 Ok, donc merci pour l'introduction. Donc, premièrement, j'aimerais remercier les organisateurs pour donner moi cette grande opportunité. Et même si je ne suis pas sûr que je suis la meilleure personne pour expliquer ce qu'on va suivre, parce que je vois des gens dans l'audience qui pourraient probablement faire mieux. Je suis très heureux de prendre cette opportunité pour être... et pour remercier pour... pour expliquer ce qu'il y a dans le passé. Donc, ma première exposition pour ce que Kato décrivait bien, c'est comme un effet de gabarit quand vous vous inquiétez une question qui a été en date en octobre 2001, je pense. C'était juste après un salle W. Et il a commencé par... Je pense que c'est possible de prouver le statement qu'il a été demandé. C'est très simple. Alors, à la fois que je ne savais pas vous, mais j'ai souvent compris pourquoi, 20 ans plus tard, nous aurions cette conférence pour honorer votre travail et aussi votre puissance. Donc, mais 20 ans plus tard, je pense que vous n'êtes pas là quand Deline explique sa approche sur les facteurs de l'obséven. Je pense que certains de vous l'aviez, mais pas vous. Donc, même si je vous explique, je pense que le sketch de l'idée d'aujourd'hui je vais essayer de... discuter de plus en plus, plus en plus de détails. Donc, tout ce que j'expliquerai, c'est que c'est pour Deline, donc je ne vais pas attribuer les résultats. Mais c'est... Mais étrangement, sur l'autre hand, il existe une compréhension et j'ai écrit le tout détail. C'est la première étape d'un projet avec Joel Rioux. Et bien sûr, la prochaine étape devrait être plus intéressante, comme, par exemple, la compréhension du cas grand donc ici, tout ce qui va être détaillé aujourd'hui, mais bien sûr, on espère faire... de considérer le cas grand et le cas grand, et peut-être une version relative. Donc, il y a des hopes pour cela, par rapport au travail récent dans le Rengkwan, par exemple, Takeuchi, avec ces idées bloquées. Et aussi, par Quentin Guignard pour le Rengkwan Case, aussi. Pour Chif. Donc, je vais discuter le cas grand. Donc, on commence avec X par K, qui est le cas grand. La caractéristique de K est P. Donc, X est un propre smooth curve qui, je dirais, est connecté. Je vais fixer le Rengkwan Coefficient. Donc, c'est peut-être either torsion ou LADIC. Donc, dans le cas torsion, partie de l'argument ira travailler avec Z mod NZ pour N prime to P. Mais, c'est plus simple d'exprimer les résultats si c'est un Rengkwan local. Mais, comme Z mod LNZ pour L Diffrond from P. Mais en partie, à un point, c'est mieux d'assurer qu'actuellement, c'est un fil. Mais je vais commenter sur ce problème. Donc, sur X, on assume qu'on a pour le état, pour le G, on a un chef de lambda modules de plate constructible chef de lambda modules. Ou plus généralement, un objet avec une dimension finite dans DBC de X. Parce qu'ici aussi, comme Gabriel a dit d'ailleurs, je suis toujours bondé et même frappé en ce cas. Donc, pour ces données, on peut associer un parfait complexe. Donc, la communique de X avec une compétition de F, qui est le parfait complexe de lambda modules. Et pour ce complexe, bien sûr, on peut associer des invariants. Donc, un d'entre eux est un étagère. C'est un caractéristique de Euler. Et comme vous le savez, c'est cet étagère. Donc, vous pouvez prendre la dimension. Comme la description local. Donc, c'est le son d'un étagère, dépendant de l'installation de la curve à ce point. C'est presque toutes les 0. Et plus, il y a un terme global qui n'est presque pas dépendant de F. Et en fait, il n'y a pas ici si le rang virtuel est 0. Donc, c'est le rang de F, qui est généralement dénoncé par R. Donc, c'est le rang générique de la caractéristique de la curve. Et on peut aussi considérer un autre étagère qui semble être un peu un peu trivial. Si vous ne l'achetez pas un peu, vous pouvez aussi considérer le déterminant de cet étagère. Donc, je vais généralement dénoncer par déterminant. C'est-à-dire, epsilon de X F. Donc, c'est ce déterminant. Et la question adressée par Deline est d'avoir une photo similaire pour celui-ci. Donc, nous aimerions exprimer ce déterminant. Donc, c'est le rang de la caractéristique. Oui, donc, par déterminant ici, je veux dire que si j'ai un complexe avec trois modules lambda, c'est juste le produit de transor avec des signes des déterminants individuels. Donc, nous aimerions factoriser ça comme le produit de transor des lignes. Alors, bien sûr, le déterminant de epsilon X pourrait satisfacer des conditions pour ça être intéressant. Nous aimerions le déterminant de epsilon X de la nature locale. Donc, ça veut dire qu'il devrait dépendre de la restriction de la stabilisation du point. Il devrait être trivialisé pour presque tout point X. Donc, c'est bien sûr que nous espérons que le point X est un point où nous avons une singularité plus, c'est-à-dire, que nous allons introduire extra data, donc, pour X, ce n'est pas un point singular. Nous aimerions quelques extra data. Je vais être plus précis en ce moment. Et il devrait être un fonctionnel en F pour l'isomorphisme. Et aussi, il devrait être multiplicatif et, bien sûr, ce que nous espérons, ce que nous espérons, ce n'est pas seulement ceci, mais ce que il devrait donner, donc, ce que il devrait donner, donc, une décomposition de la formulae de la formulae de l'esomorphisme, qui est cette formulae ici. Excuse-moi? Oui, oui, oui, nous verrons cette ligne, comme une grande ligne, mais, oui. Donc, comme je l'ai dit, explique un petit peu, quand vous parlez de l'argument de scale, si vous considérez lambda, qui est un unit dans la ligne de coopération, ensuite vous avez la multiplication par lambda, donc, c'est actif sur F. Donc, ceci devrait induire, c'est-à-dire, sur le déterminant, il va induire la multiplication par lambda à la kai, et nous attendons, donc, sur le epsilon x, pour la variante locale, il devrait être la multiplication par les correspondants integers ici. Je veux dire, pour la même x. Mais, ça devrait être un endroit où c'est un peu différent de l'argument. Oui, oui, je vais parler de différentes formes bientôt. Parce que le déterminant il n'y a pas beaucoup de G. Oui, oui, oui, donc, actuellement, oui. Donc, c'est la picture, ah, j'ai été confusé, je sais. Oui, donc, si le rang générique est 0, le rang virtuel est 0, c'est plus simple, mais en général, il y a un extra attaque qui vient de une forme, que je vais choisir une minute. Et en fait, donc, si, donc, cette forme est classique dans cet état suivant, donc, si x est obtenu par une base change d'une curve sur un fil fin, et similarly pour F0, et si Alamda est QL bar. Donc, l'action de Frobenus, Frobke, action. Donc, si vous considérez, je veux dire, un changement, l'action de Frobenus sur cet état suivant, il devrait donner la formule numérique du produit. Où est le facteur global état suivant ? Il y a un numéro. Donc, c'est un constat appuyant dans l'équation fonctionnelle du état suivant du changement. Et, en fait, les facteurs locales sont défis par Langlons et Deline. Ils dépendent sur la choice d'un caractère du fil et une formule sur x. Donc, ici, nous espérons qu'on devrait prendre je veux dire, ce n'est pas nécessaire, c'est peut-être clair ici. On devrait ajouter un extra data pour définir ces lignes. Donc, donc, ces questions ont été adressées par Deline pendant les années 85-80, je pense, donc, il y a une approche géométrique pour cela, ce que je vais expliquer. Je veux dire, c'est partie de cela. Et, l'advantage du fait que c'est géométrique, c'est que ça va travailler pour un fil K, donc, on ne s'assure pas ici, parce qu'ici aussi, nous travaillons sur un fil fin. Les coefficients peuvent être torsions, mais ce n'est pas si clair pour moi que vous... Ok, peut-être c'est une question technique mais nous pouvons faire ça pour Deline et Deline, mais probablement, je pense qu'il peut faire ça. Oui. Mais, cette approche était successeuse dans le... c'était un succès. Successeuse. Si F est timide. Donc, nous n'avons pas de ramification. D'environ 1985, donc, Gerard Lomond prouve ce formulae, qui je n'ai pas dit, mais en fait, c'est le niveau de la complexe. Mais c'est dans le cas où donc, c'est pour un fil fin fin et pour des coefficients. Et oui, et comme vous le savez, j'ai eu beaucoup de progrès sur ces questions, notamment dans la dimension. Donc, donc, en tant que Grotendie Gokchakayevitch est concerné. Nous savons que c'est un formulae de l'index d'Obson Kashiwara. Donc, dans toute la dimension. Donc, Takeshi Saito prouve que nous avons ce formulae index. Et aussi, j'ai oublié que, entre les choses que nous espérons, bien sûr, quand il y a une factorisation, c'est que il devrait mettre des lits sur l'effet de la torsion sur cette factorisation. Il devrait nous donner une meilleure compréhension de ces facteurs de lits numériques ou d'autres lits. Quand vous tournez par la smooth, donc, non, je ne sais pas, la smooth chief, la smooth chief de Frank c'est par ou donc, il devrait relâcher aux facteurs d'un chef initial et, en fait, en général, c'est l'un des progrès recentes, Miyazaki Young Jawa, à least, au niveau numériques, ils solved dans une dimension, dans d'autres dimensions. Donc, ces facteurs sont les mêmes, en même manière, mais ici, les variantes numériques sont juste les déterminants de Robinus. Donc, bien sûr, ça fait sens si vous travaillez sur un fil de fin, mais en ce cas, ils peuvent aussi travailler avec les coefficients. Donc, ces questions ont été étudies par Bellinson. Pour Delin's 60th birthday, il y a un approche qui est considérée comme complexe d'homotopy point dans un spectrum catholique, et il voulait lever cette égalité pour lever ce cycle de expliquer la ligne dans cet état, mais c'était seulement dans le Betty ou le Ram pour ces problèmes, ce n'est pas complètement clair pour moi pourquoi c'est important d'adopter cette technologie mais peut-être si vous considérez une situation relative où vous pouvez avoir le point où vous pouvez bouger, ça pourrait