 fue un segundito, donde se fue mi pantalla, donde se fue. Muy bien, entonces, Damiano, tú hablas hoy, ¿verdad? Sí, sí, sí. Es un placer para mí presentar a Damiano Testa, quien junto con Tony Berilio Alvarado, un hijo amigo mío, va a dictar un curso sobre superficies racionales sobre un cuerpo y ya pueden ver el syllabus y creo que también las notas en la página web, sí, sí, de hecho, las estaba leyendo más en pronto, así que de hecho, pero bueno, adelante. Perfecto, muchas gracias por la introducción y por la oportunidad de hablar aquí y me da mucho gusto que sea un seminario, una escuela conjunta entre el IMPA y veo que hay DCTP también, soy italiano, entonces me gusta de Estados y también que sea en español y que junto de esta manera tres sitios, tres idiomas que me gusta mucho. Vale, pues voy a empezar yo, de hecho, yo voy a dar las charlas hoy mañana, pasado mañana y Tony se va a encargar de las charlas del jueves y de tiernes y siento tener solo una cámara, entonces cuando empezaré a hablar voy a intentar, o sea, no me vais a poder ver, pero vais a poder ver donde estoy, donde voy a ir escribiendo, voy a estar escribiendo y esto de por dos razones, la más importante que no tengo un iPad por escribir y la otra es que de esta manera espero que me podáis preguntar cosas y pueda yo, al no tener slides ya preparada, contestar y a lo mejor desviar la presentación hacia algo que sea más relevante para dar preguntas. Así que realmente os animo a preguntar cada vez que tengáis una duda o algo porque es muy importante para mí que sepáis lo que está pasando y también que me decís que es lo que nos entiende y lo que sí se entiende. Y también otras dos cosas, tengo la tendencia a hablar muy rápido y a escribir muy pequeña. Sé que tengo que evitar de hacer cada una de estas dos cosas, pero sé también que por pasar del tiempo si no me hacéis pregunta y no me hagas preguntas, voy a caer en esto. Entonces también os animo a hablar, a preguntarme, ir a preguntarme y de vez en cuando decirme que no se ve lo que estoy escribiendo. Vale, pues voy a empezar y la primera parte de lo que voy a decir hoy será sustancialmente una introducción a todo lo que luego iremos viendo. Y como ha dicho Harald, las notas también están ya en la página. Probablemente iremos cambiando un detalle en una cosa, ya hemos traduado algo que a lo mejor no nos cuadra mucho. Así que habrá una versión un poco más final luego, pero de todas formas por lo que vamos a ver hoy y todo lo que voy a decir será, podéis preguntar si tenéis dudas. Y bueno, lo que voy a, lo que vamos a estar viendo es una clasificación de superficies racionales. Entonces esto es un ámbito de geometry algebraica y voy a dar por asunto que todos tenemos un poco de conocimientos de geometry algebraica. No vamos a estar usando cosas demasiado avanzadas y por toda la cosa que vamos a estar usando porque son avanzadas, siempre hay maneras de dar ejemplos sencillos o dar ideas. Así que si hay algo que nos cuadra, por favor, paradme y pregunta. Y en particular hoy voy a intentar ser muy elementar y asumir un poco, por pasar del tiempo asumiremos cada vez más. Y en particular lo que es nuestro enfoque principal es de intentar evitar asumir cualquier cosa sobre el cuerpo. Entonces estaremos viendo variedades, casi siempre superficies y casi siempre superficies racionales sobre un cuerpo. Y este cuerpo vamos a intentar dejarlo un cuerpo sin asumir que sea perfecto, algebraicamente cerrado, de característica cero, vamos a intentar evitar cualquiera asumir sobre el cuerpo. Naturalmente para esta introducción voy a decir cosas que a lo mejor son más ciertas o son ciertas solo en el caso del cuerpo algebraicamente cerrado, pero luego a partir de a lo mejor la segunda mitad de hoy y seguramente a partir de mañana y a seguir. Si no decimos nada sobre el cuerpo, el cuerpo no será necesariamente algebraicamente cerrado. Esta es una hipótesis que podemos seguramente tener. Vale, pues entonces voy empezando y como he dicho, voy a tener que usar mi móvil para apuntar a mi papel. Me ha funcionado durante los tutorials con mis estudiantes online, así que espero que funcione, que siga funcionando. Decidme si hay algo que no se ve o que no vale. Ok, pues vamos a hablar de superficies racionales. Si no se lee bien, decidme e intento escribir más grande y si a lo largo de mi charla escribo más pequeño, avísame también y voy a volver a escribir grande. Vale, de momento no voy a decir que son superficies racionales, lo voy a dejar para otro momento. Para quien lo sepa, puede pensar por ejemplo a P2 o un blow up hiperado de P2. Sustancialmente estos son buenos ejemplos y vamos a ver que no hay mucho más de que preocuparse, sobre todo cuando el cuerpo es algebraicamente cerrado y por cuerpo no es algebraicamente cerrado saber que estamos apuntando a algo como P2 es seguramente algo de útil. Lo que sí quiero quiero observar y que las superficies racionales dentro de las superficies son probablemente la más sencilla en el sentido de que para quien empieza a estudiar geometría algebraica, P2 va a ser probablemente una de las primeras variedades que vais a ver y casi seguramente la primera superficie. Ok, pues lo que no proponemos es de clasificarlas, de obtener un teorema de estructura para superficies racionales. Entonces queremos encontrar estructuras para superficies que nos permitan