 Bueno, buenos días, buenas tardes para todos y todos. O sea, muy bienvenidas, bienvenidas a la última sesión, el mini curso número dos, que es sobre su particio racional sobre un cuerpo. Entonces, Toni, el tablero es tuyo. Muchas gracias, y pues, bueno, y muchas gracias a todos por estar aquí en el último día. Hoy el tema de hoy es el teorema de Discosky Manning, que es un teorema de clasificación muy fuerte, digamos, que utiliza el teorema del cono. Voy a estar escribiendo en vivo casi todo, pero algunas cosas de repaso las he prescrito, digamos. Y también, al final, tengo una demostración que está prescrita nada más, porque no es tan importante, digamos. Pero es solo si a tiempo. OK, pues bueno. Entonces, quiero empezar por repasar un poco el teorema del cono. Y con este dibujo, que es uno de los mejores dibujos que jamás se ha hecho en toda mi vida, entonces tengo que utilizarlo. Y que, de hecho, copié de un libro, no es un dibujo original. Pero bueno, lo que vamos a utilizar es una variedad X-Tonys. Aquí tenemos una camisa que hice Tonys también. Es de Costa Rica. Que recuerden que es una variedad suave, proyectiva, geométricamente íntegra. Voy a reducirle. Tenía siendo lo mismo equivalente. Y teníamos adentro de esta, bueno, no adentro, pero asociada a la variedad, tenemos un espacio vectorial real cuya dimensión es algo que llamamos el número de picard. Este espacio vectorial lo que hace es capturar los divisores de mi variedad, que son variedades, subvariades de codinación 1. En una superficie eso van a ser curvas. Y adentro de este espacio vectorial, tenemos el cono observado de curvas en X. Entonces el torema del cono lo que nos da es una estructura casi poliedral de la parte llamada negativa del cono. Entonces el divisor canónico de la variedad me permite crear un hiperplano adentro de este espacio vectorial. Y este hiperplano son todos los divisores que tiene intersección 0 con el divisor canónico. Y luego voy a tener una parte que es negativa con respecto al divisor canónico y una parte que es positiva con respecto al divisor canónico. Y el torema del cono no me dice nada de la parte positiva del cono, de hecho, de la parte no negativa. Pero me dice mucho sobre la parte negativa del cono. Me dice que esta parte está generada por un número, por un conjunto innumerable de rayos extremales. Y además me dice algunas cosas sobre estos rayos extremales. Me dice, por ejemplo, que si tengo una curva geométricamente integra adentro de mi rayo extremal, entonces satisfaces ciertas desigualdades con respecto al divisor canónico. Esto es sumamente útil. Y por último, también dice que dije que la estructura era casi poliedral. De hecho, los rayos extremales sí se pueden acumular un poco, no es totalmente discreto el asunto, pero solo se pueden acumular cerca del hiperplano dado por la intersección 0 con el divisor canónico. Y en muchos de los casos que vamos a ver, esto no sucede. Pero de verdad sí puede suceder que hay un poco de acumulación. OK, entonces eso es lo que dice el torema del cono. Y ayer vimos dos casos de una tricotomía. Si tomo uno de estos rayos extremales, en mi mente quiero pensar que esto va a estar generado por algún tipo de curva, porque al final de cuentas es el cono servado de curvas efectivas. Y entonces esta curva va a tener una autointersección que es opositiva o cero o negativa. Y ayer vimos dos de los tres casos en bastante generalizado para el caso de superficies. Vimos que si x es una superficie tuanis, entonces, voy a dar aquí, pueden suceder un par de cosas. Si tengo un rayo extremal y positivo, entonces termina sucediendo que mi espacio vectorial de divisores, módulo equivalencia numérica, es unidimensional. O sea, no hay mucho ahí. Y el cono entonces solo puede ser un rayo adentro de ese espacio unidimensional. Entonces tener un rayo extremal con un cuadrado positivo es sumamente, restringe mucho la superficie. Y lo último que vimos la vez pasada es que exploramos el caso de que si el rayo extremal tiene autointersección cero, en cuyo caso con la hipótesis extra de que la característica de oiler es mayor o igual que uno, es decir, mayor o igual que uno. Si tengo una curva íntegra cuyo cuadrado es nulo y está en la parte