 اسلام علیکم، پیارے بچوں اچھا آج کا لکچر میں پیارے بچوں کہ کہ اس لی شروع کر رہا ہوں کیونکہ یہ لکچر میرے لی بڑا سپیشل ہے جب میں ریکارڈنگ کے لیے آ رہا تھا ایدر اسلام آباہ سے لہور تو بڑا ایڈینچر سا ہوا میرے ساتھ میرے گاری کی ٹائمنگ بلٹ ٹوڑ گی تو موٹر روے سے میں آ رہا تھا تو of course کافی مسئلہ ہوتا ہے کیونکہ ورکشوپس اگر بڑی مشکل سے ملتی ہیں خیرہ ٹائمنگ بلٹ نہیں ملی تو پورے کوئی چھے گھنٹے بعد میں لہور پوچھا سارا مسئلہ ہونے کے بعد تو میں نے کہ چلیں وہ سارہ ایڈینچر تو رہا تو آج پیارے بچوں کیا ہے کہ درہا موڈ اچھا کرتے ہیں اپنہ اور سرارٹ کرتے ہیں تو آج کا لکچر شروع کرتے ہیں اس سے پہلے یہ کہ ہوبفلی امیدے کہ everything is going okay so far باقی جو لکچر تھے اس میں جو home work ہولا سائن تھا وہ آپ نے کیا ہے اور جو ابھی تک کوئی مسئلہ آئے ہوں گے تو اس میں آپ ہوبفلی آپ ایمیل کر کے بھیج رہے ہوں گے تاکہ ہم دیکھ سکیں کہ کیا مسئلہ بھی تک آپ کو کتنے کیا مسئل در پیش ہوئے تو وہ ضرور کیجے گا مطلب do the home work for sure practice makes perfect کئی دفعہ کہت چکوں اور اسی طرح اگر کوئی سوال ہے تو ایمیل ضرور کیجے تاکہ we can address those issues and those problems and make sure that those essential problems جو کیونکہ وہ پہلے والے لکچر کافی essential ہیں تو بہتر یہ ہوئے کہ آپ ابھی سے کلیر کر لیں کیونکہ آگی چلکے پھر کالکلس کرنے میں کافی اسانی رہے گی اچھا جی اب کالکلس کا جو سارا topic ابھی تک ہم نے شروع نہیں کیا لیکن اس لکچر کے بعد والے لکچر میں ہم بھوپر شروع کریں گے topic's کالکلس کے ان کے بارے میں باتی شروع کریں گے ابھی جو ہم اس لکچر میں بات کریں گے وہ بیسی کلی functions کے بارے میں ہے ابھی تک ہم نے functions کی بات کی تھی پیشرے لکچر میں اب ہم یہ دیکھ چکے ہیں کہ functions ہوتے کیا ہم ڈیفائن کر چکے ہیں یہ بھی دیکھ چکے ہیں کہ کچھ operations ہوتے جو پیشرے لکچر میں ہم نے دیکھا کہ جی آپ پلس add کر سکتے ہیں functions کو subtract کر سکتے ہیں and ڈیسٹر composition of functions سب سے important تھی وہ سب تو ہو چکے اب ہم کچھ graphs کی بات کرتے ہیں پہلے دیکھ چکے ہیں graphs کیا ہوتے اب دیکھتے ہیں کہ how can we graph functions یعنی functions کی equations ہم نے دیکھ لیے there are certain things called equations which are called functional equations تو اب ان کو دیکھتے ہیں graph کیسے کرتے ہیں تو کوئی مشکل بات نہیں ہوگی ظاہر ہے پہلے ہم equations کو graph کر چکے ہیں تو لہذا اسی طرح سے ہم ان کو بھی graph کریں گے تو آئیے شروع کرتے ہیں let's talk about graphing functions اچھ a screen پر آپ کے سامنے ہمارے آج کے topics ہیں آپ کے سامنے ہے ہمیں آج دیکھنا ہے how to represent functions by graphs اس کے بعد ہم دیکھیں گے how to visualize the behavior of functions through graphs یعنی کیسے کئی بار ایسا ہوتا ہے کہ equations complicated ہوتی ہیں لیکن اگر آپ کی picture دیکھ لے اس equation کی جو graph ہے تو آپ کافی کچھ کہہ سکتے ہیں function کی بارے میں اور اس کے لہذا ہم یہ بھی دیکھیں گے how we can use the graphs of some simple functions were relatively easier functions and create graphs of complicated functions یعنی یہ تین چیزیں بیسک ٹوپک ہیں ہمارے کافی details ہوں گی اس میں کئی بہت ساری examples کریں گے ہم اس لیکچر میں تو گرانے کی بات نہیں ہے ہیرے mathematics ہے تو examples کرنی پڑتی ہیں لیکن یہ کہ یہ تین topics ہیں major topics ہیں اس کے لہذا دیکھیں اور کیا ہے آئے آئے جلتے ہیں اچھا جی تو آئی شروع کرتے ہیں what exactly will we be talking about آپ آج ہم جو بات کریں گے basically way میں نے جیسے شروع میں کہا we will look at graphs of functions جو گرافز کا تھوہا سا review کے گرافز ہوتے کہیں ابھی functions of graphs graphs of functions کی بجائے اگر آپ یاد کریں کہ جب ہم نے equations دیکھی تین lines کی basically تو ہم نے ان کو graph کیا تھا تو وہ کیا تھا مخصت کیا تھا اس کا گراف کرنے کا ہم نے define کیا تھا the graph of an equation as being the set of all points x and y in the x y plane which satisfy the given equation یعنی equation میں ہم نے دیکھا کہ جیسے line کی equation کی بات کی because 2x جیسے تو اس میں اگر ہم کہتے تھے کہ بلی اس line کو ہم graph کریں تو اس کا مخصد یہ تھا graph کرنے کا کہ ہم نے x کی values کچھ دالی اور اس کا result میں پھر ہمیں پس کچھ y کی values آئیں ان x y values کو پھر ہم نے points کی طور پر لیا in the x y plane ان کو plot کیا and we connected them of course we got the graph of that line تو مخصد یہی ہی سے ظاہر ہوتا ہے کہ وہ جو points on the line یہ جو graph پر points آتے ہیں وہ points ہوتے ہیں جو آپ جب equations میں تو equation کا مطلب دو sides ہوتی ہیں something equals something تو آپ پس ایک true statement ہے یعنی left hand side should equal right hand side تو یہ تو equations جو ہم نے lines کی بات کی تھی وہ تھی اسی طرح سے define کیا تھا graph کو ہم نے of an equation اسی طرح سے ہم functions کے graph کو بھی define کریں گے یعنی function basically ہم نے دیکھا تھا کہ ایک طرح کی equation ہی تھی اس میں ایک فرق یہ تھا کہ اس equation میں ایک خاص relationship تھی between x and y variables یعنی جو ایک technical definition تھی وہ hopefully آپ کو یاد ہوگی تو اب وہ تو ہم نے دیکھ لیا لیکن تو بخص دیے سوال یہ ہے کہ so what's so special about graphing a function I mean basically function do look like equations with certain restriction you know certain kind of a particular relationship between x and y تو کوئی خاص difference نہیں ہیں جب graphing کی بات آتیے تو it's the same thing really what we do is we say that we