 اسلام علیکم میرا نام فیصل شاہ خان ہے اور اس کالکلس ون کورس کے لیے اگلے 45 لیکٹرز کے دوران میں آپ کا انسٹرکٹر ہوں گا اور ہمارا ملنا جلنا رہے گا اگلے 45 لیکٹرز میں اس کورس کے بارے میں کچھ تھوڑا سا انٹردکشن بتاتا چلوں آپ کو کہ اس میں آپ کو ایمیل کے ترو میرے ساتھ کارسپورنٹ سرکھنی ہوگی اور ساتھ میں کچھ آسائنمنٹ سیں ہر لیکٹر کی جو آپ کو already ایک پاکج میں مل گئی ہوں گی یہ آسائنمنٹ سیں جو آپ کو کرنی ہوں گی ہر لیکٹر کے لیے ساتھ میں یہ بھی یادر کیے کہ جو ٹیکس بوک ہے اس کے ساتھ کورس کے اس میں جو لیکٹر سے کورس پورنٹنگ چیپٹرز ہیں اس کی ریڈنگ بہت ضروری ہے تو گو کے یہ ایک لیکٹر تو بڑیچی چیز ہوتی ہے ٹیچر لیکٹر دیتا ہے لیکن ساتھ سا سٹورنٹ کی رسپونٹی یہ ہوتی ہے کہ آپ کو ریڈنگ کرنی چاہیے اس کورسپونٹنگ ٹکسٹ کی تو یہ آپ کی رسپونٹی بلیٹی ہوگی اس میں اس کے لیوہ کیا ہے اس کے لیوہ ایک کویز ہوتا ہے ہر لیکٹر کے بعد جو آپ کو کرنا ہوگا اور سبمٹ کرنا ہوگا اس کے لیوہ تو مٹرمز ہوں گے ان کو بھی ان کی دیٹیلز بھی آپ کو اس پکج میں مل جائیں گی جو آپ کو مل چکا ہوگا اب تک اور ساتھ میں آخر میں ایک final exam ہوگا جو سب کچھ جو ہم نے جو ہم بات پہلے کالکلس کورس میں اس کا exam ہوگا final تو ساری evaluation آپ کی کرے گا پورے کورس کی تو آئیے بات کرتے ہیں کالکلس کے بارے میں کہ کیا ہے کالکلس کالکلس کیا ہے کالکلس بیسکلی is the study of rates of change یعنی کسی کون سے چیزیں کچھ quantities ہوتی ہیں جو سائنس میں ہم پڑھتے ہیں ماثمٹکس میں بھی پڑھتے ہیں ان کے درمیان کیا relationship ہوتی ہے with respect to each other for example اگر میں کہتا ہوں کہ دسٹنس چینج ہو رہا ہے with respect to time تو ہم یہ چاہیں گے جاننا کہ اس کا کیا مطلب ہے what does it mean for distance to be changing with respect to time اور سب سے بڑھ کے یہ جاننا چاہیں گے کہ it continuously کیسے چینج ہو رہا ہے اب سوالی پیدا ہوتا ہے continuously کیا مطلب ہے تو اس کی بھی ہم بات کریں گے لے continuity کیا چیز ہوتی ہے اور continuous کیا مطلب ہوتا ہے تو اس پورے کورس میں جس میں ہم کالکلس پڑھیں گے تو اس میں مارا بیس ایک concept یہ ہوگا کہ ہم جاننا چاہیں گے کہ quantities کی درمیان کیا relationship ہے مثال کے طور پر ابھی جیسے میں نے کہا کہ relationship between distance and time یہ ہوسکتا ہے کہ اس کا older دیکھیں وائیس اورسا کہ relationship between time and distance ہم شاہا جاننا چاہیں کہ کسی ایک مثال کے طور پر تنگ ہے اس کے اندر پانی گر رہا ہے تو کیسر فتحہ سے گر رہا ہے یعنی اگر میں وقت کا ایک لامہ لیتا ہوں ہم جاننا چاہتا ہوں کہ اس لامہ میں کتنا پانی آگیا ہے تنگ میں تو اس کو ہم کالکلس کے طور پر اس سوال کے جواب دے سکتے ہیں تو ہمارا سارا مقصد پڑھنے کا کالکلس یہ ہے کہ یہ کچھ سائنٹفک چیز ہیں problems جو کافیر سے سے انسانیت کی تاریخ میں کر کر دیتے ہیں they were problems occurring in human history scientific problems ان کا سلوشن نکالنے کے لیے کالکلس اجاد کیا گیا تھا شاہد آپ لوگوں کو معلوم ہو کہ سر اائزیک نیوٹن کا نام کافیس میں prominent ہے for in the discovery or the development of a calculus ساتھ ہی میں ایک French mathematician تھے Liebnitz ان کا بل کافی نام آتا ہے اور ظاہر ہے اور بہت سارے mathematician جو انہوں نے اس کو develop کیا over the period of 200 or 300 years تو یہ سب کچھ ہم کوشش کریں گے خیر سب کچھ تو نہیں لیکن یہ کہ کافی حتک جو پیلہ حصہ ہے تاریخی طور پہ آپ کہہ سکتے ہیں کالکلس کی development کا وہ سب کچھ ہم اس کوشش میں دیکھیں گے تو آئیے شروع کرتے ہیں تو اس کوش کی اس لیکچر کی تھوڑی سی انٹوڈکشن لیتے ہیں کہ ہم کس چیس کے بارے میں بات چیت کریں گے اس لیکچر میں تو اس میں آپ کو میں بتا رہتا ہوں ابھی آپ کی سکلنگ پر بھی دیکھ لیجے کہ ہم بات کریں گے real numbers کی کہ real numbers کیا ہوتے ہیں اور کس types کیا ہوتے ہیں there are various types of real numbers so we look at all of them integers etc we will get into details of those in a minute اس کے بعد ہم دیکھیں گے تھوڑی سی set theory کے بارے میں بات چیت کر لیں گے کہ set theory کیا ہوتی ہے کیوں کہ جب ہم real numbers کی بات کریں گے then we will also talk about some set theory involved in terms of real numbers how to define them in terms of sets تو تھوڑی سی ہم symbology اس کی جو ہوتی اس کے بارے میں بات کریں گے اس کے بعد ہم بات کریں گے real numbers کی خاص کے ساتھ ہوتے ہیں real number intervals we will talk about those اس کے بعد ہم inequality سی بات کرتے ہیں یہ شہد آپ نے پہلے سناؤ یا کیا ہو algebra میں کافی basic idea لیکن very crucial and very elementary topic to be talked about اس کے بعد آخر میں ہم دیکھیں گے order properties of real numbers what is the order of the real number set and how can you define the size of a real number in terms of another real number یہ سب چیزیں ہیں جو ہم دیکھیں گے now let's talk about real numbers let's start with real numbers what are the real numbers these are basically those numbers which are not complex numbers let me tell you a little bit what are the complex numbers we will not talk about complex numbers if you remember your basic algebra class quadratic equations these are numbers that are gotten when you try to solve the equation x square plus 1 equals 0 یہ اس کو iota بھی کہتے ہیں complex unit جی ہوتے ہیں خیار یہ details ہیں ہم we won't talk about them so let's not talk about that anymore صرف بات یہ کہ real numbers کی بات کرتے ہیں تو وہ کیا ہوتے ہیں تو سب سے پہلے تو introduction کے لیتے ہیں natural numbers کی یعنی جب ہم real numbers کی بات کرتے ہیں تو