 Donc il vient nous parler de ce qu'il a rendu célèbre, la stabilité du système solaire. En fait, je vais surtout parler de la grande. Oui, oui. En fait, je vais développer ce qui a été introduit dans le petit film. Je vais développer plus en détail. Ce problème important dans lequel la grande a apporté une contribution essentielle de la stabilité du système solaire. Donc le problème, comme on l'a déjà dit, c'est qu'au début on avait le mouvement de Kepler. Dans le cas du mouvement de Kepler, toutes les orbites, donc on a une particule, une planète autour du soleil toutes les orbites sont stables puisqu'elles sont périodiques, la planète revient exactement au même endroit après une période. Et comme ça a été déjà dit, arrive avec la loi Newton, avec la loi Newton, bon avec une planète autour du soleil, on retrouve bien le mouvement de Kepler, mais la loi Newton c'est une loi physique qui s'applique à tous les corps et donc pas seulement à une planète attirée par le soleil, mais aussi à l'attraction mutuelle entre les planètes et ce qui crée une petite perturbation de lors du millième, comme l'a dit Cédric tout à l'heure, et cette perturbation immédiatement elle montre que les lois de Kepler ne sont fausses puisqu'on a les lois de Kepler plus quelque chose. Donc ce quelque chose, même si il est petit, vient détruire le mouvement régulier de Kepler. Et Newton se pose cette question, Newton se pose la question et dans le traité d'optique, donc ça n'a rien à voir avec l'optique, mais il profite qu'il édite ce volume pour à la fin poser un certain nombre de questions et parmi ces questions, sont des questions sur la gravitation. Et donc Newton voit dans le mouvement des planètes, alors là j'ai en fait l'exposé, je ne savais pas trop ce qui est au début en anglais, en français, ses retransmissions sur le web, tout ça. Donc finalement j'ai pris le parti de mettre des transparents en anglais, de parler en français, et d'avoir des traductions en anglais, des textes français dans les transparents. Et là dans les textes anglais, d'avoir des traductions en français. Bon, donc je le traduis. Donc Newton voit dans le mouvement relativement régulier des planètes, il voit une preuve de l'existence de Dieu. Il dit si les planètes sont aussi régulièrement espacées, les planètes se déplacent d'une seule et même manière sur des orbites concentriques. Donc ça c'est vraiment quelque chose qui ne peut pas expliquer par le hasard. Donc forcément il faut qu'il y ait une intervention divine pour donner cet ordonnancement, mais en même temps, à l'exception de quelques irrégularités qui peuvent résulter des actions mutuelles des comètes ou des planètes et qui sont aptes à croître. Donc il y a des irrégularités et ce qu'il pense c'est que ces irrégularités peuvent s'accumuler jusqu'à ce que le système nécessite une révision, donc jusqu'à ce qu'il y ait une stabilité forte et où Dieu doit revenir, remettre les planètes en ordre. Alors ça c'est quelque chose qui n'a pas plus du tout au grand compétiteur de Newton de l'époque, Leibniz et Leibniz, qui est conseillé de la princesse Caroline de Galle, la met en garde contre les aspects séditieux de la pensée de Newton. Monsieur Newton et ses sectateurs, c'est écrit en français initialement, ont encore une fort plaisante opinion de l'ouvrage de Dieu. Selon eux, Dieu a besoin de remonter de temps en temps sa montre, autrement elle cesserait d'agir. Il n'a pas eu assez de vue pour en faire un mouvement perpétuel. Cette machine de Dieu est même si imparfaite selon eux, qu'il est obligé de la décrasser de temps en temps comme un horloger son ouvrage qui sera d'autant plus mauvais maître, qu'il sera plus souvent obligé d'y retoucher et d'y corriger. Donc vraiment, c'est en gros qu'est-ce que c'est que ce Dieu qui est même pas foutu de faire une pendule avec un mouvement perpétuel et justement penser que ce mouvement n'est pas perpétuel, n'a pas une régularité infinie, c'est vraiment contester la toute puissance de Dieu. Donc c'est vraiment ça qui fait de ce problème aussi un problème philosophique essentiel puisque penser que le système puisse être instable c'est contester la toute puissance divine. Et en fait il y avait à l'époque toutes les raisons de penser qu'il y avait des instabilités, ce n'est pas Newton n'a pas inventé ces instabilités elles étaient observées et ces observations on les retrouve à partir de de données collectées comme ici dans les éléments d'astronomie de Cassini en fait ces observations c'était des instabilités que l'on pouvait voir en comparant les observations très anciennes comme celle-là celle du haut l'a conservée il n'y a pas le renvoi ici cette fois-ci ces observations transmises par Ptolemé donc d'observations qui datent de 2000 ans à peu près à l'époque et puis les observations plus récentes du 15e siècle, du 16e siècle et en fait c'est Kepler le premier qui en 1625 avait remarqué que si on faisait le calcul des variations des longitudes des planètes on avait en fait accélération de Jupiter et décélération de Saturn c'est-à-dire Jupiter se rapprocher du Soleil et Saturn s'éloigner du Soleil donc on avait l'observation d'instabilité et cette observation était-elle qu'il fallait rajouter dans les tables des termes empiriques et c'est Alec qui a fait ça pour la première fois il a donc le même qui a découvert la comète ou qui a prédit le retour de la comète il a calculé en fait de manière explicite quel devait être ce terme à rajouter pour retrouver les observations des grecs et en fait ces termes étaient du coup rajoutés dans les tables ici vous avez dans les tables pour les observations ici donc vous voyez aussi bien pour Jupiter que pour Saturn on a ici sur 3000 ans interne qui au bout de 2000 ans vaut ici 3 degrés pour Jupiter et 9 degrés pour Saturn donc c'est un terme polynomial qui est rajouté en plus et du coup cette question c'est désagréable de rajouter un terme empirique donc cette question est vraiment une question essentielle de la science du 18ème siècle et comme beaucoup de ces questions importantes elle est mise à prix par l'académie des sciences et comme ça que fonctionnait une partie en fait c'est le financement de la recherche sur le projet il y avait des prix qui étaient donné pour certaines grandes questions et il va y avoir les plus grands mathématiciens vont s'occuper de ces questions donc par exemple ici Euler donc il a été fait largement état ce matin et Euler donc remporte en 1752 vous voyez un grand prix de l'académie des sciences pour son travail sur les irrégularités du mouvement de Jupiter et de Saturn donc on peut penser que s'il a reçu le prix pour cette question c'est qu'il a résolu le problème effectivement il a trouvé que Jupiter et Saturn vont tous