want to graph say if you want to graph the function f of x equals x square مثال کے طور پے تو یہ ایک function ہے اس کو ہم graph کرنے کے لئے کہیں گے کہ بھی when we want to graph this function we will actually look at it from the point of view of equations and we'll say that we want to graph the equation y is equal to f of x equals x square یعنی f of x کا آپ نے ایک طرح کا وہ functional notation ہٹا دیے and you're just saying that there's a relationship now between x and the y which you have introduced in your scheme تو اس کے ہی اس طرح سیم define کریں گے graphs of functions it's the same thing تو آئی کچھ دیکھتے آگے ایک سامنے سفرہ کیا ہے یہ ایک ایک سامپل ہے جس کلین پر آپ کے سامنے آرہی ہے let's look at that ایک سامپل ہے جی کے sketch the graph of f of x equals x plus 2 تو یہ تو بیسیک لیے ایک function ہے یعنی ہم نے لکھاوا زیرہ f of x کا مطلب یہ ہوا کہ this is a functional relationship between the left hand side and the right hand side تو یہاں پہاں ہم ایک y کا variable input کرتے ہیں let's see what that is by definition the graph of f is the graph of y equals x plus 2 یہ اسی طرح سے ہم نے تھوڑی دل پہلے کہ ہم دفائن کریں گے graph کو of a function we'll define the graph of a function in terms of the equations by throwing in an extra y variable لہاں زا اب یہ آپ کے پاس equation آجاتی ہے y is equal to x plus 2 تو یہ تو a simple equation ہے یہ تو ہم پہلے بھی دیکھ چکے ہیں y is equal to x plus 2 is just a straight line اس کاگر آپ تو آپ پہلے دیکھتے ہیں سلوپ اس کا وان ہے اور y انٹرسیپٹ کیا ہے I'll let you figure that out ٹیکہ جی تو تو تھوڑا رویو ہو جائے گا کہ یہ ہے کہ اس کا تو I think this is pretty straight forward آپ خود بھی گراف کر لیجی and you'll see what the intercepts and all that stuff is تو یہ ایک ایک اجامپل تھی this is how we graph a function آئیے آگے چلتے دیکھتے ہیں اور کیا کش کر سکتے ہیں functions کے حوالے سے graphs کی ایک اجامپل اور آپ کے سامنے یعنی ابھی تو سیمپل سی ایک ہم نے دیکھی کہ y f of x equals x plus 2 پھر ہم نے ایک y کا variable ڈال دیا چونکہ ہم نے دیفائن کیا تھے graphs برانے کا طریقہ یہ ہی تھا functions کا کیا y کی a variable ڈال دیں you get a straight forward equation and you graph it آپ چھوڑا سی کomplicated دیکھتے ہیں absolute value کو کیسے graph کرتے ہیں ہم پہلے absolute value دیکھ چکے ہیں as a function بھی دیکھ چکے ہیں let's look at it again تو یہ اجامپل آپ کے سامنے f of x equals the absolute value of x تو اس کا گراف کیسے بنے گا so first of all by definition we'll graph the graph of the function f of x equals absolute value of x will be written as we will write that as y equals absolute value of x یعنی equation کی form میں اور اب آپ اگر ذیات کریں کہ absolute value کو دیفائن کیسے کیا تھا ہم نے دیفائن کیا تھا absolute value کو as a y is equal to the absolute value of x اس کے آس پاس ڈال دتے ہیں to represent absolute value and this is defined in two ways basically it's a piecewise defined function اس کو آپ کہتے ہیں absolute value of x is equal to x if x is greater than equal to 0 یا بگر than equal to 0 ہے and it's defined as minus x if x is less than 0 تو یہ اس کو کیسے گراف کریں گے میرے خال سے بڑے ایسانی سے کر سکتے ہیں آپ کو اگر یادو اس کی definition تو ہم نے دیکھ لی اگر آپ کو یادو کے لئے equations کیسے گراف کی جاتی ہیں ابھی ہم نے تھوڑے پہلے کی تھی میں نے کہا تھا کہ آپ اس کے ڈرسیپس معلوم کر لیجے اسی طرح سے اب آپ اگر آپ اگر غور سو دیکھیں اس definition کو absolute value کی پہلے بھی شہت دیکھ چکے ہیں کہ y equals absolute value of x جو ہے it's x just a valuable x if x is bigger than equal to 0 let's look at that part یہ کیا کہہ رہا ہے کہ اگر ہم کہتے ہیں کہ جی y is equal to just x یا نہیں y equal to absolute value of x جو ہے وہ صرف x کی برابر ہے if x is bigger than equal to 0 well if you think about it this is just the equation y is equal to x یہ تو بڑے اسانی سے گراف کی جا سکتی سب سے سمپل والی line equation ہے تو اس کا ہم گراف کریں گے تو ہمارے پاس ایک اس کا گراف ایس کا گراف ایسا بناتا ہے کہ اس origin کی طرف جاتی ہے line اور extend کرتی ہے beyond towards positive infinity and negative infinity آئیسکین پہ دیکھتے ہیں line ہے کیسی تو یہ آپ کے پاس picture بنتی ہے اس کی اور آپ نوٹ کریں کہ this is just the line y equals x which is just a straight line through the origin with slope 1 لیکن ایک point یہاں پہ آپ کو درہا غور سے دیکھنا پڑھے گا کہ یہ line just defined on axis کے لیے ہے جو 0 ہے یا اس سے بڑے تو اس کا کیا مطلب ہوئے مطلب یہ ہوا کہ جو نمبرز negative ہے minus 1 minus 2 minus 3 all the way to minus infinity is not going to be part of this graph this equation those numbers are not going to be the domain of this equation y equals x جب ہم اس کی بات کرتے ہیں you remember the domains تو یہ اس کا حصہ نہیں ہوں گے تو اس کو اگر آپ دیکھیں really what does that mean in terms of graph of this equation یعنی آپ نے جب line row کی تھی y equals x تو یہ نگریف نمبرز لی بھی defined تھی positive numbers کے لیے بھی defined تھی لیکن ہم نگریف نمبرز کو نہیں دیکھ رہے تو basically ہم lower part of the line y equals x erase کر دیتے ہیں ہم آپس سے line را جاتی ہے جو 0 سے start کرتی ہے and extend کرتی ہے towards positive infinity یا نہیں x جیسے جیسے بڑے گا y کی ویلی بھی بیسے بیسے بڑے گی تو اس کی