 So many thanks to the organizer, it's a pleasure to be here. So this talk is about some relation between open complexity problems in convex programming optimization and zero sum guides. And so the link we go for atropical geometry, that is by considering convex sets over non-archimegane fixes, so this is the kind of survey on fait un série d'offers plus marinaquillants s'achèguent d'armades. Donc d'où il faut que j'aie la mission, parce qu'avec les gens que je suis, on parle de monstres en trésil, puis je m'attouche jusqu'à moi, en de gaine, il faut que j'aie la mission. So yes, I described some relation between problems of non-archimegane fixes and problems of gain. I will give some application to complexity problems. There is quite all the problem in our programming approaches to understand whether there is a strong loop in the algorithm for the next time of the needs. And so some coordinate was a famous method which is an entire post-methods. Well, intergames on convex programming over non-archimegane fixes. Let's do a first slide. So I will use these relations or invitations on convex problems. And some tropical convexity here on the task of convexity. This authorization. I will call some complicities issues in one of the video. It looks like a very monetary problem. We have a free bar type draw. And you put integer prices on the edges. There are prices that will be paid. So there are two players max and mean. So we find that the graph is bipartite. It means that the two players, they alternate the move. So max plays and mean plays, et cetera. And so by question, when there is a move, it's always a player who is called minimizer who plays what is written on the art. The player called maximizer. And the player can have a negative function. Not to the point. So all of the game will be on a national state with a mean position even on the information. So the mean is pertain. So what he will do, the payment of the next move, et cetera. So max is interested about IMA. He wants to maximize the IMA of this representing this average payment pertain. And so by symmetry, the mean points to max. All the oldest result in these fields of IMA says that this game has a value. And there are optimal positional strategies which are part of the value. So a value at a certain point in the space of the, optimal positional strategies are a certain point in the space if you want to pay. So we know this game as the optimal positional strategy. It's a rule which says you, if you're in this state, you always play this action. And it's optimal to play in this game. So let's look at an example. So we have a circle state which belongs to minimizer. And we have a square state which belongs to maximizer. So maybe minimizer, we want to go up. So if minimizer wants to go up, minimizer pays minus 1, 2 max. And the minus 2, right? Then there is no choice in the next step. So instead, after that, it's minimizer pays 1. Or at the, so in this loop, first minimizer pays minus 2. And then minimizer pays 1. Or minimizer pays minus 1. So it's a winning for minimizer. Minimizer receives 1 from max. But minimizer can also go down. So here, if minimizer goes down, he pays minus 8. Receive money, receives 8. And then it's maximizer who plays. So maybe maximizer will play. So here minimizer feels rich because he has 8 plus 12. But now there is no choice on this game. The only action possible action is to go left. And then forever maximizer can enforce this loop. And so on this loop, well, mean pay 2 max. A 5 down or into this terrible loop. It's the price of being greedy. So what we can say is that the initial state 1 is winning for me. Because by this upper cycle, minimizer can make sure to win at least 1 per 10 minutes. This initial state, it is winning for max, max winning. Because by this loop, maximizer can make sure to win 5 per 10 minutes. And this minimizer is foolish and makes a bad action. He moves from a winning state to a losing state, which I did to show the game. So the mean pay off per 10 minutes here, we can say that from the point of view of max, it is 5 from a mistake 2. And it is minus 1 instead. It corresponds to these cycles, which are better mined by a positionnal strategy. So the mean pay off problem consists in computing these numbers, which took very inventory, mean pay off per 10 minutes for all initial states. So this problem was introduced, was first considered by Burdik Karzanov and Rachian. And they introduced the first combinatorial algorithm to solve these gays. And they asked, in their paper in 1988, whether you can solve this elementary problem in polynomial time. And still today, it's not known. It's not known. So to understand what polynomial time means, it's about See where the difficulty here is. When you want a number of iterations, as usually in the Turing model of notation, it's polynomial time, a number of bits of input. And so the number of