les deux dans la même direction alors aujourd'hui on sait à la fois c'est en contradiction avec les observations puisque l'observation dit qu'il y en a un qui se rapproche l'autre qui s'éloigne et en plus actuellement on sait que c'est faux donc ce matin Louis J. Pépé montrait toute la une série de prix de l'académie des sciences qui avait été donnée pour des questions donc on peut espérer que tous ne sont pas de cette nature puisque là vous avez un prix qui est donné à une question donc ça c'est la première leçon un grand prix de l'académie des sciences ne valide pas une théorie ça c'est là l'autre chose c'est que même si le résultat est faux le mémoire mérite largement le prix de l'académie des sciences pourquoi ? parce que Euler dans ce papier met en place les bases des méthodes de perturbation qui serviront plus tard à faire les calculs alors l'agrange lui arrive à ce moment-là dans cette question il a été dit donc l'agrange est à Berlin vous voyez l'agrange est à Berlin en fait là sont les recueils de table astronomique publié sous la direction de l'académie royale des sciences et belles lettres de Prusse à Berlin et vous voyez donc l'agrange est là bas l'agrange publie d'ailleurs des papiers dans ses dans ses ouvrages dans ses tables donc il est parfaitement au courant de tout ça vous avez dans ces tables la reproduction des tables de allait c'est comme ça que ça se passait à l'époque tout le monde allait avait fait ses tables il reproduisait les mêmes tables c'était un gros travail de produire ces tables donc l'agrange va s'occuper de cette question il va reprendre le travail de l'air et il va refaire le calcul pendant qu'il est à Berlin et l'agrange lui va trouver que Jupiter accélère et que Satiom décélère donc lui trouve un résultat qui est conforme aux observations mais qui est faux résultat qui est faux aussi alors vous me direz c'est pas très sympa dans une journée de commémoration de l'agrange de rappeler les erreurs de l'agrange en fait qu'est ce qu'a fait l'agrange l'agrange tout simplement il a dû s'emmêler quelque part dans ses dérivés partiels comme les étudiants de première année et pourquoi ça arrivait parce que les problèmes étaient extrêmement mal posés et je dirais encore comme précédemment cet article et cependant exemplaire il y a dans cet article énormément de matériel qui vont aider à la formulation des méthodes de perturbation et ensuite l'agrange va travailler pendant très longtemps à justement donner des meilleures formulations de ces équations à utiliser les sémitries qui à la fin rendront ces calculs qui étaient inextricables à cette époque là extrêmement limpides et il redonnera des preuves après beaucoup plus du résultat correct mais de manière beaucoup plus rapide et en fait celui qui va donner la bonne réponse c'est la place donc on a parlé justement des allers-retours entre la place et l'agrange à cette époque là et en fait sur cette question là la place va donner une réponse correcte au problème il va reprendre les calculs de l'agrange donc et vous voyez il dit cela posé en substituant ces valeurs dans la formule de l'équation séculaire je l'ai trouvé absolument nul donc lui il fait le calcul il trouve qu'il n'y a aucun aucune variation du mouvement de Jupiter et Saturn alors c'est je dirais que c'est courageux de publier son résultat puisque son résultat va à l'encontre des résultats publiés du plus grand mathématicien de l'époque donc l'agrange et vont à l'encontre des observations mais c'est la place qui a raison ici et en fait il a une autre conclusion intéressante il dit je conclue que l'attération du mouvement moyen de Jupiter si elle existe des points durs à l'action de Saturn alors il est là il n'en reste pas moins qu'il y a une différence entre les observations et le calcul donc il faut bien qu'il y ait quelque chose qui explique les observations ne sont pas contestables les observations sont précises très précises même les observations c'est du genre en l'an 240 avant Jésus-Christ gamma de la vierge fut observé de doigts en dessous Saturn fut observé de doigts en dessous de gamma de la vierge la chute des corps et l'incréditation est absolument inéluctable bon mais donc ces observations sont quand même assez précises pas contestables et donc il faut expliquer pourquoi on a une différence entre les observations et la théorie c'est ce qu'on fait toujours en physique quand on a une différence entre les observations et la théorie on cherche l'endroit le plus fumeux de la théorie et puis on suppose que ça vient de là alors ici à l'époque il y avait les comètes et les comètes l'intérêt c'est que contrairement aux planètes qui avaient des mouvements relativement réguliers les comètes allaient un peu dans tous les sens et donc l'idée comme on ne connaissait pas la masse des comètes ce que suppose la place c'est que les perturbations des mouvements de Jupiter et Saturn sont dues aux comètes bon c'est le et et donc il va laisser cela comme ça en fait 10 ans plus tard il donnera une bonne réponse à cette question mais à l'époque il suppose juste que c'est que l'origine vient des comètes et ça aurait une importance aussi dans ces travaux futurs parce que du coup il va s'intéresser à la répartition des comètes il va essayer de voir si cette répartition est régulière ou aléatoire et il va faire en fait les fondements des théories des probabilités les premières courbes qu'il donne sur la distribution des comètes c'est justement l'esquise dégaussienne et donc le résultat en fait de la place qui va être repris après par la grange la grange après va refaire une démonstration et il va même revenir à la grange il va revenir encore et là je pense qu'Alain Lebrouille en parlera tout à l'heure dans le mémoire de 1880 il va reprendre encore de manière encore plus élégante la formulation du problème c'est à dire vous voyez ce problème très compliqué qui aura fait faire des erreurs à l'air fait faire des erreurs à la grange à cause de sa formulation difficile des équations difficiles une fois qu'il aura été mis dans le bon cadre vous pouvez le faire en trois lignes mais il a fallu se mettre dans le bon cadre pour arriver à faire ça donc le résultat est que en moyenne les tailles des orbites des planètes ne changent pas et donc si les tailles des orbites des planètes ne changent pas vous ne pouvez pas arriver à une collision parce que l'une augmente alors que l'autre diminue ou réciproquement et comme je l'ai dit il restait en suspens l'accord d'observation et ça c'est dix ans après la place va reprendre ses calculs et ce qu'il va montrer c'est que d'accord il ne change pas mais à cause de la proximité d'une résonance entre Jupiter et Saturn c'est à dire Jupiter fait cinq révolutions autour du soleil