 Oké, als iedereen zetend is, kunnen we erop gaan. Voor twee uur van de tutorial. Op iets die de X-cultuur is. Ik ben Bob. En ik ben de grotere scientist in Quantinium. En dan wat andere dingen. Ik zal wat meer over dat later. Ik geef wat referenties voor wat ik ga zeggen. Eerst van alles. Er is een papier die ik direct ga volgen. En dan kan je het op de archive. Er is een boek. En een andere boek. Laten we ze laten zien. Dit is het papier die ik volg. En dit is waar... Ik ga eigenlijk hetzelfde doen als ik het een paar maanden geleden heb. Wanneer onze record vraagt mij om een paar leuks op de X-cultuur te geven. Voor zijn studenten. Want ze requesten dat. Dat is in de Maths-departement van Oxford University. Dit is precies wat ik ga volgen vandaag. Er is ook deze boek. Quantum in Pictures. By mezelf en Stefano Gugioso. En wat speciaal van dat boek. Ik weet niet of je het kan readen. Hallo, daar. Want u wat quantum? Misschien denk je dat je niet genoemd hebt. Dat is geen probleem. Deze boeken zijn een nieuwe soort van math die je allemaal over de quantumwereldt. En dan bla bla bla bla bla. Alle dingen die we gaan zien. Dus eigenlijk is dit een boek. Dat is reedbaar door mensen die geen math weten. Dus eigenlijk wat je vandaag gaat leren is een nieuw manier om quantum-mechanies te doen. Dat kan eigenlijk heel sophisticated dingen doen. Maar voor die moet je geen math weten. Dus dat is echt cool. Nu, als je een beetje geluid wil. Dus ik denk dat je vandaag een klein beetje van wilde-spaces weet. Ik denk dat je een klein beetje van directnotation weet. Dat lijkt me ook te hebben gelegen hier ook. Oké, dus als je een beetje diep wil vertellen later. Dan is er ook deze boek met Alex Kissinger die het noemt de dodeboek. Dat is een coör van Oxford University. 30 jaar, 40 jaar studenten. En dat geeft je Hilbert space uit de foto's. Dus je begint met foto's en dan explain je hoe Hilbert space uit dat gevoel is. En als een tezer. Wat je hier ziet is de volledige beschrijving van quantum-teleportation die de dode is aan het denken. Even een uitstinkt animal. Misschien niet uitstinkt. Een uitstinkt animal kan uitstinkt quantum-teleportation in foto's. Oké, dus laten we een introductie geven wat het ZX-calculus komt uit. ZX-calculus gaat terug in 2007. En Ross Duncan, hij is de head of quantum software at Quantinium and Myself, we kwamen met het. We deden een line of research called Categorical Quantum Mechanics which required you to know a hell of a lot of mathematics. It started as a super abstract thing all this and then it became like a baby thing. I mean it started a long time ago but it took quite a while before people actually started to pick it up. The community started to pick it up. I can give sociological talk about that, why that is the case. I won't do that. But like now more recently it's very widespread in quantum industry and that's why you're getting two hours of it. So this paper by PsyQuantum which is the largest photonic quantum computing company and they just use this as their main language. They usually only speak this sort of language like the ZX-calculus is an immensely useful graphically. So it's especially in quantum optics that it's pretty much impossible quantum photonics to just use Hilbert space language. It's too complicated, it's a big mess. And with these diagrams which you're going to learn about today things become actually quite easy and so all the photonic people are using it not just PsyQuantum. And then more recently this is Peter Schor, who you must know about. So he's also now starting to advocate ZX-calculus for error correction. He said like everybody does error correction should actually be doing this. That's what he said. And he's teaching ZX-calculus MIT now. So this is all quite recent you see. 2023, this doesn't have a date. I think this was 2022. Recently there has been a boom in this stuff. People start to realize how valuable this was. So these are now all the companies I know of using it. So again that's all very recent development for whatever reason. Okay, let's start with the meet. So we're going to talk about something which I will call process theories. So process theory is a theory not like all your theories of physics you've ever been taught about where you start with a kinematic description and then a dynamic description. Process theories are theories where you start with processes. So the basic entity of your theories process and the way you compose and plot processes together. That's sort of the basic ingredient of the theory and just to give you some history. A long time ago, not in Italy but in Greece some 2400, 2500 years ago there were two people. One was called Heraclitus and the other one was called Parmenidus. Parmenidus said the world is always in a static picture and the world is really a bunch of pictures just placed after each other. But at any moment of time there is a static picture. Heraclitus said no, no, no, the only thing which exists is flux and process. And they were arguing a lot and they were arguing a lot and what happened historically is that everybody was following Parmenidus. So now we get the theory of physics they first give you a static picture of kinematics and quantum mechanics as a Hilbert's structure and then they sort of generate dynamics over it. So we are going back all the way to Heraclitus. We're starting with processes. The only person who kind of has been going in that direction was Whitehead, the mathematician Whitehead, philosopher in the previous century what he called process ontologies. But here it's a bit different and the way we write things down is for us a system is a wire. A wire is something where you can think a quantum particle or a classical particle or some food or some water or some electricity or whatever can flow. So things flow in wires. I need to say I've got multiple wires next to each other so multiple things can flow through the wires in parallel and a box is something that acts on wires. So this could be in quantum, a quantum measurement, this could be classically a computer program, this could be an oven in which you put your food and then cook it. So this can be a lot of stuff. So we've got these wires and boxes and they are going to be the basic ingredients of our language. And then we're going to look at some very special wires and boxes. So we read these diagrams from bottom to top just by convention. And if you have no input and only outputs then we call it a state. That's something that's given. I mean it's the result of some process. You don't know where it started. You don't know where it came from. It's the result of some process. And you can act on it. You can do stuff with it. That's what a state is. You don't care where it came from. You've got it and you can do stuff with it. And then the dual notion where you only get inputs and outputs is something we call an effect or a test. It's basically verifying whether something is the case. Or a question. You can think of these as question and effect. Question, test, blah, blah, blah. It's all the same. En this is actually... So there was this person, Dirac, who had been riding on this board I was told a while back. So actually what I've been teaching you is Dirac stuff. So here you see this is my triangle where some wire comes out, no input. I rotate this a little bit and then I chop off the corners and then I get a cat. I take this triangle, this effect. I chop off the corners on this bit and I get a bra. And if I compose these two and do the same, I get a bracket. So Dirac notation is really an instance of these wires and inbox stuff. So basically what we're doing is a two-dimensional generalisation because you can both... So if you compose cats and bras, that would be this direction. That would be like the vertical direction. En we compose wires horizontally with the tensor product. I don't know whether you've ever tried using usual Dirac notation and try to describe something like entanglement swapping. It's a complete mess. It's a complete mess with indices and all that because quantum physics doesn't want to live on a line. He wants to live in the plane because you've got these two different compositions. You've got composition in time and then you've got tensoringsys... What do you know how to do? You see tensoringsystem is another dimension and composition in time. And that's why these things want to live in two dimensions. And that's what it is all about. I mean, this field started under the name categorical quantum mechanics, like for this two-dimensional representation. Then now we call it process theories. In the middle it was kind of called quantum picturalism or something like that. Okay, so there are numbers. Numbers are boxes without inputs and outputs. A box without an input and output. That's a number. You can think of it as a probability or something like that. You can think of it as a probability or something like that. And what's special about the numbers is because they have no wires to constrain them. They can just dance around each other. You can just dance around each other. They're completely free. You can stick them wherever in the picture you want. It doesn't matter anything. I've got a question. What would be the meaning of an empty picture? We had just a blackboard with nothing on it. What would be the meaning? Any guess? Ja, that's true. No system, nothing. It would be the number one. It would be the number one because you can join it to everything. I can take this picture and stick an extra bit of blackboard to it and nothing changes. So it's the number one. It doesn't change anything. All right. The main thing you can do with these boxes is you can compose them. Here I compose a bunch of boxes and I get a process with inputs and outputs. Here I compose some, but there is no input. So this is like a composite state. And this is a composite number. So some diagram like this without inputs or outputs. That's just a number again. So that's how probabilities rise in a theory like this. Okay. So these were general boxes and wires. And now I'm going to go to very specific boxes and wires. And this is the notation or the language of the X-calculus. And they will be representing very special linear maps. I mean, you can also interpret these things in other theories than linear maps in absurd toy theories and stuff like that. This is still possible, but for today we're going to just stick to linear maps and stuff like that. Okay, there they are. That's the X notation. We've got a bunch of wires coming in and a bunch of wires coming out. And that's what we call a Z-spider, Z from the Z observable. And then you've got this red dot here with a number of wires coming in and a number