être relevant. Ok, donc, je vais fixer peut-être pas exactement le résultat de la ligne de travail sur ça, mais on va fixer omega qui sera une forme donc en h0 de x omega 1 de x qui est, bien sûr, non-zero et peut-être c'est bien d'avoir une notation pour le omega j'imagine que c'est différent de l'approche de Lomond où Lomond bouge toute la ligne et marche sur la ligne ici, la ligne n'est pas si belle on voit pourquoi dans une minute donc, on préfère travailler avec un géant plus grand que notre code c'est pour un principe d'art j'expliquerai dans une minute donc ce que j'expliquerai donc dans le seminar il a construit des foncteurs donc il a commencé d'un chef F donc je ne vais pas écrire un flat mais donc le module lambda c'est constructible en x laissez-moi dire parce que j'ai fixé omega qui sera smooth en en neighborhood de T et ils sont en train ok et pour ce on on on on va associer donc on a un foncteur on a un foncteur on le sait c'est juste un déterminant de la comologie et comme on l'a dit ici on va on ne le le déterminant juste comme un module lambda mais on le voit comme un déterminant donc ce sera un déterminant invertible ou un déterminant invertible un déterminant supérieur sur le lambda donc basically donc ici déterminant c'est le objectif ici ce n'est pas seulement déterminant le module lambda mais c'est donné avec un integer qui est un integer donc ici par exemple le déterminant il sera la ligne le déterminant mais placé au dégrad la caractéristique et le supérieur signifie que pour la commutativité donc c'est la compréhension donc pour la commutativité on met les signes par minus 1 à la prime si vous avez l et l prime donc on a ce foncteur et on va constructer epsilon x selon la choice de cette forme omega pour les points x plus plus plus plus trivialisation pour presque toutes les x et pour cette factorisation ok donc donc ici j'ai envie d'expliquer donc pour cela peut-être peut-être on peut faire des constructions qui sont assez élémentaires donc à partir de x qui est encore ma courbe et d'intagère d on peut considérer la compréhension de d donc je ne ne vais pas utiliser cette notation c'est mieux d'avoir une courbe donc c'est juste la compréhension de x et bien sûr si si vous voulez et si si x est la compréhension de x comme vous le savez c'est la compréhension de la compréhension de la compréhension de x qui est juste une variante sous une compréhension de x et nous avons une construction similaire donc quand vous avez un chef et un D donc je ne vais pas utiliser un standard vous seriez tous les constructions ? donc D c'est mais nous on on par dévisage on utilise beaucoup de D et en fait c'est bien sûr c'est utile d'avoir une variante de ça quand vous avez une famille donc vous avez une partition d donc ça va simplement être un producte de la compréhension similaire je veux dire des compréhétériques donc c'est un produit de multi-sets et ici vous avez un map de D et ici c'est le somme, le union ou quelque chose que je vais faire comme ça donc quand vous avez F donc je vais le dire dans le cas flat mais en général vous avez une variante de ça on définit un chef sur ce donc ici nous avons quelque chose qui est de dimension D et de smooth donc ici nous considérons le produit d'externel qui est un chef sur X sur D je considère X sur la map naturelle X sur D sur la compréhension similaire et j'ai une invariance d'externel d'externel d'externel Sorry Vous vous permettez d'assurer ce qu'on a et il n'y a pas de variantes, non ? Non mais en tout cas ici je vais utiliser je vais utiliser je veux dire lambda est essentiellement fL ou QL qui serait le même eh bien on va prendre des variantes vous pouvez either faire une structure classique ou une structure transversale et la priorité vous recevrez différents résultats quel est-ce que vous avez mais ici je prends une classique et c'est qui serait le même transversal ? je ne sais pas j'ai j'ai en fait en fait vous êtes les uns j'ai l'impression que le chef veut le faire mais le chef est flat mais je ne veux pas parce que je ne pense pas que c'est vraiment un point ici donc si vous voulez voir les détails parce que je ne veux pas peut-être Martin pour être le seul codé SGA donc si vous considérez vous regardez SGA 4 7 5 5 7 8 vous expliquerez ce que vous faites dans le cas flat et ce que vous faites si ce n'est pas flat mais je ne veux pas discuter des powers je pense que ce n'est pas vraiment le point je comprends pas que les difficultés viennent de ce point bien sûr si vous prendrez la longue définition il ne va pas fonctionner mais oui donc donc en fait comme vous vous avez prouvé si dans votre article sur le conjecture si même si donc vous devez être attention même si F est smooth ce... ah c'est... je sais ok il ne implique il implique que F D est aussi smooth mais seulement sur l'open sur l'open sur le complément de la diagonale de la diagonale où vous avez une collusion de points et comme vous l'avez vérifié en général en général donc ce sera juste