pendant que Saturn en fait à peu près d'eux gendre un terme qui est proche de zéro cette combinaison est pratiquement zéro et ça entraîne un terme de relativement grande amplitude et de période 900 ans dans le grand taxe de des planètes de Jupiter et de Saturn et du coup dans la longitude une dérive si on a des observations anciennes il y a 2000 ans et puis des observations plus récentes on pouvait croire à une dérive de ses orbits mais cette dérive ce n'était juste l'expression de ce terme d'amplitude qui est amplifiée par la proximité de cette résonance entre Jupiter et Saturn quand la place va introduire un terme supplémentaire dans les équations du mouvement de Jupiter et Saturn à ce moment-là il va retrouver l'ensemble de toutes les observations anciennes à moins d'une minute d'arque c'est-à-dire mieux que de l'ordre de la précision des observations de la lune nu et du coup il a deux conclusions il a une première c'est qu'on peut supprimer les équations empiriques le terme empirique des tables et donc la loi Newton et bien la loi qui rencontre du mouvement des planètes et il a une autre conclusion qui est intéressante son autre conclusion c'est que la masse des comètes est petite puisque il n'y a pas eu de perturbation sur le mouvement des planètes et comme je le dis tout à l'heure ça va avoir pour conséquence une inspiration donc dans cette théorie des probabilités et là vous voyez que la place arrive finalement juste avec la loi Newton à retrouver toutes les observations du passé il va en déduire aussi qu'on peut prédire tout le futur et c'est le paradigme du déterminisme c'est la phrase sur le démon de la place qui est dans le début du volume c'est une intelligence qui pour tout un instant donner connaitrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent embrasserait dans une même formule les mouvements des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome rien ne serait incertain pour elle et l'avenir comme le passé serait présent à ses yeux c'est bien ce qu'il a réussi à faire il a réussi à retrouver tout le passé et donc de la même manière tout le futur et à quoi servent maintenant les probabilités vont servir à voir un peu l'incertitude résultante dans les conditions initiales puisque c'est ça qui reste à déterminer le plus précisément possible alors ça c'est pour ce qui est de la stabilité des grands axes des planètes le fait que en moyenne ces grands axes donc ces tailles des orbites des planètes ne changent pas mais si on regarde des orbites planétaires on peut voir que même sans changer les axes des planètes on peut obtenir des collisions si vous prenez la Terre et Mars ici sur des orbites circulaires si vous déformez l'ellipse de la Terre en prenant une eccentricité de 0,1 et l'ellipse de Mars avec une eccentricité de 0,3 en fait vous décalez les orbites puisque le soleil reste au foyer et là vous pouvez obtenir des collisions donc c'est sans ça les chiffres qu'il faut retenir pour la Terre 0,1 et pour Mars 0,3 bon c'est un exemple mais c'est un exemple vous savez que ça c'est quelque chose de gros pour une eccentricité puisque ça peut donner lieu à une collision et du coup la question est d'arriver à borner aussi ces eccentricités et pour ça là c'est la grange qui va donner la bonne réponse à cette question en fait que va faire la grange eh bien on peut on peut écrire on peut écrire le mouvement bon là je l'écris c'est pas comme ça que la grange l'écrivait mais c'est comme ça qu'on peut l'écrire je dirais de manière moderne ce qui écrivait la grange est quasiment équivalent on peut écrire on peut prendre on peut chercher à regarder l'excentricité alors là en fait ce que la grange va utiliser et ça là c'est vraiment une nouveauté il va utiliser il veut trouver la variation de l'excentricité de la planète en fait l'excentricité c'est la distance entre les deux foyers et si on s'intéresse à l'élipse on va s'intéresser aussi à l'orientation de l'élipse et donc on a l'excentricité et la longitude ici de la félix et la grange va introduire comme coordonnée en fait tout simplement eccentricité exponentielle il le fait pas en termes complexes mais il le fait en termes en prenant le cossinus et le sinus il utilise cette variable et si on écrit les équations le développement de la fonction perturbatrice entre les deux on peut l'écrire sous forme de série de fourriers puisque série de fourriers des longitudes puisque les mouvements sont périodiques par rapport aux longitudes quand on a fait un tour on revient exactement au même endroit alors si on s'y prend si on prend ces équations on va écrire tout simplement que la variation la dérivée de ceci par rapport au conjugué de Z on aura quelque chose comme ça donc on a une série de fourriers on écrit que la variation de Z c'est la dérivée ici de ces coefficients de fourriers la série de fourriers obtenu en prenant les dérivées des coefficients de fourriers et si on fait une intégration brutale au premier ordre tous les coefficients de fourriers ou K et pas nul vont donner un terme de fourriers mais le terme pour lequel K est nul c'est-à-dire le terme constant ici en intégrant donne un terme linéaire donc en gros si on s'y prend de la manière classique quand on intègre les équations on obtient un terme linéaire et ce terme linéaire quand T augmente eh bien donne une explosion de l'excentricité eh bien il va pas faire ça ce qu'il va faire c'est écrire tout simplement on va écrire les équations moyennes et il va il va écrire la valeur moyenne de la variation d'excentricité c'est tout simplement égal à la valeur moyenne des équations ici et la valeur moyenne c'est uniquement le terme constant et là on a une équation qui ne dépend que de Z et ce que la Grange fait c'est ensuite il développe cette équation au premier ordre dans les eccentricités l'excentricité est supposée petit et là quand on développe au premier ordre dans l'excentricité il obtient une équation différentielle linéaire à coefficient constant et en fait c'est la première fois qu'apparaissent les équations différentielles linéaires à coefficient constant ce qui est maintenant dans les premiers cycles de l'université donc en fait résoudre maintenant le problème de la stabilité du système solaire c'est résoudre cette équation différentielle linéaire à coefficient constant vous voyez chaque variable ici c'est tout simplement la direction du deuxième foyer dans chaque planète donc on a autant de variables que de planète et on a les variations de ces éléments sont tout simplement égales à une matrice ici qui dépend des masses planétaires et des distances entre les planètes soit la même chose et si on bon maintenant on sait comment il faut faire c'est à dire qu'il faut diagonaliser la matrice A mais