 اسلام علیکم لیکچر نمبر 38 سرات کرتے ہیں آج اور دیفرنت انٹیکرال کی جو ہم نے ابھی تک اپلکیشنز دیکھیں اس کا آج ایک طرح سے خوشخبری شہد ہو کچھ لوگوں کے لئے کہ آج اس لیکچر میں اس کا آخری حصہ ہم کہہ سکتے ہیں کہ ہم دیکھیں گے تو شہد بہت سے لوگ خوش ہو رہا ہوں کہ جی فائنلی جان چھوٹی جو دیفرنت انٹیکرال جان کو لگا ہوتا ہے تن دن سے تو ٹیک ہے جسٹیفائیڈ نیایا وہ واقعی خوش ہو سکتے ہیں لیکن ان کے خوشی میں ابھی ختم کر دیتا ہوں کیونکہ نیکس طرح جو ہم لیکچر کریں گے تو اس میں ہم لیمٹس کے بارے میں پھر سے بات کریں گے تو ہوفیلی آپ شاید سوچ رہے ہوں کے بہتر تھا کہ ہم دیفرنت انٹیکرال ہی کرتے ہیں تو خیر کوئی بات نہیں یہ تو چلتا رہتا ہے کہ ٹیک ہے کچھ ماہت پسنداتی ہے کچھ لوگوں کو کچھ پسنداتی ہے لیکن اوورال بات ہوئی ہے کہ مثمیٹکس ہے اس کے بغیر تو کوئی چارہ نہیں چلتا تو we have to know all types and all kinds of mathematics تو جو لوگ خوش تھے دیفرنت انٹیکرال سے ان کے لیے شاید تھوڑیزی یہ بری خبر ہو لیکن کوئی بات نہیں there is more to come of course آگے چلکے جب ملٹی ویریٹ وگر آپ ملٹی ویریبل کالپس پڑیں گے تو اس میں you'll have plenty of a definite انٹیکرال or actually you'll talk about multivariate چونکہ ملٹی ویریبل کی بات ہو رہیے تو you'll be looking at double integrals and triple integrals etc تو something to look forward to کوئی بات نہیں لیکن آج کی لیکچر میں یہ ہے کہ we talk about the this is the last lecture in terms of talking about the applications of the definite integral to real life problems تو کیا تو کیا بات چیت آج کریں گے ہم لیکچر میں اس کو دیکھ لیتے ہیں پشلے لیکچر میں جیسے میں نے کہا تھا کہ پہلے بھی کہ ساری بوئی بات ہے کہ definite integral کی جو تیزہ بذست اپلکیشنز وہ کریں گے ہم اس والے میں بھی اور پہلے بھی دیکھ چکے ہیں تو اب تک ہم نے دیکھا کہ definite integral کو استعمال کرتے وے آپ volume عالم کر سکتے ہیں solids کا پشلے لیکچر میں ہم نے دیکھا کہ ہم اس کو استعمال کر سکتے ہیں in terms of finding the surface ایریہ بلکہ defining the surface ایریہ in terms of a surface of revolution تو وہ بھی ہم دیکھ چکے ہیں بڑی انترسٹنگ باتیں آج ہم اس کی اپلکیشنز جو ہے definite integral کی وہ ہم دیکھیں گے in terms of physics تو physics کی جو شائقین ہے جن کو پسندے physics تو hopefully ان کو تھوڑی سی excitement ہوئی ہوگی کہ جیوا کی پہلے جو ہم نے پشلے لیکچر میں جو ہم نے بات چیت کی تھی وہ تو یہی تھی ساری کہ ایک طرح سے theoretical applications تھی جو مطلب solids کی جو ہم نے volume معلوم کی اور surface area define کیا وغیرہ تو تھی کے applications تو ہیں لیکن جن نے کہنا چاہئے کہ theoretical in some sense کہ آپ ایک object کا volume معلوم کرنے definitely applications تو ہیں physics میں بھی تھی لیکن آج جو ہم کریں گے وہ straight forward کھلی کھلی بات ہے کہ جیس it'll be only purely physics and this is where you get the term calculus based physics تو ہم دیکھیں گے کہ definite integral کو کیسے ہم استعمال کریں گے to basically define some concepts and calculate some concepts from physics تو جناب agenda دیکھ لیتے اور topics ہوگا راج کے تو آئی دیکھتے لیکھ لیتے ہیں topic جناب ہے work and fluid pressure and the definite integral یعنی ان دونوں ایجر کو topics ہیں work or fluid pressure یہ دونوں physics کی terminologies ہیں اور ان کی کیا relationship ہے definite integral کے ساتھ تو ہم جو باتے کریں گے ان میں شامل ہیں آج work done by a constant force پہلے ہم دیکھیں گے کہ constant force کیا ہوتا ہے of course اور پھر تھوڑی سی اس کی basics دیکھیں گے کیسے use کر سکتے ہیں to calculate work اور work کیا ہوتا ہے یہ بھی define کریں گے اس کے بعد ہے جناب work done by a variable force تو this is of course the interesting part آپ کو سوچ رہے ہو گے کہ variable سے مرادی ہے کہ changing force جو change ہوتا ہے تو یہاں پھر of course calculus کا تھوڑا سا idea شہد آپ کو already ہو گیا یہاں پھر ہم calculus تمال کریں گے اس کے بعد جناب ہم دیکھیں گے fluid pressure کیا ہوتا ہے physics میں of course it's a physical concept اور ساتھ ہی میں Pascal's principle کی بات کریں گے تو یہ جناب آج کا ہمارا agenda ہے تو اس کے بارے میں details میں با شروع کرتے ہیں ابھی تھوڑی دیر میں اس سے پہلے گے کہ جناب ابھی تک جو باتے ہوئی ہیں وہ انی کی continuation ہے سارہ کچھ جو آج ہم بات کریں گے تو hopefully you're all clear about those things different ڈیکرال اب تک تو بالکل کوٹ کوٹ کیا آپ کے اندر آپ کے آپ کا حصہ بن گیا ہوگا یعنی کوٹ دیا گیا آپ کے اندر میرے خال سے اتنی باتے کیا ہم نے تو کوئی بات نہیں آخری لیکچر ہے تو اس کو بھی دیکھ لیتیں کیا کرنا ہے تو ایسا کرتے ہیں جناب کے work پہلے جو ہمارے agenda پی چیز تھی work کے حوالے سے