سب سے پہلے ہم start کرتے ہیں natural numbers what are natural numbers so let's write them down natural numbers are 1 2 3 4 and so on forever یعنی ڈوڑ ڈوڑ ڈوڑ ڈوڑ ڈوڑ ڈوڑ ڈاوڑ ڈینیاں پہے so this goes on forever which means کیا آپ 1 plus 1 کرتے جائے 2 plus 1 ان سب کو آپ سمے ہر real natural number میں one add کریں گے تو آپ کے بس ایک اور natural number آئے گا and you'll see that this goes on forever to infinity so that's what natural numbers are and well in a sense we can say that these are natural numbers because they come to us naturally یعنی اگر آپ تھوڑا سا دیکھیں کہ سب سے پہلے کو اگر آپ سے آگے پوچھے کہ بھی نمبرز کیا ہوتے ہیں تو آپ کانٹ کریں گے پہلے آپ کو کانٹ کریں گے اور آپ کو کانٹ کریں گے اور آپ کو کہتے ہیں کہ 1,2,3 and so forth تو تاریخی طور پہ بھی اگر دیکھا جائے تو نیٹرل نمبرز were the نمبرز that first came to the humans naturally you can say کیونکہ سب سے پہلے جو شیپرٹز ہوتے تھے what did they have to do in terms of numbers کیونکہ سب سے پہلے جو شیپرٹز ہوتے تھے تو نیٹرل نمبرز ہوتے تھے تو نیٹرل نمبرز ہوتے تھے اس کے بعد ہم دیکھتے ہیں کہ ہمارے پاس کچھ اور نمبرز آتے ہیں ان کو بھی دیکھتے ہیں کیا ہیں تو نیٹرل نمبرز کیا ہم نے بات کی لیکن اس کے بعد کیا ہم رک جائیں یا اور بھی نیٹرل نمبرز ہوتے ہیں یا اور ریل نمبرز بھی ہوتے ہیں تو بلز آہر اسی بات ہے اگر ہم یہاں رک جائیں تو that's not interesting enough so we'll continue اور اس کے بعد نیٹرل نمبرز کے بعد آپ دیکھیں کہ ایک اور طاپ کے نمبرز آتے ہیں ان کو ہم انٹیجرز کہتے ہیں تو انٹیجرز کیا ہیں ان کو میں ابھی لکتا ہوں انٹیجرز ہیں starting from somewhere in terms of negative infinity یا مثال کے طور پہ آپ start کریں اگر negative 3 سے تو آپ کے پاس انٹیجرز آئیں گے minus 3, minus 1, minus 2, minus 1, zero, one, two, three and so forth تو یہاں پر نوٹ کیجے کہ minus 3 سے پہلے میں a dots ڈالے میں بہت سارے ان کا کیا مطلب ہے as usual ان کا مطلب ہے کہ you're starting somewhere in terms of negative infinity somewhere out there on the negative side یہ ہم دیکھیں گے ابھی یہ کیا مطلب ہے negative side کا and you keep counting down until you reach zero and then you count up again towards positive infinity وہاں پہ بھی وہ سارے نیٹرل نمبرز آجاتے ہیں پھر سے تو نوٹ کیجے کہ انٹیجرز ہیں this is actually a subset of the natural numbers تو یہاں پر تھوڑا سا میں انٹریڈکشن لیتا ہوں go کے ہم اس کی details میں will go into the details later but let's see what it means what does it mean for a subset a set to be a subset of another set تو یہاں پر تھوڑا سا ایک idea میں آپ کو دے دن کے set کیا ہوتے sets are basically a collection of things یہ کچھ بھی ہو سکتی ہیں things for example you could have a set of oranges a set of apples you could have a set of politicians just for the heck of it مثال گتار پر میں ایک set لکتا ہوں George Bush, Tony Blair and Ronald Reagan تو یہ کیا ہے یہ ایک set ہے it's a set of politicians we could call it politicians and we'll say it's a set of politicians اس کا سبسٹ کیا ہوگا ایک مثال گتار پر سبسٹ اس کا ہے George Bush and Tony Blair تو یہاں پر نوٹ کی جیس میں سے ایک element missing ہے Ronald Reagan کا لیکن یہ ایک سبسٹ بنتا ہے سب کلکشن of the original set تو یہ ریلشنشپ ہے between a set and a subset تو یہ چھوٹا ساک سر سریسہ انٹردکشن تھا we'll get into the details later لیکن just to sort of give you an idea کہ what does it mean for the integers to be the natural numbers to be a subset of the integers moving on going back to the real numbers ابھی ہم نے integers کی بات کی اس میں negative numbers تھے کچھ تو یہ negative numbers کیا ہے مثال گتار پر minus 3 جب میں کہتا ہوں تو what does it mean for 3 to have a minus sign alongside with it تو اس کا تھورہ سے دیکھتے ہیں یہ ایک equation آپ میں لکھ رہا ہوں یہاں پر x plus 2 equals 0 اس کو اگر آپ سولف کیجئے this basic algebraic rule سے ہم نے ضرور دیکھا ہوگا آپ سب نے اس کا سلوشن آتا ہے x equals minus 2 تو minus 2 again you see that you have a natural number with a minus sign alongside with it تو یہ کوئی نئی بات نہیں ہے یہ کئی ہزارہ سال پہلے بھی اسی طرح سے جب mathematicians or scientists solve کرتے تھے equations like x plus 2 equals 0 تو ایک minus number سکان سر آتا تھا تو فلسانکی سپیکیں اس کا کوئی جواز نہیں بنتا تھا کیا نئی نئی برسی نمبرز ہی بھی انڈیا ہی بہت چھائے اس کا ایک آام کنیکلوشن ایک آام کنیکلوشن دی نئی برسی نمبرز کو اور انہیں کہا ہے کہ یہ جو نئی برسی نمبرز ہیں دیفیسٹ لیتے ہیں یعنی آج کل بھی ہم بڑا ایڈی اس طرح بیلے ہم بہارا ہی بھی اس طرح بھی بینگ میں اگر آپ کا کون نیگیڑ نگیٹف ہے say نگیٹف 500 rupees let's not make it dollars تو آپ کہیں گے کہ بھی آپ کا جو منس ہے it represents a deficit you owe the bank that much money 500 rupees تو نگیٹف جو تھا اس کو اس طرح سے accept کیا گیا in the world of mathematics تو یہ تھے نگیٹف نمبرز اور ان کی acceptance جو تھی in the world of mathematics وہ کس طرح ہی ہم نے ابھی دیکھا کہ ان کو deficit کے طور پر ہم انٹرپریٹ کرتے ہیں اب ہم موف کرتے ہیں آگے to another kind of real number سٹوری ابھی ظاہر ظاہر ختم نہیں ہو رہی اور وہ ہے rational numbers what are rational numbers these are basically fractions ہم دیکھتے ہیں one third one over three would be a fraction it'll be a rational number two thirds would be a fraction therefore a rational number