 اسلام علیکم. لیکچر number 23 کے ساتھ میں حاضر ہوں پھر ایک بر پھر کالکلس کی جو سماری کورس چل رہا ہے اس کے لیے ابھی تک ہم کافی آگے پہنچ چکیں کالکلس میں اور پشتر لیکچرز میں ہم نے کافی دیپ باتے کی کافی کالکلس کو بہت صور دا طریقی سے دوالب بھی کیا ہے اس میں بہت ہی بات ہے کہ کالکلس سبھی ہم کر رہے ہیں اس کے بعد آگے چلکے جب آپ اور کورسز کریں گے تو آپ اور کسم کی مثامتکز دیکھیں گے لیکن کالکلس کی ایک اپنی ایک بڑی زبزہ سیمپورٹنس ہے جو دنائی نہیں کی جا سکتی اس میں بہت ہی مثامتکز دیکھیں گے لیکن اس کو اپنی آپ کورسز پڑھائیں گے اور انڈسٹینٹ کر رہے ہیں اور پوئنٹ ہے کہ کانٹسیپس چاہئے وہ بلکل کلیر ہونے چاہئے ہیں تو اگن پھر وہی بات کے پریکٹس کیجی اور ہومور کو غراب لو کر رہیں اور جو نہیں کر رہے وہ کرتے رہے ہیں کہ کریں شروع کر دیں اس میں آپ کو فائدہ رہے گا آگے چلکے کانٹسیپس فردر دیویلہ پہنگے اب جو کالکلس ہے اس کی کچھ مردار چیزیں ہم پہلے بھی دیکھ چکیں آج بھی ہم دیکھیں گے کچھ بڑے مزے کے تھیورمز ہیں ان میں دیکھیں گے کہ جی کچھ ایسی باتیں ہیں جو غور کیا جائے تو اس میں ہم دیکھیں گے بڑی اپلائید ہیں یعنی ریل لائف میں بڑی اپلائی ہوتی ہیں ہمیشہ اس کے بارے میں غور کریں تو ہم دیکھیں گے واقی یہ تو ایک ایسی چی بڑی اپلائی ہوتی ہے تو اس نہیں بڑی اپلائی ہے تو ہمیشہ اس کے بارے میں چیزیں دیکھیں گے کچھ ان کو آپ دیکھ رہا ہوں گے اور نوٹ کر رہا ہوں گے کہ Yes they are indeed applicable to real life اور اب بھی ہم دیکھیں گے تو بہت سی چیزیں جو اپلکلہ ہونگی آگے چلکے اب لیکن ہم کچھ کریں گے ایسی ایک سامپلس جو ہم ریل لائف اور اپلائید مات کیلی جے تو آئیے start کر دیں پھر لیکچر اچھا جی تو اس میں آج کے لیکچر میں ہم کیا بات چیٹ کریں گے اس کو تھوڑا سا سمرائس کر لیتے ہیں دیکھ لیتے ہیں کہ آج کیا کیا باتیں ہوں گی تو آئیی دیکھتے ہیں آج کا topic ہے بیسکلی maximum and minimum values of functions اس میں absolute extreme ہم دیکھیں گے finding absolute extreme for a continuous function summary of extreme behaviors of functions over the whole real number line an interval minus infinity to plus infinity اس کے لہاں ہم کچھ applied maximum and minimum problems دیکھیں گے ان کو کیسے اپلائے کے جاتا ہے real life میں اس کے لہاں پھر ہم دیکھیں گے problems involving finite close intervals thross abstract ہے یہ topic لیکن جس ہم دیکھیں گے اس کو تو we'll see what I'm talking about and in the end we'll talk about problems involving intervals that are non that involve non finite and closed intervals بیسکلی تو جی یہ بیسکلی ہے آج کے topics اور اس میں آپ نے نوٹ کیا گا کہ پہلہ جشروع کا topic ہے اور جو بلکہ course کا title یعنی جو ہے لیکچر کا title ہے sorry وہ extreme کے بارے میں ہے absolute extreme یہ ہم پہلے بھی کر چکیں ہم نے پہلے پہلے ایک لیکچر میں ہم نے relative extreme کی بات کی تھی relative maximum value relative minimum value of a given function او پرٹکلوری continuous functions کی بات کی تھی ہم نے جو زادہ انٹرسٹنگ تھے اور جو ہم نے دیکھتے تھے ضررہ detail میں اور یہاں پہلے بھی ہم وہی دیکھیں گے تو یہاں پہ اب absolute کی کیا مطلب ہے absolute سے مرادی ہوئی کہ ہم پہلے جسے اگر آپ کو یہاں دوکہ course lecture میں نے کہا تھا کہ if you talk about مرگلہ ہلز کی example شد میں دیتی کہ آپ کے پاس ایک ہے کوئی پہار کا جو ایک outline ہوتی it's a continuous function in a sense تو آپ دیکھیں کہ پھر ہم ہم ہمائے پاس مرگلہ ہلز ہیں and we want to find out which is the maximum hill in that chain of hills یعنی جو ہاں سب سے امچی چھوٹی کنسی اے تو اس میں وہ پچھلی دفعہ ہم نہیں دیکھتا کہ ہم کو ایک specify کرتے تھے کہ ایک neighborhood ہے اور اس neighborhood میں آپ بتائیں کہ جی کنسی چھوٹی جی اور سب سے امچی اے مثال کے طور پر میں کہا سکتا تھا کہ جی آپ کا جو f6 سیکٹر ہے سلام آت کا اس میں جو مرگلہ ہلز کا حصہ بنتا ہے وہ ایک interval بن جاتا ہے اس میں سب سے امچی چھوٹی کنسی ہے سب سے which is the highest hill in the chain of مرگلہ ہلز in the sector f6 تو f6 کا جو سیکٹر ایک طرح کا interval بن گیا تھا پھر اس میں جو ہم نے بات کی تھی کہ چونکہ آپ ایک پرٹکلر سب سیکشن دیکھ رہے ہیں اس کا چنک دیکھ رہے ہیں تو we talked about those maximum heights of the hills in a particular neighborhood کی بات کی تھی تو وہ پھر ایک relative maximum بن جاتا ہے اسی طرح سے ہم نے relative minimum بھی دیفائن کیا تھا کہ جی اس سے پرٹکلر neighborhood میں اگر آپ بات کریں تو اس میں ایک valley ہوگی جو سب سے نیچی ہوگی that would be a relative minimum. آج کے لیکچر میں ہم بیسکلی بات کریں گے absolute maximum کی جو شروع میں ہم بات کرتے ہیں تو آئیس کو start کرتے ہیں کہ what these things are absolute maximum کی بیسکلی intuitive definition یہی ہے کہ جی مرگلہلس کی بات ہو رہی ہے یہ پوری جو ان کی چین ہے جو پوری مرگلہلس ہیں شروع سے لیکن آخر تک اب یہ بہت انٹرسٹنگ سوال ہے یہ کہاں شروع ہوتی ہیں کہاں ختم ہوتی ہیں میں ساری سندگی اسلام عاد میں میں نے گزار یہ آج تک فگر out نہیں کر سکا کہ جی مرگلہلس کہاں ختم ہوتی ہیں کہاں شروع ہوتی ہیں بس ہیں تو خیر اگر آپ نے فگر out کر لی ہے تو یہ ایک سوال ہو جی پوری جو چین ہے آپ کو پتا ہے کہ یہ کھاں سے شروع کر کھاں ختم ہو رہی ہے اور اس کو ہم کیا سکتے ہیں ایک طرح کا یہ جو ایک ان کی اوٹلائن بنتی ہے ایسے پہاڑیوں کی یہ کنٹنیوز فنکشن کے طور پر ہم اس کو لے سکتے ہیں تو ہم پوچھیں گے جی کہ اس پوری اس فنکشن کو اگر دیکھا جائے ایک طرح سے یعنی ایک چین دیکھی جائے مرگلہلس کی تو اس میں سب سے اونچی چھوٹی کون جو ہے ک Спасибо جو آپ کو پہاڑا کریں گے جو آپ نےreaming کی جو آپ کیottلائن کو ایک کنتنیوز فنکشن لے لے ہیں کیونکہ زیادہ کوئی ہے بریک اس میں