کہ work کیا چیز ہوتی ہے let's talk about work تو یہ ایک physical concept ہے work basically اور اس کے بارے میں یعنی work کیا ہوتا ہے work یہ ہوتا ہے کہ home work of course کام work is equal to کام اور دو ہم سے کام کہتے ہیں تو ظاہر ہے یہ تو عام زبان میں ہم استعمال کرتے ہیں کہ جی انگلش میں ہم کہتے ہیں work done کہ جی میں نے ایک طرح سے آپ کہیں جی میں نے home work کیا جو مجھے کالکلس کے لیے ملا تھا تو I've done some work of course I've done home work لیکن یہ کہ that's a casual way of saying کہ جی آپ نے کوئی کام کیا ہے physics میں اس کی زیادہ کونکریٹ ایک definition ہوتی ہے basically it is a mathematical definition basic concepts جو ہے algebra کے ان کے ذریعے ہم work کو دیفائن کرتے ہیں physics میں اور اس کو ہم دیکھ لیتے ہیں کیسے دیفائن کرتے ہیں تو آئیے تھوڑی سی چیزیں لکتے ہیں ان کے بارے میں اور دیکھ دیں یہ کیا ہیں تو سبسپیرر تو topic ہے work done by a constant force تو اس میں یہ ہے کہ ہم کس طرح دیفائن کریں گے اس کو اس کو اس طرح دیفائن کریں گے کہ جی if an object moves a distance d along a line while a constant force f capital f is acting on it then work w done on the object by the force f is defined as w equals force times the distance covered and of course that's the same thing as saying work equals force times distance تو یہ جناب آپ کی definition ہے of work جو ایک طرح سے ہماری mathematical definition in terms of physics تو یہ کیا ہے basically یہ یہ کہ جی آپ کے پاس کچھ ایک force ہے ایک object ہے obviously تو اور اس کے اوپر آپ force apply کر رہے ہیں تو جب force apply ہوتے تو ایک طرح سے نیسسری بات ہے کہ it should move a certain distance that object that you are applying the force on اور اگر آپ ان دونہ force کو اور distance کی جو value ہے and کو multiply کریں گے you get the definition of work تو that's how it's defined یعنی مثال کے طور پر جیسے یہ remote control ہے میرے پاس تو اگر اس کو میں یہاں رکھتا ہوں ٹیک جی it's my object اور یہاں سے لے کر اس point سے لے کر میں اس کو اس point تک لے کر جانا چاہتا ہوں تو I can do something like میں اپنے ہاتھ سے لے کر اس کو اس کے اوپر a force apply کرتا ہوں I apply the force like this ٹیک جی اور یہ آپ کا remote control move کر کے ایدر آ جاتا ہے تو ہم یہ کہیں گے کہ جی there was some work done overall and work done by the I guess you could say by force یا یہ کہنا چاہیے کہ there was some work done basically اور اس کی وہی بات ہے کہ جتنہ دیسٹنس آپ نے cover کیا ہے اس point سے شروع کر کے point کے آخر تک اتنا دیسٹنس جو ہے multiplied by the force that I was applying on the object ان کو multiply کریں گے تو آپ کے پاس work done کی definition آ جائے گی I mean that multiplication of force applied on the object by the distance that object covers is equal to work تو اس میں یہ ہے کہ یہ تو technical definition ہے تھوڑا سب ایسے ہی سوچیں کہ عام زندگی میں ہم کیا کرتے ہیں ہم یہی کرتے ہیں کہ وہی بجیسے میں نے کہا کہ work کہنا تو ایک اور رفلی ہم کہتے ہیں جی میں نے کچھ کام کیا وہ کام کی definition جو ہے وہ different ہے اس میں کام کچھ بھی ہو سکتے ہیں کہ جیسے ایک فرق یہاں پہ ساف ظاہر اس طرح ہوتا ہے کہ اگر میں اپنی گاری میں بیٹھتوں اور پھر اس کو start کر کے I drive the car اور اپنے گھر سے میں market تک اگر کیا مثال کے طور پہ تو physics کے حوالے سے کچھ there will be some work done basically کیونکہ ایک force ہوگا اگر میں گاڑی کو constant speed سے چلاتا ہوں تو اس constantly speed کے حوالے سے میرے گاڑی ایک distance کبر کرے گی تو وہ constant speed جو ہوگی وہ اس میں ایک force involved ہوگا ظاہر ہے انجن کی اندر کچھ force create ہو رہا ہے جو گاڑی کو move کر رہا ہے تو that force multiplied by the distance will show me that there was some work done in my car from my house to the market تو عام زندگی میں ہم اس کو work کے طور پہ نہیں کہیں گے ہم کہتے ہیں یہ کیا work ہے یہ تو کوئی work نہیں ہے لیکن اگر میں میری job ہوتی ایک driver کی chauffeur کی then I would have done some work of course from the regular point of view جس طرح سے عام استلاح میں استعمال کرتے ہیں کہ کام کیا میں نے تو ٹھیک ہے ایک driver تو کام کرتا ہے جب گاڑی چلاتا ہے from that regular point of view عام استلاح میں جسا ہم کہتے ہیں work لیکن physics کے point of view سے there will be some other work also physical work done when the car goes from the from my house to the market تو وہ ایک علک چیز ہے اور جو عام استلاح میں استعمال کرتے ہیں وہ بھی ایک علک concept ہے لیکن کبھی کبھی ان دونوں کا ملاب ہو جاتا ہے اچھا جی تو یہ تھوڑی سی definition ہو گئی اس کی یہ جو ہم نے ابھی