 Pour les mathématiciens de la Grèce antique, le problème du partage équitable d'une tartolici entre plusieurs invités était un problème particulièrement sérieux, et se devait d'être résolu avec les deux outils du géomètre véritable, le compas et la règle non graduée. Ce problème est en fait le quatrième des trois mousquetaires de la géométrie grecque que sont les problèmes impossibles de la duplication du cube, de la quadrature du cercle et de la tristection de l'angle. En fait, découper une tarte en six parts égales est équivalent à construire un hexagone régulier, c'est-à-dire un polygone possédant six côtés égaux et six angles égaux. Mais est-ce vraiment possible de construire un polygone régulier à six côtés, à cinq côtés, à sept côtés, à 60 côtés ou à 42 côtés ? J'ai grosso modo deux minutes pour y répondre. Le tétragone régulier, on part d'un cercle C et on trace deux diamètres perpendiculaires. Les quatre points formés sont les quatre sommets d'un carré. L'exagone régulier, on part d'un cercle C et on considère un diamètre AB. On trace ensuite deux arcs de cercle centré en A et B de même rayon que le cercle initial. On obtient alors les six sommets d'un hexagone régulier. Le trigone régulier, on part d'un cercle C et on y construit un hexagone régulier. On peut alors obtenir un triangle éculatéral en ne conservant qu'un sommet sur deux. L'octogone régulier, on part d'un cercle C et on y construit un carré inscrit. Les médiatrices des côtés de ce carré forment quatre nouveaux points qui permettent la construction d'un octogone régulier. Le pentagone régulier, on part d'un cercle C de centre O et on construit deux diamètres perpendiculaires A A prime et BB prime. On construit ensuite le cercle en bleu qui passe par O dans le centre M, milieu de OA ainsi que la droite en rouge BM. Il se coupe selon deux points. Finalement, si on construit les arcs de cercle centré en B passant par ces deux points, on obtient quatre nouveaux points qui, avec BB prime, forment les cinq sommets d'un pentagone régulier. Le décagone régulier, on part d'un cercle C et un pentagone régulier inscrit. Les médiatrices des côtés de ce pentagone forment cinq nouveaux points qui aboutissent à la construction d'un décagone régulier. Il reste alors à construire l'heptagone régulier à cet côté égaux et l'hénéagone régulier à ce neuf côté. Le problème, c'est que même avec beaucoup de bonnes volontés, ces deux constructions sont absolument impossibles à réaliser avec la règle et le compas. Et ça, on a vraiment compris qu'au XIXe siècle, Kangos s'est intéressé à la question. Si ces constructions sont impossibles, c'est que la règle et le compas sont deux outils assez limités. Ils ne permettent pas vraiment de construire tout ce qu'on veut. En fait, quand un repère ortonormé est fixé, les points constructibles sont sous dont les coordonnées sont constructibles, c'est-à-dire qu'elles peuvent être écrites à partir des opérations de base de la rythmétique. Addition, soustraction, multiplication, division et racine carré de nombres en team. Tous les points que l'on a construits jusqu'ici respectent cette règle. Par exemple, le deuxième sommet d'un triangle écoulatéral a pour coordonnée, moins un demi, racine de 3 sur 2. Le deuxième sommet d'un hexagone a pour coordonnée, un demi, racine de 3 sur 2. Le deuxième sommet d'un pentagone a pour coordonnée, racine de 5 moins un sur 4, racine de 5 huitième plus racine de 5 sur 8. Bref, tous ces points étaient bien constructibles. On peut même justifier que les ptas des cagones réguliers, à 17 côtés, est un polygone que l'on peut construire à la règle et au compas car, par exemple, l'apsis de son premier sommet est un nombre construit seulement à partir des cinq opérations de base. Cela ne nous donne cependant pas la marche à suivre pour le construire. Mais pour l'heptagone régulier, les choses sont différentes. Avec un peu de trigonométrie, on peut démontrer que l'apsis X des sommets d'un heptagone régulier doit vérifier l'équation 8XQ plus 4X4 et moins 4X égal à 1. Cette équation possède des solutions, mais elles ne peuvent être écrites qu'avec des racines cubiques et non des racines carré. Le point n'est donc pas constructible et l'heptagone non plus. Le problème est similaire pour les néagones. La moralité de tout ça, c'est qu'il est possible de découper équitablement une tarte entre 3, 4, 5, 6, 8 ou 10 invités, mais est impossible pour 7 ou 9 invités. En fait, on peut même être plus précis sur les polygones réguliers constructibles. Ce sont ceux dont le nombre de côtés est un produit d'une puissance de 2 et de nombre de fermats premiers distincts, c'est-à-dire des nombres premiers de la forme 1 plus 2 puissance 2 puissance 5. Des nombres premiers de fermats, il en existe que 5 différents de connus, 3, 5, 17, 256 et 65,537, ce qui limite pas mal le nombre de polygones réguliers constructibles. Par exemple, l'exaconte agone régulier, polygone régulier à 60 côtés, est un polygone constructible car 60 égale 4 x 3 x 5 et 3 et 5 sont des nombres premiers de fermats. Le titre raconte un cahier d'icônes réguliers, polygone à 42 côtés lui n'est pas constructible car 42 égale 2 x 3 x 7 et 7 n'est pas un nombre premier de fermats. Finalement, il n'existe que 24 polygones réguliers constructibles ayant moins de 100 côtés. Les polygones à 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 30, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 4, 4, 5 et 96 côtés. Bref, si vous invitez des mathématiciens grecs à une soirée, prévoyez plutôt une salade de fouet.