bits in the input, you put the log of a integer payment. So the reason why the game is still not solved today, this is still an open problem today, it is because the naive algorithm, which consists in playing the game in a certain long time, to see whether max or min is needed. A very natural idea to approximate the infinite horizon game by the finite horizon game. And if you think of that, then you need time, which is exponential of L, or not L, essentially. For large integers, it is a difficult problem, you see what this process is. And there is some, at least, it's a very, very, very big problem. Because midi of game, it is the complexity class introduced by Edmonts, which is called the NP-intercessionist coin P. So these problems are called also good characterisation by Edmonts. So when you are in this class, you know that you are not NPR and SNP is equal to coin P, which is N90. So when you are in NP-intercessionist coin P, you try to look whether there is or not a polynomial horizon. It's a very interesting question. Or, do you still see well, guests, you share the screen? So now, a second problem, which is Mornon. Mornon, it's a linear programming problem. It's, again, very much older. So we consider linear program. So linear program is an optimization problem. So we take a polyhedron. The input is rational, and we have a metric linear problem. Linear problem, or, as you see, the vector can be on to find a point, which is the smallest interaction of the vector. That's the linear program. So there are still some unsolved questions about linear programming. So one was raised by Smayda. This is a problem of the century. There are some other issues. This side, whether you take a polyhedron, Gaubert, on a un petit problème de son. On a un petit problème de son, c'est haché. Je ne sais pas si les autres... Je ne sais pas si votre connexion internet est... Moi aussi, le son est haché. Voilà, on vous entend de manière très hachée. Et j'ai dû pousser le son beaucoup. Ça, vous avez un petit problème de connexion ? Il est comme une bétonne, une 1 seconde. Yes, c'est fini. Madame Jansson, vous avez coupé les vidéos, c'est ça ? Oui, pour que l'intervenant puisse... Enfin, pour que l'habite sur le film qui sera fait, il n'y ait que l'intervenant. Ok, d'accord. C'était pour, en fait, voilà. D'accord. Normalement, il devrait changer... Normalement, j'ai essayé d'améliorer. C'est un risque qui s'arrête 1 seconde. Ok ? Donc, j'ai essayé d'améliorer. Et maintenant, vous êtes avec moi ? Oui, oui, oui, on vous entend. Ok, donc maintenant, le son devrait être parfait maintenant. Le son est bon maintenant, oui. Oui, je suis désolé. Ok, voilà. Donc, quand vous dites que le temps de polinomial en général, ça signifie polinomial. C'est-à-dire que le temps d'exécution est fondu par un polinomial dans le nombre de bits de la bouche. Donc, le temps de polinomial est très fort. C'est un... C'est un modèle différent de la complétation. C'est-à-dire le modèle arithmiétique. Donc, ce que vous voulez, vous voulez que le nombre de compétences par arithmiétiques soit fondu par un polinomial. Maintenant, vous avez fondu par un polinomial sur le nombre d'adoles et sur le nombre de constants. Donc, vous avez fondu par un temps d'exécution, sur le nombre d'adoles, sur le nombre de variables. Et vous voulez que le nombre de compétences par arithmiétiques soit fondu par uniforme, uniforme, dans les bits de la bouche. Vous avez beaucoup de précisions de la bouche, de la bouche, de l'impact sur le temps d'adoles. Et, en addition à ça, ce caractère uniforme nécessite que l'algorithme soit fondu par un temps polinomial. Ok. Voilà. C'est le nombre de compétences par arithmiétiques. C'est le nombre de compétences par arithmiétiques. Donc, nous allons voir pourquoi on peut s'approcher de ce nombre de compétences par arithmiétiques. Donc, le méthode du nombre de compétences par arithmiétiques c'est le symplex de l'organisateur. Donc, le symplex il va sur le polydron. Donc, il fait le mouvement sur le graphe du polydron. Donc, vous commencez de l'intertexte. Et vous faites un tour. Donc, dans ce tour, vous marchez de l'un de l'autre, et vous décuisez de l'autre symplex. Donc, quand vous avez un symplex à l'horizon, vous allez au même optimal. Pour l'instant, pour ce polydron, vous pouvez aller maintenant, maintenant, si vous venez de l'autre, c'est plus facile. C'est le choix. Il s'appelle le rule de l'organisateur. Qu'est-ce qu'il y a ? Le nombre de compétences par arithmiétiques. Donc, ce que vous pouvez vérifier c'est que pour performer une seule l'illigération de la compétences par arithmiétiques donc, une seule l'illigération c'est le nombre de compétences par arithmiétiques mais, c'est pas un problème. Il n'y a pas de compétences dans le cinéma, il n'y a pas de compétences par arithmiétiques qui sont nommées de polygne. Par exemple, il y a un nombre de compétences par arithmiétiques