 de la clôté à l'alimentation donc je ne veux pas faire des choses très générales dans les prévues discussions donc je vais prendre la preuve dans le cas où nous sommes en train de faire un groupe G, c'est SL4R et le U est le groupe de les matrices triangulaires bloquent les matrices triangulaires avec une identité sur le diagonale et le B est un 2x2 métro avec une coïncidence de frein et la théorème que je veux parler et j'ai commencé à prouver dans la lecture 2 c'est une théorème qui était un cas spécial d'une très générale édition pour un groupe semi-simple dans cet cas-ci c'est de l'Héo et il vous dit que si je prends gamma discrète la groupe de G comme que l'intersection de gamma avec cet équilibre horothéorique U est compacte dans vous puis gamma est commensurable pour le point G de la forme de G donc du point GZ donc il y a un moyen de voir G comme groupe de matrices décédée par un coefficient polynomial avec une coefficient de Q et vous avez pris le point G et par Borel Arechandra nous savons que un groupe de la forme de G est un groupe de la forme de G donc par conséquence chaque fois que vous avez cette assumption par conclusion vous obtenez que gamma est la forme de G comme je l'ai dit margoulis est capable de prouver c'était margoulis l'un du premier arrhythmie de la théorème que si vous assumez que c'est la forme de G la forme de G puis ce sera automatiquement la résistance et cela va satisfaire cette forme et la principale conclusion de margoulis c'était que c'était arrhythmique est commensurable pour un GZ et mais au début vous assumez que gamma est la forme de G ce que nous n'avons pas assumé ici mais comme vous le verrez partie de la forme de G utilise que gamma est la forme de G partie n'a pas utilisé et je vais réutiliser partie de la forme de G donc c'est ce que je vais faire pour cette heure pour finir la proof de cela je vais récolter à vous ce que nous avons fait la dernière fois nous pouvons prouver que l'orbit était fermé et je vais essayer de vous exprimer qu'est-ce que l'argument de l'utilisation de la fermeté de l'orbit que le groupe est en fait arrhythmique est commensurable pour un GZ et à la fin de la fin de la prochaine heure je vais... j'ai les choses que vous serez curieux donc je vais descendre à G c'est-à-dire SL3R donc je vais prouver le même CRM pour SL3R mais vous le verrez en fait l'argument est plus difficile c'est pourquoi j'ai commencé par SL4R et maintenant ce que nous avons fait la dernière fois c'est que nous avons fait la dernière fois c'est qu'on a dit ok et puisque la gamma est de la résistance je peux trouver un élément G0 en gamma comme ça G0 U G0-1 est opposé pour vous c'est-à-dire que vous pouvez ce que j'ai exactement dit sur G0 c'est que je peux ici je vais donner une définition précise mon G0 je peux le dire A G0 B G0 C G0 D G0 blocs matrices et cette condition opposée sera juste la détermination de ce bloc pourquoi est-ce intéressant de faire ça c'est parce que je peux je peux changer les bases de R4 si les bases étaient E1 E2 E3 E4 vous voyez la forme de vous dépend seulement de E3 E4 sur ces deux planes donc j'ai changé les bases les nouveaux bases que j'ai voulu c'est en fait G3 G0 E3 G0 E4 donc c'est un nouveau base et ce groupe U- qui est un conjugate de U par G0 dans ce nouveau base vous gardez la même forme mais U- c'est un nouveau type c'est un set de matrices 1, 0 C 1 avec C 2x2 matrices et c'est bien parce que depuis que j'ai conjugé un élément de gamma puis le groupe delta- qui est G0 G0-1 est un compact dans U- donc je me souviens j'ai fait des changements de bases pour arriver à cette nouvelle situation d'avoir gamma contenant tous les thèses de U et U- si vous commencez vraiment avec U et U- et si vous avez un groupe Zarisky n'hésitez pas à trouver un élément si vous avez un élément de U n'hésitez