 اسلام علیکم لیکچر نمبر 39 آج شروع کرتے ہیں اس کالکلس کورس کا اور اب اندازہ بھی ہو رہا ہوں گا آپ کو تھوڑا بہت کے اب ہم تیزی سے اس کورس کے اختطام کی طرف پہنچنے والے تو اب کوئی پانچھے لیکچرز غالبن رہ گئے ہیں تو اس میں اب کالکلس کی جو کہنا چاہیے ہیوٹی ہیویٹس جو باتیں ہیں وہ ہم کچھ شروع کریں گے جو بیسک بی بی کالکلس تھی جیسے ہم کہنا چاہیے میرے اپنی ان میں کمسکم جو بی بی کالکلس تھی وہ ہم کر چکے ہیں اب تک بی بی کالکلس کیا تھی ٹوینس تھے ایک تھا جناب ڈیفنچل کالکلس اور ایک تھا انٹیکرل کالکلس تو ان دونوں ٹوینس کو تو ہم ہندل کر چکے ہیں we have looked at them سمجھ گئے سمجھ آگئی ساری بات چیت کے بہی کیا ہے کیا مسئلین کا اور اب یہ ہے کہ جو آخری جو چھے سات لیکچرز ہیں ان میں ہم تھوڑی سی بات چیت کریں گے ابھی بھی جو نیکس ابھی آج کے جو لیکچر اس میں ہم انٹیکرلس کی ہی بات کریں گے انٹیکریشن کی بات کریں گے لیکن اخاص point of view سے اور اس point of view سے یہ لیکچر بھی اتنا مشکل نہیں ہوگا کیونکہ again we will be talking about انٹیکرلس but یہ کہ اس کے بعد کے جو لیکچرز ہوں گے اس میں ہم بیسکلی بات کریں گے جیومیٹرک سیریز سیکونسز پاور سیریز وگرہ کی اور یہ دیکھیں گے کہ یہ چیزے غالبن آپ شاہت پہلے دیکھ چکے ہوں گے اپنے پشلے ماہت کے کورسز میں تو اس میں ہی ہوگا کہ ہم دیکھیں گے کہ ان چیزوں کے اوپر ان کی تھوڑے سی تھیوری سمجھیں گے کیا ہوتی ہے کہ پاور سیریز کیا چیز ہے جیومیٹرک سیریز کیا چیز ہے سیکونس کیا ہوتی ہے اور ان کے بارے میں کنورجنس کا ایک idea ہوتا ہے وہ کیا ہے اس کے بارے میں بھی غور سے دیکھیں گے اور ظاہر ہے جب کنورجنس کی بات کریں گے تو آپ دیکھیں گے کہ کالکلس کا topic جو ہے وہ آٹمیٹکل اس کے اندر شامل ہو جائے گا اور ہم پھر اس میں limits کی بات ایک دم سے شروع کر دیں گے تو آپ بیسکلی دیکھیں گے کہ جو باتیں ہم نے پہلے ڈی بریکلی کی تھی آپ لوگوں نے پشلے کورسز میں کیوں گی اس کے اوپر اب ہم next lectures میں کالکلس سپلائے کریں گے اور دیکھیں گے کہ ہمارے پاس using the tools and technology of کالکلس ہم ان چیزوں کے بارے میں ڈی بریک چیزوں کے بارے میں بہت کچھ اور کہہ سکتے ہیں تو یہ مزدار چیزیں ہیں ہمیں نے ان کو heavy weights کہا ہے تو heavy weights this point of view سے کہ میرے خیال سے ہر ایک جب پہلی بار جو بھی میں نے بھی دیکھیں تھی یہ power series وغیرہ سیکوانسز تو میں تھوڑا سا انٹمیڈیٹ ہوا تھا تھوڑی سی پرشانی ہوئی تھی کہ یہ کیا چیز آ گئی لیکن میرے خیال سے کہ جب کالکلس اس پر اپلائے کریں گے تو ہم سب دیکھیں گے کہ یہ چیز اتنی مشکل نہیں ہے جتنی پہلے ہمیں لکتی تھی یہ لکتی ہوں گی go کے امید تو یہ ہے کہ in their original form algebraic form میں بھی اتنی مشکل نہیں لگنی چاہیے ہیں but again اگر ہیں تو کالکلس تھوڑا سی simplify ہو جائیں گی تھوڑی understanding بہتر ہو جائے گی تو اس کی بات چید ہم اپ کرنے کریں گے شروع کریں گے لیکن پہلے ہم پات کریں گے ڈیگرلز کی اس لیکچر میں کونس ڈیگرلز کی اب آپ سوچ رہے ہوں گے کہ پیشل لیکچر میں تو میں نے کہا تھا کہ بہی ہم we are done with the integration part تو as usual جیسے میں نے کہی دفعہ پہلے بھی کیا ہے لیکچر میں کہ میں کہتا ہوں آئی ڈیگرلز دیکھتے ہیں اور پہلے چلتا ہے کہ ہم ایک آثیوریٹکل بات کرتے ہیں تو اسی طرح سے یہاں پہ وہی سیچویشن ہوئی ہے کہ ہم کریں ٹھیکے definitely ختم ہو رہے یہ بات لیکن میں نے کہا تھا کہ ختم ہو چی کیا ڈیگرلز کی لیکن ایک چیز رہ گئی ہے جس کو آج ہم دیکھیں گے اور really اگر دیکھا جائے تو آج کا topic جو ہے وہ ڈیگرلز سے تو ہے related لیکن اس کے جو main theme ہے وہ بیسکلی limits کے حوالے سے ہے تو یقینان main theme ڈیگرلز بھی ہے اس میں شامل لیکن limits کا چھونکہ ڈییس میں ہے تو تھوڑی سی ہم پیچھے کی طرف جا رہے ہیں ڈیفرنچل کالکلس کی طرف تو خیر وہی بات ہے کہ it's a mixture of both differential and ڈیگرل کالکلس اور وہی بات ہے کہ ہم جو پرانے twins جسے میں کہا رہا تھا ابھی ڈیگرلز کے وہ ہم نے دیکھتے وہ ان کو پھر سے دیکھلتے ہیں ایک طرح کے combination میں یعنے ہم دیکھیں گے دونوں ایک ساتھ آرہیں اور پھر اس کے بعد ہم دیکھیں گے آگے چلکے application of this calculus to other stuff وہی بات ہے کہ جا convergence وغرہ کی ہم بات کریں گے آگے چلکے sequences اور series کی اس میں بھی یقینان ڈیگرلز اپلائے ہوگا integration ڈیگرلز اپلائے ہوگی لیمٹ سپلائے ہوں گے لیکن چونکے اب ہم اتی اچھی طرح سمت چکے ہیں ان تھی ساری چیزوں کو تو ہمیں اتنا مشکل نہیں لائے گا باکی چیزوں کے بارے میں بات کرنے کے بارے میں ہمیں اتنی پرشانی نہیں ہوگی اچھا جی تو یہ تو ہوگئے تھوڑی سی آج کی ریملنگ جو کرنی تھی مجھے شروع میں لیکچر کے اور اب ہم شروع کرتے ہیں آج کا لیکچر جو اس کا تو اس کا بیسکلی طوپک ہے improper integrals ڈیگرلز ایک خاص کسم کے ڈیگرلز ہوتے ہیں ان کو improper کہلا کہا جاتا ہے اور کیا وجہ ہے کہ انہیں improper کہتے ہیں اور سوالی ہے کہ water proper integrals and water improper integrals تو ابھی جب ہم دیفائن کریں گے improper integrals کو تو automatically سمجھا جا گا کہ proper integrals کیا کن سے ہونے چاہیے اور کیا ہونے چاہیے تو آئیے تھوڑی سی کچھ چیزے لکھتے ہیں اور دیکھتے ہیں کہ آج کیا بات چیت کریں گے ہم تو جناب طوپک ہے آج کا improper integrals اور آپ کے دو بیسکلی طوپک ہیں دو اجندہ پر دو point ہیں ایک ہے جناب integrals over infinite تو یہ جو پہلی چیزہ an integrals over infinite