 اسلام علیکم تو اب نائی لیکچر کے ساتھ پھر سے ایک بار پھر حاضر پچھلے لیکچر میں ہم نے بات کی تھی کونٹنیوٹی کی فنکشن کی اور ہم نے دیفائن کیا تھا کہ کونٹنیوٹی فنکشن کیا ہوتا ہے اور اس کو دیفائن کیا تھا in terms of limits بیسکلی جو ہم ابھی تک دیکھ چکے ہیں تو وہ سب تو ہوبفلی کلیرفائے ہو گیا ہوگا آج کی لیکچر کا topic ہے کونٹنیوٹی ہے بیسکلی اس لیکچر میں ہم نے دیکھا تھا کہ کونٹنیوٹی راشنل فنکشن وغیرہ دیکھی تھی پولا نومیلس کے بارے میں دیکھا تھا اب ہم بات کریں گے اس لیکچر میں about the continuity of trigonometric functions تو trigonometric functions کیا ہوتے I hope آپ کو یاد ہوگا algebra and trigonometry آپ لوگ جب پہلے پڑی ہوگی تو I think we are all familiar with these functions sin of x مثال کے طور پہ f of x equals sin x that's a trigonometric function co sin x ہوگیا جسے ہم cos x بھی کہتے ہیں that's another trigonometric function اس کے لہذا 10x 10x تیسے کہتے ہیں co secant x ہوگیا or secant x وغیرہ so these are basically trigonometric functions that we will be looking at in this lecture and we will be looking at them from the point of view of their continuity یہ بات کریں گے کہ یہ functions continuous ہیں اور کہاں پے ہیں کیا کیا بیحیر ہے وغیرہ وغیرہ اس کے لیکچر میں بات کرتے ہیں تو تو توہاں سیس کو formalize کر لیتے ہیں let's put it on the screen what we will be talking about today آج بیسکلی the lecture will be about limits and continuity of trigonometric functions ان کے بارے میں سب سے پہلے ہم دیکھیں گے continuity of sin and co sin functions basically basic functions that trigonometry کے اس کے لہاں a continuity of other trigonometric functions دیکھیں گے یعنی tangent ہوگیا رہاں secant co secant وغیرہاں اس کے لہاں بہتی important theorem دیکھیں گے squeezing theorem یا جسے ہم squeeze theorem بھی کہتے ہیں اس کو سمال کریں گے to prove some limits certain kind of limits اور اس کے لہاں پھر آخر میں چھوٹا سا topic ہوگا بالکل in which we will look at limits of sin and co sin as x goes to plus or minus infinity یعنی جو باقی جو ہم پہلے دیکھیں گے continuity وغیرہاں اس میں ہم ظاہرے limit دیکھیں گے limit involved ہوگا in terms of x basically approaching some number finite number یہاں آخر میں ہم دیکھیں گے limits of sin and co sin as x goes to positive or minus infinity تو یہ بیسکل آچ کی topic سے details میں ان کے بارے بات شروع کرتے ہیں let's talk about the first topic یعنی جو پہلے تھا ہم دیکھیں continuity of sin and co sin functions تو اس سے پہلے کیا ہم ان کی continuous behavior کی بات کریں continuity کی بات کریں let's talk about well let's see if you let's recall basically کہ sin and co sin ہوتے کیا ہوں let's go to the screen یہاں پہ دیکھیں کہ basically just sin and co sin functions کی جو ہم بات کر رہے ہیں تو اس سے پہلے کہ ہم functions کی طور پہ define کریں let's recall what sin and co sin actually represent یعنی ان کا geometric understanding کیا ہے اگر آپ کو یاد ہو اور recall کر لیجے ابھی اس میں یہ details دیویں کچھ sin and co sin کے بارے میں وہ بھی آپ پر سکتے لیکن اس کے لعا ہم یہاں پہ بات کرنے sin and co sin کی تو اگر یہ basically define ہوتی ہیں یہ دونہ ratios in terms of a right angle triangle اور یہ ratios ہوتی ہیں of in terms of they are define in terms of the acute angle of the right angle triangle and the right angle 90 ڈگریز کا اس کے لعا ایک اور سے چھوٹا ڈگل ہے theta اور یہاں پہ ہم define کرتے ہیں sin theta is equal to the opposite side divided by the hypotenuse اور co sin theta جس کو ہم کہتے ہیں cos theta یہ ہے جناب adjacent side divided by hypotenuse تو یہ opposite side اور adjacent side اور hypotenuse کیا چیز ہیں یہ یہاں پر triangle میں آپ کے سامنے پر merge آنگل ثیتہ ہے اس کے opposite provide obviously that's what it means to be an opposite side It just inside see to call to آنگل کیا ہے۔ آنگل کی بہترین ترینگل اور کہاں گا رائی ترینگل کیا ہے۔ اسی ہے جو بہترین رائی ترینگل کے بہتاین آنگل ، تاہنہ ایک اہم ایک بہترین ایک بہترین بہترین اگر سامسی اللہ کے لئے ، آنگل کے لئے یہ دفعیشنہ اور جو ترینگلی کے لئے جو کسائن اور کسائن کو کہتے ہیں۔ تو اب ان کام فنکشن بھی بنائیں گے آگے چلکہ تو کیسے بننے گا وہ دیکھنے لیکن دیکھنا چاہتے ہیں اور اپنی بہت سکنے کے لئے بہت سکنے کے لئے یہ دیکھیں کہ اچھا یہاں پہ جو بات کی ہم نے کے ریشوز کو ہم یہ جو ہم نے دیفائن کی تھی سائن تھیرہ کو سائن تھیرہ ان کو ہم فنکشنز کے طور پہ دیکھیں گے تو اس میں ان کا کیسے ان کو فنکشنز پڑھائیں گے ورل سب سے پہلے تو یہ کہ یہاں پہ جو تھیرہ انگل انوالبٹ ہے اس کو ہم ڈگریز کی بجائے جو ہم ڈگری میجر ہوتا ہے انگل کا اس کی جگہ ہم ڈگریز کو لیں گے ڈینز میں یہ ہم پہلے بھی ایک دفعہ بات کیا چکا ہوں کہ ڈینز آپ اس کو ایسے کہہ سکتے ہیں کہ پای ڈینز ایکوز 180 ڈگریز یہ آپ کے اوپر ہے کہ آپ یہ خودی ڈیڈسکور کر لیں کے ایسے کیا مائی ہے پای ڈینز ایکوز 180 ڈگریز کا اور یہاں پہ تھےتہ کی جگہ ہم اب ڈیکس کا ویریبل سمال کریں گے اس سے کوئے فرق نہیں پڑتا ڈیٹہ ہو یا ڈیکس ہو اور اس کے لعا یہ یہاں پہکچر میں بناکے دیکھا ہوں آپ کو یہاں پہکچر کہہ ساتھ مائی ہے جسپہ آپ دیکھائے کہ آپ سرکل اور ارائی تنگل میں کرام اسٹرینگل محیورت کرنا دور ہمیں دور بھائی ہیں اور دور پر کلرک سکتے ہیں بسیلی جو ہم نے گراف بنائی تا سائن X کا وہ اس دور میں کنٹلٹ کر سکتے ہیں تو یہ بہت کبھی اندگسین ہوگی بسیلی رویو ہوگا کتریکنومیٹرےink function کیا بیسک آئیڈیوز، ریشوز تھی بیسکلی اور now you've converted them into functions اور now functions کے طور پر ہم ان کو ویو کریں گے ان کی دومین وغرہ بھی ہوتی ہے وہ بھی اپینڈکس میں دی ہوگی ہے آپ کی ٹیکس بک میں اور you can find out by yourself take any regular algebra ٹیکس بک کیا ٹکنویٹری کی and you'll find it there اب ہم ان کی as functions ان کو ستڑی کرتے ہیں and let's see what we can say about them in terms of continuity یعنی بیسک ہمارا فوکس جوگا وہ کانٹینویٹی کے اوپر ہوگا کہ ان functions کی کانٹینویٹی کیا ہے یعنی باقی properties تو ہم اسم کرنا ہے کہ آپ جانتے ہیں already یا جان لیں گے خودی جلدی سے ریویو کر کے ہم یہ دیکھیں گے کہ ان کی کانٹینویٹی کے بارے میں کیا کہا جا سکتے ہیں تو آئیڈی چلتے ہیں اس کے بارے میں بات کرتے ہیں آگے let's go to the screen اچھا یہاں پر سکرین پر میں ایک کچھ limits لکتا ہوں اور ان کو justifier کرنے کے لیے آپ گراف دے سکتے ہیں sine x اور cosine x کا تو ان کو گراف بلکہ ستڑی کریں گے اور یہ limits جو میں لکھ رہا ہوں دیکھیں گے آپ تو آپ کنونس ہو جائیں گے کہ یہ limits actually true ہیں تو پہلے limit تو جو equation میں لکھ رہا ہوں وہ یہ ہے کہ limit as x goes to zero of sine of x یعنی sine x is equal to zero اور دوسری والی جہاں وہ ہے جناب limit as x goes to zero cosine x equals one تو یہ میں نے دو limits لکھیں very basic elementary limits اور یہاں پر میں نے کونسی approach سمال کیا میں نے intuitive approach سمال کیے یعنی میں نے گراف دیکھا اور کنکلوٹ کیا کہ یہ limits جو values میں لکھیں ایسا ہی ہیں and they are actually I will tell you that take it for granted لیکن میرے خالصے دورہ antersting exercise جو ہوگی آپ کے لیے students would be to try to prove these limits because it is using the epsilon delta definitions of limits یعنی جو ہم نے دیکھی تھی کچھ لیکچر پہلے بلکہ سیکشن 2.6 ہے آپ کی بک میں اس کی definition سمال کر کے you should try to prove these things it will be a good exercise یعنی اس سے آپ کی limits کی understanding تو definitely بہتہ طور پر develop ہو سکے گی تو لیکن ہم یہاں پر اس کو فلال for granted لیتے ہیں intuitive approach کے ذریعے کہ یہ limits یہاں یہ سہی ہیں اور in limits کو ہم basis کے طور پر سمال کریں گے and we will use these to prove certain things so let's move on اچھا یہاں پر ایک چیز کچھ اور نوٹ کرنے کی وہ یہ ہے کہ sign of zero ہے اگر x کی value میں zero دیتا ہوں اور sign evaluate کرتا ہوں at x equals zero تو result کیا آتا ہے یہ آپ کالکلوٹر میں پنچن کر کے دیکھ لیں یعنی بیسکل میں دیکھ رہوں کہ x کی value zero radiance اگر ہے تو what happens to the corresponding y value کالکلوٹر میں پنچن کر لیجیے یعنی آپ graph study کرنے اس کا تو obvious ہی بات ہوگی کہ sign of zero will be zero and cosine of zero will be one تو یہ دو اور very elementary وہ ہیں facts جو میں یہاں پر یہاں پر بھی لکھوں گا بھی تھوڑے در میں اور جو آپ کو میں نے بتائے اور ان کو استعمال کرتے ہیں ہم کیا کہ سکتے ہیں well let's look at the screen یہاں پر نوٹ کیجئے کہ یہ جو values ہیں sign of zero equals zero and cosine of zero equals one تو یہ وہی values ہیں جو limits میں بھی آئیں تھی تھوڑے دیر پہلے جو میں نے لکھا تھا so basically اب میں یہ لکھ سکتا ہوں کہ the limit as x goes to zero of sine x equals sine of zero اور in other words اگر میں کہتا کہ f of x equals sine x ہے the limit as x goes to zero of f of x will equal f of zero اور similarly cosine x کے بارے میں بھی یہی کہہ سکتے ہیں کہ the limit as x goes to zero of cosine x is the same thing as cosine of zero تو یہ وہی دیفنیشن ہے جو continue ڈی کی لیے ہم نے استعمال کی تھی تو اب ہم نے ایک پڑے مزے کا تھیورم ایک طرح سے پروف تو نہیں کیا لیکن اس کی motivation ڈیویشن ڈیویشن ڈیویشن ڈیویشن اور وہ تھیورم ہم پروف نہیں کریں گے بس ہم لکھ دیتے ہیں آپے اور وہ تھیورم ہے جناب یہ آپ کے سامنے ہے the function sine x and cosine x are continuous اچھا تو یہ تھیورم تو ہم لکھ دیتے ہیں لیکن ہم لکھ دیتے ہیں اس کو پروف بھی کر سکتے ہیں میرے خالصے تو اتنا actually کر تو سکتے ہیں ظاہر ہے لیکن بات یہ کہ کیا جائے انا کیا جائے کبھی کبھی ایسے ہوتا ہے کہ کچھ تھیورم سے بڑے انوارد ہوتے تو بھی try to avoid them کیونکہ ان کو پروف کرنے کے لیے کافی زیادہ اور ڈیویشن ڈیویشای ہوتی ہے جیسے ڈیویشن ڈیویشای ہوتی ہے جیسے ڈیویشن ڈیویشای ہوتی ہے جیسے ڈیویشن ڈیویشای ہوتی