 Bueno, muchas gracias por la invitación, es un placer, realmente es un placer para mí y a honor hablar acá en este coloquio. Me gustaría contar ciertos trabajos que hizo Mariam, Mirzacani, de su tesis. Salen tres papers, uno que es sobre volumen de Val Peterson, de Jodésica Simples. Básicamente vamos a hablar sobre todo sobre ese. Hay otro que no entiendo nada de lo que dice, así que la parte se complica un poco más. Pero tiene que ver con esto. La charla van a ser independientes, hoy y mañana va a ser independiente y el viernes vamos a juntar todo. Entonces me gustaría, así que va a ser como que la mayor cantidad de gente posible pueda seguirme, así que vamos a tratar de que sea fácil. Hay muchas cosas que toco bastante doido, así que pregunten, porque capaz que estoy diciendo un bolazo importante. Bueno, vamos a empezar con algo fácil, la instrucción de superficie, es una superficie que quiere decir esto, quiere decir que tenemos cartas locales, tenemos un cubrimiento y tenemos para cada elemento del cubrimiento un omiamorfismo, AR2, sobre su imagen, obviamente, sobre un abierto de AR2. Sí, esto es la definición, y lo importante es que el cambio de cartas sea diferenciable. Entonces tenemos acá el gran dibujo que todos vimos alguna vez, tenemos UIV, los abiertos, tenemos acá FIU, tenemos acá el FIB, y la intersección, podemos ir para un lado o para el otro, no sabemos cuando elegir, la cuestión es que la elección es diferenciable, o sea, si agarro de acá y voy para acá, después vuelvo por la otra, me queda una función diferenciable, esa es la definición, sí, esto es la función que hace esto. Entonces bueno, cuando tenemos superficie, tenemos lo que se llama el género, básicamente lo que vamos a hacer, vamos a agarrar una curva en la superficie, vamos a agarrar una curva en la superficie, este por ejemplo esta, una curva simple, entonces sea, es una superficie y gama una curva cerrada simple, sí, entonces aquí es lo que vamos a hacer con esa curva cerrada simple, podemos mirar el complemento, cortamos por ahí y vemos que queda, sí. Entonces básicamente hay moralmente dos posibilidades, este, o separan dos componentes con exas o no, entonces lo que vamos a hacer es vamos a agarrar una curva que no separe y ahí repetimos el proceso de vuelta con una superficie que queda, sí, y así hasta que cualquier curva separa, eso es, la cantidad de curvas que tuve que usar es lo que se llama el género topológico de la superficie, entonces el género topológico de S es el número máximo de curvas simples, gama 1 gama k, tal es que S menos gama 1 gama k es con exo, sí. Entonces ejemplos, entonces como no son esos ejemplos, bueno, ¿qué pasa acá por ejemplo en la feira? Acá en la feira cualquier curva, sí, en la feira cualquier curva cerrada simple que yo agarre va a cortar en dos, así que no puedo, no hay ninguna curva, si, cualquier curva separa así que el género es cero, así que esto acá me queda g igual cero, si, después por ejemplo puedo hacer un poquito más complicado, una cosa así, yo qué sé, acá esto como una especie de tubo pero que tiene dos patas, tiene como tres patas así, esto también tiene género cero, acá cualquier curva también separa, si le agarro acá separa en un disco adentro, y el lado y lo que queda afuera, y si le agarro acá separa en un anillo de un lado, esto igual también tiene género cero, bueno género 1 ya sabemos que es, el toro tiene género 1, y también lo mismo, lo importante si empiezo a agar como pinchaduras, también empiezo a tener género 1, no importa las pinchaduras como dice la greia, género 2, y está, podría pasar que tuviera género infinito, y está, y acá de vuelta, no temas las pinchaduras como que no cambia género. Entonces hay un teorema que creo que es, no sé si como lo voy a anunciar es, es de los 50, o sea es tarde, pero digamos, se conocía más o menos desde los años 20 supongo, clasificación de superficies, este género determina únicamente en la tomología de una superficie cerrada sin borde, compacta sin borde, si cuando damos lo que dice el teorema al cerrarse una superficie compacta sin borde, si mirás este número, y si vos tenés dos así, si tenés ese número de lo mismo, son homeomor para la superficie, entonces para superficies compactas sin borde la topología o la estructura topológica solo queda terminada a casa con el sol este número y ya está. Entonces este, vamos a estudiar un poquito más este con detalle, las curvas simples. Entonces básicamente ahora, a partir de ahora vamos a llamarle ese subgn, esto es una notación, va a ser la superficie de género g con n puntos