 Muchas gracias Ernesto por tan lindas palabras, gracias al comité organizador por haberme invitado y hacerme conocer una vez más a la comunidad matemática uruguaya que tanto aprecio y en realidad tenía una disyuntiva de qué hablar y voy a hablar de algo que hice relativamente hace mucho tiempo, tanto que en mi mudanza para Caracas conseguí el manuscrito que nunca salió publicada en una revista de la universidad de los Andes, pero mucha difusión, pero está el manuscrito original y bueno que estaba traspapelado y decidí transcribirlo y entonces en ese momento me hicieron la propuesta de dar la conferencia y dije pero voy a hablar de esto porque creo que a pesar de de alguna forma ha pasado de moda en los años 80 fue el furor, yo creo que que muestra cómo la interacción entre dos disciplinas en la análisis, llamémoslo así de operadores pseudo-diferenciales, análisis asintótico, operadores pseudo-diferenciales y el movimiento roniano confluyeron en la década del 80, del siglo pasado para dar origen a una teoría muy linda de la cual yo solamente voy a bosquejar, voy a decir que en realidad voy a dar una introducción luego necesariamente para un público no probabilista, voy a dar rudimentos, el movimiento roniano no piensen que voy a demostrar el teorema de Levine, ninguna de esas cosas sino voy a tomar una waiver hand de movimiento roniano y luego voy a ir avanzando en el tema, luego voy a hablar de la fórmula de Feynman-Kachs y al final el límite clásico y espero concluir con algunos problemas que todavía están abiertos, lo dado que están abiertos y la cantidad de gente que se ocupó de ellos en los años 80 muestra que probablemente alguna astucia importante hay que encontrar para poder resolverlo. Así que voy a comenzar con algo cuando la descripción de los fenómenos microscópicos se basa en la ecuación de Schweringer, ya va a venir la ecuación de Schweringer no se preocupe, reemplazando esta ecuación la descripción clásica basada en el formalismo de Newton y de Hamilton, una pregunta natural es ¿cómo este último formalismo ha de ser entendido con respecto al primero? Los físicos les gusta mucho la idea de que una teoría contemple la otra y que sea en algún sentido un límite de la otra. La respuesta a esta pregunta de origen a la sintótica H tendiendo a cero por medio de la cual la mecánica clásica fue obtenido como límite de la mecánica cuántica, H parece resulta paradójico, H es la constante de Planck pero en realidad la idea es que cuando las dimensiones son considerablemente mayores que la constante de Planck esa es la idea, pasamos a la semicuántica y después pasamos a la cuántica, entonces por eso esa especie de juego de magia de hacer tender una constante a cero, es un juego magia irremediablemente. Entonces la ecuación de Schweringer más simple, no vamos a hacer problemas complejos, no vamos a entrar en partículas en campos, vamos a hablar de cosas relativamente simples. La ecuación de Schweringer más simple que describe el movimiento de una partícula cuántica en un potencial eléctrico B que es de RD en R, es simplemente esa ecuación que está ahí, que es una ecuación hiperbólica y donde H es la constante de Planck, la plaziana es el operador de la plasma del trámite en la métrica euclidiana, se puede realmente esta ecuación formular en cualquier variedad con una estructura diferenciable y por eso se habla de la operadora de la plasma del trámite pero H es la constante de Planck, tenemos esa ecuación que es una ecuación hiperbólica, ahora Jakob Feldman en 1967 hizo este cambio, cambió T por T sobre I y la imaginaria compleja y entonces obtiene una ecuación ya no hiperbólica sino una ecuación parabólica que es la ecuación del calor con enfriamiento. Este cambio variable formal es interesante por una razón muy simple, se ha desarrollado una teoría de integración funcional de la que vamos a hablar ahora y esta permite representar las soluciones de la ecuación II como integrales con respecto a caminos o como esperanza con respecto al movimiento de la reunión, vamos al principio vamos a movernos en las dos ideas para en algún sentido darle algún flavor de teoría de medida a algo que los probabilistas con nuestra esperanza en lugar de integrales a veces confundimos a la gente que hace análisis, después van a venir las esperanzas irremediablemente porque mal que bien uno tiene su gusto, entonces es una medida de probabilidad generada en la función en el espacio de funciones continuos y eso eso es muy interesante y después quizás no quiero consumir mucho tiempo en anécdotas pero pero alguna anécdota tengo que hablar. Ahora