diagonaliser la matrice A à l'époque on avait 6 planètes ça veut dire résoudre une équation de degrés 6 alors la grange n'a pas de matrice il fait tout ça en écrivant des équations en cocinus il n'a pas de matrice mais tout ce qu'il fait est équivalent à ça et en fait il va résoudre et il va trouver les valeurs propres de la matrice donc tout ça c'est à inventer ça n'a pas été encore fait mais il le fait à la main et pour le faire il ne peut pas le faire pour les cibles planètes parce qu'il ne va pas inventer la résolution des équations de degrés 6 donc il prend Jupiter et Saturn qui forme l'essentiel du système il va résoudre les équations pour Jupiter et Saturn et comme ça il peut montrer qu'on peut après par approximation successive obtenir les valeurs pour les autres planètes alors là en fait il va surtout publier les résultats et là c'est intéressant parce que la grange est à Berlin et la grange va envoyer son manuscrit à Paris pour être publié dans les compte rendus de l'académie des sciences donc vous voyez en fait donc là c'est la publication de son mémoire, un recherche sur les équations séculaires des mouvements des nœuds et des inquisitions des orbites des planètes et il l'envoie en octobre 74 à Paris en fait l'habitude c'était que ces manuscrits qui étaient reçus étaient présentés en séance donc le manuscrit sera présenté en séance en octobre de la même année ou en novembre vraiment tout de suite après et en fait il n'était publié que quatre ans après il paraissait quatre ans après dans les volumes et vous voyez ici je vous ai parlé des eccentricités mais en fait dans le mémoire initial de la grange il envoie ce mémoire pour, non pas les eccentricités mais les inclinaisons et les nœuds des planètes où le problème est équivalent on a le même genre de problème pour le mouvement du plan de l'orbite des planètes donc la grange envoie ce manuscrit à l'académie celui qui reçoit c'est d'Alembert qui était secrétaire perpétuelle à la place et en fait ce qui se passe c'est que la place voit ce mémoire et immédiatement il se rend compte de l'importance du résultat parce qu'il avait essayé de faire ce genre de calcul, il n'y avait pas réussi mais il voit aussi que ce que la grange a fait pour les inclinaisons et pour les nœuds on peut aussi très bien le faire pour les eccentricités et les longitudes des périléli des planètes comme je l'ai montré ici et ce qui est intéressant et un peu bizarre c'est que la place lui va faire un deuxième mémoire ce mémoire lui va le soumettre en décembre 74 mais il sera publié au compte rendu en 75 donc il sera publié juste en publication accélérée alors il parle de la grange il dit à cette idée j'avoue parce qu'il parle de ses anciens travaux je ne l'aurai pas repris sans la lecture d'un excellent mémoire sur les inégalités séculaires du mouvement des nœuds et de l'inclinaison des orbites des planètes que monsieur de la grange vient d'envoyer à l'académie et qui paraîtra dans un des volumes alors en employant la même transformation j'ai tiré les mêmes équations de mes formules je refais le travail de la grange j'ai de plus de chercher si on ne pouvait pas déterminer d'une manière analogue les inégalités séculaires de l'excentricité du mouvement de la fédie et j'y suis heureusement parvenu effectivement c'est vraiment la même dérivation une fois qu'on a la méthode une fois qu'on a une fois qu'on a justement cet aspect très nouveau qui est la résolution des équations linéaires du premier degré alors il y a une petite note j'aurais dû naturellement attendre que les recherches de monsieur de la grange fussent publiées avant que de donner les miennes mais venant de faire pareille dans les savants étrangers à l'année 73 un mémoire sur cette matière j'ai cru pouvoir communiquer ici au géomètre en forme de supplément ce qui lui manquait encore pour être complet en rendant d'ailleurs au mémoire de monsieur de la grange toute la justice qu'il mérite je m'y suis d'autant plus volontiers déterminés que j'espère qu'ils me seront grés présenter d'avance l'esquise de cet excellent ouvrage bon il aurait pu aussi faire accélérer la publication du alors du mémoire de la grange c'est quand même assez bizarre et puis on peut se demander aussi cette petite note qui l'a poussé pourquoi elle a été rajoutée comme note et pendant le texte c'est une question à laquelle je ne sais pas répondre alors la grange va répondre à la place la grange va répondre à la place voilà la réponse de la grange à la place donc en avril 75 monsieur est très cher et très discus qu'on frère j'ai reçu vos mémoires et je vous suis obligé de m'avoir anticipé le plaisir de les lire je me hâte de vous en remercier et de vous marquer la satisfaction que leur lecture m'a donnée ce qui m'a le plus intéressé ce sont vos recherches sur les inégalités séculaires alors il va bien dire que finalement j'avais bien qu'on pouvait faire la même chose je m'étais proposé depuis longtemps de reprendre mon ancien travail sur la théorie de Jupiter Saturn de le pousser plus loin et de l'appliquer aux autres planètes j'avais même dessin d'envoyer à l'académie un deuxième mémoire sur les inégalités séculaires du mouvement de l'affaillier et de l'excentricité des planètes dans lequel cette matière serait traité d'une manière analogue à celle dont j'ai déterminé les inégalités du mouvement du noeud et des inclinaisons j'en avais déjà préparé les matériaux mais comme je vois que vous avez entrepris vous-même cette recherche j'y renonce volontiers et je vous sais même très bongré de me dispenser de ce travail persuadé que les sciences ne pourront qui gagner beaucoup c'est... donc en fait on voit que à la fois donc la grande montre bien qu'il savait faire parfaitement ce qu'a fait la place et puis qu'il n'est pas forcément non plus très heureux il le montre aussi par d'autres lettres alors j'ai regardé à l'académie un peu ce qu'il y avait dans les... bon pas dans le centre d'édarchie mais il y a un petit billet intéressant où c'est vous voyez c'est signé la place et monsieur de Condorcet m'a remis le mémoire de monsieur de Lagrange sur le mouvement des noeuds des planètes ce 19 février 75 donc mais ça c'est après la place a déjà ça c'est c'est un reçu finalement donc ça montre à quel point la place s'intéressait à ce manuscrit pour qu'il pour qu'il est à la fin et Lagrange va envoyer après une lettre à D'Alembert une autre une autre lettre à D'Alembert qui est et dans cette lettre bon je vais pas parler du début c'est juste à la fin donc cette lettre elle est en mai 75 parce que Lagrange a écrit dans une autre lettre il a dit une autre lettre à D'Alembert où il dit en gros qu'il laisse le travail à la place qui va pu s'en occuper et puis en fait il dit qu'il va pu s'en