 En los próximos minutos hemos recogido algunas propiedades básicas que nos permitirán operar cómodamente con las matrices en el resto del módulo y en algunos otros momentos del curso. Podríamos haber mencionado muchísimo más, pero nos hemos centrado principalmente en aquellas que haremos uso en el resto del curso. Recordad que habíamos definido la matriz transpuesta de una matriz A como aquella matriz resultante de intercambiar filas por columnas. A la matriz transpuesta de una matriz A la anotábamos de esta manera. Estas son tres propiedades de las matrices transpuestas que cabe tener en cuenta. En primer lugar, la matriz transpuesta de una matriz que ya está transpuesta. Pues como os podéis imaginar, si cambiamos las filas por las columnas de una matriz y luego volvemos a cambiar las filas por columnas de nuevo, obtendremos la matriz original. La transpuesta de una suma es la suma de transpuestas. Y finalmente, la transpuesta de un producto es el producto de transpuesta. Pero notad que el orden de las matrices es el inverso del original. De hecho, si las matrices no son cuadradas y mantuviésemos el mismo orden, claramente se vería que el producto no se podría calcular. La demostración de estas propiedades es sencilla, especialmente la primera. Prácticamente la hemos comentado de palabra. La segunda y la tercera son sencillas y se fundamenta principalmente en la propia definición de matrices transpuestas y de la operación entre matrices subviacientes, tanto sea la suma como el producto. Os animamos a intentarlas si no lo veis, no la veis clara. Hemos visto la estructura de anillo no commutativo que tienen las matrices cuadradas. Pese a que comprobamos que existía un elemento unitario para el conjunto de las matrices, que os recuerdo que era la matriz identidad, no comprobamos si existía un elemento inverso. Bien, definamos cuál es este elemento inverso. Dada una matriz A cuadrada de dimensión N por N a coeficientes en un cuerpo K, diremos que si existe una matriz B de manera que el producto de B por A es igual a A por B y es igual al elemento neutro, entonces B es la matriz inversa de A. Y la notaremos de esta manera. Veamos un ejemplo. Si tenemos esta matriz A 2 por 2, la matriz inversa será esta de aquí. ¿Por qué es esta la matriz inversa? Bien, pues porque si multiplicáis A por A-1, veréis que es la identidad. Y si multiplicáis esta segunda matriz por la primera, veréis que también obtenéis la matriz identidad. No estamos diciendo cómo calcular esta matriz inversa en el caso de que exista, sino que estamos diciendo que esta es la matriz inversa, es decir, comprobando directamente que es la inversa de esta matriz. Veamos algunas propiedades. Dadas dos matrices A y B cuadradas a coeficientes en un cuerpo K y un escalar C del cuerpo, si la inversa del producto de matrices A por B es el producto de inversas, pero notad que al igual que pasaba con el caso del producto de la transpuesta de un producto, aquí el orden de las matrices también se ve alterado. En el caso particular de que tengamos el producto de una matriz por un escalar, la propiedad será esta de aquí que mantiene, de hecho es un caso particular de la primera donde C es un escalar. Y finalmente, la inversa de la transpuesta es la transpuesta de la matriz inversa. Recordad que hemos definido en este módulo el producto de dos matrices. Veremos a continuación un par de interpretaciones del producto a partir de un par de ejemplos. Comenzaremos con la primera de ellas, la que se denomina generalmente interpretación columna. Supongamos que tenemos el producto de estas dos matrices. La primera de ellas es una matriz cuadrada 3 por 3 y la segunda una matriz columna 3 por 1. El resultado, como ya sabéis, será una matriz columna de dimensiones 3 por 1. Permitidme notar las columnas de la primera matriz, como si fuesen vectores columnas, con exactamente estos coeficientes, los coeficientes que nos da la primera matriz. Si calculáis dos veces la primera columna, más una vez la segunda, más cero veces la tercera, obtenéis exactamente el producto de las dos matrices. Y el por qué 2, 1 y 0 no es fortuito y se obtiene del vector columna por el cual estamos multiplicando. En general, si tenemos una matriz con n columnas y multiplicada por una matriz columna de n filas, este será el resultado del producto de estas dos matrices. Más en general, si lo que tenemos es el producto de