l'extension intermédiaire de cette restriction bien sûr avec le correct shift by D mais c'est ok et c'est important parce que par dévisage on va surement réduire le cas de rank pour la computation plus tard mais c'est ok si le rank est 1 ok et ce... peut-être ce que vous pouvez voir assez simplement parce que les stocks c'est ce problème de la smoothness sur les points parce que si vous considérez le... le... stock de F à cet effectif déviseur de D c'est isomorphique pour le transfert product c'était le seul japonais en fait je suis surpris parce que j'ai aussi brisé mon propre japonais juste en cas en fait j'étais trop chiant pour les utiliser mais j'ai noté que c'était exactement le même avant donc j'ai... j'ai disparu donc c'est un product de cette symétrique on applique la symétrique pour le poncteur à FI sur le stock donc sorry c'est un FI ok donc donc il n'y a pas de smoothness mais c'est pas pas mal donc la hypothèse pour pour obtenir donc il y a des hypothèses techniques qui ne sont pas très... je veux dire on les utilise mais par le dévissage on pourrait faire le cas facilement c'est qu'on assume que en fait on ne veut pas un chiffre avec une section ponctuelle avec support ponctuel donc on assume que F in bed into its first section to the smooth direct image of its first section to the smooth locus so this is smooth and I also assume that the H0 of F and the H2 are 0 but if you can in the ponctuel case and in the constant case then you reduce to this case so under those assumptions the Euler characteristic so here I will use chi a lot but I would like it's better if it's a positive integer so I will just use a shifted one so chi would be the Euler characteristic of so the minus the Euler characteristic so here it is simply the H1 small H1 so the dimension of X this dimension and the determinant we are interested in is then the lambda so a good minus 1 so it's lambda so this is the determinant of this H1 so this is just lambda chi of H1 X F which we can rewrite so essentially this is just the comogie as we just said here the comogie of F shifted so this is a complex in degree 0 so if I use fancy notation this is just of course it coincide in this case with the Doltkan extension to complexes of this non-native ponctuel and here we can use so just to get a very short proof of what we want to to use c'est qu'il y a essentielly la symétrique de formulae so here we have a formula by Quillen and Illusi which tells you that this is just so gamma I don't like ok so so actually I notice that in tech even in unicode you have a small gamma capital small gamma letter so this is divided power of ponctuel also we extended the Doltkan extension of the same complex but here we have a shift by 1 and here we have a shift by kai and here we use Delin's qu'unet formula so by qu'unet formula of Delin this is just the commodity of this symmetric power shifted so here you see that this yeah we know so here this is Delin's qu'unet formula symétrique qu'unet formula formula ok so here so here let me comment this complex is just concentrated in one degree I mean depending if you take into the shift the shift or not but it's in one degree degree in degree kai and the commodity group is of dimension one so it's just this is so the determinant we care about epsilon of x f is really so we can rewrite this as so I just use this notation for determinants of the commodity ok I don't want I don't care about I will not keep track of the signs plus or minus one and here really this is nothing else but the determinant of the h of the hkai so actually we don't even need the determinant because it's already a frank one suppose that you don't work with the x0, x2, x0 in fact if your lambda is not a field then it's a reduction yeah, yeah, yeah so is it the case that canonically this line can be obtained as a determinant of what you wrote in the end ah yes instead of being in the end instead of being a laexanit is a perfect complex you can still take the determinant of what you get in the end like this argama this here yeah but here we use the fact that kai is this computation we use that it's just a h1 ok yeah I don't know actually I mean yeah so here we so we want to localize this determinant so we like to the idea is to to we like the sanctuaries of f to appear somehow so in no more in no more approach is using the stationary phase principle so essentially this is that whenever you consider function f and this is here with compact support over r and if t goes to to infinity this would be small say if f prime is non zero and actually so the contribution of the smooth point will be much smaller so we vanish in comparison to the contribution of singularity like for example if I am right so if f of x is say lambda x square you have such a contribution so what I want to say is that if you want to detect the sanctuaries you have to have some kind of principle which tells you that you can kill I mean the smooth contribution of the smooth points will disappear