pas à trouver un élément de U- mais si vous faites ce changement vous arrivez à cette situation où vous avez un groupe Delta et Delta- et ce que j'ai fait la dernière fois j'ai dit OK laissez L0 c'est le set de matrices A 0, 0, D comme ça le déterminant de A est le déterminant de D est 1 et donc c'est un groupe qui est isomorphique à SL2R cross SL2R et la proposition que l'on a prouvenu la dernière fois cette seconde lecture a été une prouve complète de cette proposition qui est l'orbitage L0 à moins de prouver pour l'orbitage single et pour l'orbitage double c'est le même l'orbitage L0 appliqué à la couple Delta Delta- est fermé dans XU cross XU- et XU c'était l'espace de l'orbitage covolume 1 dans vous c'était quelque chose comme SL4R sur SL4Z et vous avez deux copies vous avez cet orbitier dans cet espace qui est un espace homogène et maintenant on veut déduire le serem de la proposition ok donc d'autres questions pour une lecture 2 que j'ai juste sumé G est SL4R ok et c'est un subgroupe de G qui est faite de blocs c'est un groupe de 4x4 matrices faite de 2x2 oui, vous regardez à eux blocs matrices et les sizes de blocs sont 2x2 donc ça fait cette L0 qui est un subgroupe de SL4R qui est en fait l'intersection d'un normaliser de few et d'un normaliser de few minus et donc ce groupe est un subgroupe de SL4R mais comme groupe c'est isomorphique de SL2R ok mais votre remarque est un bon remarque parce que il y a les 4 qui sont pas les mêmes ici ces 4, vous pouvez penser que c'est 2D ok et vous avez bloqué DxD matrices ici ce sera D et D SLD x SLD ok mais puis en ce cas, vous avez mentionné D2R et quand vous laissez L0 acte sur vous il taxe sur un espace de dimension D2R donc ce 4 est un D2R donc pour étudier cette groupe SL4 vous avez à étudier l'action de SL2D, de SLD x SLD dans un espace de dimension sur un espace de un espace homogéniaire d'un espace vector de dimension D2R qui fait ce espace d'une dimension D pour le 4-1 c'est un grand espace ok donc nous avons ces statements et ce que je veux l'utiliser de ces statements peut-être que je dis un mot de la façon dont nous avons prouvé la dernière fois nous avons introduit parce que je vais réutiliser et je ne vais pas réutiliser ok donc la première partie c'est de partir de la clé à l'infini stabilisateur ok donc c'est la suivante proposition qui vous dit que dans une certaine situation quand vous avez un orbit close cet orbit close a en fait un volume final et depuis L0 a un volume final ce sera que le stabilisateur est non trivial et nous allons utiliser la non trivialité du stabilisateur mais comme vous le voyez je vais l'appeler de L0 qui est un groupe semi simple actuel sur cet espace le meilleur c'est d'avoir un résultat général et c'est la suivante proposition qui je pense devrait être attribuée à Daniel Margolis qui est donc laissez L0 sorry c'est très général mais vous pensez comme G0 un groupe biologique contente L0 et X0 c'est un espace homogène G0 par L0 donc G0 sera S4R cross S4R et L0 sera et puis je vais avoir un point ici le meilleur point X0 qui sera ce point Delta Delta Minus et ce que j'ai j'ai un groupe sub qui est semi simple et si le statement est que si l'orbit S0 X0 est fermé puis l'intersection S0 lambda est la laitiste en S0 cela signifie que l'orbit en fait a un volume final c'est la définition d'être la laitiste ok donc c'est grâce à cette proposition c'est-à-dire la proposition 2 que je vais aller de cette fermeté de l'orbit que vous avez un groupe ici, un stabilisateur qui est en fin de la nuit parce que c'est une laitiste quelque chose qui n'est pas compact c'est-à-dire des questions donc ce que je vais faire c'est donner une preuve de propositions 2 mais ce que j'ai trouvé bien expliquer cette proposition c'est que il met ensemble des arguments des arguments des arguments donc il