pinchados, con n puntos que no están, esa es una notación, lo más. Entonces lo que me gustaría comentar un poquito ahora es estudiar un poquito más profundamente las curvas simples que tiene una superficie. Esto queda para después, es la superficie de género g con n puntos eliminados digamos o pinchados, les sacamos en el punto. Es un pequeño paréntesis acá que esto ha venido después para el viernes, curvas simples. Entonces bueno, está bien es eso, vos el género es agarrar las curvas simples que tengas, que no desconecten y eso te va a determinar el género superficial, topología de superficie, cuántas precisas. Ahora cuando yo agarro una curva simple, este corto por ahí me fijo el complemento que me da y ta diferentes curvas simples me van a dar, me pueden dar diferentes complementos, eso es lo que se llama el tipo otopológico de la curva. Curva cerrada simple, entonces el tipo de gama es la topología del complemento, el tipo otopológico del complemento. Entonces acá es importante hacer un par de ejemplos, porque claramente están, acá tenemos un ejemplo interesante, primero el torfo. Entonces agarramos esta curva que está acá por ejemplo, entonces claro que vemos ahí el tipo otopológico es, bueno corto por ahí y complemento me queda un anillo, no seamos o menos no sabemos todo. Y bueno cuando agarras la otra también. Ya la otra, como se llama el alfa esto si quieras, ya es que tiene un poco más de imaginación para ver que tiene el mismo tipo. Ya esta segunda digamos, la primera es elemental, la segunda tiene que por lo menos pasar un ratito. Hay una forma digamos de hacerlo explícitamente entre comillas digamos, que es relacionar una con la otra. Entonces obviamente si tenemos un omimorfismo de la superficie, bueno pues mejor vamos a ponerlo así, si tenemos un omimorfismo, entonces gama y f de gama tienen el mismo tipo, siempre, esto es general. Simplemente, justamente, no necesariamente. Si, si, si, si, si, si, si acá por ejemplo. Esta tiene cierto tipo, esta no desconecta, tiene cierto tipo, capaz que no la más grande. Este por ejemplo no, esta no desconecta, tiene cierto tipo, esta lo desconecta tendrá el mismo tipo o no. Esa es tu pregunta, ¿no? No, no, no, después eventualmente vamos a mirar las que no son periféricas, digamos, las que complemento no son anillo, tiene una componente que sea un anillo. Pero por ahora, digamos, esto es una cuestión más o menos de definición, no más. Por definición el complemento de gama, el somio amorfo, el complemento de este de gama, porque eso no es bien morfimo, ya está, eso no es mucha vuelta que darle. La cuestión es que acá lo que se puede hacer acá es, bueno, tratar en otro homio que mande uno en la otra, y ahí es obvio que gama tiene el mismo tipo, sin que tengas que hacer, digamos, sin tener que pensar demasiado. Y lo importante es que eso es un mecanismo que es bastante útil, no? Entonces vamos a construir ciertos homios de superficies, y la forma de hacer esto es una manera, lo que se dice local, digamos, tres comillas, que es, vamos a construir, vamos a empezar con lo que se llama el twist de den. El twist de den que es, es un bien morfismo del anillo. Es un homio del anillo, homio del cilindro, y se puede dar una definición precisa, ahora lo vamos a hacer, pero lo único importante es que, vamos a dibujarlo así mejor, lo importante de este homio, que vamos a llamarle tau, si quieren, lo importante, la cuestión fundamental es que va a mandar una curva vertical, esta va a ser la definición, la va a mandar en una curva que dé una vuelta al ojero del medio y que termine el mismo punto donde empiezo, si? Esa es la definición, no más, se puede hacer una, se puede dar la cuenta, se puede hacer la cuenta tipo R por el 0-1 y en la altura te giras, 2 pt, algo así. ¿Qué estoy diciendo? Está bien, capaz mejor no escribimos la foto. Entonces, con este tipo que está acá lo que vamos a hacer es justamente, lo vamos a enganchar dentro de una superficie, vamos a dar una curva cerrada, vamos a matar un pequeño anillo a la superficie, arredores a curva, y eso nos va a dar un homio morfismo de la superficie, porque en los dos morallanillos quedan quietos, así que se extiende a toda la superficie como la identidad, y en el medio hace algo, por ejemplo, vamos a agarrar acá, agarramos esta curva y agarramos un pequeño anillo que tenga como borde esta curva, por ejemplo, y ponemos el, acá ponemos el twist, acá mismo, en este anillo que está acá, y después los tiendo como la identidad fuera, eso me da número de superficie, entonces, por ejemplo, cuando yo le aplico alfa a