integrals یہ ایک قسم کا improper integrals ہے اس کو دیکھیں گے تھوڑی ڈیٹیل میں اس کے بعد ہم دیکھتے ہیں جناب integrals whose integrans become infinite اور ان کے بارے میں بھی دیکھیں گے یہ بھی ظاہر ہے improper integrals ہیں تو اس کا کیا مطلب ہوتا ہے that too is something we will see today اچھا جی تو یہ ہم نے دیکھ لیے دو طاپ کی چیزے دو طاپ کے integrals جن کے بارے میں آج بات کریں گے تو سب سے پہلے دیکھتے ہیں انٹیکرال جس میں ہم نے کہا تھا کہ ایک ایسا انٹیکرال ہوگا جو ڈیفائن ہوگا ایک infinite ڈیٹروال کے اوپر تو اس سے کیا مراد ہے یعنی پہلے ہم نے کس طاپ کے انٹیکرال سے کہتے ہیں یہ سوال یہاں پہلے اٹھانا چاہیے آپ کو یاد ہوگا کہ ہم نے ایک general indefinite ڈیٹروال جس ہم کہتے تھے وہ دیکھا تھا وہ ہم نے interpret کیا تھا as the antiderivative of a function تو یعنی وہ والا function جس کو آپ ڈیفنشیٹ کریں تو a given function آپ کے پاس آتے اس کے بعد ہم نے definite ڈیٹروال کی بات کی تھی تو definite ڈیٹروال کیا چیز تھی it was basically the concept یہ تھا اس کا کہ آپ کا ایک ڈیٹروال آپ کو دیا ہے finite number a سے لیکن number b تک اور اس کے اندر ایک continuous function ڈیفائن تھا اس continuous function کو آپ نے دیکھ کے کہا کہ اس کے نیچے جو ڈیٹروال بن رہے اس کا ڈیٹروال کرنا چاہے ہم تو کیسے کریں گے اور ہم نے دیکھا تھا کہ وہ ظاہر definite ڈیٹروال اس کے لیے ہم نے ڈیفائن کیا تھا تو that was a definite ڈیٹروال definite in the sense کے ایک definite ڈیٹروال آنسار آپ کے پاس آتا تھا جب اس کو آپ ایویٹ کرتے تھے ڈیٹروال کو تو ایک numerical value اس کی آتی تھی جس کم کہتے تھے کہ یہ اس ڈیٹروال کی value ہے therefore it was a definite ڈیٹروال اب جو ہم بات کر رہے ہیں اب ہم کہہ رہے ہیں جی ایک ڈیٹروال ہے جو ایک infinite جو ہے آپ کا ڈیٹروال اس کے اوپر defined ہے یعنی کہ جیسے پہلے ہم نے جیسے میں نے ابھی کہا اور پہلے ہم نے دیکھا کہ a سے لے کے ڈیٹروال تھا finite ڈیٹروال اس پر ہم نے ایک continuous function ڈیفائن کیا تھا اور اس کا نیچے جو ڈیٹروال نے اس کا ڈیٹروال مالون کیا تو اب یہ ہے سوال کہ جی اگر میرے پاس ایسا ڈیٹروال ہو جو basically کسی finite value سے شروع ہوتا ہے a سے اور پھر extend کرتا ہے all the way to positive infinity for example ہوسکتا ہے minus infinity کی طرف بھی جائے but ہم شروع میں دیکھیں گے پہلے تھا ہم یہی فوکس کریں گے جی positive infinity کی طرف اگر اپروچ کر رہے تو کیا ہوگا یعنی کہانے کا مخصد یہ جو ڈیٹروال ہے وہ a سے شروع ہوتا ہے finite ڈیٹروال سے goes all the way to positive infinity تو یہ جو ہے situation اس کو ہم کہتے ہیں کہ اگر ہم اس میں کہیں کہ یہ ڈیٹروال ہمارے پاس آگیا ہے a to positive infinity اس کے اوپر میں a continuous function ڈیفائن کرتا ہوں اور اس کے continuous function کے نیچے جو ڈیٹروال بن رہے over this ڈیٹروال a to positive infinity اس کے اس ڈیٹروال کا میں ڈیٹروال معلوم کرنا چاہوں تو وہ کیا ہوگا اور یہ اس سوال کا جواب یہ کہ جی it's obviously simple سی بات ہے کیونکہ ڈیٹروال کو ڈیٹروال ہم کرتے ہیں as a definite integral تو یہاں پر ہم تھوڑا سوال یہ پوچھنا ہے کہ definite تو ٹھیک ہے ڈیٹروال لگ بات ہے لیکن اگر میرا outer limit جو b تھا پہلے وہ اگر positive infinity ہو گئے then how do we tackle that problem تو اس کے لیے ہم یہاں پر دیکھیں گے کہ ہم اسی طرح سے tackle کریں گے جس طرح سے naturally ہمیں کرنا چاہی ہم کہیں گے کہ جی ہمارے پاس definite integral کا idea ہے تو اس میں ہم b کی جگہ infinity ڈیٹروال دیں گے اور ہم اپنا integral solve کر لیں گے تو یہاں پر سوال یہ پیدا ہوتا ہے کہ کیا ایسا integral solve ہوتا بھی ہے یا نہیں ہوتا and that is the whole idea that we want to discuss in this lecture تو یہ پھر آج تھوڑا سا شروع کرتے ہیں کچھ چیزے لکھنا شروع کرتے ہیں ایسا کرتے ہیں کہ definite integral پہلے لکھ لیتے ہیں اور اس کے بعد پھر دیکھیں کہ اس سے ہم ایک improper integral کیسے دیفائن کریں گے تو یہ دیکھیں سب سے پہلے دیکھیں کہ let's say we have a continuous function f and as we have seen before that when we write down the definite integral a to b f of x dx اس کو ہم نے جب بھی پہلے لکھا تھا تو یہ ہی اسم کیا تھا کہ جو interval ہے a سے لے کے b تک وہ ایک finite interval ہے تو سوال یہاں پر اب یہاں انٹریوز ہم کرنا چاہ رہے ہیں کہ what if we look at the interval the number a all the way to positive infinity and therefore if I am looking at this integral at this interval then I should have the corresponding integral as integral a to all the way to positive infinity f of x dx اسی طرحاں جس طرحاں پہلے میں نے a to b لکھا تھا اب میں نے لکھ دیا ہے a to positive infinity تو یہ جناب تھوڑی سی چیزیں ہم نے لکھی اور یہاں سے تھوڑا سا آپ کو idea ہوا ہوگا کہ کیا ہے یہ improper integral definitely integral ہمیں پتا ہے ایک finite interval پر ڈیفائنڈ ہوتا ہے it represents the area under the graph of a continuous function اب ہم نے کہا جی ڈیفائنڈ کر دیں one of the end points goes to positive infinity جو ڈیفائنڈ تھا now we are defining a new integral which is what we call the improper integral تو سوال یہ کہ ٹھیک ڈیفائنڈ تو کر دی ہم نے naturally کیونکہ definite integral کی