so here the key observation by by Deline is that you can some more kill the smoothness for this question at least over anabellien variety so the this important fact that if you don't take the determinant of the commodity of some a torso where a is anabellien variety of dimension greater than or equal to one and if you consider something smooth then this is canonically isomorphique to lambda so yeah so this will be this is a way we will start to to see sanctuaries of the chief apia so the proof of this result is the proof goes by actually some some general linear algebra so the fact that this could be I mean due to this scaling argument this is on some and some and also under some variety so I just mean a peak here it will be the peak of X but it will be a peak on the curve yeah but general fact oh ok so this could only be true if your characteristic of for variety zero which is a case for a billion varieties so here essentially you you reduce to reduce to show that the determinant so this this comogy can be computed by considering essentially R which will be a ring of formal power series 2G generators at least if you are in characteristic zero so essentially you consider some kind of group algebra so you reduce to show to the proof of the similar result ie so if you have M R module and which is lambda projective of any type and if M if you have R which is an augmented lambda algebra so in this case such that the immersion corresponding immersion is regular of co-dimension at least C at least 2 so which will be the case here because 2G is greater than or equal to to 2 then we have we have this fact and actually it comes so I will not give the details which are not so difficult so here you can compute this by some causal complex so it will depend on some choices so at least at the level of causal complexes you check you observe again the fact that the error characteristic will be something like 1 minus 1 to the C so which is zero but you have some choice of some generating elements in the ideal defining spec lambda and in the end to see that it is independent of the choice you need to to check some identity which is that the determinant so if you have say phi in GLC the determinant of so the product of the determinant of the lambda i of phi the polar power minus i is 1 and this is why you use that C is greater than or equal to 2 because for 1 it's obviously false you have only one term so so this is what we use to kill the so we want to kill the smoothness so here we will apply we will apply this to the Abel Jacobi morphism so the Abel Jacobi morphism which is classical already in the rank one case I mean I mean and of course subject of all books so this is just the morphism I will denote by some integral so I just map an effective divisor to to this and on the complex side it will be something like sum of the X i will be up to period I see to be sum to be I will send one form to the sum of some integral ok so we have this this morphism which is proper I will comment on whether it is smooth or not I mean in this case it is smooth but it it will be important to understand it even in a little bit even in the case where it is not smooth so we push this identity to this torso so so we want to want to apply so maybe before I push this because to keep notation simpler I will just say what we can how we can use this fact to to rewrite the determinant of some shift which have some problem at only one point so I will keep this notation because otherwise A will be I mean capital A will be some huge thing which is not relevant for a few minutes so this fact implies that you cannot get a description of the global epsilon factor so I will write A even if it's not I mean do be a torso and I will write it not a problem so here I will assume that I have G which is smooth but not everywhere because it's just a case we treated but over just punctured A so A so it's A minus only one point ok so here by some Arthog's principle some sense because G is greater than or equal to 2 so here I have my smooth so here it's A here I have a point A so here I have G which is smooth so this is a shift a constable shift of lambda modules on A but it is smooth everywhere but at A so it will have a smooth extension to the whole A so for this extension I know that the determinant is trivial and I use the exact sequence I mean the triangle and I get that this determinant is up to a sign this is the determinant of the cone of the fibre of G at A to the generic fibre well actually I think there is a minus one but it's not it's not relevant here ok, so I just write the triangle and I get this so for this I mean just a rewriting of so I would like to rewrite this to so there are two ways to rewrite this actually we will use a second one but mostly but it's probably for this question including things I will not discuss but for example yeah for example here we choose a omega so there will be a compression of understanding how the epsilon depends on omega so certainly