una larga digresión, una frase de Jean Pecan en su libro les atoma es de lo más ilustrativa, las curvas que no poseen tangentes son las reglas, si uno lee el libro de los átomos ve esa frase y es una frase formulada en 1912, esa afirmación es una lectura epistemológica pues para la época en la que fue formulada las curvas como la de beistras que no tienen derivada en un punto, los matemáticos la consideraban una excepción, un bicho raro que es bueno que se podía construir a mano. Sin embargo apareció el movimiento roniano, el movimiento roniano toma su nombre el botánico inglés Robert Brown y aunque los matemáticos y físicos lo recordamos por este hecho, Edwin Nelson en un libro extraordinario se llama Dynamical Theorist Brownian Motion dice que en la biblioteca británica la psicología británica no dice dentro de las contribuciones de Brown que haber descubierto el movimiento roniano dice bueno fue un botánico, etcétera, etcétera y efectivamente usted a lo mejor en las nuevas versiones estoy hablando del libro fue escrito hace mucho tiempo y habla solo de los trabajos de botánica de Brown. El primer trabajo riguroso sobre el movimiento roniano fue realizado por Albert Einstein en 1905 fueron tres artículos por los cuales dos ganó el premio de la relatividad especial, el efecto fotroléctrico y el movimiento roniano nada más muestra lo prolífico de Albert Einstein y entonces voy a describir de manera que pretende ser sencilla el movimiento roniano como Einstein percibió el movimiento roniano, llamemos p de tx la probabilidad de una partícula roniana, una partícula que se mueve de la que se observa en cuando tiene uno polen agua que se encuentra en x y x más de x así lo escribe a este yo no voy a entrar a bajo ciertas hipótesis naturales a física a este derivó la ecuación que debe satisfacer esta función que es que es la ecuación del calor y el parámetro de es la constante difusión y la solución fundamental como saben prácticamente todo es el núcleo gaussiano que está escrito allí el valor a las barras verticales denotan norma no valor absoluto puede ser lo absoluto pero digamos en norma generalmente los matemáticos ponemos de igual a un medio verdad y la constante difusión entonces la ecuación del calor que se convierte en derivada de u respecto a este igual un medio de la placea no de u, a este no estuvo por consideraciones físicas la notable relación la constante difusión es igual a k por t sobre m por beta en esta ecuación k es la constante de bolsman t es la temperatura absoluta m la masa de la partícula que estoy observando y beta es una constante con dimensiones de frecuencia y aquellos que tuvieron la dicha o fracaso como tú ellos de hacer laboratorio uno en una facultad ingeniería con muy poca habilidad de laboratorista lo ponía a calcular el número de abogadro con una métrica exactamente al estilo de como lo había hecho a este como después perdón lo hizo esa con esa relación entre d k de t m beta de origen a un experimento que permitió calcular el número de abogadro en particular para para continuar con mi digresión cuáles fueron las suposiciones de aisten x denota la la la posición de la partícula x de s menos x de t independiente de de independiente perdonen eso es x mayúscula de x de t mayúscula así que el futuro el incremento en el futuro es independiente de el valor actual de la partícula la densidad solamente depende de la diferencia y de estas hipótesis muy sencillamente se obtiene esa relación integral entre las densidades y ahora dos dos más suposiciones la la la simetría por cambio de signo y que la probabilidad de estar más allá de éxito es o chiquita de éxito permite calcular ese límite y los que saben cómo se calcula el generador infinitesimal de un de un semi grupo ve que esto permite calcular la ecuación del calor porque simplemente escribe esto este término está esta diferencia en términos de la integral util desarrollo de Taylor la anulación por la disimetría inmediatamente le queda la ecuación y es exactamente si uno sabe leer alemán no mentira uno puede leer la traducción del artículo de este en inglés este no se leé yo apenas estoy aprendiendo a leer uruguayo ahora este pero efectivamente esa es la la eso es lo que hace a este sin sin sin ese es que en ese esquematismo no lo escriba escribía más y entonces llega a la ecuación e bíner en 1937 creo o 27 no sé o 27 o 37 creo que 27 tomó el testigo y usó las ideas de de yo no sé si si bíner conocía el artículo de este tengo todo una anécdota paralela a este que es vashlie que que es una que podríamos hacer una especie de café con ser con la