ہے پرشل لیکچر کا ہم نے اگنور کر دیا تھا اس کا پروف لیکن یہ جو تھیورم میں نے بھی لکھا ہے کہ sine x اور cosine x دونا continue functions ہیں اینی دیر continue on all the real numbers تو وہ ہم پروف کر سکتے ہیں لیکن اس کو پروف کرنے کے لیے limit کی یادہ آپ کو continuity پروف کرنی ہے دیکھنے کی جو ہم نے پیشل لیکچر میں دیکھی تھی وہ یہ تھی کہ a function f is set to be continuous at a number c if the following conditions are satisfied سبسی پہلے کندشن تھی کہ f of c is defined سیکن کندشن was that limit as x goes to c of f of x exists کندشن was that limit as x goes to c of f of x equals f of c تو یہ ہم پہلے بھی دیکھ چکے ہیں اور پہلے بھی کہا چکا ہوں کہ اس پوری دیفنیشن کی ثرد کندشن ہوتی ہے وہی بیسکل ہمیں چاہی ہوتی کیونکہ وہ اگر true ہوگی تو پہلے جو دو کندشن میں وہ آٹمیٹکل پہلے true ہونی جائیں تو یہ part 3 ہم اس میں استعمال کرتے ہیں بیسکل اچھا یہاں پہ اس کو دیفنیشن کو استعمال کرنے کی بجائے ہم ایک تھوڑی سی نی دیفنیشن دیں گے اور یہاں پہاں آپ تھوڑی سی I hope you'll appreciate the beauty of mathematics کیونکہ بیسکل میں لوگیک آپ کی تیق ہو تو you can get away basically with anything تو یہاں پہ چونکہ ہمارے function, sine and cosine جو انوارکل ہیں وہ تھوڑے سی unique ہیں ایک طرح تو ان کو پروف کرنے کے لیے ہم اس دیفنیشن کی ذریعے کرنا بہت مشکل ہوگا میرے خال سے لیکن ہم ایک تھوڑی سی manipulation کر سکتے ہیں جس کے ذریعے ہم a continuity پروف کر سکتے ہیں ان دونوں function کی تو وہ manipulation کیا ہے وہ manipulation بیسکلی اس دیفنیشن کی ایک continuity کی and I'll put it on the screen and we'll see what I'm talking about اس میں یہ نوٹ کریں کہ اگر میں X minus C کو دفائن کرتا ہوں as H یعنی میں ایک definition بنارا ہوں کہ H is equal to X minus C تو لہذا یہاں میں لکھ سکتا ہوں اس کا مطلب یہ ہوا کہ X جو ہے وہ برابر ہوگا H plus C کے ظاہر ہے میں اگر C کو دوسری سائٹ پر لے جو ہوں یہ ایسا ایٹ کر دونوں سائٹ پر تو X کی value آ جائے گی H plus C اچھا اب نوٹ کیجئے کہ as X goes to C جو کہ ہماری condition ہے definition of continuity میں تو یہ اس یہ جو میں نے بھی ڈیکلیر کییں H equals X minus C اور X equals H plus C ان کو مدنہ زرکتے ہوئے اب جو condition تھی X goes to C وہ ایک ویلنٹ ہو جائے گی to the requirement that H goes to 0 I hope this makes sense یہاں اس پر تھوڑا سا غور کیجئے کہ میں نے جو وہ دو ڈیکلیوریشن کی تھی بتایا تھا کہ ایک طرح کی artificial lake میں نے create کی تھی definition H equals X minus C اور پھر X equals H plus C اس کو اگر میں نوٹ کرتے اپنی definition ڈیکلیر کی اس کو تھوڑا سا modify کر سکتا ہوں let's go to the screen and look at it اور hopefully آپ کو تھوڑا سمجھا جائے گا میں کیا کہہ رہوں یہاں پر دیکھئے کہ X goes to C جو میں کہہ رہوں کہ ویلنٹ ہوگی to the requirement that H goes to 0 یعنی یہ بیسکسی بات ہے کہ نوٹ کریں کہ اگر X جو ہے وہ C کی طرف جا رہے تو پہلی جو condition تھی ڈیکلیریشن ہوئی تھی کہ H was equal to X minus C as the X approach is C well obviously X minus C approach is 0 well okay well that's fine but remember that X minus C was equal to H so basically H approach is 0 and that's exactly what I've written down on the screen تو اب ایک نئی definition ڈیک بناتا ہوں میں ڈیکلیر کی اسی منیپلیشن کو استعمال کرتے ہیں اور وہ دیفنیشن ہے جنہ آپ کے سامنے a function is continuous at the point C if the following condition are met پہلی والی تو وہی رہے گی جو تھی F of C is defined condition 2 موڈیفائی ہو جائے گی یہاں پہ ڈیکلیر جہاں پہ تھا کہ limit as X goes to C of F of X exist تو وہاں پہ نوٹ کریں کہ X جو ہے وہ H plus C کی برابر ہے تو وہ میں سبسٹوٹ کر داتا ہوں F میں تو میرے پاس آجائے گا F of H plus C اور ابھی میں تھوڑے در پہلے کہا کہ X goes to C کی جو condition ہے وہ ایک وقت ہے H goes to 0 کی تو میرے سیکنڈ کنڈیشن ہے ڈیفنیشن ڈیفنیوٹی کی وہ تھوڑی سی موڈیفائی ہو جاتی ہے اور میرے پاس آجاتا ہے جناب limit as H goes to 0 of F of H plus C exists اور سمجھلی use the same manipulation my third condition becomes limit as H goes to 0 of F of H plus C equals F of C تو یہ اب ایک نئی condition ہی ٹیفنیشن ہے ڈیفنیوٹی کی نئی اس طرح سے کس میں variable change ہو گئے اصل میں تو آگر آپ دیکھیے تو ڈیفنیوٹی اس کی جو ڈیفنیوٹی ہے اس میں تھوڑے سب میں نے manipulation کر کے ڈیفنیوٹی کو ایک نئی طرح سے لکدی ہے اور اس کو میں اس مال کروں گا اپنے ثورم کو پروف کرنے میں and I hope you appreciate کہ manipulations کیتنی cute سی تھی ایک طرح سے کہا سکتے ہیں کہ it didn't take too much and all of a sudden your definition looks totally alien but if you're following what's happening ہی بیسک آئیڈیا ہوئی ہے لیکن اب آپ اور اپریشیٹ کریں گے جب بنائے actually use this new definition so called new definition to prove my theorem so let's prove that یہ پروف ایسے شروع کرتے ہیں جی کہ سب سے پہلے تو ہم اسم کر لیں گے کہ وہ جو ہم نے لکھا تھا کہ limit as x goes to 0 of sin x is equal to 0 of course ہم نے دیکھا کہ وہ واقی کراف کو دیکھے ہم کنمنٹس ہو گئے تھے کہ ایسے ہی ساتھ میں ہم یہ بھی اسم کر لیتے ہیں گے limit as x goes to 0 of course as x equals 1 اچھا جی تو اب یہ کہہ سکتے ہیں کہ سب سے پہلے تو یہ کہ اب ہم جو تھرٹ پارٹ ہوتا ہے کانٹینیوٹی کی دیفنیشن کا وہ بیسکلی ہمیں استعمال کرنا ہے کیونکہ یہ جو ہم نے اسمشنز بنائیں ان سے ساو ظاہر ہوتا ہے کہ پہلی دو جو کندشنز اور کانٹینیوٹی کی وہ میٹ ہو گئے ہیں they have been met and we just have to work with the a third condition and show that that is true in the case of the function a sign of x یعنی یہاں پر بیسکلی میں پروف کروں گا that sign of x is a continuous function اور کو سائن x کو میں آپ کے لیے چھوڑوں گا کرنے کے لیے تو let's continue with this one یہاں پر میں شو کرنا چاہتا ہوں کہ limit as h goes to 0 of sign of c plus h equals sign of c یہی third condition تی جو ہم نے بھی تھوڑی در پہلے لکھی تھی سکین پہ تو اب یہاں پر function جو وہاں پر لکھا تھا f of something something equals f of c تو وہاں پر ظاہر ہے f function جو ہمارا sign function ہے تو وہ ہم استعمال کرنے ہاں پر let's prove this actually اچھا آپ دیکھئے کہ limit as h goes to 0 of sign of c plus h جو ہے اس کو میں لکھ سکتا ہوں as the limit as h goes to 0 of this whole quantity sign of c times cosine of h plus cosine of c times sign of h اچھا اب آپ سوچ رہا ہوں گا کہ یہ کیا ہوا right I mean hopefully بہت زیادہ پوپلیشن نہیں یہ سوچ رہی ہوگی most of you are bright students تو آپ کو شہد یاد ہو میرے خال سے f of c میں میں نے بھی یہ فرملے رہتے تھے there were 54 of these formulas that we had to memorize ہمارے ٹیجر تھے انہوں نے کہا تھا بہی جس کو 54 آگتے ہیں ان کو مافکر دی جائے گا ان کے اس پوچ گجنی کی جائے گی لیکن اصل میں I think they were about 85 or something formulas and یہ ٹیگنو میٹرک ایڈنٹی سی بیسکل جو ہم نے مماریز کی تھی میں نے دو کی تھی تو hopefully آپ نے بھی کیوں گی memorization is not exactly a very good way of learning math but it's definitely helpful اچھا جی تو اب یہ تو ہو گئی ایڈنٹی سی بھی آپ کو یاد ہوں گی تو let's I'll assume that you remember them and you can actually look them up in a book اور آگے چلتے ہیں اس پروف کو any ایڈنٹی تیس کو استعمال کرتے ہیں یعنی ایک ایڈنٹی کو استعمال کرتے ہیں ہم اس پروف کمٹیٹ کرتے ہیں let's go to the screen تو یہاں پہنے لکھا تھا یہ جی کہ limit us edge goes to zero of sign of c plus h اس کو میں نے اس پرم میں لکھ دیا تھا expand it form میں اب یہاں پرانی چیز ہم نے build کی ہے جو رولز وغالہ دیکھتے ہیں ہم نے previous lectures میں about limit rules جی نے ہم کہتے تھے وہ استعمال کر سکتے ہیں تو یعنی some of functions ہمارے پاس brackets میں اس کا ہم limit لے رہے ہیں تو it's the same thing as the some of the limits of each function تو یہاں پہاں ہاں جائے گا ہمارے پاس limit as edge goes to zero of sign of c multiplied by cosine of h plus the limit as edge goes to zero of cosine c times sign of h اس کو further simplify کر سکتے ہیں نوٹ کی جی کہ limit آپ لے رہے ہیں as edge is going to zero تو for all other purposes یعنی for all purposes actually sign of c جو ہے it's going to be a constant number کیونکہ c جو تھا وہ ایک number تھا sign of c is also a number تو اس میں variable کوئی نہیں because variable جو ہے وہ h ہے تو یہ constant number آپ limit سے بہار لے جائے گے you have now sign of c times the limit as edge goes to zero of cosine h اور یہی چیز جو limit سے بہار لے گیا تھا ہم ہے sign c کو وہی چیز میں کر سکتا ہوں cosine c کے ساتھ in the next part تو وہ ہو جائے گا cosine c multiplied by limit as edge goes to zero of sign of h اب یہاں پہ سمبلیفکیشن ہو جاتی ہے رام سے کہ sign of c تو بیسی رہے گا limit as edge goes to zero of cosine h جو ہے وہ ہم دیکھ چکے ہم نے آزوم کیا تھا ہم نے کہ یہ ہوگا وان کی برابر تو وہ وان کی value آگئی ہم نے یہ بھی اسوم کیا تھا کہ limit as edge goes to as edge goes to zero of sign of h was equal to zero تو وہ value وہاں پہ آجائے گی اور simplify کرنے کے بعد result آتا ہے just sign of c تو یہ جناب آپ کا ہو گیا proof complete کہ جو آپ کا sign x function ہے وہ continue سے یہاں پہ وہی بات تھی کہ because some real number تو آپ نے بیسیکل یہ show کر دی ہے it's continuous everywhere یعنی it's continuous basically اور آپ نے a modified definition سمال کی تھی of continuity to prove this تو یہ I hope you appreciate the whole manipulation that was involved and the whole process یعنی آپ نے sign function کی کچھ properties جو identity ستی جو ہمیں یات کرنی پر تھی نہیں بچپن میں جو ہوب میرے خالصہ آپ لوگ سوچتے رہے گے یہ کیا مسیبت ہے میں آپ کو یہ سوچتا تھا لیکن now we see that they were useful of course they are تو we applied them and we have