general de las alturas en toda la población adulta. Así que el problema con eso, por supuesto, es que estás asumiendo que sabes la respuesta al problema que estás tratando de resolver, ¿verdad? Así que no puedes. Entonces, si nosotros, si ya sabíamos la respuesta de la estatura media, entonces, por supuesto, elegir una muestra sería fácil. También sería perder el punto porque simplemente estaríamos eligiendo una muestra que se relaciona con la altura real. Y esto parece algo obvio, sin embargo, este tipo de cosas suceden a veces, ¿verdad? Porque empezamos a pensar, bueno, si voy a elegir una muestra, sería mejor, ya que ya tengo algún conocimiento sobre la muestra. Sería más fácil si elegiera a personas que sé que ya están en el medio. Pero claramente al hacer eso, estás insertando tu propio sesgo en la muestra. Y eso es así que estás tratando de ayudar a las cosas en ese caso, porque crees que sabes algo sobre el mundo, y vas a elegir una muestra que refleje lo que ya sabes. Pero al hacer eso, entonces, por supuesto, estás poniendo un sesgo en la muestra, y eso va a causar un problema. Y si te equivocas en la suposición, entonces, por supuesto, cuál sea tu sesgo en la muestra va a estropear todo. Así que el punto es que tienes que tener algún tipo de aleatoriedad involucrada. Así que esta va a ser la clave para las estadísticas, cuando elegimos la muestra, tenemos que tener aleatoriedad. Ahora bien, a veces se pueden tener diferentes tipos de selección, que no pueden ser más complejos que la simple aleatoriedad total. Pero siempre va a haber algún formato de aleatoriedad en una muestra, siempre que la elijamos, porque queremos eliminar los sesgos, cuando elegimos la muestra. Así que vamos a tener, vamos a usar la idea de que no sabemos qué vamos a decir, yo, lo sé, no sé, verdad, es algo difícil de hacer. Lo sé, no lo sé, no voy a tratar de ayudar. Lo que sé, no tengo idea de lo que estoy haciendo bien, voy a, voy a usar la idea de que no tengo idea. Y luego voy a tratar de elegir completamente al azar, y luego veremos, luego lo haremos, luego partiremos de ahí. Y luego tenemos un tipo de conjunto de datos imparcial sería la idea. Por lo tanto, la aleatoriedad, la selección aleatoria es crucial para reunir la muestra representativa. Así que esta, esta clave va a surgir. Una y otra vez, si estamos tratando de decir, quiero tomar una muestra, eso me va a decir algo sobre toda la población, generalmente tienes que usar la aleatoriedad de alguna manera, forma o forma para elegir la muestra. Y esa es una n que puede ser más matizada. Así que hablaremos más de problemas en el futuro. Pero ese es el concepto clave. Por lo tanto, el concepto de aleatoriedad garantiza que todos los individuos de la población tengan las mismas posibilidades de ser seleccionados, y la muestra. Ahora, en algunos casos, es posible que pueda hacer eso. Y en otros casos, no lo harán en la vida real. Si están haciendo una encuesta, por ejemplo, para votar, va a ser muy difícil decir que todos en la población, la población votante, tiene la misma oportunidad de ser seleccionados oradores. ¿Cómo vas a hacer eso? Sólo tienes un número de teléfono, ¿verdad? No lo haces, va a ser difícil contactar a personas que tal vez ya no usan el teléfono, tal vez se comunican por, ya sabes, mensajes, o algo así. Así que va a ser difícil. Así que en el mundo real, cuando realmente aplicas este concepto, tenemos que, por supuesto, adoptarlo a lo que es práctico también y tener en cuenta el efecto de eso. Pero el concepto, por supuesto, sería que me gustaría que todos los miembros de la población tuvieran las mismas posibilidades de ser seleccionados, de modo que tuviera una verdadera muestra aleatoria de la población. Por lo tanto, esto reduce el sesgo y demuestra mejorar la fiabilidad de nuestras inferencias sobre la población. Así que estimaciones, y confianza. Y, por cierto, hablaremos más de esto en el futuro. Pero ten en cuenta, por supuesto, que al igual que con las encuestas, por ejemplo, si solo sacas a las personas que tienen un número de teléfono y la guía telefónica, entonces muchas personas en estos días podrían no tener un número de teléfono en la guía telefónica o