ese, le aplico este twist a la curva alfa, esto es una curva que en este anillo es vertical, así, entonces, cuando yo le aplico el twist, ahora me va a querer una curva, vamos a mostrarlo con rojo mejor, ahora empiezo a hacer una curva que se hacía ahora, entonces, bueno, obviamente, la curva roja, lo que es la curva alfa y esta no a curva tiene el mismo tipo, porque encontramos un homio que mandaba el complemento en los complementos, mandaba una curva a la otra, entonces, ahora lo que voy a hacer es aplicar otro twist en otra curva, le aplico otro twist, ahora le aplico otro twist a la radio de alfa, vamos a hacer otro dibujo mejor, vamos a olvidarnos de ese para no liberar, tenemos esta curva que está acá, y ahora voy a hacer un twist alrededor de esta curva, entonces, esto ya empieza a ser un poquito más fino a dibujar, y acá está el anillo, ¿no? y esta curva es una curva ahora que hace una cuestión, esta no es vertical acá, ¿no? ahora, obviamente, la primagen de la curva vertical es una curva que de una vuelta para otro lado, ¿no? así que yo la aplico el twist a esta, en este anillo, pero en la dirección contraria de la curva, me voy a reemplazar toda esta vuelta por este segmento, ¿no? ¿ya está? así que la aplico el twist, lo que sería alfa-1, si quieren, en la dirección de alfa-1, acá aplicamos el twist en gama, y acá lo aplicamos en alfa, corrida de revés, para que me desarme la vuelta que tenía dada, y está, y esta me voy a reemplazar justamente, tenemos esta parte que está fuera que da igual, ¿obvio? y ahora todo esto que estaba acá, va a ser reemplazado simplemente por la vertical que aplastó, ¿no? ¿Se entienden? Entonces se puede jugar con estos tipos de cosas, ¿no? Puedes agarrar una curva que sea un poquito más complicada, esta, por ejemplo, ¿sí? Entonces vos agarras y decís esta curva, por ejemplo, que está acá, esta curva no separa, ¿sí? y vamos a hacer este más cerca, porque si no, va a quedar espantoso el dibujo, esta curva no separa, y esta tampoco separa, ¿sí? ¿Tiene el mismo tipo o no? Cuando yo corto por esta, lo que me queda es un toro con dos agujeros, ¿no? Esto lo olvidamos, y bueno, ahí está, está bien, pero no es tan fácil de verlo, es como que cortarlo y abrirlo, sacarlo para afuera, así los agujeros. ¿Pero puedes hacer algo parecido a lo que vamos a hacer? Agarras esta curva que está acá, hago un twist sobre esta curva de esta, para que ahora me de una vuelta así, haga así, me de una vuelta así, para atrás, ahora lo dibujamos, ¿sí? y después le hago un twist alrededor de esta para que me cancele esta parte que estaba acá y me queda ahora, ahora me queda esta, ¿sí? O sea, si fijan lo que hicimos acá, es una especie de procedimiento general, digamos, cuando vos tenés dos curvas simples que se intersectan, hay un hombre que manda una a la otra, cuando vos tenés dos curvas simples que se intersectan una vez, esto te da un hombre que manda una a la otra, entonces ahora hago ese procedimiento muchas veces, con esta curva auxiliar mando esta en esta, y ahora mando esta en esta. Se puede hacer el dibujo, es un poco complicado, pero no como sería, pero bueno, ponemos acá un conocimiento, esto se va, y ahora aparece una vuelta espantosa, este dibujo va a estar complicado, no se va a entender nada, o sea, en el fondo lo que me quedó, voy a bajarlo acá, es una curva acá así, y después va por abajo, y ahora hago lo mismo, agarro un anillo alrededor de esta, que estaría al principio, le aplico la vuelta al revés, me mata esto y me mando a la otra. Entonces acá pinta un terema, que lo cual más o menos ya explicamos, yo la prueba no la sé, pero más o menos con estos tipos de cosas te la crees, este terema de den, y esto debe ser allá por 1920, esto sí, es cuando vos agarrás una superficie, una superficie de tipo finito, o sea, una cosa así, capaz que, no sé, va sin vos me corregís, el tipo, que dos curvas sean de igual tipo, es equivalente a que puedan encontrar un nombre que manda una a la otra. El tipo, una curva simple, o mejor dicho, vamos a crebirlo, para ver que es fácil de entender, o sea, dos curvas tienen igual tipo, sí, solamente sí, existe un homimorfismo de la superficie, que manda una a la otra. Esto es como recípre con lo que decíamos antes, esto es un terema, ¿sí? Esto es un terema, son siempre curvas simples, entonces, voy a anunciar muy vagamente una cosa que hizo un terema de Mirzacani, que podríamos hacerlo precisamente, pero no hay necesidad de quedar a Palviernes, sobre esto, que es lo siguiente, ustedes se fijan acá, acá en el vitoro, por ejemplo, básicamente hay dos