اور مجھے بھی بات یہ ہے کہ کوئی بھی natural number یا integer آپ لیجی تو وہ بھی ایک rational number بنے گا یعنی مثال کے طور پر اگر پی ایک integer ہے تو اس کو میں لکھ سکتا ہوں پی equals پی divided by one ذائر ہے it'll always be equal to پی اور اس طرح سے a trivial sense میں trivially speaking جو انٹجرز ہیں these are natural numbers they're also rational numbers تو basically اب ہمارے پاس ایک بڑا سیٹ ہے rational numbers کا اور جو انٹجرز ہیں وہ اس کا سپسٹ ہیں جہاں پہ ہم نے یہ بھی دیکھا تھا کہ انٹجرز کا سپسٹ natural numbers تھا تو اسی طرح سے ایک high-r کیسی بن گئی ہے اور اب ہمارے پاس ایک بڑا سیٹ ہے سپسے بڑا rational numbers اس کا سپسٹ integers اس کا سپسٹ natural numbers تو اس میں اب ہم نے بات کی division کی یعنی اب ہم divide کر رہے ہیں نمبرز کو ایک دوسرے سے مثال کا طور پے one divided by three لیکن ایک problem ہے وہ کیا ہے اس میں ایک سپسٹ بہی problem یہ کہ اگر آپ divide کرتے ہیں zero سے کیا ہوتا ہے یہاں پہلے آپ نے پہلے یہ سنا ہوگا اور یہ بات بھی آپ میرے حال سے سمجھتے ہیں کہ division by zero is not allowed you cannot divide a natural number or an integer by zero لیکن میرے حال سے ہم بہت کم لوگ شاہدی جانتے ہیں یاگا جانتے بھی ہیں تو بھول چکلے ہوں گے کہ کیوں نہیں allow رہی ہے تو اس کو تھوڑا سا دیکھتے ہیں کیا مسئلہ ہوتا ہے جب آپ zero سے divide کرتے ہیں ایک natural number کو یا integer کو ہم کہتے ہیں x ایک real integer ہے اور اس کو divide کرتے ہیں zero سے so we say x divided by zero اب اگر اسی کوئی value ہے تو ہم اس کو کوئی name دیتے ہیں let's say we call it y so we have x divided by zero is equal to y اب یہ کچھ basic algebraic rules ہم سمال کرتے ہیں تو دیکھئے کہ میں اگر cross multiply کر دوں یہاں پہلے یا multiply both sides by zero کروں تو in a sense let's for now just say that I can cancel the zero's on the left-hand side so I get x by itself on the other side I get zero times y تو اب ہمہار پاس equation ہوتی ہے x is equal to zero multiplied by y ظاہر ہے zero سے کوئی بھی number multiply کریں تو zero result ہوتا ہے so I have the fact that x equals zero اب مجھے بھی بات یہ ہے کہ ہم نے x کوئی بھی integer لیا تھا تو ذوڑی تو نہیں وہ zero تو اگر x مثال تو پر 3 سے ہم شروع کرتے تو یہاں پر مسئل ہو جاتا ہے کہ اب ہم دیکھ رہے ہیں کہ three equals zero well obviously that's not the case تو ہمہار پاس ایک contradiction آتی ہے لیکن اگر suppose کریں کہ x تھا zero سے بھی we say that x is equal to zero then we have zero equals zero اور particularly going back a few steps we see that zero equals zero times y اب y کی میں کوئی بھی value ڈالوں انٹجر کی تو میرے پاس result آجائے گا zero equals zero which will be satisfied there would be no contradiction لیکن problem ہوگی uniqueness کی یعنی میں infinity many numbers ڈال سکتا ہوں y کوئی بھی number لیلیجے fraction ہو چاہی integer ہو چاہی natural number اور میرے پاس result آجائے گا zero equals zero اس میں تھوڑی سی uniqueness کی problem ہے mathematics میں we would like to have things that are unique I guess we should just leave it out there for now کہ what does it mean to say we want something to be unique لیکن صرف بات اتنیسی ہے کہ ہمارے پاس اس equation سے its division سے by zero سے problem ہے کہ ہمارے پاس ایک طرف the contradiction آسکتی ہے اور ایک طرف non uniqueness اور یہ دونوں چیزیں mathematically ہم نہیں چاہتے کیونکہ ہم ایسی mathematics کرنا چاہتے ہیں جس میں consistency ہو a contradiction now بلکہ ایک مزے گی بات یہ آپ نوٹ کیجے کہ میں جب یہ پورا result ڈرائف کیا تو I said that میں want to mudopplying وہتران بوہ سائلتا ہوں اور اس پرطان سائل میں ہمارے پاس سیرو سے ہمارے پاس اس پرہ جگہ آپ مجھے you're really saying zero divide by zero جب دور بہت بہت بہت بہت بہت بہت جو another inconsistency or contradictory or unsatisfactory problem تاییی منٹ لیسی ہے سب ہم مشہرین تاییی فرصار باتمب لائن یہ ہے کہ division by zero is not allowed تو یہ کچھ ہم نے بھی کچھ ہم نے دیکھا کہ کچھ پروڑم سے راجشن لمبرز میں فرکشن میں کچھ نہیں بلکے ایکی تھی really کہ راجشن بھائی زیارو نہیں ہی تو ہم آپ کو ایک دنیا پر بہنے کے بھی یہ یادر کھلیں جو ہمارے ہمارے ہم کچھ مجھے محبوط کسی بھی اچھا ہے وہ ایک ہی لیو گا جائے کھول بھی ہو ہمارے ہمارے ہمارے ہی کہ راجش نمیز نہیں ہی اور ہمارے ہی جینگ راجش جاتے ہیں اور یہ جو ہمارے پر حقیصہ دیتے ہیں۔ اگر ہمارے پر حقیصہ دیتے ہیں، ہمارے پر حقیصہ دیتے ہیں۔ یہ محقیصہ دیتے ہیں۔ اس کے پیچھے بھی ایک بڑے مزدار کہانی ہے، حسٹوریکل حقیصہ۔ کچھ ہوا یہوں کہ ایک ساحت تھے انشن گریس میں، آپ نے سنا ہوگا ان کے بارے میں۔ پثائگرس، گائی جو بہت سنیا سے بھی پر حقیصہ دیتے ہیں۔ ہم ایک سید ہی لکھتے ہیں، مزید ہمارے چاہتے ہیں۔ پثائگرس دیتے ہیں، ایک بھی ساحتیہ ہے۔ وہ ایکے ساحتیہ ہے جانتے ہیں جو ہمارے پر حقیصہ دیتے ہیں۔ یعنی سب preceded بہت س Joe لوگ کلچہ ستے جو لوگ تھے بڑے بڑے گذری سانٹس دے were usually ڈسم ڈسم ڈسم ڈسم ڈسم ڈسم ڈسم ڈسم ڈسم ڈسم ڈسم وڈسم ڈسم ڈسم ڈسم ڈسم ڈسم ڈسم ڈسم ڈسم ڈسم ڈسم ڈسم لیکن سب سے شفید سال شامل حکومہ والے میں کرم ہوتی ہے اور ہمارے میں کممائر سال تعلقے کرتے ہیں لیکن ہر اچھی کھانی میں کچھ ناکوچہ یہ صیاد ہے تو یہاں پر بھی اس توری میں بھی ہے ہوکشینوں کہ بیتغریس ساری میں اس بارے میں یہاں زیادہ اسے بھی ہوتا ہے بیت کیا جائے تک کہہ بھی رائے گیا bekommen ہے پتھائگرس کا کہنا تھا کہ ہر فزکل کنٹری جی ہے وہ فرکشن کا تور پر اکسپرس کی جا سکتی ہے اور بیسی کی ہے زیادہ نمبر ٹھیک کچھ بارے کیا یہ پر بہت کام ہے کہ کسی نہیں ہے یہ کسی نہیں ہے اور ہوا کچھ ہوں کہ پتھائگرس کو یہاں سوکرہت ہے اتنا جزواتی ہو گئے پتھائگرس کہ ہی کوئی کھوٹ نہیں کم کرنا چاہتا ہے تاریخ میں کچھ ہوں لکھا گیا ہے کہ پتھائگرس کا ایک شروٹن تھا اسٹورڈ اٹھوزا آپ کو already حساس ہو کہ اسٹورڈ اٹھوز جی ہے وہ راشنل نمبر نہیں ہے لیکن that was a big discovery in the olden days اسٹورڈ نے پتھاگرس کے ثابت کر دیا کہ اسٹورڈ اٹھوز جی ہے وہ ار راشنل نمبر ہے اور اس کا مخصد یہ ہے کہ ار راشنل نمبر جی ہوتے ہیں اور خاص طرح جی اسٹورڈ اٹھوز ہے it cannot be expressed as a fraction تو اس سے کیا مطلب ہے cannot be expressed as a fraction اسٹورڈ میں اسٹورڈ کو اکسپیلن کرنے کے کہ what is so important about being expressed as a fraction یہ نوٹ کیجی ہے کہ کوئی بھی آپ کے پاس ایک راشنل نمبر ہے یہ ایک فرکشن ہے مثالگٹار پر ہم کہتے ہیں 1 divided by 3 اسٹورڈ کو اگر آپ کیalguitر میں پنچن کریں گے یہ کمپیٹر میں کہیں تو آپ کے پاس ایک result آگا decimal expansion میں یعنی one over three would equal 0.333 and so forth forever یہ جو 3 آتے ہیں آپ کے پاس ایک line سے یہ کبھی ختم نہیں ہوتے لیکن نوٹ کیجئے کہ ایک pattern ہے decimal point کے بعد سارے نمبر 3 ہیں ایک اور نمبر دیتے ہیں 2 thirds 2 thirds کیا value آتی ہے اگر آپ so calvator میں ڈالیں اس کی value آتی ہے 0.66666 and so forth یہ بھی اسی طرح سے 1 third کی طرح ہے ایک اور نمبر دیتے ہیں 3 divided by 4 3 fourths اس کو اگر آپ calvator میں ڈالیں تو آپ کے پاس result آگا 0.75 اچھا آپ نوٹ کیجے کہ آپ کا نمبر یہ ہی رکھ جائے گا اس کے بعد 0's آپ لگا سکتے ہیں 5 کے بعد لیکن کوئی ضرورت نہیں ہیں we can just stop because they don't really contribute anything to the number so we just say that 3 over 4 is equal to 0.75 تو ration numbers کے اندر خصوصیت یہ ہے کہ یا تو اگر آپ ان کو جب ڈیسیمل میں expand کرتے ہیں تو یا تو ان کی expansion ختم ہو جاتی ایک point پہ جاکے جیسے مثال گتا پر 3 over 4 was 0.75 and it stops there یا پھر جو expansion ہے وہ ایک pattern کے ساتھ infinitely many times ڈیٹ کرتی ہے جیسے ہم نے 1 over 3 میں دیکھا the expansion was 0.333 and so forth forever مزیگی بات کیا کہ یہی چیز ڈراشن نمبر میں نہیں ہوتی ایڈراشن نمبر میں کیا ہوتا ہے؟ اگر آپ square root of 2 لیلیجی اور کالکلیٹر میں آپ ڈالتے ہیں تو result آئے گا approximately 1.41 and some numbers whatever they may be لیکن اس کے بعد آپ پہ کالکلیٹر تو stop کر جائے گا کیونکہ آپ کے پاس اس کی memory اتنی کام ہوگی اتنی زادہ نہیں ہو سکتی کہ وہ infinitely many numbers آپ کو دے لیکن اس چیز کو آپ بیلیف کر لیں کہ یہ جو expansion آئیے نہ تو اس میں کوئی repetition ہے کوئی pattern repetition یا یہ اور نہ ہی کبھی یہ جائے کہیں جاکر stop کرے گی تو یہ چیز ہے کہ ڈراشن نمبر کی دیسمل expansion ہے وہ non-repeating pattern رکھتی ہے اور نہ کبھی رکھتی ہے تو ہر دوسر نمبر جو اس کے اندر آپ کو ایک نیا نمبر ملے گا تو یہ ایک بڑی جی باتی fractions and rational numbers میں خوبصورتی یہ ہی تھی ساری جو pathagoras کو پسندی کہ اس میں ایک pattern ہے یا تو رک جاتی expansion یا ایک pattern کی ساتھ رپیٹ کرتی ہے نیسی جو اندر ایرشن نمبر ہے اور pathagoras کو ایرشن نمبر بھی جو اپسیت ہے جو اس کے اندر آپ کو ایرشن نمبر ہوتا ہے کہ اس سٹوڈی جانتا ہے کہ اس سٹوڈی اندر آپ کو ایرشن نمبر جانتا ہے تو pathagoras کو ایرشن نمبر بھی جانتا ہے اور اس نے مثیمٹکس کو ایک طرح کا مذہب بنا لیا تھا اور اس کا وہ مذہب جو اس کو پسند تھا تو یہ ایک ساتھ سٹوڈی ہے pathagoras was a good guy اس نے ایک نیسورپس کا ایرشن نمبر نہیں تھا بارہا ہے یہ ہے اس کی ح抓ی بلک ہے اب یہ تھے ہمارے پاس کائی قیسم کے ریال نمبر مزے کی بات یہ ہے اور آپ لوگ خوش آن گے کہ سٹوڈی میں بہت سٹوڈی آپ کو اس کے لئے ہم آپ کو ایرشن نمبر جانتا ہوں ہم کہیں گے کہ جو ہم نے ابھی تک دیکھیں ہیں ریال نمبر یہ جو ایر شرطنا نمبر نمبر جانتا ہے جب واہلہی نمیدھو تنائی کتنے جانتے ہیں بہت ایک ت Fusion مانگزینا کی تاکہ یہ تہیحت آنے ہیں ہمیں ن bites کنہوں کو ہمیں بھی لیں سو rồi کیجا ہینگا ہمیساا ہم سے اتنا کہتے ہیں اور یہ جبتوری پر میں آپ کے طریق کے سلسن ہے کہ ہمیں کسی طرح نمیدھی ہمیں جو کسی طرح نمیدہ ہمیں کسی ترانی نمیدہ ہمیں کسی طرح نمیدھے ہمیں کسی طرح نمیدی ہمیں کسی after the rational numbers we have think we call irrational numbers those of the numbers whose decimal expansion does not stop or does not have a pattern and all of these combined together what we call the real numbers so that's all the real numbers we'll need مفیڈان ہے کہ مقتصاب ہوتے جاتھتے ہیں اور مقتصاب germs لیئے ہممشاہی مقال ہوتے ہیں لہذا کیا حکومی ہے؟ حکومی جاتھتے ہیں کہ آپ کو مقال نمی کرمی ہی بہترانی ہوتے ہیں مقال نمی کی آگا ڈاً قیل مقال نمی کے جو ہوتے ہیں بھی مقال نمی کی کیا ہےade you a concrete ڈایا لئے مقال نمی کی جاتے ہیں سیٹs دیکھ رہے تھے. اب ہم اس کو کونکریٹ کر دیں گے for application sake اور اب ہم ایک number line کیا پر numbers mark off کریں گے. اس کا پاسم اندر کیا ہے تاریخی اس کا یہ ہے کہ the gentleman who was responsible for this was a french mathematician by the name of Descartes. He was the one who developed the idea of a coordinate line and a coordinate plane. Coordinate planes we will talk about later. We will talk about coordinate lines right now. The beauty of this whole thing is that using the relationship between the real number set and the coordinate line you can express algebraic ideas geometrically. You