occuper mais là il va revenir sur ce qu'il dit il dit je suis maintenant prêt à donner une théorie complète des variations des éléments des planètes en tenant compte en rendant de leur action mutuelle ce que monsieur de la place a fait en cette matière m'a beaucoup plu et je me flatte qu'il ne me saura pas de ne pas tenir l'espèce de promesse que j'avais faite de la lui abandonner de lui abandonner entièrement je n'ai pas pu résister à l'envie de m'en occuper de nouveau mais je ne suis pas moins charmé qu'il ait travaillé qu'il ait travaillé aussi de son côté alors en fait il dit aussi qu'il va voilà qu'il il travaille de son côté je suis même fort empressé de lire ses recherches ultérieures sur ce sujet mais je le prie de ne rien me communiquer en manuscrit et de ne m'envoyer que des imprimés bon ça c'est un peu on voit que les relations sont un peu plus froides entre les deux et en fait la grange va envoyer plus tard donc deux mémoires donc comme il le dit retravailler sur la question parce que là c'était la partie théorique mais il va faire le travail complet qui va aboutir à la résolution complète des équations dont je parlais tout à l'heure pour donner explicitement les solutions ce seront des mémoires en 81 et 82 et cette fois-ci vous voyez bien ces mémoires sont maintenant publiés à l'académie royale c'est de Berlin cette fois-ci ils ne les envoient pas à Paris on se demande pourquoi donc donc cette fois-ci là ce sont les mémoires qui vont donner la résolution complète des équations et obtenir une forme donc vous voyez on a une équation linéaire pour un mouvement de chacun de ces de ces éléments z et pour résoudre cette équation linéaire eh bien on diagonalise la matrice ça c'est c'est maintenant bien bien connu on va poser que z c'est égal à une matrice fois u et pour u ce sera là les vecteurs propres et là on aura une matrice diagonale avec juste avec juste des termes diagonaux donc du coup la solution se résoudre très simplement c'est u u 2 0 fois exponentiel y g k t pour chacun des modes propres on a les équations avec les modes propres et la solution complète la solution complète c'est une combinaison linéaire des modes propres donc chaque z c'est une somme de donc ak exponentiel y g k t donc c'est ceci que la grande écritille à chaque fois alors il écrit pas des exponentiels mais vous voyez il écrit eccentricité foils sinus eccentricité foils cocinus et il a six termes périodiques qui correspond à chacun de ces modes propres un par planète alors il a comme ça une solution qui donne le mouvement où on peut avec une expression ici où chacun est linéaire en le temps et donc on peut mettre n'importe quelle valeur du temps et c'est ce qu'il va dire il va dire qu'il a des formules qui ne sont point limités à un certain espace de temps mais qui ont lieu pour un temps indéfinis donc il a alors et maintenant les limites de ces formules donc ce qu'il dit c'est qu'il n'y a qu'une seule circonstance qui puisse empêcher les formules que nous venons de trouver née toute la perfection dont elles sont susceptibles c'est l'incertitude qui reste encore dans les valeurs des masses des planètes c'est à dire que c'est un peu dans le même esprit que ce que la place disait c'est à dire maintenant on a une formule, on a la solution et tout ce qui reste à faire c'est de déterminer les constantes de le plus précisément possible alors on peut se demander à quel point la solution de l'agrange est précise en comparant à une solution moderne tout en sachant que l'agrange n'avait que 6 planètes avait des valeurs très imprécises pour les masses des planètes intérieures mais si on regarde ce que ça donne donc voilà on le verra même plus précisément tout à l'heure mais voilà pour les planètes principales Mercure, la Terre, Mars, Jupiter là ce sont des solutions modernes donc vous voyez sur 20 millions d'années ici pour Jupiter c'est la valeur minimale maximale donc là vous voyez il a trouvé lui a trouvé 0026 là on trouve 0027 et puis le maximum lui il a trouvé 006 en fait c'est plutôt 00 j'irai 62 peut-être la valeur maximale pour Mars vous voyez là c'est 014 là c'est plutôt 012 valeur maximale pour la Terre mais vous voyez il a trouvé ces variations importantes de l'excentricité de la Terre de l'excentricité des planètes et en fait la vision la vision qu'à l'agrange c'est tout à fait celle qu'on peut voir ici qui est la même que ce qu'on verrait sur l'intégration ici du système solaire sur plus qu'à un million d'années donc là c'est le temps passe en milliers d'années là on a déjà 200 000 ans et ils sont passés 300 000 ans donc vous voyez les comment ces planètes bougent mais que vous écrivez là on a les équations complètes mais que si vous écriviez juste ça vous verriez à peu près la même chose on verrait pas de différence et là vous voyez les plans des orbites bougent on a donc chaque planète ici donc on a Mercure, Vénus, la Terre, Mars alors vous voyez c'est une vision qui est très différente de la vision de Kepler dans la vision de Kepler on a juste des orbites qui sont fixes alors que ici ces orbites bougent beaucoup là les planètes qui bougent la planète ce n'est pas la planète la planète elle a été placée à la vitesse ici où on tourne la planète vous la verriez pas la planète ici elle est mise au Périlie donc ce que vous voyez c'est la la précession des Périlies vous voyez des fois des choses simples juste par exemple pour Mercure je peux le retracer en fait on voit on voit avancer si vous regardez les Périlies pour Mercure ça va avancer à peu près régulièrement et puis pour la Terre ou Vénus ça va faire des choses compliquées alors pourquoi ça fait des choses compliquées c'est que tout simplement quand vous regardez une somme de termes comme ça ça donne des choses comme ça si je mets deux termes et donc le Périlie lui il avance et il recule là il avance, il recule il avance, il recule et ça c'est ce que vous voyez vous voyez quand je mets en route là quand je mets en route voilà ici donc vous voyez pour Mercure c'est bien gentil mais vous voyez la Terre elle avance et recule elle avance et recule et ça c'est les boucles les boucles comme ça des Périlies donc voilà ce qu'il en est donc cette solution de la Grange elle montrait bien que les orbites des planètes bougaient qu'on avait précession des orbites dans leur plan précession des plans des orbites des planètes changement des valeurs d'excentricité tantôt l'excentricité est plus petite tantôt elle est plus grande et donc grande variation dans les orbites des planètes mais pas des variations suffisantes pour amener aux collisions l'excentricité de Mars n'arrivait qu'à 014 alors ensuite après ce travail de la Grange d'autres vont reprendre le même travail et en particulier le verrier le