tipos, en el vitoro hay dos tipos, están las que se panan y las que no se panan, ¿y veis? esto es medio que les demostramos, dos tipos de curvas simples, las que se panan y las que no, una componente, las que se panan y las que no, ¿sí? Entonces, a los que se fijan, a uno como que le da la impresión de que curvas que no se paran parecen como fueran más, para que se pare, lo único que se te ocurre es esta, trivial, no, no, todo es no trivial, a partir de ahora todo es no trivial, sí, sí, sí, perdón, sí, sí, por eso, por eso, dos tipos de curvas simples no triviales, trivial quiere decir, vamos a hacerlo bien informal, una componente y el complemento es un disco, esta y esta lo olvidamos, entonces básicamente, claro, a mí siempre me ocurran estas dos que no se paran, la que dibujamos recién, ahora que se paran, siempre ocurre esta, no más, ahora hay un turquito que puedes hacer para construir más curvas, es empezar a aplicar el twist de den, esta se paran, entonces cuando yo le explico el twist de den a la derecha de esta curva, a esta, también va a separar, esto va a ser una curva que va a ser así, esto está bueno porque este procedimiento está bueno porque le da una idea de que a principio no piensen que las curvas simples son bastante fáciles, pero con el twist empezaron como enrollarlas, enrollarlas, enrollarlas, exponencias bastante complicadas, esto sería una cosa así, esta curva también se para cuando le aplico el twist a esta, usando esta me queda una cosa así, no, está bien esto, eso no es yo que sé, no es obvio por qué se para eso, pero esta es la imagen de esto, por esto todo se para, y también ya conectamos con el coso enrollar, para que quede claro, si yo empiezo, agarro esta, agarro esta, y yo le aplico el twist, usando una de las dos, la nueva curva va a hacer una vuelta y volver, como esto, como este dibujo que está aquí, va a hacer una vuelta y volver, ahora si yo le aplico a esta curva le aplico el twist de vuelta, va a dar una vuelta así, pero también va a hacer dos vueltas ahora así, etcétera, etcétera, entonces la curva siempre puede ser bastante complicada del estilo de esto, y así cuantas vueltas yo quieras, y les construís a mano acusando el twist, entonces qué es lo que hace Mariam, esto es bien entre comillas, podemos darme un final, más tarde, pero, Torema, si quieren, vamos a escribirlo por acá, vamos a escribirlo bien entre comillas, en 2007, en el vitoro, en ese 2, en el vitoro, hay 6 veces más curvas que no separan, bien entre comillas, me gustaría dar una idea qué quiere decir esto en el viernes, y ver qué tiene que ver con los espacios de Maudley, eso vamos a ver después, el tema es un tema sobre el vitoro, es un tema de la curva simple y en superficie, para cada tipo hay número racional, para cada tipo hay número racional que se encuentra, y cuando vos haces la razón entre cuantos hay un tipo y cuantos hay otro tipo, eso converge en cierta manera a el concierto de esos números racionales, y no esto es una, eso lo vamos a ver después, si llegamos a entender por qué esto tiene que ver con espacios de Maudley, estaría bastante bueno, entonces bueno, ahora vamos a cambiar de clima y vamos a empezar a estudiar, justamente introducir, de modo de definir lo que es el espacio de Maudley, vamos a ir apuntando un poco más al tema así, vamos a dejar esto ahí en el tintero y vamos a estudiar la superficie de Riemann, entonces es que es una superficie de Riemann, bueno, es una superficie, ahora solo que vamos a pedirle una condición extra en los cambios de cartas, entonces es una superficie, es de Riemann, es de superficie, es de Riemann, como antes, agarramos un cubrimiento, el cubrimiento de ese, y tenemos mapas, y ahora van alrededor pero voy a escribirse, porque voy a pensar alrededor como el número complejo, pero por ahora no, este, homeomorphismos, sobre su imagen, y ahora sí, estos pesas fueron un papel importante, tales que, cuando hubo el cambio de cartas ahora, esto le pidió una condición más, y ahora vamos a pedir que sea homeomorph, ahora digo lo que es, entonces es que quiere decir, no esto es como esto, tenemos acá el dibujo de siempre, UB, tenemos acá el FIU, su imagen, vamos a sacar el FIB, su imagen, tenemos acá, esta intersección acá y acá, tenemos acá FIB compuesto con FIU al menos uno, y lo que vamos a pedir es que esta funcione ahora, antes de la diferencia, ahora vemos que sea homeomorph, y la definición de la función homeomorfa, vamos a pedirle, para simplificar un poco, que ese es el feso homeomorfa, así es localmente una serie de potencias, vamos a decirlo así