podrían no contestar su teléfono. Y las personas que probablemente contesten el teléfono y tengan un número de teléfono y una guía telefónica y estén realmente dispuestas a hablar con un encuestador, ya sabes, pueden tener patrones de votación diferentes a los de otras personas en ese momento. Así que puedes ver por qué hay un problema, a veces que tenemos que tener en cuenta cuando aplicamos estos conceptos en el mundo real. Pero siempre va a haber algún formato de aleatoriedad en una muestra, siempre que la elijamos, porque queremos eliminar los esgos, cuando elegimos la muestra. Así que vamos a tener, vamos a usar la idea de que no sabemos qué vamos a decir, yo, lo sé, no sé, verdad, es algo difícil de hacer. Lo sé, no lo sé, no voy a tratar de ayudar. Lo que sé, no tengo idea de lo que estoy haciendo bien, voy a, voy a usar la idea de que no tengo idea. Y luego voy a tratar de elegir completamente al azar, y luego veremos, luego lo haremos, luego partiremos de ahí. Y luego tenemos un tipo de conjunto de datos imparcial sería la idea. Por lo tanto, la aleatoriedad, la selección aleatoria es crucial para reunir la muestra representativa. Así que esta, esta clave va a surgir. Una y otra vez, si estamos tratando de decir, quiero tomar una muestra, eso me va a decir algo sobre toda la población, generalmente tienes que usar la aleatoriedad de alguna manera, forma o forma para elegir la muestra. Y esa es una n que puede ser más matizada. Así que hablaremos más de problemas en el futuro. Pero ese es el concepto clave. Por lo tanto, el concepto de aleatoriedad garantiza que todos los individuos de la población tengan las mismas posibilidades de ser seleccionados y la muestra. Ahora, en algunos casos, es posible que pueda hacer eso. Y en otros casos, no lo harán en la vida real, si están haciendo una encuesta, por ejemplo, para votar, va a ser muy difícil decir que todos en la población, la población votante, tiene la misma oportunidad de ser seleccionados oradores. ¿Cómo vas a hacer eso? Sólo tienes un número de teléfono, ¿verdad? No lo haces, va a ser difícil contactar a personas que tal vez ya no usan el teléfono, tal vez se comunican por, ya sabes, mensajes, o algo así. Así que va a ser difícil. Así que en el mundo real, cuando realmente aplicas este concepto, tenemos que, por supuesto, adoptarlo a lo que es práctico también y tener en cuenta el efecto de eso. Pero el concepto, por supuesto, sería que me gustaría que todos los miembros de la población tuvieran las mismas posibilidades de ser seleccionados, de modo que tuviera una verdadera muestra aleatoria de la población. Por lo tanto, esto reduce el sesgo y demuestra mejorar la fiabilidad de nuestras inferencias sobre la población. Así que estimaciones y confianza. Y, por cierto, hablaremos más de esto en el futuro. Pero ten en cuenta, por supuesto, que al igual que con las encuestas, por ejemplo, si solo sacas a las personas que tienen un número de teléfono y la guía telefónica, entonces muchas personas en estos días podrían no tener un número de teléfono en la guía telefónica o podrían no contestar su teléfono. Y las personas que probablemente contesten el teléfono y tengan un número de teléfono y una guía telefónica y estén realmente dispuestas a hablar con un encuestador, ya sabes, pueden tener patrones de votación diferentes a los de otras personas en ese momento. Así que puedes ver por qué hay un problema, a veces que tenemos que tener en cuenta cuando aplicamos estos conceptos en el mundo real. Por ejemplo, lo que están tratando de hacer es aislar todo lo que tiene un impacto en unos pocos impactos diferentes en un elemento en particular, lo que sea que estén probando, ¿verdad? Para que puedan ver la causa y el efecto de la única cosa que están viendo, para que estén tratando de aislar todo, para que puedan ver la causa y el efecto. Cuando observamos el tipo de previsibilidad en el mundo real, tenemos que hacer tipos similares de suposiciones, básicamente tenemos que decir, bueno, aquí está el modelo estadístico que estoy armando. Se van a hacer ciertas suposiciones en el modelo estadístico para hacer proyecciones de predicción, predicciones sobre resultados futuros, por