of wires going out. And this we call the X-spider. Why do we call them spiders? Because they look like spiders. I mean, there is a technical name for these things. And if you prefer a technical name, you can use that. And I always have to think hard dat er special, dagger, commutative Frobenis alsbra. Dat is wat het is. Maar ik denk spider is een beetje beter. Oke. Ja? Oh, oké, ik zal het uitleggen. Er zijn verschillende dingen. Ik zal het vertellen, anders zouden ze niet er verschillende kleuren zijn. Ik zal ze nu definieren, dus er zijn verschillende dingen. Er zijn twee verschillende dingen. Ik gebruik een direct notatie voor dat. Maar ja. De reden voor deze kleuren is Rosdank en ik waren in mijn office in 2007. En ik heb twee pens, een red en een groene. Dat hebben we gegeven. Er zijn veel dieptaten. Dus hier is de definitie om de vraag te vragen. Dus de manier waar je deze dingen over defineert ik ben nu in de keuze in de keuze het is voor een twee-dimensionale Hilbert space is dat je eigenlijk de sumt van hier heb ik een input. Dus ik heb een bra met een input hier, met 0's een bra met een input hier, met 1's en dan heb ik de ket met de nummer van output, 0's en 0's en dan heb ik hem op. Dus dat is de definitie. Dat is de definitie van de zee-spijter. Nu deze definitie van de x-spijter en zie je wat ik heb gegeven hier heb ik de plus-basis en de minus-basis zonder de 0- en de 1-basis Dus dat is waarom ik deze van Oh sorry Ja Dat is waarom ik deze van deze van ik de zee-spijter want ik gebruik de zee-basis en deze van ik de x-spijter want ik gebruik de x-basis en dat is de verschil. En zijn ze verschillend? Wat denk je? Laten we eens kijken. Dus Anyway, je weet dit. Je weet deze basis, deze notation? Alles weet dit? Ja, 0, 1. Ik denk dat het heel klein is hier. Oké, hier zijn er wat exemplen. Dit is de Laten we deze nemen. Dit zou 0, 0 0 plus 1, 1 1 Dus dat zou de eerste zee-spijter zijn. Dus deze, deze zie je het heeft 2 2 uitleggers en 1 input. Als ik dezelfde voor plus- en minus- ga, krijg ik hetzelfde? Ja, wat denk je? Dus wat is dit ding doen? Als ik in een 0 staat, dan krijg ik 0, 0 uit. Als ik in een 1 staat, dan krijg ik 1, 1 uit. Nu Dus, ze krijgen gewoon kopie. 0 en 1 worden kopie. Is er een andere staat die dit ding kopie zouden zijn? Is er een andere staat die dit ding kopie zouden zijn? Inderdaad, door de Cloning Theorem, we weten dat als een operatie 2 staaten kopie is, dan moeten deze staaten orthogonal zijn. Er zijn alleen 2 orthogonale staaten op de cube. 0 en 1. Ik denk dat er geen 3e is, dus deze operatie zouden gewoon kopie zijn, 0 en 1. En niets meer. Dus als je in een plus-staat krijgt, dan krijg je de bel staat uit. Als je in een plus-staat krijgt, dan krijg je de bel staat uit, dan krijg je deze 1 plus deze 1. Als ik dezelfde doe voor deze 1, dan krijg ik de plus-staat en de minus-staat. En niets meer. Dus er zijn genereel verschillende dingen. Meer dan dat, deze ding. Als ik je deze of deze, of ieder andere zoek, misschien voor een andere base-spider, dan krijg je deze operatie de basis. Het bevindt de basis, het characteriseert de basis als die elementen die het kopie zijn. Dus dit is eigenlijk een representatie van een basis. Ik ga niet naar het, maar we hebben een theorem, die is een non-trivial theorem. En dat is, als je alle spiders en dan luistert wat regels op, die we later gaan zien, de regels die de behaviour van de spiders bevinden, dan er altijd in 1-to-1 correspondence met ortonormal basis. Dus de antwoorden en de kleuren, wat dat betekent, betekent ortonormal basis. Dus elke familie van spiders, elke kleur correspondt met ortonormal basis. Ik kan een hele rand voor veel verschillende basis, of je wilt. We hebben het niet nodig. Dus dit is een kopie. Dit zou een deel zijn voor deze kleur. Kopie en deel. Als we nu kijken op 1-input en 1-output, dus dit is eigenlijk alleen 1-0 en 1-0 daar en 1-1 en 1-1 dan, dan krijg je identiteit. En natuurlijk, de identiteit is dezelfde voor beide kleuren. Dus de identiteit is een voorbeeld van een spider. Als we deze nemen, dus er is geen input, dan krijg je 0-0 plus 1-1, belstate. Dit is de belstate. Dit is de belstate. En het is dezelfde voor beide basis. En dit zal de bel effect zijn. En het is dezelfde voor beide basis. En iedereen kan weten wat dit is. Louder. Dus je hebt geen input. En 0-0-0 plus 1-1-1. Dat is g at zee state. Dat is g at zee state. Dat is g at zee state. Dus je ziet, met de spiders, je kunt al redelijk representeren. Deze mensen konden dit coherent kopiën gelijk bij de basis. Dus je kunt ze representeren. Je hebt de kuppen, de belstate, bel effect, g at zee state en wat andere dingen. Dus wat kun je al redelijk redden. Spiders zijn niet goed of riche genoemd voor ons. We hebben ook, zoals veel spiders in de natuur, we willen de spiders om een decoratie te hebben. En deze decoratie is iets die gewoon de fase verschillen tussen de eerste en de tweede termen. Dus dit is een beetje meer notatie. En we konden ze phases. We konden ze phases. Deze dingen eigenlijk voor totaal abstract redenen. Spiders brengen een speciale commutatie voor benen. Voor abstract redenen, ze vormen altijd een groep. En natuurlijk, dit is de cirkel. Dit is de cirkel van de phases van de kwadertijd van de blokspier. Oké, dus we doen dezelfde voor de andere kleur. We doen dezelfde voor de andere kleur. Er zijn ook mogelijk phases in daar. En nu, dit is nu een generelle ZX diagram. Het zou zijn een bunch van spiders plukken samen. En ze maken karre phases. Dus dit is een ZX diagram. Het ziet er zo uit. Dus je kunt het Spiderweb of iets zoals dat. Spiderweb. Dit is de ZX diagram. Er zijn er zoveel vragen? Ik moet stoppen. Er zijn zoveel vragen aan deze punt? Nee. Ja. Zoals ik zei, we zullen deze dingen van top tot bottom. Maar eigenlijk, het is een goede vraag. Want de natuur van de spiders en hun symmetries zijn zo. Dat is eigenlijk niet belangrijk. Als ik deze foto op de zijkant moet ik deze openen en naam te geven. Maar ooit als ik het geïnteresseerd heb, het zal niet veranderen. Want van de symmetries. Want van de symmetries van deze dingen. Ze zijn heel symmetriek. Zoals je ziet van de definitie. Ik denk, het bedoelt wat ze gaan doen met het. Dus we gebruiken deze om de kwantumcircuit te beschrijven. En dan natuurlijk wil je kijken wat de ingang zijn en wat de uitgang zijn. Maar als ik zo'n laag neem dan kan ik het gewoon plippen en dan en het is gewoon een andere spider. Ik zal het later laten zien. Deze dingen zijn zo veel symmetrie. En eigenlijk, de kracht van calculatie in de X-calculaties is dat, zoals ik zei, kwantumcircuit is dat je kan vergeten dat je met unitrie en circuit gaat. En je kunt veel meer wildere manipulaties doen zoals we zien. We zien intermediate steppen in calculaties die voor rewriting circuit zijn en niet meer vergeten. En dat is eigenlijk waar de kracht komt. Het is een beetje zoals complexe analysies. Complexe analysies over reale systemen, reale nummers. Maar als je naar de complex gaat, kan je eigenlijk veel hogere calculaties doen. En het is een beetje wat hier ook gebeurt. Laten we kijken. Ik ga een paar meer examples geven. Dit is een phase gate. Dit is gewoon de normale phase gate met phase alpha. Je kunt het zien. Laten we terug gaan. Als ik gewoon één input en één output heb, dan is er alleen 1-0 hier en 1-0 daar. En 1-1 daar en 1-1 daar. Dus je krijgt een 1, de off-diagonale elements zijn 0 en een diagonal krijg je een 1 en deze phase. Dus het is een phase gate. Dus deze red pie turned out to be a not gate. Dit turned out to be a not gate, dus dat is cool. En hier is een van de mooie dingen. Ik heb een grotere spijter en een red spijter samen zoals dit. Dat is eigenlijk hetzelfde als doen dit. En dat is de symmetrie dat ik hierover was. Waar het niet heel belangrijk is wat je kunt zien als input en output. En omdat het hetzelfde is als dat. En dit is een c-0 gate. Alleen je basic gates zijn al begonnen voor kwantumcircuits. En de feit dat je kan eigenlijk decomposeer een c-0 gate in twee stukken die heel goed beheefd zijn. En ook geeft je veel kracht om te calculeren of te reden over kwantumcircuits. De feit dat je kan eigenlijk veranderen iets als je niet in twee stukken hebt. Deze twee stukken dat betekent niets meer. Ze kunnen niet in unitie zijn omdat ze drie lakken hebben. Je kunt het nooit in unitie kunnen veranderen. Maar dat is eigenlijk waar de kracht gaat. En als je de c-0 en de pie spijter dit zou de c-0 state zijn en dit zou de 1 state zijn. Red geeft de basis voor groen en groen geeft de basis voor red. De basis-vectoren van groen zijn eigenlijk deze redpoints en de basis-vectoren van red zijn eigenlijk deze groenpoints. Dus zie je dat deze lenguid al heel expressief is in de soort dingen die we kunnen rijden in het. Oké, dus nu ik ga proeven, ik ga een theorem en dat is over de universiteit en dat betekent dat iedere matrix die je me geeft kan rijden in iedere matrix die je me geeft kan rijden in hetzelfde. Iedere matrix. Je kan rijden in hetzelfde. Zoals als zo'n spijterweb. Oké. En ik ga niet een volledig proef geven maar ik ga een handel proef geven dus dat is waar ik het gezegd heb. Nog een lineaire map tussen kubitsen kan het in hetzelfde spijter zijn. Oké. Hoe kan je dat proeven? Eigenlijk is het geen effect en ik ga dat niet proeven omdat je die in boeken kunt vinden dat als je geen kubitsen en kubitsen hebt kan je een unitie expressen. Dat is geen effect van kubitsen en kubitsen. Je kunt een unitie expressen en ze zijn beide kubitsen gemaakt zodat we een unitie kunnen expressen. Nu laat ik deze naar de zero-staten. Dit zijn de zero-staten. Ik kan een unitie kunnen schijven dus ik kan een unitie kunnen om een arbeider te staan. Als ik een unitie kan worden dan kan ik die jongens die een unitie kunnen stellen. Ik kan het unitie tussenkijken dus we kopen nu een unitie en de volgende is, we gaan een unitie en we gaan bijvoorbeeld deze n-outputen aan示ven en we gaan deze n-outputen wel aan示ven en we verwijs ze aan te zijn Dit is genoten als of map-staat dualiteit, van welke staat kun je een lineaire map krijgen, als je dat doet. In deze manier kunnen we eigenlijk een lineaire map representeren. In de Dota-boek geven we een veel meer elegant gevoel van deze fact, niet aan het relangeren van een ongelooflijke werk. Dus we gaan op een univer... Dus de Spijlers zijn een univertische langs voor lineaire maps. Dus dat is een beetje cool. Oké, nu, zover was het gewoon een langs om te expressen dingen. Het is een goede langs, want je kunt alles expressen. Maar de reale ongelooflijkheid is eigenlijk, hoe ga je deze dingen calculeren? En dus hier zijn de regels van de X-calculers, en wat maakt ze zo goed, is dat ze zo simpel zijn. Oké, hier. Dit is de