picture دیکھ لیتے ہیں here is the picture یہ بنتی ہے آپ کی straight line اسے کر کے without the lower part this is basically what it means when you graph y equals x with x because then equal to 0 اب اس کا دوسرا حصہ دیکھتے ہیں this absolute value function کی جو equation تھی اس میں دوسرا حصہ y is equal to minus x well what is that that is also a straight line through the origin with slope negative 1 but it is defined only for x less than 0 تو یعنی یہ وہ نمبرز ہیں جو define ہے 0 سے کم یعنی جو 0 سے چھوٹیں یعنی negative numbers تو اس کے مدنظر رکھتے ہوئے اب ہم اس کو کیسے graph کریں گے یعنی جو second part تھا اس کا equation کا y equals minus x تو note کریں کہ line تو آپ نے دیکھی which y equals minus x is just through the origin اب آپ اس میں سے positive numbers x کی values جو positive ہیں وہ تو اس کی domain کا حصہ نہیں ہے function y equals minus x کی because of the definition of the absolute value اب second part دیکھ رہے ہیں اس کا تو اس میں سب ہم کون سے نمبرز delete کریں گے یعنی کون سے حصہ line کا ہم delete کر دیں گے تو وہ basically وہ حصہ ہوگا جہاں پر x کی values greater than 0 ہیں یہ equal to 0 بھی ہیں تو وہ اگر آپ delete کر دیں گے تو آپ کے پاس your line کی y equals minus x اس کا lower half وہ delete ہو جائے گا اور آپ کے پاس صرف اس کا upper half رہ جائے گا تو یہ ان دونوں کو جو آپ کمبائن کریں گے تو آپ کے پاس کیا total picture کیا آنی چاہے یعنی that's what we are looking for we are looking for the graph of the absolute value function y equals absolute value of x تو ان دونوں کو ہم نے پہلے حصہ دیکھ لیا سیکن حصہ بھی ہم نے تھوڑی سی بات کر لی آئیے اب اس کو ملابتے ہیں اور دیکھتے ہیں کہ picture کیا بنتی ہے تو آپ سکین پر دیکھیں کہ picture آپ کی بنتی ہے it just turns out to be a v یعنی جو anglish letter جو alphabet کا لٹر ہے that's exactly what you get and that's the graph of the function f y equals f of x equals absolute value of x یہ تو ہوگیا آپ کا graph of the function y equals f of x equals absolute value of x تو اب آگے جلتے ہیں آگے کیسے جلتے ہیں اس لیکچر میں خاص بات آپ میں نے شاہر پہلے بھی کہی تھی اور اب آپ نوٹ کریں گے کہ we will look at a lot of examples ہم آگے چل رہے ہیں there will be less تو تھیوری شاہر اتنی نہ ہو وہ بعد میں آگے لیکچر میں دیکھیں گے اور تھیوری کیا ہوگی لیکن اس لیکچر میں ایک سامپلز بہت ہیں تو میرے خالصے سے سب سے اچھی محط یہ ہوتی جس میں ایک سامپلز آتی جائیں اور آپ بس میکنیکلی ایک طرح سے کام کرتا جائیں اچھی کی بات ہوتی تھوڑا سا زہن کو آسان لگتا ہے لیکن we should make that a habit we should always look out for the theory behind things and definitely do the examples آگے اور کچھ ایک سامپلز دیکھیں of graffing the functions some functions or equations of functions تو یہ آپکی سامنے سکین پر ایک اور ایک سامپل آ رہی function دیا ہوا ہے t of x is equal to x square minus 4 divided by x minus 2 اچھا اس میں سب سے پہلی بات تو یہ کہ میں نے f of x تمال نہیں کیا ہے function کا نام کیا ہے t of x تو t کیا چیز ہے just a name point یہ کہنے کا مخصد ہے don't get used to using f all the time میرے ایک پرفیسر تھے group theory کیا group theory کیا چیز ہوتی ہے it's you know high level math تو اس میں ظاہر جب group کا بات ہوتی ہے تو اور کہیں کہ let something be a group تو وہ ہر چیز کو کرتے ہیں کہ g i mean g starts in a group starts with a g تو everything in his vocabulary was a g تو وہ ایک طرح کا bad habit اس لی ہوتا ہے کہ confusion ہوجاتی ہے کئی چیزوں کے لیے ہر چیز کے لیے اگر آپ g کہنا شروع کرتے ہیں تو you get confused سمجھللی اگر ہر فنکشن کو آپ f of x لکنا شروع کر دیں تو you get you know you can tend to get confused تو اس لیے میں نے آپ ایک نیا variable introduce کیا t is just a name the function is called t of x and it's defined as x square minus 4 divided by x minus 2 تو اس کو ہم گراف کرنا چاہتے ہیں تو آئے دیکھتے ہیں کیسے گراف کریں گے سب سے پہلے بات تو یہ کہ we call it we introduce our y variable and make an equation out of it basically and then we graph that equation تو آئے دیکھتے ہیں کیسے کرتے ہیں تو آپ کے سامنے یہل فنکشن ہے تو اس کو نوٹ کریں سب سے پہلے کی کمپلیکیٹ سا لگتا ہے کچھ کیونکہ x square minus 4 divided by x minus 2 ہے اس کو شاید ہم سیمپلی فائل کر سکتے ہیں یہ ایک سامپل ہم پہلے بھی کسی اور کانٹیکس میں دیکھ چکیں جب ہم نے دومین کی بات کی تھی تو دیکھیں کہ اس میں سب سے پہلے بات یہ کہ اگر اوپر کے بحصہ کو میں فکٹر کروں as x plus 2 times x minus 2 تو دیچے والے x is not equal to تو تو ٹھیک ہے تو ٹھیک ہے تو ٹھیک ہے ٹھیک ہے ٹھیک ہے ٹھیک ہے ٹھیک ہے ٹھیک ہے یہاں بہت ہم جانتے ہیں도اکٹن بہت جو آپ اس کو یہاں بھی آپ یہاں بتا ہے closes اس کو because x equals 2 is not allowed as an x value in this particular function t of x. یعنی x plus 2 اگر ایک function ہے اس کی دومین تو all real numbers ہیں لیکن یہاں پہلی بھی ایک x plus 2 آیا ہے اس میں problem یہ ہے کہ اس کے اندر x2 کی برابط نہیں ہو سکتا کیوں نہیں ہو سکتا کیوں کہ original form جاتھی اس function کی اس میں division تھی اگر آپ x minus 2 سے اس میں اگر آپ 2 کی value ڈالتے ہیں تو you get division by 0 which is not allowed. تو there was just a little point to be remembered آئیے آگے چلتے ہیں یہاں پر دیکھیں کہ اب اگر اس کو graph کیسے کریں گے سب سے پہلے اب ہم یہاں پر t of x کو ہٹا کر لکھتے ہیں اس کو as y is equal to x plus 2 with x not equal to with x not allowed to be 2 یعنی x is not equal to تو اب اس کو ہم graph کیسے کریں گے بڑا سمپل سے ایک equation بن گئے well this is the same as the example we saw in the first place یعنی جو پہلی example دیکھی تھی اس لیکچر میں وہ یہی چیز تھی تو اب آپ کے پاس وہی لائن بن تھی ہے y equals x plus 2 میں نے آپ سکاتا ہے اس کو graph کیجے گا اگر کی رہی ہے تو بہت اچھی بات ہے کیونکہ this is exactly the same kind of graph لیکن ایک فرق ہے بہت بڑا I hope you can already see کہ جو پہلے آپ نے graph کی تھی x plus 2 y is equal to x plus 2 اور یہ جو آپ اس میں سب سے بڑا فرق ہی ہے ان دونوں میں کہ جو اب ہم کر رہے ہیں اس میں x is not allowed to be equal to تو جب آپ اس کو graph کرتے ہیں تو on the line you get you put an open hole where x is equal to 2 کیونکہ وہاں پر کوئی division bad 0 ہوتی ہے تو we don't have a value for that and that's the biggest difference between the first example the function in the first example and this one تو اس کی پکچر کچھ ایسے بنے گی اس کی پکچر بنتی ہے جناب it's a straight line which we saw earlier also اور اس کا سب سے بڑا فرق ہے کہ یہاں پہ جو جہاں پہ x is equal to 2 ہوگا یہاں پہ اس کی y value کوئی نہیں ہوگی اور ہم یہاں پہ ایک open hole بنا دیتے ہیں to represent the idea that the number x equal 2 is not part of the domain تو یہ آپ کا ہوگیا function x square minus 4 جس کو ہم نے گراف کر لیا تو یہ کچھ دیکھیں کہ اتنا مشکل نہیں ہے گرافنگ لیکن چھوڑی چھوڑی ٹیکنکل چیزیں آتی ہیں جنکہ ہمیں مدنرزہ رکھنا ہوتا ہے تو ان کو ہم یہ گرافنگ میں سب سے بڑی بات یہ یہ ہوگی کہ we look at these minor details also آگی چلتے ہیں آگی ہم چلتے ہیں تو again ایک اور ایک آنپل آتی ہے یہ اس آنپل کو دیکھتے ہیں یہ ایک آنپل ہے جی یہاں پہ function دیا ہے آپ کو g of x equals 1 if x is less than equal to 2 and g of x equals x plus 2 if x is greater than 1 تو یہ بھی function جو آپ کا piecewise function ہے جس طرح سے ہم نے absolute value کا function ابھی دیکھا اسی طرح سے یہ بھی ہے اس کے اندر ڈomain کے کچھ حصے کیے میں اور different domain میں ایک different definition ہے تو اس کو گراف کرتے ہیں آئی چلتے ہیں آگی گراف اس کو ہم کریں گے تو سب سے پہلے ہم g of x کی جگہ اس کو لکھیں گے as y is equal to 1 if x is less than equal to 2 and y is equal to x plus 2 if x is greater than 2 اچھا if x is greater than 2 تو آپ کا function defined ہے as x plus 2 تو یہ تو ابھی ہم نے تھوڑے دل پہلے گراف دو دفعہ کر چکیں یعنی x plus 2 کی example میں اس لیکچر میں اسی رکھی تھی کیونکہ x plus 2 کی بہت ساری definitions ہوسکتی ہیں in terms as if you view it as a graph depending on the domain یعنی equation تو ایک سی ہے لیکن graph different آتا ہے تو equation لکھتی وہی بات ہے کہ لکھتی تو ایک سی ہے لیکن جب آپ domain کی restriktion لکھتے ہیں ساتھ میں تو equation بھی different ہو جاتی ہے اور جب گراف دیکھتے ہیں تو واقی میں صاف پڑھا چل جاتا ہے کہ بھی فرق ہے یعنی x plus 2 اگر میں دیکھوں اس کا گراف بنا ہوں تو اس کی الیک پکچر ہوگی x plus 2 with جیسے پہلے لیئے رالی example میں دیکھا کہ اس کے اندھر 2 اس کے اندھر allowed نہیں تھا domain میں تو اس کی picture بالکل different آئی تھی لہذا اسی طرح یہاں پکچر different آئی تھی تو hopefully اب آپ کو ایساس ہو رہا ہوں کہ graphs اتنے important کیوں ہیں یعنی کئی بہا سڑنسی کرتے ہیں کہ domain لکھنا بھول جاتے ہیں اور یعنی x plus 2 اگر لکھتے ہیں تو اس میں specify کرنا پڑتا ہے کہ which one are you talking about are you talking about x plus 2 with all the domain allowed in all real numbers یہ x plus 2 with x not allowed یعنی which one لیکن graph میں اچھی بات یہ کہ once you graph it اگر آپ بھول گئیں domain لکھنا یعنی کچھ ایسا مسئلہ ہے لیکن graph جو ہے وہ ہم ایسا آپ کو بتا دے گا کہ what is not supposed to be part of the domain تو یہ اس کا graph and we move on to some other topics اچھا جی تو اب آپ آگے چلتے ہیں اب تھوڑی سی theory آ رہی ٹیکس examples بھی کریں گے لیکن theoretical باتیں کر لیتے ہیں تھوڑی سی اب ہم بات کرتے ہیں translations کی یعنی functions کی graphs جو تیں ان کے اندھر کچھ translations ہوتی ہیں what are those things تو میں حال سے before let's just look at what we talking about گرافنگ functions by translations suppose that the graph of f of x is known then we can find the graphs of y equals f of x plus c y equals f of x minus c y equals f of x plus c as a quantity and y equals f of the quantity x minus c تو یہ کیا لکھا ہے میں نے equations تو دیکھ لی ہم نے اور c کیا چیز ہے well c is just a positive constant it's a positive real number ہم اس کو constant کہیں گے real numbers جو تیں we always call them constants in mathematics to distinguish between constants and variables x or y variables سے c جو ہے وہ constant ہوگا and in this case particular case ہم c کی بات کر رہے ہیں as a constant which is positive تو مقصت کہہنے کہ یہ کہ اگر میرے پاس ایک function دیا ہے f of x اور مجھسے گراف باتا ہے تو کیا ایسا ہوسکتا ہے کہ میں نئے ایکویژنیکت بناوں f of x plus c یعنی y is equal to f of x plus the number c can I graph that somehow تو well we can and the other stuff we saw on the slide a minute ago سکرین پر وہ بھی ہم گراف کر سکتے ہیں تو let's move on and see how we can do that اچھا جی تو سب سے پہلے میں بتا رہتا ہوں we will just assume کہ ہمیں پتا ہے ہوتا کہ ہے ہوتا یہ ہے کہ جب آپ یعنی اگر آپ کو f of x دیا باتا y is