negativa del cono efectivo de curvas, entonces puedo utilizar esta curva para construir un morfismo a un espacio proyectivo probablemente de alta dimensión. Esto va a depender un poco de la dimensión de lo que se llama el sistema lineal asociado a esta curva. Pero este morfismo que de hecho ya le he hecho que es un morfismo no solo maplaracional, lleva un poco de trabajo, pero el morfismo se factoriza a través de una curva. Y no solo es eso, sino que podemos decir un poco más. O sea, tenemos un morfismo de una superficie hacia una curva y si yo tomo un punto sobre una clasura algebraica de mi cuerpo, va a secar, por lo menos para casi todo punto de este tipo, la fibra del morfismo de X a C va a ser isomorfa a la recta proyectiva. Entonces, esto es un enunciado geométrico, digamos. O sea, no es que la fibra siempre es una recta, podría ser, por ejemplo, una cónica que no tiene puntos, como X cuadrado más Y cuadrado más Z cuadrado siga a la cero. Si mi campo base es uno de reales, eso define una cónica, pero no tiene puntos. Entonces, pero si pasan los complejos, que es una clasura algebraica de los reales, X cuadrado más Y cuadrado más Z cuadrado igual a cero, sí tiene puntos y si hago una proyección estereográfica, entonces puedo ver que es una recta proyectiva. Entonces, eso es lo que estamos diciendo, las fibras geométricas, casi todas, excepto un número finito, son de hecho isomorfas a P1. Y por supuesto, parte de lo que uno hace después de este teorema es empezar a explorar las excepciones finitas, digamos, porque eso le dice mucho a uno de más de la estructura de X. Pero ahí fue donde llegamos. Estamos todavía en el caso de superficies tuanes. No hemos asumido que nuestra superficie es racional, que va a ser la última etapa del curso, pero me falta decirles qué sucede en el caso en que R Y cuadrado es menor que cero. Entonces, voy a empezar por ahí y decirles que, ok, entonces R Y cuadrado es menor que cero. Aquí resumimos la notación, digamos, de la clase pasada. Entonces, tenemos una proposición, ok. Entonces, este va a ser el NEMA, 6.9 en las notas. Y lo que dice es que, si tengo un rayo, R, entonces es mayor o igual que cero, generado por una curva, y voy a asumir que esta curva es integrada. Adentro de la parte negativa del cono cerrado de curvas de X, si esta si satisface que el C cuadrado es cero, es perdón menor que cero. Entonces, el existe porque se llama una contracción. Entonces existe un mapa de X a Y y lleva a ser una superficie, tonis, y esta es una de las partes difíciles que uno contrae, o sea, aplasta una curva y no termina con una singularidad, termina con algo suave. Y no sobre eso, sino que te dice también que lo que uno termina contrayendo no es más de lo que uno quisiera contraer. Entonces, para D en X, una curva, entonces tenemos que este mapa de contracción contrae la curva, si solo si, mi curva es un múltiplo de C. Entonces es un, lo que esto hace es, dice, si tengo un rayo extremal de cuadrado negativo, entonces puedo construir una superficie, Y y un morfismo de X a Y que contrae esa curva. Entonces lo que va a hacer es que teníamos un cono y hemos eliminado un rayo negativo y vamos a terminar con un cono de curvas efectivo un poco más simple sobre la superficie Y. Entonces eso nos va a ayudar a hacer un proceso más o menos inductivo donde vamos a ir simplificando el cono de curvas. Ok, entonces este resultado no es fácil, es toma y tiene varios ingredientes complicados y no desgraciadamente no tengo el tiempo de dar todos los detalles, pero sí les puedo dar una idea de los ingredientes. Entonces lo primero que tenemos que hacer es demostrar que los componentes geométricamente íntegros de C y antes de decir algo más, nada más deba decir que la curva C es íntegra, o sea que sobre el cuerpo base se ve como una curva que no tiene, que no se parte en varios pedazos, pero una vez que uno pasa a una cláusula algebraica del cuerpo base, es posible que esta curva se quiebre en pedazos. Ok, entonces va a tener sus componentes cada uno de los cuales va a ser geométricamente íntegros. Ok, entonces este es el caso digamos que quiero ver todos estos componentes van a ser menos uno curvas. O sea y recordemos que esto significa que C