 Le 19 août 2010, la chaîne américaine comédie centrale diffuse le prisonnier de Benda, dixième épisode de la sixième saison de Futurama, la deuxième série de mangrading après les Simpsons. L'épisode est exceptionnel puisque, pour la première fois à la télévision, une intrigue est résolue à l'aide d'un théorème avancé, de la théorie des groupes. Il faut dire que le producteur de la série est David X. Cohen, diplômé en informatique théorique à l'université de Californie, et que l'épisode en question a été écrit par Ken Killer, diplômé à Harvard en mathématiques appliquées. Ça tombe bien, j'ai deux minutes pour en parler. Dans cet épisode, le professeur Farnsworth met au point une machine à échanger les corps qui, comme son nom l'indique, permet d'intervertir le corps et l'esprit entre deux personnes. Pour le premier essai, le professeur échange son corps avec celui de son étudiante Emy. Le problème, c'est qu'à cause des défenses immunitaires du cerveau, l'échange ne fonctionne que dans un seul sens. Le professeur et Emy ne peuvent pas faire l'échange contraire. Pour retrouver leur corps d'origine, leur seule solution est d'utiliser un corps de transition, ce sera celui du robot Bender. C'est donc naturellement qu'il accepte d'échanger son corps avec celui de Emy. L'esprit du professeur se retrouve alors dans le corps de Bender, l'esprit de Bender est dans le corps de Emy, et l'esprit de Emy est dans le corps du professeur. Maintenant, si l'on échange les corps de Bender et du professeur, le corps de Bender possédera l'esprit de Emy et le corps du professeur retroie son corps original. Oui, mais les corps de Emy et Bender ont déjà été intervertis, l'échange retour est donc impossible. Mais les échanges ne s'arrêteront pas là, parce que Emy échange son corps de professeur avec celui de Lila, Bender échange son corps de Emy avec celui du saut Robotique, Fry et Zochberg s'échange leur corps, Bender échange son corps de saut avec celui de l'empereur Nikolai de l'Empire Robongrois, et enfin Emy échange son corps de Lila avec celui de Hermès. C'est donc une dizaine de corps et d'esprits qui sont mélangés. Mais comment vont-ils s'en sortir ? J'en sais trop rien, j'ai bien peur qu'on doit avoir recours... aux mathématiques. L'esprit de Bender est dans le corps de Nikolai, l'esprit de Nikolai est dans le corps du robot de nettoyage, l'esprit de ce robot est dans le corps de Emy, l'esprit de Emy est dans le corps de Hermès, l'esprit de Hermès est dans le corps de Lila, et enfin l'esprit de Lila est dans le corps du professeur, la boucler boucler. À côté de cela, il reste Fry et Zochberg qui se sont échangé leur corps indépendamment du reste du groupe. La permutation de ces 11 personnages est donc composée de 2 cycles, un cycle de 7 personnages, appelé 7 cycles, et un cycle de 2 personnages appelés transposition. Ce sont d'ailleurs des transpositions qui ont engendré la permutation finale. La question est donc de savoir quelle est la suite de transpositions à effectuer pour que tout rentre dans l'ordre et le nom minimal de corps de transition à apporter. La réponse est donnée dans la série par Sweet Clyde et Bubble Gum Tate, deux basketteurs de l'équipe des Harlem Globetrotters. Il se trouve en effet que, dans le futur, cette équipe de basket n'est composée que de scientifiques. Il démontre donc dans l'épisode que 2 corps de substitution suffisent toujours quelle que soit la façon dont les autres membres auront été mélangés et qu'il faudra à peu près autant d'échanges que de personnages présents. C'est ce théorème que l'on appelle aujourd'hui Théorème de Futurama que l'on doit à Ken Killer, le scénariste de l'épisode. Proceedons dans le cas où la permutation n'est qu'un simple cycle. Pour simplifier, supposons qu'il contient 5 personnes, où l'esprit de 1 est dans le corps de 2, l'esprit de 2 est dans le corps de 3, etc. Et ajoutons 2 nouveaux corps X et Y qui n'ont jamais permuté avec l'une de ces 5 personnes. Dans un premier temps, on va permuter le corps additionnel Y avec le corps 1 et le corps X avec le corps 2. Dans un deuxième temps, on va remonter le corps Y jusqu'à l'esprit de X. Pour cela, on échange les corps Y et 5, puis Y et 4, puis Y et 3, puis Y et 2. Il n'y a plus qu'à échanger les corps de X et de 1 pour que les 5 premiers esprits aient retrouvé leur corps original. À ce point, les corps de X et Y sont échangés. Il suffirait d'une dernière transposition pour que tout rentre dans l'or. Dans le cas général, une permutation est composée de plusieurs cycles. Il suffit d'appliquer 7 suites de transposition sur chacun des cycles et le tour est joué. On peut maintenant appliquer le théorème à la permutation des personnages de futur à bas en ajoutant les nouveaux corps de Sweet Clyde et de Bubble Gum Tate. Cette permutation est composée de 2 cycles. Le 2 cycles Fry, Zodberg et le 7 cycles. Commençons donc par remettre dans l'ordre le cycle Fry, Zogberg. On commence par échanger Tate et Fry, puis Clyde et Zogberg, puis Tate et Zogberg et enfin Clyde et Fry. Fry et Zogberg ont retrouvé leur corps tandis que Clyde et Tate l'ont échangé. Il n'y a plus qu'à s'occuper des 7 autres personnages. On commence par échanger Tate et le professeur, puis on échange Clyde et Bender. Ensuite, on va faire remonter le corps de Tate jusqu'à celui de Bender. Pour cela, on échange Tate et Lila, puis Tate et RMS, puis Tate et MI et ainsi de suite jusqu'à l'échange entre Tate et Bender. Et enfin, on échange Clyde et le professeur. Chacun a retrouvé son corps, en seulement 11 échange. Le théorème donne donc la marche à suivre pour que chaque esprit retrouve son corps. Bien que la solution ne soit pas forcément optimale, puisque ce problème aurait pu être résolu en seulement cette opération. Cependant, le théorème s'adapte à n'importe quel problème similaire et pourrait un jour vous servir si vous échangez par méga votre corps avec celui d'un ami. Et après ça, il y en a qui trouvent le moyen de dire que les maths ça ne sert à rien dans la vie de tous les jours.