et, si vous avez le rôle perfect de l'illigération, vous avez le le passage de la polygne. Vous avez un nombre de compétences par arithmiétiques. C'est un nombre de compétences par arithmiétiques. Donc, le symplex est très intéressant pour cette perspective, c'est nature, il n'est pas évoqué comme un local caractère mais, globalement, ce n'est pas un problème. Maintenant, nous allons regarder quelque chose qui est un peu moins au-delà de la communauté optimisation et qui est la méthode de choice dans le programme linar parce que c'est un des deux effets et qui a des complexés prévus dans le programme linar. C'est l'un des points d'étoiles pour remplir votre problème de programme linar par ce qui s'appelle le problème de barrière. Donc, le programme linar, vous avez votre polygne, vous avez votre vecteur C qui représente la gravité. Vous ne pouvez pas minimiser, vous pouvez trouver le plus bas point de votre polygne. Vous pensez comme une force opposée de ce qui s'arrête votre point d'optimum. Et donc, dans le problème de barrière vous compenser la gravité par une force qui s'occupe d'une potentielle mutuelle. Potential ? L'eugarithmique c'est l'eugarithmique potentielle. L'eugarithmique potentielle. Vous vous mettez un recul de cifre potentielle qui s'occupe d'une facette qui repasse le point par un point de vue ou une vue de positive parmette. Et donc, pour une vue positive vous conseillez un minimum qui est un comparé. C'est un équilibrium entre les forces normales de la facette qui traite à l'intérieur de l'opinion et la gravité opposée qui s'occupe d'un optimal. Et donc, sur le map, quand vous considérez ce problème, vous minimisez la fonction de l'expression donc vous avez une meilleure solution optimale. Sur le map, pour la barrière de mu le paramètre de l'autopie donne une unique motion de l'expression. C'est le central pass. Part de l'analyse breakers, comme vous le voyez, et quand le mu s'occupe de l'autopie la barrière vanille sur la fin de l'expression avec l'optimum. Sur le central pass, il donne un pass d'un certain point à l'intérieur de l'optimum de l'optimum. Et donc, quand vous avez ça, vous pouvez faire des méthodes ou vous pouvez faire de la mu et des méthodes de l'autopie pour se dénoncer et donc, votre méthode vous aide à la faire. Alors, c'est l'optimum de la barrière de mu et l'optimum de l'autopie de l'autopie de l'autopie pour la barrière de mu et l'optimum de l'autopie du plus fort pour la barrière de mu C'est très difficile de montrer qu'il n'y a pas de méthode, qui est une méthode de paramétroïde et de mémi-technique. C'est considérable de purified version, qu'est-ce qu'il essaie d'utiliser le total curvature ? C'est une méthode de méthode et de mémi-technique. C'est une méthode de mémi-technique. En dessous des conjectures à tirer le total curvature au central pass, ils linèrent les variables. En l'actualité, ils sont motivés par le théorème de Dieu mal-ajouté sans chauve. C'est considérable de polydronne. Quand vous avez un polydronne, vous avez un arrangement dans l'interplane, en dessous, il définit le méni-sace. Donc le central pass de polydronne se part entre l'algémoïqueur et l'algémoïqueur, et le fil de l'algémoïqueur, c'est une ébrusselle, vous avez le central pass correspondant à l'algémoïqueur. Le théorème de Dieu mal-ajouté sans chauve est que si vous avez le total curvature de votre curve, l'avirage du sel, c'est le même, et le plus élevé, c'est l'algémoïqueur. Donc le conjecteur se sentait que le plus élevé est l'avirage. Alors, en dessous des conjectures en chaine, il est faux que l'avirage soit très optimiste. C'est-à-dire que si vous mettez beaucoup d'écoïquistes, vous pouvez défiler le conjecteur. En dessous des réviges de conjectures, en chaine, c'est un tout expectif de l'avirage. Le total curvature, c'est l'OFM. L est le nombre de variables. Donc maintenant, je vais vous montrer, on va faire un tout le temps que vous dites que c'est le type de méthode que vous avez. Dans le cas où je veux, c'est un des applications, un peu de discomplexion, des révues. Donc le problème, c'est que le plus élevé que vous avez, c'est que les joueurs de l'OFM, le problème des programmations lignes sont relativement apparences. Il y a une très close relation à la niveau combinatérien. C'est-à-dire, si c'était un peu plus étrange, un peu plus étrange pour les programmations lignes, vous devriez avoir des conditions techniques qui sont menées au niveau de l'objet de l'objet de l'OFM. On a une certaine relation à ce point. Alors, si on est un peu plus étrange pour le nombre de variables, c'est un peu plus étrange pour les programmations lignes, mais on a un peu plus étrange pour les programmations lignes. Donc c'est un peu plus étrange pour les programmations lignes. Donc, si vous avez un exemple de l'exemple de l'OFM, c'est quand vous considérez un signe de lignes pour les programmations lignes. ou on y considère