por Kx es igual a C cuadrado es igual a minus uno. Ok, esto es lo que implica. Esto utiliza la geometría convexa del conefectivo de curvas y una caracterización de las menos uno curvas. De hecho parte de lo que usamos es que si uno tiene una curva íntegra cuya autointersección es negativa y cuya intersección con el canónico es negativo tiene que ser una menos uno curva. Entonces eso es todo lo que tenemos que demostrar. Y eso sirve de una cosa que se llama la fórmula de acusión que da el género aromético de la curva íntegra si uno sabe la autointersección de la curva y la intersección con el canónico. Entonces lo primero es que esta curva que estamos viendo y que al principio parece no romperse cuando uno pasa una curva algebraica es posible que se quiebre en varios pedazos pero cada uno de esos pedazos es una menos uno curva. Recordemos del arquetipo de la menos uno curva que es con el divisor excepcional de un blower una curva sumamente vigila. Ok, entonces ese es el primer paso. El segundo paso es que voy a hacer un pequeño copy paste aquí son los componentes geométricamente íntegros de C son disjuntos dos a dos. Entonces son... Esto es menos obvio de hecho porque lo que estamos diciendo es que la curva cuando pasa una autointersección algebraica y que mi curva se quiera y se quiera en curvas que no se interseca. No hay una sola intersección entre todas esas curvas. Son curvas cada una por su lado. Esto utiliza dos cosas. Utiliza aquí finalmente un poco de arinética. Utiliza la acción del grupo de Galois de la clausura algebraica de K sobre K que realmente tú a través de un consciente finito sobre los componentes de C que ponen estos componentes geométricamente íntegros de C y usa el hecho de que esta acción conserva la forma de intersección. Ok, entonces si yo tengo dos curvas que se intersecan y aplico una transformada de Galois a las curvas voy a obtener otras dos curvas que también se intersecan y si mis curvas no se intersecan y aplico un elemento del grupo de Galois con otras dos curvas que tampoco se interseca. Esto no es tan difícil de demostrar pero luego tenemos que utilizar esto para demostrar que las curvas no son todas disjuntas dos a dos. Entonces una vez que tenemos estos dos pasos lo que significa es que nuestro radio extremal negativo que está generado por una curva íntegra al pasar a una clausura algebraica se quiebra posiblemente un conjunto finito de menos uno curvas que poseen una acción del grupo de Galois y estos menos uno curvas no se intersecan entre ellos y esto es genial porque esto es exactamente lo que necesito para contraerlas todas de un solo tiro. Sobre un cuerpo algebraicamente reservado existe un terema que se llama la contractabilidad de Castelmobo que me permite contraer una menos uno curva y terminar con una superficie suave que esa es la parte difícil. Entonces voy a escribir esto que finalmente el último paso es que los componentes geométricos de C se pueden contraer simultáneamente sobre cada el morfismo que los contrae es un morfismo definido sobre cada esto no es tan fácil al final de cuentas por ejemplo yo sigo hablando del grupo de Galois y hasta cierto punto esto realmente está asumiendo que tengo no estoy asumiendo pero parece asumir que mi cuerpo base por ejemplo es perfecto para tener una acción bonita del grupo de Galois si algunas de estas curvas estoy definida sobre una extensión imperfecta del cuerpo base entonces no hay acción del grupo de Galois hay que tener cuidado entonces esto es una parte sutil pero pusimos todos los detalles de esto en las notas y esperamos que sea interés entonces lo pueden consultar entonces esto utiliza la acción por través del grupo de Galois sobre los componentes y lo que se llama la contractabilidad de castel nuevo de menos uno curvas sobre un cuerpo algebráicamente cerrado un cuerpo algebráicamente cerrado entonces pues sabemos que sobre un cuerpo algebráicamente cerrado el criterio castel nuevo me dice que puedo contraer esa curva y lo que utilizo es un poco la acción de Galois y el hecho de que estas curvas son todas disjuntas para contraerla simultáneamente con un morfismo que está definido sobre el cuerpo base eso es algo un poco sutil pero posible y esto es entonces