 En 1887, le mathématicien français Camille Jordan démontre l'un des théorèmes fondamentaux de la topologie, le théorème de Jordan. Celui-ci énonce que si l'on dessine sans lever le crayon une courbe qui commence et termine en un même point et qui ne s'auto-coupe pas, alors cette courbe partagera toujours le plan en deux morceaux, l'intérieur et l'extérieur. Ce théorème peut vous sembler complètement évident, mais c'est loin d'être l'avis des mathématiciens. Ça tombe bien, j'ai deux minutes pour en parler. Pour énoncer le théorème de Jordan, nous avons besoin d'un certain type de courbe du plan que l'on appelle les courbes fermées simples, ou parfois les courbes de Jordan. Il s'agit d'une courbe qui est un lacet, c'est-à-dire qu'elle est continue, on peut théoriquement la tracer sans lever le crayon, et qu'en plus son point de départ est le même que son point d'arrivée. On demande en plus que ce lacet soit simple, c'est-à-dire qu'il ne passe pas deux fois par le même point, qui ne s'auto-croise pas en fait. Une façon équivalente et un peu plus topologique de voir un lacet simple, c'est de dire qu'il s'agit d'un cercle déformé. Le théorème de Jordan donc affirme que dans le plan, un lacet simple délimite toujours exactement deux régions différentes, ni plus ni moins. Il va même plus loin et précise que les deux régions en question sont connexes, c'est-à-dire qu'elles sont chacune d'un seul tenant, et qu'en plus l'une est bornée et que l'autre non. On appellera le premier, l'intérieur et le second, l'extérieur. On peut même aller encore plus loin et dire que la frontière entre ces deux régions n'est autre que le lacet initial. Et c'est à peu près tout, voilà ce qu'énonce ce grand théorème. Ceci vous sera sans aucun doute complètement intuitif, mais pour un mathématicien, ce n'est pas parce que c'est intuitif que c'est complètement évident. Pour avancer, il est nécessaire de le prouver. Et c'est sur ce point que le théorème devient intéressant, puisque cette évidence est particulièrement difficile à démontrer rigoureusement. Avant que Jordan ne le démontre à la fin du XIXe siècle et lui donne le statut de théorème, de nombreux mathématiciens s'y sont cassés les dents. Le premier à avoir débroussaillé ce sujet est Bernard Bolzano, l'un des fondateurs de la topologie telle qu'on la connaît aujourd'hui. On lui doit notamment le théorème de Bolzano, plus connu des lycéens sous le nom de théorème des valeurs intermédiaires, celui qui permet d'affirmer des choses comme si je monte un escalier pendant que tu le descends, il y aura un moment où nous croiserons. Ça aussi, ce n'est pas complètement évident, mais c'est un autre sujet. Bolzano donc peut être considéré comme celui qui a posé les premières pierres du théorème de Jordan. La première pierre indispensable dans la construction d'un théorème, c'est de voir qu'il y a quelque chose à démontrer. Les générations de mathématiciens sont passées à côté de la propriété en la supposant attaure comme étant trivial, évidente. Il faut ensuite donner les bonnes définitions des concepts qui sont en jeu, de façon à poser une conjecture claire. C'est quoi une courbe, c'est quoi une frontière, comment on sait qu'un point est à l'intérieur, etc. La troisième et dernière étape, sur laquelle Bolzano a consacré beaucoup de temps et d'énergie, est celui de la démonstration à proprement parler, sans succès. Mais pourquoi ce théorème est-il si difficile à prouver ? Le principal problème, c'est que ce théorème est global et non simplement local. Pour savoir si un point est à l'intérieur ou à l'extérieur d'un lac c'est simple. Il faut être capable de prendre en compte la totalité de la courbe, et non pas seulement une partie. C'est pour cette raison que le théorème devient faux si on se place ailleurs que sur un plan. Par exemple, si la courbe de Jordan est tracée sur la surface d'un torre ou d'un ruban de moébus, il peut arriver qu'elle ne limite ni intérieur ni extérieur. De même, si la courbe est un élastique dans un espace à trois dimensions, il est clair qu'on ne peut pas parler d'intérieur ou d'extérieur. L'autre problème, particulièrement gênant, c'est que les exemples planaires auxquels on pense face à l'énoncé du théorème de Jordan ne rendent pas compte de la complexité potentielle de ce que peut être une courbe. Et ce sont ces complexités qui n'auraient peut-être