verrier est inconnu pour avoir découvert Neptune mais vous voyez le verrier a découvert Neptune le 23 septembre 1846 et en fait il est rentré à l'académie des sciences en janvier 46 et ça ça vous dit qu'il a peut-être fait quelque chose avant la découverte de Neptune et en fait ce que le verrier a fait avant la découverte de Neptune c'est justement d'avoir repris le travail de la Grange et d'avoir calculé le mouvement à long terme des planètes en fait il y a 2 grands d'articles sur les variations séculaires des orbites des 7 planètes principales alors dans le premier le verrier reprend le travail de la Grange et alors la différence c'est que le verrier se dit la Grange il a des masses de planètes assez précises lui il va refaire le travail et vous voyez ce qu'il dit de la Grange c'est là donc le calcul numérique dont il s'agit a été donné par la Grange dans les mémoires de l'académie de Berlin de l'année 1782 en partageant le système planétaire en deux autres indépendants c'est ce que je vous ai dit sur séparer Jupiter Saturne pour être capable de calculer les valeurs propres pour les autres planètes on reconnaîtra dans la suite de ce travail que les formules de cette illustre géomètre basées sur une connaissance très imparfaites des masses des planètes ne donneraient pour Mercure la Terre Vénus et Mars que des résultats très exacts et même après quelques siècles seulement et plus tard complètement erronés de sorte qu'il faut totalement renoncer à leur emploi on voit faire ça pour montrer que ce qu'on fait est nouveau il faut un peu déprécier le travail précédent et dire que c'est vraiment que ce qu'on fait est complètement différent de ce qui a été fait en fait, voilà ce que trouve le verrier vous voyez, il recalcule les limites des eccentricités des planètes pour Mercure lui trouve 00225 et la grange 0022 22 bon pour Vénus il trouve 0086 la grange 0082 ici 0067 076 et ici 0142 ici 0147 vous voyez que quand il dit que les solutions de la grange sont totalement erronées c'est pas tout à fait c'est-à-dire que pour penser que c'est totalement erroné il faut vraiment penser à une évolution sur un temps très long où les choses vont se défaser il faut vraiment penser que ceci est extrêmement précis que en fait c'est un peu l'impression que le verrier le verrier quand même prend des précautions il prend des précautions et il introduit quand même quelque chose de nouveau comme il sait les masses des planètes intérieures ne sont mal déterminées celles de Mercure, celles de Vénus sont mal déterminées parce qu'on n'a pas de satellites autour de la planète donc il sait qu'elles peuvent être amenées à être changées à avoir des meilleures estimations ce que va introduire de nouveau le verrier c'est de calculer toutes les dérivées partielles par rapport au mass et c'est ce qui est dans ce tableau-là donc s'ils donnent quelles seraient les variations de tous ces éléments des solutions pour changer un petit peu les masses pour ne pas être pour ne pas être critiqués sur ce point et alors on peut regarder les solutions donc voilà j'ai tracé ici sur un million d'années la solution de la grande pour l'excentricité de la terre et la solution de le verrier vous voyez bien que ces deux solutions donnent une... donne quelque chose qui est différent et qualitativement déjà donne des résultats similaires ou ce qui est important c'est de voir ces variations de l'excentricité de la terre avec des périodes d'à peu près 100 000 ans et puis en plus des grandes périodes de 400 000 ans et ça ça va être déterminant dans la suite puisque ce sont ces grandes variations qui sont à l'origine du déclenchement des âges glacières mais vous voyez que chez la Grange la solution est déjà bon on a pas de différence qualitative alors après quantitativement on peut se demander qui des deux a le plus raison le verrier va apporter quelque chose il va se dire c'est bien joli la Grange a calculé le système linéaire donc il va se dire moi je vais aller plus loin je vais rajouter la partie non linéaire c'est à dire que on fait des développements en série faire la partie linéaire ça reviendrait à dire que c'est x ça c'est ce que la Grange avait fait et là ce que le verrier va faire il va rajouter le terme suivant l'idée c'est que si on rajoute des termes dans le développement on améliore la solution c'est ce qu'il regarde par exemple les valeurs propres ils regardent comment ces valeurs propres en gros sont modifiées par l'addition des termes suivants et ce qui est important c'est de voir qu'ils sont modifiés donc ça c'est les ces valeurs propres c'est les vitesses d'avance des périléli en quelque sort et là c'est en seconde par an une seconde par an c'est une période d'un million d'années vous voyez ce qu'il voit c'est que le degré 3 apporte des corrections mais qui ne sont pas très grosses donc il va se dire si j'allais plus loin et que je calculais le degré 5 ce serait encore plus petit donc ma solution sa solution est bonne et c'est pour ça qu'il est aussi certain de de la précision de ces calculs alors ce qu'il ne sait pas c'est qu'un peu plus tard après sa mort il en 1897 va calculer non pas le développement comme ceci par rapport aux eccentricités mais va calculer le développement dans l'itération de la résolution c'est à dire développement par rapport aux masses et il va montrer que encore une fois cette proximité de la résonance entre Jupiter et Saturn où Jupiter fait pratiquement 5 tours pendant que Saturn en fait 2 ça introduit des complications parce que ça introduit des petits diviseurs dans la résolution de ces équations et si on prend en compte les termes qu'il calcule on va avoir un changement ici qui est de 5 secondes par an donc vous voyez la convergence et ce sont l'apparition un petit peu des petits diviseurs dont parlera après point carré vous voyez au second ordre on a une solution importante qui avait complètement sous-estimé le verrier et si on compare à des résultats modernes on trouve que là on est à peu près à ce moment-là au bon valeur alors ces solutions de le verrier elles vont prendre beaucoup d'importance elles vont prendre beaucoup d'importance parce que vous voyez elles montrent qu'on a variation de l'excentricité de la Terre et cette variation d'excentricité le verrier lui publie ça en 1846 et juste avant Agassis avait montré l'existence des périodes glacières et du coup il va tout de suite y avoir l'idée que ces périodes glacières pourraient avoir pour origine les variations de l'orbite de la Terre ces variations en 100 000 ans de l'excentricité de la Terre il y a un premier travail sur lequel je passe mais voilà le travail de Kroll James Kroll qui va en fait ce qu'il va faire il va justement proposer cette théorie c'est à dire cette théorie