ya, no vamos a quemar potencias, esto es localmente, sí, entonces este, antes, topológicamente hay solo una superficie, para cada genero, y cerrada sin borde, superficie de arremanta lleno, y entonces lo que me gustaría hacer ahora es, mostrar específicamente como se puede hacer una deformación, como dado una estructura compleja en la superficie, como hacer, para cambiar la estructura compleja, y mostrar que realmente hay muchas, entonces más o menos a ese nos dirigimos, entonces qué es lo que pasa, varias cosas, estas funciones homeomorfas, bueno, por tener esta forma, son abiertas, es una cosa que estoy en el ese complejo, la función de su homeomorfa son abiertas, entonces por ejemplo, si mi superficie es compacta, entonces vamos a hacer, vamos a escribir así ahora, x, siempre va a ser que va a ser s con una estructura compleja, con una estructura compleja o de Riemann, sí, va a ser x, va a ser una topología fija, y le pongo la estructura compleja extra, es una nación no más, entonces pero si x es compacta, es una función topológica, por ejemplo, y yo agarro una función que sea homeomorfa, está desabierta, y la imagen es abierta y compacta, entonces es constante, y entonces acá empezás con una pequeña molestia, que es como definirse el espacio tangente, lo que calculó, lo definís como las derivaciones en los espacios de funciones, y acá no hay funciones, entonces, obviamente de lo que pasa, es que no perdizás todo el espacio, perdizás lo que pasa localmente cerca de pie, entonces vas a agarrar, fijas un punto p en la superficie, en realidad lo que precisas es lo siguiente, vas a agarrar funciones holomorfas, bolomorfas definidas en un entorno de p, u, y en realidad no sabes que entorno elegir, entonces se los elegís todos, básicamente, te vas a checar cada vez más, y esto quiere decir que vas a concientar por la relación de equivalencia, f es equivalente a g, si coinciden en un entorno que contiene a p, que está contenido en la tradición de udv, está concierto abierto, que alguna definida con su propio entorno, si se consiguen en un entorno más chico digo que son la misma, esto es lo que se llama el germen de p, esto es una definición, entonces esto es lo que se llama el germen germen de p, y entonces el espacio tangente es una derivación de esto, esta es la definición, lo más, en realidad se lo precisas pequeño abierto para definir el espacio tangente, pero como no sabes cuál elegir, se lo elegís todos, con una cierta coherencia, entonces esto es, este espacio, entonces acá hay una cosa que me, francamente, cuando me la explicaron me perturbó bastante, y para hacer completamente esto me sigue perturbando, este, entonces un campo, que es un campo, un campo homorfo que es por definición una sección de feroa tangente, que sea el homorfo, si en cada punto la asocio un, vamos a llamarle esto es, obviamente ese es el campo homorfo, este, y una forma homorfa que es una forma homorfa que es, en vez de agarrar para cada punto un vector tangente, agarro para cada punto un elemento del dual, esto es seriñalo, y tal, que sea el homorfo es eso, que la dependencia es esta, y esto es el homorfo, entonces, la gente que sabe que me tiene que ver acá, se debe estar aburriendo un poco acá, pero francamente a mí esto me tiene perturbado, este, cuando vos asesagraso en una forma homorfa, llegarás a un campo homorfo y lo juntas, te queda una función homorfa, no hay, constante, ahí sólo una, entonces constante, este, y acá hay un pequeño truquillo también, es que cuando vos agarras el t, agarras el tangente, la alfa p, que va a ser, esto es el lineal, o sea que alfa p u es 0 o no tiene núcleo, porque es el lineal, entonces, no puede ser que yo haya tenido mala suerte de haber elegido mi campo en el núcleo de alfa, porque alfa no tiene núcleo, entonces, 1 y lo 2 no hay, y por alguna razón, campo no hay, misterio, no es claro, el alfa p es lineal en c, esto es un mapa lineal, de un espacio virtual de dimension 1, si tiene núcleo es 0, no es que justo en cada tangente hay una dirección preferida y el campo justo acá y ahí, por eso me da constante, si tiene núcleo es 0, y los campos tienen 0 para empezar, así que esta función siempre es constante igual a 0, así que, si hay uno no hay otro, francamente, no lo entiendo, pero bueno, entonces, 1, 2, ¿o no hay campo? claro, ¿por qué forma? ¿por qué este es preferido y el otro no es preferido? es una cosa que nunca, no sé si vamos a entender, eso por lo menos, o no hay campos, o los morfas, exactamente, exactamente, ya iba a llegar ahí, tranquilo, pero eso es una cuestión, resulta