equal to f of x آپ کے پاس ہے ایکویڈن بھی ہے تو how does the graph of the equation y equals f of x plus c relate to the original graph well what happens is that if you add a constant to the equation of the original well the original equation تو آپ کا جو گراف ہوگا اسی طرح کا ہوگا جیسے original equation کا تھا لیکن it will be moved it will be shifted up by c units یعنی مثال کے طور پر اگر میں نے پاس equation ہے y equals x سیمپل ایکویڈن ہے سٹریٹ لائن اگر میں وہاں پہلے جو پہلے example دیکھ چکے میں کہتا ہوں کہ I want to graph the equation y equals x plus 2 نوٹ کریں کہ y equals x اور y equals x plus 2 میں فرق صرف اتنا ہے کہ آپ نے original equation x y equals x میں 2 ایٹ کر دیا یعنی آپ کا c جو ہے in this case is 2 تو اس کا graph کیسے ہوگا آپ دیکھ بھی چکیں گراف اور میں آپ کو بتا رہوں you can match these things up کہ جب آپ گراف کریں گے تو وہ شفٹ ہوگی and in general that's true یعنی اگر آپ کے پاس y equals f of x سے گراف ہے اور آپ کو کہا جاتا ہے کہ draw the graph of y equals f of x plus c all you do is you take the original graph shift it up by c units تو اسی طرح سے اگر آپ سے کوئی کہتا ہے کہ آپ کے پاس equation ہے y equals f of x اور آپ سے کہتے ہیں can you graph y equals f of x minus c تو آپ کیسے جیسے جانتا ہے آپ جب آپ کو یہ جانتا ہے آپ کے پاس y equals f of x اسے کی ایک کچھ بہت بہت سی کچھ بہت بہت سی سے جانتا ہے سب سے بہت سی بہت بہت بہت بہت کام آن گے کالکلس میں بھی جو ہم بات کریں گے کالکلس کی اور اس میں گرافنگ وغرا کی اور انلائس کرنے گراف کی تو یہ بہت ہمیں help کرے گا تو ہم چیزیں بہت محضور ہے ہے بڑا سیمپل ستا کہ how to graph the equations y equals f of x plus minus c اب اس کے لائے ہم نے اور بھی دیکھیں دیں پیچھلی سکرین پہ کہ how do you graph y equals f of quantity x plus c and also y equals f of quantity x minus c یعنی یہ جو x minus c x plus c ہیں یہ اس کے پرانتسیس کے اندر آتے ہیں in your functional rotation تو یعنی how do you graph those very simple also یہاں پر یہ ہوتا ہے کہ اگر آپ کے پاس originally دیا ہوا ہے y equals f of x and somebody اس کا گراف دیا ہے somebody asked you to graph draw the graph of y equals f of quantity x plus c very simple take the original graph and shift it left by c many units and you have left کو موف کر دیتے ہیں similarly اگر آپ کو گراف دیا ہے y equals f of x اور آپ سکر کہتا ہے کہ بھی can you draw the graph of y equals f of quantity x minus c تو آپ اس گراف کو original والے کو f of x والے گراف کو shift کرتے ہیں right by 2 units تو یہ shift کیلاتی ہیں vertical shifts and horizontal shifts تو ان کو ہمیں we should always you know we should right now make this part of our mathematical thinking کے what are these things and how you know we should memorize them because because اگر چلکے بہت کام آئیں گی so these are simple سی رولیں کو میں سکرین پلک دیتا ہوں we can all look at them the rules are that if a positive constant c is added to f of x the geometric effect یعنی effect in terms of the graphs is the translation of the graph of y equals f of x up by c units if a positive constant c is subtracted from f of x the geometric effect is the translation of the graph of y equals f of x down by c units آگے دیکھتے ہیں کہ اس کے لابا ہم نے horizontal shift کی بات کی تھی تو یہ تو گئی vertical shift horizontal shift میں ہم دیکھتے ہیں کہ if a positive constant c is added to the independent variable x of f of x the geometric effect is the translation of the graph of y equals f of x left by c units تو یہاں پہاں میں نے اسمال کیا word c is added to the independent variable x of the function تو وہ اس کا مخصص یہی تھا کہنے گا کہ f of x plus c جو میں قوانٹی کی میں بات کر رہا تھا تو اس میں آپ ایٹ کر رہے ہیں آپ کا جو c ہے انہیں جب ہم vertical shift کی بات کر رہے تھے تو نوٹ کریں کہ آپ نے لکھیتی equation y equals f of x plus c تو یہ c جو تھا یہ x سے independent variable سے علیدہ تھا ایک c کو اگر آپ چاہیں تو subtract کلیں from both sides and bring it together with the y on the left-hand side تو یہ آپ کر سکتے ہیں لیکن جب آپ یہاں پہاں اپنے f of quantity x plus c کی بات کر رہے ہیں یہاں سے آپ بڑے ایسانی سے removal کر سکیں گے c کو کیونکہ its part of the independent variable تو یہ ایک طرح کی نمانک دیوائیس کیلے ہے تو آئیو nxt آخری طوپ وہ تھی بات کر لیتے ہیں if a positive constant c is subtracted from the independent variable x of f of x the geometric effect is the translation of the graph of y equals f of x right by c units تو یہ تو ہوگیا آپ کی translations کی بات یعنی جو آپ کے گراف سے ان کو translate کیسے کرتے ہیں یعنی ہم نے ابھی تک یہ دیکھا کہ اگر کوئی گراف دیا ہے کسی function کا تو ہم اس گراف کو translate کر سکتے ہیں آگے پیچھے کر سکتے ہیں left and right یا اوپر نیچے کر سکتے ہیں up and down vertical shifts, vertical translations کیا لیں and horizontal shifts and horizontal translations کیا سکتے ہیں تو یعنی اور یہ نوٹ کریں گے وہ گراف تو آپ کے پاس آ جائیں گے لیکن ان گراف سے associate کچھ equations بھی ہوں گی ظاہر ہے تو ان کی کچھ examples کرتے ہیں تھوڑا سکلیر ہو جائے گا the example is sketch the graph of y equals f of x equals absolute value of x minus 3 plus 2 تو اس کو گراف کرنا ہے ہمیں and we can actually obtain the graph of this particular equation by two translations first of all