el tercer caso entonces al final de cuentas voy a repasar si uno tiene un radio extremal cada X negativo que está generado por una curva íntegra de intercición negativa entonces lo que sucede es que esa curva se parte en un montón de menos uno curvas todas disjuntas que se pueden contraer simultáneamente y al contraer esas curvas simultáneamente pues bueno el resultado es contraer el radio extremal en micono y produce una superficie Y que es Tony's entonces podemos utilizar esta superficie Y de nuevo como el reciclarla ok, ahora exploramos el cono de curvas efectivo de Y y vamos a ver si todavía tiene un radio extremal con intercición negativa, repetimos ok y este proceso recordemos una vez que yo contraigo un radio del cono entonces eso también me va a pues es la palabra correcta el espacio vectorial va a perder por lo menos una dimensión al contraer uno de estos rayos del cono y entonces al final de cuenta empiezo con un espacio vectorial sobre lo reales de dimensión finita entonces donde empiezo a hacer estas operaciones de contraer todos estos rayos extremales comparado a negativo entonces mi espacio vectorial en el 1 X sub-R y su dimensión empieza a decrecer y por supuesto tiene que ser mayor igual que 0 entonces este proceso tiene que terminar eso es parte de la idea que vamos a utilizar ok, entonces hasta aquí viene, esto es todo lo que se puede decir de forma general digamos para superficies Tony's sobre un cuerpo cualquiera finalmente es es hablar de introducir una hipótesis más que mis superficies son racionales entonces quiero pasar a superficies racionales ok entonces que es que son esas recordemos y entonces X va a seguir siendo una superficie Tony's sobre un cuerpo cualquiera y vamos a decir que X es racional y al pasar a una clausura algebraica de K puedo encontrar lo que se llama un morfismo vibracional al plano proyectil ok que significa esto esto significa que puedo encontrar dos abiertos de Saliski entonces estos son abiertos de Saliski en la topología de Saliski pues es una topología su mente es como de brocha gruesa digamos por ejemplo en una variedad Tony's que es producible un conjunto de Saliski que no es el conjunto vacío el conjunto vacío es abierto también pero es una topología pero si no es el conjunto vacío es denso dentro de X entonces por ejemplo para una curva un conjunto abierto de Saliski es básicamente la curva menos un número finito de puntos la topología cofinita para una superficie observado va a ser una unión finita de curvas algebraicas y algunos puntos y el complemento de eso en la superficie hace un abierto de Saliski es la mayoría de la superficie por decirlo así entonces y vamos a tener estos abiertos de Saliski y lo que dice es que vamos a tener un isomorfismo que va a ser definido por funciones racionales cuyos coeficientes están en la clasura algebraica de cada que hemos escogido ok entonces eso es lo que lo que significa ser vibracional al plan proyectivo la vibracionalidad es digamos una una forma de tratar de clasificar variedades que es mucho mejor digamos que tratar de clasificar variedades hasta el isomorfismo el isomorfismo es demasiado fuerte entonces la vibracionalidad me permita tener un número más pequeño digamos de clases de equivalencia y que todavía tiene mucho significado aritmético por ejemplo te voy a decir ok entonces eso lo que significa ser una superficie racional y el teorema principal del curso el teorema de Iskovsky lo que vemos es que es geométricamente racional si ok gracias generalmente esto se describe como geométricamente racional y depende mucho de los autores hay autores que van a decir que esto es racional y hay autores que van a decir que es geométricamente racional pero si como pasamos a una clasura algebraica realmente deberíamos decir geométricamente racional pero es una convención a veces que no dice nada más racional lo que está diciendo es que es racional después de pasar a una clasura algebraica y es lo mismo yo no sé si bueno porque hay otros autores que usan la palabra almost pero no sé si quieres decir lo mismo como es aquella cosa pero cuando pasas a una clasura algebraica pero no sé si es en contexto yo lo visto más en grupos algebraicos pero no sé si tiene que