comprender qué ejemplos hay, comprender ejemplos y propiedades. Y para empezar voy a empezar con las que probablemente después de P2 son las primeras superficies que normalmente se ven en un curso de geometría algebraica. O sea vamos a empezar por superficies en P3 y de vez en cuando, cuando me acuerdo, voy a poner K debajo de P3, esto denota en este curso casi siempre será un cuerpo y casi siempre como he dicho será un cuerpo que no es necesariamente algebraicamente cerrado. Para hoy, para esta clase, voy a enfatizar qué pasa sobre un cuerpo algebraicamente cerrado y no. En las clases siguientes casi siempre será siempre no necesariamente algebraicamente cerrado y puede que no haga ningún comentario con cuerpo que es específicamente algebraicamente cerrado. Entonces superficies en Pk como casi siempre en este curso creo siempre estas van a ser suaves. Y vamos a asumir también que sean proyectivas y también geométricamente integradas. Estas son hipótesis técnicas que vamos a tener siempre en nuestra mente. Si a veces digo algo que se puede arreglar simplemente asumiendo que la superficie es suave, proyectiva o geométricamente integra, probablemente estaba asumiendo esto desde el principio. Sobre todo por la superficie estas hipótesis serán casi siempre satisfechas. Estudiremos las superficies pensando en curvas contundas en las superficies y como ya las superficies son suaves, proyectivas y geométricamente integradas, las curvas podemos permitirnos que sean más complicadas y esto además de que nos lo podemos permitir nos va también a ayudar a tener curvas que no son necesariamente suaves, proyectivas sí van a hacerlo de todas formas, pero suaves y geométricamente integradas van a ser dos propiedades que fallando por curvas nos van de hecho a ayudar. Entonces estamos realmente buscando hasta que punto una curva puede no ser suave o no ser geométricamente integra en una superficie y las más singulares y la más decomponible van a ser las que más nos ayudarán a comprender cómo funcionan las superficies. Esto lo veremos más allá o voy a volver sobre este tema varias veces, pero esta es la idea, las superficies van a tener todas las propiedades que queremos, las curvas van a ser, vamos a degenerarla, a deformarla, a romperlas y exactamente por esto nos van a dar información. Pues empezamos a ver qué superficies hay en Procres. Otra cosa, estas tres propiedades de ser suave, proyectivas y geométricamente integradas, la vamos a abreviar con un nombre que hemos elegido Tony y yo, vamos a decir que estas tres propiedades vamos a abreviarla con Twanis. Y Twanis es una palabra que me ha enseñado Tony que existe para ese ser en Costa Rica y también en El Salvador y podéis ver una historia de la abriga de esta palabra o estar relacionada con la palabra bueno o estar relacionada con la palabra too nice inglés convertida al español. Sé lo que sea, nosotros vamos a decir Twanis para decir suave, proyectiva y geométricamente integrada. Es una hipótesis de comodidad. Mucha de esta hipótesis la podríamos quitar y el resultado serían más técnicos y las pruebas más complicadas. Ninguna de estas propiedades es realmente imprescindible, pero sí nos van a ayudar mucho y entonces las voy a usar. Entonces, superficies de MP3, entonces estos son lugares geométricos definidos por polinomios homogéneos en cuatro variables, lugares geométricos definidos por polinomios homogéneos en cuatro variables. Y como veis, hay una variable que no es definido, que no está explícitamente definida en esto y la variable implícita es el grado desde por no. Intuitivamente y también de un punto de vista que se puede hacer preciso, al aumentar del grado la superficie va a ser más y más complicada. Y lo que queremos entender es cuánto más complicada, entonces quantificar el hecho que es más complicada y dar también afirmaciones a lo mejor más cualitativas para ver que hay maneras sencillas de ver que se vuelven más complicadas y también que las sencillas si la podemos estudiar. Entonces vamos a empezar por grados, grado de X en P3K. Y como siempre voy a estar asumiendo que esta superficie es definida por polinomio homogéneo en cuatro variables que define algo de suave, proyectivo es automático porque va a ser por definición un subconjunto cerrado de un espacio proyectivo. Geométricamente íntegro resulta que una superficie en P3 suave es automáticamente geométricamente íntegra, así que no tengo que estar preocupándome de esto en este caso. Vale, pues si empezamos por grado 1, antes de empezar con grado 1, hay algunas preguntas, aunque no haga pausas por favor interrumpidme si hay preguntas. Yo tengo una pregunta. Sí, muy bien. Cuando tomas P3K, el K significa que los polinomios tienen coeficientes en K o los puntos son coordenadas en K. Muy bien, muy buenas preguntas. Cuando pongo el K aquí estoy diciendo que esté pensando a P3 como un esquema sobre K. Entonces, las superficies que voy a estar viendo serán definidas por polinomios homogéneos en cuatro variables, variables a coeficientes en K. Respecto a los puntos, normalmente si voy a decir un punto de una variedad, estaré pensando en un punto a valores en K. Entonces, por ejemplo, en este contexto, hay una solución de mi polinomio que sea una cuaterna de valores del cuerpo K. A veces voy a hablar de puntos geométricos o puntos sobre una extensión y entonces estaré explícitamente pensando