sign of minors, pour domicile, pour le signe originaire programme. C'est du signe valide, en valide roule, du petit signe de l'estéorel. Donc, le signe est plus positif, le signe est plus polénoméalisé que le signe de la virage sainte. En restant, c'est adhélaire carpent de chamire, qui considère le 5 kinds de modèles de Dieu, malgré les rambes chouques, c'est-à-dire, qu'est-ce qu'on fait au single polydron, on considère la collection d'exponentiales nombres de polydron, dans lesquels on flippe une qualité avec probability one-out. Et puis, c'est pas vrai que le signe de l'estéorel est polénoméalisé en virage, dans ce modèle probabilisé. Donc, quand vous utilisez ce transfert de théorème, vous vous sentez que vous pouvez acheter une classe de jeu de minpure en polénoméalisé en virage. Mais, bien sûr, ce modèle de probabilité, de l'arcarché à chamire, c'est un peu particulier. Il ne reflète pas la compétition de l'ordinarité, de l'expansion et de l'expansion. Voilà, et donc, c'était un résultat positif. Et maintenant, il y a une négative, qui est un peu plus solide. Donc, si vous avez l'objectif actuel, ça veut central-passer, vous avez un petit carburant, et votre carburant veut central-passer, alors que votre carburant peut être à l'intérieur d'une méthode dans ce problème. Donc, il y a une instance, une arprogame avec un nombre variable une équilique qui apporte un ordre A, qui fait, sur le général, le total curvature est un ordre de 2 VR. Et si vous roulez le nombre variable intégrant pour une méthode, si vous regardez le nombre de repos, vous faites une exposition de nombre de repos. Et maintenant, je vais expliquer, le reste de vos codes parlent, comment on prouve cet ordre. C'est le nombre de repos. Voilà, donc, on prouve, bien sûr, des lignes tropiques, les modules tropiques, les complexes tropiques, et on va le faire avec des modules non archémiques. Donc, premièrement, je dois raconter quelques approches d'opérateurs de lignes de repos. Je ne pense pas que c'est classique, mais que c'est classique. Donc, on va le faire. Donc, le façon dont vous étudiez ce jeu est de considérer le jeu de lignes de lignes de lignes de lignes. Ce qui est difficile, c'est de lignes de lignes de lignes, c'est de considérer le jeu de lignes de lignes de lignes. Si vous considérez lignes de lignes de lignes, alors vous fixez quelques lignes de lignes de lignes, par exemple, un état de lignes, et vous vous assurez que vous allez jouer des termes de jeu, ou de nombre de termes de jeu, peut-être 2020, et vous allez jouer des termes de jeu. Voilà. Et puis, vous vous rendez l'evaluant par le stade de lignes de lignes de lignes de lignes, et par l'opérateur. Donc, l'evaluant est un état de lignes de lignes de lignes, qui dépendent de l'indice de lignes de lignes de lignes en temps. Et puis, la question de la chapelle, c'est que dans la circonscription de la cale, vous envisagez une question de la chapelle, mais il y a une question, et je suis obligé de le faire, donc, je vous visible pour les questions questionner. Ce qui est assez, c'est que la question de lignes de lignes des termes de jeu et de lignes de lignes de lignes, pourrait être une question sur la question de lignes de lignes de lignes de lignes. Ce sont des questions, et ce sont des questions, et si vous avez une question, vous allez rentrer d'une parfaite, vous trouvez des questions. Et alors, C'est une L, où il y a un nombre de states. Et le valeur vector en horizon game, là il y a un transformation qui est le valeur vector en horizon game, et le valeur en horizon 0, le jeu est terminé, c'est juste 0. Il y a un actif qui s'appelle le chapeau parator. C'est un actif déterminé. Chapeau parator, c'est le mille de réactions du paiement de réaction, et puis il y a un max de place, plus le max de réaction, le paiement de réaction, plus le variable xk, c'est le new state, où il y a un max de place successive. C'est le start from state game, et le front high, et le front clear. Chapeau parator est obtenu par une max over all these moves. Il n'y a pas de difficultés. C'est bien. Il y a plus d'abstract, mais c'est surtout une chapeau parator. Si le genre est max qui est ordre-préserné, quand vous équipez le Rn, en affrontant, il communique le quotat d'un constant vector. Il faut un exemple de vous. En dessous, il veut apporter un axiom, avec un jeu. Il y a un particular dix, un double axiom, sauf qu'on ne peut pas réussir Et vous pouvez avoir une bonne conversation. C'est-à-dire qu'il y a un général exemple de Chapelle au Carréco. Un exemple que j'ai montré dans un jeu déterministe. En général, c'est un jeu déterministe. C'est-à-dire que chaque joueur est très similaire à ce que j'ai montré. Et le joueur veut choisir son action. Le joueur max choisit un autre action, B. A, B, R, etc. Ce n'est pas nécessairement final. Il y a aussi un paiement pour le joueur max, qui dépend de l'état et de l'action. Et il y