que, no hay campos, hay formas, entonces, lo que vamos a hacer ahora, con lo que quiero mostrarles ahora, es con una 1 forma, como deformar la tortura compleja, vamos a llamarla así, unas formas, o los morfas, entonces lo que quiero hacer es, lo que quiero mostrarles es esto, es que una forma induce una familia de deformaciones de la estructura compleja, la estructura de Riemann, esto es lo que quiero explicar ahora, ¿cómo hacemos esto? eso es la verdad que esta, a mí por lo menos me copó bastante cuando la aprendí, entonces hay una cuestión acá, la primera observación, es que alfa es cerrada, eso viene por cero de la omorfa, cuando usted no funciona de la omorfa, la integral entre dos puntos, la integral en un camino solo depende de la clase de motopía de camino, y eso quiere decir que la forma es cerrada, básicamente, así que es justamente eso, quiere decir eso, la integral, vamos a escribir así, la integral de gama, campaje no gama para que no sea simple, vamos a llamarle sigma, alfa, solo depende de la clase de motopía de sigma relativa a extremos fijos, esto quiere decir, y esto viene por cero de la omorfa, entonces lo que pasa, como esto no depende del camino, alfa induce unas cartas locales especiales, las cartas locales que vinieron a la definición, las voy a olvidar, y voy a construir unas cartas locales nuevas, que me conviene. Entonces que voy a hacer, bueno, voy a agarrar un punto, y voy a agarrar un entorno, y vamos a agarrar un entorno chico, simplemente con eso, por ejemplo, así, y vamos a definir mi función phi u acá, como le voy a definir, agarra un punto q que está acá, agarra un camino, en cualquier camino que una p a q dentro de mi entorno que yo me tomé, para cada punto agarra un entorno chiquito y defino esta función así. Entonces, bueno, hay una pequeña cuestión acá, que es lo que pasa, quién es la derivada en p de alfa de esta función, vamos a ponerle nombre a esto, vamos a ponerle este phi u, la derivada en p de phi u, es derivada integral en p, es alfa. O sea, si p no es un 0, esto no es 0, esta derivada no es 0, entonces es un dif local, es un biolomorfismo local. Si alfa es un p, no es identicamente nula en ese punto, en p, entonces, ese phi subo que yo me construí es biolomorfismo local. O sea, la derivada no es 0, biolomorfismo local. O sea, son cartas locales. Salvo afuera de los 0, lo olvidamos. Si tienen afuera de los 0, es esto. Ahora, lo que está bueno es el cambio de cartas. ¿Qué pasan los cambios de cartas? ¿Qué tengo que hacer? Tengo que agarrar un punto acá, un cubo acá. Tengo por un lado, tengo esto, tengo esta, phi u de q, es la integral de p y q de alfa, de este tipo que está ahí. El cambio de cartas es agarrar esto, mandarlo a q y aplicarle la otra. Phi b de q, phi b de q es de vuelta lo mismo, es un camino así, integral de 0 q de alfa. Ahora, esto que está acá es lo mismo que hacer todo esto y arrastarle el primero. O sea, el cambio de cartas es si esto es el z, a z, lo mando a q y lo mando a z más o número. Cambio de cartas. Esa es la traslación. Ahora, agarre dos abiertos que se corten. El abierto u viene dado por un punto p que yo elegí, adentro de ese abierto. Viene con u. Viene con u. Cada u yo lo definí así. En ningún momento agarro el cubierto finito o ni se nada. Está lleno de elementos en mi atlas. Para cada punto agarro un entorno para que eso fuera un bionofrimo y ya está. Esto es como una traslación. Esto es lo que está pasando ahora. Vamos a hacer un dibujo más interesante. Lo que sé ahora es que este cambio de cartas que está acá es trasladar nomás. Lo que voy a hacer va a proceder para el helismo. Entonces lo que voy a hacer ahora para deformar la estructura conforme para cambiarla de la estructura compleja voy a encontrar un nuevo atlas. Voy a definir un nuevo atlas. De forma de ya como lo definís se pasa claro que no son olomorfas. Entonces qué voy a hacer voy a agarrar esta función. Elijo un número que vamos a llamarle lo que quieran. A de xy es a por x y esto va a dar 2 agarro dileto una coordenada y la otra la dejo igual. Entonces voy a construir mi nuevo atlas que va a ser xy y va a ser aplicarle a esto. FIA Cuando yo le aplico FIA a esto a esto que está acá es como más estiradito así. Y la observación que es elemental esto no es olomorfas y bueno a cada elemento de mi carta le aplico este tipo. Esa es mi nuevo atlas que voy a definir. FIA compuesto con fijo. Esa es mi nuevo atlas ahora. Entonces para ver que hay que ver que esa estructura compleja. Hay que ver que los cambios de carta son olomorfos pero los cambios de carta es justamente