بات کی تو اس میں یہ نورٹ کریں کہ یہ جو ابھی ہے ہمارا جو force ہم نے جس کی بات کیئے تو بل اس میں ہم constant force کی بات کر رہیں یعنی ایک ایسا force جو ہر وقت constant رہے گا یعنی جیسے میں نے بلکہ ابھی ایک سامپل دیتی ہے آپ کو گاڑی شلانے کی تو آپ نے نورٹ کیا ہوگا کہ میں نے جلدی سے آپ کو کرکت کیا کہ گاڑی جو ہے وہ constant velocity سے چلے constant velocity سے چلے گی تو اس میں constant force involved ہوگا جو velocity کو constant رکھے گا basically تو اس میں یہ ہے کہ بات کی جی constant force جو ہے وہ ہم یہاں پر اس کی بات کر رہے ہیں لہذا یہ ہے کہ ہم یہاں سامپل الجی بریگ اکسپریشن اکسپریشن for the work done from the physics point of view اچھا اب اس کی ہم ایک ایک سامپل بھی کر لیتے ہیں تھوڑی دیر میں لیکن یہ ہے کہ ایک کچھ units کی بات کرتے ہیں کہ کون کون سے units ہوتے ہیں جو یہاں پر ہم جب work done کی بات کرتے ہیں physics کی point of view سے تو اس میں کچھ units ہوتے ہیں units کیا مطلب ہے units کا مطلب یہ ہے کہ جی جیسے جب میں جب میں کچھ چیز مجر کرتا ہوں تو اس کے کچھ units ہوتے ہیں ہو سکتا ہے centimeters ہوں millimeters ہوں feet یا miles kilometers ایسی طرح اسی طرح سے جب physics میں یہ ہم physical point of view سے جب force کی بات کر رہے ہیں تو there are certain units involved اور کون سے ہیں وہ units یہ دیکھ لیتے ہیں actually بات کرنے کے ساتھ لیک بھی لیتے ہیں تاکہ clearly سمجھا جائے تو دیکھتے ہیں جی force units are what are they they are two types actually there are many types but the most commonly used are pounds جن کا مخفف ہے جن کا acronym ہے lbs pounds یہ ہم وزن بھی اس میں مجر کرتے ہیں اس کے لعا جناب ایک اور ہے dynes ایک terminology ہوتی ہے جو میرے خال سے زادہ استعمال نہیں ہوتی کیونکہ ہم اس کے بارے میں سنتے نہیں ہو سکتا ہے Europe وغرہ میں ہوتی ہو اور جو زادہ commonly استعمال ہوتا ہے نیوٹن کا force وہاں ہے نیوٹن کا تو یہ تین نیوٹن سے بیسکلی جو عام طور پہ ہم دیکھیں گے ہم استعمال کریں گے when we talk about force in physics from physics point of view یہاں کہہ لیں کہ جی جو ہم force کی بات کریں گے تو اس میں یہ نیوٹن استعمال کریں گے pounds dynes یا نیوٹن تو نیوٹن آپ کو پتہ چلی گا ہوگا کہ یہ جو scientist تھے جو mathematician تھے scientist کیلی physicist کیلیں Sir Isaac Newton ان کے نام پر اکھا گئے Newton of course تو اس کے بارے میں کچھ یہ ہے کہ یہ کہاں سے آئے انیوٹن یا نیوٹن تو آگے pounds وغرہ وغرہ ان کی میں نے جیسے تھوڑی دل پہلے کہا کہ یہ جو ہم وزن کرتے ہیں کچھ مشینیں ہوتییں میرے خال سے pounds بھی استعمال ہوتا ہے تو یہ اس کا کیا مطلب ہے یہ تو یہاں پر force اور جو weight تو force ہوسکتا ہے ہو لیکن سوال یہ کہ یہ units کیوں ملتے جولتے ہیں کیونکہ یعنی کہنے کا مقصد یہ کہ force اس کے بھی units and وزن اس کے بھی so what's going on تو اگر ہم اس میں دیکھیں کہ یہاں کیا تو let's talk about that کہ دائن اگر ہم actually دائنز کی بات کریں یا نیوٹنز کی بات کریں تو تھوڑا سا کلر ہو جائے گا کہ what does it mean in terms of these units ہم ان کو کیوں استعمال کرتے ہیں کہنے کا مقصد جانا آپ کو چیو ہے کہ جو دائن تھا پاونٹز تو ہمیں پتا ہے کہ کچھ ہوتے ہیں just some we know what they are دائن کیا چیز ہوتی ہے ایک one دائن جو ہوتا ہے یعنی جو unit ہے one دائن کا is equal to the force needed to give a mass of one gram an acceleration of one centimeter per second squared and similarly one is equal to the force needed to give a mass of one kilogram an acceleration of one meter per second squared تو یہ آپ کی definition دائن کی or newton کی یا newton کی یہاں پر یہ definition ہو گئی کیا کہ دائن میں ایک گرام کا ماس اگر کوئی ہے کوئی solid ہے جس کا ماس one گرام ہے اس کو اگر پر one centimeter per second squared I call that force the force that was needed to do that one dime similarly newton میں آپ نے kilogram or meters کی بات کی اچھا جی تو یہ جو ہم نے units دیفائن کر لیے or work کی definition بھی دیکھ لیے تو اب ایسا کرتے ہیں کہ ایک سمپلس ایک سمپل کر لیے اور دیکھتے ہیں کہ کیا ہے یہ یہ یاد رکھیں کہ ابھی تک جو بات چیت ہوئی ہے اس کو ہم نے دیفائن کیا تھا w work equals force times a certain distance covered تو اس میں force جو تھا وہ constant تھا اور اب جو ہم ایک سمپل کر رہے ہیں اس میں بھی force constant ہی رہے گا تو آئی اس ایک سمپل کو دیکھ لیے یہ جناب example ہے an object moves five feet along a line while subjected to a force of one hundred pounds direction of motion so what is the work done یہاں پر a force constant force one hundred pounds or distance covered five feet تو یہ بات work done کتنا ہوگا تو ہمارے پاس definition have work equals force times the distance