Spijler. Laten we deze Spijlerfusion regels proberen. Het kan geen simpeler krijgen. Als je twee Spijlers hebt die connecten, dan wordt er één Spijler. Het is niet moeilijk, hè? Het is niet moeilijk. En dit is echt voor de... Voor de groene kleur, dus het is een heel, heel simpel regels. Dit afternoon... Dus ik ga een lectuur geven, dit afternoon, wat meer over de research in Quantum AI en dingen zoals dat is. Maar dan ga ik een andere intuition geven over deze particulair regels en waarom het zo cool is. Maar voor nu ga ik gewoon focussen op het listen van ze. Dus hetzelfde is true voor de redden. Ik denk dat dit niet iets dat hard is voor de meiden, hè? Dit is niet iets dat hard is voor de meiden. Dat is het hele punt. En oké. En dit is iets dat ik eerder zei over de symmetries. Als je bijvoorbeeld een Spijler bent, en dan ontdek dit met een kop. Dus dit is een kop Spijler. Dit is een kop Spijler, een andere Spijler. Dus ik neem deze wire. Ik ontdek het. Dan is dit eigenlijk gewoon een kop. Ik kan eigenlijk dan het hele de weg doen, zodat het eigenlijk een input van een Spijler wordt. En dan kan ik het in een uitvoering benden. Dus input en uitvoering zijn heel interchangeable met deze best. En dat is een deel van de kracht, dat je alle dingen kan doen met ze, dat ze zo flexibel zijn. Right. Oké. De phases. Dus wat gebeurt met de phases? Nou, ze worden er gewoon opgegeten. Als ze het opgegeten hebben. Ze worden er gewoon opgegeten. Denk op het. Dit is de genetische materiaal van een Spijler. Dit is de genetische materiaal van de andere Spijler. En ze combineren. Dat is hoe simpel het is. Een heel simpel rule. Hetzelfde voor de redden. Oké. Hier is het. Dus wat gebeurt er? Goed. Is er een klok? O, er is een klok daar. Oké, dat is goed. Nou, wat gebeurt. Als een grotere Spijler met een red Spijler. Dat is natuurlijk waar het interessant is wat er gaat gebeuren. Dus zoals het gebeurt te zijn, als ze door twee wiren verbeteren, zijn de wiren gevolgd. Als een grotere Spijler verbetert met een red Spijler. En er zijn twee wiren. Dit is de wiren gevolgd. Ik denk dat ik het... Dus dit is een soort... Ja? Ja. Ja, heel belangrijk. Dus een gewoonstijdt. Als een wiren gevolgd is, deze twee dingen zouden nooit verbeteren. Dus we zouden hebben een slechte theorie. Dus het is echt... En ik zal wat het betekenen. Ik zal wat betekenen. Ik zal wat betekenen later. Waarom? Dus wat is de intuïtie achter dit? Dus eerst, let's... Let's try the very simple... This is sort of a simpler version of the same. So I got green and red connected. Two in the middle, they fall away. So that's a simpler version of the same. You can actually show that this equation is equivalent. So remember, green is a basis and red is a basis. They're both orthonormal basis. Because of the copiating operation determines an orthonormal basis. So the way you have to think about it is like, this is a relation between two orthonormal basis. Can anybody guess which relation this could be? What is the sort of one special relation to orthonormal basis? Can I have? I don't hear it. Did anybody ever hear about mutual on biasness? Mutual on biasness. So mutual on biasness... So this is an expression of mutual on biasness. Mutual on biasness means if I got two orthonormal basis, for example we're going to call them red and green here, en I take a basis vector of the red basis, then it will have equal probability to all the basis vectors of the green basis. So a basis vector of one basis has equal probability to the basis vectors of the other basis. So they're sort of maximally apart. They're maximally apart. On the block sphere, on the block sphere, it means they're orthogonal. On the block sphere, it means they're orthogonal like z and x. So it's a special relation that basis can have. En deze equatie exacte expresst dat relatie. En we gaan deze even in operatieve termen zien later. Dus dit is een heel belangrijk relatie. Dus eigenlijk, wat we hebben gehad hier, we hebben 2 muziek. In de oude dagen, ze wilden dat complementariteit genoemd. Complementarie basis en exemplen waren positie en momentum. Ze waren complementarie basis. Dus ze waren de eerste als mensen over positie en momentum. Maar andere complementarie basis zijn z en x, of x en y, of y en z. Ze zijn allemaal complementarie of mutual en bias. Want ik repeat, als we een basisvector van een van de basisen hebben, dan hebben we de geluid van de basisvector van de anderen. Dat is mutual en bias. Dus we hebben nu 2 basisen in een heel speciaal relatie. En, oké. Dus we zullen deze complementariteit spelen. Dus het is een heel belangrijk relatie. De basisen zijn maximaal apart. Maar dan ontdekken we iets heel weerder. We ontdekken dat ook z en x deze relatie ontvangen. Z en x ook de relatie ontvangen. De z en x-spiders. En ik zal het wat ze betekenen. Ik zal ze een beetje meer analyseren. De 200e rijden zijn heel simpel. Ze zeggen dat de 0 basisvector bezocht is door de z-spider. Dit is iets wat ik hier heb gegeven. Deze 1 kop is 0 en 1. En dat is eigenlijk wat deze zeggen. De red dot was de 0 state. Als je de 0 state neemt en de grotere spider, dan krijg je 2 0 states. En dit zei dat als ik de plus state neemt en de red spider, dan krijg ik 2 plus states. Dus eigenlijk is dit de expressie van de kop. Wat is een soort van beest dit? Wat is een soort van beest dit? In mathematics is het iets dat er weer was. Knone en de mensen konden dit een bi-algebra. Dit is een bi-algebra. Het was een knone ding. Maar in dit context hebben we spijters, maar ze deden het expressie van spijters. Ze deden het voor wat de monoid en de commanoid is. Niet voor de spijters. Oké, laten we kijken. Deze equation, die de mathematicians vaak zeggen, ik ben preferend om dit te zeggen. Het is eigenlijk wat je hier krijgt. Je krijgt een 4 cycle. Het is een 4 cycle spijters. En dan, wat je kan doen is, je zegt dat er een aantal van deze uitvoers zijn. Je neemt alles dat connecte naar red en connecte naar groen. Je ziet 4 en 2, ze zijn connecte naar red daar. En hier 4 en 2 zijn connecte naar groen. En ik neem alles dat connecte naar groen, die is 1 en 3. 1 en 3, ik connecte ze naar red. En dan connecte ik deze twee kleuren. Dus eigenlijk, wat dit doet voor mij, het neemt een square en het krijgt red van het. Het krijgt red van squares in mijn spijters. Dat is wat het doet. Laten we nu terug naar de vorige. Wat zal dit doen? Dit krijgt red van 2 cycle. Dit krijgt red van 2 cycle. En, denk je dat je deze equation zou gebruiken om de 1 te proeven om red van squares te krijgen? Gewoon gebruik je je intuïs. Nog nooit, want dit gaat gewoon over 2 cycle. Dit is niets van squares. Dus het turnt uit, het turnt uit dat deze equation, deze drie equations samen, zijn veel strenger dan deze. Ah, dan deze. Wat is het? Dan deze. Deze kan eigenlijk bewerkt worden. Deze kan bewerkt worden van deze. Ik zal deze nu doen. Dus dat is de eerste calculatie. Je kunt het zien. Dus, zoals ik zei, mathematiciën schrijven die zo, maar ik preferer het te schrijven, zoals dit. Gewoon te krijgen van squares. Oké, laten we zien. Dus ik begin met deze de zijkant hier. En nu wil ik mijn square gebruiken. Mijn te krijgen van squares in het relatie om iets te doen met dit. Dus eigenlijk wat ik doe, ik creëer de square. Je ziet, ik pull uit deze grotere spijter. Ik pull uit deze red spijter. Lemmen we. Identiteit, zoals een spijter met één input en één output. Het is gewoon een identiteit. Right? Spijter met één input en één output. Het is gewoon een identiteit. Laten we terug gaan. Want we gebruiken dat hier. Oh, we gaan allemaal terug. Daar zijn mijn exemplen. Dus we gebruiken dit nu. We gebruiken dit nu. Dat plane wire, ik kan een red dotten of een green dotten. En dan, dan kan ik mijn... Oké, hier. Dan kan ik mijn spijter gebruiken. Maar ik gebruik ze van rechts tot rechts. Ik gebruik ze van rechts tot rechts. Ik kan pull uit een spijter. Als ik een spijter heb, kan ik een tweede spijter pull uit. Nou, zoals van rechts, zoals wat de gremlins hebben gedaan. Als iemand deze movie hebben gezien, gremlins, zoals als je water op ze zet, dan popten andere gremlins uit of iets. Ik denk dat je dit kan doen hier. Dit gebeurt met deze spijters ook. Dus oké, waar is de calculatie? Oké, daar is de calculatie. Dus, je ziet, ik kreeg een beetje van de identiteit hier, een beetje van de identiteit hier. Ik heb een red dot op het, een red dot daar, een green dot. En dan ik pull een andere dot uit. Dat is wat ik gewoon aan het uitleggen. Ja? Is dat... Does everybody understand this stuff? Ja? So actually... And now you see I've got a square. I've got a square. So since I've got a square, I can use this. I can use this. You could check, I exactly did this. So now, this red will now be connected to a green. And this green will now be connected to a red. This green will now be connected to a red. Because really what happens here is the green... Oh, sorry. The green and red... Whatever is connected to green becomes red. Whatever is connected to red becomes green. So it's like a commutation. It's a bit like a commutation of two colors. Now let's go again back. You remember these rules. Red copies, a green copies red. Red copies green. We go on. Hop, that's not the one. Okay. So here you see red gets copied. So this red one goes through this green one. En becomes two red dots. You have to sort of see. Look at these sideways. But it's really... This red one is copied through this green one. This green one is copied through this red one. And so it comes out. It comes out. And then there is these two things. And this is just a number. Let's not care about it. It's just a number. We don't care about it. And so what remains is this. So we actually derived. We derived this one from this one. En so since this one was called complementarity, we called this strong complementarity. It's a really weird thing. But so it turns out that many bases, many orthonormal bases, not at all pairs, but many pairs of unbiased or complementary orthonormal bases are subject to stronger equations than the unbiasedness alone. And they are very powerful equations. And they were not known. Nobody knew them in quantum computer. Nobody used them in quantum computing. And they're very useful. They actually turn out to be very useful, these equations, these. Very useful. We're going to see in examples. Oh, good. Okay. Another equation that you actually can derive from the previous ones, which I'm not going to do. I'm not going to do this. But again, this is basically, this equation is copying the one state. So the z-copy copies the one state. And the x-copy copies the minus state. That's really what these equations are saying. So these equations are all just about copying of base states. This