como esto es una traslación hacer esto. Se me tachan los a. Esto es un punto z z igual a xy x más y ¿Cómo hace el cambio de cartas? Este punto va a por x más y más y Después cuando le aplico el otro yo sé que es una traslación no más así que esto va a un número que yo sé que lo sé cuál es y ahora tengo que aplicarle el fía de la menos uno que es dividir la parte real por a esto no me importa que si vas a otro número son olomorfos entonces esto te da una una nueva estructura compleja en la superficie de hecho te da un montón pues es un parámetro en realidad lo único que estamos acá era que era que era una traslación esto no esta dirección yo la elegí porque porque sí, no puedo elegir cualquier otra dirección me va a funcionar también ¿Cuánto me queda? 5 ah 15 vamos arriba muchacho digo hay formas, no lo sé no lo he pensado seriamente pero no lo sé el tema que no tiene la idea de que no porque hay formas también entonces claro perfecto con una forma construimos un montón de deformaciones cambios de estructura compleja es que esto no son todas no son todas esto lo vamos a ver de vuelta al viernes vamos a volver sobre esto tiene que ver con el tema de tesmiura etcétera unos formas lo te alcanzan pero si estás a una otra cosa que se llama diferenciales cuadráticos no son todas todas las deformaciones no son todas las formaciones que puedes tener lo importante es que eso te queda una traslación ese jueguito si, porque vos tenés que asegurarte cuando hagas toda la vuelta te queda el hemorfo con eso tenés otras mapas que pasen elegí unas buenas cartas justamente lo que está bueno es que de formar depende de una dirección de una forma entonces como que ya te da ganas de pensar que en realidad el espacio tangente a deformar son las unos formas damos una forma que es un objeto quieto y yo estoy de un camino ¿en qué otro caso? en los formos cuadráticos no justamente eso lo pensaba comentar en los viernes pero los cambios de cartas cuando comenzas a agarrar las cuestiones cuadráticos te quedan más o menos acá porque dependen de ir a una recuadrada el que es un viaje con los cuadráticos sí da todo tem entonces esta la cuestión es una gran cuestión ¿por qué hay funciones de la hemorfa? ¿por qué hay formas de la hemorfa? eso es un teorema es más fino que una cuestión topológica no uno tiene la idea de que hay topología la ecología de Arram está ahí entonces tiene que pintar ahí pero es difícil hacer eso yo no encontré una forma más fácil de hacerlo es un teorema de Hocho yo no sé vos que viva en campo pero la prueba de que hay formas de la hemorfa va a estudiar a la plazia no, yo qué sé encontrar una forma con un representante armónico es fino probar que esto no es cero no es cero mental hay que usar algo fino porque en el campo no hay entonces para terminar hoy me gustaría contar los últimos minutos que me quedan rápidamente otra cuestión que francamente también me tiene bastante sorprendido en todo esto es un teorema de Riemann que es una superficie de Riemann cerrada sin borde esa hebraica quiere decir que la vas a meter en un c a la n y son cero de un polinomio la misma estructura esto que parece mucho menos que esto son lo mismo y todo viene también con la cuestión justamente de usar este tipo de cosas tenéis que usar que esto tenéis que usar que esto no es cero eso lo vamos a semir obviamente si tiene topología vamos a escribir el teorema bien para que quede claro cuál es la dimensión de una forma sobre morfas es el género es que siempre es cerrada siempre compacta siempre compacta sin borde hay una forma para que quede claro como es el denunciado entonces ahora me gustaría contar un poco esto otra cosa también así que ojeando como que me quede bastante de cara entonces qué pasa cuando vos agarras hay un montón de formas hay una forma entonces cuando vos agarras dos formas por lo morfar siempre hacia ser consciente literalmente dividirse una por la otra literalmente y eso es una función de la superficie esto ya no va más no va más del tangente pues yo agro un vector tangente lo multiplico por un número arriba sale para fuera, abajo sale para fuera no depende del vector tangente solo depende del punto te puede dar infinito o sea cae acá cae en la ferda de Riemann básicamente lo que está diciendo es que está lleno de funciones funciones meromorfas no hay constantes de hecho separan puntos puedes encontrar, consideramos F y G meromorfas tal es que el par sea que separen puntos que en una se iguala a la otra que esto sea inyectivo agarramos dos que no sean la misma y está lleno así que podemos hacer inyectivo esto