ڈیفائنڈ ہمارے سامنے ہے تو ہم نے کہا جی ڈیفائنڈ کی جگہ positive infinity ڈال دیں اب سوال یہ ہے کہ جیس کو evaluate کیسے کر سکتے ہیں اور اس کی پھر interpretations کیا ہوں گی what does it mean پہلے تو یہ تھا کہ definite integral میں جب ہم ڈیفائنڈ کرتے ہیں تو ہم کہتے ہیں جن جواب آیا یہ ایک ہے آپ کے پاس area under the graph of the given function تو اب اس کا مطلب کیا ہوگا یہاں پر جب ہم ایک infinite interval پر بات کریں گے تو یہ کچھ چیزیں جو ڈیفائنڈ کرتے ہیں تو اس ان چیزوں کو دیسکس کرنے کے لئے ایسا کرتے ہیں کہ ایک definition بناتے ہیں کیونکہ ہم نے ایک term تو ابھی لکھ دیتی تھوڑے دیر پہلے کہ ڈیفائنڈ ڈیگرال ہمارے پاس ہے a سے b تک اور f of x dx infinite interval کی بات ہوئی تو ہم نے کہا کوئی بات نہیں a سے لے کے positive infinity تک آپ ڈیگریٹ کر لیں f of x dx کو لیکن جب ہم نے یہ لکھا کہ ڈیفائنڈ ڈیگرال ڈیگرال from a to positive infinity f of x dx تو ہم نے یہ تو لکھ دیا کہ ٹھیک ہے I have written that down it's some terminology but what does it stand for what does it mean you have to define it somehow کیونکہ definition ڈیفائنڈ ڈیگرال کی تو ہمیں پتا ہے اگر آپ کو یاد ہو کہ this was a limit of a certain summation ہم نے بہت دفعہ دیکھا ہے بلکے پچھلے سارے لیکٹرز میں ایک دیکھا تھا کہ ایک خاص کی سمیشن لیتے ہیں اور اس کا لیمٹ لیتے ہیں تو ڈیفائنڈ ڈیگرال آپ کے پاس آجاتا ہے یہ جو نیا ڈیگرال ہے جسے ہم improper ڈیگرال کہہ رہے ہیں of the first type یہ جو ابھی دیکھی اس کو ہم کس طرح ڈیفائنڈ کریں گے ڈیفائنڈ کر لیتے ہیں and we'll see that it actually makes sense تو آئیے لکھ لیتے ہیں اس کو ڈیفائنڈ کو اس کی definition اس کو اس طرح سے لکھتے ہیں تو آپ کا ڈیگرال ہے ڈیگرال ہے a سے ڈیگرال ہے positive infinity تک f of x dx کا اس کو ہم ڈیفائنڈ کرتے ہیں as a limit as l goes to positive infinity of the ڈیگرال all the way to l f of x dx تو یہ آپ کی definition ہو گئی اس improper ڈیگرال کی تو definition سے مطلب یہ now we will be able to do some calculations with this definition تو اس میں یہ کیا ہے ہم نے definition میں کیا دیکھا ہے یہ ہی دیکھا ہے کہ جی جو ڈیگرال ہے ایک infinite ڈیگرال پر آپ نے ڈیفائنڈ کیا تھا a سے لکہ positive infinity تک جس میں continuous function f of x ہے تو اس کو کیسے ڈیگرال کریں گے اس کو ہم ایسے کریں گے کہیں گے جی جو positive infinity آپ نے لکھا ہوا تھا upper limit کے طور پر let's replace that upper limit with some finite ڈیگرال some finite ڈیگرال and we called it ڈیگرال وہ ہم نے لکھ لیا تھا تو ہمارا جو اس کا مقصد اس کا یہ تھا لکھنے کا کہ ہمارا جو ایک طرح کا undefined ڈیگرال تھا a سے لکہ positive infinity تک اس کا ہم نے اس کو convert کر لیا ہے into a similar جس چیز کو ہم دیکھ چکیں کہیں گے دیفائنڈ ڈیگرال میں یعنی a سے لکہ ایک finite ڈیگرال تک ڈیگرال تک ہم اس کو ڈیگرال کر سکتے ہیں لیکن ساتھ میں ہم نے یہ چیز کیا کیونکہ ظاہر ڈیگرال تو کئی نہیں آری اس ڈیگرال جو ہم نے a سے لکہ ڈیگرال ڈیگرال تک وہ ہم لانی ہے اس میں تو ہم یہ کرتے ہیں کہ ہم اس ڈیگرال کو پہلے ڈیگرال کریں گے a سے لکہ ڈیگرال تک اور پھر ہم کہیں کہ جو آپ کا جواب ہے اس کو تو اب یہ ہم نے ڈیفائن کر لیا ہے اس کو اس طرح سے اور اسی طرح سے ڈیس ڈیس ڈیس ڈیفنیشن کو استعمال کرتے ہوئے اب ہم ڈیگرال تک ڈیگرال تک کچھ جس میں ہم دیکھیں گے ڈیگرال ہم ڈیگرال کریں گے ڈیگرال تک ڈیگرال تک ڈیگرال تک ڈیگرال تک اچھا تو اس سے پہلے کہ کوئی ڈیگرال کریں ص)! ڈیگرال تک ڈیگرال تک ڈیگرال تک ڈیگرال ڈیگرال تک سMusa ڈیگرالontin ڈیگرال تک سMusa ڈیگرال ا میں ویان Mueller لیکن ایک مقصد یہ کہ اگر آپ انتگرل کو ایلیوٹ کرتے ہیں ایلے کے ڈک اور پھر ایک فنکشن آتا ہے in terms of ڈ پھر اس کا آپ لیمٹ لیتے ہیں از ڈ گوز to infinity تو اگر ڈ کوئی ویلیو آتی ہے آپ کے پاس تو اس ویلیو کو آپ کہتے ہیں کہ جی یہ ویلیو میرے اس امپروپر انتگرل کی ہے ایلے جو ایلے کے positive infinity کا انتگرل تھا اس کی جو finite value آئیے this is the value ایلے جو finite value آئی تھی آپ کے پاس limit سے you will assign that value to the improper integral and the terminology گوز کہ جی ہم کہیں گے کہ in this case when you do get a finite value you say that the improper integral converges to this finite value converges سے مرادی ہے کہ ایک طرح سے آپ کہتے ہیں کہ جی آپ بہار سے کہیں سے شروع کرتے ہیں ایسے اور you sort of converge towards something جیسے گاڑی کبھی چلائیں موٹر وی پہ یا ہی وی پہ تو آپ دیکھتے ہیں کہ درختہ گر ساتھ ساتھ لگیں تو دور کے پرسکٹر میں آپ دیکھتے ہیں کہ آپ کی نظر جو ہے وہ convert جو رہی ہے to a single point that's the kind of idea we are talking about here اچھا ایک اور چیز ہے اس کے بارے میں بھی کچھ لکھلتے ہیں تو آئیے دیکھتے ہیں if the limit does not exist that's a good question what happens if the limit in the definition does not exist then we say that the improper integral diverges and no finite value is assigned سمپل سی بات ہے کہ اگر آپ کے پاس یہ جو انتگرل آیا آپ نے اس میں جو limit تھا آپ نے evaluate کیا the result turns out to be some infinite value so basically we are saying that the limit does not exist تیک جی لیمٹ جب ہی exist کتا ہے جب کو finite value