one, I'm not going to derive them, but this one you can derive from what we just saw before. They are derivable. Okay. Leave it like that. And then for something, I mean, this is a gate you don't really need because you can actually see, this is the Hadamard gate. Hadamard gate. And does everybody know Euler angle decomposition? So Euler angle decomposition is when you decompose something like the Hadamard gate by certain rotations of the sphere, typically along the z- and the x-axis. So you can actually decompose the Hadamard gate in rotations along the z- and the x-axis of 90 degrees. These are rotations of 90 degrees. This is along the z-axis. This is along the x-axis. So you can actually define the Hadamard gate like that. And then you can show that actually the Hadamard gate becomes a color changer. If I take a green spider and I sort of sandwich it between Hadamard gates, it becomes a red one. And that's a very useful thing to have around. It's a very useful thing to have around for calculations. So that's some extra notation we usually introduce, especially if you do squamming circuits and stuff like that. So the Hadamard gate is a color changer. So the spider fusion is very easy. Spider fusion is very easy. Color change here is very easy. Copying is very easy to remember. The copying. So this is really the only one which is a little bit more difficult to remember. Okay, that's the one which is more difficult to remember. So I'll re-explain. So you see a square here. A square and of course a square is alternating colors, otherwise it fuse together in something smaller. So you got a square with alternating colors. And I've labeled the four wires that go out. So what you do then is you look at all the wires that are connected to green. This is number one and number three. And you connect them to a red dot. You take all the wires which are connected to red. It's number two and number four. And you connect them to a green dot. And then you connect the two dots. Oh, it means nothing. It means nothing. It means nothing. These are wires. I mean, you should look at the mess of the wires here. They are nothing and stuff like that. It doesn't matter. So yeah, important for those people who know something about knot theory, there is no knots here. So those people who know a lot of topology, these diagrams actually live in four dimensions. We draw them on a plane, but mathematically they live in four dimensions because in four dimensions there are no knots. I don't know whether you knew that. If you go to four dimensions, knot theory in four dimensions is really worth a very interesting PhD thesis. It's an empty one because there's no knots. So knots is a very typical thing for three dimensions. I mean, we draw them on a plane, but basically the thing is you can think of wires just moving through it. So it's like electricity wires. It doesn't matter. With electricity wires, it doesn't matter how they're sort of configured. But yeah, that was a good remark. So it doesn't matter. Okay, right. So I've almost shown you. So there is actually one more rule of ZX calculus. I'm not even going to write it out. And it's something like this. It tells you how you can actually swap the colors of like a green phase red and a green phase to a red phase green. I'm not going to explain it because we never use it. We never use it. Now, why do I give it this rule if we never use it? Because there is a very important theorem and this theorem says completeness of ZX calculus. This is not some notion which is typically known to physicists. It's not something physicists ever would write about. And it's because in the nature of physics is done with like a static Hilbert space and then you generate dynamics. So physicists don't think in terms of these rewrite rules. So what does completeness means? Any equation that holds for linear maps between qubits can be derived in ZX calculus from the both stated rules. This is quite something. This means anything you can do with linear algebra. Any equation you can derive using matrices and all that. Anything. You can do with those rules I just showed you. So which rules do we have? We have these ones. We have these ones. Spider fusion. We had... Oh sorry, I'm going back too far. So we had spider fusion. These ones. Spider fusion. We had these ones. So the square getting rid of the square and the copying getting rid of the square and the copying. This is actually... This is just notation. This is the color change. The color change rule. And some rule which I'm not going to specify. Which we never use anyway. We never use it. But you can show that any equation between matrices en all that tensor products and everything in linear algebra can be derived from these rules. There's nothing more you can do in Hilbert space than what you can do with these spider rules. And that's what logicians call completeness. I'm going to talk a bit logic now. So logicians so they axiomatize things. You take for example a model like Hilbert space and then you write axioms down for Hilbert space. A complete axiomatization is that with your axioms you can do everything that actually can prove in the model. And so this is the same here too. Whatever you can prove in Hilbert space model any equation you can derive from this axiomatization. So classical bits can be embedded in here. I'll show this later. They can be fully embedded. So at the moment I'm just talking about linear maps. Later I'll talk about density matrices and stuff like that in this language. And then you can embed classical probability inside. En I'll show how you do that. I'll show it. There's lots more to come. There's lots more to come. So I'll show it out. But this is an incredible result. This is a shocking result. I don't think anybody ever believed that when we start to do these things that at any point these diagrams could actually replace Hilbert space in terms of what you can derive. But we're there now. This was proven 2018 for qubits and a few weeks ago with a slightly different calculus. We proved it in all finite dimensions. We proved that you get a clever calculus in all finite dimensions in which you can prove anything that you can prove for Hilbert spaces. So yeah, I mean, but that's known. Yeah, it's similar. Of course, like of course the difference here is we're talking about in class computation you have a discrete model. A discrete model. Zeroes and ones and functions. So it's not entirely a surprise that you could come up with such a discrete actualization even talking about continuous Hilbert spaces. So it's less expected that you could come up with such a discrete actualization in any way. And what's also remarkable is how different this looks from Hilbert space. It's not obvious. If you take, okay, I've got the little book here. If you're a physicist and you read this book which explains nothing about Hilbert spaces. Just all this in its own right. It's non-trivial to connect this to Hilbert space if it hasn't been explained to you. It's non-trivial to connection. And a funny thing is if you go to Amazon then on the one end you got reviews by 10-year-olds saying this is a fantastic book and then you got reviews by people saying I'm a professional theoretical physicist. I do quantum information and I think this is really difficult. Yeah, okay. Because they want, they can't, they can't, they don't have the capability because of ego and whatever else and training to take this of face value and forget what they already know. They need to translate to what they already know and it's very non-trivial translation. It's a highly non-trivial translation. So in a way you have to unlearn something to really appreciate this stuff. I mean, I'm not going to give the proof. This is a really hard theorem. I didn't prove that. So much more people than me prove that. This is a really hard theorem and people were looking for this for 10 years. But so this is quite a big deal. This is quite a big deal. Okay, let's now, I would assume so. I would assume so. Now, there's of course like there is something about what you call non-linearities if you're thinking quantum machine learning or something like that. Typically, non-linearities, people refer to stuff which is not unitary anymore because that's actually something which arises from non-linear non-linear generalization of Schrodinger equations. And these things, these things, they exist inside. These things, a lot of work has been done using this calculus. Is Ritchie here? Oh, lazy PhD students, of mine. So, huh? Is he online? Okay, people are online. So people have been doing work like in quantum machine learning, looking for barren plateaus and stuff like that using this sort of stuff. So I mean, and I know some of our people are now talking to Nathan about quantum chemistry en these sort of things. This is not something I'm going to talk about, but in the calculus I mentioned that we recently proved completeness of, in all dimensions, you can write down Hamiltonians, you can differentiate, you can integrate, you can exponentiate. I'm not going to talk about it today. But you can do, so these calculus exist, they're very recent. And then you can really do what physicists call real physics. Okay, let's do a very trivial little calculation. This is a very little and trivial calculation just to show you the gist of calculating. So these are 3 c0 gates. This is quantum circuit, 3 qubits, 3 c0 gates. That's quantum circuit. I said, I told you these are c0 gates. So what do you do now? You want to see if you can simplify it. You want to compile. You want to compile. So basically what you do is, I see red and red. I see green, green, green. I fuse. I see two wires in between. I throw away. I see a spider with only an input and an output. Yes, that's a plane wire. So you see how these simple rules basically help you. This is a very trivial circuit, of course. This is a very trivial one. But this is kind of the idea. We see how these simple rules. And this works for much more complicated examples, too. And as a matter of fact, today, if I'm still up to date, the state of the art of quantum circuit optimization, meaning making a circuit as small as possible, is this. Sometimes combined with other methods. But this is the state of the art. I don't know. Can somebody back me up? Are there any quantum software people here? Because these things move back. But this one, this is, huh? Yeah. Yeah, yeah, yeah. It's a hard problem. I don't think there are any results yet of, like, anybody saying, okay, this is the best you can do. It's just a methodology to do as good as possible. Because exactly the reason you say, it's mostly a methodology to do as good as possible. And