we cannot restrict completely to the to the case where the base is a dimension 1 so this repoint is maybe relevant here so one way to do to understand this is to say that this will be the stoke at one point of a complex so actually this this is nothing else but so this this GA I mean this map is just a fibre at the point of so this is a fibre at the point eta I will just write eta for generalisation so here this is a point so here naturally we see that we want a space whose points are given by pairs where one is a generalisation of the other so there is a topos here which is just whose points are pairs A, B B being a generalisation of A and it comes equit with two projections to A P1 which is the first point the special point and P2 this is a generalisation of it and also there is a map like this and so this description tells you what we care about is given by some vanishing cycle construction at least for the identity map on this kind of space ok so ok there is a relative version we could rewrite what will follow in this relative version but because it will not be useful today I will not explain it in more details another way to write this is to consider the case so here if you consider so the germ I mean locally around A assume that you have a map T to A1 0 which is smooth so it means defined on a neighbourhood of small A and mapping so A to 0 yeah so here using the fact that the vanishing cycles vanish in the smooth case you see that this cone can also be understood as the fibre of this complex which lies on the fibre over 0 at A so essentially you have those two descriptions here and they are essentially the same ok so this is a general and completely formal what is specific to the situation is that we do have such an almost smoothness result so here is a theorem of the line the statement is a following so for all n strictly greater than chi then the pair the abel jacobi map and this symmetric power is is locally acyclic so I will use this notation for acyclic so I don't want to remind you what it means I mean many of you know but essentially it will mean that those analogous vanishing cycles vanish and it will imply that those direct images by this proper map sorry those sheets are smooth so essentially the situation we discussed or I erased but in the so here we have something of an abelian variety and this is smooth everywhere so here I don't want to recall the definition but this is the local acyclicity which existed even before the instruction in the middle of those complexes it's kind of similar to minors definition but in if you just go so for n equals chi so here something interesting happens at a very specific place so here we have that this morphism so the same conclusion is locally acyclic so over this punctured variety so here we have to remove one point which I will denote by kf and kf is just R, so the rank of the generic rank of the sheath times the class of the canonical divisor omega 1 plus the sum of APP which is of the bruit and if we want to localize a bit more so actually if you stop here you can understand this epsilon factor so the epsilon we care about is some epsilon on some fiber over this point here of the abel jacobi map so we will have a projective space of dimension chi minus g and we will have some biorestruction, some vanishing cycles but it's not yet very local it's lies on projective space and there is a variant of this, actually the proof of this we can do the same thing, so here if we consider this situation so if we consider p chi kf so that's what we did before a10 t and I denote by I will give notation in a minute so here we have the same result but no sorry but it's not the same morphism so I consider the composition of this abel jacobi map to the line so this is the final neighborhood or the internal neighborhood so this is locally acyclic except maybe except at a point here, so here we will isolate in this projective space one point which will depend on f and omega so omega is dt which is the same essentially the same thing but oh ah ah non mais ok, je vais le prendre so here we take rt so t is a divisor of omega plus the same app so here it belongs to this and this is in the fiber over kf sorry, I didn't understand what's written in a prime so it's 2 prime, sorry 2 prime 2 prime is the same statement so here we have the abel jacobi so here we have the abel jacobi map we can consider this morphism so we have some local acyclic the result except over a specific point which we map to 0 here and here we consider the composition the composed map so here I should say that I restrict this locally so oh, it's t-composed sorry yes, so maybe I should not ok, this is just t the composition ah, sorry yes ok so so once you have this result you obtain that up to a sign you obtain that your epsilon factor you can rewrite this as some kind of still quite local see I mean once you made the choice of a generalization of of kf but you can rewrite this as the fiber of this those classical vanichocene