آتی ہے تو آپ کہتے ہیں کہ جی انتگرل ہے improper integral it's actually diverging it diverges and there is no finite value to it and we don't have an answer تو یہ کچھ ایک تھوڑیزی ٹرمانوڈیز تھی جو ابھی ہمیں help کریں گی جب ہم calculations کرتے ہیں using this definition ساتی ساتھ یہ بھی کر لیتے ہیں کہ جی اب ہم چونکہ بات کری رہے ہیں اس improper integral کی اور اس کی definition جو ہم نے بنائی ہے تو یہ جو definition ہے what does that actually represent یعنی جو لیمٹ لیے رہے ہیں آپ ایک definite integral کا from a to l what does that integral represent well it basically represents the area under the curve area under the graph of the continuous function f over the interval a to l اور اس کے بعد ہم یہ کہتے ہیں جب limit لیتے ہیں کہ let l go to infinity so basically آپ ایک طرح سے آپ کہہ رہے ہیں کہ جی ل جو ہے وہ کوئی بھی میں اپنی value لے سکتا ہوں انٹرول بہت چھوٹا بھی ہو سکتے اور اس کے بعد میں کہتا ہوں l کو diverge کر دیں towards infinity so that's the idea اور اس کی ایک پکچھے بنالتے ہیں show you what basically this integral represents تو یہ آپ کے سامنے ایک تصویر ہے جناب تو اس میں we can see that the integral from the definite integral before the limit before we take the limit which is a to l f of x dx represents the area under the curve of the function f of x over the interval a to l تو جناب یہ جب اس انٹگرل کو اب آپ اگر اس کا limit لیں گے یہ جو آپ نے ابھی دیکھا کے definite انٹگرل تو آپ نے دیفائن کر دیا over the limit over the interval a to l اب اگر آپ کہتے ہیں let l go to positive infinity تو آپ کہہ رہے ہیں کہ آپ کا جو انٹرولہوہ extend کر رہا ہے infinity کی طرف so you're taking you're basically finding the you're extending your function slowly towards positive infinity and looking at what kind of area is being developed and you're trying to measure that area تو اس کی پکچھر بھی آپ کے سامنے دیکھ لی جے کہ the idea is that when you take the limit of the definite integral a to l and you get basically the idea تو اس انٹرول پہ آپ معلوم کرنا چاہ رہے ہیں area under the given curve تو جناب یہ ہوگئے آپ کی باتشیت یہاں پر یہاں پر چھوٹی سی ڈیپیلیشن یہ ہے کہ یہ جیویمیٹرک interpretation ہے اس کی اس امپروپر انٹگرل کی وہ جب اس وقت کام کرے گی اس پر تھوڑا سا غور کرنا ہوگا اور آپ لو خود کر سکتے ہیں کہ جب جو function ہے آپ کے پاس اف that function is obviously it has to be continuous because this is this this is how we define definite integrals first of all اور اس کے بعد یہ ہوگا کہ یہ function جو ہے یہ نار نگیٹف ہو یعنی مطلب یہ کہ نار نگیٹف سے کہ اس کی جو values ہیں they should be above the x axis تب یہ definition جو جیویمیٹرک interpretation ہے اس کی اس definition کی that will make sense چی کی جی تو اب ایسا کرتے ہیں کہ یہ ہم نے باچید کر لی تھوڑی سی definition بنالی کچھ ٹرمینولوجیز بھی کر لی ہیں اب یہ کرتے ہیں کہ اب example جس کی تھوڑی در پہلے بات کی تھی وہ آپ شروع کرتے ہیں اور دیکھتے ہیں کہ کیسے کالکلیشن کی جاتی ہے جب ایک امپروپر انٹگرل آپ کے سامنے ہو یہ دیکھتے ہیں یہ جناب example ہے آپ کے سامنے تک dx over x square کا یہ برہا بر ہے limit as l goes to positive infinity of the definite integral one to l dx over x square but we know that this is just equal to the limit as l goes to positive infinity of the function one minus one over l یہاں پہ س strap بات ہے کہ one over اگر جو ہمیں پتا ہے لیمٹس کیسے لیتے ہیں اس کے کچھ رولز تھے تو یہاں پر اگر 1 over L کی جگہ اس کی L کی value جہاں وہ انفنڈی کی طرف جاری ہے آپ value's پلگن کر کے دیکھ لیجے تو result آتا ہے 0 because 1 over some huge number is 0 and the final result is just equal to 1. تو جناب یہ آپ کے پاس آگئی ایک example of how to evaluate an improper integral using the definition we just made اور اس میں یہ دیکھیں کہ اس example میں چونکہ اس کی value 1 آئی تھی تو اب ہم کہا سکتے ہیں کہ جو the given integral the given improper integral converges to the value 1 so that's good کیونکہ اب اس improper integral کی value ایک single number finite number آ رہی ہے جس کو ہم کہتے ہیں کہ assign کر دیتے ہیں that's the value we're looking at ایک اور example کرتے ہیں تو اس میں بھی ایک improper integral ہے اور اس کو evaluate کر کے دیکھتے ہیں کیا ہوتا ہے تو آئی دیکھتے ہیں یہ جناب آپ کے سامنے ہے example evaluate the improper integral 1 to positive infinity of the function 1 over x dx یا جس کو ہم لکھ سکتے ہیں as dx over x also تو اس کا سلوشن ہم اس طرح نکھ کریں گے کہ جی ایکی step میں کر لیتے ہیں بجائے اس کے کیا ہم پہلے definite integral کو evaluate کریں ایک آل تک let's just do it in one step and the way to do it is to say the integral 1 to positive infinity dx over x equals limit as l goes to plus infinity positive infinity of the integral 1 to l dx over x equals the limit as l goes to infinity of log natural of x evaluated at 1 and l using the fundamental theorem of course and we get the limit as l goes to positive infinity of