una matriz 3 por 3 por una matriz 3 por 2, es decir, en lugar de ser una matriz columna, lo que tenemos es una matriz con dos columnas, lo que haremos será aplicar el resultado anterior un par de veces. En efecto, el producto de estas dos matrices tiene dimensiones 3 por 2, esto de esta mente tiene dos columnas. La primera de ellas la obteremos aplicando el resultado anterior a la matriz primera por la primera columna de la segunda matriz y la segunda de ellas la obtenemos multiplicando la primera matriz por la segunda columna de la segunda matriz. Así pues, si notamos de nuevo columna 1, columna 2, columna 3, a las columnas de la primera matriz, esta combinación de ellas nos da la primera de las columnas de la matriz producto y la otra combinación, la que nos da los coeficientes de la segunda columna de la segunda matriz, nos da columnas del producto de las dos matrices. Y como os podéis imaginar, este resultado existiende no cuando tenemos dos columnas en la segunda matriz, sino cuando tenemos n columnas en general. Y evidentemente no hace falta que sea dimensión 3 por 3, sino que se extiende a cualquier dimensión. De manera muy similar, podemos considerar la denominada interpretación fila. Para ello, comencemos observando el siguiente producto de matrices. La matriz producto resultante será una matriz con una única fila de dimensiones tres columnas y una única fila. Así, si escribimos las matrices filas, fila 1, fila 2, fila 3, de la segunda de las matrices, observar que aquí estamos cambiando, estamos multiplicando un vector fila por una matriz cuadrada y la que utilizaremos, las filas que utilizaremos, serán las de la segunda matriz. Si calculamos dos veces la primera fila, más una vez la segunda, más cero veces la tercera, el producto 2, 4, menos 4, sería el mismo que si lo calculamos con la definición de producto de matrices que utilizamos a principio del módulo. Observar que el 2, 1 y 0 se obtienen exactamente al ser los coeficientes de la matriz fila por la que estamos multiplicando. En general, si tenemos un producto de este tipo, al igual que pasaba con las matrices, la interpretación columna, formado por n diferentes filas, esta combinación será la que nos da el producto de las matrices. Y de la misma manera que hicimos con la interpretación columna, si en lugar de tener una fila tenemos un par de filas, lo que haremos será aplicar el resultado anterior un par de veces. La matriz resultante de este producto será una matriz con 2 filas y 3 columnas y lo que haremos, insisto, será aplicar el resultado un par de veces. Si notamos de esta manera las 3 filas, esta será la combinación de filas que nos da la primera fila del producto. Y en este caso, 0, 1 y 0 es la que nos da la segunda de las filas del producto. El interés principal en calcular este producto, utilizando estas dos interpretaciones, subyace la estructura lineal de los elementos que intervienen y que permiten dar a estos productos una riqueza algebraica mayor. No entraremos de momento en detallarla, puesto que no hemos hablado de espacios vectoriales, pero sí que es conviviente que lo tengáis en mente. Y ya estamos a punto de acabar este vídeo, donde repasamos algunas propiedades de las matrices. Pero antes, os proponemos, como ya viene siendo habitual, que respondáis a una rápida pregunta seguida de un ejercicio. La pregunta es acerca de cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas y cuáles son falsas. Pues bien, la primera, recordad que es una afirmación cierta, como ya vimos. La segunda de ellas no lo es, recordad que lo que era cierto era, invertíamos el orden del producto. La tercera no lo es, puesto que observar que no es una matriz cuadrada, y en el caso de que existan, tendrán que ser matrices cuadradas. Y la última sí que es cierta. En realidad, lo que hacemos es aplicar la propiedad que nos daba la inversa del producto de matrices un par de veces. Calculamos la inversa de esta manera, donde primero aplicamos la propiedad asociativa, la matriz A por B, y aplicamos la propiedad que ya vimos, y de nuevo, ahora aplicamos la propiedad al producto AB. Y obtenemos exactamente lo que nos proponía el enunciado. Y acabamos con la propuesta de ejercicio. Como os comentaba, os damos estas dos matrices A por B, donde los coeficientes de las matrices están en el cuerpo finito de tres elementos, y os proponemos que demostréis que A es la inversa de B.