a aussi un problème de transition. Dès la réaction du joueur, il faut bouger de A à G. Dès la chose A, le joueur max choisit B. Il faut prendre un T, un P, un H, un R. Et le général de Chapelle au Carréco, il faut le faire. Nous n'avons pas d'assurer que l'action continue. Voilà. Donc, ce que vous devriez remercier, cet opérateur est appelé le opérateur de l'un des deux. Pour remercier la séquence, c'est que quand vous éteignez K-Time, cet opérateur, vous jouez à un opérateur de 0. Vous en prenez un ordinateur haute. Il vous donne une valeur d'un jeu, un jeu original, un jeu idéal. Il commence de l'état haute. Et vous pouvez modifier le 0. Si vous considérez un TK of you, value is a vector, il correspond à la bonification du jeu. Vous jouez, comme usual, avec des paiements. L'autre jour, quand le jeu est terminé, le joueur max aussi a un paiement avisionnel d'un jeu. Donc, c'est intéressant d'assurer qu'il soit essentiel d'aller au jeu pour varier, pour qu'il soit modifié. Voilà. Le premier, c'est qu'il n'est pas un opérateur de chapeau opérateur qui est raisonnable. Il se met en opérateur qui se met en expensif. Il y trouve en chapeau opérateur où il finit l'action précis. Puis, le mid-perfecteur, le mid-parthenum, il existe. C'est ça. Il y a tous les jeux qui sont considérés quand les actions finissent. Il existe. Et maintenant, il y a la principale relation avec... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... se rend une fonction du potentiel de la partie de l'EGT, comme un nom de lignard Markov operator. Donc, en ce cas, vous regardez le vector u, c'est la cube, la cube de l'EGT, et vous recrute que uj, le boiteur, est différent de la magnitude de l'EGT. Donc le capot de l'opérateur, il peut aller au long de l'exchange, sur ce qui est l'argument de la magnitude de l'EGT, et, si vous confiez une vector ou une finite, J'ai ordinate, comme un espace de fuit, pour l'assistance de l'EU, et pour l'assistance de l'EU. Donc, par étudier l'espèce, un espace de fuit, comme un espace de fuit, est plus alenté et s'est rendu plus lent. Alors, il y a un exemple. Vous vous prenez, je ne vais pas avoir une jeu ici, il y a 3 states. Ici, je vous montre un set de séparatisants, donc ils sont dans un air inhumane et suffisamment solide pour les fuites. Je les envoie aux RPLOS, à l'extrême-chaleur de la pandémie, pour les visuiner à l'extrême-chaleur, et pour cela, je peux avoir une grande section de la pandémie pour les montrer. Alors si vous avez, par exemple, le set de sévélisateur qui est un point de sévélisateur de la phase de bébé, qui certifie que tous les intérêts initials veulent se freiner à l'un des deux. Mais si vous avez le set de sévélisateurs sévélisateurs qui sont concentrés sur la phase de la phase de bébé, vous savez qu'à la phase de bébé, on y Mireur de mont respect Color23 une flatérisation de 4 constellation et puis on tenderise pour caractériser l'existence d'un En ce aspect on termine ainsi par la plupart des Et nous outrageousment dans le trôitaire gå慣 C'est un之in au maximum Le code AXM de Marx est le maximum en fait, le producteur est le code AXM de Marx et il peut additionner. Et à l'île de zéro code AXM de Hamilton, heels, euros et d'euros. Sur Sompterm, il nous opte aussi à une plus sur les fields mais à une plus sur la files de Marx, donc il n'y a aucune fausse de subtilité. Sur Sompterm, il nous opte à une plus sur les fields, donc il y a une plus sur les fields. Un Sosn veut comme considère module en revenant au tropical de sollicite, il dit avant l'action des numbeurs vers Scalez, Les axes, les scales et les axes de la translation de l'indifféreté constantement, on le demande avec la clé de l'Exy. Une action de scale, c'est un module tropicale. Et l'addition des vectors se constate pour le point de vista Une particularité, Hermes a oublié cetteห1, pour le le scoop et le module tropical de l'indifféreté en exploitant d'indifféreté submodules et par sublement de l'indifféreté tropicale. c'est cette sub-sub-module, euphonomique, stable, by tropical linear combination, dans every x, y module v, dans every constant lambda nu, lambda plus x, nu plus y. So, this module correspond to one-alog of forex-col. Look at this. There's a thing, the tropical world, everybody, every number is non-negative. It's a kind of a cone, a convex structure of module. In the same way, it's considered convex, stable by tropical linear combination, as well as the sum of the way it's called tropical nu. As usual, there is a sort of equal balance between convex set and convex code, by some over-reginization, so I will use both settings in the scope code and convex set. Voilà. So, now, if you look at, so we have to remember, to solve the game, we have to consider the space of sub-harmonic vector, that is the set of certificates of the game. You should have given the game interpretation when you have this, that is, you play one day the game and then