the log natural of l یہاں سے دیکھنے کی بات ہے کہ سولان تو log natural l minus log natural 1 ہونا چاہی تھا لیکن log natural 1 جہاں وہ 0 ہوتا ہے لہذا we don't worry about it we just get the limit as l goes to positive infinity of log natural l and from what we know of these things we see that this is equal to positive infinity تو یہ لہذا ہم نے limit لیا تو یہ plus infinity آیا اس میں یہ ہے کہ اس کو graph کر کے اگر آپ دیکھیں if you graph the function log natural x اور پھر can let x go to positive infinity تو آپ دیکھیں کہ واقی the limit goes to positive infinity y value جہاں in correspondence to x going to positive infinity also go to positive infinity لہذا ہمارے پاس ایک اس کا جواب آ رہا ہے positive infinity کا which means that this improper integral that we just saw actually diverges and it does not have any finite value so we just say that the integral diverges اچھا جی تو یہ دو examples تو ہم نے دیکھ لیں ٹیک ہے ان دو examples میں ایک بڑے مزے کی بات ہے ولکہ خاص طور پر جو next example ہم نے کی second example جو کی that is very interesting اس کے بارے میں تھوڑے سی بات چیت کر لے تھے ہم نے integrate کیا تھا one over x کو so let's see what we are actually talking about here اچھا یہ جو دو examples ہیں ان میں سب سے پہلے اس میں دو بڑے مزے کی باتیں ظاہر ہوتی ہیں تو پہلے تو پہلی بات کو دیکھ لے تھے جو ان دون example سے related ہے مخصد یہ ہے میرا کہانے کا کہ ہم نے یہ دیکھا ابھی جو examples کی کہ جناب دو functions تھے ایک تھا one over x ان دونوں کو ہم نے integrate کیا over the same infinite interval one to positive infinity لیکن go کی دونوں functions ملتے جلتے ہیں یعنی one over x or one over x square look alike but there is such a big difference in the two that one of them gave a finite answer لیکن دوسری طرف جو آپ کی دوسرا function تھا one over x اس کو جب آپ integrate کرتے ہیں اسی انٹرول پہ تو ایک divergent answer آتا ہے ایک non-finite answer آتا ہے تو جس کو ہم positive infinity کے طور پہ ہم نے لکھا تھا تو سوال یہ ہے کہ یہاں پہ کیا situation ہے کیا ہورا ہے یہاں پہ why is it کہ ملتے جلتے functions ایک انٹرول پہ آپ integrate کرتے ہیں تو ایک کا finite answer آتا ہے دوسرے کا one over x دوسرے کا one convergent ہوتا ہے solution one divergent ہوتا ہے ایک کا finite answer آتا ہے ایک کا non-finite infinite answer تو اس کو سمجھنے کے لیے میرے خار سے سب سے پہلی بات تو یہ کہ آپ کو appreciate کرنا چاہئے کہ واقی یہ ایک اچھا سوال ہے کہ یہ کیا situation ہے کہ ملتے جلتے function ہے لیکن ایک میں square کر دیں تو ایک اس کو integrate کریں square کر کے denominator کو تو finite آ جاتا ہے جو آپ دوسی صورت میں نہیں آتا جہاں پہ square نہیں کرتے تو اس کو سمجھنے کے لیے ہمیں ایسا کرتے ہیں کہ سب سے پہلے تو ایک geometric interpretation دیکھ لیتے ہیں let's draw some pictures and see what's going on تو یہ آپ کے سامنے جو تصویر ہے اس پر نوٹ کیجئے کہ یہ دونوں جو graphs دونوں جو functions ہیں y equals one over x square اور y equals one over x ان دونوں کے graphs آپ کے سامنے اور یہ دونوں graphs ہیں جناب defined over the interval one to positive infinity اس میں دیکھئے کہ graph سے ظاہر ہوتا ہے کہ جو one over x کا graph ہے وہ اس کے comparison میں one over x square کا جو graph ہے وہ بہت تیزی سے zero کی طرف جا رہا ہے یعنی اس کی جو y values ہیں graph کی graph کے اوپر جیسے جیسے x infinity کی طرف جاتا ہے وہ اس کے y values ہیں corresponding one over x square کی وہ بہت رپٹلی zero کی طرف جاتی ہیں in relation to the graph of y equals one over x تو اس سے کیا ظاہر ہوتا ہے اس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ آپ کا جو squaring وہ ہے کیا نا چاہیے function چونکہ وہ zero کی طرف اپروچ کر رہا ہے بہت رپٹلی لہذا آپ کے پاس ایک finite جواب آتا ہے اس کا جب اس کو آپ انڈیکریٹ کرتے ہیں اور جو دوسرا والا ہے اس کا infinity آتا ہے کہنے کا مخصد یہ ہے کہ چونکہ one over x square کی values بہت رپٹلی zero کی طرف جا رہی ہیں تو اس کو اس طرح سے imagine کیجئے کہ آپ کی جو اسولان تو یہ ہے کہ چونکہ interval infinite ہے تو جو گراف ایسے بنا رہا ہے one over x square کا وہ obviously اگر x جگر zero کی value ڈالیں گے تو that I'm sorry x جگر zero کی value نہیں ڈالیں گے بلکہ آپ infinity کی value ڈالیں گے یعنی x کی value بہت بڑی کوئی ڈالیں گے تو آپ کے پاس zero کا result آئے گا limit میں جب one over infinity کی بات ہوتی ہے تو we're talking about the idea as being equivalent to zero approaching zero that value is approaching zero تو مخصد یہ ہے کہ squaring values square values وہ بہت تیری سے جاتی ہیں zero کی طرف compared to non square values اور یہاں پے ایک طرح سے کہہ لیں قدرت کا کمال ہے کہ just squaring کی وجہ سے ایک طرف آپ کی solution یا جو انٹگریٹ کرتے ہیں آپ اس interval پے اس function کو تو جواب جو آتا ہے squaring میں function میں وہ آپ کا finite ہو جاتا ہے just because of the fact کہ وہ بہت تیری سے zero کی طرف اپروچ کر رہی ہیں values اور جب آپ non square دیکھتے ہیں یعنی اس کا one over x دیکھتے