رفلی سکتے ہیں جو آپ یہ چوٹی ہوگی than be the maximum height of the function مرگلہ ہلس یہ بیسکلی کانسپٹ ہے اس کو اب ہم تھوڑا فرملائیس بھی کر لیتے ہیں کچھ دیفنیشنز ہے جو دیکھنے چاہیے ہمیں تو یہ دیفنیشنز دیکھتے ہیں دیفنیشن جناب ہے کہ دیفنیشن سب سے پہلی جو ہے وہ ہے اگر اف of x not is greater than or equal to f of x for all x in the domain of f then f of x not is called the absolute maximum value or simply the maximum value of f جناب یہ ایک پہلی دیفنیشن ہوگی ایک پہلی دیفنیشن ہوگی absolute maximum کی یہ فرمل دیفنیشن ہے کہ اگر آپ ایک ایسا point exist کرتا ہے functions کی بات ہو رہیے تو ابیسلی ایک x axis ہے ایک y axis ہے ان کا گراف آپ بناتے ہیں functions کا یہ function کی equation بھی ہو سکتے ہے دیو تو اگر کوئی ایسا point ہے x not جس کو اگر آپ evaluate کریں جس کے اوپر اپنے function کو تو اگر اس point پہ function کی value آئیے وہ باکی سارے axis کے لیے جب evaluate کریں گے اس function کو اور بہت ساری y value زائنگی f of x value زائنگی corresponding تو x not کی جو corresponding y value ہے یعنی f of x not اگر وہ سب سے بڑی ہے یا برابر ہے باکی سب کے تو we call we define it to be the absolute maximum for that function اور یہاں پہ بات ہم نے definition میں گی تھی کہ جب definition دیکھئی تو ہم نے کہا تھا کہ x not جو ہے وہ پوری domain میں ہے یعنی اب پشلی دفعہ جب ہم نے relative maximum کی ہم کی بات کی تھی تو اس میں ہم نے کہا تھا کہ جی ایک neighborhood ہوگا ایک interval ہوگا جس میں point x not ہوگا اور پھر depending on what interval that we are talking about پھر ہم نے کہا تھا کہ اس کے اندر جی ایک maximum value ہوگی اور وہ ہم نے relative maximum کہا تھا because ہو سکتا ہے کسی اور interval میں ایک اور بھی صدا ہمچی value لیکن بات چونکہ interval کی ہو رہی تھی تو ہم اس کو relative maximum کہتے تھے depending on the interval یہاں پر فرقی ہے absolute میں کہ اب ہم بات کر رہے ہیں پوری domain کی یعنی function کی جو پوری domain ہے اس میں ہم کہہ رہے ہیں کہ کوئی ایک ایسا point ہونی ہے x not جس کے corresponding جو y value ہے وہ سب سے زادہ ہے سب سے بڑی ہے یا اگر گرافکلی سوچیں ایک طرح سے وہ مرگرہ حلوالی اگزامپل لیکے تو you are looking at the highest point on the graph of the function f of x تو یہ آپ کا جناب absolute maximum ہوگیا اسی طرح سے آپ absolute minimum بھی ڈفائن کر سکتے ہیں اس کی کیا definition ہوتی ہے ملتی جلٹی ہے دیکھ لیتے ہیں اس کی جناب definition ہے if f of x not is less than equal to f of x for all x in the domain of f then f of x not is called the absolute minimum value or simply the minimum value of f تو یہ جناب آپ کا absolute minimum ہوگیا ایک minimum value کہ لیجے وہی بات ہے سیمرلی یعنی ایک طرح کی سیمٹرک سی ہے جس طرح maximum تھی جو آپ کہہ سکتے ہیں ایک دیپسٹ ویلیو تھی فنکشن کی گراف پہ اب یہ جو absolute minimum ہوگا یہ پوری دومین میں ایک ایسا point ہوگا جسی corresponding y value جو ہے وہ سب سے کم ہوگی تو ایک طرح کی دیپسٹ ویلی کی بات ہو رہی ہے کہ سب سے گہری جو وادی ہے ایک پہاڑوں کی چین میں وہ کون سی ہے تو that's the point پہلے جو ہم نے دیکھا تھا relative minimum پیشر لیکچر میں وہ ایک انٹرول پہ تھا جس طرح سے relative maximum کی بات کی تھی فرق یہ یہاں پہ کہ absolute minimum جو ہے وہ پوری دومین پہ ڈیفائنڈ ہوتا ہے اور یہ definition simple straight forward scene تو آگے چلتے ہیں پر ایک طرح سمجھنے کی لیے کہہ سکتے ہیں کہ اگر ہم جیسے کہاں کہ جی ارت کا جو surface ہے اس کو ہم کہاں کہ جی ایک function ہے ہمارے پاس یعنی پورا آپ کے پاس ہے round it ارت ظاہرہ گولسی ہوتی ہے تو اگر ہم اس کی بات کر رہا ہے ہم کہتے ہیں کہ somehow we define this to be a continuous function of sword یہاں اگر آپ ارت کے اوپر پینسل سے لائن ڈراؤ کرنا شروع کریں تو ایک طرح سے continue سے آپ کر سکتے ہیں ہم ignore کر دیں گے کہ جی آپ اگر سمندر آگے تو کیا کریں گے کوئی بات نہیں ہم سمندر کے through lake لائن بنا دیں گے کوئی مسئلہ نہیں تو جب ایسے آپ کریں گے you get a continuous function تو یہاں پہ continuous function کیا بھی تو ہم نے بات نہیں کیا ہم کریں گے but for example میں ایسی ابھی سے develop کر رہا ہوں idea کہ a basic focus ہمارا ہوگا continuous functions پر یہاں پہ بھی ایک یہ جو ہم out line بنایں گے surface کی وہ continuous function ہوگا اور اس میں maximum کیا ہوگی اس کی value maximum value ہوگی what is the highest point on the surface of the earth ہم سو پتا ہے ہمارے نیبروٹ میں یہ mount avarist تو mount avarist جو ہوگا وہ اس function کا maximum ہوگا absolute maximum ہوگا کیونکہ mount avarist جو ہے from the surface of the earth ہم surface پر بنا رہے relative to the surface تو mount avarist is the highest point اور سمیلرلی اگر ہم absolute minimum کی بات کرتے ہیں جی اس function کا absolute minimum کیا ہے تو یہ اچھا سوال ہے پتنی کتنے لوگوں کو یہ معلوم ہے کہ specific ocean میں ایک جگہ ہے ہوایی کی island کے پاس وہاں پے ایک سب سک گہرہ جو point ہے دنیا میں سمندر میں I think اس کو saint mariana trench کہتے ہیں mariana trench something like that آپ لوگ پالوں کر لیے جائے کیا ہے وہ ہے جناب 36000 feet deep یا نے اتنا ہی دیب ہے جتنا آپ جہاز میں اونچا اڑتے ہیں تو that's your minimum of that function that you were tracing جا آپ نے trace کی ارت کے surface میں تو یہ ایک اجامبل ہے بیسکل کی جی اس طرح سے آپ maximum and minimum values absolute maximum minimum values معلوم کر سکتے ہیں اچھا جی اب ایک mathematical example کر لیتے ہیں یہ تو ہم نے تھوڑی intuitive سی بات ایک ہی اس