 Perfeito. Então, é um prazer de apresentar Vançã Delé Coix, que agora trabalha em CNRS na Universidade de Bordeaux. E, Vançã, você vai continuar o mini curso 3, que é compartido com Carlos Matheus. Então, você vai fazer o conteúdo de origamis espacios de Moduli e Volumen de Maisur Veich. Muito obrigado, senhorie. E bons dias a todos e por as. Então, hoje em dia vamos fazer a combinatória, é dizer, contar os origens. Mas antes, eu vou mostrar um paquete no software Sage, que já vimos em o curso de Héctor, ayer e o dia antes. Então, também em Sage, é possível fazer cálculos com superfícies de translação e com as superfícies quadriculadas. A pantalla que vem agora é um notebook ou uma obra, que é parte do Sage. Há várias maneiras de usar Sage. É uma de elas. De outra maneira, podem ir em linha, como vimos no curso de Héctor, com Sage Cell. E este paquete, Surface Dynamics, está instalado em Sage Cell. Então, todos os cálculos que vou mostrar, podem realizá-los em Sage Cell também. Bom, o primeiro passo para usar o paquete é fazer o import. Não é tão interessante, mas se fazer isso, tem muitas funções agora definidas no software. A primeira função que vamos ver é o origami, que é o objeto mais importante do curso, que são essas superfícies definidas por quadrados. Bem, o toro, não é tão interessante, é um origami feito com um solo quadrado e pegado do lado esquerdo com o lado direito e do lado superior com o lado anterior. Vem um número grande 1, que é o número do quadrado, e números pequenos nos lados que dizem em que outro quadrado está pegado. Como aqui, temos só um quadrado, temos só um nos bordes. Outro exemplo que vimos nos dias antes é a superfície em forma de L. Esta superfície é dada por três quadrados, pegados com essa permutação H, essa permutação V, vertical. Aqui é um dibujo, e podem ver se o software não é tão inteligente, porque outra possibilidade de fazer o dibujo é pegar esse lado superior ao 3 e pegar ele abaixo do 1 para ter um polígono conexo, mas é um dibujo e os números pequenos em gris dizem como pegar as coisas. E o último exemplo que Mateus definiu é a Alegante von Müsse, que é uma palavra alemana. E esse origami tem um dibujo melhor porque é incluído no software. É definido por 8 quadrados e não são... Bom, há aristas que... Em la mitad, há aristas que são um pouco mais escuras porque são corpos. O 6 por abaixo não é pegado ao 2 por cima. O 6 é pegado ao 4. Podem ver o 4 pequeno no quadrado 6. Bom, essa função origami grande lhes permite definir origamis e há origamis que são predefinidos como a Alegante von Müsse. E a primeira função interessante para nós é o cálculo do extrato. Podem ver na figura da Alegante von Müsse que temos diferentes cores na esquina dos quadrados. É porque esses pontos são diferentes. Cada color corresponde a um ponto na superfície. E essa superfície quadriculada tem 4 singularidades. Então, o extrato é este contigo de singularidades que temos quando identificamos as esquinas. Bom, o 1 está para o toro. Tenho este H0. O 0 é para dizer que não há singularidade. O segundo origami estava em forma de L. Já vimos que esta parte desse H2 e o terceiro, que é o Alegante von Müsse, pertencem a uma estratégia de gênero 3. Bem, o pequeno aqui é o gênero. Em a mudação de Matheus, não havia este G no índice, mas o pusei porque o software o faz. E já são esses três exemplos. Bom, fazer este cálculo é simplesmente um cálculo de permutações. É o computador, se se lembra, e é simplesmente a descomposição em ciclos do computador das duas permutações H e F. Agora podemos fazer uma coisa um pouco mais avançada, que são os cálculos de grupo de Ditch. Temos essa ação de SL2 de Z, no conjunto dos origamis, e os estabilizadores de essa ação se chamam de grupo de Ditch. Bem, se faço isso, tenho dois grupos, que são os subgrupos de SL2 de Z, e o output do print é esse texto aqui. Então, o subgrupo é definido por quatro permutações que dizem como os cosets, os right cosets do grupo, se permitem quando actuamos à esquerda com generadores de SL2 de Z. SL2, SL3, L e R, que vemos aqui, são nomes de generadores de SL2 de Z. Bem, o SL2 e o SL3 não nos importam tanto. São generadores de ordem 2 e ordem 3, que são importantes, mas o que usam Mateus em seu curso são os generadores que ele chamou S e T, que são essas matrícias parabólicas, e no software se chamam L e R. Então, esse L e R são os mesmos que usam Mateus em seu curso. Então, temos a ação. Então, o primeiro