ہیں تو چونکہ وہ slowly zero کی طرف اپروچ کر رہی ہے لہذا you get infinity یعنی divergent solution تو یہ ایک بڑی مزدار بات ہے سوچنے کی بات ہے کہ کافی سوچنے کی بات ہے بلکہ اس کے یعنی کہ میں نے تو ایک explanation آپ کو اپنی طرف سے دے دیے لیکن آپ خود اگر غور کریں کہ واقعی یہ کیا بات ہوئی کہ تھی کہ ایک تیری سے اپروچ کر رہا ہے zero کی طرف اور دوسرا نہیں کر رہا تو اتنا بڑا فرق پڑھ جائے گا کہ ایک طرف آپ کا finite answer آگیا ایک طرف infinite something to really think about for a while تو آپ اس کے بارے میں سوچیے گا میں بھی سوچتا رہتا ہوں it's an interesting fact but definitely جتنا اس پر غور کریں گے اتنا ہی زیادہ اس میں سے آپ کو entertainment حاصل ہوگی میرے خال سے اچھا جی تو یہ تو ہم نے دیک لی ایک انٹرسٹنگ اور انٹرٹیننگ سی بات جو اس امپروپر انٹیکرلس سے نکلی تھی ایک اور بڑے مزے کی بات ہے یہاں پہ جو امپروپر انٹیکرلس کے ہواہلے سے نکلتی ہے تو اس کو بھی دیکھ لیتے ہیں اب ہم چونکہ انٹیگریشن کی بات کر رہے ہیں تو ابھی جو ایکزمپلس کے اس میں ہم نے اس کو انٹرپریٹ کیا تھا as finding the area under those two specific curves یعنی one over x or one over x square تو ان کے گراف کے نیچے جو ریجن تھا اس کا ایریہ معلوم کیا تھا over the انٹروال one to positive infinity اب تھوڑا سا ایسا کرتے ہیں کہ let's think about volume ہم دیکھ چکے ہیں کہ volume جو ہے وہ ایک definite انٹیکرل ہی کے ذریعے معلوم کیا جاتا ہے کسی بھی solid کا یہ ہم کافی detail میں دیکھ چکے ہیں تو اب ہم یہ جاننا چاہتے ہیں کہ اگر اس طرح کا امپروپر انٹیکرل ہے ہمارے پاس یعنی ایک infinite انٹروال دیا ہے تو اس پہ میں اگر ایک given گراف کے نیچے جو ریجن ہے اس کو اگر روٹیٹ کروں for example around x axis تو ایک result in solid بنتا ہے اس solid کا volume کیا ہوگا تو اس کے بارے میں تھوڑی سی بات کرتے ہیں تو ایسا کرتے ہیں کہ یہ جو انٹروال ابھی ہم نے دیکھی ہے ظاہر ہے one over x or one over x square اس میں سے جو زیادہ انٹرسٹنگ انٹرسٹنگ انٹروال ہے وہ ہے جناب one over x function کی تو وہی انٹروال لیتے ہیں one سے لے کے positive infinity تک اور اس میں ایسا کرتے ہیں کہ جو function ہے one over x جو اس انٹروال پہ ہم بناتے ہیں اس کے نیچے جو آپ کے جو ریجن بنتا ہے جو ابھی ہم نے دیکھا تھوڑی دیر پہلے اس کو اگر میں x axis کے آس پاس روٹیٹ کرتا ہوں تو ایک final type کا solid بنتا ہے اس کی تصییب بنا کے دیکھ لیتے ہیں یہ آپ کے سامنے تصویر ہے جناب if we rotate the graph of one over x over the interval one over positive one to positive infinity around the x axis we get a solid of revolution that looks like a funnel with no lower point یہ آپ کے سامنے اس کی تصویر ہے تو اب اس کام solid volume معلوم کرنا چاہیں گے solid کا تو اس solid میں تھوڑی سی انٹرسٹنگ سی بات ظاہر ایک دم سے ہوگی آپ کو سوچکے اور میں نے جو کہا ابھی کہ it doesn't have a lower end point یعنی کہنے کا مقصد یہ کہ اگر یہ ایک طرح کی funnel بنتی ہے یہ جسے ہم کوپی بھی کہتے ہیں جس کے تھوڑی تیل وگرہ دالا جاتا ہے اس طیب کا solid یہاں بن رہے تو اس کی ایسی ایک وہ ہے آپ کی funnel کہ اس کا جو end point ہے وہ آپ کو نہیں پتا کہہاں پر ختم ہوگا چونکہ انٹرول آپ کا infinite ہے there in itself is very entertaining کہ یہ کیسی کوپی ہے جی کہ جس کا کوئی end point نہیں ہے تو آپ اس میں اگر تیل دالیں اوپر سے ایک طرف سے تو پتا نہیں کہاں جاکے تیل بہار آئے گا we don't know it's kind of like what we call this some black holes کہتے ہیں physics میں جب بات ہوتی ہے اس طیب کا کچھ idea یہاں پر مجھے لگ رہا ہے develop ہوتا ہوا تو خیر یہ solid itself is very interesting اب یہ کرتے ہیں کہ اس solid کا volume عالم کرتے ہیں so let's do that اگر آپ کو یاد ہو کہ volume کا formula کیا ہوتا یعنی اس میں یعنی اس میں یہ ہوتا تھا کہ integrals کے حوالے سے ہم یہ کرتے تھے کہ solid کا a cross section لیتے تھے جو cross section آتا تھا اس کا area معلوم کرتے تھے اور پھر integral لے لیتے تھے اس area function کا over the given interval تو یہاں پہ ہم اگر cross section لیں اس funnel کا تو funnel میں یہاں پہ funnel میں اور this solid میں تھوڑا سا فرق یہ کہ this solid جہاں وہ it's not exactly empty یعنی کھوکلا نہیں ہے it's actually a solid یعنی اس کے اندر جو ہے وہ interior جو ہے اس کا وہ بھرہا ہے it's a solid solid ظاہر a solid کہہ رہے ہیں ہم اسے funnel جو ہوتی ہے empty ہوتی ہے لیکن ہم یہی کہہ رہے ہیں کہ imagine کر سکتے ہیں کہ اس کو اگر ہم کھوکلا کردیں تو we get a funnel تو لیکن فرق یہاں یہ پڑتا ہے کہ چونکہ یہ solid ہے تو اگر اس کا cross section لوں گا تو ایک circle آئے گا میرے پاس ٹکہ ایک circular region آئے گا یہاں جس کو ہم نے کہا تھا ایک disk ٹکہ جی تو اس disk کا ہم اپنا کیسے معلوم کریں گے area چونکہ مخصد یہ یہ کہ اس disk کا اگر area معلوم ہو جائے پھر ہم اس کو انٹگریٹ کر لیں گے تو volume آجائے گا area بڑا سیمپل سا ہوتا ہے area of a disk is defined by pi multiplied by the radius squared radius of the disk اس disk کا radius کیا ہے ہم پہلے بھی بہت دفعہ کر چکیں کہ اس کا disk کا radius ہوگا جناب the function f of x لہذا area function جو آئے گا ہمارا disk کا at any given arbitrary point x where we take the cross section