میں کرتے ہیں کہ ایک function دیکھتے ہیں اور اس کے بارے میں دیکھتے ہیں کہ اس کی maximum values ہیں اور minimum values اگر معلوم کرتے ہیں اب یہ وہی بات ہے کہ اب یہاں پر میں نے go کے define تو کیا تھے absolute maximum اور absolute minimum دومائن پے پوری function کی دومائن پہ جو maximum ہوتا ہے وہ absolute maximum کلاتا ہے جو پوری دومائن پہ function کی minimum ہوتی ہے سب سے زادہ وہ absolute minimum کلاتی ہے لیکن یہی definition تھوڑی سی modify کر کے ہم interval پے بھی لگا سکتے ہیں اور we get back the same idea of relative maximum and relative minimum تو وہ بھی تھوڑی سی اجامبل کر لیتے ہیں تو ہی اجامبل دیکھتے ہیں کہ ایک function ہے ہمارے پاس f of x equals 2 x plus 1 اور اس میں یہ ہے اس کی picture دیوی یہاں پہ گراف ہے we have a graph of this function and the graph is defined on the interval 0,3 تو یعنی بیسکل آپ کا جو گراف ہے یہ اس میں 0,3 کے انٹرول پہ دیفائنڈ ہے تو ایک طرح کی دومائن اس کی ہم نے restrict کیوئی انٹرول پے but we are treating that interval as the entire domain of this function ہم کر سکتے ہیں we don't have to look at the natural domain all the time and call it the domain of that function تو یہاں پہ یہ 0 انکلوڈیڈ ہے لیکن 3 جو ہے it's not part of the domain تو اب سوال دیکھتے ہیں کہ سوال کی ہے سوال جناب یہ ہے کہ minimum اور maximum value اس کیا ہے تو سیمپل سی بات ہے گراف اگر آپ دیکھیں تو اس میں نوٹ کیجئے کہ جو minimum value اس گراف میں اس گراف کو دیکھتے ہوئے اس function کی وہ ایکر کرتی ہے at x equals 0 اور اس کی value 1 ہے سیمپلی by looking at the graph you can say that پریڈی سٹریٹ فورڈ انٹرسٹنگ سوال یہ کہ maximum value کیا ہے اس function کی on this particular given interval یہ بھی ایک سوال ہے کہ کیا maximum value exist کرتی ہے کہ نہیں کرتی ہے that's an interesting question تو گراف کو اوہر سے دیکھیں پھر سوال اس میں دیکھیں کہ گراف میں جو یہاں پہاں ایک open circle ہے at the point where x equals 3 ایسا کیوں ہے ایسا اس لی ہے کہ function کا جو interval جس پر ڈیفائن تھا اس function کی اس میں 3 انکلوڈڈ نہیں ہے زہرہ 3 انکلوڈڈ نہیں ہے تو function کے اندر انپرٹ کے طور پہنی جا سکتا لیکن مطلب وہی بات ہے کہ آپ کو ایسا نمبر 3 کے بہت قریب سے لے سکتے ہیں لیکن exactly 3 آپ نہیں لے سکتے ہیں as input for this function زہرہ جب انپرٹ نہیں ہوگی تو اس کی output بھی نہیں ہوگی اس لئے گراف میں ایک open hole بناو ہے representing the idea کہ x equals 3 کے corresponding کوئی value نہیں ہے y کی f of x کی کیونکہ the domainی نہیں ہے x equals 3 تو اب وہی سوال ہے کہ کیا اس میں کوئی maximum value ہے کہ نہیں ہے تو interesting question جواب یہ کہ جناب اس function کی maximum value کوئی نہیں ہے اس انٹرول پر گراف سے بھی ظاہر ہوگیا اور اس کی تھوڑی سوچنے کی بات ہے کہ کیوں نہیں ہے اس لیے نہیں ہے کہ اگر آپ کوئی point لیتے ہیں 3 سے تھوڑا پہلے اور آپ کہتے ہیں کہ جی میں کہوں گا کہ یہ جون x کی value لیے اس کے اوپر maximum کر کرے گا y equals m may be the maximum of this function at the point x equals something less than 3 لیکن مجھے گی بات یہ کہ یہاں پر تھوڑا سا limits کا idea ہے کہ اگر آپ نے مجھے ایک x value دیتے تھیں 3 سے تھوڑے پہلے and corresponding to that you have a y value m which you are claiming it to be the maximum of the function میں آپ کو کہوں گا نہیں جی یہلی جی x کے بعد جو آپ نے مجھے value دیتی 3 سے پہلے والی اس سے تھوڑی سے آگے میں آپ کو ایک x کی value دیتا ہوں اور اس کو اس value سے correspond کرتی ایک y value جو obviously بڑی ہوگی m سے جو آپ نے دیتیے مجھے کیونکہ it depends on the quality qualities of the function function ایسا ہے کہ آپ straight line ہے بیسکل جو بھی جیسے بھی آپ تھوڑا سا right کو موف کریں گے آپ y کی دلکشن میں تھوڑا سا اوپر کی طرف موف کریں گے تو point یہ کہ limiting process ہے آپ 3 کے جیسے سے قریب ہوتے جائیں گے آپ کے پاس repeatedly bigger and bigger values آتی رہنگی لیکن none of them will qualify as a maximum because as soon as you claim that one of them is a maximum I can give you a bigger one which is a little bit more closer to 3 but it's not equal to 3 تو یہ بڑے مجھے کی بات ہے کہ open intervals بھی کیا ہوتا ہے اور یہ اس example سے تھوڑا سا ظاہر ہوئا کہ خاص طور پر اس function میں کہ it doesn't have a maximum value تیک جی آگے چلتے اچھا اب کچھ interesting questions ہے ہمارے پاس کچھ میں maximum values کی extreme کی جو بات ہو رہی extreme again وہی بات ہے کہ extreme values پلورال کے دور پر ہم اس کو extreme کہتے ہیں کچھ interesting سوال ہیں جو یہاں پر کر کرتے ہیں functions کے حوالے سے تو آئی ان کو دیکھ لیتے ہیں یہ سوالات ہیں جی کہ given a function f of x does f of x have a maximum or a minimum value if f of x has a maximum or a minimum value what is it basically what that value is تیسا سوال ہے کہ if f of x has a maximum or a minimum where does it occur تو یہ کچھ تین سوال ہے basically جو interest کے ہیں applied problems میں and purely theoretical mathematics میں we interest کے ہوتے تو ان کو ہمیں دیکھنے تو ان کا جواب کے لیے ایک بہتی crucial اور ایک بہتی زبادہ سوال ہے جو ہم ابھی دیکھ لیتے ہیں it's called the extreme value theorem اور یہ بیسکل ایک خاص قسم کے function یعنی خاص سے مراد یہ کہ ہم میں شروع سے بھی continuous functions کی بات کی تھی continuous functions کے بارا میں آپ کو بہت ایک بہت سار information دیتا ہے یہ تھیورم جو اور یہ جو تین سوال میں ہم نے ابھی دیکھے تھے post کیے تھے ان کے جوابات مل جاتے ہیں