ver algo acá puede no no no lo he visto rellido bueno entonces y por cierto este TV más viene eskozki es 1979 y manin es 1966 no bueno no es tan viejo 1966 manin lo demostró para cuerpos de base perfecto si sozki lo hizo para cuerpos en general lo que vamos a ver aquí no es ni la de manin ni la de iskozki es la demostración de mori en 1982 ok entonces X otra vez va a ser una superficie tuanes y sobre K y va a ser racional y pongo el racional después para acordarnos de que la racionalidad es algo que sucede sobre la clasura algebraica y lo que dice es que entonces existe una superficie tuanes y sobre K y un morfismo vibracional y aquí estamos diciendo morfismo entonces tenemos p de X la Y entonces es esto me da un isomorfismo entre X y un abierto de saliski de Y por lo menos un isomorfismo entre un abierto de X y un abierto de Y pero el morfismo en sí está definido sobre todo X ok y tal es que una de dos cosas pasan y no son mutuamente exclusivas entonces Y es lo que se llama una superficie del petso que eso es algo que hemos encontrado un poco esto significa que menos K es un núcleo esto también hablo un poco de Y o y otra vez no son mutuamente exclusivas es posible que tengan estas dos estructuras Y perdón Y es una es un vibrado en cónicas sobre una conica y vamos a recordar qué significa esto esto un vibrado en cónicas sobre una conica y esto significa que existe un morfismo y de Y a C y este morfismo va a satisfacer dos cosas primero de hecho esta curva por lo menos sobre una eclectura geográfica es P1 sobre K bar y esto es lo que significa sobre una conica ok entonces lo que hemos visto antes teníamos una curva C solo dijimos nada sobre C solo dijimos algo sobre las fibras del morfismo entonces esto es alguna estructura extra que sucede cuando consideramos superficies racionales Y si considero uno de estos puntos generales de de C sobre una tradición geográfica en general entonces la fibra de inverso de P también es y sumorfa P1 sobre K bar entonces parece como casi parece como P1 por P1 pero no es exactamente P1 por P1 ok ok antes de explicar la demostración de esto quiero decir un par de cosas de por qué este problema es tan importante porque osea hemos vencido lo que parece ser una clase una clase grande de superficies a solo dos casos por decirlo así pero si estos dos casos son muy difíciles no sabemos si hemos hecho algún progreso o no pero primero estos dos casos están muy bien estudiados las superficies del petso y las figuraciones en conica sobre una conica son ejemplos muy clásicos de superficies para los cuales entendemos su geometría muy bien y lo otro es que por ejemplo las preguntas que no hacen en aritmética es si uno tiene una variedad definida sobre un cuerpo quiere saber si esa variedad tiene puntos sobre ese cuerpo por ejemplo si mi variedad está definida sobre lo nacional es una pregunta que bueno es que si esto no es el conjunto vacío ok entonces la respuesta a esa pregunta y estos no están no es obvio depende sólo de la clase vibracional de x entonces si yo tengo si x y y son vibracionales una tiene un punto si sólo si la otra tiene un punto entonces lo que nos da el Teonema y Skopci es la posibilidad de estudiar por ejemplo preguntas aritméticas como tiene mi variedad un punto o no de en clases de superficies muy bien definidas con características que entendemos muy bien entonces producimos la pregunta de estudiar si cierto tipo de variedad tiene un punto a un par de casos que podemos estudiar de manera profunda entonces hay muchos en la literatura hay muchos artículos sobre puntos racionales en superficies del petso y puntos racionales sobre infibrados de cónicas y parte de la razón es precisamente este teorema porque si tenemos una teoría completa de los puntos racionales sobre una superficie del petso o sobre un fibrado en cónicas entonces obtenemos una teoría completa para superficies racionales por el teorema y Skopci man entonces este teorema y Skopci man es un paso inicial digamos en el estudio de geometría aritmética que nos indica qué tipo de superficies debemos estudiar puedo hacer una pregunta ¿puedo hacer una pregunta tonta? claro si Pi está definido sobre K o sobre la causura de K eso es parte de lo bonito Pi está