va utiliser l'horgodyxurie un petit peu de l'horgodyxurie dans une très bonne façon mais je vais prendre pour garantir le résultat de l'horgodyxurie donc ce sont deux résultats qui ont été provenus dans les 70s et dans les 90s il y a un théramus de mixation donc il y a un théramus de recurrence et puis je vais expliquer comment de ces deux théramus vous avez utilisé cette proposition donc c'est pas le premier talk où je n'ai pas de preuves ou le second talk où je donne tout le proof c'est en-between donc pour prouver cette proposition 2 on va premièrement avoir besoin qui est un théramus un théramus de mixation donc je vais donner un statement d'un théramus il vous explique que vous commencez avec un S0 qui est un groupe semi-simple donc S i est un facteur simple et il commence avec une représentation unitaire d'un S0 PY0 c'est une représentation unitaire S0 cela veut dire que H0 est un espace ilbert et PY0 est un morphisme d'un S0 dans le groupe de transformation unitaire de H0 avec des propriétés continuatives que je ne vais pas entrer et vous assumez qu'il n'y a pas d'environnement comme ça si vous regardez le S0 d'environnement qui est un set de vector V dans votre espace ilbert H0 comme ça qui n'est pas moved par S0 c'est 0 donc c'est la définition du S0 d'environnement et l'assumption est que il n'y a pas d'environnement et puis si vous regardez la coopération donc vous regardez pour chaque VW dans H0 si vous regardez la coopération PY S VW c'est un product scolar dans mon espace ilbert j'ai 2 éléments de mon espace ilbert j'ai poussé un élément par un élément S dans le groupe parce qu'ils ont une représentation et je regarde le product scolar donc ça s'appelle la coopération et le statement est que ça va être 0 quand S va à l'infinité et pas seulement S doit aller à l'infinité mais toute sa projection sur tout le SI par 0 merci donc c'est le statement de comment plus de mixage sereme si vous n'avez pas d'environnement la coopération va être 0 et vous verrez pourquoi on s'appelle mixage en général vous appréciez ce genre de théorème pour un espace ilbert de fonction et un très important exemple c'est quand la fonction est caractéristique d'un set donc vous voyez que vous avez caractéristique de un set B caractéristique de un set A et il vous dit comment la action tourne A et quand vous comparez l'intersection avec B vous voyez que la proportion de l'image de A par A et B est donnée par la masse de A ok donc c'est un résultat de mixage ici c'est le statement de précision c'est celui que je vais utiliser et c'est celui d'autre et j'ai besoin d'un bout donc je vais aller ici le fact 2 qui est la recurrence de Dani Margolis et le recurrence CRM et ça vous dit peut-être avant de quoting fact 2 je vais vous dire pourquoi parfois la proposition 2 est pas correct pourquoi vous avez besoin de cette assumption que S0 est semi simple donc peut-être que je vais vous donner un exemple ici ce n'est pas vrai quand S0 n'est pas semi simple donc nous allons utiliser le semi simple nous allons l'utiliser en homo on vous aide à comprendre ce que ça veut dire ce que ça veut dire donc l'exemple c'est pour prendre X0 pour être SL2R sur SL2Z je vais l'appeler L0 en lieu de S0 L0 je prends le groupe diagonale donc c'est la matrices qui prennent l'axe sur R2 il contracte en cette direction et explique en cette direction donc si vous regardez l'orbitage standard qui est Z2 vous contractez en cette direction vous expliquez en cette direction donc vous voyez que cet orbitage est fermé mais il n'y a pas de stabilisateur donc cet orbitage est fermé et a un volume infinitaire donc comme une picture vous pouvez le faire de cette façon vous pensez que cet orbitage c'est l'espace d'un plan hyperbole vous avez l'orbitage donc vous avez ce genre peut-être que je le fais pour le faire plus fancier