we will translate the graph of y equals the absolute value of x three units to the right to get the graph of y equals x minus 3 in absolute value یہ تو پہلی translation ہو گئی any horizontal direction کیونکہ x to independent variable اس کے ساتھ minus 3 لکھا ہوا آپ نے تو اس کو ہمارے table میں ہم نے دیکھا کہ جب آپ see subtract کرتے ہیں positive number independent variable سے تو آپ shift کرتے ہیں horizontals میں direction میں you basically shift right تو وہی ہم نے یہاں پر کیا ہمارے پاس پہلے حصہ آگئے گراف آگیا ہمارے پاس y equals absolute value of x minus 3 کا آگے چلتے ہیں یہ تو ہو گیا آپ کے پاس پہلے part اس کا اب اس کا next part ہے کہ you translate the graph of this you know the graph of this new equation جو equation آئیتی آپ کے پاس absolute value of x minus 3 اس کے گراف کو اگر آپ two units up move کرنے basically if you translate the graph of y equals absolute value of x minus 3 two units up to get the graph of y equals f of x equals absolute value of x plus x minus 3 plus 2 یہ میں نے original your second جو first part کیا اس کو میں نے shift کیا اوپر دو units تو میرے پاس گراف آگے جو desire گراف تھا میرا basically تو یہ طریقہ بیسکلی this is the idea that was being you know trying I was trying to convey to you when we talked about those translations یعنی آپ سمپل گراف سے شروع کریں اور اس کو appropriately shift کریں left right یا اپنے نیچے تو اور زیادہ complicated graphs آجاتے ہیں اور ان کی complicated equations جو تھی ہیں ان کو آپ کو point سپلوٹ کرنے کی بجائے آپ کہتے ہیں کہ let's look at a simpler version of this you know equation and shift it appropriately to get the graph of this more complicated equation that was the point of these translations and up and down and left and right اچھا آگے جلتے ہیں and let's move on with an example another one اب آپ دیکھیں examples آ رہیں باری باری تو let's look at another example example ہے sketch the graph of x square minus 4x plus 5 اچھا جی اس کو کیسے گراف کریں گے well there's a certain thing involved before we proceed it's called completing the square تو complete the square کرتے ہیں پہلے اس کا what we do is we divide the coefficient of x by 2 یعنی جو power of 1 جو ہے x میں اس کا جو coefficient ہے 4 اس کو 2 سے ڈیوائٹ کرتے ہیں اور اس کے جو result آگا یعنی basically 4 divided by 2 would be 2 اس کو آپ square کیجے اور پھر add کر دیجے to both sides of your equation تو یہ میں یہاں پہ کیا کر رہا ہوں یہاں پہ میں ایک ایسا پروسیس کر رہا ہوں جس کا ہم کہہیں completing the square یہ پہلے hopefully آپ ڈیبرا میں دیکھ چکے ہوں گے it's very simple یہاں پہلے میں ڈیبرا کروں گا تو I think it'll make sense to you but it's a good idea to review it right now آگے پرسیٹ کرتے ہیں اس ڈیبرا سے تو یہاں پہاں آپ کے پاس equation آتے ہیں y plus 4 equals the quantity x square minus 4x plus 5 quantity plus 4 اب یہاں پہاں تھوہاں سے ڈیبرا کرتے ہیں y equals the quantity x square minus 4x plus 4 plus 5 minus 4 اس کو further simplify کریں تو آپ کے پاس از آتا ہے y equals the quantity x minus 2 squared plus 1 تو میں نے کیا کیا یہاں پہاں کچھ میں نے basic algebraic manipulations کییں اور اس کے بعد complete the square کر کے simplified form میں ایک طرح سے میں نے لکھ لیا ہے original equation کو یہ again I'll recommend کہ آپ completing the square کو review کر لی جیے دیکھتے ہیں کہ نئی جو equation آئی ہے ہمائے پاس اس کو ہم یہ وہی equation ہے جو ہمائے پاس originalی تھی اس کو میں نے صرف simplifier form میں لکھ لی ہے تو اس کو اب ہم گراف کر سکتے ہیں آسانی سے آئی دیکھتے ہیں کیا ہوگا نوٹ کریں کہ جو equation آئی تھی y equals x minus 2 quantity square plus 1 اس کو ہم بڑے آسانی سے گراف کر سکتے ہیں یہ equation کس کی کس چیز کا رمائن کراتی ہے آپ کو یعنی بیسک گراف ہے y equals x square تارہ بولا بنتا ہے اس کا یہ پرابلہ کیا لیں اس کو ہاڑوی گراف that it's just a kind of a u آپ جس کو گراف کریں گے y equals x square کو تو ایک u کی form کی شیپ آتی ہے یہاں پر equation آپ کی وہی پرابالک تیپ کی equation ہے square involved ہے لہذا آپ سب سے پہلے تو جو original ہے y equals x square اس کو shift کریں گے 2 units to the right کیونکہ آپ 2 minus کر رہے ہیں x for independent variable میں سے تو shift your probability 2 units to the right اور then shift it up by 1 unit تو آپ کے پاس نئے equation آجائے گی گراف آجائے گے اس نئے equation کا تو here was another example where you can graph a complicated looking equation by well first of all you complete the square that was kind of complicated I agree but I think we should all know it by now Algebra میں ہم دیکھ چکے ہوں گے اس کو اور اس کے بعد shifts and translations کر کے ہم اس کا گراف بھی منالتے ہیں so very easy to do اچھا جی تو now next topic ہے reflections رفلکشنز کی بات کرنی of graphs and see how they help us in گرافیں a certain or drawing some you know certain graphs تو shifting translations ہم نے دیکھ لی اب رفلکشنز کی بات کرتے ہیں کچھ point ہیں جو میں a screen پر دالتا ہوں let's look at them together point ہیں جی کے سب سے پہلے تو یاد کریں from lecture 3 اگر آپ کے پاس ایک point ہے minus x comma y تو this point is the reflection of the point x comma y about the y axis in the سب سے پہلے دیکھا ہے similarly point number 2 ہے کہ جی x comma minus y اگر آپ کو دیا ہے