covered so this will equal to one hundred times five five feet and this is equal to five hundred pounds تو اب ہم آگے چلتے ہیں اسی example کیا بات کر رہے تھے تو اس میں یہ تھا کہ جواب آیا تھا five feet pounds تو یہ feet pounds یہ ہاں حیہ حیہ حیہ حیہ حیہ حیہ حیہ حیہ حیہ حیہ حیہ حیہ حیہ حیہ حیہ حیہ حیہ حیہ these are the units it depends on what kind of units you're using for distance and the force in your definition for work حیہ حیہ اجھو ایک بات ہوجی اب此 میں جو اخیام میں force تھا اور اب بھی تک جوھ ہم نے بات کی سینپلی either ایک مشاہی لکھی crashing this was an equation involving اب سوال یہ کہ اگر force ویری کرتا ہے in other words if you have a variable force when you you know in your definition for the work done then that is okay but how do you actually do the calculations for the work done یہ ایک اچھا سوال ہے کیونکہ جب force ویری کرے گا تو آپ کی پاس کافی complicated situation ہو جائے گی کیونکہ ہر انٹرول میں جہاں پہ force ویری کر رہے you will have to use this simple equation differently for each different force in that interval تو یہاں پہ اب ہم کہتے ہیں کہ ٹیکے now we can have you know fun with calculus basically اور یہاں پہ اب ہمیں calculus استعمال کرنا چاہیے جب ہم variable force کی بات کر رہے ہیں اور کونسہ calculus اور اس میں سے کونسہ والا topic definite integral والا topic of course تو آئیے اس کو اب اس کے بارے میں بات کرتے ہیں کہ how do we do calculations for work done if we have a variable force involved in our situation تو اس کو یہ بیسکلی جو problem ہے یہ ہے ہماری essential problem of this lecture and basically of calculus کہلیجے کہ یہ ایک طرح کی core problem ہے کہ variable force کو کس طرح سے تکل کیا جائے تو اس کو لکھ لے تھے formally so we know what we are trying to deal with so let's see how we state the problem problem جناب ہے اس کو کہلیجے work problem suppose that an object moves in the positive direction along a coordinate line while subject to a force f of x اور یہاں پہ f of x سے مراد ہے ظاہر سی بات ہے it's going to be a function اور ایک ویرنگ فنکشن ہوگا depending on the x values in the direction of the motion whose magnitude depends on the coordinate x تو یہ اوی بات ہے جو ابھی میں نے کہی کہ جو فنکشن یہ a force ہے یہ variable ہوگا find the work done by the force when the object moves over an interval a to b اور ساتھ میں یہ آپ کے سامنے ایک the sphere situation کی تو here's a solid object and you have to move it basically اکرس a certain interval and that's the question کہ یہ جس کے اندر variable force involved ہے تو work done کیسے معلوم کریں گے اچھا جی تو وہی بات ہے کہ چونکہ definite integral استعمال کرنا ہے تو وہی process ہوگا جو پہلے ابھی تک ہم دیکھ چکے ہیں through out کہ interval involved ہے ایک continuous function ہے کنسا function ہے وہ variable force کا function ہے تو اس کے اندر آپ وہی کریں گے کہ جی آپ کی جو interval ہے you subdivide that interval into smaller subintervals اور ان کو کیسے کریں گے basically آپ کچھ point mark off کریں گے x1 x2 all the way to xn-1 اور ان سب کیے درمیان ان سب کے آس بیچ میں جو space ہوگی which we will call the width of the interval will vary of course it'll be something and we'll call it each time delta x1 delta x2 and so forth appropriately اور پھر ہم scan analysis کریں گے کہ اس کو ہم کیسے force who calculate کر سکتے ہیں over this situation اچھا جی تو اب یہ ہی بات ہے جو ہم پہلے کرتے ہیں کہ آپ نے subintervals بنالیے ان subintervals کی کچھ width ہے اب آپ نے یہ کرنا ہے کہ سوچنے والی بات یہ کہ آپ کا force یعنی جس طرح جتنے بھی subintervals بنے تو پورے interval پر آپ کو measure کرنا ہے work done لیکن problem ہے کہ ہر پورے interval a سے لے کے b تک پہ آپ کا force جو ہے وہ different values لے رہا ہے it's different it varies basically variable force ہے تو مخصد یہ ہے کہ اگر آپ نے اپنے subinterval کو interval کو subintervals میں sub divide کیا ہے x1 سے لے کے xn-1 تک تو ان کے اوپر اب آپ نے basically force جو تھا اس کو اب آپ نے ایک طرح سے categorize کر لی ہے in terms of measuring the force f on each subinterval تو وہ ہم کر سکتے ہیں لیکن مخصد یہ ہے کہ اب آپ کا یہ subinterval ظاہر ہے it's a big and subinterval اگر اس کو آپ بہت چھوٹا سا کر دیں بالکل باریق سے a x subinterval کر دیں یعنی کہنے کا مخصد ہے کہ delta xk اگر ہم kth subinterval کی بات کر رہے ہیں تو اتنے چھوٹے سے باریق سے minute سے subinterval پر جو function f ہے جو کے variable ہے جو vary کر رہا ہے it won't vary too much کیونکہ interval بہت چھوٹا ہے تو force ہے وہ depend کرتا ہے different values of x پے اگر آپ کا subinterval بہت باریق سے چھوٹا ہے تو x کی value زیادہ چینج نہیں ہو سکتی تو ہم بیسکل کہ سکتے ہیں کہ force جو ہے وہ almost constant ہے بہت چھوٹے سے ایک subinterval پے تو یہ سب division کا مخصد یہاں پر یہاں تو وہی بات ہے وہاں پر آپ سوچ رہے ہیں کہ دن واق میں آنی چاہیے بات کے limit eventually اس میں involved ہوگا تو overall مخصد یہ ہے کہ اب ہم نے subintervals بنا لییں کہ یہ بلکل چھوٹے سے ہو جائیں لیکن اس سے پہلے سمجھنے والی بات یہ کہ جو subintervals ہیں ان کے اوپر اگر میں باری باری معجر کرنو work done کیا جی یعنی kth interval پے میں کہتا ہوں work done is wk تو باقی سارو پے بھی میں اسی طرح معجر کر سکتا ہوں work done اور ان سب کو اگر add کروں گا تو میرے پاس ایک طرح کی approximation آجائے گی to the total work done لیکن وہی بات ہے work done on each interval subinterval I can then get an exact answer to the total work done on the whole interval a to b تو کس طرح کریں گے اب یہی بات ہے کہ اگر آپ کا subinterval kth subinterval x k x sub k minus 1 سے لیکن x sub k تک وہ اگر بہت چھوٹا سا ہے تو ہم کہتے ہیں کہ جی اس کے اندر ایک چھوٹا ایک point لیتے ہیں x k star اور چونکہ تو ہم کہتے ہیں کہ اس point کیوں پر ہم اس کو استعمال کریں گے x k star کو اور force کو evaluate کریں گے اس point پے اور approximate کریں گے work done on the subinterval یہ جو چھوٹا سا ہے آپ کا by the equation we know w equals f times the distance وہ constant force کی تھی مخصد یہ ہے کہ چونکہ subinterval بہت چھوٹا ہے your variable force is not changing too much تو it's almost as good as a constant force تو ہماری equations کو جس طرح بچ جائیں گے کی جناب آپ کے سامنے ہے w k جو ہوگا the kth work done in the kth interval will be approximately equal to f of x k star times delta x sub k where delta x sub k is just the width of the subinterval اب اگر میں اس طرح سے سارے subintervals پے کروں گا تو میرے پاس a summation equation آجاتی ہے دیکھ لیتے ہیں کیا ہے یہ summation equation the equation is sum from k equals 1 to n of f of x k star times delta x k this is basically representing the approximate work done on all of the subintervals and of course now if I take the limit as the maximum delta x k goes to 0 اس کا مدلہ بھی ہی ہوتا ہے کیا آپ کے subintervals کیا ہے کہ start times delta x k تو یہ برابر ہو جاتا ہے ایک definite integral کے and I get the equation integral a to b f of x dx تو یہ جناب آپ نے دیکھا کہ definite integral کو استعمال کرتے way آپ work done کیسے معلوم کر سکتے ہیں اگر force آپ کا variable ہوگا limit involved تو اس ایکویشن کو فرملی لکھلتے ہیں کہ work done اب کیا ہوگا in the case where the force is variable تو جناب یہ ہے definition بنالتے ہیں اس کو بلکے if an object moves in the positive direction over the interval a to b while subjected to a variable force f of x in the direction of the motion when the work done by the force is w equals integral x dx تو یہ ہمارا definition ہوگئی of work done by a variable force اور ساتھی ساتھ ہمیں calculation کا طریقہ بھی مل گے دہرے definition is in terms of a definite integral so we're done تو آئی ایک example کرتے ہیں اس کی اور دیکھتے ہیں how this actually helps us in calculations تو جی example آپ کے سامنے ہم لکھتے ہیں اور پھر دیکھتے ہیں کہ اس کو کیسے solve کریں گے تو example میں problem کیا ہے problem ہے جناب a cylindrical water tank of radius 10 feet and height 30 feet is half filled with water how much work is required to pump all the water over the upper rim of the tank یہ جناب آپ کی problem ہے تو تھوڑی سی اندرسٹن problem ہے کہ ایک water tank ہے یہ ہمارے پاس ایک واضح رکھا ہوتا ہے ہمیشہ اس کو ہم استمالی کر لیتے ہیں پہلے بھی کیا تھا تو یہ water tank ہے مثال کے طور پہ cylindrical ہے اوپر سے imagine کریں flat ہے تو اس میں اگر پانی بھر لیتے ہیں پانی میرے پاس نہیں ہے لیکن ہم imagine کرتے ہیں کہ this is filled from up to here یہاں تک پانی بھر آوائے مقصد یہ کہ سوال یہ ہے کہ how much work is required to pump all the water over the upper rim of the tank یعنی سارا پانی جو اس کو میں اٹھا کے بھار pump out کر دوں بھار نکال دوں اس میں سے تو how much work will be done any pumping میں obviously there will be some force involved تو وہاں پہ یہ سوال ہے کہ اس میں اس force میں جو ہوگا involved اس سے کتنا work done کیا جا سکتے ہیں تو یہاں پہ a variable force بھی شاہد ہوگا کیونکہ ہماری shape water tank ہو سکتا ہے اس طرح کیوں لیکن ہماری example میں actually straight