definido sobre K todo esto todo esto está definido sobre si es este mapa si es este mapa y es por ese punto racional se transforma por el otro Exacto digamos lo importante es cuando uno tiene esto el mapa racional solo obtengo un mapa racional en la otra dirección entonces si produzco un punto en Y ese punto en Y podría no estar en el dominio del mapa de vuelta entonces no es obvio que si produzco un punto en Y puedo producir un punto en X pero sí es cierto es lo que se llama el lema de Languishimura es parte de lo que estamos obviendo por el momento ok entonces lo que vamos a hacer es simplemente tomar lo que ya vimos como consecuencia no voy a aplicarlo en este caso para ello necesitamos una idea más una definición más para mi lo que es la idea brillante de mori de mori no no solo por esta idea pero esta idea es central en su filosofía entonces si uno quiere clasificar variades lo que debemos hacer es entender debemos entender cuánta positividad y ahora esto lo que tengo que explicar positividad y posee el divisor canónico de mi variada la positividad del divisor canónico me dice muchísimo sobre la variada entonces que es esto de positividad entonces lo voy a decir para una superficie pero esto es algo general pero si tengo una superficie tuanis sobre un cuerpo acá y tengo un divisor que también va a ser una curva porque las curvas y las divisores son lo mismo un divisor digo que este divisor es nef si para toda curva en x y aquí estoy pensando en una curva en x con estas combinaciones con negativas sino que una curva en x y vale la desigualdad n por c es mayor o igual que cero eso lo que significa ser nef entonces por ejemplo los divisores amplios son nef y esto está explicado por ejemplo en las notas con un poco más de detalle pero la pregunta que hace Mori que empieza su clasificación de variades es el tomo una variada y dice ok tomo el divisor el único divisor que sé que está ahí que es el divisor canónico y pregunto es el divisor canónico nef o no entonces y le da un nombre si el divisor canónico si cae x es nef entonces decimos que x es un modelo minimal entonces hay que hacer un par de cosas hay que clasificar estos modelos minimales y si no tenemos un modelo minimal y tenemos una variada cuyo canónico no es nef entonces lo que vamos a hacer es contraer pedazos de la variada hasta que se vuelva nef el divisor canónico y obtenemos un modelo minimal a grandes rasgos la idea del programa de modelos minimales de Mori es decir uno puede hablar de divisor nef no tengo que estar en superficies y la condición es la misma significa que para cada curva la intersección entre un divisor y una curva tiene que ser mayor o igual que cero entonces parte de lo que Mori el mundo que nos enseñó Mori es que para entender una variada hasta equivalencia vibracional lo que uno tiene que entender son las curvas adentro de la variada la variada podría tener dimensión 19 y lo que tengo que hacer es entender las curvas de la variada de la variada que tengo y como estas curvas intersecan el divisor canónico esa es parte de la filosofía de Mori entonces para empezar y esto va a ser una deuda que espero poder decirles algo al final una proposición que si no me da chance por lo menos les digo entonces que es el corollario 6.4 y es que si x es una superficie tuanis sobre k y es vibracional es vibracional al plano proyectivo sobre una clausura algebraica y entonces kx no es nef las superficies racionales no son modelos minimales ok esto es algo que no es tan sencillo pero pues bueno si tengo tiempo al final diré algunas palabras pero ello implica que existe una curva en x curva tal que mi intersección de la curva con el canónico de x es menor que 0 eso solo por la definición de nef entonces que significa que la parte kx negativa del cono tiene algo interesante por lo menos hay una curva ahí no es vacía la parte negativa del cono entonces porque la parte positiva del cono podría ser vacía pero la parte negativa del cono no es vacía esto es lo que nos dice esta proposición entonces esto dice que existen rayos extremales en la parte kx negativa del cono cerrado de curvas de x ok y entonces ok, entonces tenemos rayos extremales en la parte negativa y de hecho sin pérdida de generalidad