le fait que les âges glacières soient dues aux variations d'excentricité vous voyez les variations d'excentricité qui sont dures aux perturbations des planètes il fait la même courbe que celle que je vous ai montré mais là lui l'a fait à la main donc ça c'est tout simplement le tracé de la solution de le verrier et donc on voit ces changements alors là le zéro est ici c'est la solution de le verrier on a ces périodes de 100 000 ans qui changent l'excentricité de la Terre en fait quand l'excentricité de la Terre change on change le contraste entre le passage au péril et l'île et la félix si on a une eccentricité comme l'excentricité actuelle la différence entre la félix et péril et l'île c'est 5 degrés si on prend une eccentricité maximale ici comme 0,6 0,06 ça devient 17 degrés donc on comprend qu'il puisse y avoir des changements climatiques et c'est ça la théorie de Kroll alors ça du coup ça va susciter on va avoir de nouveaux calculs de ces solutions on va avoir plusieurs travaux donc là c'est par exemple Stockwell qui va refaire le travail de la grande ou le travail de le verrier donc il va recalculer au premier ordre donc on peut regarder ce que donne maintenant la solution de Stockwell vous voyez encore des petites différences par rapport aux solutions précédentes et puis la théorie pour l'explication des âges glacières elle va se compléter parce qu'elle n'est pas du uniquement à la variation d'excentricité mais elle est du aussi à la variation de l'obliquité de l'axe de la Terre mais cette obliquité c'est-à-dire l'angle de l'axe de la Terre avec la normale à son orbite elle varie avec une période de 40 000 ans mais elle varie aussi la raison pour laquelle elle varie c'est à cause du mouvement du plan de l'orbite de la Terre donc c'est bien le mouvement du plan de l'orbite de la Terre que je vous ai montré dans la petite vidéo et qui est celui qui a été calculé par la grange qui permet de calculer la variation de l'axe de la Terre donc on va avoir comme ça et puis gérer cette théorie de changement climatique astronomique ça va être énoncé de manière assez complète par Milankovic et actuellement c'est essentiellement ça qui est le modèle correct pour ces variations pour ces grandes variations climatiques du passé donc qui sont dues aux variations de l'orbite de la Terre tel que finalement la montrer la grange et en revanche je dis tel que la montrer la grange mais la solution de la grange n'a jamais été utilisé pour faire ce type de calcul c'est-à-dire que les au moment où Agassiz a montré l'existence des pièces glacières les gens ne se sont pas dit immédiatement ah oui mais la grange a montré que les orbites des planètes varient et donc on a une explication là je pense que c'est parce que c'était un travail qui était pas assez connu par contre quand le verrier avec toute la notoriété qu'il avait avec la découverte de Neptune a sorti ses solutions il y a eu beaucoup plus d'écho et il y a eu immédiatement comme je vous l'ai dit c'est cette utilisation de la solution de le verrier pour expliquer ces périodes glacières alors là j'ai tracé un peu toutes les solutions donc vous voyez il y a quand même des variations importantes d'une solution à l'autre on va se cantonner maintenant au juste, au dernier donc je prends la solution de la grange solution de le verrier puis je dirais la solution actuelle solution actuelle qui est la bonne solution bien sûr non mais il n'y a plus trop de doute maintenant sur la solution sur un million d'années c'est plus un problème et vous voyez que finalement si on regarde si on regarde ces solutions vous voyez que la solution de la grange elle n'est pas moins bonne que la solution de le verrier je dirais même qu'elle est plutôt un peu mieux mais c'est par chance je dirais c'est par chance avec des masses un peu différentes après parce que vous voyez les grands pics de le verrier ils y sont pas la grange a finalement un peu plus près mais en tout cas la grange ne méritait pas les sarcasmes de le verrier c'est ça que je voulais dire et alors ces solutions actuellement sont très importantes parce qu'elles permettent de reconstituer de reconstituer les climats du passé et de faire des datations grâce à l'astronomie vous avez par exemple ici vous voyez une correspondance entre les variations d'un indice climatique dans les glaces qui est la variation de rapport isotopique oxygène 18 sur oxygène 16 et ici la variation d'insolation à la surface de la Terre à 65 degrés qui résulte directement des variations orbitales et d'axe de rotation de la Terre telles qui sont calculées finalement par la grange et vous voyez la très bonne correspondance entre les deux tellement bonne que on utilise cette solution pour dater l'enregistrement ici glacière ou l'enregistrement sédimentaire comme dans ce cas là donc là c'est sur 2 millions d'années donc on peut utiliser comme ça on peut faire de la datation astronomique des sédiments donc datation géologique, astronomique à partir des variations de l'orbite de la Terre qui résulent des perturbations des autres planètes mais c'est vraiment tel que là calculer la grange juste en améliorant le modèle alors maintenant la question intéressante c'est de se demander jusqu'où on peut faire ceci on peut dater ces sédiments avec la solution astronomique mais jusqu'à quel point et alors là je vais revenir sur le verrier parce que le verrier c'était quand même rendu compte en calculant ces termes du 3ème ordre ici que quand il se cherchait à résoudre ce problème s'introduisaient des petits diviseurs et ces petits diviseurs ben il voyait que si changer les valeurs des masses des planètes il pouvait obtenir des diviseurs nuls et donc il se posait la question il se posait la question de savoir est ce que il se dit il paraît donc impossible par la méthode des approximations successives de prononcer si en vertu des termes de la seconde approximation le système composé de Mercure-Vénus la Terre et Mars ouira d'une stabilité indéfinie et l'on doit désirer que les géomètes par l'intégration rigoureuse des équations différentielles donnent les moyens de lever cette difficulté qui peut très bien ne te dire qu'à la forme c'est-à-dire que lui voit que dans ses calculs s'introduisent des problèmes parce qu'il a des diviseurs nuls et il se dit est-ce que c'est juste que je m'y prends d'une mauvaise manière donc c'est ça qu'il demande aux mathématiciens il demande aux géomètes c'est-à-dire aux mathématiciens trouvez-moi une solution qui permet de résoudre ce problème qui peut ne venir que de la mauvaise manière avec laquelle je m'y prends pour résoudre le problème et la réponse négative sera donnée par point carré qui va montrer en fait que le problème qui apparaît dans les calculs de leverrier