can draw them. You can draw pictures of these abstract ideas and vice versa. If I give you a picture, you can write down an algebraic equation for that picture and do some algebraic manipulations which are always very helpful and come to a certain result. This was a very big breakthrough about which now we will look into the details a little bit. Now we will talk about the coordinate line in detail that what does it mean when I say the coordinate line. Remember that I had just said that our purpose is that we abstract set of the real numbers to portray it concretely in terms of so that we can actually use it in terms of applications. یعنی real life میں کوئی اگر ہمیں کام کرنا ہے concrete measurement کرنی ہے کوئی مثال کے طور پر تو اس کو ہم real numbers کو استعمال کریں in a concrete way. تو ہم کیسے کریں گے؟ سب سے پہلے تو coordinate line کو دراؤ کرتے ہیں کہ what is a coordinate line look like تو اس کو میں دراؤ کر رہا بھی سکرین پر آپ دیکھیں اس کو we take a straight line just draw it on a piece of paper یہاں پر میں نے سکرین پر بنائی ہے اس پہ ہم درکشنز کا idea concept تھوڑا سپورٹری کرتے ہیں یہاں پہ جو لائن کا right-hand side ہے we will designate that as a positive direction اور جو left-hand side ہے we will designate that as the negative side of the coordinate line اوٹی بھی کر سکتے ہیں we can do it vice versa لیکن کچھ کلچرا فلاومناز ہیں کہ سب سے پہلے تو یہ کہ اگر لائن آپ کے سامنے دراؤ ہے تو جو right-hand side آپ کو دیکھ رہی ہے it corresponds to your right-hand اور کلچرا ہم لوگ right-hand سے ایسا در کام کرتے ہیں تو کچھی کلچرا فلاومناز ہیں جس کی وجہ سے ایک standard سبنگے ہے کہ right-hand side جہاں وہ positive کراتی ہے left-hand side جہاں وہ negative کراتی ہے تو یہ تو ہماری درکشنز ہوگئے اس ریال نمبر لائن پر اس کے بعد کیا ہے اس کے بعد ایک point of reference ہونا چاہیے تو ہم ایسا کریں گے کہ اس لائن کو ہم سحاف میں ڈیوائٹ کرتے ہیں we take the center of this line we could take any arbitrary point because remember کہ جو لائن ہے اس کو تو میں چاہیے کتنے لمبر کرنا چاہو میں کر سکتا ہوں I can make this line infinitely long in the positive direction and I can make it infinitely long in the negative direction but since we don't have an infinite amount of paper or screen we'll just take it as representing this line as representing the real coordinate line and work with it تو اس کو ہم half میں ڈیوائٹ کرتے ہیں اور جو half point ہے half way mid point وہاں پہاں ہم ڈیوائٹ کرتے ہیں ایک mark اور اس کو کہتے ہیں کہ یہ value ہے zero یعنی یہ پہلی correspondence ہے between the set of real numbers and the coordinate line تو میں بیسکل جو center point ہے اس کو zero کا value دی and I'll call that as my reference point also اس کے بعد کیا کچھ اور کیا کچھ ہے آئی دیکھتے ہیں اب یہ line تو ہمارے پاس آگی اب اس پہاں ہم zero بھی ہم نے لگا دیے how can you put the rest of the numbers بڑی اسان سے چیز ہے taking zero as your reference point measure positive r units to the right and what do I mean by r, r units سب سے پہلے تو یہ کہ r جو ایک real number ہے زیرہ r stands for real numbers it could be anything it could be 3, 4, square root of 2, pi whatever and we take that number and from zero we measure r units so basically اگر میرے r کی value 3 ہوتی the zero سے I would move to the right of zero three units or units کیا ہیں units can be anything we can say that the units are centimeters so basically from zero I am moving 3 centimeters to the right and I would move to the right 3 centimeters and mark off the number 3 so this is an example but in general you do it like this کہ ہمیں centimeters کی بھی کو ضرورت نہیں ہے we will just call them units because we have to remember these are artificial constructions the units come centimeters بھی لے سکتے ہیں meters بھی لے سکتے ہیں kilometers بھی لے سکتے ہیں this is just a scale we will call it units to let it be known that this is totally arbitrary up to the choice of the person making the line so now when we talk about r instead of 3 generally speaking تو ہمیں zero سے موف کرتا ہوں to the right by r units and I mark off a line a point and I call that point as representing the number r similarly if I have a negative number let's call it minus r to representing on the real coordinate line I will move to the left of the zero by r units and mark off a line and I'll call a point and I'll call that point negative r اس طرح سے میں کوئی بھی ایک نمبر لیکے ایک سردن دسنس موف کرتا ہوں to the left or to the right of zero اور میرے پاس ایک نمبر کی ویلی ہاتی ہے لائن کیوں پر آپ پھرا ساہ لیوز پر بارے میں ہور کریں تو it won't take you too long to get convinced that this is a unique way of identifying each point on the line coordinate line with the real number this is a one to one correspondence you can see that there are two numbers on one point just because the way we are defining the representation this is a little bit more you can do a little bit more and you'll be convinced we have a coordinate line like this and we have done what we started we wanted to do to represent the real number set which is abstract with something that is more concrete let's look at an