que estoy buscando soluciones de un polinomio que sí tienen coeficientes, que el polinomio tiene coeficientes en K, pero las variables me voy a permitir que tengan valores en una extensión de K. Y realmente el intentar de no poner a funciones sobre el cuerpo K es también un reflejo de algo que sí se tendría que hacer, pero sí añadiría al nivel técnico de la presentación, de dejar que K sea de hecho un esquema cualquiera. De hecho, una de las referencias que usamos es un libro de colar en que él precisamente hace esto. Él habla de todo lo que vamos a decir y muchísimo más, intentando hacer el mínimo posible de hipótesis sobre lo que para nosotros es un cuerpo va a ser un esquema que llama S. Entonces, en este contexto resulta ser más importante de estar distinguiendo bien cuando se dice punto que significa punto a valor en S, a valor en una álgebra, a valor en un cuerpo con extensión y otras cosas. Para mí voy a intentar cada vez que digo punto estar pensando un punto a valor en K, entonces las coordenadas de las soluciones van a ser coordenadas en K. A veces pueda que se me olvide de decir un punto geométrico y cuando digo geométrico normalmente quiero decir sobre las coordenadas son en la clausura algebraica de K y entonces como las coordenadas son un número frito que están en un cuerpo en una extensión finita de K, pero no está vinculada desde el principio. ¿Más preguntas? Y todas, bueno, una pregunta como... y todo polinomio de grado, cuatro homogéneos necesariamente va a tener dimensión dos, o sea, los ceros va a tener dimensión dos. ¿No vas a tener una curva, por ejemplo? Ah, vale. Esto es un poco a lo mejor algo que también puedo decir. Hay muy, muy, muy pocas propiedades de una variedad o de un esquema que se pueden medir a partir de los puntos de la variedad a valores en un cuerpo fijo. A menos que el cuerpo no sea de... algebraicamente cerrado, es muy difícil que se pueda deducir algo sobre una variedad que no sea tan autológico y que se vea directamente de los puntos. Por ejemplo, es muy fácil de dar variedades de dimensiones diferentes que no tienen puntos a valores en los racionales. Simplemente, si coge una ecuación que hay una suma de cuadrados, no va a haber sol... en un espacio proyectivo, no van a haber soluciones racionales porque una suma de cuadrados es cero, si es solamente si cada uno de los racionales es un cuadrado, si son todos cero, es el punto cero cero cero, que no es un punto del espacio proyectivo. Entonces, cualquier otra ecuación yo pueda añadir a esta y formar un sistema y me va a dar una variedad que no tiene puntos racionales. Aun así, esta definida es la dimensión de la variedad y no tiene por qué ser cero o menos uno, simplemente porque la variedad no tiene puntos. Entonces, la dimensión de una variedad no está definida mirando al conjunto de las soluciones a valores en un campo, sino normalmente está definida en función de la dimensión de cruble de algunos anillos que se construyen a partir de las ecuaciones. La mayoría de las propiedades están definidas por qué geometría algebraica, de propiedades algebraicas de las algebras que hacen parte de cómo X está definido. Entonces, tener o menos un punto es una propiedad del cuerpo, es una propiedad de la variedad, pero muy rara veces nos va a decir propiedades más intrínsecas de X, sino que hay un punto de esta variedad sobre este cuerpo. Entonces, por ejemplo, X0 a la cuarta, más X1 a la cuarta, más X2 a la cuarta, más X3 a la cuarta, igual a cero. Esta es una superficie suave definida sobre Q, que no tiene ningún punto. Pero sí es una superficie. Esa era mi pregunta, que si podías tener polinomias homogéneas en cuatro variables, queden curvas. O sea, que... Soy muy proudera más simple. Cómo que cierran, porque definen las superficies como lugares emétricos definidas por polinomias homogéneas en cuatro variables. Entonces, mi pregunta es si, si consideras cero de polinomias homogéneas en cuatro variables, ¿realmente obtienes el objeto geométrico de invención 2? O sea, si no, pueden ser una curva, por ejemplo. Vale. Ok. Cuando he escrito esto, tenía en mi mente que iba a usar un solo polinomio, no nulo, homogéneo, que define algo de suave. Entonces, con esta hipótesis, se va a poder ser que la variedad tiene dimensión cero. Lo que sí, en teoría, podría pasar, es que la clausura de Sariski, de la variedad de los puntos a valores en cada de mi variedad, puede que sea que satisfa... que esta clausura algebraica esté contenida en más que solo la equación... la única equación que he dado. Un ejemplo muy sencillo, esta variedad aquí no tiene ningún punto y entonces todos sus puntos a valores en cada satisfacen a cualquier polinomio homogéneo a coeficientes en cada o en cualquier extensión de cada. Entonces, el lugar de los ceros visto como el conjunto de los puntos está definido por el polinomio constante igual a uno. Y por lo tanto, este lugar geométrico, el conjunto de los puntos es el conjunto de los puntos también de un esquema de dimensión cero o de dimensión menos uno. No obstante, para mí, la variedad no es el conjunto de sus puntos a valores en el cuerpo K, es lo que se deduce de las ecuaciones, es lo que se llama un esquema que es un espacio otopológico localmente aniliado con muchas otras propiedades. Y esto realmente no puede ser una curva si solo considero un polinomio homogéneo nonulo en cuatro