تو آئی اس کو دیکھتے ہیں پھر اس کے بارے میں بات کریں گے کہ یہ تھیورم ہے کیا تھیورم ہے extreme value theorem تھیورم جناب ہے کہ if you have a function f which is continuous on a closed interval ab closed interval یعنی a اور b جو ہم انٹرول کا حصہ ہیں then f has both a maximum value and a minimum value on the interval ab تو یہ جناب لگتا تو بڑا straight forward some asooms تھیورم ہے لیکن it's a very powerful تھیورم ابھی ہم اس کو دیکھیں گے just develop ہو گئے سارہ لیکچر کیسے apply ہوتے یعنی اس کو سمجھنے کیلئے اس طرح سوچ لیجیے کہ continuous function یہ سب سے بڑے requirement ہے اور interval should be closed تو اگر ایسا situations ہے آپ کے پاس کہ interval بھی آپ کے پاس اور ایک function a continuous on that interval close interval تو آپ کو guaranteed ہے کہ اس function کو کی ایک maximum value بھی ہوگی ایک minimum value بھی تو یعنی مثال کے طور پہ میں یہ ایک example دیتا ہوں کہ اسلام آباس سے میں لحور گیا لحور سے اسلام آباد آیا یہ اولٹ کر لیجی جیسے بھی تو اس میں یہ کہ ایک function involved ہے position function یا distance function کہا لیجی بلکے کہ جہاں سے جب میں سلام آباس سے جلتا ہوں تو ایک distance travel کر کے یہاں پہاں پوچتا ہوں لحور کہ یہاں سے بھی لحور سے میں اسلام آباد آگا گیا تو ایک close interval سے میں کی اوپر میں travel کروں گا وہ کیا ہوگا وہ ہوگا time کا time would be the independent variable اور time کے حوالے سے پھر ہم مجر کریں گے کتنا distance travel کیا ہے میں نے ٹھیکی جیز ظاہر سمپل سی بات ہے کہ ایک گھنٹے بعد میں نے کتنا distance travel کر لیا on the motorway motorway کی بات ہو رہی تو motorway جو آپ کا ایک طرح انٹرول ہے اس پر time گزار رہا ہے and period that passes by you have a corresponding distance value that comes out اور time چونکہ continuous ہوتا ہے یہاں پہاں ہم اس کو کہہ رہا ہے ایک طرح continuous function ہے یعنی آپ time کو جتنا چھوٹا بریکرنا چاہاں آپ کر سکتے ہیں انٹوریوٹف سی بات ہے تو اس میں یہ function جو ہم نے دیکھا theorem جو دیکھا extreme value theorem وہ guarantee کرتا ہے کہ اگر میں سمجھے میں ڈائوو سے جا رہوں اسلام آباد travel pindy ڈائوو تو جہاں ڈائوو کا وہ میرا starting point ہوگا اور سلام آباد pindy ڈائوالہ وہ end point ہوگا تو یہ دونوں points انٹرول کے end point سے these are included کیونکہ انٹرول سپے جب میں لہور والے ڈائوو کے station پے ہوں گا تو my distance travel would be zero ٹیکہ time be zero ہے میں نے start نہیں کیا time watch اپنی لیکن جیسے ہی بس چلے گی تو ہر ڈائوال کے گزرنے سے time کے بعد corresponding to that will be a certain distance I have traveled from the ڈائوو to ڈائو کے ستیشن لہور تو اور اس کے بعد pneumatic Egyptian جب میں اسلام بہت میں my distance function had a maximum value and a minimum value یہ بڑا تھوڑا سا لگتا ہے کہ یہاں بڑی اچھی بات ہے of course it's a very good thing لیکن مزیز سوچیں تو ظاہری بات ہے maximum and minimum value تو ہے minimum value کی ہے دیبوک اٹدے پر جب میں بیٹھاؤن لہور میں that's my minimum value it's 0 I have to have no basically distance at all جب میں وہاں پہ جاتا ہوں لہور I'm sorry اور مینیمم کی اس کے فنکشن کی f of x equals 2x plus 1 اس کا ہم نے گراف دیکھا تھا اور پھر ہم نے کچھ اس کے وارہاں باتے کی تھی اس کو دا پھر سے دیکھتے ہیں اس کا گراف دیکھیں کہ وہی بات ہے کہ اس میں جب گراف آیا تھا اس فنکشن کا f of x equals 2x plus 1 کا اس میں ہم نے کہا تھا کہ جی اس کی ایک مینیمم تو ہے دومین ہم نے اس کی دفائن کی تھی as the interval 0 included all the way to 3 but 3 not included that was not part of the domain تو اس میں یہ تھا کہ جی اس میں یہ پوچنا تھا ہم نے دیکھا تھا کہ یہ ہے لیکن میکسرم نہیں ہے اس فنکشن کا تو یہ تھیورم وہ تو ہم نے تھوڑا سار بات کی تھی کہ کیوں نہیں ہے اور سنس بنتا تھا اب اس تھیورم کو جو ہم نے دیکھا اس کے حال ایسے ظاہر سی بات ہے کہ نہیں ہوگا کیونکہ یہ فنکشن جو تھا ہمارے پاس یہ continuous تھا اس انٹرول پے 0 included and all the way to 3 with 3 not included لیکن ایک پرولم یہ تھی کہ جو انٹرول تھا وہ close نہیں تھا یعنی 3 انٹرول تھا وہ نا حصہ اس کے انٹرول کا حصہ نا ہونے کی وجہ سے انٹرول ہمارا close نہیں تھا ہم ایک ایسا انٹرول چاہی ہوتا ہے ایک extreme value تھیورم کے لیے جو دونوں سائروں سے close ڈو دونوں end points included ہوں 3 چھونکا included نہیں تھا تو ظاہر سی بات ہے کہ ہماری اس کی کوئی maximum value نہیں ہو سکتی تھی یہ ایک اور طریقہ جہاں پر ہم نے extreme value تھیورم کو اپلائے کی ہے تو اب آپ دیکھیں کہ اس کا this is a very beautiful theorem in a sense so if you truly appreciate کریں اس کا تھیورم کا بزیتار بات یہ کہ اس کا prove ہے وہ بہت دیفکل تھا یعنی اگر آپ تھیورم دیکھیں تو بہت سیمپلس ہے اور فلسافکلی تھوڑا سا آپ غور کریں تو ہم نے ابھی ایک ڈیمپل دیکھیں کہ ہاں اس کی کچھ ڈیمپلکیشنز ہیں لیکن اس کا prove ہے وہ کافی involved ہے اور very difficult ڈیمپلٹ ڈیلی یہ ماننے بات ہے خیر اس کو ہم نہیں دیکھیں گے اسی لیے نہیں دیکھ رہے ہیں کیونکہ اس کے لیے ہمیں کچھ ایسی چیزیں چاہی ہوں گی جو اس کی سکوپ سے باہر ہیں تو ہم اس کے لیے بہت ہوں گا لیکن ہم سیمپل دیکھتے ہیں سی کی یہ جناب ایک فیگر آپ کے سامنے ہے یہاں پہ اس میں دیکھئے کہ ڈیمپلٹ ڈیمپلٹ ہے وہ ہے اس فنکشن ایک ڈیمپلٹ ڈیمپلٹ ہے 1 سے لیکن 9 تک اور دونوں ڈیمپلٹ ڈیمپلٹ ڈیمپلٹ ہیں تو یہ ڈیمپلٹ ڈیمپلٹ ہے لیکن اس میں دیکھیں کہ ڈیمپلٹ ڈیمپلٹ جی تو بات یہیک ہے ایک اپنڈرول پر کوئی فنکشن ہے ڈیمپلٹ اس کی اگر کوئی میکسیم یا منیمام value ہے تو it has to occur at a critical point اب یہاں پر بباہت ہے کہ critical point آپ کو یہاں دے کیا تھا کیا ڈیمپلٹ کی کہتا ہے what is the critical point of a function ایکا ریکال کر لیتے ہیں بھی بتا دیتا ہوں کہ critical point of a function is the point جو نوان جاتا ہے جو Finished party پر لگی کوئی بھی م tecnología ہے دومائن کے ملیں تو اس کا نوان3000 Awakening پی recordings 안에 بھی ناری truths کتا ہے اماجیت کو focuses ایداری مقامی NASA کتا ہے اس بھلوٹا셋و enters the ن transformative업 ن Told you تو یہ آپ کا تھیورم ہے this will help us and how does this help us let's put down some things which actually will help us using this تھیورم تو یہ جناب وہی بات ہوری ہے کہ کچھ steps are involved which we need in terms of finding absolute maximum or minimum values تو یہ step number 1 ہے جی کے find the critical points of the function f in the open interval ab then step number 2 is that evaluate f at all the critical points and the end points a and b step number 3 is the largest of the values in step 2 is the maximum value of the function f on the closed interval ab and the smallest is the minimum تھیکہ جی کچھ steps ہے یہ actually by the way آپ کی تکس میں بھی دیے میں آپ کو آپ ان میں بھی دیکھ سکتے ہیں but ابھی ہم نے بھی دیکھے سکرین پہ in steps کو ہم follow کریں گے تو we can always find absolute maximum or minimum values of a function تو ہی دیکھتے کہ ایک اجامپل کرتے ہیں and let's see how we use these steps to find absolute max and absolute min یہ شورٹ فرم ہے absolute maximum کی اور absolute minimum کی let's look at an example یہ جی فنکشن ہے آپ کے سامنے f of x equals 2 x cube minus 15 x square plus 36 x the question is or the thing we have to do with this is to find the maximum and the minimum values of this function on the interval 1,5 اچھا اب یہاں پی دیکھئے کہ کیا ریکویمت فلفل ہو رہی ہیں جو تھیورم ہم نے دیکھا بالکل ہو رہی ہیں تھیورم میں تھا جو ابھی ہم نے تھوڑی در پہلے دیکھا امیجیت لی تھوڑی در پہلے steps سے پہلے وہ اس میں ایک وریکویمت تھی کہ function continues ہونا چاہیے okay on what interval on the open interval ab یہاں پہ کلوز انٹرول دی ہے 1,5 تھیکہ کوئی بات نہیں ہم اس کو open interval بنا لیتے ہیں by excluding 1 and 5 from both the ends and we get the open interval parentheses 1,5 اب اس پر دیکھے کہ جو function دیہا تھا یہ continuous ہے کہ نہیں ہے بالکل ہے کیونکہ یہ function ایک polynomial function ہے a polynomial functions کی مزدار بات ہی ہوتی خوبصورتی ان کی کہ وہ continues ہوتے on you know given domain تو یہ continues ہے center open interval پہ تو اب ہم چیک کرتے ہیں کہ اس کے maximum values کہاں کر ہوتی ہیں minimum values on go دھوںتے ہیں تو دیکھے کہ اس کا طریقہ یہ ہے کہ سب سے پہلے آپ derivative معلوم کیجئے کیونکہ critical points پر کر کریں گے اگر maximum اور minimum values ہوں ہوں گی تو f prime of x equals 6 x square minus 30 x plus 30 plus 36 equals 0 یہ آپ کا derivative is function کا اس کو آپ نے set کیا equals 0 factor کی جے تو آپ کے پاس result آتا ہے x minus 3 times x minus 2 equals 0 لہذا f prime جو ہے وہ 0 ہوگا اگر x برابعہ ہے 2 کے یا x برابعہ ہے 3 کے اور maximum یا minimum values جو ہوں گی وہ ان دونوں points پے یا end points پے اکر کریں گی تو یہ آپ چیک کر لی جے کہ کہاں پے ہم نے critical points ڈکار لیے کہ x equals 2 x equals 3 اور end points پے ہم چیک کر لیتے ہیں کہ function کی value کہاں کر کرے گی maximum ہوگی minimum ہوگی تو چیک سی فیہ کرنا ہے کہ end points 1 5 critical points 2 and 3 ان کو آپ input value کے طور پہستمال کریں in the given function جو آپ کے پاس polynomial تھا اور دیکھلی جے کہ کون سے سب سے بڑی value ہے کون سے سب سے چھوٹی value ہے and that will the theorem guarantee is that these are the only places where the maximum and absolute maximums and absolute minimums will occur اور کوئی points دیکھنے کی ضرورت نہیں ہے that was why we needed that theorem آئے آگے چلتے اچھا اب یہ کچھ summary سے آپ دیکھلی جے ایک extreme behavior جو ہوتے ہیں functions کے وہ on the interval minus infinity to plus infinity اس کو تھوڑا some summarize کر لیتے ہیں let's look at this یہاں پر یہ دیکھلی جی کہ گرافز ایک table سا ہے اور اس سے ظاہر ہو رہا ہے کہ کچھ behavior ہے ان کا جس کو ہم سٹڑی کر سکتے ہیں i will let you look at this for a while اچھا جی تو یہ آپ کا ہو گیا table of summaries of extreme behaviors یہ ٹیکس بک میں بھی آپ کے اس میں بھی دیکھ سکتے ہیں i think this was self-evident کی ہو کیا رہا ہے آئے point یہ تھا کہ جب آپ کے functions دی ہوتے ہیں تو ایک interval real number line پر ان کا behavior کیسا ہوتا extreme behavior یعنی maximum minimum کیسے کیسے اکر کرتے ہیں کیسے ہم ڈیسائٹ کر سکتے ہیں یہ اس انٹرول پہ تھا minus infinity plus infinity ابہر کوئی finite open interval دیا یعنی a comma b اس پہ کیا ہوتے کیسا behavior ہوتا ان functions کا اس کا بھی ایک table ہے وہ بھی دیکھ لیتے ہیں یہ آپ کے سامنے table ہے اس میں بیسکل آپ کو behavior دکھایا جا رہے of extreme behavior of functions over the interval an open interval a comma b ایک example کرتے ہیں پھر تو let's look at an example ایک function ہے let's look at this function the function is f of x equals x to the power 4 plus 2 x cube minus 1 اور اس کو ہم نے اس کی maximum minimum values معلوم کرنیے on the interval minus infinity to plus infinity this is a continuous function on the given interval polynomial ہے ظاہر ہے لہذا اگر