 Este vídeo está dedicado al principio de inducción, razonamiento matemático que permite demostrar que un enunciado es cierto para una infinidad de números naturales. Pero antes de comenzar con el principio de inducción, permitidme recordar una anécdota que tiene como protagonista el conocido como el príncipe de los matemáticos, el matemático alemán del siglo XVIII Carl Friedrich Chaos, y que está relacionada con uno de los enunciados que demostraremos a continuación por inducción. Había a Gauss en su vejez que a la de diez años su profesor castigó a la clase haciéndole sumar los tiemp primeros números naturales. Pero cuando apenas había enunciado el supuesto castigo, uno de los alumnos, Gauss, se levantó y le entregó el resultado. La sorpresa del profesor fue aún mayor al ver que el resultado era correcto. ¿Qué hizo Gauss? Veamos la idea con un caso más sencillo y intentemos sumar los cuatro primeros números naturales. Para ello pintaremos la siguiente cuadrícula de cuatro por cinco unidades, coloreando en verde los números naturales que queremos sumar. Observemos que podemos añadir el primer cuadrado a la última fila, completando así la última fila de la cuadrícula. Y lo mismo podemos hacer añadiendo la segunda fila a la penúltima fila, completando así la penúltima fila de la cuadrícula. El resultado final, como veréis, es el total de cuadrados que contienen la mitad de las filas consideradas. Lo que hizo Gauss en clase fue observar que 100 y 1 suman 101 al igual que 99 y 2 y así sucesivamente hasta llegar a 51 y 50 y obtener también 101. Por lo que tenía 101 en 50 ocasiones, así que multiplicó y el resultado fue 5.050 como resultado a la suma de los 100 primeros números naturales. Si nos guiamos por la buena intuición de Gauss, parece ser que la suma de los n primeros números naturales sería considerar n mitad el número n más 1. Pero queremos ver que este enunciado es cierto sea cual sea el número natural que se considere, ya sea 400, 100 o 1234. Esto quiere decir que queremos ver que se cumple con infinitos números. Esto es nuestro objetivo, ser a probar que este enunciado es cierto para cualquier número natural. Está claro que no nos podemos poner a probar dicho enunciado infinitas veces. Y para ello, para probarlo, lo que haremos será utilizar lo que se conoce como principio de inducción y que nos ayuda a dar ese salto al infinito. Informalmente, el principio de inducción podría ilustrarse con el efecto domino. Imaginemos una hilera de fichas de domino paradas como las de la imagen. Las fichas están dispuestas de manera que, si cae una, tira a la siguiente. Entonces podemos hacer que todas se caigan empujando tan solo la primera. Veamos matemáticamente en qué consiste el principio de inducción. Supongamos que tenemos para cada número natural una cierta afirmación PN. Y queremos ver que todas estas afirmaciones son válidas para cualquier número natural. Si podemos demostrar que la afirmación es cierta para el caso N igual a 1, es decir, cuando N toma el valor 1 y que si es cierta para un valor N cualquiera, entonces para el valor N más 1 también lo es, entonces la afirmación es válida para cualquier número natural. En este paso llamaremos a la afirmación que suponemos cierta hipótesis de inducción. Veamos cómo utiliza el principio de inducción para probar que esta afirmación es cierta para cualquier número natural. Comprobemos primero el caso para N igual a 1. Haciendo los sencillos cálculos observamos que efectivamente para el caso 1 es cierta la afirmación. Supongamos ahora que es cierta para N y veamos el caso N más 1. La afirmación que queremos probar es esta, donde sumamos los N más 1 primeros términos y donde en la afirmación para N sustituimos N por N más 1. Así obtendremos N más 1 por N más 2 partido por 2. Esta será la que suponemos debería ser la suma de los N más 1 primeros términos naturales. Todavía no sabemos si será cierta o no. Lo que nosotros sí que estamos suponiendo que es cierta es nuestra hipótesis de inducción. Esto es que los N primeros números naturales, la suma es N por N más 1 partido por 2. Así, si sumamos N por N más 1 partido por 2 con el N más 1, lo que obtenemos haciendo los cálculos sería N más 1 por N más 2 partido por 2, que es justamente lo que queríamos probar. Así es pues la afirmación será cierta para cualquier número natural. En muchas ocasiones se quiere probar la validez de afirmaciones para los números naturales, no para todos ellos, sino para todos, a partir de uno cierto fijado, por ejemplo, para todo número natural mayor que M. Supongamos que tenemos esta desigualdad y queremos, donde recordad que N factorial es el producto de los N primeros números naturales, los notaremos como N con el signo de exclamación. Si comprobamos la desigualdad, para el caso 1, claramente no es cierta y tampoco para el caso 2 después de hacer algunos cálculos, ni para el caso 3, donde tampoco lo es. Sin embargo, para el caso N igual a 4, la desigualdad sí que es cierta y si comprobásemos a partir de 4 para 5, 6, 7, veríamos que parece ser que la desigualdad se cumple para los números naturales mayores que 4. Pero esto solo sería nuestra intudición para probar de que efectivamente es cierto para cualquier mayor, cualquier número mayor que 4, podemos utilizar el principio de inducción. Para ello probaremos que la afirmación, en este caso la desigualdad, es cierta para N igual a 4 y probaremos que si es cierto el caso N, entonces el caso N más 1 también lo es. Probando esto llegaremos, podemos afirmar que la desigualdad será cierta para cualquier valor de N mayor o igual que 4. Finalizamos el vídeo con una pregunta y un ejercicio. Comencemos con la pregunta. Recordad que la idea que os proponemos es que leáis el enunciado, paréis el vídeo si es necesario y penséis en la posible respuesta. Si continuáis el vídeo os desvolaremos la respuesta correcta. En esta pregunta se trata de responder cuál de las siguientes afirmaciones es cierta. Bien, espero que todos hayáis elegido la tercera como la respuesta correcta, puesto que ambas condiciones son necesarias. Recordad además que M puede ser cualquier número natural y no necesariamente 1. Realmente os proponemos que demostréis por inducción la desigualdad que hemos visto antes. Recordad intentarlo vosotros solo, siguiendo los pasos que os hemos mostrado en este vídeo. Si queréis comprobar si es cierto o no, podéis ver el vídeo asociado que incluye la resolución. Os recordamos que tenéis que probar que para el caso 4 era cierto y que si es cierto para N también lo será para N más 1. Finalizamos así el vídeo dedicado al principio de inducción.