variables definidos sobre un cuerpo K. Esto siempre va a tener dimensión 2. Si quieres una referencia, se llama el Krull Haupttidelsatz, que si defines por una sola ecuación en algo de irreducible, una ecuación no nulla, no constante, lo que obtienes es una variedad de codimensión 1. Con la dimensión de P3C3, todo lo que voy a tener va a tener dimensión 2. Ok, vale, muchas gracias. De nada. Más preguntas. Me gusta que hay preguntas también de cosas que no he dicho porque me da una sensación de si tengo que explicar más o menos. Ok. Vamos siguiendo. Empezamos con polinomios un solo, por la discusión que acabo de hacer, un solo polinomio a coeficientes en K homogéneo de grado 1 en cuatro variables. Como todos probablemente sabemos, esto va a ser algo de la forma A0X0 más A1X1 más A2X2 y A3X3 0. No todos los aconizan 0 porque si no sería polinomio 1 y entonces puedo puedo eliminar una de las variables porque está completamente determinada por las demás y obtener que simplemente 3 de las coordenadas me determinan el punto, los puntos de esta variedad. Esto me permite decir que lugar de los 0 de una tal ecuación en este caso si los puntos geométricos me dan los puntos a valores en K si K es infinito me dan información suficiente para reconstruir cuál era la ecuación. Si el cuerpo K es infinito el conjunto de las soluciones de una función lineal es codifica también la función lineal misma. Esto no va a pasar por grados más altos necesariamente pero sí pasa por función lineal. En este caso no habría este problema. Y bueno una consecuencia de lo que estamos diciendo es que si el grado es 1 entonces X es isomorfa al plano proyectivo de dimensión 1 menos Kp3. Tenemos que X es isomorfa a p2 de K y no hay ninguna extensión de cuerpo que tenga que hacer, no hay ningún problema que pueda surgir en este caso. En el caso más sencillo estamos intentando clasificar superficies en p3 el primer caso es que son p2. Esto va a pasar también cuando veremos clasificar casos más complicados veremos que si conseguimos p2 estaremos contentos en lo más sencillo que pueda haber que hacer. Vale pues después de este éxito pasamos al caso siguiente que va a ser superficie de grado 2. ¿Hay una pregunta? Sí hay un término que no logré entenderle usted comentó que si el cuerpo K es infinito se codifica el polinomio ¿Qué quiere decir con se codifica? Simplemente que si el conjunto de todos los polinomios que a coeficientes en K cuyos ceros contienen los ceros que yo conozco de esta variedad aquí, entonces X hemos dicho es esta variedad definida por esta ecuación voy a denotar lo voy a hacer muy poco esto durante el curso pero voy a denotar con X de K el conjunto de todas las variables de todas las soluciones de este polinomio esto va a ser el lugar de voy a quiero usar una letra Y0 Y4 en P3 de K tales que A0 Y0 más A1 Y1 más A2 Y2 más A3 Y3 es igual a 0 son todo lo que yo imagino las preguntas anteriores estaban intentando que yo dijera todos los puntos que verifican la ecuación los puntos que verifican una ecuación no son la variedad la variedad codifica la variedad me permite también soluciones en cuerpos más grandes que K si yo cojo una extensión de K puedo preguntarme cuáles son las soluciones de esta ecuación a valores en un cuerpo más grande que K todas las operaciones que hago son operaciones algebraica puedo verla como operaciones que puedo hacer en un cuerpo o incluso en una algebra más grande que K sin embargo es un conjunto que yo puedo construir a partir de X a partir de la ecuación lo que decía antes que lo codifica es que si yo simplemente me enfoco en este conjunto pues y el cuerpo es infinito entonces hay una única ecuación lineal que admite todas estas Y0 Y4 como soluciones a menos de un múltiplo otra manera de decirlo el conjunto de todos los polinomios lineales que tienen Y0 Y4 de este conjunto como soluciones simultáneas es uno dimensional y está generado por esta ecuación entonces puedo codificar esta ecuación por este conjunto como hemos visto esto es muy raro que pase si yo hubiese empezado por la ecuación que está escrita aquí el conjunto análogo hubiera sido vacío y no había manera por mí de reconstruirte todos los polinomios que tienen el conjunto vacío dentro de su lugar de los ceros no había manera de extraer esta ecuación más que cualquier otra ecuación que podía haber encontrado y dentro eso que dijiste es fácil de verlo o eso el contenido de otro teoremo o sea que a partir de los puntos o de cada pues obtener los coeficientes salvo un escalado bueno en este caso específico este si se convierte todo a variables al todo este está en espacio proyectivo si lo veo este espacio proyectivo como el proyectificado de p4 como el periodo proyectificado de un espacio virtual de dimensión 4 estos son los puntos de un espacio virtual de dimensión 3 y allí debería estar claro que hay una sola ecuación lineal que es 0 sobre un cualquier espacio lineal de dimensión, de co-dimensión 1 un espacio virtual de dimensión 4 vale, esto si se ve normalmente en una es un plano entonces bueno es un plano en p3 y entonces es un espacio de dimensión 3 en k4 ah, chau más preguntas ok, en líneas general yo desaconsejo muy muy fuertemente de pensar en estos conjuntos como si fueran la variedad vale, hay un punto de vista que permite hacer esto y es lo que se llama el funtor de los puntos donde además de este conjunto se