es un binomorfismo entonces que lo que pasa vos tenés acá, esta superficie de Riemann con su hueco aplicas una aplicas la otra acá cae en una ferda acá cae en otra ferda agarras un punto acá entonces qué pasa con esto el cerulomorfo estos es lo que se llama un cubrimiento ramificado va a ser un cubrimiento salvo en algunos puntos nos olvidamos de esos puntos es un cubrimiento ramificado salvo finitos puntos todo funciona pentacular esas partes de la teoría parece muy difícil entonces vos agarras un punto Z acá hay unos puntos malos por ahí Z1, ZK puntos malos es una imagen de los puntos de ramificación se dice pero no importa, esos puntos nos olvidamos agarramos un punto que esté afuera de eso y lo tiramos para atrás y eso me da deprimágenes es un conjunto uno como que los numero ahora pero en realidad no lo puedo mirar justamente lo puedo hacer localmente pero después no se empiezan a mezclar entre sí y yo no puedo hacer más nada pero ahora tengo, lo tiro para acá tengo dos puntos acá y a estos puntos les aplico gelos y esto y esto les voy a llamar, vamos a llamarle W1 de Z WD de Z de vuelta, esta numeración en realidad no tiene sentido lo que tiene sentido es el conjunto en sí y esto es una cosa digamos cero entonces cuál es el truco acá cada una de estas no tiene sentido pero el conjunto en sí tiene sentido perfectamente está bien determinado entonces cualquier truco que yo haga que sea simétrico en todo esto entonces cuando yo por ejemplo hago esto lo suma a todos, lo que sé esto también está definido está más que bien definido, lo puedo estandear a los puntos malos porque acá lo que está pasando cuando me acerco a estos puntos hay algunos que se pegan acá y si se pegan los pongo más veces y se trata esto va de las feras y eso lo morfo así que es racional es un consciente de polinomios y esto puede hacerlo con todas las inventaciones posibles agarran los productos de A2 esto vamos a llamarle si a veces le ponemos un nombre le ponemos p1 WD de Z y eso que es el p2 va a ser todos los productos de A2 p3 todos los productos de A3 suma WI1 de Z WIK de Z WI1 hago todos los productos de K posible es ordenado esto lo llamamos si quieren pK de WI de Z entonces esto me da el último que me queda el psub de esto y el producto de todo con este truquillo que es la de funciones racionales de las feras que es eso voy para acá voy para atrás aquí hay una pequeña astucia que no es menor entonces ¿qué es lo que pasa? esto esta bastante bien ponerle que vamos a agarrar si quieren no lo olviden agarras agarras de números complejos quien es el polinumio que tiene a este tipo por raíces a estas raíces es este que esta acá este es el polinumio que tiene a los Z y por raíces esa es la definición normal cuando vos despejaste el producto la que va a pintar acá justamente van a ser esos polinumios que están ahí que hacen metilizaciones el término independiente va a ser el término de el término mas alto de no tiene nada etc va a ser minus uno a la y por p sub y z1 a zd acá tengo que poner un z a la y menos a de menos y o algo así si gracias entonces ¿qué es lo que pasa? ahora voy a agarrar justamente no vamos a agarrar que quiere ser esto vamos a hacer llamarle q si quieren q de z q de wz es esto y acá pongo las w de i aquello que esta ahí esto es una cosa que tiene por raíces este número que esta acá esa es la definición osea cuando yo miro fg de s a c por c este lo que esta diciendo aquello este este cae en los ceros y todos estos son racionales asi que es racionales por lo que le decimos allá asi que puedo sacar los admiradores y esta ya pinto un polinombio que me anula la imagen de la curva y aparte que hace que por definición porque yo agarre tengo mis números y agarre el polinomio que se anula exactamente en esos números osea no aparecen nuevos ceros tampoco esto te da hay un conjunto de finitos de puntos que no funcionan que son justamente los primajos del infinito porque acá estoy en c por c pero ta, proyectivizo todo el asunto y me pintan la curva como ceros de polinomios en el espacio proyectivo de c3 si si si en ningún momento planteo que no tenga singularidades de hecho va a tener singularidades igual no por el momento no me muestran sincualizadas yo no quiero que sea ceros de polinomio porque parece mas rígido si si si esa parte no esa parte la dejamos de lado bueno bien mañana vamos a empezar con otra cosa que es que me tiene para Bólica tipo medio independiente de lo de hoy vamos a demostrar un teorema de Mariam una parte de un teorema de Mariam esta bastante bueno se puede hacer y bueno ta, hoy es eso gracias