point well this point is the reflection of the point x comma y about the x axis تو یہ ہم نے چیزے باتے کی تھی ان کے بارے میں تھوڑی سی اور آپ نے reading بھی کی ہوگی homework بھی کی ہوگا lecture 3 کا تو اس میں ہم نے discuss کیا تھا کہ these reflections کیسے ہوتی ہیں تو انہیں کو آپ تھوڑا further develop کرتے ہیں آگے دیکھتے ہیں screen پر کیا ہے آپ کے پاس لکھا ہے جی کے یہ points ہم نے دیکھ لیے ان سے ہم یہ کہ سکتے ہیں ان کو use کرتے ہیں کہ جو گراف ہے آپ کے پاس y equal f of x کا اور گر آپ کے پاس ایک اور گراف ہے y equals f of minus x کا تو these two are reflections of one another about the y axis similarly اگر گراف دیا ہوا ہے y equals f of x کا اور ساتھ میں گراف دیا ہوا ہے y equals minus f of x کا تو یہ دونہو reflections جنگ دوسرے کی about the x axis so they are reflections of one another about the x axis تو یہ بڑا elementary a very important result میں کچھ سمیٹری کی جہاں ہم نے بات کی تھی لکھ چتھری میں اس کے point سمال کرتے ہوئے اب ہم گرافنگ میں اس کو سمال کریں گے functions کی functions کی functional equations کی گراف بنایں گے اس میں سمال کرتے ہیں ان کو تو ان کو توہاں سا نورت کر لی جی سمجھ لی جی جو ہم نے points کہیں اور کچھ examples کرتے ہیں of course you know they will make it more clear آگے چلتے ہیں example کرتے ہیں example ہے جناب sketch the graph of y equals the cube root of 2 minus x اچھا سب سے پہلے تو یہ کہ cube root کیا چیز ہوتی ہے میرے حال سے ہم سب کو پتا ہوگا square root کی ہم نے بات کی تھی بلکہ کافی پہلے ایک لیکچر میں تو ہم نے پہلے تھا کہ ہم نے دیکھا تھا کہ جی کچھ square root ایسا نمبر ہوتا ہے جو ایک طرح سکویرنگ کو undo کر دیتا ہے اسی طرح سے ہم جب cube root کی بات کرتے ہیں تو کوئی cubic نمبر ہو آپ کی پاس تو اس کا cube root لیں گے مثال کے طور پر اگر میرے پاس 8 ہے 8 کاگر آپ cube root لیں تو آپ کے پاس result آئے گا 2 کیونکہ 2 times 2 times 2 جو ہے which is the same as 2 to the power 3 gives you 8 when you undo that you get the number itself which is 2 تو اس کو ٹوہ سکس دیفائن کر دیئے details آپ خود چیک کر سکتے ہیں یہاں پر میں استعمال کر رہے ہیں in terms of you know graffing and equation involving the cube root so let's look at that سب سے پہلے تو یہ کریں کہ graph the function y equals cube root of x اب یہ آپ کے پاس اس کا گراف ایسا بنتے here it comes to you on the screen یہ آپ کا اس کا گراف have function کا y equals cube root of x کا اب اس کو ہمیں کسی طرح سے reflect or translate کر کے graph چاہیے ہمیں original equation کا جو ہمارے پاس تھی was the y equals the cube root of 2 minus x تو آئے اس کو reflect کرتے ہیں یہ جو function کیا گراف ہم نے بنایا تھا function کا y equals cube root of x کا اس کو اگر if reflect کریں ہم y axis کے around یعنی بیسکل if you reflect it about the y axis we get the graph of y equals cube root of x تو یہ جو سمر یہ بھی table میں ہم نے دیکھی اور ہم نے تھوڑی دے پہلے بات کی تھی translate reflections کی اس کو میں استعمال کر رہا ہوں یہاں پر اگر f of x کا میر پاس گراف ہے تو میں اس کو reflect کر سکتا ہوں to get the graph of f of minus x that's what I'm doing here کہ cube root یہاں پر میں لے رہا ہوں ایک negative number کا but unlike square roots where you can't take the square root of a negative number you can't take the cube root of a negative number یعنی اگر آپ negative 8 کا cube root لیں گے تو کیا ہوگا try کیجے you'll see what happens تو we'll just take it for granted that you can do that and let's see what happens now آپ نے اس کو reflect کیا about the y axis you get the graph of y equals cube root of minus x اب ایک آخری step ہے اب ایک ٹانسلیشن کرتے ہیں جو آپ کے پاس reflection سے graph آیا تھا of y equals cube root of minus x کا if you translate this graph right by two units you will get the graph of the original equation which is y equals the cube root of two minus x اور یہاں پہاہ سا میں algebra لکتا ہوں تو آپ کو تھوڑی سانی ہوگی سمجھنے میں کہ یہ ٹانسلیشن ہوگی یہ right پے ہوگی you will move two units to the right here's the algebra and I think you can convince yourself what is something involved let's talk about scaling ابھی تک دیکھا we have seen translations left right up and down we have a reflection to reflect graphs now let's talk about scaling scaling is a thing that helps when you want to graph some complicated looking equations using basic equations so let's put some facts down you have a function f of x if f of x is multiplied by a positive constant c then the following geometric effects take place the graph of f of x is compressed vertically if c is between 0 and 1 so what does it mean that c is between 0 and 1 it means that c is positive because c is bigger than 0 it's positive but it's smaller than 1 so it's basically a rational number it's definitely a fraction every integer is a rational number as we saw but we are saying c is a fraction its ratio you can see its numbers it's not something 3, 4, 5, 6 it's something like 1 over 2 3 over 4 etc when c is a fraction and you multiply some function or function equations function then your graph geometric effect is that the equation of the graph is compressed the second point is that if your c is bigger than 1 it's not a fraction then what happens to your graph your graph is geometrically