ne vient pas de la manière dont il s'y prend mais vient vraiment de la nature du problème et qu'en fait qu'on a toute cette complexité sur laquelle je reviendrai pas qui ou justement cette complexité des solutions où on a des phénomènes extrêmement compliqués qu'on appelle maintenant chaotiques et si je prends les solutions donc maintenant ce qu'on sait faire et bien en fait on montre que effectivement le système solaire est chaotique chaotique avec une divergence exponentielle qui varie comme 10 puissance T sur 10 ou T étant million d'années ce qui veut dire que si vous avez à la date aujourd'hui 15 mètres d'erreurs au bout de 10 millions d'années vous avez 150 mètres d'erreurs et au bout de 100 millions d'années 150 millions de kilomètres d'erreurs c'est-à-dire que vous ne savez plus où est la planète ou plutôt vous ne savez plus comment est orienté la trajectoire de petite eccentricité et en fait même plus récemment on a montré même que cette limite que ça ça va donner une limite vous voyez ça va donner une limite pratique à la possibilité de prédire la solution du mouvement des planètes et en fait que cette limite à cause des perturbations par les astéroïdes par les astéroïdes qui sont aussi petits que vous voyez CRS CRS c'est un 6 millième de la masse de la terre Vesta c'est un 22 millième de la masse de la terre mais c'est les perturbations de ces astéroïdes vont introduire une incertitude dans la détermination dans les perturbations exercées sur les planètes qui fait qu'on ne pourra jamais et j'hésite pas à dire jamais prédire le mouvement précis des planètes au-delà de 60 millions d'années donc en gros le modèle de la grande il est il est parfait si on regarde pour donner la nature qualitative du mouvement sur quelques millions d'années on aura donc on a cette explication on a ces termes à 100 000 ans dans l'excentricité de la terre donc on a l'explication qualitative des périodes glacières mais la limite vient des parties non linéaires qui sont qui ont un mouvement qui introduisent un mouvement chaotique avec comme ça une limite de prédictibilité stricte à 60 millions d'années voilà merci c'est un timing parfait je n'aurais pas dépassé mon temps très bien non c'est un timing parfait est-ce que vous avez des questions des commentaires Luigi c'est les mains pour dire que la question des publications des mémoires des academies était très très compliqué on a des il y a des différents des temps entre l'année qu'on présente les mémoires et l'année des publications des trois ans etc mais surtout il y a une grande différence pour les mémoires des savants étrangères qui ne sont pas seulement les savants des autres pays comme était la Grange parce que la Grange a été associé étrangère avant d'être pensionné vétéran mais les mémoires des savants étrangères avaient une forte irrégularité donc aussi la place avant d'entrer dans l'académie il entre à peu près dans cette période il doit attendre quelques années pour pouvoir publier ces mémoires dans les savants étrangères parce que l'académie publie assez régulièrement avec un intervalle d'un an on voit que les mémoires les mémoires standards sont publiés quatre ans après ce qui paraît bizarre c'est que le texte de la place lui soit publié l'année d'après oui mais il était en train de devenir académicien ordinaire puis si je me permets de me permettre une chose une curiosité sur la Grange et la place qui donne un avis sur les caractères des personnes dans la période napoléonienne c'est pour les sénataires sénataires est un grand personnage de l'Empire alors un jour la Grange a rencontré Poisson Poenso qui était son élève et il a parlé de certaines noms de choses à un certain point la Grange lui demandait mais pourquoi vous citer dans votre article plusieurs fois la place qui n'a écrit rien sur ce sujet et la réponse de Poenso c'est pour oublier plus vite pour avoir des problèmes des publications excusez-moi moi j'aimerais savoir la petite note que j'ai cité j'aimerais bien savoir si c'est quelqu'un qui lui a fait rajouter si si il a rajouté spontanément ou pas la note je peux vous donner la référence je vous écris la référence encore une question merci pour votre exposé je vais savoir j'ai entendu des chiffres que pour avoir un phénomène majeur dans le système solaire avec le planète c'était 4 milliards d'années et que maintenant pour avoir un changement mineur dans le système planétaire c'était tous les 250 millions d'années on est très au-delà du chiffre que vous venez de donner à propos du système chaotique de point de carré qu'est ce que vous pensez de ces chiffres de 4 milliards et de 250 millions d'années je sais pas ce que c'est 250 millions d'années je sais pas d'où il vient mais les autres chiffres je les connais bien puisque c'est ce que j'ai publié en 2009 en fait là ce que je montre c'est qu'on ne peut pas donner de solutions précises au-delà de 60 millions d'années parce qu'on a de divergences exponentielles des trajectoires maintenant mais ça demande une heure de plus si on veut parler alors une fois qu'on sait ça on peut se dire maintenant on veut quand même répondre à la question Newton est-ce que les planètes peuvent avoir des instabilités majeures sur l'âge du système solaire c'est-à-dire sur 5 milliards d'années ou son espérance de vie 5 milliards d'années enfin il faut regarder au-delà de ces 60 millions d'années mais ce qu'on sait c'est que si on calcule une trajectoire au-delà des 60 millions d'années ce ne sera pas la solution du mouvement du système solaire à cause de cette divergences exponentielles donc il faut changer de stratégie et il faut passer à la même chose que ce qui est décrit par Cédric Bilanier il faut passer à une vision statistique et prendre un ensemble de trajectoires et regarder la densité de probabilité quelle est la probabilité de collision comme on fait pour un gaz donc ça c'est ce qu'on a fait en 2009 on a pris 2500 trajectoires avec des conditions initiales extrêmement voisines donc toutes compatibles avec tout ce qu'on sait de mieux sur le système solaire et en fait ce qu'on a montré c'est que la probabilité de collision est de 1 % avant 5 milliards d'années probabilité de collision avant 5 milliards d'années c'est une planète majeure en l'occurrence celle qui est déstabilisée la première c'est Mercure et donc on peut avoir collision de Mercure avec le soleil ou collision de Mercure avec Vénus avec une probabilité de 1 % en moins de 5 milliards d'années et dans certains cas on peut avoir même une déstabilisation totale du système avec collision de Mars avec la Terre de Vénus avec la Terre un petit peu de tout ce qu'on veut en moins de 5 milliards d'années donc on peut encore remercier Jacques alors le dernier exposé de la journée