you receive the terminal payment on v, you play 0 days of the game and you receive the negative v. So, if you have this, you prefer to play the game one day and not to play it. So, this is what makes it stable for this object called natural. And so, you can check that the closed sub-modules are precisely the set of sub-harmonic vectors in the associated shadow operators. It's not difficult, but when you have a closed sub-module, there is a chemical chapter operator, which is projection, the best approximation in this set. So, in that way, you see that chapter operators their spaces correspond precisely closed, so we can have sub-module closed in the game interpretation. So, further to is the notion of property and agile. So, we have module, which is when you have a max-plus matrix, it doesn't join. So, you can see that AX on the right, if we move X, it's from a sharp Y. So, it's like when it's a sub-linear conjugate, it's sharp, it's transparent, you see. You have a replace matrix by mean and you have to transport the matrix as usual and you change the sum. So, that's right. So, when you consider a chapter operator of the middle game, you have to remember that it's what we need of payments plus, max of payments plus, the value of X. So, it's precisely of a form a sharp Y. So, you take a linear map, a vertical Y, you take a little adjunct, we have a vertical linear map on the component. And then using the adjunct property, you see that Z satisfies the finite number of linear equation over the tropical symmetry. So, this means exactly that while the set of statistical is at the beginning, what is called the tropical polar outcome is defined by the finite number of the finite inequality. Well, the number of variables are the number of states of one player and the number of inequalities is the number of states of the other. Donc, c'est plutôt this creature, the space is this polar function V, in the case of the domestic game, it's better, more closely, what is the shape. So, there are intersections, the simplest example are typical of space. So, if you take a single inequality, so, you get an inequality, max of A plus XR is smaller and max of B plus XR is smaller. Well, you have what is called aider plate, which is a set of points for the maximum of finite terms, like size, shape, rights, and defines the delimitance of the space in the sector and where one coordinate is greater than the other. For example, this is one sector and this is x2 greater than max x1 plus x3. So, the tropical space will be union of such sector. Depending on which you put term of left and union of such sector, this is a tropical aider plate, and this is also a tropical aider plate, tropical space, tropical space. And when you want then, you can take, you can take a tropical aider plate, there are intersections of finitely linear spaces, or, there are also finitely generated in the tropical sense, you take a linear space in the general sense, in the number of general sense, so, here is a more interesting example, so it's a tropical city polytop, of a particular object. And so, this general tropical polydra, there are none to be polydral complex, as we studied by Dereen of Stonfels, in particular the cells of this polydral complex, the remarkable structure, as I've been introduced by post-microf, they are set, convex, polydral, of a form XI minus XG, smaller of some constant HG, the normal tropical sets are vectors of the root system ATM. So, this comes in of the tropical polydron, as the complex of the sets are of this lecture, with a more structure. Now, the link with non-archimégal complexity. So, now we go to the classical world, classical complex, as we know it's a programming, we know it's a complicated complex problem. So, for that, it's a convenient to work unit, or the parameter, to work with the root closed field, non-archimage evaluation, with value group, with the root number. So, for example, as I said, the generalize could be a series, a type of parameter, with the root field, you can cause some Java. So, dig quart, by magnifying the fields. So, the reasoning is fulfilable. So, this is what j' belli☆ , or, just what you cover with the root fields, 아이, Sa مش leறதes. I'm really impressed with you, with the SI id, face-in-heur, chambres, c'est-à-dire qu'ils considèrent que c'est une conversion de scènes. Ils se comprennent en pleine part, et ils font la variation de la série comme le long limit. Le limit, le paramétre, le paramétre qui gosse toute la sécurité, avec sa positive valeur, de l'égalisable, en plus, en fait, c'est une binogoste. C'est aussi un très bon instrument. Maintenant, il y a une grosse correspondance. Donc, let me recall that if you have a number of fields, you can define a basic semi-algebraic set. So you take a finite number of polynomials, and you can allow to write inequalities in the script of a recollection. So if your set is written