grupo é algum grupo de Ditch, é o total de Z. Então, é só um coset, e esse coset não é permitido por qualquer generador, então temos algo muito simples. Mas o segundo, que é o grupo de Ditch de L, tem um índice 3, é o SL2 de Z, e então temos uma descrição de ação por os generadores. Mateus explica que por o caso do Aialigan de Wernilson, o grupo de Ditch é o SL2 inteiro, porque é um origami característico. E podemos verificar isso em 6, perguntar se o grupo de Ditch de Aialigan de Wernilson é o SL2 Z e a resposta é verdade. Bom, se vocês gostam mais de dibujos que textos, podemos fazer dibujos desses grupos. Então, uma versão que apresentou Mateus é fazer esse grafo, onde vemos a ação do generador L e do generador R. Então, colocamos um índice por cada origami na ordem e colocamos um arista quando o generador manda um origami ao outro. Bom, os detalhes das comandas não são tão importantes. Mais importantes são esses dois grafos. A esquerda é o distrubo do toro, que é o 2 de Z, é só um cuset, não é interessante, mas a direita é o grupo de Ditch de L com os três quadrados. Vem a ação do... Bom, o L é escrito pequeno e o R pequeno, mas no azul é a ação do R e no rojo ação do L. Então, vemos como atual grupo. Se gostar mais da geometria que a combinatoria, podem também fazer dibujos no semi-plano de Poincaré, no plano hyperbólico. Para fazer isso, há um pouco de trabalho em Z. E esses são os dois dibujos. Mateus fez um dibujo, mas não é exatamente o mesmo que vemos na esquerda. A esquerda é um domínio fundamental por a curva modular, a ação do 2 Z entera. E o que Mateus fez é tomar uma copia da parte de cima. Vem que há dois cores. É importante isso. Um color blanco e um color azul. E são dois pedaços do mesmo domínio fundamental. O domínio fundamental que Mateus fez é um pouco diferente, mas é outro domínio fundamental. Não importa tanto. E cada grupo de Vich tem um domínio fundamental que é uma união de transportes deste domínio fundamental. A direita vem a figura por o grupo de Vich do origem em forma de L. Tem três copias, porque é de índice 3. É a figura que vem. Os cores significam que se pegam nos lados. E podemos... O G1 e o G2 que definem... Bem, muito por baixo aqui são os grupos de Vich. Podemos perguntar as propriedades desses grupos. Por exemplo, posso perguntar o índice, que são 1 e 3. E também posso perguntar se o grupo é de congruência. Uma propriedade que Mateus discutiu ontem. Se um grupo de Z2 de congruência contém um grupo de matrizes que são congruentes para a identidade n por um certo n. É um teorema não trivial que tem um algoritmo para dizer se um grupo é de congruência. Esse algoritmo é em Sechen. Podemos perguntar. Uma coisa que Mateus discutiu ontem é o teorema de Hubert Lolière sobre essa propriedade de congruência nos origamis de H2. O L com esses 3 quadrados pertenece a H2 e seu grupo de Vich é de congruência. Mas o teorema de Hubert Lolière diz que não outro organismo em H2 é de congruência. E isso podemos verificar no software. Esse texto é a lista de todas as órbitas de origamis em H2 até 9 quadrados. E por cada número de quadrado, o código diz o número de órbitas que temos e vê que são 1 por 3, 1 por 4, e depois 2 por 5, 1 por 6, 2 por 7, 1 por 8, 2 por 9. E veem que a partir de 4 é muito irregular. É 1 e 2, 1 e 2, 1 e 2. E isso é um teorema também de Hubert Lolière no caso N primo e de Macmillan no caso general. Sabemos classificar e Mateus vai falar sobre isso no último curso, essa classificação de H2. Ação. Mas o que eu queria dizer é que essa propriedade de congruência é verdade por L, que é o único origami da... a única curva de Peshmura aritmética com 3 quadrados. A congruência é certa, mas podem ver que por todos os outros, a resposta is congruência é falsa. Então isso é um exemplo de que eu comprei o teorema de Hubert Lolière sobre a propriedade de congruência n'H2. Ok, já está terminado a demonstração em Sage. E se tiver perguntas, podem fazer agora ou mais tarde. E há um sítio por surface dynamics, se buscan em internet. E vou colocar essa loja no sítio do ICTP mais tarde. Bom, vamos mudar o assunto. E agora, começamos com a combinatoria. Nós cambiamos um pouco de tema, que vamos contar. Antes de contar, bom, é um exercício interessante contar, mas há motivações, e também motivações geométricas. E o que são? Bom, duas dessas motivações são os que são e variantes do hebraíquo de curvas complexas dentro de uma variedade complexa. E podem agregar esses dados em uma função generatriz. E há colecturas sobre a natureza dessa função generatriz. Então, o que são os origens? É um exemplo muito básico de invariantes de promofriden. Quando a variedade é uma curva mesmo, o x é uma curva. Não é importante saber o que é grimofriden para entender qualquer coisa desse curso, mas é uma motivação que essa colectura, que não é formulada completamente, se verifica com os origens. E outra motivação é que temos esses espaços, as estratas HG de K1, K2, até K sigma, que são os pontos de superfícies de transição que vamos definir em um momento. E esses espaços são espaços geométricos, são variedades algebraicas. E esses espaços também têm uma forma de volumen, que é canúnica, que se chama o volumen de Massjordic, que vamos definir hoje. E o conto de origami para a massa total deste volumen. Vou explicar isso e dar uma prova hoje. Bom, já por as motivações começamos com o trabalho. Matheus falou um pouco de superfície de transição geral. Uma definição possível é que tomamos polígonos em R2 e temos também dado um emparejamento, é dizer, por cada lado tenho outro lado para pegar. E a prioridade que é necessária para definir uma superfície de transição é que um lado que é em parco outro lado deve ser paralelo e os vectores normais devem ser opostos. Podem ver nesta figura que se parece como uma forma de L, um pouco predominante. Todos os lados A, B, C e D são todos os pares A, B, C e D são pegados, são lados que são paralelos e com normais opostos. É mais geral que uma superfície quadrícula para ter definição de superfícies quadrículas. O único que devemos mudar é que não tomamos polígonos generales mas só quadrados unitais. Se nessa definição reemplizamos polígonos por quadrados, temos a definição de superfície quadrícula. Bem, essa definição os origamis estão como objetos discrets mas aqui veem que o espaço dos polígonos é como um espaço continuo e é o que vai acontecer. Os origamis são exatamente os pontos discrets de um espaço continuo. Uma outra forma de definir uma superfície de transação se ele gostar mais da geometria algebraica uma definição outra é que tomamos uma superfície de Riemann superfície no sentido de superfície real são uma dimensão complexa, 2 real uma superfície de Riemann e em esta superfície de Riemann o umorfa que não se faz e um exemplo de S é tomar em Peró esta equação em I que chega a Ix e se se lembra o primeiro curso de lector, vimos a equação que é uma curva elíptica uma curva elíptica é uma superfície de Riemann e podem fazer um cálculo, é um exercício interessante que este ômega, a forma diferencial de Ix sobre Ix é uma forma umorfa, é um pouco útil porque se vê que vale o Ix, Ix é uma raiz quadrada deste produto X, X-1, X-2 mas esse Ix se cancela nesses pontos então você tem que verificar algo para dizer que isso é umorfa em X mas é verdade e mais interessante as duas definições que temos com polígonos e com uma forma umorfa são equivalentes vão ver em exercícios como passar de uma a outra vou dizer algo sobre esta equivalência é fácil ver como se temos polígonos podemos definir uma estrutura de superfície de Riemann com uma forma diferencial o que fazemos quando temos esses polígonos em R2 temos em R2 uma forma de Z onde identificamos o plano R2 com C os complexos de Z é uma forma e como fazemos identificações com transação o de Z é também definido em o consciente na superfície de Z faz sentido essa forma de Z é exatamente uma forma que está aqui o ômega então isso é uma construção para começar com polígonos e ir até uma forma umorfa perguntar sobre as definições se não seguimos no resto do curso vou falar mais de definições sobre a primeira definição mas outras definições podem ser também com a segunda dependendo da sua preferência podem tratar de fazer outras definições usando uma outra definição e as estratas que eu falo Matheus no primeiro curso são coisas um pouco delicadas isso não é exatamente uma definição matemática vou explicar porque primeiro damos essa definição aproximada o que fazemos é que tomamos um vetor como sempre que são os ângulos das singularidades que fijamos e a estrada HG de Kappa é o conjunto de classes de isomorfismos de superfícies de transações de genejo G e singularidades cônicas de ângulos dados por K o K1 é o excedente por notação o K1 não é o ângulo mas é o número tal que o ângulo cônico é 2P que multiplica K1 mais 1 onde está o problema o problema é essa definição o problema