آپ according to the tables we saw اگر آپ اس کا limit لے as x goes to plus infinity تو result plus infinity آتا ہے اور اگر آپ اس کا limit لیں as x goes to minus infinity the result comes out to be plus infinity so the function f has a minimum but no maximum on the interval minus infinity plus infinity اور یہ بیسکل ایک آپ کے سامنے example کی ہم نے اور اس میں یہاں پہ یہ بات ہے کہ now minimum must occur at a critical point وہ بھی معلوم کر لیتے ہیں یہ دیکھئے کہ f prime اس کا جو ہوگا وہ ہوگا 4 x cube plus 6 x square if you set it equal to 0 you get critical points as x equals 0 and x equals minus 3 halves یہ کرٹکل پوینٹ سے ایویٹ کریں گے تو minimum value آئیگی minus 43 over 16 at x equals minus 3 halves یہ آپ کا ہوگیا maximum and maximum values of a function کے بارے میں ہم نے بات چیت کی اب اس کو اور دیکھتے ہیں applied کرتے ہیں اس چیز کو apply کر کے کہ یہ apply کریں گے real life میں problems میں تو کیسے سمال کی جاتی ہیں تو let's look at that یہاں پہ جب applied maximum minimum values کی بات ہوتی ہے یہ اس طرح سے ہم کہتے ہیں تو ہمارا مقصد تھا کہ what we are talking about basically is optimization یعنی کچھ اندسٹری میں اگر آپ ہیں you are an applied mathematician یہ آپ انجینئر ہیں تو کبھی کبھی آپ کو چیز اوپٹمائس کرنی ہوتی ہے یعنی لےبر کی افشنسی آپ کو اوپٹمائس کرنی ہوتی ہے یہ آپ کو cost اپنا جو آپ incur کر رہے ہیں اس کو minimize کرنا ہوتا ہے تو وہ بھی ایک optimization ہو گئی کہ کم سے کم cost میں زیادہ زیادہ profit آ جائے that's part of the optimization problem اور وہی بات ہے کہ یہ idea should be clear that these require finding maximum and minimum values of particular functions تو کچھ examples کرتے ہیں اس کی and let's see how we can apply them in real life اچھا سب سے پہلے ہم ایسی problems کریں گے applied maximum minimum values کی اپٹمائیس کے جس میں ایک finite closed interval انوارپٹ ہو گا اور اس کے بعد باکی چیزیں دیکھیں گے finite closed interval ایک بہتی practical سے چیز ہے real life میں ایسا ہی functions ہمیں ملیں گے یعنی finite closed interval سے مراد یہ کہ جو آپ function maximize یہ minimize کرنا چاہیں گے جس کی maximum value minimum value معلوم کرنا چاہیں گے وہ ایک closed final interval پہ دیکھیں گے اس میں ایک یہاں پہ ہمیں جو problem ہے وہ ہے to find the dimensions of a rectangle with perimeter یا perimeter 100 feet whose area is as large as possible اب یہ سوال بڑا جیب سا ہے کہ آپ کو perimeter دیا ہے 100 feet کا اور ایک rectangle بنائے آپ نے آپ سوال یہ ہے کہ find its dimensions such that آپ کی جو ہے ایریہ اس as large as possible تو تھوڑے ایک لئے تو ایک طرح کا brain میں وہ کہتے ہیں fuse ہوتا ہے نا fuse روڑ جاتا ہے کہ یہ کیسا سوال ہے what is going on یہ کیسا سوال پوچھا ہے اس میں تو مجھے پوری information ہی نہیں معلوم how am I supposed to solve it لیکن کیونکہ یہ اس لی ہوتا ہے کیونکہ ابھی تک ہم نے ایسی problems دیکھیں نہیں ہے لیکن یہ ماننے والی بات ہے کہ these are very interesting problems یہ ایک بڑا اچھا سوال ہے کہ ایک طرح سے آپ سے out of nowhere پوچھنے گے جی largest possible area ہے کیا تو اب ہمارے پاس یہ توولز ہیں وہ ٹرمینولوجی ہے وہ سارہ ویپنز ہیں جس کے ذریعے ہم اس سوال کا ہم جواب دے سکتے ہیں تو اس کو دلہ ساتھ اٹمٹ کرتے ہیں دیکھتے ہیں کہ how we apply what we have seen earlier so far to this problem question ہے to find the dimensions so let's say we identify some things we say let x equals the length of the rectangle in feet کیونکہ perimeter بھی feet میں دیا ہے ساتھ ہی میں y کو ہم کہتے ہیں as the width of the rectangle in feet and let's call a capital A the area of the rectangle تو یہ آپ کے کچھ ہو گئے identifications کلنے آپ نے کہ کونکسی چیزیں انوالد ہیں ظاہرہ dimensions کی بات ہو رہی ہے dimension سے مراد ہے کہ rectangle ہے rectangle ایسا ہوتے تو اس کی ایک length ہوتی ایک width ہوتی ہے those are the things involved ایریہ کی بات ہو رہی ہے rectangle کیا ہوتا ہے اس کا formula کیا ہوتا ہے سب سے پہلے دو تو اس کا formula ہوتا ہے width times length تو یہاں پہ اس کے حصاب سے ہمارے پاس formula آئے گا area equals x times y ظاہرہ وہی چیزیں ہم نے x اور y کو ہم نے identify کیا تھا as length and width respectively I think وہ ہم نے دیکھا تھا تو یہ ہمارے پاس formula آگیا اب اس کے ساتھ ہمیں کچھ کرنا ہے area کو maximise کرنا ہے نا as as area ایریا ایسا معلوم کرنا اسی dimension معلوم کرنیے کہ area as large as possible جے ایرے مقسمائز ہو جے so let's do this دیکھیں کہ اس میں perimeter کی جو equation آپ کو value دیتی ہوتی 100 feet تو ایک equation یہاں پہاں بنتی ہے کہ 2x plus 2y should equal to 100 feet یہاں پر ایک figure بھی ہے وہ بھی دیکھ لی جی اس کے حصاب سے آپ دیکھ سکتے ہیں کہ perimeter 100 feet جو ہے وہ برابر ہونا چاہیے 2x پلس 2y ایک سیمبلس ایکویشن ہے اس کو سیمپلیفائی کریں گے تو result آتا ہے y equals 50 minus x تو already آپ کے پاس دو ایکویشنز آگی گیں ایک تو یہ آگئے یہ اور ایک پہلے ہم نے ایریہ کی ایکویشن دیکھی دی تو فوکس ہمارا ایریہ ہے اور اس میں آپ نوٹ کریں ایریہ میں problem یہ ایکویشن میں a equals x times y میں کہ دو ویریبلس ہیں it's not exactly a function right now اس میں it depends on two variables x and y اگر ہم کسی طرح سے ایک ویریبل ختم کردیں اور بلکہ ختم کیا کریں مطلب اس کو ایک اور دوسرہ جو ویریبلہ اس کی terms میں لیا ہے تو ہماری زندگی کافی اسان ہو جائے گی وہ ہی ہم یہاں پر کرتے ہیں y جو ہے ایریہ کے فرملے