that will be equal to pi times f of x squared in other words pi times 1 over x quantity squared which is equal to pi over x squared اس کو لکھ لیتے ہیں تو یہ کالکلیشن سمارے سامنے آرہی ہیں تھوڑی سی کے جناب area function ہے اس سیٹویشن میں ہو جائے گا pi over x squared for the function f of x equals one over x اور اگر اس کا volume ہم بہت معلوم کرتے ہیں تو result آتا ہے جناب انٹگرل ظاہر ہے اب ہمارے پاس چونکے ہم اس کو انٹگریٹ کر رہے ہیں over the interval one to positive infinity so we are basically doing an improper integral and we get the result limit as l goes to positive infinity from one to l pi times f of x squared dx this is equal to limit as l goes to positive infinity of of the انٹگرل one to l pi times one over x squared quantity squared I'm sorry پاہر times one over x quantity squared اور یہ لیمٹ بن جاتا ہے اس کو انٹگرل پاہر over x squared dx from one to l the result is the limit of as l goes to infinity as l goes to infinity of minus pi over l plus pi over one یہاں پر بیسکلی میں اس کو evaluate کر لی ہے result کو اپنے over the انٹگرل over the limits end points of the definite integral one and l اور اس کا limit جو آپ لیں گے تو آپ دیکھیں گے کہ آپ کے پاس results آتا ہے pi اچھا جی تو ہم نے کالکلیشن کرلی یہاں پر ہم نے دیکھا کہ اس کا result آیا volume جو معلوم کیا ہے solid کا وہ تھا pi تو pi جو ہے وہ ایک finite number ہے ظاہر ہے تو ہم کہہ سکتے ہیں کہ یہ جو limit تھا یہ convergent تھا جو improper integral تھا وہ a convergent integral تھا اور ہمارے پاس ایک چناب finite value is کی pi تو اب ہم نے اس ایسی ایک funnel یا ایسے ایک solid کا volume معلوم کیا ہے جو بیسکلی جس کا کوئی آخر کا ہمیں کچھ پتا نہیں کہ وہ کہاں جاکے بند ہوگی تو یہ بھی ایک کتنے مزے کی بات ہے کہ mathematics کہہ رہی ہے کہ ایک ایسی funnel کوپی جس کا شروع کا حصہ ہمیں پتا ہے کہ کہاں start ہوتا ہے لیکن ہمیں ہی نہیں پتا کہ اس کا دوسرا آخر حصہ جانا سے ہم جب تیل ڈالتے ہوں پر سے تو نکلتا ہے نیچے جاکے تو وہ نچلا حصہ کی دار ہے we don't know it's going to positive infinity yet even though we don't know what the endpoint is we can still find the volume we can find how much stuff can be put into this thing in this funnel یعنی کہانے کا مقصد یہ کہ اگر میں اس کا endpoint آگے سے ہاتھ کہیں رکھے بند کر دیتا اور اس میں تیل بھر دیتا ہے اس funnel میں تو مجھے پتا چل جاتا کہ کتنا اس کے اندر میں تیل بھر سکتا ہوں لیکن problem یہ کہ چونکہ مجھے پتا ہی نہیں end point کیا ہے تو سولن تو یہ ہونا چاہئے کہ I should not be able to find the volume because میں ہاتھ کیسے رکھوں گا end point پر لیکن mathematics کہتی ہے کہ you don't have to do that just using simple stuff we just saw you don't have to put your hand at the other point all you do is you evaluate this improper integral and you get the result that pi units of anything can be held in this funnel یہ تو خیرے اگن ایک بہت زبتہ سبات ہے لیکن بات یہاں ختم نہیں ہوتی بات اسلن مزے کی جب ہوتی ہے کہ جب آپ نوٹ کریں کہ function f of x equals 1 over x تھا اس کا volume تو آپ نے معلوم کر لیا of the solid generated by it by the region rotation of the region under the curve of 1 over x ہم نے rotate کیا ہم اپا solid آیا we found the volume لیکن اس سے پہلے جب ہم نے اس region کا area معلوم کرنے کو حش کی تھی تو ایک دیورجنٹ آنسر آیا تھا اور اس کا مطلب یہ تھا کہ ہم کوئی finite value نہیں دے سکتے اس ایریہ کو جو کے 1 over x کے کرف کے نیچے defined ہے over the interval 1 to positive infinity تو یہ تو یہ again پھر ایک بڑی جی بات ہے کہ آپ نے volume تو معلوم کر لیا after you rotated it but you can't find the area under that region اور اس کو اس طرح سمجھنے کہ میں کافی مزا آئے گا آپ اس طرح سے اگر دیکھیں کہ آپ نے اس function کے بیس جو بیس اس پر آپ نے solid generate کیا تھا اس کا volume آپ نے معلوم کر لیا کہ اس کے اندر کتنا پینٹ بھر سکتے ہیں مثال کے طور پہ how much paint can I hold in this solid but I can never ever paint the inside of this funnel so this is in itself a very interesting concept کہ اس کے اندر میں paint تو hold کر سکتا ہوں مجھے پتہ چل جائے کتنا پینٹ اس کے اندر ڈالا جا سکتے ہیں پای انٹس لیکن I can never paint physically the inside of this solid that I got because I cannot find the area under the region f of x equals 1 over x تیکی جی تو اب ہوبفلی اس اجامپل کے بعد اب میں کافی نراز ہوں گا اگر میں کسی سے سنوں کے جی یہ mathematics جو یہ بہت بورنگ سبجیکٹ ہے اس میں کوئی انترسٹنگ بات نہیں ہوتی اس کے اندر کتنگ انترسٹنگ بات ہے یعنی یہ تو ہد ہو گئی کہ آپ نے volume معلوم کر لیا لیکن پینٹ نہیں کر سکتے یہ پتا ہے کتنا پینٹ ہے لیکن اس کے اندر پینٹ نہیں کر سکتے کیونکہ it's not possible it's not mathematically possible so this is what جو میں نے پہلے بھی کئی دفعہ کائے کہ وہ جو function اجامپل دیتی سفیر کے اوپر functions ڈیفائن کریں اور اس طرح کی چیزیں this is the kind of stuff وہ تو high level چیز تھی کہ جی وہ topology آجتی ہے وہ کیا چیز ہے ہمیں نہیں پتہ but using even basic