by a finite number of equalities and the script is equalities, it's called a basic semi-algebraic, or semi-algebraic, it is a finite union of basic semi-algebraic sets. Also if you have, so this is for subset of the field, now you can consider subset of the value group, subset of the real. So subset of the real with the basic semi-linear is, well, again, it is given by a split inequality or equality, where the right-hand side is a real number, and the left-hand side is a linear form with integer coefficient coefficient. Since your work started from polynomials, in essence, the coefficient of a linear form is the exponent of a polynomial of my word. So you have to, it's essential to get a integer coefficient. And so this object is called a basic semi-linear, and the semi-linear, the set is a finite union of basic semi-linear. So it's known that if you take a semi-algebraic set, then the, so I will take it positive, or temps, semi-file, and the valuation of the set is semi-linear, or it is closed. By taking valuation, the split equality becomes the weak inequality. And it's also follows from older result. It's a different generality, called denef-pass quantifier elimination in this theory of order field. So there are different approaches to this field. And then here is something more, but you have to note only the quantifier valuation, which is very extensive, after something more constructive and more explicit. So here is the way you can compute the image by the valuation of some basic semi-algebraic set. You consider the number of inequalities, so polynomial inequalities, and so you want to compute the image by the valuation. So you can write an equality of a form, polynomial inequalities, p minus x minus o plus x, so you put all the positive non-negative terms on the left, all the non-negative terms are right. And then you can do a naive tropicalization, which is, well, if you have a point x, which is a solution of this inequality, you can say that the value of x will apply the valuation to the left or right, and so you see that the value, valuation of x satisfies some piecewise linear inequality, where you apply the sum by the maximum and you take the valuation of the equation. So what is the previous term for one, c'est to say that, well, the valuation of the intersection of the self-defined by an inventory inequality is always included. It satisfies this relation. So the max plus relation is obvious that it satisfies and involves the intersection of this set. But the interesting part of this result is that the equality of, that is, when you take the valuation, you have the sum of this collection. The sum of this collection. Well, if, when you compute the candidate, which is the tropical set, the set defined by this inequality, you keep the closure of this barrier. In particular, this occurs when you take generic valuation of polynomial. So let me show you. Here is a simple example. You take a single polynomial inequality, x1 squared smaller than t, x2 plus t4, x2x3. You take the candidate to be the valuation just to replace, to visualize the inequality, so to x1 smaller than max, etc. And, well, so here, you know, since there is a single inequality of this group, so the result is that if the set that you obtain is, at the moment, in terms of value, of value, of true valuation. For instance, if you consider a set like that, it is the closure of a set in terms of value, so you can obtain it by this technique. Voilà, so we have following general correspondence. The subset of nm, we take it along to say that this set is the image by valuation of the convex on the algebraic code, the specific of the important of the series, of the field. It's the same, I think, that it's a close tropical convex code on this seminar. It's the same to say as there is a template operator, we have to allow a stochastic gain. However, you have finite action spaces of the reposition probability of a rational number. And so, the image by valuation of convex on the algebraic code are precisely the set of several vectors of the template operator with directions on the rational probability. So we weigh on the software there is kind of equivalence between convex on the algebraic set and the mean curve game of convex on the equivalence with modular valuation. So we weigh this is proved is by considering working out the case of spectra-hydra. So a spectra-hydra, it is a set of vector S such that you take a a fine combination of symmetric matrices and you want that the fine combination is positive, significant. So this is known as a spectra-hydron which is a des linearization of the motion of the linearon. And so you can define topical spectra-hydron as image by valuation of the spectra-hydron. And so the way to prove that on considère valuation of the convex on the convex set du get c'est par monic vector on fait ça un peu opérateur on considère the special case of