ہے تو بلکہ ایسا کرتے ہیں جو exact example میں problem ہے اس کی ایک تصویر بنا کے دیک لیتے ہیں آئی دیک دیں اس میں دیکھیں کہ ایک طرح کا vertical x axis میں نے یہاں پہ بنایا ہے اور اس میں ایک tank ہے of course اس کا radius 10 feet اور جپانی کی height ہے وہ ہے 15 feet لیکن جو total cylindrical tank کی جو height ہے وہ ہے 30 feet تو basically جو bottom ہے اس کا tank کا وہ 0 پہ ہے x equals 0 پہ جو maximum height وہ 30 بجائے ختم ہوتی ہے تو that's the extent of our vertical x axis تو یہ vertical axis of course it's just another way اس کو میں y بھی کہہ سکتا تھا y axis لیکن چونکہ variable کے مرے چوائس ہوتی ہے کیا نام دوں میں I'm calling it the x axis doesn't make a difference اب سوال یہ کہ how much work is required تو اس میں ایک integral کی equation ہمیں پتا ہے involved ہوتی ہے اور force ایک involved ہوتا یعنی آپ انتگریٹ کرتے ہیں f of x dx کو تو اس problem میں f of x کی کیا equation ہوگی سوال تو یہ گے کہ f of x کیا اگر آپ equation لکھ لیتے ہیں force کی then you're done it's a simple matter of doing the definite integral تو اس کے لیے تھوڑا some analysis کرنا چاہئے تو کرتے ہیں آئیے تو اس میں note یہ کریں سب سے پہلے کہ ایک force ہمیں جس کو ہم analyze کرنا چاہے ہیں جو force required ہے پانی بہار تک لے جانے کے لیے اس کے بارے میں ہم بات کر رہے ہیں تو اس کو ایسا کرتے ہیں کہ جو پانی ہے ہمارے پاس تھا جو ہم نے اس کوئی لیرز بنا لیتے ہیں اس کی ٹھیک ہے یعنی مخصت کہہنے کہ جو vertical axis ہے اس کو آپ نے sub divide کیا in intervals میں sub intervals میں corresponding to each sub interval let's look at a certain layer of water یہ پکچر میں ہم نے دیکھا تھا تھوڑی در پہلے کہ ایک layer سی بنای بھی تھی بلکے پھر سے دیکھ لیتے ہیں آپ کے سامنے ہے تصویر اس میں ایک layer ہم دیکھ رہیں جس کی تکنس ہے delta x کے اور ہم یہ دیکھنا چاہ رہے ہیں کہ اس کے اوپر کتنا force اپلائے ہوگا تو جتنا force اپلائے ہوگا اس کو پھر ہم استعمال کرتے ہوئے ہم اس کی equation بنا سکیں گے definite integral کی تو مخصد یہ کہ how much force is required to move the kth layer of water above the rim of the tank the answer is that the force required to move the kth layer equals the weight of that layer which can be found by multiplying its volume by the weight density of water تو یہاں پہ سیمپل سی بات ہے کہ جو force چیز کوٹھانے کے لئے استعمال کیا جاتا ہے it's equal to the weight of the object یعنی اگر میں اس کوٹھا رہوں تو I must counteract the weight of this object to be able to lift it that force required to lift it is equal to its weight اور جو ہم force required in this particular case میں وہ ہم کہہ رہیں کہ ہم معلوم کر سکتے ہیں the volume of the the volume of the layer by the weight density of water so that basically tells me that the force required to move the kth layer equals πیر سکیرد right which is the volume πیر سکیرد دلتا xk which is the volume of the kth layer times the weight density of water and this turns out to be 6,240 πی times دلتا xk یہ آپ کے پاس آگیا force required to move the kth layer above the rim of the tank تھوڑی سی physics involved اس میں مخصد یہ کہ force جو ہوگا وہ برابر ہوگا the volume of the kth layer which is easy to find کیونکہ اس کی شیئے پر بہت سمپل سیئے or multiplied by the water the density weight density of water یہ ایک physical fact ہے اس کے بارے میں ہم بات نہیں کریں گے but this is how we do it and we get سمپل آنسر 6,240 πی times دلتا xk as the force required to move the kth layer above the rim آپ سوال رہے گے distance کا distance کتنا ہم کور کریں گے تو اس کو بھی دیکھ لیتے ہیں سیمپل سی بات ہے پکچر دیکھتے ہیں ایک پر سے اس پکچر کے حوالے سے دیکھیں کہ 30 minus xk star جو ہے will represent the distance approximate distance that will be covered by the kth layer when it moves above the when we move it over the rim of the water tank تو یہ دلتا xk star کسی آئے xk star جو ہے جناب وہی کالکلس والی بات ہے کہ ہماری دلتا xk یہ لیر ہے ہماری اس کی لیکن وہی بات ہے کہ اگر میں دلتا xk بہت باری تریٹ کرتا ہوں اور ہونے بھی چاہیے کہ پانی کی لیر باری کو نہیں چاہیے تو آپ کا سب انٹرول بہت چھوٹا سا ہے اپرکسیمیشن ہے ہماری دلتا ہوں بہت سنگل پوائنٹ xk star جو بہت چھوٹا بہت چھوٹا سب دلتا xk تیکی جی تو یہاں سے میرے پاس رزالتا ہوتا ہے 30 جو یہاں سلنڈر بہت پوائنٹ xk star اور دلتا ہوں دلتا ہوں جو کتھ لیر ابواب رم آئے رم تو اب ہماری ایکویژنس کیا بن جاتی ہیں اپرکڈا رم یہاں سے کتھ لیر ٹیڑی مینس xk star ٹائیم ٹشٹھو ٹو ویار ٹھو ویار ٹیڑی ڈلتا xk اورو یہ کتھ لیر کی لہذا ہم اس کو ساری پانی