pas été découvertes si l'on s'était contenté de dire que la conjecture de Bolzano était évidente. Si on parle de l'asset simple, on pense généralement à des cercles gentiment déformés. Malheureusement, un lac c'est simple, ça peut ressembler à ça, à ça, ou à ça. Dans de tels cas, l'intérieur, l'extérieur et la frontière sont parfaitement définies, mais sont difficiles à appréhender simplement. Un exemple relativement simple de courbes qui peuvent poser problème est la courbe de Funcock, une courbe fractale dont la longueur a pour particularité d'être infini. Pour construire cette courbe, on va y aller étape par étape. On part d'un triangle écoulatéral puis, à chaque étape, on construit un nouveau triangle écoulatéral sur le deuxième tiers de chacun des côtés de la figure de l'étape précédente. Ainsi, on a 4 triangles à la deuxième étape, 16 à l'étape suivante et ainsi de suite. La courbe de Coq est le périmètre de ce flocon après une infinité d'étape. On peut remarquer qu'à chaque étape, chaque segment de la frontière est divisé en 3 et multiplié par 4. Autrement dit, la longueur de la frontière est à chaque étape multipliée par 4 tiers, ce qui implique après une infinité d'étape une longueur infinie pour la courbe de Coq. Cette courbe est fractale, si bien qu'il est parfois difficile de savoir si un point proche de la frontière est à l'intérieur ou à l'extérieur. Ce qu'il y a de pire avec les courbes fractales comme celles de Coq, c'est qu'en chacun de leurs points, elles ont la lure de zigzag, et ça, quel que soit le niveau de zoom. Il est donc impossible de leur trouver des droites tangentes. On dit que la courbe n'est pas différenciable, ce qui est un réel problème, vu qu'une bonne part de la boîte à outils des mathématiciens repose sur l'étude de cette différenciabilité. Des courbes non différenciables, c'est-à-dire sans tangente, les mathématiciens en ont fabriqué tout un vestiaire, et ce n'est pas un hasard si la première de l'histoire a été fabriquée par Bernard Bolzano. Pour la construire, on procède à nouveau étape par étape. On commence pour cela par se choisir une courbe en zigzag, celle-ci composée de 4 segments fera la fer. Ensuite, on transforme chaque segment composant ce zigzag par des versions contractées du zigzag initial. Après avoir répété cette opération une bonne infinité de fois, on obtient la courbe de Bolzano, une courbe continue partout, mais sans la moindre tangente. Bref, une courbe, ça peut paraître simple, intuitivement, mais rien ne reste simple très longtemps chez les mathématiciens. Puisque j'en suis à parler de courbes bizarres, la palme revient en courbes remplissantes, une courbe continue qui a la particularité de passer par rigueureusement tous les points à l'intérieur d'un carré. La courbe de Mour en est un bon exemple, et sa construction se réalise à nouveau étape par étape. Partons donc de ce grand carré, que l'on découpe en 4 carrés plus petits. On numérote ces carrés de A à D, de sorte que si les numéros se suivent, les carrés se touchent. En reliant leurs centres, on obtient une première courbe, pas forcément très intéressante. À présent, découpons chacun de ces carrés en petits carrés. On va numéroter ces petits carrés de A à D, de sorte que la première lettre soit celle du précédent découpage, et que si les numéros se suivent, les carrés se touchent. En reliant dans l'ordre les centres, on obtient une nouvelle courbe un peu plus intéressante que la précédente. On peut poursuivre ce processus de découpage et de numérotation, ce qui donnera des courbes de plus en plus complexes. Après quelques étapes de ce processus, on obtient des courbes de gendans où il devient assez difficile de distinguer du premier coup d'œil, où se trouve son intérieur et où se trouve son extérieur. Mais après une infinité d'étapes, il n'y a même plus besoin de se poser la question. La courbe que l'on obtient est la courbe de mours, qui ne possède même plus d'intérieur. Tous les points du grand carré initial appartiennent en fait à la courbe. Ça devrait être un contre-exemple du théorème de gendans, mais ce n'est en fait pas le cas, puisque la courbe de mours n'est pas un lacet simple. C'est bien un lacet, car la courbe est refermée sur elle-même, mais il n'est pas simple, puisque presque partout, la courbe se chevauche. C'est donc l'existence de ces courbes monstres, sans