vida vashlie que se dedicó a la bolsa y descubrió el movimiento uraniano pero realmente la vida vashlie merece un café con ser un fracaso completo como como como broker y como científico a pesar de haber descubierto entre otra el movimiento uraniano y los procesos de marco y nadie se lo reconoció pero bueno no no voy a entrar a hablar vashlie porque me iría por allí y entonces como me decía como le decíamos nosotros a mi madre el final de su vida mami sintetiza por favor a ustedes dirían chichi por favor sintetiza entonces bueno qué es lo que hizo bíner bíner se construyó esos esos conjuntos que son conjuntos cilíndricos ya vamos a ver un dibujito que en realidad que la que la trayectoria comience en x y termine en no termine ninguna parte termine en el intervalo a n bn y tengo como franjas y entonces quería medir esas trayectorias que hacen eso si van pasando verdad pasan entre este intervalo este intervalo este intervalo y este intervalo y entonces cómo tenía el núcleo gauciano dijo a bueno voy a medir ese paso voy a decir que la probabilidad de ese conjunto o la medida de ese conjunto de cilíndrico es ese producto de de densidades que en realidad esencialmente lo que está haciendo guardando si uno lo ve es la propiedad de semigrupo esencialmente si que va avanzando o la propiedad de marcos pero nada eso en ese entonces no había ni siquiera propiedad de marcos digamos todo era a la mano entonces pero lo que es muy interesante es que este es un conjunto de probabilidades que define un sistema de coherente de probabilidades o de medidas en los cilindros de el conjunto de las funciones continuas que empiezan en x biner demostró y eso es interesantísimo el libro de itomachín hay una prueba en donde se hace esto y se utiliza el diorama de cariatidor y de extensión de medida para efectivamente mostrar así enrique nunca lo hubiera hecho así yo lo aprendí con él y con por medio de un riquecabaña por medio de las de las trayectorias es mucho más ilustrativo pero uno puede hacerlo uno quiere tener una vocación de analista y se bueno tengo mi sistema de probabilidades y quiero ver si puedo extender a los borellanos aplicó el tío en el cariatador y bueno así lo hace el itomachín pero lo que hace biner es que extiende ese sistema de probabilidades a un espacio cuyo omega es el espacio de las funciones continuas que empiezan en x en cero t b son los borellanos que engendran la topología y mu es la medida que se genera por el tío en el cariatador diversos conjuntos pueden ser medidas con esta probabilidad en particular las funciones diferenciales tienen probabilidad ser y respondemos y sabemos entonces por qué pejón decía que las funciones sin derivadas son la regla porque en dentro y las medias las mido con el con el con la medida que me da el movimiento brauniano ellas tienen el conjunto de las de las funciones diferenciales tienen probabilidad cero en realidad uno puede demostrar que cuál es el módulo de continuidad casi seguramente de cada trayectoria brauniano y ese es un teorema de polivi que yo dije desde el comienzo que ni siquiera voy a mencionar y lo mencioné bueno qué podemos hacer con esta medida que sea utilidad para la mecánica cuántica volvamos a nuestra ecuación del comienzo como había hecho yacosterma y si b es mayor igual que cero se admiten también b negativas pero tienen que tener uno un cierto control su suurso norma lp pero por lo menos yo ahora no voy a trabajar sino con potenciales positivos esta ecuación recibe el nombre de ecuación del calor con enfriamiento marca usando la jurística Richard Feynman resolvió esta ecuación con una fórmula probabilista yo voy a dar una versión muy muy diferente de la demostración un esbozo de la demostración pero muy muy diferente a la de marca que uso mucho procede teorías de cadenas de marcos para la demostración que viene pero esta demostración es una una demostración con mucho sabor de análisis funcional y ya va a ver por qué voy a demostrar cómo se resuelve la ecuación del calor con enfriamiento por un con un método probabilístico la situación es la siguiente podemos llamar h a miltoniano al operador que estaba a la derecha al menos operador de lo que estaba a menos de lo que estaba a la derecha de la ecuación y puede utilizar la teoría de semigrupo para resolver esa ecuación si considero f de x el dato inicial de la ecuación y efectivamente fi de tx que solución de la ecuación viene dada como e a la menos t h por f de que el operador de la suma y eso es clave lo verán la suma del laplaciano verdad menos en laplaciano más me perdonan que haya puesto el h aquí desde el