estudian también al mismo tiempo todos los conjuntos de todas las soluciones a valores en cualquier k algebra del mismo conjunto de ecuaciones vale allí si, esto otra vez codifica o contiene la misma información que las ecuaciones pero si yo fijo un cuerpo es muy raro porque los puntos a valores en este cuerpo me den información suficiente para descubrir cuál era mi variedad esto normalmente suele pasar sobre cuerpos algebraicamente cerrados con algunas hipótesis más sobre la variedad pero en líneas general no es suficiente saber las soluciones para deducir cuáles eran las ecuaciones las ecuaciones tienen más información que las soluciones a las ecuaciones y nosotros nos pasaremos siempre en las ecuaciones más más preguntas muy bien pues esto por mí soluciona el caso de grado 1 hemos visto que cualquier variedad cualquier superficie en p3 de grado 1 es isomorfa p2 tenemos una idea bastante clara también de cómo expresar este isomorfismo nos consideramos satisfecho y pasamos al caso siguiente el caso siguiente va a ser el grado 2 el caso de grado 2 x será el lugar de los ceros de un polinomio homogéneo de grado 2 y polinomios homogéneos de grado 2 muchas veces se llaman también formas cuadráticas y también en cursos de álgebra linear muchas veces se clasifican las formas cuadráticas sobre todo sobre los números complejos o sobre números reales y se habla por ejemplo por los reales del teorema de Sylvester de Inertia de Sylvester pues ya allí es un principio un principio en que se ve que la clasificación es a valores en números complejos es muy sencilla hay una sola forma cuadrática y no degenerada en cada dimensión mientras el análogo por formas cuadráticas reales necesitas también saber lo que se llaman la señatura o sea necesitamos saber sabemos que cada forma cuadrática se demostra con cuerpo de característica diferente que dos se puede diagonalizar diagonalizamos y obtenemos algo de la forma a 0 x0 cuadro más a 1 x1 cuadro más a 2 x2 cuadro más a 3 x3 cuadro igual a 0 quiero enfatizar que esto no es como yo lo haría porque no me gusta nunca de tener que tratar separadamente el caso de característica 2 pero bueno por simplificar la presentación esto es algo que normalmente se ve y en el caso en que el cuerpo sean por ejemplo números reales muchas veces se ve que se pueden absorber los aconí o por lo menos los valores absolutos de aconí dentro de los cuadrados y reducirnos a una forma que es igual que ésta simplemente que lo coeficiente son más o menos 1 y se demostra normalmente que el número de más 1 el número de menos 1 es invariante de la forma pues esto en el final nos conduce a una clasificación de los pulidomios homogéneos de grado 2 por ejemplo en 3 variables en 4 variables realmente en cualquier número de variables pero como estamos haciendo este caso y en particular voy a empezar por el caso más sencillo que es el caso de los números complejos o más en general de un cuerpo algebraicamente cerrado hay una única forma cuadrática homogénea forma cuadrática no degenerada en 4 variables son todas equivalentes entre ellas entonces si k es algebraicamente cerrado pues entonces puedo elegir yo una forma cuadrática que define algo de suave porque sabemos que son todas equivalentes entonces voy a elegir ésta x y igual vz perdón he cambiado las variables las he llamado ahora x y y vz porque escribir los índices no me gusta a mí y imagino que nos gusta a vosotros verlos escrito pues esto resulta ser una forma cuadrática que define una variedad suave de hecho en cualquier característica tampoco tengo que estar excluyendo la característica 2 esta es la razón porque no me gusta de diagonalizar mejor por mi punto de vista de diagonalizar y esta variedad tiene una propiedad que se ve en cuanto se haya estudiado un poco de geometría algebraica que es que contiene curvas muy especiales si yo miro esta variedad y veo que si pongo x y vz por ejemplo a 0 estas ecuaciones están automáticamente satisfechas esto significa que el lugar de los 0 de x y vz esta interamente contenido en el lugar de los 0 de x y menos vz y lo que es particular de esto es que este lugar aquí en lugar de los 0 de x y vz es otra vez algo de grado 1 excepto que esta definido por dos ecuaciones entonces tendrá codimension 2 en p3 entonces define una recta en p3 entonces obtenemos que esta variedad que era nuestra superficie de grado 2 contiene una recta y claramente podemos ver que de hecho contienes muchísimas rectas de hecho y más contiene infinitas rectas por lo menos el cuerpo es infinito para escribirlo aquí todavía luego va a cambiar página pero quería mantener todavía esta página un momento aquí y esto es algo de muy especial y estas rectas son exactamente lo que yo estaba diciendo al principio que son algunas de las curvas que nos ayudarán a comprender como esta hecha la superficie vamos a ver cómo podemos encontrar a esta recta si nos supiéramos que tenemos esta recta en la superficie pues tenemos esta ecuación y podemos voy ahora a cambiar página voy a hacer un dibujo voy a dibujar mi cuadrica o sea el lugar de los 0 de mi ecuación de una manera que por lo menos con los puntos reales según algunas elecciones de los coeficientes puede ser razonable y lo que voy a hacer voy a usar que esta cuadrica esta contenida en p3 de acá y que en p3 sé que hay hiperplanos sé que hay lugares de los 0 lugares geométricos definidos