tangente, qui rendent si difficile la preuve du théorème de gendans. Contrairement à ce que leur nom laisse entendre, les lacets simples sont loin d'être simples. Et encore, je ne vous ai pas parlé des courbes non rectifiables. Bref, Bolzano passerait une partie de sa vie à essayer de démontrer le théorème, mais ce n'est qu'en 1893 qu'une réelle preuve pointra son nez. Dans son cours d'analyse de l'école polytechnique, Camille Jordan donne une démonstration courte, simple et rigoureuse, de ce que l'on appellera à partir de là le théorème de gendans. La démonstration procède en deux temps. On commence par prouver que si la courbe est un polygône, alors le théorème est vrai. Pour comprendre comment cela fonctionne, prenons une courbe de gendans polygonale n'importe laquelle, et choisissons arbitrairement une direction du plan. Disons par exemple vers le nord-est. On choisit alors un point, n'importe lequel, extérieur à la courbe, et on trace la demi-droite partant de ce point vers la direction préalablement choisie. Si cette demi-droite passe par un sommet du polygône, on passe notre tour, sinon on compte le nombre de points d'intersection. Si celui-ci est père, on colorie le point en rouge, sinon on le colorie en bleu. Miracle, tous les points à l'extérieur de la courbe sont rouges, et tous ceux qui sont à l'intérieur sont bleus. Ce coloriage ne dépend en fait pas de la direction initialement choisie. Si par exemple un point a été colorié en rouge, c'est qu'un nombre père de points sont à l'intersection de la demi-droite et du polygône. En tournant cette demi-droite, le nombre de points d'intersection ne peut qu'augmenter de 2 ou diminuer de 2. La paraîté ne dépend en fait pas de la direction choisie. Pour les points pour lesquels on a passé notre tour, il suffit donc de choisir une autre direction, il y en aura forcément une qui ne passera par aucun sommet. Avec le même type d'argument, on peut voir que si un segment ne coupe pas la courbe polygonale, alors tous ces points seront de la même couleur. Tous les points extérieurs à la courbe sont donc à présent coloriés. Il y a d'un côté les points rouges et de l'autre les bleus. Il reste donc à montrer que tous ces points rouges ne forment qu'un seul bloc, l'extérieur, et que tous les points bleus forment un autre bloc, l'intérieur. Pour ça, il faut montrer que 2 points bleus peuvent toujours être reliés par un chemin qui reste en zone bleu, et de même du côté rouge. Prenons 2 points au hasard de l'ensemble bleu et relions-les par un segment. Si ce segment est inclus dans l'ensemble bleu, il n'y a rien à faire. Si ce segment passe par un sommet du polygon, on pourra toujours construire un petit détour qui reste en zone bleu. Si enfin le segment ne touche aucun sommet, alors il coupera le polygon un nombre père de fois. On peut alors, en suivant la courbe polygonale, fabriquer des chemins bleus reliant 2 à 2 les points d'intersection. Bref, si la courbe est polygonale, il y a bien une seule zone intérieure formée par les points bleus, et une seule zone extérieure formée par les points rouges, cqfd. Ce qu'il reste à faire, c'est montrer que n'importe quelle courbe peut être approchée suffisamment près et de la bonne manière par un polygon, ce qui permettra de conclure que n'importe quelle last c'est simple, possède bien un intérieur et un extérieur. Cette partie est assez technique, donc je vais passer mon tour ici. Bref, avec ces deux arguments simples, Jordan a démontré ce qu'il fallait démontrer. Tout pourrait être parfait, s'il n'avait pas cette sale habitude que peuvent avoir certains profs. Considérer que des parties de la démonstration sont tellement simples que l'on peut se permettre de les laisser en exercice à ses étudiants. Il ne s'est en effet pas embêté en rédiger la première partie. La réponse des mathématiciens contemporains ne se fera pas attendre. La démonstration de Jordan semble tout à fait correcte, mais est trop lacunaire pour pouvoir être réellement acceptable. Un peu comme quand votre prof de maths écrit en rouge justifié dans la marche de votre copie. De fait, la première démonstration rigoureuse du théorème de Jordan date de 1905, 12 ans plus tard, et a signé du mathématicien américain Oswald Weblen. Avec le temps, le nom de Weblen sera effacé et le théorème conservera celui de Jordan. Ce théorème, littéralement incontournable