example I'll draw a line I'll draw a straight line and I'll also tell you that the positive direction of the coordinate line we put an arrowhead on it just to show that this is the positive direction it's nothing big just a slight technicality here just a mnemonic kind and we put an arrowhead to represent the positive direction I've made a line I put an arrowhead and I mark off my zero here's my zero and the idea is to write down some numbers on it what are the numbers مثال طور پہ میں لکھنا چاہتا ہوں minus 4 minus 3 square root of 2 and say may be pi اگر آپ کو یاد ہو کہ pi کی اپرکسیمٹ ویلی ہوتی ہے 3.14 تو یہ 3-4 نمبر ہے میرے پاس جن کو میں coordinate line پہ mark off کرنا چاہتا ہوں کیسے کریں گے اس طرح کریں گے we'll look at the zero taking some arbitrary unit we won't call it anything we'll just call it unit and we'll measure one units to the right of zero then we'll take the same unit and measure one unit to the right of one and so forth to get our natural numbers تو یہ سارے آپ کے پاس natural numbers آجائیں گے one, two, three, four and onwards اور ان کے درمیان میں have fractions ڈال سکتے ہیں مثال بہت پاس square root of 2 کی بات ہوئی تھی which is approximately 1.41 تو اس کی value یہاں پہ آئی گی one کے بعد تھوڑا سا آگے جاکے I'll mark off a point and call that square root of 2 similarly میں پائی کو بھی represent کر سکتا ہوں and similarly I can move to the left of zero by one unit each and that direction I'll take it to be negative تو جب بھی میں ایک نمبر لکھوں گا مثال کے طور پہ one unit to the left would be written as minus one one unit to the left of minus one would be written as minus two and so forth تو یہاں پہ نمبر لکھا جاتے ہیں سارے نگیٹف نیچلوز کہہ لیں یہاں نگیٹف انٹیجرز as you wish یہاں پہ میں minus three بڑا رام سے مارک کر سکتا ہوں یہ minus three ہے and similarly I can mark off the minus four تو here's a way you can actually write down a correspondence between the real numbers set and the line تو جس طرح سی ہم نے ایک سامل کی اس طرح ظاہر ہے کہ we have established a one to one correspondence between the coordinate line or the points on the coordinate line and the set of real numbers and I'll leave it to you to actually convince yourself of that nothing hard it's pretty straight forward just takes a little bit of convincing اچھا جی تو یہ تو coordinate lines کی بات ہوگی or correspondence between that and the real numbers set اب order of real numbers کی بات کرتے ہیں تھوڑی سی کہ order of real numbers کیا ہے اس کو دیفائن کرتے اس طرح سے کہ سارہ مخصد سل میں order کی ہے کہ you want to define the size of a real number in relationship with another real number تو order جو تاہر ہم دیفائن کرتے on the whole set of real numbers we won't get into that too much کیونکہ وہ بہتی سی تھیوریٹک ہو جاتا ہے we won't worry about that لیکن we will try to find to define a relationship between two real numbers in terms of which one is bigger or smaller like that تو اس کو concretely ہم ایسی دیفائن کرتے ہیں if b minus a is positive if the difference of two real numbers b and a is positive then we say that b is greater than a اس کو ایک اور طریق سے یہ بھی کہہ سکتے ہیں کہ a is less than b یہاں پر تھوڑی سی چیزیں دیکھلی جائے کہ جب میں کہتا ہوں b is greater than a I am writing down this symbol یہ سیمبل جو ہے یہ گریڈر دن کا and I assume that we are all comfortable with this یہ بیسیک ہم Algebra میں دیکھ چکے ہیں یقینن this will represent b is greater than a and if I say a is less than b I'll use this symbol similarly ایک کچھ اور inequalities یہاں پر آتی ہیں یہاں پر بہن نے استعمال کیا loves inequalities کا تو یہ جو میں نے سیمبل استعمال کیا less than or greater than کا اگر میں اس کو استعمال کر کے لکتا ہوں b is greater than a یا a is less than b this whole statement is what we call an inequality یعنی there's no equalness یعنی ایسا بھی ہو سکتا ہے کہ b is equal to a لیکن یہاں پیاسا نہیں ہے یعنی مثال کے طور پہ میں کہہ سکتا ہوں 2 is certainly less than 3 اور 3 is certainly greater than 2 تو یہ ایک وہ چیز ہے جو میں پتانا چاہ رہا تھا لیکن یہاں پر تھوڑا سا ختم نہیں ہوتی بات تھوڑی سی ایک detail ہے وہ یہ ہے کہ ایک نیا سیمبل اور استعمال کر سکتے ہیں وہ ہے یہوالہ سیمبل جس میں ہم کہتے ہیں کہ اگر یہ سیمبل میں لکتا ہوںbetween 2 numbers it is read as greater than or equal to مثال کے طور پر اگر میں لکتا ہوں 3 is greater than or equal to 3 this would be a true statement یہ صحیح بات ہوگی کیونکہ 3 greater than 3 تو نہیں ہے لیکن at least it's equal to تو ان میں سے کوئی بھی a condition meet ہو رہی ہوتو آپ کی سیمبل صحیح ہوتی مثال کے طور پر اگر میں لکتا ہوں کہ 4 is greater than equal to 3 there also would be a true statement کیونکہ 4 is certainly greater than 3 similarly 2 is less than equal to 3 بھی کہا جا سکتا ہے and for the same reasons this would be a true statement اب ہم آگے چلتے ہیں ایک خاص کسم کے سیٹس دیکھتے ہیں جو کہ کالکلوز میں بہت important ہیں these are sets on the real number line یا coordinate line جس کی ہم نے بات کی تھی these sets are called intervals اور ان کی کچھ details ہیں جو ہم دیکھ لیتے ہیں بھی جو ہم دیکھتے ہیں کہ انٹرول ہوتا کی ہے what is an interval well geometrically speaking