میں اس کی جگہ ہم جو ابھی ہم نے y کی value معلوم کیے پریمیٹر کے ایکویشن سے وہ ستٹوٹ کر دیتے ہیں تو let's do that y کی value تھی 50 minus x اس کو ایریہ والے y میں ڈالیں گے آپ تو result آتا ہے area equals x times 50 minus x equals 50x minus x square اب یہ جو result آیا یہ ایک function ہے of x now basically what you get is a function that thing is a function of x so you have defined the area of the rectangle as a function of x which is one of the dimensions of the rectangle good ہم ڈلٹہ بھی کر سکتے تھے ہم y کو y کیلی solve کرنے کی بھی جائے پریمیٹر کی equation کو x کیلی کر سکتے تھے اور وہی process کر سکتے تھے doesn't matter وہ بھی کر سکتے ہیں آپ چونکہ x کو ہم عام طور پہ استعمال کرتے ہیں that's why I'm doing this also let's continue with this problem یہاں دیکھیں کہ x جو ہے وہ رپریزن کرتا ہے ایک length ظاہر it's the length of a rectangle so ظاہر سی بات ہے it cannot be negative یعنی length ہے تو it has to be positive یہ ہم نے بات کی تھی جب distanced وغیرہ شروع میں بات کی تھی has to be a positive value تو x کی اوپر automatically کچھو ٹسٹرکشنز آ جاتی ہیں تو ان کو دیکھتے ہیں وہ کیا restrictions ہیں دیکھ لی جی کہ سمپل سی بات ہے کہ x جو ہے وہ 0 یا 50 کی درمیان ہونا چاہیے بیسیک لی x should be less than greater than equal to 0 and less than equal to 50 یہ restrictions کا سائیں I will let you work on this یاد رکھیں x is a dimension of the rectangle and we know the perimeter تو ایسی dimension ہونے چاہیے x جو perimeter کو exceed نہ کرے تو وہاں سے میں نے drive کیا تھا it's a good problem for you to work on ہم continue کرتے ہیں اس کو now question یہ کہ of finding the maximum of a given function یعنی ایریہ جو تھا اس کو ہم نے as a function of x لکھا تھا a equals 50 x minus x square اس کو maximise کرنے اس کا ہمیں largest possible کرنا ہے اس کو on the interval 0,50 0,50 یہاں سے آیا ہے کہ جی ہم نے جو restrictions دیکھی ہے بھی x کی اوپر اب ہم یہ دیکھیں کہ so far what we have seen the maximum must occur at the end points of the interval یا اس کو وہاں پہاں کر جو critical points ہوتے ہیں function کے وہاں پہاں کر کرنا چاہیے تو derivative یہاں پے معلوم کرنا ہے end points تو پتہ ہیں 0 and 50 derivative معلوم کرتے ہیں ایریہ کا critical points آ جائیں گے so let's do that critical points ہے جی derivative ہے اس کا 50 minus 2 x equals 0 سٹ کریں اس کو 0 کی براہ پر تو اس سے result آتا ہے x equals 25 اب یہاں پہاں اگر آپ سپسٹوٹ کریں x equals 0 and x equals 25 and x equals 50 into the function a of x جو ابھی تھوڑی در پہلے ہمارے پاس تھا تو آپ دیکھ لیں گے اس میں سے تینوں observation میں سے نوٹ کیجئے گا کہ maximum جو ایریہ آتا ہے وہ آتا ہے 625 at the point x equals 25 لہذا maximum largest possible ایریہ جو ہے وہ ہے 625 square feet یا square feet تو نہیں any feet جو بھی ایک ہوتے انگی dimensions it's the largest value 625 occurs at the point x equals 25 یعنی جو لن تھے وہ پچھے سنی چاہیے تو تو آپ کا ایریہ maximized ہوتا ہے largest possible ایریہ یہ ہم نے اوی ایرامز لگائیں جو ہم نے functions کو maximized کرنے کے لیے کیا تھے اب یہاں پہاں اگر اسی x value کو استعمال کریں 25 اور corresponding y کی value معلوم کریں وہ بھی 25 آتی ہے جو ہم نے equation معلوم کی تھی y equals کچھ تھی تھے پہلے ہم نے دیکھی تھی تو اس کے ساب سے ہمارے پاس y کی value بھی 25 آ جائے گی آپ دیکھ لی جی اور سی ظاہر ہوتا ہے کہ جو maximum largest area possible ہوگا وہ x square کا ہوگا with dimensions 25 by 25 feet تو یہ ایک بڑی اچھید problem تھی applied problem this is how we use these things in the industry also جہاں پہ ہمیں یہ farming کرنے ہو کسی جگہ تو these kind of problems do occur and they help us out اچھا تو یہ ایک سامپل ہو گئی اب ایک ایک سامپل اور کل لیتے ہیں یہ جو problems ہوتی ہیں optimization کی applied maximized maximum and minimum value اس کی بہت انٹرستنگ ہوتی ہیں اور اس کو ایک سامپل اور کل لیتے تھوڑی سی زیادہ practical ہے تو آئی اس کو دیکھتے ہیں ایک سامپل ہے جناب an open box is to be made from a 16 inch by 30 inch piece of cardboard by cutting out squares of equal size from the four corners and bending up the sides what size should the squares be to obtain a box with largest possible volume چھا تھوڑی دیکھ لیے تو آپ پرشان ہو گئے ہوگا کہ جی ہوا کیا what was the question the question سمجھنے کے لیے ابھی تھوڑی دیر میں فگر بھی دیکھ لیتے ہیں لیکن اس کا بیسک کونسپٹ یہ ہے کہ جو جو تے اگر آپ کبھی خریدیں مارکٹ سے جاکے تو جو شو بوکس اس ہوتے جو توں کے جو دببے ہوتے وہ بیسکل یہاں پہ ہم نے بنانا ہے ایک کارٹ بوٹ پیسے اور ظاہر ہے اگر کارٹ بوٹ پیسے مثال کے طور پہ میں پاس یہ پیبر ہے یہ کارٹ بوٹ پیسے اگر مثال کے طور پہ اس پر کچھ مات لکھی بھی ہے نوٹس لیکن let's ignore that ہمیں یہ کرنا ہے کہ ہمیں اس سے دبہ بنانا ہے تو دبہ بنانے کے لیے ہمیں یہ کارٹنرز کارٹنے پڑیں گے یہاں سے دو اور یہاں سے ایسے کر کے چار سکوئرز بیسکل کارٹنے ہوں گے تاکہ جب وہ کٹ جائیں گے تو آپ یہ چیز ایسے ایسے اٹھا سکیں گے ٹھیک ہے جی یہ اتنی ہائٹ ہو جائے گی یہاں سے جو کٹا ہے وہ اتنے اٹھا کے ایک اور ہائٹ بن جائے گی برابر کی بنے گی ظاہر ہے سکوئرز اس لیے چاہییں تاکہ ہائٹز جب بنے تو برابر کی بنے گی that's the point that's what we're trying to do تو یہ کیسے کریں گے اس کو بات یہ ہے کہ اس کو جب ہم کریں گے اس طرح سے تو we should get a box with the largest possible volume volume ہوتا ہے جو آپ دبہ جب بنائیں گے اس کے اندر جو