calculus baby stuff we can see کہ there is so much interesting stuff to be done in mathematics and so much philosophically challenging stuff so hopefully آپ اس کے اوپر غورہ فکر کریں گے اچھا جی تو ایک چیز اور اس طرح کی جو ہم نے improper integrals دیکھے infinite interval پر defined جو ہیں ایک اور طاپ ہوتی اس کو لکھ لیتیں یہ آپ کے سامنے ہے جناب کے بجائے اس کے کہ آپ ایک finite number سے positive infinity کی طرف جا رہیں ایسا بھی ہو سکتا ہے کہ negative infinity سے start کرکے آپ ایک finite number بی تک جائیں اور اس کو integrate کریں کسی continuous function کو اس کے اس انٹرول پر تو آپ کو اس کو آپ define کر سکتے ہیں as the limit as l goes to negative infinity of the integral l to b f of x dx تو یہ سیمپسی دیفنیشن ہے وہی دیفنیشن ہے جو ابھی ہم نے تھوی دہر پہلے دیکھی لیکن صرف انٹرول تھوڑا ستبدیل ہو گئے اس کی examples آپ خود کر لیجے گا کوئی سوالہ تو پوچھ سکتے ہیں ہم next topic بھی اب چلے جاتے ہیں آج کے لیکچر کے اور اس کی بارے میں تھوڑی سی بات کرتے ہیں next اور آخری جو topic ہے وہ ہے جناب as integrals جو کے ایک as integrals جس کے انٹگرنڈ ہے جو function ہے جس کو آپ integrate کر رہیں وہ اگر آپ جس انٹرول پر انٹرول پر انٹگریٹ کر رہے ہیں اس انٹرول پر اگر کہیں وہ infinit ہو جائے تو اس سیٹویشن میں ہم کیا کرتے ہیں مثال کے طور پر ایک ایک اجامپل لکھ لیتے ہیں یہ دیکھیں کہ آپ کے سامنے ایک function میں نے لکھا ہے جناب 0 سے لے کے 3 تک اس کو میں انٹگریٹ کر رہوں اور جو function ہے وہ ہے 1 over x minus 2 to the power 2 thirds dx اچھا اس میں خاص بات ایک یہ ہے اگر آپ نوٹ کریں کہ ایک x کی جگہ میں 2 کی value ڈال دوں یہاں پر تو کیا ہوگا تو یہ ہوگا کہ 1 over 0 کا سیٹویشن کریٹ ہو جائے گی اور ایک طرح کی اسم توٹ کریٹ ہوگا یہاں پر at x equals 2 اور جو function ہے وہ unbounded values یعنی infinity کی طرف ڈیورج کرے گا at x equals 2 تو مقصد یہ کہ اگر آپ بلکہ یہ نوٹ کریں کہ یہ بڑی اسانی سے مستیک کرنے والی بات ہے کہ اگر آپ یہ نوٹ کریں کہ آپ کا function جو ہے وہ undefined ہو جاتا ہے کسی ایک ایسی point پہ اس انٹرول پہ جس پہ آپ اس کو انٹگریٹ کر رہے ہیں تو ایک problem problem کریٹ ہو سکتی ہے جواب آپ کا بیسکلی غلطائے گا تو اب جیسے یہ سیٹویشن ہے اس میں اب ہم کیا کر سکتے ہیں یعنی ایک ایسا function ہے جو انٹگریٹ کرنا ہے لیکن گفن انٹرول پہ جس پہ ہم انٹگریٹ کریں گے اس پہ اس کی ایک جگہ پہ infinity value جاتی ہے ہاں دو we get around it this is how we do it let's write it down اچھا example کرنے سے پہلے یا کچھ مزید بات کرنے سے پہلے ایسے کرتے ہیں کہ کچھ pictures بنالتے ہیں اور کچھ اس کے related کچھ باتے اس طرح کے انٹگریٹ کی وہ لکھ لیتے ہیں تو آئیے دیکھیں یہاں پہ دیکھیں کہ اگر میرے پاس suppose I have a function f which is continuous on the interval a to b but b is not necessarily included in the interval and it does not have a limit from the left so we can define the improper integral of this type as a limit in the following way integral a to b f of x dx equals limit as l goes to b from the left side negative side of a to l f of x dx اور آپ کے سامنے ایک picture ہے اس میں دیکھ لی جیے کہ situation کیا ہے جو آپ کو دکھائے جا رہے مخصد یہ انتصیروں سے ظاہر ہو رہا ہے آپ کو کہ جب آپ b پے قریب آ رہے تو آپ کا گراف جو ہے وہ infinity کی طرف شوٹ کر رہا ہے so what are you supposed to do in this case what you're supposed to do is that you take define your integral in terms of a limit when the limit is taken from the left side as l approaches limit variable approaches the outer endpoint اسی طرح سے ایک اور طریکے اس کو بھی لکھ لے تھے if f is a continuous function on open interval a to b closed so basically a is not necessarily a part of the interval but b is but fails to have a limit as x approaches a from the right then we can define the improper integral as a to b f of x dx equals limit as l goes to a from the point where limit as l goes to a from the positive side of the integral l to b f of x dx تو یعنی مقصد کہانے گا یہ کہ ایسا ہو سکتا ہے کہ آپ کا جو initial point ہے وہاں پہ آپ کا function جہاں وہ شوٹ off کر رہا ہے towards infinity یہاں مقصد یہ کہانے گا کہ function کی equation میں اگر ایکی value ڈالیں یا اس کے قریب قریب آئیں تو آپ function y values جہاں function کی وہ infinity کی طرف جا رہے ہیں in that case ہمیں امپروپر انٹیکرالی بایدس ایکویشن ہمیں بایدس اچھا جی تو یہ ہم نے باچیت کر لیا جی یہ آخری جو باتیں ہم نے کی ہیں یہ سیمپل سی ہیں یہ سیمپلر امپروپر انٹیکرالی تو اس میں یہ کہ میں آپ کو کسیسائیز کیا آپ کو پرکٹس کریں گے تو آپ کو بہر idea ہمارا اب یہاں ہم اس کو لیکچر کو یہاں ختم کرتے ہیں آج کی باتے کچھ مزیدار تھی میرے خار سے پہلی باتیں جو ہم نے کیتی ہیں جس میں پہلے تائپ کی امپروپر انٹیکرالی دیکھے وہاں پہ فنل بنائی جو کہ بتا سکتے ہیں اس فنل کے اندر کتنا پینٹ حور کر سکتے ہیں لیکن فنل کے اندر کیا جو حصہ اس کو پینٹ نہیں کر سکتے تو وہ زادہ انٹرسٹن چیز تھی لیکن یہ کہ of course نیٹی گریٹیز تیکنگل ڈیٹیلز تو جناب اب ہم ختم کرتے ہیں لیکچن یہاں پے آپ سے next time ملاقات ہوگی پھر Thank you Allah Hafiz