spectra-hydron. En des bonnes partings on veut voir special case quand on fait spectra-hydron on veut avoir de la bonne idée en positif. And then you apply the previous version of capa noctorem where you save of valuation commute of intersection of generic condition. And then you use that way where you tropicalize this relation which is a sufficient characterization of valuation. And when you write them you have a nice factor 2 rich value on which will give you probability one-half of the shape of the vector. But essentially this result of correspondence goes by considering the case of spectra-hydron which correspond to the games of probability one-half. So voilà so this is the relationship of the spectra-hydron with respect to the spectra-hydron voilà. So this is the relative to the result called metonyme projector in convex programming which is not true of the classical case but it is true of the classical case by history. So let's consider the special case of polydron which is better understood. So tropical polydron which is precisely limited by valuation of the classical polydron and over polydron over plus of C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 C8 On considère l'image de l'évaluation, et si l'évaluation de l'AID est généreuse, on sait que l'évaluation est évoluée par l'évaluation de l'économie. En bautisme, c'est l'exclose que j'ai dit, mais il y a eu de plus en plus d'exclamations, c'est-à-dire le tropical polydron, c'est-à-dire le main-film, c'est-à-dire le tropical polydron, c'est-à-dire le main-film, le tropical polydron entre le non-archimédial polydron, c'est-à-dire exactement le sain-commandateur. C'est-à-dire, il y a eu le sain-commandateur ici, il sort de l'outre-sain, c'est-à-dire, il fait une courante en liberté, c'est-à-dire le sain-médigine, etc. Donc, on a eu de l'exclamations, c'est-à-dire l'économie, c'est-à-dire l'économie, donc ici, il y a eu de plus en plus, on a eu, pour l'instant, ici, le tropical polydron, donc une correspondance du tropical polydron, une large part en métropie, et le théorème, c'est-à-dire le sain-pollis, c'est-à-dire le sain-commandateur et les characterisations. Donc, quand vous avez ça, vous avez le théorème, vous avez à dire que la sain-générité est explicite, vous avez à considérer le minor de la métuise, et vous pouvez vérifier que vous êtes générique, si toute la permutation qui arrive au maximum, les minors, ils ont un sain-commandateur, il y a un sain-sain, donc il y a un sain-commandateur du contrôle de l'économie dans le sain-commandateur, et d'autres, si vous avez un sain-générité, vous avez un sain-commandateur du minimum de la métuise. Je suis très heureux de vous, et je pense que mon plan est correct. Donc, c'est un bon résultat, un bon résultat, parce que, si vous avez un sain-commandateur, vous pouvez le lister pour une meilleure distance. Si vous avez un sain-commandateur, vous pouvez le replier pour une meilleure distance simulée à l'économie, et vous pouvez le solider. Donc, vous avez le corollari, et j'aimerais vous montrer un peu plus sur le pass central. Pour le pass central, il y a ce masébarique, qui donne l'optimisation d'une question de votre problème. Et puis, vous définissez le tromper à la limite logique du pass central. C'est le corollari. C'est le corollari. C'est beaucoup plus difficile que le tromper. C'est un tromper comme le corollari. Vous avez votre tromper, et vous avez à prendre une grande section de votre tromper par niveau 7. Le pass central est le corollari. C'est le corollari. C'est une longueur intérieure de votre tromper. C'est une longueur intérieure de votre tromper. Avec ça, vous pouvez faire un coup d'exemple, d'un art programmable. Tout à coup, le processus de tromper à la limite logique de votre tromper qui donne l'optimisation Stéphane, il y a une question pour Stéphane ? J'ai une. Oui, s'il vous plaît, Jéran. Oui, merci Stéphane pour votre compte. Je ne suis pas un spécialiste, mais tu parles du total de curvature. Qu'est-ce que ça veut dire exactement ? Ah, c'est bon. Je pense que ce n'est pas fort, deux ou trois slides. Qu'est-ce que c'est ? Le total de curvature est un nombre de termes. Donc, c'est l'intégral de l'accélération. Si vous avez la norme d'accélération, il faut bouger si vous bougez à une vitesse en écart. Oui. Donc, il y a un bon moyen d'en voir. C'est comme ça, vous êtes discret. Donc, peut-être que ce sera le total de curvature. C'est de cette façon que l'accélération est définie pour un coeur plus général. Ce sera avec le supermode, avec toute l'accélération de l'accélération de l'accélération. Tu prends les pauses. Et tu prends le nombre d'accélération. Donc, il va y avoir du poignard. À la origins, c'est celui-là, et là, il arrive au point de brewer. Ici, il arrive à la succession. Puis elle Feng, Ok. Merci pour la définition. Est-ce qu'il y a une autre question ? Non, pas de questions. Merci beaucoup, Stéphane.