 Seguimos con los números complejos y vamos a presentar unas propiedades de este conjunto. Primero recordamos la definición de cuerpo. Un conjunto con operaciones de suma y multiplicación. Es un cuerpo si se cumplen algunas propiedades. La asociatividad, la comutatividad, la distributividad. La existencia de elementos neutros y la existencia de los inversos. En nuestro caso, con los números complejos, vemos que ya existen dos elementos que sirven como elementos neutros. Estos elementos son los elementos neutros habituales, es decir cero para la suma y uno para la multiplicación. Además, la asociatividad se satisface para cada operación. Notamos que sólo estamos aplicando las definiciones y nada más. Lo mismo para la comutatividad. Es decir que el orden cuando sumamos o multiplicamos no influye el resultado. Y por fin, la distributividad, la propiedad de distributividad se satisface. Si no podéis seguir estos cálculos, os animamos de intentar los paso por paso o de probarlos con algunos ejemplos concretos. Entonces, con todas estas propiedades casi tenemos un cuerpo y nos faltan los inversos. Primero, vemos que si hay un número real y entonces complejo, ya sabemos que este número admite un inverso para cada operación. Además, vemos que el inverso de la unidad imaginaria es igual a menos y para cada operación. Y por fin, hay números complejos en general que admiten inversos para las operaciones de suma y multiplicación. Y aquí tenéis un ejemplo. Entonces, sea z un número complejo y intentamos hallar si cualquier elemento número complejo admite un inverso. Bien, vemos inmediatamente que para la suma el inverso de a más y b es menos a menos y b. Entonces, cada número complejo admite un inverso para la suma. Vamos a ver qué pasa con la multiplicación. Nos preguntamos si existe un número complejo tal que su multiplicación por z es igual a 1. Escribimos todo eso como ecuación y así obtenemos un sistema lineal donde las desconocidas son c y d. Ahora, dependiendo de si a o b son iguales a 0, ambos no pueden ser al mismo tiempo por suposición, resolvemos el sistema lineal y deducimos la expresión de c y d en términos de los reales a y b. En resumen, hemos mostrado que cualquier z no nulo admite un inverso para la multiplicación y la suma. Lo que nos lleva al teorema siguiente. Los números complejos con las operaciones de suma y multiplicación tienen estructura de cuerpo. ¿Y esto por qué? Porque como hemos visto, todas las operaciones del cuerpo se cumplen. Hay un poco de notación antes de seguir. El inverso multiplicativo de z se nota z a la potencia menos 1 o 1 sobre z. Y así de manera general, el inverso de a más y b es igual a a sobre a cuadrado más b cuadrado menos y b sobre a cuadrado más b cuadrado. Tomamos nota también de la igualdad siguiente, que nos ayuda a simplificar los inversos y de obtener la forma habitual de los números complejos. Pregunta. Tenéis que hacer un cálculo que incluye calcular un inverso y hallar cuyas de las afirmaciones siguientes son ciertas. Os damos un momento. Espero que hayáis visto que hay dos respuestas correctas. La primera y la tercera. Seguimos con ejercicios. Os proponemos demostrar la igualdad siguiente. Podéis hacer los cálculos o razonar utilizando la igualdad que hemos visto en el vídeo anterior. Y en conclusión, os animamos a demostrar la misma igualdad para todos los números complejos.