comienzo porque esto va a venir en generar uno conseguir h igual a uno y no le aparece el un medio nada más pero yo lo puse porque necesitaba darle coherencia al límite clásico entonces pueden pensar que aquí aquí está vez sin sin que uno sobre h por vez de un ventilde pero no lo puse para darle coherencia pero lo que quiero decir es que el operador h en las miltonianos en la suma de un operador diferencial y un operador de multiplicación por la función b entonces hay un teorema extraordinario que es el teorema de trotter que dice que si yo tengo esto es un teorema general que se lo voy a aplicar a esto trot a alguna gente dice trotter kato que dice que si yo tengo un operador que es la suma de un operador diferencial y un operador otro operador que se trabajar entonces yo puedo descomponer el en la la la potencia inésima de ese operador verdad porque fíjense que aquí es como está el semigrupo si yo los pegar a verdad entonces me da la potencia de h pero yo los descompongo de esa forma y por me da que el el el el el semigrupo que genera h es el límite de esto ustedes dirán pero qué límite bueno en realidad un límite fuerte entonces tengo primero que demostrar qué puntual y después etcétera pero yo una tecnología de teoría para ver no quiero entrar simplemente voy a dar la idea la idea es que se tiene esa fórmula de trotter y yo tengo además cómo se escriben cada uno de estos cada uno de estos operadores esto es lo que este es el semigrupo generado por la multiplicación por ver simplemente multiplicar por e a la th por b simplemente porque antes multiplicada por b al elevar a semigrupo no tengo nada y lo que es interesantísimo es que el el el semigrupo asociado en la plasiana es el semigrupo del calor y también sé que el semigrupo asociado en la plasiana se escribe en términos de una convolución con un club auseano ahora pego las dos cosas y esta es la magia de la teoría de medida por cierto pego las dos cosas porque yo puedo iterar yo lo que hago es quitero por cierto aquí me falta f en x me falta f en el último punto me comí f de x me distan cuenta esta mañana f en el último punto pero yo entero y voy iterando con mi fórmula que tengo y que me queda un integrar múltiple me queda un integrar múltiple de una función verdad esta función que es exponencial de la suma de b y el y este núcleo pero este núcleo es la medida y entonces puedo aplicar tu nombre se ha dominado que porque tengo funciones acotada y tengo una medida porque esta función no olviden que ve es positivo luego esta función es menor igual que uno y entonces tengo puedo aplicar tu nombre a conferencia hominada paso al límite y a qué converge esta función esta función con la integral de cero a t de b de x es verdad porque es exponencial y entonces inmediatamente aparece la solución de cax que es que paso al límite aplicó convergencia hominada y me queda aquí está en aquí como decía aquí está escrito en términos de análisis verdad escrito la función f de x de t que me había me faltaba antes la medida del biner que lo probabilista por un por una especie de celo profesional escribimos como esperanza de h h porque es la varianza de x y la penúltima igualdad expresa la notación probabilística y el subíndice h que trabajamos con un movimiento rodauniano de varianza h y que parte de x en la última igualdad usa la propiedad escala del movimiento rodauniano si uno escala el movimiento rodauniano con su varianza es equivalente por raíz de h es equivalente a escalar por h el tiempo y eso está escrito allá esta fórmula se conoce con el nombre de Feynman cap porque porque en la en su tesis autorado Richard Feynman antes de construir la electro dinámica cuántica formula una yo no sé nadie ha explicado de dónde saca la idea si fue estrictamente una creación de la gente dice que quizá leyendo los artículos de pol dirac pero lo cierto es que faima construye un un pseudo una pseudo medida compleja de la misma forma de dándole dándole este como el amplitudes de probabilidad los intervalos y que coincide en dimensión finita con lo que yo acabo de hacer para el movimiento rodauniano y muestra que es con ese formalismo su su integral cuando cuando calculando el lo que no podría amar el grupo generador no el semi grupo sino el grupo generador le da la ecuación de Schwering eso lo escribe en su tesis de doctorado realmente de una especie de de de de estello pero nadie se ocupa y cax que que estaba que coincidía que coincidió con el encorner este bueno se se tomó en serio las divagaciones para un matemático fícicas profundas de de Feynman y él demuestra esta fórmula la repito la