é um pouco útil se conhecem a geometria hebraíquia é seguro que conhecem a reposta o problema é que digo que é um conjunto pode tomar classes de isomorfismos de superfícies de transações e dizer que isso é um conjunto isso é falso se conhecem a teoria de conjuntos não podem fazer isso tomar todos os conjuntos que verificam a propriedade no universo dos conjuntos isso não é uma definição e o problema pequeno é que deve ser mais preciso sobre como tomar classes de isomorfismos uma maneira de fazer isso é tomar um representativo canónico de cada classe de isomorfismo isso não importa tanto vamos ver como se parametriza essa estrada e não necessitamos a construção hebraíquia das estradas um detalhe importante é que não define o que é um isomorfismo de superfície de transações talvez já sabem porque tem uma intuição mas vamos fazer isso agora o que fazemos essas estradas é identificar superfícies que são isomorfas e com a definição combinatorial de cortar e pegar duas superfícies são equivalentes se podemos cortar e pegar uma e chegar a outra bom, é o que está escrito nessa definição no dibujo vê que tem um triângulo abaixo da superfície à esquerda e que o triângulo põe na segunda e essa operação não vai mudar o consciente da definição então tenho um digo que tenho um isomorfismo entre essas duas superfícies bom, agora temos a definição precisa de isomorfismo e ah, tenho um problema de compilação perdão, vou compilar de novo o documento não sei o que passa, verifiquei ok, perdão e agora faço a mesma definição de isomorfismo e a definição algebraica e vão ver que é muito mais simples porque com essa definição se faço dois dibujos de superfícies de translação não é tão fácil saber se as duas superfícies são isomorfas existe um algoritmo se estou dado dois conjuntos de polígonos para deduzir se as duas superfícies de translação são isomorfas mas não é totalmente óbvio no caso algebraico, a noção de isomorfismo é um pouco mais simples é simplesmente isomorfismo de superfície de Riemann X e X primo e precisa que este isomorfismo de superfície de Riemann dá uma forma para a outra então é muito mais fácil mas neste caso não é tão fácil ver que as duas definições são equivalentes tem que conhecer um pouco da combinatoria dos isomorfismos dos superfícies bom, mas podem tomar essas com definições e é um teorema que as duas definições são equivalentes bom as estratas ainda não estão claras o que estão mas podemos definhá-las muito precisamente localmente temos coordenadas locales de as estratas são muito óbvio são muito óbvias essas coordenadas se temos essa superfície de transição dado por um polígono com os dois A, B, C, D identificados o que vamos fazer é tomar os quatro vectores V, A, V, D, B, C, V, D que definem os lados bom, para fazer isso tem que escolher uma orientação dos vectores porque A pode ser da esquerda à direita ou da direita à esquerda fazer uma elecção de cada vector e tomar esses quatro vectores como coordenadas em C4 e podem ver que se tomar outro quadruple de vectores em C4 cerca desse quadruple posso construir uma superfície também porque esse dibujo pode deformar-se essas são as coordenadas das estratas localmente um espacial vetorial C4 é muito simples e há uma versão mais algebraica para quando temos a superfície dada por um X sem ômega o que fazemos é tomar a classe de comologia de ômega em a superfície bom, essa é a superfície topológica que corresponde a X e o sigma são os zeros de ômega mas o importante é que tomamos a classe de comologia de ômega e esses A, B, C e D são só integrais, esses vectores são integrais de ômega a respeito de uma base da homologia então esses vectores são só uma versão coordenadas dessa classe de homologia bom, essa é uma descrição da estrada localmente e é muito importante porque vamos ver que nos permite definir um volume e relacionar esse volume com o Origami agora vou fazer uma definição equivalente ao Origami em termos dessas coordenadas e um Origami é uma superfície de transação e um Origami é só a imagem da superfície a respeito dessa mapa de períodas que vimos essas coordenadas são inteiras aqui não são pegados é um isomorfismo de espacios vectores falta o sigmo a homologia e a isomorfa a Z a 2G x sigma-1 como Z modulo e em a versão combinatórica este dibujo, um Origami e só esses 4 vectores são vectores integrais, é dizer em Z mais I Z são as duas coordenadas a horizontal e a vertical são inteiras bom, isso é parte dos exercícios