mais c'est le couvercle de celui-là et comment est votre orbitage L0 ? c'est un géodésique et cet géodésique peut-être fermé sans être compact donc comment ça peut s'occuper ? si ce n'est pas un compact géodésique cela signifie que ça doit venir de l'infinité ici peut-être faire quelque chose ici je ne sais et puis je vais retourner à l'infinité donc c'est mon orbitage L0 donc c'est possible parce que je vous donne un exemple ici mais vous avez une picture ici donc c'est possible vous pouvez imaginer orbitage dans un espace final qui est fermé mais il n'y a pas de volume final mais c'est très étrange ce n'est pas étrange ce n'est pas étrange ce n'est pas étrange ce n'est pas étrange ce n'est pas étrange celui-ci ce n'est pas étrange là il y a un petit cyste il y a un petit pistolet le噴 est en fait un passages ce n'est pas étrange il n'y a pas de montage là c'est pareille il y a un petit feu Je vais vous donner une picture pour l'unipotent ici. Ce sera pour l'action de UT. En fait, le statement vous dit que, à partir de tous les points, vous serez capable de trouver un compact, comme si vous regardez votre orbite à partir du X. Peut-être que des fois, il y arrive dans le casque, mais ensuite, il revient. Je ne sais pas, mais... OK, ma picture n'est pas si bonne. Mais quand le statement vous dit que il ne revient jamais à l'infinité de cette façon, il revient toujours et spente le plus de ses temps dans un compact. Donc, un statement précis, c'est... Chaque fois que j'ai fixé une positive epsilon, je suis capable de... pour tous les points dans le X0. Donc, les notation sont les mêmes que la proposition 2. Un paramétre de groupe de G0. Ce sont les mêmes notation que l'Homo. OK. Pour chaque positive epsilon, pour chaque X dans le X0, je peux trouver un K dans le X0 compact, comme ça, pour chaque fois, la proportion de temps... vous regardez tout le temps dans 0, T que vous avez spenté dans K. La proportion de temps que vous avez spenté dans K entre 0 et T, c'est au moins 1 minus epsilon. C'est la property de l'unipotent. Donc, ces deux statements ont un très fort... l'air godique. Et ce que je veux faire, c'est expliquer pourquoi la proposition 2 est la conséquence de ces deux facts. OK. Donc, c'est la seule partie de l'Homo qui sera prouve. Il y a une prouve maintenant. Oui, des questions, merci. Quand vous dites que c'est pas le volume final, le volume final, quel volume est-il? Vous parlez de volume O. Oui, c'est juste un moyen d'écrire que l'intercession lambda est en S0. Donc, ce sont les précises statements. OK, donc... Cela signifie que le quotient de S0 par S0 intercession lambda 0 pour la mesure armée de S0 est le volume final. Et ce quotient, en fait, c'est S0 par S0 intercession lambda 0. Mais pour sûr, nous avons un ordinateur avec un ordinateur de petite dimension donc vous ne devez pas choisir la mesure armée de S0 pour composer ce volume. Il doit être 0 toujours. OK, donc, je vais vous donner une prouve de proposition 2. Donc, je dois vous dire que la date est ici. J'ai cet ordinateur S0 donc je dois vous dire ce que je considère ce qu'est mon ordinateur S0 avec une ordinateur unitaire de S0 que j'ai choisi pour mon ordinateur S0 j'ai choisi la fonction L2 sur X0 mais avec respect à lambda 0 et ce qui est important ici est que lambda 0 n'est pas l'ordinateur S0 sur lambda 0 mais sur Z orbit donc lambda 0 est l'ordinateur S0 sur l'ordinateur S0 X0 Donc, nous savons que sur cette question S0 par S0 intercession lambda 0 j'ai un ordinateur invariant mais nous ne savons pas si ce ordinateur est un ordinateur ou un ordinateur infallable et nous voulons profiter un ordinateur infallable donc nous introduisons ce ordinateur sur S0 mais pense en un ordinateur sur X0 parce que vous avez un ordinateur sur X0 depuis que l'ordinateur est fermée ce que vous avez lambda 