ejemplo, en una elección. Y si estas suposiciones son verdaderas en base a entonces. Entonces podemos llegar a un enfoque matemático de cuál será el resultado. Pero, por supuesto, un modelo es sólo un modelo. Por lo tanto, un modelo no es el mundo real. Porque, por lo general, en el mundo real, a diferencia de un laboratorio, no podemos reducir todo a sólo un par de factores para probar un par de factores. Así que tenemos que hacer, por supuesto, suposiciones. Y entonces la pregunta es, ¿es el modelo que armamos? ¿Tienen buen poder predictivo para los resultados de toda la población o no? Así que va a depender del modelo y ningún modelo es perfecto, porque el modelo no es el mundo real. Es sólo el modelo. Prueba de hipótesis La prueba de hipótesis es otro elemento clave de la inferencia estadística, donde en esencia, formamos dos hipótesis opuestas sobre la población, las hipótesis nulas y las hipótesis alternativas, luego recopilamos datos y recopilamos un estadístico de prueba. Sí que, claramente, la prueba de hipótesis es una herramienta científica fundamental. Si volviéramos a nuestro laboratorio, por ejemplo, hicieramos una prueba científica para ver si un elemento en particular hace que un fluido se vuelva verde o no, lo que queríamos hacer es tratar de eliminar todos los demás factores en el fluido de una hipótesis, que siendo la hipótesis sin hipótesis, nada va a suceder cuando agregamos los elementos al fluido. Y luego la alternativa es que cambie de color y se vuelva verde, por ejemplo. Y luego vamos a ejecutar múltiples pruebas a partir de ese punto para ver qué sucede es la idea general. Entonces, dependiendo del valor de este estadístico de prueba, decidimos si rechazamos la hipótesis nula a favor de la alternativa. Este proceso nos permite tomar decisiones estadísticamente informadas sobre la población en función de los datos de nuestra muestra. Así que echemos un vistazo a un ejemplo aquí. Por lo tanto, queremos determinar la equidad de una moneda, es decir, si es igual de probable que la moneda caiga en cara que en cruz. En otras palabras, nos dan una moneda, una moneda de 25 centavos, por ejemplo. Y si lanzamos la moneda varias veces, esperaríamos que hubiera un número igual de veces que va a tener cara frente a cruz, o al menos la probabilidad de que caiga cara y cruz debería ser igual, esa sería la suposición que tendríamos. Y eso sería básicamente nuestro ningún tipo de suposición. Y la suposición normal a menudo sería, las cosas van a ser como es correcto, el tipo estándar de suposición. Y luego sería más inusual en general, si la moneda no cayera, estadísticamente hablando, en una probabilidad de 5.050, entonces, ¿cuáles son las posibilidades de que la moneda no sea justa? ¿Qué sea más probable que caiga en cara, por ejemplo? ¿Qué entonces en las colas? Bueno, que haríamos para probar esto en el mundo real, no podemos lanzar la moneda infinitamente muchas veces. ¿Por qué no lo hacemos? Así que no sabemos todo lo que toda la población de la moneda lanza. Y si la moneda no se va a hacer con él, podríamos hacer varias pruebas. Y la forma en que estructuraríamos la prueba es decir, como lo hacemos con las pruebas de laboratorio, diríamos que, bueno, la hipótesis va a ser la hipótesis nula es que es justo, va a ser 5.050. Y luego vamos a tener la preponderancia de la evidencia. Y si la evidencia es tal que va a ser diferente a que la evidencia muestre que no es justa, entonces vamos a tener que cambiar nuestra suposición. Y fíjense que he oído que esto se compara y dice estadounidense, ¿verdad? Si alguien va a un tribunal, por ejemplo, por un delito, se supone que es inocente hasta que se demuestre lo contrario, ¿verdad? Son inocentes hasta que se demuestre lo contrario. Así que la inocencia es algo así como la noble suposición. Y te estás inclinando hacia la suposición nula. Por lo tanto, no es como la mayoría de las veces cuando ejecutamos este tipo de pruebas. La gente podría decir algo como, bueno, no puedes probar que no lo es o algo así. ¿Cómo? Bueno, no. La moneda, estamos asumiendo que es 5.050, la preponderancia está en ti, es tu trabajo demostrar que eso no es cierto. Con una preponderancia de evidencia. La