got a theorem proved تو let's move on اچھا جی تو اب کو سائن x تو of course I'll let you prove that the continuity of that اب ہم آگے چل رہے تو اس میں اب دیکھتے ہیں کہ continuity of other trigonometric functions مثال کتاب پر tangent of x اور اس کے لیوہا اور کیا ہے اس کے لیوہا secant x ہے اور اس کے لیوہا کو secant x بھی ہے تو یہ ان سب کی continuity بھی ہم دیکھنا چاہیں گے تو کیسے دیکھ سکتے ہیں بڑے عام سے let's consider tangent of x آپ کو اگر یاد ہے اپنی ہونا بھی چاہئے بنا رویو کر لیں کہ tangent of x جہاں وہ برابر ہوتا ہے sin x divided by cosine x کے یعنی آپ فردر ایک رشو بنا سکتے ہیں sin x اور cosine x کی turns out to be a new function tangent x تو اس کی tangent x کی definition in terms of sin اور cosine سے بڑا سان جاتا ہے اسی continuity ڈیٹرمین کرنا کیوں کہ اب ہم استعمال کر سکتے ہیں کچھ limit theorems اور کچھ مطلب جو رشنل function پر ہم نے اپلائے گئے تھے so let's look at the screen and see what we are talking about یہاں پر ہم بانوں کرنا چاہتے ہیں tangent of x کی continuity and the function tangent x equals sin x divided by cosine x تو اگر theorem 2.7.3 آپ کو یاد ہے یاد نہ ہو تو آپ بوک میں دیکھ لیجے تو اس میں یہ ہے کہ اگر f of x اور g of x continuous functions ہیں تو ہم کہا سکتے ہیں کہ ان کی ان کا quotient جو ان کی جو رشو ہوگی وہ بھی continuous function ہوگی except for the place where the bottom function g of x is 0 تو اب نوٹ کیجے کہ tangent x is of course a ratio of two continuous functions ایک کو تو ہم نے بھی پروف کیا sin x کو cosine x بھی ہے اسوم کر رہے ہیں آپ نے بھی شہد حقفلی پروف کر لیا ہو بھی تک لہذا ہم کہا سکتے ہیں کہ tangent x will be a continuous function اور we can say that it's continuous everywhere I'm sorry it's not going to be a continuous function it will be continuous everywhere except at the places where the bottom function namely cosine x will equal 0 اور یہاں پر تھوڑی سی recall کرنی ہوگی کو سائن x کی function کی کچھ properties وہ یہاں کہ جناب جب x ہوگا plus یا minus pi over 2 اور if x is equal to 3 plus or minus 3 pi divided by 2 اور if x equals plus or minus 5 pi over 2 اور in general if x equals k multiplied by pi over 2 plus minus k divide k pi over 2 where k is an odd number cosine x will equal 0 so these will be the places where cosine x will be equal to 0 and that's exactly where the function tangent x will be discontinuous and everywhere else it will be continuous similarly ہم کو tangent x کی بات کر سکتے ہیں well that if you remember is the same thing as cosine x over sine x secant x جہاں وہ 1 over cosine x ہوتا ہے کو سیکant x جہاں ہوتا ہے 1 over sine x ہوتا ہے تو obviously now we can use the same idea as we did a minute ago and determine the continuity or the points of discontinuity of these three functions also and we can see that these functions are all continuous on appropriate intervals using this continuity of sine and cosine x functions. So basically آپ نے جو باکی جو ہے آپ کے functions trigonometric ان کی continuity آپ نے derived کیے by using the continuity of sine and cosine functions تو وہ that's again a very elegant way of you know doing your mathematics تو ایک جو point ہے cautiousness کا وہ یہ ہے کہ یہ جو function سہیں یہ discontinuous ہوں گے ان جگہوں پہ جہاں پہ bottom functions 0 کی برابر ہوں گے تو وہ آپ determine کیلی جے کہاں پیں سب سی دی سی باتیں سیکant کی بات کرتے ہیں 1 over cosine x ہے تو جہاں جہاں cosine x ہوں گا ابھی ہم نے دیکھاں کہاں ہوں گا اونی points پے سیکant x بھی discontinuous ہوگا and everywhere else it'll be continuous تو یہ آپ کا ہو گیا continuity of other trigonometric functions and basically we're done with the continuity of trigonometric functions so far تو آگے جلتے ہیں دیکھیں اور کیا ہے آج کے لیکچنے میں اچھا جی next topic ہمارا ہے جو really interesting topic ہے it's interesting it's a little bit intimidating but not that bad actually it's the squeeze theorem یا squeezing ڈیرم جیسے ہم نے کہا تھا شروع میں کیا ہم اس کی بات کریں گے تو اس کو دیکھیں اور اس کا تیرم کے بارے میں تیرم بھی لکھیں گے بھی کیا ہے دیکھیں گے کیا ہے لیکن اس کا مخصت کیا ہے اس کا مخصد بیسیک لی ہے کہ کئی بار آپ کے کچھ functions ایسے ہوتے ہیں جن کا limit معلوم کرنا بڑا مشکل ہوتا ہے ان ان کو evaluate کرنا کافی مشکل ہوتا ہے تو آپ ایسا کرتے ہیں یہ کرتے ہیں کہ آپ کوئی دو ایسے functions لیتے ہیں جو ایک function کو bound کر رہے ہیں یعنی آپ کا جو given function جس کا limit معلوم آپ کرنا چاہ رہے ہیں وہ two functions on the left and the right اور پھر آپ اون outer functions کا limit لیتے ہیں and you can actually kind of squeeze the middle function in between those limits right and get the limit of the middle one یہ سارہ اس