0 est encore un ordinateur sur X0 un ordinateur en compact donc qu'est-ce que l'ordinateur ? je compute par 0 de quelque fonction par 0 de S de quelque fonction par 5 si je le compute en X je laisse mon ordinateur S acte c'est par 5 en S-1 X0 donc, l'ordinateur lambda 0 est invariant cela vous donnera un ordinateur unitaire c'est la façon dont vous actez ok donc maintenant j'ai mon ordinateur et comment j'ai choisi ut ? choisir ut ut a priori est en G0 mais n'importe où en G0 c'est juste pour être unipotent mais je vais le prendre en S0 et j'en mange pour que nous serons dans cet ordinateur ici pour avoir une image non-trégale en S1 donc maintenant je suis capable de replier tous les ordinateurs pour chaque point X en X0 je serai capable de trouver un ordinateur compact pour lequel cette condition est vraie donc c'est vrai pour chaque point X0 et depuis que vous avez seulement un ordinateur compact vous regardez une sequence d'ordinateurs vous extractez une famille d'ordinateurs donc ça veut dire que vous pouvez trouver un ordinateur positif pour lequel le même ordinateur compact fonctionne pour tout le monde donc je sais qu'il existe un ordinateur dans X0 d'ordinateurs positifs comme ça et puis il y a un ordinateur compact qui fonctionne pour tous les points A il existe K dans X0 compact comme ça pour chaque point dans A ma condition star est vraie c'est ma condition star donc ce que je fais c'est que je intégrerai cette condition je intégrerai cet ordinateur sur A ou d'autre façon ce que je intégrerai c'est que je intégrerai la compétition c'est que je intégrerai la compétition peut-être que j'ai besoin de plus de room donc pour faire ma compétition je vais essayer donc j'ai besoin de plus de room je pense qu'il y a plus de room ici donc c'est que j'ai besoin de compétition la compétition j'ai besoin de plus de room merci j'ai besoin de plus de room merci donc j'ai besoin de compétition u-t et les deux vecteurs que j'ai choisis sont les caractéristiques d'A j'ai choisi A de volume et la caractéristique de K c'est par 0 je compute ça et ce que c'est c'est juste la compétition c'est juste la définition c'est la compétition d'intersection u-t A intersection K le produit scala en L2 c'est juste l'intégral et je veux compter l'intégral du produit de ces deux fonctions et cette fonction est juste la caractéristique d'UTA donc c'est juste la mesure totale d'intersection K ok donc quand vous regardez cette formule vous comprendrez que la coopération d'unité de représentation a un très fort sens parce que vous voyez que c'est une mesure d'intersection de deux sub-sets donc nous voulons étudier cette coopération par A ou Mou ça devrait être à 0 mais par Danny Margulis nous allons avoir une information en avrage donc je vais juste avraiser entre 0 et T 1 par T cette quantité elle reste à 0 par A ou Mou non ok je ne vais pas le dire comme ça je vais compter sur la droite c'est l'intégral dT l'intégral dT et vous réwritez c'est un double intégral parce que vous avez l'intégral au temps et vous avez l'intégral au espace lambda0 est l'intégral de cette fonction caractéristique donc vous exchangez et ce que vous trouverez c'est que c'est equal à l'intégral sur point A donc l'intégral sur A et ce que vous regardez c'est si UT de point A est belongs to K c'est ce que vous regardez vous regardez l'intégral de A d lambda0 de X mais vous faites un average en temps donc ce que vous regardez est le set T 0T pour lequel UT de X est en K et vous utilisez la proportion de ça entre 1 et T donc c'est une re-writing de cela vous avez apprécié Choubini ce que je dis c'est que l'intercession UTA avec K est la même que l'intégral sur A de l'intercession du point X dans A que j'ai spenté donc ce que nous savons c'est que c'est uniformement plus grand que 1-epsilon donc ce que nous avons c'est