انٹرول جو ہے وہ آپ کوئی دو نمبرز لیجی ہے number line پے coordinate line پے a and b اور ان کو connect کر دی جیئے a straight line سے تو آپ کے پاس ایک line segment آتا ہے from a to b تو انٹرول جو ہے is just that line segment a line segment from any two real numbers a to b is what is called an interval this is the geometric interpretation اب اس کو تھوڑا سا اور concrete کریں گے یہ تھوڑا سا abstract کریں گے بلکے تو concrete ہو چکا ہم نے دیکھا کہ geometrically یہ ایک segment ہے line segment اس کو abstract کیسے دیکھ سکتے ہیں تو آئی اس کو تھوڑا سا detail میں دیکھتے ہیں اچھا اب ہم کہہ رہے ہیں کہ ہم detail میں دیکھنا چاہے ہیں کہ انٹرول کیا ہوتا ہے سب سے پہلے تو یہ نوٹ کی جو geometric interpretation ہم نے دیکھی an interval is a line segment تو اس میں a سے b تک ہم نے کہا تھا جو numbers ہیں جو line segment ہے وہ ایک interval ہے تو اس میں جو line segment ہم نے دیکھا اس کا کیا مخصد ہے نوٹ کیجے کہ a سے b تک جو line segment ہے it contains all the numbers between a and b right it's pretty straight forward I think جیتنے بھی numbers a and b کے درمیان ہوں گے وہ اس line segment پہ marked off ہوں گے اورگر set کے طور پہ دیکھیں تو جی جو line segment ہے a سے b تک it represents a set it represents a set of all numbers from a to b لیکن if things were only that simple اب سوالی پیادہ ہوتا ہے کہ کیا a اور b بھی اس set کا حصہ ہے پہلے میں لکھوں گا parenthesis brackets جیسے open bracket بھی کہتے ہیں a comma b this is going to be the set of all numbers between a and b with a and b not included اس کو ان ایک quality کی form میں بھی لکھ سکتے ہیں ہم کہا سکتے ہیں کہ as a set we will write this as the set of all numbers x such that x is between a and b یعنی a is less than x and x is less than b یہ ایک طریقہ ہے لکھنے گا کہ x is between a and b نوٹ کیجے میں نے less than strictly کہا ہے اس کے اندر quality کی نہیں ہیں there is no less than are equal to لہذا اس set کے اندر a اور b شامل نہیں ہیں تو ایسا کوئی set ہو سکتے جس میں a اور b شامل ہوں بالکل ہو سکتے یہ میں بھی اسکین پہ لکھتا ہوں if I write down the set this is some close close bracket کہتے ہیں a comma b تو اس کو ہم define کریں گے as the set of all real numbers between a and b plus a and b together also تو inequalities کی اگر form میں لکھیں تو اس کو ہم لکھیں گے کہ x the set of all x such that x is between a and b اور inequalities جانس طوال ہوں گی وہاں پرم لکھیں گے x a is less than equal to x and x is less than equal to b تو یہاں پر میں less than کی بجائے equality بھی شامل کر دیے it is possible for a and b to be part of this set actually it is the case that a and b are part of this set that's how we're defining it اب بات کرتے ہیں کہ ایسا ہو سکتے ہیں کہ a شامل ہو اور b شامل لاؤ بالکل ہو سکتے ہیں یہاں پر notation کیا ہوگی notation ہوگی اگر a شامل ہے تو ہم اس کو سیٹ کے طور پہ لکھیں گے bracket a comma b and open bracket جس کو امپرانتسیز بھی کہتے ہیں اس کو ہم ڈیفائن کریں گے as a set of all real numbers between a and b including a but not including b اور اس کو اگر این ایک quality سی پر میں لکھیں گے تو ایسے لکھیں گے یا آپ اپنے آپ کو convince کر لیے جے کہ this is correct similarly اگر کوئی سوال پوچھتے ہیں کہ کوئی as a set ہو سکتا ہے جس میں b شامل ہو لیکن a نہ ہو اور بیش میں سارے پہلو بلکہ ہو سکتا ہے اس کو لکھیں گے notation wise open bracket parentheses بھی کہتے ہیں جیسے a comma b close bracket یعنی جو big bracket ہوتے and as a set اس کو ہم ڈیفائن کریں گے as a set of all real numbers between a and b including b also but not a اور اس کو لکھیں گے set این ایک quality پر میں لکھیں گے تو ایسے لکھیں گے اچہ جی ایک اور طریقہ جو انٹرولز کا ہے یہ ایک اور form جو ہے انٹرولز کی وہ یہ ہے کہ کیا ایسا ہو سکتا ہے کہ کوئی ایسا انٹرول ہو جو ایک number سے start ہو a سے اور بجائے ایک b number پر end ہونے کہ infinitely direction positive direction میں یا negative direction میں extend کرے بلکہ ہو سکتا ہے اور وہ انٹرولز اس طرح لکھ سکتے ہیں کہ a comma positive infinity اور اس کے آس پاس open a کی side پہ ہم close bracket بھی دال سکتے ہیں parentheses بھی دال سکتے ہیں given اگر ہم چاہیں کہ a شامل ہو اس سیٹ میں نہ ہو لیکن جب چونکہ آخر کا کوئی number نہیں ہے اس میں b کی value جو positive infinity ہے in a sense تو ہم close bracket نہیں دالیں گے کیونکہ finite value کوئی نہیں ہے آخر میں اس کے لیے لہذا ہم اس پر open bracket کا یا parentheses دال کے کہیں گے کہ یہ ایک طریقہ لکھنے کا as a set کا جو ایک finite number سے شروع ہوتا ہے اور کبھی ختم نہیں ہوتا اس کو الٹا بھی کر سکتے ہیں یعنی ہم کہ سکتے ہیں کہ آپ negative infinity کیاں شروع کریں اور کسی finite number پر end ہو جائیں تو اس کو ہم لکھیں گے interval set notation میں کہ parentheses minus infinity comma some number b اور again b کے ساتھ close bracket آئے گا یا parentheses depending کیا اگر آپ اس کو شامل کریں b کو set میں نہ کریں تو یہ ایک اور طریقے کا interval ہے اس میں ایک اور جو بڑے مردار کسم کا interval ہوتا ہے جب دونوں elements اس میں finite now ہوں مثال گا طور پہ minus infinity سے لے کے positive infinity دک اور اس کے آس پر زائر چونکہ infinities ہیں تو ہم open parentheses ڈالیں گے open brackets ڈالیں جنے parentheses بھی کہتے ہیں we'll put those اور یہ really اگر آپ سوچیں تو this is representing the