por una sola ecuación de grado lo que voy a hacer es hacer de intersegar mi superficie con un plano al intersegar mi superficie con un plano voy a tener una curva en este plano de grado 2 entonces normalmente esta curva de grado 2 va a ser una conica suave lo que se ve aquí normalmente si intersego voy a obtener una ellipsis una hiperbola una parábola a veces si tengo una o mala suerte dependiendo de las situaciones no voy a tener una curva suave y voy a tener una curva singular por ejemplo si fijo un punto de mi de mi cuadrica y considero al plano tangente a la cuadrica en este punto lo que voy a obtener van a ser una conica que tiene que pasar por este punto una conica singular puede ser singular y cuando es singular una curva de grado 2 singular es muy sencilla es la unión de dos rectas voy a decirlo simplemente porque no me siento cómodo en decirlo pero es muy no es muy útil en esta situación resulta que estas dos rectas la cuadrica es suave estas dos rectas tienen que ser distintas no pueden ser la misma entonces no puede ser que estas dos rectas coincidan pero aunque coincidiesen sería de toda forma el lugar el lugar geométrico de una ecuación de grado 2 entonces sería el cuadrado de una forma linear que define esta recta de toda forma esto no pasa porque la superficie suave no puede pasar lo quería quitar de mí de esta manera vemos que la curva, la intersección con un plano general es una conica que son curvas sin sencillas pero son menos sencillas que rectas entonces al conseguir una sección plana singular obtenemos información mejor sobre la superficie deducimos que la superficie no solo contiene conicas sino que contiene muchas rectas entonces esto es exactamente algo que vamos a hacer de manera muy implícita durante este curso vamos a empezar por una variedad o una superficie vamos a intentar encontrar maneras de encontrar curvas en nuestra superficie que sean mucho más sencilla o por lo menos que sean más sencilla las curvas obvias que ya sabemos que existen preguntas muy bien como veo que tengo todavía 5 minutos voy a hacer también el caso de grado 3 porque ninguna persona que haya estudiado geometría algebraica puede evitar de hablar de las cúbicas suaves en p3 esta va a ser una cúbica suave en p3 estamos sobre un cuerpo cuerpo K y espero imagino que por lo menos muchos entre vosotros hayáis escuchado que una cúbica en p3 contiene siempre suave, contiene siempre 27 rectas contiene 27 rectas este es un resultado clásico no es muy sencillo de demostrar tampoco es muy complicado de demostrar y de hecho una posible prueba de esto se puede hacer siguiendo las líneas de lo que vamos a hacer nosotros en este curso y la razón por hablar de esto es que intento hacer un dibujo de esta situación tenemos muchas curvas sobre nuestra variedad cúbica y lo que he dicho es que hay 27 rectas de vez en cuando vamos a encontrar rectas en nuestra superficie se pueden encontrar de hecho con una técnica muy parecida a lo que hemos hecho por la cuadrica podemos empezar con un plano tan gente a un punto en nuestra superficie obtenemos así una cúbica plana con un punto singular al mover el plano tan gente a lo largo de la variedad bidimensional de puntos de nuestra cúbica vamos a tener una familia dos parámetros de cúbicas y vamos a poder garantizar requer una demostración pero sustancialmente se puede verificar que en esta familia vamos necesariamente a encontrar alguna cúbica que son reducibles que contienen una recta y cuando tenemos una recta podemos proceder de allí de forma de forma bastante más sencilla lo difícil es producir la primera una vez que tenemos la primera luego se hace y la razón por hablar de esto es que estas rectas son ejemplos de algo que veremos mucho durante este curso son ejemplos de lo que se llaman menos uno curvas veremos detenidamente menos uno curvas mañana lo que sí quiero decir es que las menos unos curvas otra vez si habéis hecho un curso de geometría algebraica es muy probable y esto el blow up como ejemplo de construcción a partir de una superficie de otra superficie entonces el blow up de una superficie en un punto produce otra superficie y esta superficie tiene una curva muy especial es exactamente la curva que el blow up introduce otra superficie con una curva especial esta curva especial es otra manifestación de una menos uno curva esta curva especial es una menos uno curva y lo bueno de esta situación y de las menos uno curva es que de la misma manera en que un blow up produce una menos uno curva a partir de una superficie si encuentro una menos uno curva en una superficie puedo deshacer el blow up puedo hacer lo que se llama un blow down puedo contraer una menos uno curva que he encontrado y conseguir de esta manera una superficie que es cualitativamente por lo menos más sencilla que la superficie desde que he empezado entonces en cuanto encuentro una menos uno curva estoy contento porque pienso voy a poder simplificar mi superficie contraiéndola y estudiando la superficie que obtengo contraiéndola si además luego encuentro más menos uno curva seguiré contraiendo hasta que no puedo contraer nada más cuando no puedo contraer nada más espero poder clasificar lo que queda si hago este programa a partir de una superficie cúbica pues resulta que no voy a tener después de muchos pasos una cuadrica o p2 pues iterando a partir de una cúbica obtenemos una cuadrica