plus grand que 1-epsilon d lambda0 donc c'est très positif c'est indépendant de T pour chaque T donc ça vous dit que ce n'est pas 0 donc vous appréciez Aomour Aomour vous dit que c'est un test d'accepter que c'est un vector si ce n'est pas 0 ça signifie que vous avez un vector mais vous voyez dans l'espace ilbert l2 de x0 dans l'invariant si dans l2 vous avez dans l2 de l'orbitre l'invariant vector est la fonction 1 et cela signifie que la fonction 1 est intégrable donc cela signifie que le volume d lambda0 de l'orbitre est finit donc j'ai promis la finitonnette de l'orbitre de l'orbitre de l'orbitre vous avez des questions ? oui vous êtes ici vous avez trouvé que ce espace contient s0 en vector qu'est-ce que ce espace c'est l2 je l'appelle l2 x0 lambda0 mais lambda0 est une mesure supportée par l'orbitre l'invariant est supportée par l'orbitre donc en fait ce espace ici h0 n'est pas que l2 s0 sur s0 dans l'intercession lambda0 c'est un autre moyen de l'écrire si vous avez le s0 dans l'intercession lambda0 il doit être la fonction constante cela signifie que la fonction constante est intégrable donc le volume est finit donc... oui comment est-ce qu'il existe ? pourquoi est-ce qu'il existe ? ah j'assume implicitement que mon groupe semi simple n'a pas de facteur compact donc dans un groupe semi simple qui n'a pas de facteur compact dans un groupe non compact un groupe simple vous avez toujours un groupe unipotent 1 paramètres par exemple en SL2R c'est très facile d'avoir je vais l'appeler pour mon groupe s0 il sera SL2R ou SL2R donc c'est très facile de voir que vous avez un groupe unipotent 1 paramètres merci donc dans le s0 il y a des produits c'est pas très important vous pouvez aller peut-être pas exactement un produit c'est peut-être un produit modulo fanartcenter peut-être j'ai oublié de dire que s0 tout le monde est fanartcenter pour être bien à la fois pour ce statement peut-être vous devez assumer s0 peut-être il ne peut pas être exactement un produit mais dans l'application je vais l'appeler pour SL2R ou SL2R donc peut-être c'est pas la meilleure hausse mais c'est suffisant oui ce que je dis c'est que ce compact il y a un compact donc si je prends une plus grande c'est encore mieux donc je prends une séquence KN de compact qui couvre votre espace donc vous regardez le set de point pour lequel cette propriété est vraie pour KN donc vous appelez AN et alors vous avez une séquence incroyable AN avec l'union c'est tout donc à la fois une des N c'est une bonne question sur la notation sur la 2e vous avez pi naut est-ce que c'est un s ? c'est un s c'est un s c'est un un de ces s l'aie où est-ce que c'est le long un s c'est un s belonging à s0 vous voyez c'est une unité de rotation donc ça veut dire que c'est un morphisme de s0 pour la transformation unitaire de mon espace ilbert donc pi s0 ce objectif ici sera une transformation unitaire de mon espace h0 une transformation unitaire donc je peux appeler un vector h0 et faire le produit scala c'est ce que les coefficients sont d'autres questions donc c'est bien à la fin de la journée où nous arrivons c'est que nous avons cette information conclusion si j'introduise let gamma prime c'est le groupe span de delta et delta minus et gamma double prime est le normalisateur de g de gamma prime nous avons provoqué que nous savons que gamma double prime intersection l0 est infini nous avons trouvé des éléments peut-être pas en gamma mais dans le normalisateur peut-être que vous pensez que gamma est rempli de gamma prime mais ce n'est pas très important donc vous pensez que gamma est dans ce groupe span de delta et delta minus et nous avons trouvé des éléments dans le normalisateur de gamma qui belongent à infinitivement beaucoup d'éléments parce que c'est la lettre ici dans l0 infinitivement beaucoup de éléments euh qui belongent