whole real number line the whole coordinate line it's representing all the real numbers that you have in the real number set تو یہ کچھ طرح کے intervals تھے ان کو summarize ہم اس picture میں کر لیتے ہیں اور اس پہاں آپ اور آپ کو کوئی سوال ہوں تو آپ ٹیکس بک میں دیکھ سکتے ہیں اس کی details اچھا جی تو یہ تو ہوگا آپ کی intervals کی بات اس کی تصیر آپ کے سامنے آئی اس میں آپ نے دیکھے ساری details hopefully they will make sense eventually اس کو you just committed to memory جس جس آپ پریکٹرس کریں گے تو you'll get more comfortable with them یہ ایک ساملہ آپ کے سامنے screen پر بھی آرہے اس کو دیکھتے ہیں 3 plus 7x is less than or equal to 2x minus 9 تو مقصد یہ ہے کہ اس میں x involved ہے تو what is an x x is a real number it is just arbitrarily written down as some real number we have to find it مقصد یہ ہے کہ کوئی ایسی value ڈالیں اس کے اندر x میں its in equality میں کہ left-hand side وہ ہمیشہ less than equal to right-hand side ہوں تو اس x کی تلاش ہے ہمیں تو اس کو کیسے find کریں گے well very simple سی بات ہے algebraically اس میں کوئی خاص بہت کالپلس ابھی تک سمال نہیں ہوگا simple algebraic rules سمال کرتے ہیں تو آگی دیکھتے ہیں کیسے کرتے ہیں اس میں ہم لکھتے 3 plus 7x is less than equal to 2x minus 9 اس میں اگر آپ subtract 3 from both sides you will get 7x is less than equal to 2x minus 12 now if you subtract 2x from both sides you will be left with 5x is less than equal to minus 12 اب ایک last step رہ گیا وہ سیمپلس ہے کہ divide both sides by 5 and you get your answer you get x is less than equal to minus 12 by 5 تو یہ x کی value آگے آپ کے پاس negative 12 over 5 کیا یہ value آئیے ہاں ایک value ہے کیونکہ اس میں inequality میں آپ کو equality بھی allowed بھی you are looking for numbers less than or equal to something so that something happens to be negative 12 over 5 so if you put in any number x equals negative 12 over 5 into your inequality the result will be true or if you take any number less than negative 12 by 5 and put it into the x in your original inequality you still will get a true statement I'll leave it up to you آپ کوئی نمبر پکیجی a minus 12 by 5 سی چھوٹا or اپنے original inequality میں ڈالیے and you'll see that you get a true result so that's exactly what it means to solve an equality تو ایک اور ایک اور ایک سمپل کر لیتے ہیں انکوالتیس کی یہ ایک اور دیکھتے ہیں آپ کی سرین پر بھی آ رہی ہے یہ انکوالتی ہے جی 7 is less than equal to 2 minus 5x less than 9 یہ دلہ سی different ہے اس میں آپ نوٹ کیجے آپ کی جو x ڈالیبل ہے it's constrained by two things on the right and left hand side پہلت ہم نے ریکھا تھا کہ ایک چیز left hand side پتھی ایک چیز right hand side پر you know inequalities تو مقصد یہ کہ آپ یہاں پر ایک ایسی نمبر ڈھون رہے ہیں value x کی such that آپ کی جو original equality کا بیچ کا حصہ ہے which is 2 minus 5x اس میں آپ ایک ایسی value ڈالے x کی لئے you are you get a result which is true تو آن اس کو solve کرتے ہیں کیسے کریں گے سب سے پہلی بات تو یہ کہ it's something in between and two numbers on the side how do you deal with that یعنی اگر سکرین پہ لکھا ہے 7 is less than equal to 2 minus 5x is less than 9 تو really آپ یہ کہہ رہے ہیں کہ 7 is less than equal to 2 minus 5x and 2 minus 5x is less than 9 تو آپ کے پاس یہ دو separate inequalities ہیں جو آپ نے combine کر کے لکھی ہیں تو مقصد کہانے کہ یہ کہ کو گھورانے کی بات نہیں ہے this is doable یا تو آپ ان دونان equalities کو separately solve کرنے جو میں آپ کو کرنے دوں گا you can do it as an exercise یہ ایک اور طریقہ کرنے کا ایک ہی وار میں جو جیسے ہم کہتے ہیں کرنے کا وہ دیکھنے کیا ہوتے اسکرین پہ آپ دیکھیں کہ آپ کے پاس سلوشن ہے سب سے پہلے تو ان اکوالٹی لکھی جائے گی 7 is less than equal to 2 minus 5x is less than 9 اگر آپ سپٹریکٹ کریں تو from the whole inequality یعنی 7 میں سے بھی 2 minus کریں بیچوالی ٹرم میں سے بھی 9 میں سے بھی minus کریں تو آپ کو اس result آتا ہے 5 is less than equal to minus 5x is less than 7 اب بڑا سیمپل ہوگی ہے divide throughout by a minus 5 and you will get minus 1 is bigger than equal to x is bigger than negative 7 by 5 یہاں پہ یہ inequalities کی signs change ہو گئے اچھا جی تو یہ سارہ ہم نے جو بھی کچھ دیکھا یہ ہمارا اس پورے لیکچر کے topic سے جو ہم نے جس کے بارے میں بات چیت کرنی تھی یہاں پہ ہمارا لیکچر ختم ہوتا ہے اگن ایک بار پھر دیکھ لیں ہم نے کیا بات کی ہم نے real numbers کو دیفائن کیا کہ real numbers کے sets کیا ہوتے ہیں کیا سپائپس کے numbers ہوتے ہیں real numbers rational numbers irrational numbers and so forth ہم نے تھوڑی سی set theory کے بارے میں دیکھا باقی میں نے آپ کے اوپے چھوڑ دیا کیا آپ دیکھ لیجی اس کے بعد ہم نے real number کے order کے بارے میں بات کیا real number set کے relationship between two real numbers اور ان کا size کیسے دیفائن کیا جا سکتا ہے ہم نے coordinate line دیکھی کہ اس کے بعد کیسے line کے open real numbers کو concretely دیفائن کر سکتے ہیں اور اس کے بعد ہم نے intervals دیکھے کہ what kind of intervals we have in real numbers اور calculus میں ہم ان کو استعمال کریں گے آگے چلکے اور اس کے بعد ہم نے inequality solve کیا آخر میں یہاں رکھیں کہ I'm not like Pythagoras ہم نے دیکھے ہم نے good for you I won't drown you so I hope you have fun and I'll see you next time حافظ