there are strategies which you can use here and do better than anything else. That's basic. And I'll show what the strategy is in a bit. But you're right, of course. These are very complex problems. Okay, so that's what I just showed you. Written down nicely on a blackboard on a line. Right. So this is another one. So you see, I've got three C-naught gates, but now they're alternating on two qubits. So I've got C-naught gate, swapped C-naught gate, C-naught gate. Now what you do, you see there's a square there. See the square there. So what are we going to do now? So this one, this one, I'm going to go over here. So what are we going to do now? So this one, this one stays. Goes there, this one stays, goes there. And you see here again, one and three. One and three, they go to red. Two and four, two and four on red there. So they go to green and I connect them. What you see now is I've got two C-naught gates, but now the colors match. Now the colors match so I can fuse them. They vanish and so this is the same as the swap. This is a slightly more involved example because you need the square elimination thing. Okay, now I'm going to prove that the C-naught gate is the C-naught gate. I'm going to prove that the C-naught gate is the C-naught gate. So this is my C-naught gate and I stick in the zero state. What happens with the zero state? I have a green dot so it gets copied. It gets copied. You see it gets copied through. So I've got these two red dots coming out. They fuse together. This is an identity. So if I stick in a zero in the control, C-naught gate does nothing. Is identity. Now if I stick in a one, so the pi is the one state, the one gets copied too. I get a pi there. Pi is not. I said pi gate is the not gate, red pi is not. So if I put a one in the control, I get a not on the other side. So I should just show it here that this is indeed the C-naught gate because it behaves as a C-naught gate. Right? So now I'm going to show... So these were simple examples. So this is the sort of... This is a continuum paper. And this is about like really... Compiling circuits as small as possible. Making them as small as possible. So that's Ross and his team. Ross Duncan, the head of software and his team. And this is the technique I was mentioning that they use to get them as small as possible. There is no theorem saying that this is the best you can do. But this is at the moment is the best. And it's building in the ticket compiler. So the continuum compiler uses this method to optimize circuits. Yeah? Yeah. Not confluent, not confluent. So... Yeah, yeah. So this is strategy. This is a strategy that does that. So that's what they prove in the paper. It doesn't say that it's the best strategy, but it's a strategy that you will do better than before. So it pushes you in one direction. And you'll see why you'll get a gist of it when I start explaining. Okay. Suppose you got something like this. So you got all this C, not gate. You see this C, not gate, and this C. And they really want to cancel out, but there is this phase in the middle which is preventing them to cancel out. And if this would have canceled out, then this would have canceled out, but it's this phase in the middle blocking everything. What can you do? It looks pretty bad. What can you do? No much. Okay. I'm going to look at this little thingy alone. Everybody has an idea what I'm going to do now. Look a little bit. It's always the same rules we use. Let me, that's my advice. There aren't really that many. How many rules do we have involving two colors? Square. There is a square here. There is a square here. Look, I mean, I made it very explicit, but if you fuse these two together, if you fuse these two together, then I've got green dot, red dot, red dot, green dot, red dot. There's a square sitting inside. And now I make it very explicit here. So if I fuse this green and this green together, it becomes one, right? And then so I've got one green, one red, one green, one red, and it's a square. Now you say, okay, but there is a phase sitting here, but I can pull the phase out. I can just unfuse the phase. And here you say, okay, you've got a bunch of wires coming in there. I unfuse that. So this wire is connected to green. This wire is connected to green. Here, this wire is connected to green. This wire is connected to green. That wire is connected to red. That wire is connected to red. That wire is connected to red. That wire is connected to red. And in between the two red ones, there is a phase. You see, it's the same, yeah? So I'll unfuse this to find a square. So that's a more non-trivial use, but you pretty much, this is actually all you really need to do to simplify circuits in this strategy. Just getting rid of a phase which is obstructing. So let's see what happens now. We've got the square here, number four and number two. Number four and number two. So they are going to get connected to red dot. We've got number three and number one. They're connected to red. So they're going to get connected to green. And now then we connect the green and the red dot. So what we obtain is this. We obtain a thing like that. So this thing, which is like a very annoying thing, becomes a thing with only green dots. And you see, this is not at all anything anymore like a circuit made up of unit trees. This is nothing anymore like a circuit made up of unit trees. It doesn't look like that at all. With this thing hanging out. Now let's see what happens. So now we have this configuration again, I start from. And because we can now stick in this one, you see now all this green commutes through each other. So you actually turned a red thing into a green thing. And you've got a lot of commutation going on now. En op. So basically these two can now cancel out because this is a green spider a red spider connected by two wires. And so this thing simplifies to this thing. So we were able to cancel out these two signal gates. And this is a confluent strategy. It takes you in one direction and it's always going to simplify your circuits. I'm not saying that you can do every cell application like that, but you definitely are going in one direction. En this scales. So we saw this little thing. If actually you've got something like this, then it becomes this. If you've got something like this, it becomes this. And this thing is what people call phase gadgets. So basically the strategy to simplify circuits is to turn as much as possible stuff into phase gadgets, which nicely commutes through each other because they're all on the same color. They're on the same color, so they commute through each other. So that's the usual, that's the sort of professional strategy that people now use. Like I said, it's not necessarily, at this point we don't know whether it's the best possible one, but it actually is the best practical one that exists now. Louder. Yeah, yeah, I mean, I have even been told that this sort of representation for a ion trap quantum computer is actually more native than the circuit representation. So this is actually something that physically is closer to the thing you can actually do on top. But the main thing is you see all these green dots, they just commute through each other. So they all commute through each other. Yeah. No, there may be obstructions you just don't get rid of, like this. There may be obstructions you just don't get rid of. It's not known, it's not known. At this point it's not known. This sort of circuit simplification stuff is a very recent development. It's not something people have been doing for 10 years. It's like a couple of years, max, that people have been doing this. Because it was not a question people were asking before. There actually were quantum computers. It's something the mainstream community never really thought about and now it's a very important thing. Okay. Yeah. Actually we can take a little break, but yeah, keep asking questions. Yeah, yeah, no, no, yeah. Okay. Does it have? Well, I mean, it can be decomposing to gates. I just showed you. This is a phase, this is a phase, oh sorry. This is a phase gadget and this is decomposition. I mean, you take, basically what you do is you start with something like this. You move to these ones, you simplify and then you move back. Yeah, I mean it all depends on the art where you're working with. It depends on the art where you're working with. Like I said, on, for example, the quantum computers, these things are kind of native to what you actually implement. Okay. Okay, let's show some actual examples. So what I'm representing, these are sort of the bell states and the bell states can be represented in zx-calculus. Like the bell state is just the cup. The one with a minus, you just stick a green pie. The ear, this one, you stick the knot basically to get this one en if you stick both, you get this. So we can represent these bell states which we use in many protocols like this and you can also say a cup you could actually, as a circuit, realize like this. If I take like a plus state and a zero state and I apply a C0 gate, I get a cup and so on. You see, I'm just diffusing these into little circuits. We'll see that later. We'll see that later why we need it. I'll get back to this. So these are just the representation in the zx-calculus for these bell states. Now, okay, let's derive quantum teleportation. This is actually the first diagrammatic thing. This goes back to 2003 or something like that that we did. So you've got Alice and you've got Bob. They share a bell state and Alice has a state sign that she wants to get to Bob. So how are you going to do that? Intuitively. Yeah, you can draw it in the air. Yeah, yeah, indeed. You just stick a cup cap there. And now this one up is all the way to Bob. That's simply this. So this is what's called postselected teleportation. This is that you do a bell measurement and you just hope that you get this one, this outcome. You do a bell measurement, you just hope that you get the right outcome. That's basically what this is. So yeah, that's what I'm saying. It's as if you can slide this box there. Many times the same thing. Ok, that was actually pretty cool. That's pretty cool. Ok, so this is what we have. But it may be the case that you don't just get the expected outcome here. So there's four possible outcomes which I indicate by either a zero or a pi there or a zero or a pi. And of course I'm referring now, I'm referring to these four possible bell states which are the four possible effects you can have in a bell measurement. Those four. So I indicate them here. So these are four possible outcomes now. We can have. Now what do you do? So Alice picks up the phone, tells to Bob which thing happened there and