cycles so classical in the sense that the base of dimension 1 so this is really this at of the composed map so here we have something so here I mean the fiber of this and here this is completely so here you see that already this is completely localized to determinant because it only depends on f around the singular point so the piece where you have this so here this is minus the difference because you have the same case between the generic and the special rank and around t but around t we assume from the beginning that we are smooth around t so here what's going on is simple although it does contribute but in a simple way so how do we prove this so we do that by some so the first observation so we want to prove I mean we two of them at the same time so we consider this morphism locally at the point so we consider a point here in the nth symmetric power so f is time everywhere from the beginning sorry time here but it will appear in a minute because it's under the proof ok so etal at the divisor sum of n rho x rho so points which are not a priori related to the previous ones so essentially it will be just x given by the product etal locally the same thing product of the symmetric powers because I assume that those points are distinct we have a name for this ok so it's not and here the shift I consider is the external concept product of the of the shifts so I this is very formal so this is one first fact the second fact is that if I consider the situation locally at the point of where we have a singularity here we have a nabellan fundamental group because this is the time the time because the shift is time so it implies that we have filtration of the shift so here I'm working at the level of x so look etal locally so here I skip some I mean I can assume that I have if I want to prove result for QL coefficient or QL bar I reduce to the torsion case in the end to FL but maybe I will need some extension of scalars to have eigenvalues or whatever but ok I skip this so here essentially we have filtration on F such that the graded coefficient is the same as essentially a sum of extension by zero of smooth shifts on the punctured curve I mean so this is smooth on the initialization plus the same thing on rank 1 sorry rank plus the same thing but where I have smooth shifts everywhere so here I have the rank of F minus minus a sorry so essentially I can reduce in this time setting I can reduce my I can consider essentially direct sums of extension by zero and smooth things so here I use the fact that whenever so this is another general fact that whenever we have an exact sequence and I want to compute this shift n I will again have a graduation so and sorry ultimately I can reduce computation to the case where I have I consider shifts coming from both factors so here this is so here this is on x a b so here this is for for a plus b equals n so essentially using this I will reduce by says to computation with shifts which are either smooth so essentially lambda or extension by zero of lambda and in this case essentially I will reduce to some very geometric statement so essentially I know that if I consider something a smooth morphism of something smooth because I want to prove some local elasticity I have this is zero and I need to extend this to some very classical facts that for example you can you can handle a similar situation when so essentially whenever I have a family over a base when I have a smooth divisor and I consider here I have k and I consider some extension by zero of lambda I will have the same kind of result so essentially to prove vanishing of the vanishing corresponding vanishing cycles I am reduced so this is the kind of things you can see in HG7 already and by divisage it's reduced to the essentially the proper smooth base change you are reduced to check some smoothness of some divisors appearing in the can I just finish appearing in the in the stratification of your shift so here you have so you are reduced to geometrical geometry so here you have two cases you have the general case here of the statement I wanted to prove while the base is a PICAR scheme and you have the one over A1 so in this to to handle this case over the big bases essentially you need to understand what are the what are the what is the differential of the Abel Jacobi map and you wonder if this is for this and because the divisor which will appear will be essentially of this form or product of this form so essentially you need to understand this so this is essentially H0 of x o d over x so here at d so here it's essentially the tail of Laurent series and here I am mapping to residues I cannot write it precisely but essentially here if you have if d is AP here you will have things like A2 divided by z etc and here you map this to the map sending the one from omega to the residue of f omega but here you can look at this in a more abstract way and here you can check that this is a commodity map so here it will reduce the smoothness to the