en topologie, a vu depuis bien d'autres démonstrations, sa validité est aujourd'hui incontestable. On peut être tenté de généraliser le propos. Si une courbe de Jordan, c'est-à-dire un cercle déformé dans le plan des limites toujours deux espaces connexes distincts, est-ce le cas pour une sphère déformée dans l'espace à trois dimensions, ou pour une hipersphère déformée dans un espace de dimension 42 ? Pour la dimension 3, cela semble intuitivement vrai, et pour la dimension 42, cela semble intuitivement rien du tout, puisque rien n'est pertuitif en dimension 42. La réponse ne se fera pas attendre très longtemps, puisque en 1912, Brewer démontre que oui. Le théorème de Jordan Brewer énonce donc une sphère déformée des limites deux espaces distincts connexes de l'espace tridimensionnel, et cela se généralise à n'importe quelle dimension finie, sans ajouter la moindre hypothèse. Mais il y a forcément un truc qui cloche, même si le théorème de Jordan Brewer est parfaitement correct, une généralisation aussi simple, ça doit cacher quelque chose de pas très clair. C'est en 1924 que l'on découvrira un objet qui met un petit peu à mal cette jolie généralisation. Étant donné qu'une courbe de Jordan délimit toujours le plan en deux régions, l'extérieur et l'intérieur, on peut se demander quelle est la forme globale de ces régions en question. On peut alors le prouver, et c'est le théorème de Schoenflies qui le dit, que l'intérieur est toujours un disque déformé, et que l'extérieur est toujours un plan privé d'un disque déformé. Bref, quand on déforme un cercle, on déforme en même temps son intérieur et son extérieur. À partir de la dimension 3, ceci n'est plus vrai. Quand une sphère est déformée, eh bien la forme de l'extérieur ne sera pas toujours équivalente à celle de l'extérieur d'une boule déformée. C'est donc là que les choses deviennent contre-intuitives. L'objet mathématique qui le prouve, c'est celui-ci, la sphère cornue d'Alexander. Pour le construire, on part d'une sphère sur laquelle on rajoute des cornes. Au bout de chaque corne, on rajoute une paire de cornes, au bout desquels on rajoute des paires de cornes et ainsi de suite, de façon à les entrelasser. Après une infinité d'étapes, on a une infinité de cornes, toute plus enchevêtrée les unes dans les autres. Ajouter des cornes, cela peut être fait par déformation. La sphère d'Alexander est donc à déformation près, similaire à la sphère initiale. Cependant, la sphère a été déformée de manière si particulière que son extérieur n'est plus simplement connexe, je m'explique. On dit qu'un espace est simplement connexe, si un élastique peut s'y déplacer où il veut sans la moindre entrave. L'extérieur d'une sphère est simplement connexe, et c'est une propriété qui est toujours conservée après déformation. Si un élastique est coincé dans les cornes de la sphère d'Alexander, il ne pourra pas s'y échapper. L'extérieur de cette sphère cornue ne peut pas être obtenu par déformation d'un extérieur de sphère, puisque ce n'est pas aussi simplement connexe que prévu. La généralisation à la troisième dimension du théorème de Jordan n'est donc pas aussi évident que l'on aurait pu croire. Bref, tout n'est pas si évident que ça dans le théorème de Jordan. Le contre-exemple un peu exotique qu'est cette sphère d'Alexander n'aurait jamais été découvert si on s'était contenté de considérer évident ce qui n'était pas vraiment. C'est donc pour cela que des mathématiciens passent leur temps à chercher à démontrer rigoureusement tout ce qui leur passe sous le nez pendant que les autres pointent les erreurs de rigueur des premiers. Démontrer un théorème, c'est donc non seulement s'assurer qu'un énoncé mathématique est vrai, mais c'est surtout chercher à comprendre pourquoi il est vrai et ainsi mieux comprendre les objets mathématiques que l'on étudie. La géométrie hypermolique, par exemple, n'aurait jamais été découverte si des générations de mathématiciens ne s'étaient pas écharpés à vouloir prouver le cinquième Bostula de Clid. De même, la notion incontournable de coroupe en algèbre est le fruit du travail de mathématicien qui ne voulait pas se contenter de résoudre des équations de manière approchée. En mathématiques, les démonstrations sont si importantes que les résultats. Voilà pourquoi les mathématiciens sont si tatiants. C'est ça la morale de l'histoire.