e agora já vemos que há uma relação entre os Origami esse espaço HK que são as estratas os Origami são os pontos inteiros das estratas e agora definimos a medida de Wich e a medida de Wich é muito simples porque temos essas coordenadas que identificam pequenos abertos na estrada com espacios vectores e quando temos um espaço vectorial há uma classe canónica de medida que são as classes da medida de Wich e para definir uma única medida o único que devemos fazer é dizer a normalização e normalizamos a medida de Wich de maneira que os vectores inteiros são os pontos inteiros de um espaço é a graça que temos pontos inteiros que podemos fazer essa normalização canónica e uma teorema muito importante de Mascher e Wich é que a massa total do conjunto da superfície de translação de área menor que um este conjunto na estrada é de massa total finita então eu tenho um número e se eu não pôs restrições aqui eu tenho uma medida infinita por a mesma razão que a medida de Le Deg de Rn é infinita mas aqui eu faço uma restrição sobre como uma bola e a medida de esta bola é finita e a teorema mais seguinte de Wich faz a relação entre o conteo de Origamis e este volume a massa total de as superfícies de área menor que um o que devemos fazer é o conteo de Origamis e devemos fazer um peso que um dividido por o número de automorfismo do Origami fazemos isso por a razão que as estradas não são variedades mas não é variedades smooth mas tem é um orbifol tem singularidades cónicas então este conteo com o automorfismo é exatamente para para contar as simetrias as simetrias dos pontos mas vamos ver que em H2 não há automorfismos, podem esquecer mais ou menos esse peso a n é só o número de Origamis com n quadrados a teorema de Sorych diz que o volume do conjunto de superfícies de área menor que um que aparece na teorema de Masjowicz tem uma expressão no termo do conteo de Origamis é o limite falta um n vou escrever isso de novo e fazer a prova então o que faço a teorema de Sorych é relacionar o conjunto de superfícies de área menor que um a um conteo de Origamis e perdão por erro nos slides isso é igual ao limite quando o número de quadrados se vale infinito aqui necessita uma normalização e a normalização é 1 sobre n a potência da dimensão e a dimensão de estradas a dimensão complexa de estradas vamos ver porque é a dimensão complexa que multiplica o número de Origamis com n menor que o número de origamis é o que está escrito nos slides que é chamado a n prima e a n prima é o número de origamis com n prima quadrado essa teorema é muito simples e tem que ver que para calcular um volume em qualquer em qualquer um em qualquer um em qualquer espacio vectorial podem fazer conteo de pontos enteiros com escala mais precisamente se provar o que tem que provar é só uma coisa de espacios vectoriales não tem nada avançado de geometria algebraica então se o importante se tenho um origami o que divido por a área de quadrado de n a área de s é a área de origami inicial dividido por n porque a área se escala com um quadrado e então se o tem menos que n quadrado este origami o dividido por a área de quadrado de n é uma superfície de tamanho menor que 1 então o que fazemos é que tomamos o conjunto de todos os origamis que tem menos que n quadrados e fazemos este cambio de escala com a área de quadrado de n e agora temos pontos pequenos dentro do conjunto e agora podemos isso é o primeiro passo e o segundo passo é só uma coisa de espacios espacios vectoriales se tem um conjunto aberto dentro de digamos c a la 2g mais sigma menos 1 podem escribir o volume de u como conteo de pontos enteros é dizer, o volume de u a respeito à medida lele degg neste espacio vectorial é o limite em ε que será 0 o número de pontos enteros dentro de u e os pontos enteros com escala ε e quando fazemos isso, isso vai para o infinito tem que renormalizar, mas se fazemos este conteúdo tem que multiplicar por ε a dimensão e a dimensão aqui não é 2g mais sigma menos 1 é um espaço complexo, aqui devo colocar a dimensão real é 2 que multiplica 2g mais sigma menos 1 bom, esta fórmula é valida em espacios vectoriales, mas como temos esta mapa de perioras é verdade também nas estratas o que vou fazer é reemplazar este ε por 1 sobre a raiz quadrada de n e se fazemos isso a raiz quadrada se cancela com o 2 que está aqui e temos exatamente a normalização aqui na teorema de Zorich aqui é quando o ε le pusimos a 1 sobre a raiz quadrada de n que é a escala