in terms of geometry your graph is stretched vertically in the upper direction so this is your multiplication when you answer any equation what are the geometric effects so let's see some examples come let's see some examples this example is a function y equals sin x this function is a trigonometric function we haven't talked about it yet but I think from previous courses which you have taken algebra and trigonometry you must read that that sin x is a function relating to trigonometry so let's see what happens to this function when we multiply 2 some number like 2 which is bigger than 1 or some number like say 1 half 1 over 2 which is between 0 and 1 let's look at what happens so if you multiply y equals sin x 2 that is your equation y is equal to 2 times sin x that that compresses and its graph is the effect similarly if c is 1 over 2 we make a graph and see what happens so these are your scaling let's go ahead and let's see what is in today's lecture there are some points that they the following geometric effects take place first of all the graph of f of x is compressed horizontally if c is greater than 1 and the graph of f of x is stretched horizontally if c is between 0 and 1 do you know the type where we were stretching a compression here وہ کمپیشن دے دیتی ہے اور اس کے خلال انڈیپینٹ وریول بلکو کمپیشن کے جو sees can'tی کا بار بیارت اس مہ آپ کی ہورزانٹل کمپیشن تو اس کی یہاں پر ایک ایک ازمپل دیکھلتے ہیں. یہاں پر ایک ازمپل دیکھلتے ہیں وہی والی ازمپل دیکھلتے ہیں y کو sin x اور یہاں پر بجائے اس کے کہ ہم 2 times sin x لکھیں یہاں پر ہم لکھیں گے sin of 2x یعنی میں نے اندپینٹ ویریبل کو ملٹپلائے کیا ہے 2 سے اور اسی طرح سے میں ایک اور ایک ویڈیوشن دیکھوں گا sin of 1 over 2x یعنی x جو اندپینٹ ویریبل اس کو 1.5 سے ملٹپلائے کیے تو یہاں پر پکچر بنا دیتے ہیں یہاں پر دیکھیں کہ اپروپلیٹ ہورزونٹل سکیلئنز ہو رہی ہیں اور میں آپ کو کنوان سوانتی ہے کہ یہ صحیح ہے اگر آپ کو واقی میں کنوان سوانتی ہے تو آپ کو کنوان سوانتی ہے تو آپ کو کنوان سوانتی ہے اور ایک اندید کیا ہے تو یہ تو آپ کی ہو گئی کمپریشن و سٹریچنگ ورٹکلی اور ہورزونٹلی آپ آخری بات کر لیتے ہیں اس لیکچر کی وہاں یہ ایک فنشن گراف ہو سکتا ہے اور اس میں ہم بیسکلی کب ہوتا ہے وہ ہم دیفنیشن سمال کرتے ہیں فنشن کی جو ہم نے بہت پہلے دیکھی تھی لیکچر number 5 میں یہ 6 نے میرے خالصے تو یہاں پر ہم دیکھتے ہیں کہ وہ دیفنیشن تھوڑی کمپلکیٹت سی ہے لیکن اسی دیفنیشن کو استمال کرتے ہیں ہم گراف میں کیسے کہہ سکتے ہیں کہ گراف دیا ہے تو فنشن کا ہے یا نہیں تو لیٹسی what we can say about that اچھا تو یہ کیسے ہم معلوم کر سکتے ہیں یعنی ہم نے دیکھا ہے آپ میں نے بھی تھوڑے دے پہلے کہا کہ جو دیفنیشن ہوتی فنشن کی اس میں یہ ہی تھی کہ for each ڈیپنیٹ ویلیو جو آپ ڈالتے ہیں ڈیپنیٹ ویلیو کی اس کی صرف ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ آپ سے میں کہو پوچھوں کہ بھی آپ بتا سکتے ہیں کہ if this is the graph of a function or not the way to determine if it's the graph of a function or not is to basically draw a vertical line through each point on the graph and make sure that that line doesn't cross the graph more than once یہ جو میں نے کہا کہ not more than once ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپنیٹ ڈیپ یہاں پہاں ساف زائر ہو گیا کہ چونکہ یہ ورٹکل لائن دو پوڈنٹس پر کروس کیئے گراف کو اس نے تو اس کا مقصد کہنے کا بیسکل یہ ہے کہ x value ایک ہے آپ جو ورٹکل لائنڈ روہ کرتے ہیں تو یاد ہے کہ وہ x کے ایک value سے کی طرح گزرتی ہے x کے axis پہ جو تھی وہ x value سے کروسپورن کر رہے ہیں آپ کے دو پوڈنٹس on the گراف اور وہ دو پوڈنٹس وہ ہوں گے جاں پہ یہ ورٹکل لائنڈ کروس کر رہے ہیں اس گراف کو یہاں پہاں آپ کو ساف زیادہ چل گیا کہ this is not the گراف of a function تو یہ آج ہم اس پہ ختم کرتے ہیں بات we've had a long lecture with a lot of examples اس کی پرکٹس کی اگین بہت ضرورت ہے یہ بیسک سے آئیڈیز ہیں مقصد کرنے کے یہ سکیلیں اور جو ہم نے ٹرانسلیشنز دیکھیں these are basic concepts they're kind of tricky لیکن پرکٹس سے یہ بڑے آسانی سے کلرفائی ہو جاتے ہیں and you should clarify them because these are very important اگر چلکے ہمیں بہت حلب کریں گے تو again do the homework and make sure you e-mail me e-mail بھیجیے دیکھتے ہیں کیا ہوتا ہے کوئی سوالات کا problems ہوتی ہیں اچھا جی تو آج کا لیکچر پھر اب ختم کرتے ہیں ہم نے دیکھ لیے ہم نے بات چیٹ کی بہت ساری بہت ساری examples دیکھیں I had a long lecture about graphs of functions یا انہوں کیسے گراف کرتے ہیں پھر ہم نے دیکھا کہ how we scale we can sort of stretch them compress them vertically horizontally and we can move them left and right up and down اور ان چیزوں کو استعمال کرتے ہیں بہت ہم نے دیکھا کہ we can get graphs of complicated looking functions from basic ones تو سب سے پہلات ہم نے define بھی کیا تھا کہ کیا گراف کا ہوتا ہے تو ان سب چیزوں کو we should definitely get them very clearly understood اس کے لیے وہی طریقہ ہے کہ do your homework do the practice again and again practice makes perfect تو اس طوک میں خاص طور پہے its a very basic topic کچھ تھا سا ٹرکی ہے but its very crucial آگے چل کے کافی کام آتا ہے تو let's make sure کہ ہمیں اچھی طرح سمجھا جائے ساری چیزیں اب اگر لیکچر میں ہم ہم انشاء اللہ کالکلو سٹارٹ کریں گے یہ لیکچر یہاں ختم کرتے ہیں and we'll meet each other again in the next lecture دب تک لیے اللہ ہفس