کا مخصد ہوتا ہے squeeze تیرم کا اس کی detail دیکھیں تھوڑی سی تو یہاں پہلے تو یہ دیکھئے کہ میں دو pictures ہیں ان functions کی یعنی sign h a sign of x divided by x جو تھا پہلہ function اس کا گراف بنا رہے اور دوسرہ گراف جہاں وہ ہے جناب function کا 1 minus cosine x divided by x کا تو اس سے اگر آپ گراف سے دیکھیں تو انٹیوٹیلی سجست کرتے ہیں گراف کہ جو limits وہی ہے جو ہم چاہتے ہیں ان کو ہونا یعنی پہلے والے کا limit جہاں problem جو ہے وہ یہ ہے کہ as x goes to 0 بوٹھ the top and the bottom functions go to 0 یہ زیر ایسی بات ہے اس میں دیکھ لی جی functions آپ کے سامنے اور اس میں دیکھیں کہ sign x جو ہے وہ sign x goes to 0 means that the fraction as a whole goes to 0 زیر ایسی بات ہے کہ اگر top all a function 0 کو اپروچ کر رہا ہے تو the whole fraction is going to a 0 لیکن اس کے ساتھ سا دیکار problem یہ ہے کہ x goes to 0 means that the fraction as a whole goes to positive infinity کیا مطلب ہوا یعنی کہ جو پہلے function ہم دیکھتا سائن x divided by x اس میں x اگر 0 اپروچ کر رہا ہے تو top کی سائٹ پہ آپ کی top کا جو function اس میں values آپ کی آرہیں sign of 0 کی یعنی x جہاں وہ 0 کے قریب آرہا ہے تو آپ sign لے رہے ہیں ان values کا جو 0 کے بہت قریب ہیں تو sign of 0 کیا ہوتا ہے 0 so you're approaching very close to on the top to 0 but the bottom is just x right so x چونکہ 0 جا رہا ہے تو bottom بھی 0 پہ جا رہا ہے تو اس کا مطلب ہی ہو کہ division by 0 اکر ہو رہی ہے and as a whole the fraction goes to positive infinity where as the top part is going to 0 which means that the fraction as a whole is going to 0 تو یہاں پہ کچھ ایک تسل سے چل رہی ہے between the top and the bottom تو اس کو کیسے how would be basically کیسے ہم ختم کریں گے اس problem کو so let's go to the screen and continue with this تو یہ جو basically تسل جو رہی ہے top function ہم bottom function کی اس کو کیسے آپ کریں گے یعنی how would you resolve it یعنی بیسکل مقصد یہ کہ اوپر جو ایک جو فنچن ہے وہ کچھ کہہ رہا ہے جو bottom کا فنچن ہے وہ کچھ کہہ رہا ہے یعنی ایک طرح کیا آپ وہ پتہنی آپ لوگ نے star wars movie دیکھی ہے کہ نہیں یقینن دیکھی ہوگی ابھی ریسن لی اس کا ایک part آیا تھا star wars کی جو ایک نئی سیکول بن رہی ہے original جو تھی وہ میں نے بچپن میں دیکھی تھی 70 اس کی movie ہے بنیوی اس میں وہ تھی return of the jet آئے اوکی رہا ہے or empire strikes بے原因 ایکا ایک force چیuta right نمام بہت کی دیو اس کے رو легت卡즈 دیت ہےете منجرہ جو آپ کا حیرہ تھا ہی وچے تبدیل وہ ترس کرنا لیا تو ایک دیکھ الحیرت ایک دیکھ حیرت تو ایک دیکھ حیرت ا کیجا ایک دیکھ حیرت Due دیکھ ہوتا جائے ہیا تو مرے زہن مگدم یہا تھی کی جو تسل چل رہی ہے وہ کہتے تھے کہ جی آج آپ ٹپولوجی کلاسن بیٹیں سو ہی ہیس to say that he would try to bring us to the good side of the force away from the dark side which he called analysis تو خیرہتہ سا ماثیمیٹیکل جو کارنو I hope some people can appreciate that but that's the kind of thing we want to do we want to not take away people from the good side or the dark side we want to resolve the issue so let's see if we can do that یہاں پر دیکھی اسکین پر کے اب ہمہ پرس what can we do basically یہاں ہم یہ کر سکتے ہیں کہ ہم سکویس تھیرم لکھ دیتے ہیں پہلے اور پھر کچھ دیکھیں کہ کیسے رزالف کی جائے ساری بات سکویس تھیرم جو ہے آپ کا وہ بیسکل یہ آپ کے سامنے سکرین پہ ہے اس کو میں پڑھ دیتا ہوں یہ ہے جنہ آپ کے let f, g and h be functions satisfying the inequality f of x is between g of x and h of x for all x and some open interval containing the point a with the possible exception that the inequalities need not hold at a if g and h have the same limit as x approaches a we will write that as limit as x goes to a of g of x equals limit of h of x is x goes to a equals l then f also has this limit as x approaches a that is limit as x goes to a of f of x equals l تو یہ جنہ آپ کا ہوگے سکویس تھیرم اب اس کو مخصصرف کہنے کا یہ ہے کہ اگر کوئی function bounded ہے جیسے پہلے بھی میں نے کہا تھا between two functions تو آپ اس کا limit evaluate کر سکتے ہیں by evaluating the limits of the functions that are bounding it تو یہ ایک سامبل ہے here is an example we want to find the limit as x goes to 0 of the function x square times sine squared of 1 over x تو سب سے پہلی بات تو یہاں پہی نوٹ کیجئے that sine x جو ہوتا ہے it's a function and it's confined by the values 0 and 1 obviously اگر آپ sine x کا گراف دیکھیں it'll become obvious so using this inequality we can certainly say that sine square of x جو ہوگا that's also confined by 0 and 1 of course because if some number is between 0 and 1 so is it square اچھا اگر sine x جو ہے وہ 0 and 1 کے درمیان ہے so certainly we can say that sine square of x is going to be between 0 and 1 زیر سی بات ہے جو number 0 