natural para meter os origamis de area menos que n dentro deste conjunto de area menor aqui bom, espero que está claro a relação entre os origamis e a área de las estratas vou voltar ao slide e desculpe há um erro aqui no limite falta o 1 sobre n a potencia 2g mais sigma menos 1 há perguntas sobre essas teoremas se não vou seguir um pouco faça os detalhes amanhã o que quero fazer é explicar o que passa com essa teorema de Zorich no caso de H2 o que quero fazer é calcular este volume quando a estrada é H2 e bom, a prova já fiz e no caso de H2 é muito interessante e tem que ver com teoria de números se conhecem as formas modulares e as formas quase modulares essas funções os e com índices 2, 4 e 2 são versões de as séries que se chamam de séries de Eisenstein vamos ver essas em detalhes amanhã mas por agora tomam como definições que eca da variável q é esta série esta série infinita em q e o que posso fazer em H2 é fazer a suma sobre todos os origamis em H2 de q à potência o área do origami, o área é dizer o número de quadrado e se algo isso esta função generadora dos origamis se escreve em termo dessas funções sencillas os eca tilde e bom temos neste caso temos uma expressão sencilla e vou fazer dois pruebas amanhã de essa forma uma prueba a la mano digamos onde hacemos conteo usando descomposições de as superficies e outra mais técnica que tem que ver com um teorema general de Skinny Okunkov que o hecho que esta função se escreve em termo de esta função eca é uma teorema general por cada estrada a função generadora dos origamis é uma forma quase modular bom, essa tem que ver com a algebra no grupo simétrico e vamos ver isso amanhã podemos deduzir desta teorema de uma expressão precisa que temos aqui que o volume deste conjunto a respecto ao volume de Massiovich é igual a este raciopi o quarto dividido por 960 bom só uma parada para terminar como porque isso é um corolário há algo importante com as funções quase modulares é que tem propriedades de transformação a respecto ao Q e para entender a teorema de Zorich que vimos nesses slides para calcular o volume devemos entender a sintótica dos números de origamis e a graça de as funções quase modulares ou modulares é que é muito fácil entender o que acontece ao infinito porque tem transformações de a respecto à transformação Q que se transforma em um sobre o Q para entender a sintótica ao infinito há só que ver o valor zero das funções é magia, vou explicar isso amanhã porque isso é um corolário da teorema mostrar a teorema e falar da teorema de Esquilópolis já terminado por hoje muito obrigado por atenção agradeço muito alguma pergunta ou comentários que querem fazer uma pergunta essa forma de volume nos estratos não é uma forma de volume remaniana sim há uma métrica remaniana que tem como forma de volume desculpe não como prova que uma forma de volume não não há métrica natural tal que seja uma forma de volume por essa métrica ninguém conhece tal métrica mas há uma teorema que nos diz que isso não pode vir de uma métrica mas a resposta é que não pode definir uma métrica tal que isso é o volume ok, ok, obrigado também no espaço de módulos não é uma variedade manhã, não? é só um módulo sim, é um módulo mas se tem um módulo você pode definir métrica e volume isso não é um problema porque as singularidades são isoladas com dimensão positiva então você pode esquecer em calculos de volume mas você está certo são órbicos mais alguma pergunta no caso de h22 o que é você pode dizer um pouco mais o que é o órbico? boa pergunta a resposta é sim porque em h22 talvez saibam que todas as superfícies de gênero 2 são híperes delímpicas e então o que podemos fazer é ver h2 como cúbrilhentos de configuração de pontos em cp1 toma 6 pontos na esfera e uma superfície de gênero 2 é um cúbrilhente doble desses 6 pontos e bom tem que dizer qual é a forma holomorfa mas o que acontece é que por cada superfície de riman de gênero 2 há exatamente 6 pontos onde existe uma forma com um 0 de ordem 2 nesse ponto então é um cúbrilhente de gênero 6 dessas configurações de pontos em cp1 na esfera e é um orgifólio porque alguns pontos têm mais simetrias a respeito é o 2dc que é o grupo de simetrias da esfera e a reposta sim, muito obrigado é um exemplo mas por as outras estratas é complicado dizer das equações algebraicas por essas coisas ok, obrigado se você tem mais perguntas podem fazer em sessão de tutorial vamos agradecer a avançar uma vez mais agora e até a próxima