گہرائی ہے تو سب سے زادہ گہرائی ہونی چاہیے تاکہ وہ میکسیم چیزیں حول کر سکے تو یہ ہمیں کرنا ہے تو آئی اس کو دیکھتے ہیں کیسے کرتے ہیں کچھ identifications کرتے ہیں چیزوں کی اس میں میں ایسا کرتے ہیں کہ ایک سب سے پہلے ایک فگر بناتے ہیں ہونا کیا کرنا کیا ہے یہ آپ کے سامنے فگر ہے اس میں آپ دیکھلی جی ہے کہ آپ کو کانڈرز کرتنے ہیں جیسے میں نے بھی آپ کو بتایا تھا اور اس کو fold کر کے ایک دبہ بنانا ہے اور یہاں پہ کہتے ہیں جی کہ let's say that x equals the length of the slides of the squares to be cut out یعنی وہ والی sides وہ والے squares جن کو آپ کاتیں گے ان کی side ہے اس کو کہتے ہیں x وی جو اس کو volume کہلتے ہیں of the resulting box that you get and the point is to maximize the volume of this box تو یہ جناب سیٹویشن ہے اور اس کو اب ہمیں اس میں سب کسی function ایک تو ہمیں سب سے پہلے لانا ہے تو وہ کیسے آئے گا اس کو ہم دیکھتے ہیں بھی کیسے کریں گے ایک function بنانا ہے اور ظاہر ہے ہمیں volume maximize کرنا ہے تو volume کا ایک function بنانا ہے کسی طرح سے تاکہ اس کو پھرم differentiate کریں اس کا derivative معلوم کر کے critical points معلوم کریں end points کیا ہے وغیرہ وغیرہ جیسے پہلے کیا تھا وہ کرنا ہے تو آئی اس کو کرتے ہیں یہاں دیکھیں کہ if we cut out the squares from the four corners of the cardboard excuse me the resulting box will have dimensions 16 minus 2x by 30 minus 2x یہ کیسے ہوا یہ سمپل سی بات ہے کہ شروع میں 16 by 13 جس کا آپ کے پاس box تھا آپ نے لنبائی اگر اس کی 16 تھی لنبائی تنی اس کی چورائی جو 16 ہوگی تو آپ نے ایک x value کے یہاں سے کارٹا x اور ایسے کارٹا تو ٹوٹل ایک یہاں سے x کی یہاں سے مقدار ختم ہوئی یعنی اگر یہ پیپر ہے میرے پاس یہ کارٹ بوٹ ہے یہ لنس جہاں یہ 16 ہے اتنا میں ایک square بنائے کے کارٹ دیا تو یہ جو لنبائی یہ یہاں سے ختم ہو گئی 16 یہ ٹوٹل تھی یہ میں نے minus کر دی تو I get 16 minus x لیکن ایک اور یہاں سے بھی کارٹا ہے نیچے سے تو I get 2x دو x کے ہیں جو میں نے اس میں سے نکال دیئے that's why I get 16 minus 2x سمجھلر لی اگر یہاں پہ 13 جس کی چورائی تھی یا جلن یہ چورائی تھی یہ لنبائی تھی یہاں سے بھی اتنا یہاں سے نکلے گا square کارٹیں تو یہ لنبائی یہاں سے بھی 2x ہوگی یہاں سے بھی x ہوگی you get 30 minus 2x تو that's how we get that equation اور اب اس میں سے ہمیں دیکھتے ہیں volume کا function کیسے معلوم کرتے ہیں یہاں پہ ایک فگر بھی آپ کے سامنے دیکھ لی جی کہ ہو کیا رہا ہے جو میں ابھی تھوڑی دے پہلے explain کیا ساتھ ہی میں دیکھیں کہ the volume of the box is the product of the dimensions of the box that you get at the end so we get so basically that thing is equal to volume equals length times width times height اس کی جو لنت ہوگی وہ ہوگی 16 minus 2x یا وٹھ کیلی جے اور جو وٹھ لنت ہوگی وہ ہوگی 30 minus x اور جو height ہوگی box کی وہ x ہوگی خالی کیونکہ x جو ہے وہ جب آپ کارٹے ہیں x square x dimension کا x length اور width کا original cardboard سے اسی کو آپ fold کر کے اوپر اٹھائیں گے تو آپ کے پاس height آجائے گی x اس کو multiply کریں تو function آتا ہے 480x minus 92x square plus 4x cube اور یہاں پہ x پہ ایک distriction ہے جس کو آپ فگرہوٹ کر لی جے کیسے آئی میں آپ کو بتا دیتا ہوں x should be between 0 and 8 یہ آپ کی آپ کا function آگیا volume کا اب اس کو maximize کرنے تو let's find the derivative end point and point so پتھائیں 0 or 8 or derivative سے معلوم کریں critical point ہی معلوم کر لیتے ہیں تو اس کی جناب derivative have 480 minus 184x plus 12x square set it equal to 0 and that gives you the critical points x equals 10 over 3 and x equals 12 because x equals 12 is not in the interval 0 and 8 remember that x کے اپنے distriction رکھی دی کے 0 or 8 کے انٹرول میں ہونا چاہیے close interval میں تو ہم اس کو ignore کر دیتے ہیں ظاہرہ 12 سے بہار ہے so we ignore it and now we check the volume function at the end points and the other remaining critical point which is 10 by 3 یہ آپ کر لی جیے تو آپ دیکھیں گے کہ maximum value اس function کی آتی ہے v equals 19619600 divided by 27 which is the maximum value and that occurs at x equals 10 by 3 تو یہ آپ کا ہو گیا اس کا رزلٹ اس میں آپ کے پاس maximum value آگئی maximum آگیا volume کا اس دیبے کا تو ایسا جو آپ نے box بنائے اس کا maximum volume یہ تھا اور اس کی critical points پے ایک critical point پی value کر کی تھی تو یہ جناب آپ کا آج کا لیکچر یہاں پہ ہم خدم کرتے ہیں اچھا اس میں یہ ہے کہ ہم نے کہا تھا شروع میں کہ جی applied maximum minimum problems کریں گے تو ہم close finite intervals پر کریں گے اس کے بعد open intervals بھی کریں گے open intervals کو ایسا کرتے ہیں کہ ہم exercise کے طور پہ چھوڑ دیتے ہیں وہ تھوڑا سی آسان ہوتے ہیں بلکہ کیونکہ اس میں dimensions پر کوئی restriction کی ضرورت نہیں ہوتی تو وہ میرے خالص سے آپ لو کر لیجے گا ظاہرہ ابھی homework problems ہے اس میں اس لیکچر کی assignments تو آپ وہ کیجے گا تو you will see that those are not too difficult at all اس میں بس restrictions نہیں ہوتی ہیں function پر باقی سب وہی بات ہوتی ہے تو یہ جناب آج کا لیکچر یہاں پہ ختم ہوا آج ہم نے میرے خالص سے کافی مزدار باتے کی بڑے applied کسم کی I hope تھوڑی سی appreciation اور بڑے گئی ہوگی آپ کے ذہن میں Calculus کیلئے کہ یہ کتنی applied science ہے applied mathematics ہے تو اس کو ذرہ غور سے پڑیے گا I am sure you do that actually anyway لیکن وہی بات ہے کہ homework کرتے ہیں اور کوئی problem ہو لہذا آپ کو always سکتے ہیں لیکن آپ کے ساتھ سکتے ہیں ہم آپ کے ساتھ سکتے ہیں اللہ حافظ