y un tal rayo está generado por una curva íntega esto no es totalmente obvio usa geometría convexa esto es la proposición 4.9 en las notas ahí pueden ver los detalles de por qué puedo asumir que mi rayo extremal está generado por una curva íntega y entonces puedo aplicar lo que ya sé lo que ya me dio el problema del cono tenemos tres casos entonces démosle un nombre a esta curva íntegra llamémosla D entonces en el primer caso si de cuadrado es un número positivo entonces ayer y hoy repasamos pero vimos que la dimensión real de n1xr es igual a 1 y recordemos esto fue lo que llamamos lo de x, el número de picada entonces lo que significa pues que todo divisor es numéricamente equivalente a lo que es un divisor amplio en mi superficie entonces todo divisor de x definido sobre mi cuerpo base es un múltiplo de un divisor amplio mi divisor amplio es efectivo por ejemplo si mi superficie es proyectiva entonces está sentada en un espacio proyectivo y se empiezo a cortar con hiberplanos hasta llegar a una curva voy a obtener una curva que puedo dibujar y tener en mis manos es una curva efectiva y eso es un divisor amplio entonces todo divisor de x es múltiplo de un divisor amplio y por lo tanto en particular el divisor canónico tiene que ser un múltiplo de un divisor amplio de kx o menos kx es amplio una de estas dos cosas tiene que pasar tenemos una recta r y el cono de curvas efectivas y pues bueno kx o apunta en el rayo cono de curvas efectivas o apunta en la otra dirección no queda mucha otra opción y pues bueno kx no puede ser amplio esto es imposible porque los divisores amplios son nefs y para una superficie racional el canónico no es nef eso es lo que habíamos dicho entonces es imposible porque amplio implica nef y x es racional y para las superficies racionales no no podemos el divisor canónico no es amplio eso significa que entonces es el divisor anticanónico el negativo del divisor el canónico es amplio y esta es la definición de una superficie del petso o sea x es del petso ok eso es lo que va a suceder si tengo un rayo extremal en la parte negativa del cono cuya intersección intersección es positiva tenemos el segundo caso que si es si de cuadrado es igual a cero si de cuadrado es igual a cero pues bueno si x es racional entonces resulta que la característica de Hoyler del canónico pues bueno h0 de x o x menos h1 de x o x más h2 de x o x y un cálculo que está de hecho incluido entre dentro de la proposición que les debo es que estos dos grupos de comología son cero y como mi superficie es irreducible y projectiva esta dimensión es uno entonces la característica de Hoyler es uno y en particular es mayor igual que uno entonces lo que aprendí ayer sobre rayos extremales de la intersección cero se aplica en este caso y eso significa que puedo encontrar una vibración enconicas es una vibración enconicas sin embargo en este momento no sé que c es también isomorfa p1 o sea sé que c es una curva pero la teoría general no me dice que c es isomorfa p1 inclusive sobre una clausura libraica entonces eso es lo que falta falta ver que c es o por lo menos una clausura libraica es isomorfa p1 pero como lo que tengo que hacer es demostrar esto sobre un cuerpo algebraicamente cerrado entonces puedo asumir que estoy en un cuerpo algebraicamente cerrado o sea paso este morfismo y hago el cambio de base algebraicamente cerrado y ahora si puedo utilizar el hecho de que x es racional ¿por qué? porque entonces sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es racional significa que tengo un morfismo vibracional de p2 a x finalmente habíamos escrito de x a p2 pero es vibracional o sea hay morfismos en dos direcciones y tengo mi proyección a la curva c y esta composición es dominante o sea que su imagen es densa en c y eso ni diga que va a ser sobrellectiva porque c es una curva entonces lo que hago es tomo simplemente una recta en p2 y y restringo esta composición a la recta tengo mi sigma como esto por p y restringo a la recta un morfismo es mucho un mapa racional pero si se puede devolver el morfismo esto es un mapa racional dominante y cuando tengo un mapa entre dos curvas el género del dominio tiene que ser mayor igual que el género del dominio entonces eso