demostración que yo acabo de hacer está en el libro Barry Simon está desde la década del 80 mucho después que cax hiciera su demostración por lo año 49 más o menos bueno ahora queremos establecer la relación entre la sintótica cuando h tiende a cero y la solución de la ecuación de hamilton yacov y todos sabemos que la ecuación de chavamilton yacov y gobierna el movimiento de una partícula clásica en un potencial o si se quiere que la ecuación de hamilton yacov y uno es una reinterpretación de la segunda ley de newton que dice que la derivada segunda de la trayectoria es igual a menos el gradiente de la función del potencial a la función eso más o menos entonces la ecuación de hamilton yacov y yo recuerdo es la solución es esta ecuación que está ahí su solución es ese cero de xpt y si las cosas son buenas y si el té chiquito es el gran problema de esa ecuación que es una ecuación de ciudades parciales de primer orden no lineales y entonces inmediatamente se producen causticas y singularidad entonces yo me voy a reducir a un té bien pequeño para que estar antes y que me aparezca cualquier cosa de esas feas así que pienso que la solución existe en un cierto ceroté con condiciones de regularidad para ver por ejemplo que existe ahí entonces esa es la ecuación de hamilton yacov y y lo que hace de la ecuación de hamilton yacov y es que si yo resuelvo gama prima de ese de si conozco la solución de la ecuación de hamilton yacov y puedo llegar a la la la primera ecuación para la velocidad y la segunda ecuación que es la ecuación de newton es la segunda ley de newton y entonces si yo ahora cambio porque una de las cosas que llama la atención es que yo empecé empecé en el final puse que gama de té es igual a x y entonces escribí esto estas dos ecuaciones uno derivando bien y llega a la ecuación de newton pero ahora me interesa salir de salir de cero es salir de x que es lo que me interesa entonces hago ese cambio y entonces tengo una expresión preciosa para la ecuación para la función de x de x pdx que es lo que llaman verdad es la la acción del funcional de la acción pero claro los que han estudiado mecánica clásica que todo el mundo sabe diez veces más mecánica clásica que ellos saben que ese funciona en la acción cuando se tiene un máximo en la trayectoria verdad y eso es lo que hace que la la ecuación de la solución de jacob y sea tan poderosa entonces ese ese es el funcional si yo lo llevo en cualquier si lo evaluó en cualquier en cualquier función si de té o ceta de té ese es un funcional que que a cada función le da un valor y si busco el mínimo el mínimo es la ecuación de la ecuación que da el movimiento de la partícula bueno entonces bueno y ahora voy a querer ver cómo se hace y entonces ahora voy a tomar la ecuación de faimán la ecuación de faimán cagui le pongo una condición inicial particular que es esta pdx de té por cierto ten quería mostrarle antes para que no olvidemos que la con yo yo estoy empezando ese cero de x p en cero es el producto escalar entre x y p es un vector fijo que es el momento pero no no yo no voy a entrar en esa decisión entonces claro yo ahora digo bueno voy a considerar el mi función mi funcional pero ahora la condición inicial si ustedes se dan cuenta es no es f de raíz de x de té sino que pongo esta y entonces ahora este es el único tecnicismo que el nesto me va a permitir apríco la fórmula de hito la fórmula de hito es una manera de diferenciar funciones del movimiento brauniano que involucra la derivada primera y la derivada segunda apríco la fórmula de hito para esto que está aquí que es una especie de fórmula de teilo está ahí es bien escrita bien que este es el incremento es tiene una parte que depende de la parte que depende de la martingala y el raíz de h viene porque es raíz de h donde esa esa paréntesis rayita se interpreta como la variable que está ahí pongamos ese igual té y entonces si si metemos este este bicho si metemos este bicho en la fórmula anterior verdad porque yo creía que se me estaba cayendo si entonces nosotros escribimos ese cero como se escribe allí y bueno no olvidemos que el potencial que estaba que aparecía en la fórmula anterior el potencial que aparecía en la fórmula anterior aquí ese potencial está ligado con ese por la ecuación de jammito yacobi entonces pongo la ecuación de jammito yacobi y desarrollo entonces desarrollo el s que aparece en el potencial me da esta fórmula muy linda donde aquí es sacado ese de x h t convertido en error aquí es cero verdad porque fíjense que es cuando pongo cuando pongo t menos ese hay hay un en un momento dado tengo que poner