Bob undoes the same using phase gates. En dan, of course, has a telephone call necessary to do that. And this is teleportation. This is full blown teleportation. Is this clear? So here you've got the outcome of your measurement for possibilities and Bob does the corresponding correction. All right. Clear everybody? So this is how the right teleportation is. Now what is really annoying here is that I've got this orange curly wire here. I mean, this is for old people who had these telephones with these curly things. I mean, I think there's probably two here in the room whoever has a telephone like that. And that was not part of a language. This is not spider. So later we're going to see how you can actually substitute this wire with spiders too. This classical stuff also can become spiders. Okay. Measurement based quantum computing. That's what the optical quantum people are doing. Yeah. Well, I mean, so basically there are two readings. There are two readings here. One reading is with time that flows up. So initially you've got this psi state and you've got this cup state. And then at the later time, you've got this cup effect. So that's sort of the operational reasoning, a reading if you want. This is like really all the processes take place in space and time. But then there is also some sort of logical reasoning and that's really the math, the semantics and the semantics allows you to slide these books all the way there. I mean, I mean people, so even in the very beginning when Bennett and all these people came up with teleportation, they were already talking about the fact that it felt as if the state was sort of sent backward in time, as if. But of course that doesn't really work because that's against relativity theory. So, but it's sort of logically you can reason as if you can push the state back in time. I mean, that's an entire discussion in its own right basically. I mean, this is entanglement. This is entanglement and this is entanglement. So entanglement, pairs of entanglement and entanglement state and entanglement effect allow you in principle to send stuff faster than light, but it's not true. The reason it's not true is because you're never sure which outcome you're going to get in this measurement and so in order to get this corrected at the other side, in order to get this corrected at the other side, you need to make a phone call. So you can't violate. So this is, it's a very subtle thing about quantum mechanics. No, locality is a very subtle thing. It's, you can't use it to send information, but something is going on between distant parts, something that you can't use to send. Ja. Ja. So there is a similar, there's a similar analysis you can do of teleportation in that sense. Initially it seems as if you can signal, but then this telephone line is preventing it. Okay. Measurement based quantum computing. I don't know if you hear about that. That's now with all the photonic quantum computing companies are trying to establish because you get some sort of fault tolerance for free. I'm going to show you a very simple example of measurement based quantum computing. So you've got a state here. You've got a state here. It's a little bit like teleportation. I've got a state here. And then now look at the circuit. I've got a C0 gate. I've got a zero state. I've got like a, there a plus test. And you see the green fuses together, the red fuses together. So really it's just the state. And the state ends up at the other side. This is not very interesting. Now things become much more interesting if the measurement that I do here is against a certain phase. So I do measurement of the phase and see what happens now. Green phase fuses, red fuses. And now I have, by actually doing a measurement against alpha, I actually have applied the alpha gate to psi. So I'm using a measurement to apply a gate. And the measurement angle defines which gate I'm actually applying. And again, I have to do the sort of correcting thing, but that's no problem if I've got alpha or alpha plus pi. And then I do the corresponding correction. So this is actually a way by means of measuring and applying certain fixed gates, just pi or not, to actually apply an arbitrary gate. And there are arguments to do that. And that actually is much more fault tolerant than doing the gate, just applying the gates themselves. So that was the idea of measurement-based quantum computing, which now goes back to 2001 or something like that. And here is a little nice elegant calculation, which is the sort of thing which is basically impossible to do in Hilbert space in any elegant way. So I've got psi state and a bunch of plus states here. And what I'm applying here, what I'm applying here is actually what's called a control z gate. This is called a cz gate. And the way you write it down is basically two green dots with a Hadamard in the middle. Okay, let's see what happens with that. All the green stuff is going to fuse together and you get this. And now we're going to do measurement-based quantum computing. So we've got, this is what people call a cluster state. This is called a cluster state if you hear that name. This is called a cluster state. And now if I pick my angles like alpha, beta, gamma here, and my measurement directions, there you see, they fuse together. They fuse together. Here we've got beta in between, a green beta in between Hadamars. So it's going to change the color. It's going to change the, oh, sorry. It's going to change the color. And then I've got an alpha and a gamma. These two Hadamars are going to cancel it, show it out. And what I end up with, what I end up with is really, this is an arbitrary unitary, arbitrary one-unitary applied to psi. So this sort of, so basically what I've been doing, let's go back, just by measuring, just by three measurements, just by doing three measurements, and I can do them in parallel. I can do them in parallel, these three measurements. That's actually where the fault orders come from. I actually have applied an arbitrary one-qubit gate. And this is a paradigm for computation. This you can show, it gives you universal computation. And that's what psi quantum is trying to build. That's what Xanadu is trying to build. That's what Kondela is trying to build. They're doing this. They don't do circuits. They do this. Classic. Okay, let's do a few minutes pause. Ja? Like till 20 percent. Oh, I'm not done, hè. Hallo. Qua? Okay, difference, avec quoi? Avec les tensor network. Ah. All right, all right. Attendant, attendant. Huh? You mean this one just now? Yeah. Was it okay? I was watching online. Ah, you could. I insulted you. Ja? All right, let me see. Oh, well. Yeah, yeah. Okay. Hallo. Yes. Okay. Okay. Okay, everyone. We're going to do something really exciting now. I think this is always the most... It's a basic far. He signed a picture with teleportation that I had to represent the telephone by some curly little thingy. En dat is natuurlijk niet erg elegant. We really want to have the whole story in pictures. The whole story has in, like, also the classical communication. And, for example, measurement-based quantum computing. There's a lot of classical computation going on. You want to get these only pictures, everything in pictures. Ja, that's the goal now. So we have to come up with a paradigm on how we distinguish something that is classical from something that is quantum, like classical computation, like data, first like quantum systems. En in een way van Neumann already knew how to do that. Van Neumann already knew this in a way. So basically what we're going to do, and this may seem ad hoc, like if I just draw a diagram like this, I will always think of it as classical. So what we've been drawing so far, these diagrams, I'm now going to think of all of them as classical. Of course, there can't be any phases because that doesn't mean anything phases classically. And this will be automatic, as you will see. Now, if this is classical, what is quantum? Well, quantum simply is everything doubled. You just draw everything twice. That's quantum. So if you see single wires, it's classical. If you see double wires, it's quantum. And this is something you actually already know, but you didn't realize. So, oh yeah, I should say, if you double what you have to do is then, if I've got an alpha phase here, then the other one should be the conjugate. In the doubled picture, everything should be conjugate. So you've got something, a picture, and it's conjugate. And that's quantum. And so you can write it like this. It's a bit more elegant, takes less space. Let's now see why this is the case, why double corresponds to quantum and single corresponds to classical. I mean, intuitively, if you think of density matrices, if you think going from pure states to density matrices, what do you do? You take psi, psi ket en psi bra. So you double it. Now taking psi ket and psi bra is actually the same as taking psi ket and ket conjugate. It's the same thing. And that's really what we're doing here. So we move from a ket to a ket and it's conjugate, just like you do in density matrices. Okay. And so, okay, here is a spider. Two inputs, one output. What is this? This is a measurement. This is a measurement. This is what philosophers have written. 