and 1 کے درمیان ہے اس کا سکویر بھی اس کے درمیان ہوگا because that number must be a fraction اور سرٹنلی اسی کو سمال کرتے بھی ہم کہہ سکتے ہیں کہ sine square of 1 over x is going to be between 0 and 1 I hope you're convinced of that کچھ values بھی try کر لیجے and you can see that this is true اچھا بھی یہاں بھی صرف اتنا سا کرنا ہے کہ آپ نے یہ جو inequality تھی آخری ویلی اس کو ملتیپلائے کر دیجے through out by x square and you get 0 is less than equal to x square times sine square of 1 over x is less than equal to x square ظاہر ہے آپ نے through out ملتیپلائے کیا ہے تو یہ رزلت آتا ہے لیکن آپ نوٹ کریں کہ اگر آپ لیمٹ لیتے of 0 as x goes to 0 وہ ہوگا 0 ظاہر سی بات ہے 0 is a constant number similarly limit as x goes to 0 of x square وہ بھی 0 ہوگا کیونکہ x square is a polynomial تو آپ نے بیسکل کیا کیا ہے آپ نے جو لیمٹ اگر آپ لیے اس پوری inequality کا through out in a sense تو آپ نے بیسکل جو middle function ہے اس کے لیمٹ کو squeeze کر دیئے between the limits of the outer functions تو آپ کا رزل بیسکل by the squeezing theorem آجتا ہے کہ limit as x goes to x square sine square of 1 over x equals 0 اچھا جی تو یہ تو ہم نے proof کر لیا ایک بڑا elegant طریقے سے ہم نے proof کیا using the squeeze theorem اور یہ اگر آپ delta epsilon definition استعمال کرتے اس function پہ یہ لیمٹ معلوم کرنے کے لئے اس function کا that would have been very difficult تو اب ایسا کرتے ہیں کہ original ہم نے ابھی تک اپنی problem جو ہم 2 limits proof کرنا چاہرے تھے وہ نہیں کیا ان کو proof کرتے ہیں پہلہ تو یہ تھا کہ limit as x goes to 0 of sine x over x equals 1 let's work on that now تو یہاں پہلے ان کو proof کرنے سے پہلے میں لکھوں گا بھی screen پہ about basic trigonometry and geometry یعنی areas of sectors and stuff like that so let me write it down on the screen for you اس کو اپنے جو ہم نے proof کرنا تھا اس کو proof کرنے کے لیے basic facts یہ ہیں جنہ آپ کے جو ہم استعمال کریں گے وہ basically involve کریں گے about circles and areas of sectors یعنی sector کیا چیز ہوتی ہے it's part of a circle or with a central angle theta radians and radius r یہاں پرکچر میں بناتا ہوں we have a circle and which has a radius r and inside that there is a certain angle of theta radians drawing out a sector which is part of a circle now the question ہی ہوتا ہے کہ what is the area of a sector اس کا جواب یہ ہے جنہ آپ کے area جو ہے وہ ہوتا ہے a equals 1 half r square theta تو اب یہ fact میں نے لکتی ہے اسی fact کو استعمال کرتے ہوئے plus the squeeze theorem we will finally prove what we started to prove basically limit as x goes to zero of sin x over x equals 1 so let's do that یہ جنہ آپ کے سامنے تھیورم کی فارما میں لکتا ہوں اس کو we have to prove the theorem that limit as x goes to zero of sin x divided by x is equal to 1 so let's start proving it let's say that x let's consider x to be a number such that it's between zero and pi over two یہ اس کی کیا وجہ ہے کہ ہم نے یہ کیا ہے اس کی وجہ صرف یہ ہے کہ life توڑیسی حسان ہو جاتی ہے it becomes easier to prove things پہلے ہم اس کو ایسے اسم کریں گے کہ x اس دومین میں ہے its interval میں ہے اس کا باقی حصہ وہ ہم اسم کر سکتے ہیں and similar argument سے جو ابھی ہم دیکھیں گے ہم باقی چیرے پروف کر سکتے ہیں اپسے کام کی جناب x is between minus pi over two and zero we can basically modify the proof we will see in a minute to work for that domain also so let's work with this one for now یہ ہم نے x اسم کر لی ہے now let's construct the angle x in the standard position starting from the center of a unit circle so we have the following picture آپ کے سامنے ایک circle بن this ایک origin point ہے beginning point آپ کو zero لکھ دیتیں یا o لکھ دیں اور یہاں سے ہم یہ ایک three pictures بناتیں basically and I'll label some points on it and I hope and I'm pretty sure that you can see what's going on with these pictures یہاں پرین pictures میں دیکھیں گے from these pictures we can conclude the following things اس پرچر میں کیا کیا ہے اس کے اندر دو right angle triangles ہے اور ایک sector ہے اور کچھ angles ہیں تو from this picture we can basically conclude کہ ایرے of the triangle o b p اس بگر than zero اور بیسکلی I'm saying that is zero is less than ایرے of triangle o b p اور اس کے اندر دن is less than the ایرے of the sector o b p اور اس کے اندر دن is in the picture اور اس کے اندر دن is less than the ایرے of the triangle o b q تو یہ ایک طرح کی ہم اپس quadruple type کی ایک inequality بن گئے which is certainly true ٹرihad ص. اور اس کے اندر دن ایک سامن جاعت شیطل نواحق لیکن ہم دو دیکھنا چاہتے ہیں۔ لیکن سب سب ہم کا ارام کی صرف انگل او ڈیو ڈیو Lecture ڈیو ڈیو ڈیو ڈیو will تا کوئی طرح اقاویتہہ اس بکشت interpretation سب پر بھی تپ کی مطلبیہ کو ٹی آنکل سائن کی حیت ہے ھایٹ and that's just going to be one half جو نمی کا سائن ڈیکس اب ہم  گ ای ری آف سیکٹر ڈیکس رو بی پی اگر ما حلوں کریں اگن اس کا فارملہ ہوتا ہے one half ڈیکس ٹیا ڈیکس ہمارا ڈیکس ہمی ہے جو ہم نے اسم کیا تھا اور اس کے ساتھ ہم ڈیکس جو ہمارا ڈیکس ہم پر بھی نلی بہت پر بھی ٹی بیکس ٹی کس کا بہت اقتین سے واقعای حجوں پہلے کنے ڈیوز ہے کہ اپتین غلط میں بہت بہتنےenzie لائندی اور تمام بہت محاصل کی بہت بہت بہت شخص کے بہت محاصل کی بہت بہت شخص کہ محاصل کی اقتین کے لئے محاصل کی بہت اقتین کے لئے سب کبی تو ہم دیکھر مفاقٹ اور کھوٹروپل کی落ہ کامی تعلقہ کی جو دیکھنے کی محاصل کی فرمہ سے سکتا ہے کہ سرے مظیر радиکال کرنے کے لئے سینکس ہے کہ اس لنalyا than 1.5 x ہے کہ اس لنalyا than 1.5 10 جنٹر x ہے کہ اصلا بتاہی بہت بھی 2 بہ سینکس ہے کہ سینکس آپ کے لئے یہاں پہ Isaiah'm بسیک لی میں 0 کو اکنور کر دوکا بیکوہ بنائی کو کسی جو مجھے اللہاں بتاہی بہت زیری will always get 0 حیر دنے بہلوں میں لی کرتے ہیں اس لیسا مجھے اللہ own but what i will do is when I'm will بتاہی بیسک insufficient by 2 over want is less than x over sign x is less than one over cosine x and now if I take reciprocals I will get cosine x is less than sign x over x which is less than one. now basically I have some good news becauseNow in the last inequality I have a function that او یہاں باسترا دیکھیں جے کہ سائنہ x over x جو ہے now its confined by two functions تو now we can apply the squeeze theorem right that is how the squeeze theorem works let's do that let's go back to the screen اب دیکھئے کہ اچھا یہاں پہس آپ کیا ہوا ہےالکہ اب ہمیں بیسکی لیمت لینے تو what we can do is now take the limit as x goes to 0 and throughout the inequality on the left hand side we had the function co sin x ہے становится کے بار کیا پور کو ب پ amplify ہوتا ہے ،掉ہ کے کب disclactive компی Вам کسی ہے ۔  ہے اسی صواب کے لئے ۔ ۔ لئے کل کے گان تو وہ کسی کیا ۔ فکر اس کرنا باتلہ ہی دو breaks دیرم I have show the limit of sinex over x as x goes to 0 equal 1 اچھا با دوسرہ پارج تھا وہ تھا کہ limit as x goes to 0 of 1 minus cosine x over x equal 0 well guess what I am sure you have guessed it by now I leave it to you and I think I said it before also I leave it to you to prove that yourselves using the same خوشہ تغریفہ بھی تاکہ جانتے ہیں ، فکر کو دورتے ہوں کہاںafa حقیم parliamentary بنوا ہے بار آنسوان شاہرام بیسے کلی لینٹسی ورالسی ہم میں ۔ ایک کوشن کا سینкаس آنسار توک بھی سوار لینٹس آتے ہیں آپ کے زندگہ جانتے ہیں۔ جانتے ہیں خوشان فنکشن اور ۔ کیا اس میں tuned ۔ بیسیے موجودی بیوار اس میں کیلک ہے۔ ایک خودی چنجائے جو ۔ تو یہ جو گراف اب ہے آپ کے سامنے سکن پر ان کو دیکھ لتے ہیں اس گراف کو دیکھ کے یہ نہیں یہ اب جو ہم لیمٹس کی بات کر رہے تھے of sine x and cosine x as x when to plus or minus infinity اس میں خاص پروفہ کرا نہیں کریں گے کچھ انٹویڈیسی بات کرتے ہیں کہ let's just look at the graphs and conclude what those limits should be if they exist well if you look at the graphs right here on the screen here's the graph of sine x here's the graph of cosine x اب نوٹ کیجے کہ جیسے x positive infinity کی طرف جاتا ہے تو آپ کی جو y values ہیں from the graphs in the case of both the graphs of the functions as sine x and cosine x آپ کی y values oscillator کرتی ہیں between one and minus one تو یعنی جب oscillator کرتی ہیں values تو ہم کیا کہتے ہیں کہ limit does not exist so basically we conclude that the limit as x goes to positive infinity of sine x does not exist and limit as x goes to positive infinity of cosine x does not exist similarly اگر x نگیڈیو انفنٹی کی طرف جا رہے تو کیا ہور ہے same behavior یعنی آپ کی جو y values ہیں وہ oscillate کر رہے ہیں between one and minus one and we can conclude that x that as the limit as x goes to minus infinity of sine x does not exist and lastly the limit as x goes to minus infinity of cosine x does not exist تو یہ آخری topic تھا ہمارا آچ کے لیکچر کا so that's taken care of اور یہاں ہم ختم کر دیتے ہیں لیکچر اپنا تو this is basically also the end of chapter 2 as far as your book goes تو یہاں پہ بسکل اب next جو ہم شروع کریں گے لیکچرز وغیرہ اور باتی تو ہم a differentiation بات کریں گے اور things will get much more exciting سادہ اپلکیشنز دیکھیں گے mathematics کی تھوڑے سی تھیوریٹکل تھی یہاں پہاں بہت بہت نسیسی ہے چپٹر وان اور چپٹر تو جو بوکس کیں which compromise comprise of comprise the last 13 چاہر لیکچرز بیسیک لی بہت تھیوریٹکل and we needed those to work with much more exotic stuff later on تو hopefully this made sense and آپ ایمیل کریے گا مجھے ہے کوئی problem ہو and definitely do the homework and I will see you next time تب تک کیلے جارت اللہ حافظ