ese igual té y entonces queda un cero aquí me queda claro por eso me queda el menos me queda quien cero este puede salir porque no depende es una constante y calculando esto que está aquí es simplemente el término de gil sanof que conocemos muy bien los probabilistas pero que no no viene al caso entrar en disquisición porque yo lo que voy a hacer ahora es pasar al límite cuando h tiende a cero tomó el logaritmo tomó h tiende a cero y me queda ese de x cero p de t no entonces yo soy yo el que estaba equivocado efectivamente el primer término es s de cero épico p de x t efectivamente a claro porque es que raíz de h x cero está estamos en x efectivamente el proceso empieza en x y entonces raíz de x y esto por eso es que sale esto es el cero x p de x este término sale primero y tiene yo multiplico yo tomo logaritmo multiplico por h y pongo el menos y me queda solo esta término si yo sé que esto tiene un límite cuando h tiende a cero y entonces metatamente me queda tomo el límite el primer término y entonces me dice que es algo bien conocido mecánica cuántica que el logaritmo en la función de onda multiplicado por h converges a la acción al funcional de la acción de x evaluado en el punto correspondiente a la trayectoria clásica el primer primer paso y el segundo paso es que cuando tengo esto paso esto me da este límite y este límite da de manera mágica en la plaziana de la función de la función de jambito de jacob el segundo paso creo que lo dijo aquí no olvidamos que esto es así para x la solución de la ecuación de newton o lo que es equivalente es la trayectoria que minimiza la acción es decir que h por el logaritmo de si h de x t multiplicado por por menos por menos h converge a la acción evaluada en la trayectoria clásica y ese es el primer resultado de faima que faima obtenía con las manos y diciendo que en realidad como cuando estaba cerca las trayectorias cuando estaban cerca del camino del camino clásico oscilaba muy poco porque el camino clásico es un punto estacionario de la acción y cuando estaba fuera oscilaba mucho y los senos y los cosenos se cancelaban así llega él a esta deducción pero esta es una deducción matemática corrente el término 9 que es el segundo término cuánto me queda como 20 minutos va a tener demasiado tiempo el segundo término que es este este término el del 9 el segundo término este 9 no es en absoluto sencillo hay un estudiante de donskirk childer que hizo ese teorema uno de los teorema el teorema de childer que muestra entre otras cosas que funcionales de este tipo tienen un límite y que tienen que ver con también la trayectoria clásica y yo le pregunte a barra una vez en un clapen porque uno conoce a los grandes matemáticos siempre en los clapen porque después no tiene oportunidad le pregunte que de al frente de él le pregunté barra se profesor barra donde está childer me montó una clínica después de haber hecho ese teorema montó una clínica de ontología en Nueva York parece que le iba muy bien como don tólogo después de estudiar ontología por cierto entonces ese teorema que es el teorema de childer el teorema de childer dice que el límite de funcionales braunianos para parámetros pequeños también convergen a a ciertos funcionales evaluados entre comillas porque él no decía en trayectoria clásica es decir evaluado en la trayectoria que minimiza el funcional en este caso de acción pero que es un principio general que dio origen a una gran disciplina en el siglo 20 que fue la que empezó con grammar y que childer abrió para procesos y que continuó dos que varan que es la teoría de grandes desvíos ese es el primer resultado de grandes desvíos para un funcional del movimiento brauniano bueno a manera de epílogo después podemos discutir lo que ustedes quisieran a manera de epílogo quiero señalar tres puntos el primero es que esto les gusta mucho a los físicos porque los físicos dicen bueno me quedo con el primer término con el segundo término con el tercer término este método este método y una aplicación fina de una de mostrar que el funcional que aparece tiene un momento exponencial para poder derivar dentro del signo integral permite un desarrollo en potencias de raíz de h en realidad sería bueno que fueran potencias de h entonces tendría que poner h cuadrado en en la en la ecuación pero los en potencias de raíz de h y los términos b 0 b 1 el 0 ya lo ya lo vimos cual era una esperanza con respecto a un funcional del de en la y así el b 1 es una esperanza con respecto a digamos es el límite clásico con respecto a un funcional de segundo orden con respecto al movimiento y así una cosa es