100.000 papers about in 100 years. Measurement problem. This is a measurement. It's just a spider. Two inputs, one output. What is this? One input, two outputs. Okay. This is encoding classical data as a quantum state. This is encoding classical data as a quantum state. So going from quantum to classical and back is actually very simple now. It's also just using spiders. It's okay. So how would this look? Suppose I've got a density matrix here. This is a density matrix. Say I've got all the diagonal p and 1 minus p and then I've got some off diagonal z and maybe z bar. If you apply this, you remember this is an operation which now you have to read this backwardly. It's take 0, 0 in, spits 0 out. It takes 1, 1 in, spits 1 out, which means it only takes in the diagonal elements. It gets rid of the off diagonal elements. En so you see some density matrix like this would actually turn into this probability distribution. So we've got a probability distribution here. So if you've got a density matrix, if you take this density matrix and you measure it with the zee observable, then this would indeed be the probabilities for your two possible outcomes. So it does what you expected to do. It does what you expected to do. The encoding takes a probability distribution en just lays it off on the diagonal. So it's what you would expect it to do. So this is just plain quantum representation of this. Now we can do stuff again. Okay, so this is, I take classical data. I encode this as a quantum state and then I measure it in the same basis. It's not a very useful thing to do because what comes in goes out. That is a lot of work for nothing. So this is, again, encoding, measuring, does nothing. Okay, so the measurement and coding, blah, blah, blah. Now I encode in one basis and I measure in the other basis. So I encode in zee and I measure in x. Now zee and x are mutually unbiased. They're as far apart as possible as they can. And the probabilities for any outcome in red will be equal for any basis vector in green. So we get this. This actually is randomness. This represents the state of randomness. So nothing that goes in comes out. Everything is lost. This is deletion. You delete your input and you get randomness. See the simple equation which we saw before tells you now something about what happens if you encode and then measure in different colors. Okay, I said that. So these are basically just, this is the state. This is the uniform probability distribution associated with the, let's go back. This is the uniform probability distribution associated with the green measurement. This is uniform probability distribution associated with the red measurement. So we discover something new. So these are classical things. And I'm going to remind you that this measurement is actually measurement against the red basis. And this measurement is actually measuring against the green base. I said this before. So that's the only thing you have to be careful. We don't get this wrong. We don't get this wrong. Okay, this is a non-demolition measurement. So sometimes you do measurements and then the system still exists. Like in our ion trap computers, you can actually do that. You can measure something and the thing is still there. It just collapsed. It just collapsed. And so this is a measurement with collapse. Let's disentangle it. So here you got quantuming. You got quantum art and classical art. And really what this is, is you got a measure. This is as if you do a measurement, then you copy the outcome and then you encode again. And this actually corresponds to the collapse. So you could... So this really is the collapse, which is happening here. And now you can see this internal spike. This collapse of the wave package, like people say. Okay, so I got two measurements, non-demolition measurements, one in z, one in x. And let's see what happens if we compose them. So suppose we do first a z measurement, then an x measurement and then a z measurement. This is the question philosophers asked very early on in quantum mechanics. Say, okay, if I observe this and then I do another measurement and then observe it again, of course we would expect to get twice the same. That's what a philosopher said. But if we do the calculation, we see two wires in the middle there, they just vanish. So this one is completely disconnected from this one. There's not going to be any connection between them. And this is pretty much going to be randomness and this is going to measure whatever comes in. So you see this. And this is also the technique, who knows about quantum key distribution. So this is also the reason quantum key distribution works. So Alice encodes in a certain basis and Bob measures in a corresponding basis. And then if Eve is messing in the middle, it's going to break down the correlation between Alice and Bob's measurements. En they can then detect that there has been an intruder. That's really how quantum key distribution works. It's because of this phenomenon. Okay, we've seen that. Okay, this is also an interesting one. So these are all very simple calculations. So suppose I've got a phase, a state with a phase. A state with a phase, a non-trivial state. And I'm going to see what happens if I measure it. So I said these two have to be conjugate. These two have to be conjugate. So they're going to cancel out. So this is kind of saying that if I go from quantum to classical and I measure all the phases vanish. So phases is something that has no counterpart in the classical world. They get eliminated. Okay, so now you understand. So you can actually buy these t-shirts with this dodo if you want to. So you have to look on Etsy for Dave the dodo t-shirt. En I can advertise this because I'm not making money with it because my co-author Alex Kissinger takes all the money. These days, many quantum scientists go work for companies and he said, okay, I'm also going to do a company for t-shirts. Dodo t-shirts. Oh, you can also get MUX and stuff like that. But while I'm showing this, this is really teleportation, this little picture. You know, so you see you've got this cup state. You've got this cup state. This is what's coming in. That's the incoming state at Alice's end. This really is the bell measurement. This is the classical communication of your two measurement outcomes and this is the correction. So this is now how it looks, teleportation, just as a picture and nothing more than a picture. So that's kind of cool. I mean, here it's... So this is what we had before. These two possible measurement outcomes, these two possible corrections. What we do now is we use this representation in terms of circuits. We use this representation in terms of circuit of these bell states. So we turn it upside down. We get this, we get this. And now we just need to do a measurement here and a measurement there to get actually these outcomes there. That's what we do. And this is full teleportation. With classical and quantum wires. Everything inside. Okay, I said that again. Okay, I think this is more or less the last thing I'm going to do before question. Let me check. Do I... Let me check. What else do I have? Oh, so I'm going backward. I think I have anything. No, that's the last thing I have. So this is from the kids' book. This is from the kids' book. This is in here. And what this is? This is the proof of non-locality. This is a proof of quantum non-locality for kids. And it involves both classical and quantum wires. Does anybody who knows sort of the mermin architecture, the mermin proof for quantum non-locality using a GHZ state? Nobody? That's much more elegant than Bellini qualities. But okay. So basically what you got is like... So what you got here on the bottom are three, four GHZ states. It's actually one GHZ state, but in four different scenarios. So you've got a GHZ state here. And then you've got some rotation here. You've got some rotation. This is doing nothing. There's no... And this is like doing a 90-degree rotation. This is a rotation around the x-axis. Rotation around the x-axis, 90-degree, 90-degree. So basically you got the GHZ state. Here I do nothing. There I do two rotations to the two last particles. Here I do rotation to the first and the last. Here I do rotation to the two first ones. And then I do a measurement. So basically I'm actually taking these Z measurements and I'm actually rotating them, the Z measurements to a Y measurement. So the 90 ones are actually Y measurements and the zero ones are actually Z measurements. So I'm doing four different measurement scenarios on this GHZ state. That's what I'm doing. I've got a GHZ state and I'm considering four different measurement scenarios with using these different rotations. And what I do then is I take all the classical data together and apply red spider to it. So what does a red spider do to classical data? It's a parity test. It's like an XOR. But it's like a generalized XOR. So it's like a parity test. It sees whether the outcomes are either even or odd. So I mean this is something you can do in the laboratory. As Eilinger did is in the laboratory. So I've got these four scenarios or measurement scenarios. And then I basically measure the parity of the whole thing. Now, what? No, I'm going to, I'm not, I'm not, I'm going to do the calculation just like that in my head. So basically do you remember, do you remember that we had this rule for the squares and I said it's like commutation. Green and red sort of gets exchanged. Remember I said this commutation? So you can actually use this rule here to actually move these red dots above the green dots. And then the green dots are going to vanish. And so then basically what you have is I've got 90 degree, 90 degree, 90 degree, 90 degree, 90 degree, 90 degree, 90 degree. So I end up with 180 degrees. So I will, and then ultimately you just end up with this thing. No wires anymore with 180 degrees. That's really the computation you do here. I mean I didn't put the slides in but it's quite the easy thing to do. Okay, now, so this is what quantum mechanics tells you. This is what quantum mechanics tells you. If I do these four scenarios, I get 180 degrees there, which is actually one. Which is the classical state one. With a zero, it would be the classical bit zero. This is the classical bit one. You get the classical bit one here. Okay, now we're going to assume that there is a local hidden variable model. That's what model quality is about. Local hidden variable means that whatever these measurements are, whatever these measurements are that we are here, we've got one, two, three measurements. We've got this measurement on the first system and this measurements on the first system. So one with zero and one with 90. One with zero and one with 90 on the second system. One with zero and one with 90 on the third systems. So there are six different measurements we need to consider. Six different measurements we need to consider. En zo, dit is de eerste measurement die de 0 krijgt, en dit is tussen de 90, de tweede systeme measurement met de 0 en de 19, de 30e systeme measurement met de 0 en de 90. En we betalen dat er variabellen zijn die de measurement uitkomt. Dat is wat de lokale variable model is. Dus voor elke van deze measurementen is dat een variable. En dus, we kopen deze variabellen uit, we kopen deze variabellen uit naar deze vier verschillende measurementscenariëren die we hebben. Dus dit is echt gewoon kopen ze uit naar de vier verschillende measurementscenariëren die hier soms leiden. En dan doen we de parity test. Dus dit is wat de lokale variable vertelt. En wat zie je? Is iemand uit te simpliferen? Nee. We hebben redden, we hebben groenden, we hebben wire tussen redden en groenden. Ja, je ziet, tussen iedereen van deze groenden, en dit is omdat van de keuze van de scenariëren, de manier die werd gemaakt, er zijn exact twee wire tot de redden. Dus ze vangen. Dus eigenlijk, wat hij krijgt, is een redden dot met niets aan de binnenkant. Dat is de bit 0. Dus we hebben bit 0 hier. We hebben bit 1 daar. Dus de kwantumekanit geeft je bit 1. De lokale variabletheorie geeft je bit 0. En 0 is niet equal 1. Dus we hebben een