à l0 a priori nous avons des éléments en nu nous avons des éléments en nu minus beaucoup et ce que nous avons trouvé dans cet argument, beaucoup d'éléments dans l0 et depuis que j'ai 5 minutes je vais juste dire quelques mots pour terminer maintenant tout le travail était pour atteindre ça parce que Marguely's 1st proof de la lettre n'a pas vraiment utilisé le fait que le groupe était la lettre mais il choisit que ici vous avez des groupes infinitaires donc laissez-moi l'écrire et euh c'est tout ce que j'ai besoin de m'expliquer très rapidement maintenant j'applique un résultat prévu non qui est de euh l'infinite stabilisateur à l'arithmétique comment vous faites ça vous appliquez ce résultat de Marguely's qui est Marguely's construction de q-form il n'a pas dit ça comme ça mais si vous regardez la lettre, c'est ce qu'il prouve il vous dit que si la même assumption c'est la lettre comme la lettre si la lettre intersection L est infinitaires peut-être la lettre ici ou L0 est infinitaires puis il est inclus dans une q-form donc il y a une q-form de G pour laquelle Gama est inclus dans la q-form et euh puis je veux expliquer ce fact 2, c'est pourquoi j'ai écrit fact 3 et non, je vais dire euh fact 4 ici on est juste à l'intérieur de la q-form peut-être à l'intérieur de la z-form mais quand vous êtes à l'intérieur de la z-form il y a un résultat très vieux que je veux quitter de Raghunathan et de Venkataramana dans les 80s Venkataramana on vous dit que sous la même assumption de euh vous êtes dans la situation de la conclusion de Margulis Thorem mais c'était complètement indépendant c'était si l'assumption est que si Gama est inclus dans GZ Assume Gama est inclus dans la z-point de euh de la q-group donc et Gama et Gama intersection euh des musées euh c'est compact Gama intersection U est compact comme dans Thorem donc la seule chose que je veux dire c'est que Thorem était aussi connu sous l'assumption extra en fait Gama est déjà dans la z-form si Gama s'occupe dans GZ si Gama intersection U est compact puis Gama en GZ donc c'est comme ce facte let's me quote special cases vous êtes par exemple dans SL4Z vous assumez que vous êtes en SL4Z vous avez un subgroupe en SL4Z et vous assumez intersez l'appare le groupe U comme un subgroupe en Z4 quand B est en 2x2 matrices avec coefficient en Z donc c'est juste un subgroupe et c'est la danse et ce qu'ils conclurent c'est que tout le groupe est un subgroupe en GZ donc c'est et donc ce facte a une très longue histoire dans les années 70 relativement au problème de subgroupes c'est un intéressant pour les gens dans les arithmetiques et en étudiant les groupes et par exemple le cas où l'SLDZ est par TITS mais ok le résultat général est là et comment je mets tout ensemble c'est très facile parce que je n'ai pas cette information pour Gamma j'ai l'information pour Gamma Double Prime mais vous avez le lit exercice vous avez vu que si un groupe est discrète et dans les arithmetiques c'est normal il est aussi discrète et dans les arithmetiques donc je vais finir le proof de la RAM donc Gamma Double Prime est discrète et dans les arithmetiques donc par le facte 3 cela implique que Gamma Double Prime est inclus dans quelques GQ ok mais puis le groupe Gamma Prime Intersection GZ satisfait l'assumption de fact 4 donc par fact 4 ce groupe Gamma Prime GZ a l'index et Gamma 2 parce que Gamma Prime Intersection GZ est inclus dans Gamma Gamma also donc la fin du proof je ne veux pas entendre les détails comme je vous l'ai déjà dit il y a une série de 4 lectures sur ma web page 40 pages longs tous les détails sont written down there en particulier un full proof de margoulis sorem fact 3 et also of fact 4 for SLDZ donc vous verrez ce genre d'argument et maintenant je pense que j'arrête et dans la prochaine lecture je vais étudier 3x3 matrices