como si fuese entre comillas un desarrollo en el cabo el quienes hicieron los desarrollos asintóticos a partir de potencias de h no fue shield el shield se conformó con el primer término entonces robert a cencote y sobre todo un libro extraordinario el libro de frail vencer hace completa de manera bastante precisa este tipo de desarrollo pero además va más allá va a procesos de salto proceso de poisson etcétera hay un problema abierto semi abierto que está muy de moda por por finanzas y es que uno nunca observa un proceso solución de una ocasión diferencial estocástica como la que hemos puesto nunca lo observa a tiempos continuos uno siempre sea por ejemplo una opción en la bolsa o sea inclusive la trayectoria de partículas de contaminación en la superficie del agua uno lo observa en tiempos discreto y puede pensar que ese esos tiempos discreto son cada vez más chiquitos pero siempre son tiempos discreto entonces en lugar de tener h ahora como parámetro pequeño en la varianza tiene h ahora uno en la grilla si h va a ser el tamaño de la grilla y aún no le interesaría qué cosas si uno quiere estimar parámetros le le interesaría escribir la verosimilitud que siempre la puede escribir porque el ruido gauciano en alguna parte y pero la verosimilitud implica la probabilidad la densidad de transición y la intensidad de transición es el pasito que yo doy verdad de ir es el pasito estoy aquí en kh y aquí estoy en k más uno h h es pequeño entonces aquí estoy en x y aquí estoy en y verdad y la la probabilidad de saltar de aquí aquí es la probabilidad de transición y eso yo puedo escribir la verosimilitud si conozco esa probabilidad de transición bueno un desarrollo como este no sustitúa y la probabilidad de de transición no se conoce porque es la solución de una ocasión diferencial genera parcial generalmente difícil de resolver o lo suficientemente irregular cuando a pasos chiquiticos la estoy viendo entonces lo que hace uno es buscar un desarrollo para p de h x y mirando a h como parámetro y ahora la diferencia fundamental hay dos diferencias fundamentales uno que tiene que estudiar las verosimilitudes son buenas cuando el proceso es vergónico así que tiene que estudiar tiempos grandes ya ustedes vieron que yo aquí decía si tengo un tiempo chiquitico entonces tengo que modificar mi problema pero dos antes trabajaba con el movimiento de los negros que salían x y no me importaba donde llegaba ahora trabajo con un puente brauniano porque salgo en x y llego ahí eso rompe la estructura de marco vianira y hace los desarrollos un poco más complejo ahí hay bastante de que por ejemplo el problema para procesos de salto es un problema abierto difícil y que el resto va a resolver el año que viene seguramente y ahora este es mi gran juguete y que intenté en el 27 con un alumno que teníamos entramos y bueno publicamos artículo en una revista física no pudimos ir más allá es lo siguiente yo tengo ahora yo tomo yo tengo la ecuación de onda tomo transformada en la plaza o transforma o se me transforma de furia en la ecuación de onda y me quedan ecuación de germos con él con con la condición inicial se me la condición de en derivada y la condición inicial se me convierte en estas dos partes y aquí tengo la ecuación y entonces veo que haya aparecido mega cuadrado y a la gente le interesa muchísimo es hacer a la sintótica de la solución cuando me cuadrado tiene infinito pero si yo pongo algo me cuadrado igual uno sobre h multiplicó por h me queda la ecuación de la ecuación de enfriamiento y el potencial es simplemente la la estratificación del medio y entonces yo puedo intentar un desarrollo como han hecho los analistas como como keller como hicieron los analistas en la década del 60 entonces nosotros y muy bueno vamos a tratar de hacer esto usando las técnicas de las cuales acabo mencionar y obtuvimos un término precioso relacionamos todo con la ecuación de biconal pero no pudimos el paso final ese que yo les decía de estilo shielder hasta ahí llegamos no pudimos justificar porque cuando la gran diferencia es que uno para pasar de una a otra tiene que considerar tiempos infinitos porque tiene que integrar de cero infinito la transformación de la plaza y entonces tiene que tener los desarrollos que sean en algún sentido uniformes cuando te tiende infinito y eso yo creo cuando este muchacho que hizo la tesis conmigo presentó la tesis en paris roberás en comedia chichi tú crees que usted va a poder demostrar el la sintótica para el resolvente y yo le respondí dada la pregunta que me la hacía robera seco y no yo creo que no bueno muchísimas gracias