contradictie. Dus wat de kwantumekanit, wat de kwantumekanit predictt in dit particular scenario, is een contradictie met wat een lokale variable model geeft. De kwantumekanit is niet lokale. En dit is nu entierlijk alleen in een foto, zodat dit in honor van dit jaar een nobelprijs is. Zijlinger kwam hier twee weken te vragen om een kopje van kwantum in een foto te schrijven. Dat was heel cool. Dus hier is de man die met deze idee kwam en deed het in de lab. En dat is waarom hij deze nobelprijs heeft, voor deze experiment. Ik denk dat ik hier stopp kan stoppen. Het is lang. Ik heb er niets meer te zeggen. Dus ik ga er twee vragen aan. Dus ik laat hem gewoon met dit eind. Nog vragen. Als je vragen hebt, raise je hand. Ik breng je een microfoon, eigenlijk. Ja, sorry. Ik wil terug naar de vraag. Ik heb het gevonden omdat ik niet echt de hele vraag heb. Dus ik begrijp dat, als je een reale kwantum device hebt, bijvoorbeeld de one of continuum, het is niet zo simpel als gewoon een C-naught gate gebruikt. Je moet het fysiciën implementeren en dat maakt het makkelijk. Dus wat ik begrijp is, als je deze complicatele C-naught stack hebt en je het in de face gadget wilt transleren, dat is heel cool. Maar had je gezegd dat de face gadget wat je fysiciën kan gebruiken in deze kwantum device? Ja, ik ben er niet speciaal op de hardware implementatie, maar specifiek voor iontraps is er in de manier meer natie dan je gewone kwantum gate. In fotonics gebruiken mensen helemaal... De measurement-based ding die ik heb gegeven, dat is wat mensen proberen te bouwen op die kwantum, niet de gates. Want het is veel meer natuurlijker om dat soort dingen met licht te doen dan de gewone gates. Dus verschillende architecturen hebben verschillende implementaties. Het is niet alleen gate-based. Dank je wel. En zoals ik zei in het begin van het talk, met fotonics, een soort van encoding van cubes, ze doen iets zoals dual rail encoding en dingen zoals dat. Het wordt heel complex om dit in Hilbert space te beschrijven, niet dezelfde mogelijkheid. Dus ze gebruiken deze diagrams nu om eigenlijk... Ja, een reden over hun programma, een reden over de error correctie en iets zoals dat. En kwandela in Frans, ze doen hetzelfde. Ze gebruiken ook diagrams voor alles nu. Dit is de plek waarin dit nu de nummer 1-languid is. Kwantum fotonics. Dus ik heb een andere vraag hier. Dank je wel voor het wonderful lecture. De zon komt uit hier voor mij. Ik weet het niet. Dus ik heb twee vragen, eigenlijk. De eerste is... Dus zou je zeggen dat zx-calculers of wat je showed is meer van optische fotonics, dan gebaseerd architectuur? Dus ik kan het ook zeggen. Dus eigenlijk, Ros-Dunk en ik kwamen met zx-calculers op een probleem te kijken in kwantum-computing, specifiek met wat het genaaliseerde flow is. In deze kwantum-pattern, je hebt een heel complexe state en dan start je met measurementen over de plek. En er zijn criteria die je vertellen wanneer je deze in een circuit kan vertrekken en zo. En het was een probleem in een probleem als dat dat we eigenlijk met zx-calculers kwamen. Zx-calculers kwamen uit een measurement-base-computing, dus het is niet een prijs. Het is heel gebruik voor het. Aan de andere kant, wanneer je eigenlijk wilt werken met beam splitters, beam splitters en zo, dan komt het uit dat er een verschillende calculus is, dan zx-calculers, dat is heel belangrijk, die is called zw-calculers, die is iets dat Alex Kissinger en ik in 2010 gedaan hebben. En in de manier waar we nu zijn aan het reden over fotonics, we eigenlijk meten de twee op, omdat voor wat dingen, de w is meer gebruikbaar, rond en voor andere dingen, zw-calculers en zx-calculers. En het ritje die je hier kunt praten over het ritje, is er geen sleep meer? He? He? Dus je kunt opnieuw praten, je doet veel werk op dat soort dingen. Dus voor de tweede kant van de vraag, je hebt van beam splitters, dus zoiets andere kwantum optieken of fotonics, experimenten of basic dingen, kunnen worden uitgebreid door zw-calculers. Kun je een kleine illustratieve example geven, dus zoiets andere, gebruikbaar praktiek, dat is wat we zien voor de kwantum compuutie. Oh. Dus, ik denk dat het gewoon compu- ik denk dat het gewoon compuutie is. Gewoon compuillende circuit, circuit voor optieken, dat is iets wat we nu ontwikkelen bij het moment, specifiek voor kwandela. Kragi is hier, is hier geïnvolgd in dat soort... ...collaboratie, en we gaan daar, en... En we gaan doen een simp- een simp- ...stufferpsyquantum, waar ze deze diagrams gebruiken, het is echt... ...in de calculatie van... ...error correctie, stilverfaltoren, en het is super complex. Je moet kijken naar deze papier, van Naomi, op het ongeveer, je moet gaan en kijken in de soort diagrams die je er vindt. Er zijn gewoon twee, er zijn zo groot, en het zou behoorlijk zijn, misschien gaan we terug. Dus als je in dat gaat, dan vind je er tons van applicaties. En je moet gewoon uitgebreiden om deze dingen te doen met Hilberspaces, van de foto's die je er gaat zien. En ik denk dat ze een nieuwe papier hebben, ze hebben een nieuwe papier ook, zoals ik denk een paar weken geleden, waar ze zelf nog meer complexe dingen doen. Dus mijn slide is een beetje uitdaten. Dank je zo veel. Sorry, een laatste vraag voor mij. Wat is de relatie tussen tensernetwerks en de X-zijdenkankers? Oké, ik heb gewoon de vraag gegeven. Dat is een heel goede vraag. Dus op de ene kant zeggen tensernetwerks en Feyenoord diagram die zijn in dezelfde plek. Er is een grafische representatie van dingen die je in Hilberspaces doet. Maar het is gewoon, je hebt een calculatie in Hilberspaces en ze helpen je om er iets te doen met die calculatie. Ze zijn niet substituut voor Hilberspaces. Je gebruikt ze om je calculatie in Hilberspaces te helpen. Dit soort dingen ligt op hun eigenaar. Dit soort dingen ligt op hun eigenaar. Je hoeft niet Hilberspaces meer. Je kan helemaal vergelijken over het. Ik zal het deze avond een beetje historisch vertellen, zoals de historische ontdekking van deze soort ideeën. Ik zal het over dat deze avond praten. Maar we hebben een genuine substituut voor Hilberspaces hier. Je doet alles in de calculatie. Je gaat nooit terug naar Hilberspaces. Dat is verschillend. Het is een volledig logische maximatisatie van Hilberspaces wanneer tensernetwerks een calculatie 8 is wanneer je in Hilberspaces werkt. Dit zijn tensernetwerks. Je kunt het denken, maar er zijn een heel precies well-defined tensernetwerks. In veel cases tensernetwerks hebben er veel variables in. Een matrix product state of iets zoals dat. Ze zijn niet volledig bepaald. Hier werken we met exacte bepaalde entities. En je hoeft allemaal de regels die ik showed je. Er is niet zo'n ding als de tensernetwerkscalculatie dat je alles speelt wat je wilt. Maar dit zijn tensernetwerks. Een heel speciaal example van tensernetwerks. Ik denk niet dat je dat kunt horen. Er is er wat werk uit waarvan mensen de X-calculaties gebruiken om de X-diagram te verwijzen om ze te maken zoals mogelijk te maken. En dan gebruiken de tensernetwerks om te contracten. Leed in een snelle tensernetwerkscalculatie. Je kunt de X-techniezen en tensernetwerkscalculaties gebruiken. En ook stabiliseren de komposities. Dus als ik het verstaat, kan je ook zo'n expectatie van de tensernetwerkscalculatie als je een densitele matrix hebt? Oh ja, ja, ja, ja. Dus in één calculatie heb ik gezegd dat ik de nummers weggemaakt. Maar eigenlijk de nummers in de dubbele wereld. Dus je hebt de nummer multiplaties met een complex nummer. Met een consigueer. Dus het is een positieve nummer. Dus eigenlijk zou je gewoon... Ik denk dat dit... De exemplen van GHZ, die ik geef, is niet eigenlijk een probabilistische proces. Het is een exacte ding. Maar een dicht diagram, zoals dat, zou vaak een probabiliteit geven. De diagram zou een nummer worden. En dat is de probabiliteit. Ah, oké. En dus als ik in contemchemistisch heb, dan heb je een molecular basis. En zo'n zo'n basis om te computeren. Dus in dit geval, wat zou de input- en uitbeeldenbasis lijken? Ik ben niet in dat gevolgd, maar ik weet dat sommige van onze mensen naar Nate en daar, en dat ze daar een kwantumchemistie doen met ZXW. Ritchie, je bent in dat gevolg, hè? Ja. Dus we moeten alleen gewoon starten om te appliceren. Maar dit is eigenlijk een volledig kwantummechaniek. De hele kwantumformul is... Alles is daar. Probabiliteit is alles. Dus wat je kunt doen in kwantum, kan je hier doen. Maar het is allemaal gewoon als diagram. Oké, dank je. Dit is gewoon voor twee by two intense producten. Waarschijnlijk. Waarschijnlijk zou kwantummechaniek meer generale basis nodig hebben. Maar ik denk dat dat is wat Hanne werkt. Ja, ja, ja. Met deze ZXW in hoogere dimensionen. Oké. Als we klaar zijn, dan heb ik nog iets te zeggen. Hebben we klaar? Dus wie heeft een kopie van deze? Dat is een goede geluk. Want iedereen gaat nu een kopie van drie. Haha. Ze zijn daar. Kan ik nog een vraag vragen? Ja. Kan je dan ook deze deformatie van de rectangle explainen? Hoe heb je de rectangle afgebreid? Wat gebeurt er? Daar. Ja, deze? Ja. Dus... Is mijn microfoon alleen? Ja. Dus eigenlijk... Oh. Moet ik het even nemen? Oh, nee. Dus je hebt vier luchtwijden. Je noemt ze. Ze zijn als alternatieve kleuren. Je neemt wat die te groen is. En je neemt een red dot. Je neemt wat die te red is. En je neemt een groen dot. En dan neemt je die twee. Dus in dit geval, als we dit red en de groen op de andere kant nemen, dan zou dat een equipellant representatie zijn. Dat zou het zijn? Dus als we dat groen en de red op de rechte kant nemen, dan zou dat een equipellant diagram zijn. Oh ja, dit is een kwaliteit. Oh, sorry. In de rechte plek, als we dit groen en de red op de rechte kant nemen... Nee, dat is allemaal dezelfde. Dat is allemaal dezelfde. De kruising betekent niets. Kruising betekent niets. Je moet denken van deze wires op de tafel. Dus er is geen kruising? Het enige dat het betekent is wat er in elektriciteit is. Oké, oké, dank je wel. Hoi, iedereen. Ik heb vier aandacht te maken. Eerst, kom en kiep. Slowly pick up your books. Als je je books hebt, go back to your seat. En we maken een groeppicture waar je gewoon handelt. De eerste is dat je je books in de aandacht hebt. De eerste, ja, het was de tweede, kom de boek op en ga je terug naar de tafel. De eerste is dat ik op de Slack Google Spredsheet de aandacht van de team voor tomorrow opgemaakt heb gelegd. Please add your Github ID to the spreadsheet, so that we can add you tomorrow to the Github repositories of your team. Als je er een probleem hebt, send me een private message over Slack. En de vier aandacht is voor de Quantinium mensen. De groeppicture, in de hele aandacht, we zijn klaar met de boeken. Dank je wel, je kunt op de boeken komen.