question of showing that this image some kind of image is big and ultimately you will just use the fact that whenever you have H0 of x omega1 of minus d it is 0 if the degree of d is strictly bigger than 2g minus d so you do some combinatorics and in this case in the other case what happens whenever you consider such a shift so here we have a situation over a1 so here you have x b and you can analyze this and understand exactly that if b is bigger than a you don't get any problem because the divisor which will appear will always be of dimension strictly positive and there will be smooth over a1 due to our assumption that we can guess a1 ok maybe I'll not explain more but you really compute this and you understand why you have a this problem ok thank you sir Thank you, association So when you came to me this approach there is some technical C'est la compétition que j'ai composée. Il y avait un maf, il y avait un maf, un maf plus petit, un BI, et puis le maf, c'est pas exactement le maf, il n'y a pas de maf, il n'y a pas de maf. Ce que je n'ai pas expliqué ici, c'est qu'ici, nous sommes encore loin, ce n'est pas exactement la compétition, nous sommes juste localisés, donc cela explique pourquoi il ne dépend pas de la compétition de la compétition local. Il ne explique pas pourquoi c'est un producteur local de contribution. Pour cela, nous devons utiliser un théorème de termes de Sébastiani, mais les détails ne sont pas si clairs, en fait, parce que... Vous ne pouvez pas utiliser un théorème de termes de Sébastiani. Donc, pour le producteur local, vous pouvez utiliser un théorème et vous regardez la compétition. Mais... Vous avez un formulaire pour l'entreprise. Je vous dis que quand vous considérez la projection à A1, ce qu'il y a naturellement c'est... il y a un couple de questions qui sont, c'est-à-dire, récheckées, en fait. Donc, quand vous avez X, A, il va à A, A et X, B. Donc, c'est ce que j'ai noté par Eukoma, previously. Et ici, vous avez la summe. Et ici, vous considérez la map à A1. Donc, ici, ce map n'est pas additif. Donc, vous n'avez pas le fait d'imposer avec la summe de A, B, J, K, B. Mais, en fait, infini, T, M, L, vous avez. Donc, vous avez le besoin d'improver un petit peu le statement classique de Thomas Sebastiani, qui n'existent pas classiquement dans un compte. Alors, je pense que c'est supposed d'être vrai, mais ce n'est pas tout. Non? Et aussi... Oui. C'est pourquoi je viens d'adverter ce qui est pourquoi on a des espèces d'improver ce que ce n'était pas le temps. Et aussi, ici, je n'étais pas... Donc, j'ai déjà fait ce problème parce que j'étais attendu les F7X, pour dépendre de l'Omega. Mais ici, par exemple, la construction, ici, j'ai écrit ça, mais en fait, je suis un petit peu chiant parce que j'ai utilisé le T pour définir ça. Donc, j'ai utilisé le T comme ça, le DT, je ne sais pourquoi c'est. Ok, le DT s'appelle Omega. Donc, mais en fait, c'est le T. Mais le conjecteur est qu'en fait, en fait, ce genre de choses ne devraient seulement dépendre du DT. Et en fait, la situation est un petit peu plus compliquée quand on veut comprendre en détail, ce qui n'est pas... en tant qu'on n'a pas réussi, avec des formules classiques, parce qu'ici, c'est... il dépend d'Omega. Mais la contribution, au moins si la rente virtuelle n'est pas 0, la contribution de l'Omega est plus un peu différente que la contribution dans le set numérique classique. Parce que, par exemple, si vous considérez les cycles vanishing d'une famille de X, ça va au Lambda X2. Donc, en fait, c'est quelque chose qu'il y a quand vous intégrer vous avez une forme Lambda ZDZ. Et naturellement, à la pointe de T, donc, T est le support, est le déviseur d'Omega. Donc, on a quelque chose de très simple, parce que le F, essentiellement, est smooth, donc, ce n'est pas un grand problème, mais encore encore, on a cette contribution ici, et quand vous l'entendez, donc, c'est en Franc-I, mais quand vous l'entendez, à la pointe 0, vous allez avoir un monodromie plus ou moins 1 monodromie, ce qui est un nouveau phénomène, je pense. Donc, ce n'est pas clair, en fait, oui. Vous avez les études, mais la lauditie ici, il s'est dit que c'est une question de la lauditie. Vous avez l'explication que vous pouvez contrôler ? Je pense que le DELIN, nous espérons... Par exemple, nous espérons que la contribution globale devrait bientôt, être en train de faire une contribution locale, donc, nous avons... c'est assez classique. Est-ce qu'il n'y a pas du tout comme ça ? Oui, oui, oui, je ne sais pas. Mais nous espérons, au moins localement, mais probablement... Oui, je dirais oui. Mais localement, nous espérons... Cette situation de bébé-k ici, nous espérons les mêmes choses qui se passent, avec, bien sûr, le conducteur Swan, et qu'il n'y ait que la contribution communique, et qu'il ne devrait pas dépendre de la DT, qu'il devrait être de la TEM, mais je... Donc, c'est en fait ce que l'on s'appelle de la ligne, de la TEM, mais... Ok, donc... On va faire ça de nouveau.