suposición es la suposición noble, la suposición es la suposición no, tienes que darme pruebas suficientes para sacarme de la suposición de la loma. No puedes simplemente decir, bueno, no lo sabes, no sabes, no sabes por qué su manera de hacer las cosas. Bien sepan que son como en un caso judicial, sepan que los ciudadanos son inocentes. A menos que me des una preponderancia de evidencia que sea suficiente para anular mi suposición anterior, lo mismo está sucediendo aquí, ¿verdad? Estamos diciendo la suposición normal, asumimos que es 5.050, tengo que tener suficiente evidencia, tienes que demostrar que ese no es el caso. No es suficiente ser parejo, no es suficiente decir, bueno, ya sabes, podría ir en cualquier dirección. No, tienes que demostrarlo, está bien, lo sabemos. Entonces, para investigar esto, esencialmente sometemos la moneda a una prueba. Así que le damos la vuelta 100 veces y hacemos un seguimiento de cuántas veces cae en cara y cuántas veces cae en cruz. Este proceso nos proporciona los datos aleatorios sobre la probabilidad de obtener cara o cruz y cada lanzamiento. Fíjense que estamos haciendo conceptos de probabilidad. Y estamos aplicando, puedes ver cómo eso es aplicable en un tipo de análisis estadístico. ¿Por qué básicamente estamos diciendo un número infinito de lanzamientos de monedas, verdad? Existe, ya sabes, la probabilidad, no lo sabemos, porque no conocemos el conjunto infinito de datos si lo volteamos como un número infinito de veces, pero podemos probarlo varias veces de voltearlo. Y luego y luego, y luego obtener nuestros resultados y ver si podemos inferir basándonos en toda la población. ¿Qué sería algo así como un número infinito de bolteretas y ver si y así si obtenemos evidencia? Por ejemplo, si solo lo volteas 10 veces, eso podría no ser suficiente, ¿verdad? Porque si sales 6.040 y le diste la vuelta 10 veces, puedes decir, bueno, sí, eso no es justo. Pero eso podría suceder al azar. Así que ahora surge la pregunta, ¿qué es una ponderación suficiente de la evidencia? ¿Cuántas veces tendrías que darle la vuelta? 23-27. ¿Y cómo, y entonces surgen estas preguntas, verdad? Entonces, ¿qué tan cerca? Y qué tan seguros estamos, una vez que obtenemos nuestros datos, obtenemos 10 bolteretas. Y el punto medio, el punto medio era el 60% o algo así en lugar del 50%. Sabes, tal vez no tenemos la confianza suficiente para realmente quitarme de la presunción de la presunción de la loma similar a la presunción de inocencia. Pero si lo hiciéramos varias pruebas de 100 tiempos, por ejemplo, y están promediando o saliendo a 60 más cerca que entonces, ahora estás llegando a una preponderancia de evidencia en la que es como, o, creo que el no. 24-4. Creo que tengo que retirarme de la nota como lo haríamos y alguien dijera por qué tengo pruebas de que esta persona cometió el crimen, está grabado, ahí está. Está apagando la cámara ahí mismo. Podías verlo mientras llevaba las cosas y golpeaba al tipo o algo así. Derecha. Así que, está bien, creo que tengo que alejarme de mi inocencia, ya sabes, a la culpa. Bien, así que conclusión. En general, la inferencia estadística es un conjunto de herramientas que nos permite utilizar datos de muestra para hacer generalizaciones sobre una población desconocida. Por lo tanto, la aleatoriedad y la teoría de la probabilidad están en su núcleo y nos permiten cuantificar nuestro nivel de incertidumbre, hacer conjeturas fundamentadas y probar hipótesis sobre la población. La inferencia estadística es fundamental para muchos aspectos de la vida, incluyendo la ciencia, la economía, la medicina, los negocios e incluso la política. Entonces, obviamente, este tipo de conceptos están surgiendo todo el tiempo. Así que cada vez que leemos algo, cada vez que alguien te da un consejo o algo así, por lo general va a ser un consejo médico, ya sabes, un consejo de negocios, un consejo de inversión, un consejo de carrera, asumimos que tienen algún tipo de justificación estadística para ello de alguna manera. Porque así es como solemos pensar en tomar muchas de estas decisiones. Por lo tanto, es claramente una herramienta muy útil e importante en muchas áreas diferentes de la vida y la profesión.