کی ڈیں لیر� چھوٹا تو ہم اپرکسیمیٹ کرتے ہیں اس کو ڈے سامیشن ڈی طویم ٹو ویار ٹئیم ڈی طویم ٹو ویار فرمٹ کہاں انکراری میں سے دلتا ٹائکött کی کوئی جو اسine ہمارے سی س پہل کر will ماہات پرین ایکزاکل مص elegant انٹیکریل ہوا بڑی ایکزاکل مص Ley کی تصور اعدیہہ سکتا ہے اہم بیٹر مصیل اہم بیٹر مص than سکتا ہے اوپ بیٹھو کے تصور اہم بیٹر مصیل اہم بیٹp سکلٹ آتا ہے 616194 فیٹ پر پاؤنڈ یہ جناب آپ کا ہو گیا The work required to move all the water above the rim of the tank اچھا جی اب فلوٹ پریشر کی بات کرتے ہیں تو اس میں فلوٹ پریشر کیا ہوتا ہے اور اس کو ہم کیسے معلوم کر سکتے ہیں اس کے بارے میں بات کرتے ہیں فلوٹ پریشر بیسک کنسپٹ یہ کہ اگر کوئی کنٹینر ہے میرے پاس پانی سے بہرہا ہے مثال کے طور پہ اس میں اگر کوئی میں فلٹ چیز کو سبمرچ کرتا ہوں یعنی مثال کے طور پہ یہ پیبر ہے It's a flat object for example اس کو میں پانی میں ایسا دال دیتا ہوں تو اس کے اندر یہ جب چلا جائے گا تو اس object کے اوپر جو کہ a flat paper ہے پانی جو ہوگا کچھ پریشر اگزرٹ کرے گا تو اس کے بارے میں ہم بات چیٹ کرنا چاہتے ہیں تو وہ کیسے ہم کریں گے تو اس میں یہ ہے کہ کچھ equations ہیں بیسک فیزکس کی اور فلوڈ پریشر کے بارے میں تو ان کو لکھنا شروع کر دیتے ہیں They will be helpful So let's write these things down پہلی جیسے یہ کہ If a flat surface of area A یعنی آپ کے فلٹ surface اس کا کچھ area ہوگا It's submerged horizontally in a fluid at depth H فلوڈی کوئی depth بھی ہوگی جس میں جہاں تاکی جائے گا area یہ آپ کا surface Then the fluid exerts A force F perpendicular to the surface And this force is given by F equals P times H times A P is the weight density of the fluid Which for in case of water is 62.4 feet per 62.4 pounds per feet cubed اس کے لہاں H جہاں وہ depth ہے A جہاں وہ area ہے آپ کے surface کا جس کو آپ نے submerged کیا اور ایک اور بات مزے کی یہ کہ physics کا fact ہے from physics that the shape of the container containing the fluid does not affect the force applied on the submerged object کہنے کا مقصد یہ کہ جو تصویر میں آپ کے سامنے 3 containers بنے میں ان کی جب تک ان کی بیس A کی depth پہ ہے اور A کی اس کی وہ ہے area ہے بیس کا فلوڈ کا جو pressure ہوگا کسی submerged object پہن تینوں containers میں وہ برابر رہے گا جناب یہ تو ہوگیا force exerted by a liquid یا fluid on an object submerged that liquid ہم پرشر کی بات کرنا چاہتے ہیں تو پرشر کیا ہوتا ہے تو پرشر کی equation ہے جس کو بھی لکھ لیتے ہیں تو پرشر کی جناب equation ہوتی ہے pressure first of all it is defined as force per unit area so we will call the equation will basically be P capital P pressure equals force divided by the area so it's basically ہمارے پاس ایک force کی equation تھی small p times h times a ہمیں a سے ڈیوائٹ کر دیگر اس کو تو result آتا ہے small p جو کے density ہے weight density پانی کی fluid کی times the height at which the object is submerged اچھا جی تو اس میں یہ ہے کہ جب force is constant ہوتے ہیں تب تو ہمارے پاس کوئی مسئلہ نہیں ہوتا کیونکہ جیسے پہلے ہم نے دیکھا کہ things work out nicely لیکن یہاں پھر ہم تھوڑا سا کالکلس سپلائے کرنا چاہتے ہیں تو دیکھتے ہیں کہاں پے اور کیوں ضرورت پڑھتی ہے کالکلس کی اچھا تو کالکلس کی ضرورت دیکھنے کے لیے کہ کہاں پڑھا رہی ہے ہمیں یہاں پھر سیٹویشن میں ضروری ہے کہ ہم Pascal's Principle جو ہے ایک اس کے بارے میں بات کریں تو Pascal's Principle کو ہم لکھ لیتے ہیں کیا کہتا ہے یہ Pascal's Principle جو ہے وہ ایک فیزکس کا بیسک فکٹ ہے تو یہ جو Pascal's Principle اس کی بہت سیمپلسی سٹیٹمنٹ ہے کہتا ہے یہ یہ ہے جی آپ کوئی چیز اگر سبمرچ کرتے ہیں پانی میں تو گفن the height ایک پتکلور height پے اریلیمنٹ of the shape یعنی کس طرح سے آپ نے سبمرچ کیئے وہ چیز وہ سولیڈ یا جو بھی آپ نے سبمرچ کیئے ہائٹ پر دپنٹ کرتا ہے آپ کا پرشر of the fluid that's exerted on that object یعنی کہانے کا مقصد یہ ہے کہ ہم اگر تصویر میں دیکھتے ہیں کہ آپ کے پاس یہ تین پلیٹس ہیں جو کے دفرنٹلی سبمرچ کی گئے یہ کسی ایک انگل پے سبمرچ کی گئے دوسری بالکل فلٹ ہے ہورزونٹلی سبمرچ کی گئے اور ایک جہاں وہ بالکل سٹیٹ ورٹکلی سبمرچ کی گئے تو یہ یہاں پر شیپ سے کوئی فرق نہیں پڑتا فلٹ یہاں کہ کہ حق منے پوائنٹس میں محاہی طرح یہاں پرPSA B اور C ہی تینوں پوائنٹس ایک ہی پرشر آپ کو دیتے ہیں یہاں ہے ہمیسی ایک پلیٹ سے صبمرچ کی گئے یہاں ہے فلٹ یہاں ہے باسکلز پرشربرٹ یہ تاہipped بڑی اچھی بات ہوگئی لیکن یہاں healthcare یہاں ہے کہ ہمیں جیسے ایک دیکھی ورٹکل پلیٹ یہ پیبر ہے پلٹ ہے اس کو پانی میں اس طرح سبمرچ کیا تو اب اگر میں جاننا چاہوں گا کہ ٹوٹل فورس کیا ہے اس پلٹ پر that is being exerted by the fluid on this پلٹ یا پیبر اکیلیں اس کو تو وہ کیسے