p2dk y para obtener esto realmente el cuerpo tiene que ser algebrecamente cerrado si no bueno si no veremos lo que pasa bueno mi tiempo se ha agotado la pregunta dudas yo tengo un comentario muy muy muy muy muy pequeño en verdad lo que nos has contado de grado 2 es precisamente la razón por la cual a las secciones cónicas se le llaman secciones cónicas si no sé si lo he dicho si no si no sé si he dicho a ver creo que he hablado de secciones cónicas si no lo he dicho son secciones planas de cuadricas y no sé si he dicho que estas se llaman cuadricas creo que si pero no se simplemente que se llaman históricamente secciones cónicas porque uno toma un doble cono es decir una cuadrica con la singular en un punto ah si y los grigos las llaman cónicas precisamente porque uno comenzaba con un doble cono si si muy bien muchas gracias por decir esto si se llamaban secciones cónicas y de hecho en este caso en el caso de un cono cuando la cuadrica es un cono que quiero enfatizar que en nuestra situación esto no pasaría porque un cono es singular pero bueno he dicho que se pueden arreglar las cosas entonces si se puede también considerar este caso y si en este caso considero un plano que contiene el vertex, el cono entonces es muy claro que vemos dos rectas contenida en este plano y de hecho voy a dar la vuelta a la página al mismo tiempo en que hemos visto este ejemplo hubiera podido decir y no sé si se me ha olvidado o no lo he pensado que si simplemente pongo igual a cero una de x o w por ejemplo w lo que me queda es que puedo elegir si es x o y de cero entonces en el plano w igual a cero hay dos rectas hay la recta x y w igual a cero pero al mismo tiempo también hay la recta y w igual a cero y estas serían las dos rectas que se ven de esta imagen repito esto es singular de lo que pasa en nuestra situación pero es muy parecido hay otras preguntas o comentarios yo tengo parte de preguntas pero voy a preferir a los estudiantes de otras personas yo tengo una pregunta creo que hago una pregunta escucho muy flojo pero si ok mi pregunta era sobre el último comentario él comentaba que iterando a partir de la cúbica y vamos a obtener las dos fabricando en pk2 esa construcción es análoga lo que está haciendo o de dónde hay que partir aquí he ido un poco rápido porque he visto que se me estaba agotando el tiempo lo que quería decir he dicho que en una cúbica hay 27 rectas entonces si elijo una de estas rectas veo que es una menos uno curva y descubro después de mucho trabajo que las menos uno curva se pueden contraer cojo mi recta que he encontrado aquí y la contraigo la contraigo tengo una nueva superficie que ya no es una cúbica en p3 es una superficie bastante diferente y es una superficie que admite blow up que me vuelve a dar la cúbica que yo tenía antes pero una superficie nueva que tendrá sus propiedades esta superficie como la cúbica tenía 27 rectas resulta que también contiene otras que son como las rectas de la superficie que había empezado contiene menos, de hecho contiene 16 pero sí contiene entonces elijo otra de estas 16 menos unos curvas que quedan y la contraigo y resulta que quedan 10 10 menos uno curva después contraigo otra resultan 6 contraigo otra y dependiendo de como he hecho las cosas me quedan 3 o 2 a este paso me quedan 3 y a este punto contraigo otra y dependiendo de como hago las cosas o obtengo una cuadrica como contracción accesiva o obtengo algo que todavía admite otra contracción y obtengo que 2 entonces aquí simplemente he querido decir busco menos unos curvas y las contraigo en el caso de una superficie cúbica todas sus menos uno curvas son rectas si contraigo una o tengo otra superficie busco sus menos uno curva y la contraigo una busco las menos uno curva de la contracción y contraigo una y al final llega una situación en que ya no tengo menos unos curvas cuando no tengo menos unos curvas lo que obtengo o algo que a isomorfa una cuadrica o algo que a isomorfa p2 esto era lo que quería decir también quiero decir que no tiene por qué ser obvio esto no es nada obvio lo que estoy diciendo es simplemente una idea de que es lo que vamos a estar haciendo durante este curso pero no hay casi nada de obvio en este ejemplo era una pregunta no he entendido si había una pregunta o no he escuchado alguna palabra disculpeme aquí me escuché mejor si mucho mejor estaba insultando si entonces cuando usted hablaba del blow up es un término que estoy perdón de entender hace referencia a la contracción y al cambio de espacio que está formando blow up está definido en las notas y voy a hablar probablemente mañana un poco más de blow up pero si x es una superficie decimos suave tuanes de la que estamos considerando puedo siempre y busque elijo un punto en esta superficie puedo construir el blow up en el punto de x y muchas veces se identifica la superficie osea el blow up de x en un punto es otra superficie siempre tuanes suave, geometricamente integra y proyectiva que es isomorfa x fuera del punto p y reemplaza el punto p por una curva esta curva se llama el divisor excepcional y resulta ser una menos uno curva técnicamente cuando hablo de blow up me gustaría referirme siempre al morfismo entre el blow up entre la superficie y la superficie nueva y la superficie vieja a veces por imprecisión por rapidez por simplicidad puedo llamar directamente la superficie arriba el blow up pero realmente