significa que c porque es una recta entonces tiene género c tiene que ser mayor igual que el género c o sea el género de c es c el género y entonces g es una curva racional c es una curva racional entonces este último paso utiliza el hecho de que tenemos una superficie racional y el hecho también de que teníamos una superficie racional nos permitió utilizar el teorema de estructura que vimos ayer porque la característica de hoy de las estructural era mayor igual que bueno usamos la racionalidad de los textos y finalmente tenemos el caso en que este de cuadrado es menor que cero y aquí nada más que un par de palabras entonces en este caso existe mi contracción definida sobre el cuerpo k es una contracción donde esta superficie es toanis y pues bueno d en x es una curva entonces si aplicó mi contracción a esta curva obtengo un punto si sólo si esta curva es un múltiplo perdón estoy usando oi tengo que tener un poco cuidado porque cambié de y c entonces aquí debería poner d entonces de c es un punto si sólo si c es un múltiplo de d perdón pero bueno así termino haciendo ok pero si esto sucede la observación importante es que el número de picar de y es estrictamente menor que el número de picar de x porque acabamos de deshacernos de un rayo extremado del cono y eso hace que la dimensión del espacio territorial en uno de x se vuelva uno más pequeño entonces pues si ok si ya voy a el comentario el comentario que tenemos 5 minutos muy bien pero ya de hecho estamos estamos a punto de terminar entonces aquí repetimos el paso 3 el paso 3 hasta llegar al caso 1 o 2 y con esto tenemos la discosquimani ok porque empezamos con x si existe una curva negativa la contraemos entonces decrece la dimensión del n1x y tenemos una superficie tronis entonces volvemos a empezar con el programa y decimos ok una curva negativa si la respuesta si es contraigala y sigue haciendo eso una y otra vez la dimensión del n1x se vuelve más y más y más pequeña y una de dos cosas pues va a suceder eventualmente se nos va a tener que acabar las curvas negativas porque no va a haber más dimensión que podamos comprender y entonces vamos a tener que tener rayos extremales cuya autointersección es positiva o cero y eso significa que vamos a terminar los casos 1 o 2 bueno tengo una superficie del petso si termine en el caso 2 tengo una fibra oncónica sobre una cónica eso es la demostración del teorema de discosquim a partir del teorema del cono ok entonces me queda como un minuto creo entonces lo que quiero hacer es nada más no voy a poder enseñarles la demostración la deuda que tengo con ustedes pero esta deuda la pueden ver en el en el sitio web cuando voy a mandar estos notas después de que te menos hoy lo último que les quiero enseñar es un diagrama nada más que es esto ok entonces todo lo que hemos hecho se puede generalizar un poco y aquí voy a trabajar un segundo sobre un cuerpo alegradicamente cerrado pero nos permite describir el programa de modelos mínimos para superficies de mori entonces en general no solo para superficies racionales pero lo que puedo hacer es empezar con una superficie y preguntar si el canónico es nef o no si el canónico es nef es un modelo minimal y ahí termina el programa si el canónico no es nef entonces usamos el teorema del cono para contraer uno de estos rayos extremales y una de dos cosas va a suceder cuando contraemos el rayo extremar es posible que mi y pierda dimensión por ejemplo cuando tengo un fibrado en cónica sobre una cónica la cónica tenía dimensión 1 X tenía dimensión 2 si la dimensión decrece entonces esto se llama un espacio de mori y ahí terminamos si la dimensión no decrece entonces lo que hemos hecho es contraer una menos uno curva hicimos que contraer una menos uno curva entonces pues volvemos a empezar sustituimos reemplazamos X por Y y empezamos otra vez y este programa termina es el programa de mori para las superficies alibráricas en dimensiones superiores es mucho más complicado hay más cosas que pueden suceder pero esta idea de 1982 realmente nos enseñó una demostración mucho más conceptual de la clasificación de superficies lo que hemos hecho en este curso son los primeros pasos hacia esa clasificación pues muchas gracias muchas gracias