معلوم کریں گے اس میں پرہوام یہ ہے کہ ہر پوینٹ پر دفرنٹ فورس ہوگا کیوں کہ پرشہ دفرنٹ ہوگا باسکل پرنسبل کہتا ہے کہ جی ہائٹ اگر برابر ہو کسی چیز پر ایک سرٹن ہائٹ پر ایک پرشور ہوگا دفرنٹ ہائٹ پے ایک اور طاپ کا پرشور ہوگا فلوٹ کا اور دپنڈنگوں the پرشور اف course the force will change also تو اگر ہم جاننا چاہر ہیں کہ پلیٹ ہم نے سب مرچ کیا ورٹکلی اس کے اپر کتنا پر پرشور پڑھا ہے اس کے لیے ہمیں یہاں پہ کالکلس اندیوز کرنا پڑے گا تو کیسے کریں گے دیکھ لیتے ہیں ایسا کرتے ہیں کہ ایک تصیر بناتیں اور دیکھتے ہیں کہ ہم کیا بات کرنا چاہر ہیں تو آپ کے سامنے تصویر ہے اس میں جناب ایک گولبسی ایک پلیٹ ہم نے سب مرچ کیا پانی میں ٹھیک ہے فلوڈ ہے کوئی اس کے اندر اور اس پر ہم نے ایک ورٹکل x axis اندیوز کیا جو مجر کر رہا ہے آپ کی دپت کہلیں اس کو یا ہائٹ کہلیں of the پلیٹ inside the فلوڈ تو اب سوال یہ ہے کہ اس ایک point پے اس کے اپر total force کتنا ہے اس پلیٹ پے اس پلیٹ پے inside the fluid تو اس میں problem یہ کہ ورٹکلی سب مرچ کی گئی ہے تو different آنسر آئے گا ہر point پے in terms of pressure اور لہذا total force کالکلیٹ کرنے میں problem ہوگی تو اس میں کرتے ہیں کہ تھوڑا سا کالکلس کرتے ہیں ایک point کو اسلیٹ کر لیتے ہیں ایک لیر لے لیتے ہیں of the پلیٹ یعنی ایک چھوٹا سر اکٹانگل بناتیں ایک sub-interval بناتیں delta x کے corresponding to which we'll have a section of the plate اور پھر ہم دیکھیں گے کہ اس کو اگر ہم بہت باری کرنے تو we can use it to find the total force on the whole plate تو کیسے کریں گے آئی دیکھیں یہ آپ کے سامنے جناب ایک جو پکچر ہے اس میں دیکھیں کہ یہاں پہ ایک interval ہے sub-interval delta x کے اس کی height ہے and that corresponds to a certain rectangular region on the plate that is submerged اب سوال یہ ہے کہ اگر میں سوال نہیں بلکے جواب ہے ایک طرح گا کہ اس ریکٹانگل کی میں height نہیں معلوم کر سکتا ہے کیونکہ اس کی تکنس زرا زیادہ ہے height جو گی وہ ریکٹانگل کے top portion پہ کچھ ہور ہوگی اور bottom portion پہ کچھ ہور ہوگی لیکن اس کی width میں معلوم کر سکتا ہوں اس کو میں wxk کیا کہ ایک function ڈفائن کر دیتا ہوں جو width معلوم کرتا ہے اس کی لہذا اب اگر لیکن اب یہ جو height کی problem اس کو resolve اس طرح کر سکتے ہیں کہ اگر میں کہتا ہوں کہ delta x کے بہت چھوٹا سا interval ہے تو اس سے یہ ہوگا کہ ریکٹانگل شرنگ ہوکے ایک لائن بن جائے گا بالکل باریکسی اور اس لائن کو میں استعمال کر سکوں گا اس لائن بیسکلی لائن will represent a section of the plate and basically I can then find the force being applied to this kth part of the plate that is submerged and it will be approximately P which is the density weight density of the fluid times the depth which I call h of k h of x k star multiplied by w x k star times delta x k this of course will be the area of the really thin rectangle that you're calling your section of the plate which is very thin now what we can do is we can find the total force on the plate by adding all such forces and I get f equals the summation of f k which is the force on the kth section from k equals 1 to n and that is approximately the sum from k equals 1 to n of P times h of x k star times w x k star times delta x k and of course if I take the limit now I will get the exact value of the force on the whole plate it'll be equal to the limit یہ آپکہ سامنے ایکویجن ہے limit کی بہت well known ہو چکی ابتک اور ہم اس سب کو پتا ہے کہ یہ برابر ہو جائے گا to the definite integral from a to b of P times h of x times w of x times d of x یہ جناب آپکہ ہو گیا formula for the fluid force on a submerge plate جہاں پہ height different ہوگی تو total force vary کرے گا لیکن Calculus کے حوالے سے ہم دیکھ سکتے ہیں کہ we can find it very easily all we have to do is define a width function which measures the width of your section kth section and height function and you're done basically ہم نے دیکھ لیا کیسے کیا یہ ہو گیا fluid pressure کیسے معلوم کیا جا سکتا ہے یہ بلکہ fluid pressure تا نہیں بلکہ force کیسے معلوم کر سکتے ہیں ایک submerge plate کے اوپر تو جناب یہ ہم نے آچ باتشید کی پھر آچ کے لیکچر میں force کیسے معلوم کرتے ہیں ایک submerge plate پے اور اس کے لعا work done کیسے معلوم کیا جاتا ہے all using definite integral تو پہلے بھی میں کہتیو گا ہوں this is the last lecture where we will see the definite integral basically لیکن hope we had all had some fun with this definite integral and its application اگلے جو تھوڑے بہت لیکچرز رہنے ہیں اس میں کچھ اور باتے کریں گے limits وغیرہ کی تو جب تک کیلی پھر جازت اور آپ سے next time علاقات ہوگی Allah Hafiz