tengo que acordarme el blow up me esta haciendo pensar que hay un divisor excepcional y este divisor excepcional es un dato que tengo que tener a mente o que dar si no lo estoy deando estoy siendo un poco impreciso mas claro ahora? si, si, gracias algo mas bien, temas de algo para el punto bueno, yo quería solo clarificar un poco mas solo para confirmar cuando hablas de recta es simplemente una copia de p1 ahí dentro, cierto? pues no exactamente cuando estamos en un contexto en que hay un espacio proyectivo de referencia como este aquí estamos en p3 cuando digo recta literalmente quiero decir un subesquema definido por ecuaciones lineales que tiene dimensión 1 es diferente a algo que es isomorfo a un p1 y un ejemplo muy sencillo son exactamente las secciones cónicas de que estamos hablando antes si cojo una cuadrica en p3 y la interseco con un plano y obtengo algo de suave y si estamos en un cuerpo no algerricamente cerrado esta curva suave tiene un punto que automático en el caso de un cuerpo algerricamente cerrado la sección cónica la cónica es isomorfa p1 pero no es una recta en p3 es una cónica tiene grado 2 entonces cuando digo recta estoy intentando comunicar algo que mas fuerte que simplemente isomorfa p1 implica isomorfa p1 pero muchas veces hay algo de linear a lo mejor un poco escondido pero tiene que haber algo de linear para poder realmente llamar la recta y no simplemente curva racional por ejemplo que es una curva isomorfa p1 o curva de genero 0 o cualquier otra cosa que la gente empieza a decir para no estar hablando literalmente de rectas aunque sean cosas que son isomorfa p1 hay situaciones en que son isomorfa sobre una extensión a p1 hay situaciones en que son curvas con nexa con genero aritmético 0 hay varias variaciones sobre el tema de que es una curva que puede ser p1 que pueden incluso estar un poco lejos de la intuición inicial que uno pueda tener y que pero por alguna manera son análogas o generalizaciones de una curva racional cuando digo recta estoy pensando algo un poco mas que una curva racional estoy pensando en una curva racional que también tiene algo de alguna parte que es igual a 1 puede ser el grado, puede ser la intersección con algo que es igual a 1 tiene que tener algo mas para que yo realmente considere que llamar la recta sea apropiado como siempre puede también que abuse la notación y llame recta a una curva que simplemente es isomorfa p1 pero en el caso de una cónica me resultaría raro decir que una cónica es recta intento evitar hacer esto y hiciste un comentario de que los puntos sobre cada de la variedad no definen, digamos no determinan necesariamente las ecuaciones que definen la variedad el caso el grado era muy exercional pero mencionaste que hay el funtor que toma puntos sobre cada algebras por ejemplo si tienes todos esos si tienes información sobre todos los puntos que están dentro del espacio y que es todos los puntos eso si determina la estructura si, de hecho el hecho que lo determina no es muy difícil es sustancialmente lo que se llama el lema de Ioneda porque realmente si empiezas a mirar exactamente que significa el funtor de los puntos estás mirando a todos un fismo de todas las algebras a valores en el esquema de partencia entonces estás inmersiendo la variedad a través del funtor de Ioneda porque está mirando todos los mapas que tienen valor en el esquema y no es totalmente obvio pero es lo que la gente normalmente llama abstract nonsense el hecho que el funtor de los puntos si determina la variedad que es una forma tal vez un poco más fácil de pensar lo que está pasando porque personas que de pronto no están acostumbradas con esquemas y eso pensar como los puntos de hecho es muy útil simplemente de pensar si hay un cuerpo K y estoy estudiando una ecuación a valores en K puede ser muy útil simplemente de pensar a las extensiones de K entre K y K y cómo los puntos varían en estas extensiones por muchas variedad de hecho por todas las que veremos nosotros esto también determina la variedad no hace falta mirar todas la K algebras mirar simplemente a los cuerpos que contienen K es suficiente hay una idea de esquemas que contienen suficiente puntos y esto significa que los puntos a valores en el cuerpo base son suficiente para determinar la variedad y sus propiedades ser un cuerpo no es suficiente que la base sea un cuerpo no es suficiente pero por muchas propiedades ser un cuerpo alcergamente cerrado si es suficiente a lo mejor se pierde algo si pierde sobre todo información no reducida entonces no se pueden reconstruir un esquema pierdo información impotente si puedo reconstruir el esquema reducido por ejemplo y como todas las variedades que veremos sobre todo la superficie van a ser suaves en particular reducidas incluso geométricamente reducidas no se va a perder mucho pensando a un cuerpo y a todas sus extensiones pero pensar en el cuerpo solo es seguramente demasiado poco gente estamos 6 minutos sobre la hora el siguiente curso debe continuar dejemos los comentarios para llevar la sesión de la noche y ahora quisiera me interesaron mucho los comentarios pero debemos parar y dejar en lugar al siguiente curso es lo que te entendía que trataba de decir con tiempo te está muy bien, no vi la cámara disculpa bueno, agradezcamos y ahora pasemos al mini curso 3 comenzaremos dentro de menos 6 minutos es decir ahora comencemos Mateo