 Merci beaucoup d'être venu. Merci pour l'invitation d'en parler. C'est un très grand plaisir et un grand honneur pour moi pour en parler sur l'occasion de la conférence de 16 ans à Alain. J'aimerais commencer par dire quelques mots. Je suis heureux de rencontrer Alain au début de ma carrière et de bénéficier de ses friendships en plus tard et beaucoup d'alans de mes amis introduisent cela à moi et ils sont aussi mes amis. Certains d'entre eux ont été collaborateurs. C'est la même chose avec des étudiants d'Alain et ce que j'aimerais dire c'est que pour moi Alain c'est une vivante incarnation de quelque chose que j'ai découvert sur les mathématiques quand j'ai commencé à faire ça comme ma profession c'est que le progrès mathématique n'est pas seulement le comité et l'envers des individuels qui travaillent sur leurs propres problèmes isolés mais le progrès mathématique est aussi fait par les relations et la friendship que les mathématiques ont développé et j'aimerais remercier Alain pour montrer cet aspect très important pour beaucoup d'entre nous. Je vais avoir quelques slides comme un tournage pour mon talk et ensuite je vais passer au blackboard donc mon talk est aussi quelque chose qui est directement lié à Alain parce qu'il a commencé six mois plus tard à Neuchâtel quand Alain a eu un workshop un jour avec quelques talks et un de les talks a été donné par Pierre de la Harpe qui dit hi, d'ailleurs qui est associé à cette rencontre aussi par la pensée donc tous les nouveaux résultats de mon talk sont joint works avec Pierre et ce que j'aimerais expliquer c'est que ce talk par Pierre était l'occasion de commencer en pensant sur les questions de l'unité des représentations de groupes discrets et on a commencé un petit voyage et puis along the way on a rencontré plusieurs surprises pour nous, et j'aimerais les partager avec vous, l'une des surprises était un problème ouvert en théorie et l'autre était la connexion avec les combinaux d'addictifs donc une autre surprise pour moi était la découverte sur la surface math apparemment c'est existé dans le 19e siècle et je vais vous montrer donc ici est un journal appelant l'intermédiaire des mathématiciens il a commencé à être publié dans le 19e siècle et il a été publié pour 25 ans et donc si tu prends cet journal et tu ouvres volume 23 publié en 1916 donc tu peux regarder un d'un des articles là, c'est très court et donc c'est un papier par Mr Rata qui sait on a 31 égal 5 au carré plus 5 plus 1 égal 2 exposant 4 plus 2 exposant 3 etc peut-on trouver d'autres nombres jouissants de cette propriété x et y étant quelconque et puis dans le prochain volume le prochain siècle donc tu vois un autre papier publié par Mr Gourm-Aktai donc il referait à Rata donc il regarde pour les nombres A etc etc etc et puis Gourm-Aktai observa qu'actuellement il y a une autre solution qui est 8191 qui peut être écrit dans deux différentes manières comme réquestée par Rata et il observe aussi quelque chose plutôt plus facile donc si l'un permet des nombres négatifs il y a infinitely beaucoup de solutions donc il est plus intéressant de focusser sur les nombres positifs et puis il dit qu'à 100 000 ce sont les deux solutions il ne dit pas comment il a checké probablement pas en utilisant qu'est-ce qu'on trouve ces références ? parce que l'internet n'est pas bien développé oui on les découvre parce qu'apparemment il y a quelque chose qui s'appelle Gourm-Aktai conjecture et c'est même sur Wikipédia donc comment j'ai trouvé l'intermédiaire des mathématiciels très efficace secrétaire de la University de Geneva ok, donc la conjecture de Gourm-Aktai s'il s'agit d'une solution d'une solution de Gourm-Aktai il y a d'autres solutions d'une équation diophantine ok et donc on s'est dit que Pierre a contacté plusieurs amis et des collègues c'est assez ouvert il y a des papiers publiés aujourd'hui sur des cas spécifiques où vous spécifiez peut-être le valeur de M et puis vous pouvez dire des choses mais apparemment c'est assez ouvert et sur les techniques disponibles ici je répète ce que nous avons dit oui donc ici est M.Gourm-Aktai j'étais entouré du nom que peut-être c'était un homme scottien mais en fait donc la bonne prononciation du nom est Gourm-Aktai et il était un businessman et un mathématicien amateur il a beaucoup de papiers mathématiques donc il a joué le piano dans ses trois fois donc il était born in Austin et il passait juste deux ans après Alain's birth ok donc je vais me changer au prochain je vais mentionner un peu relativement au combinatorique donc c'est un concept que j'aimerais introduire donc tu prends un espace vecteur au combinatorique et tu prends un subset un set de vecteurs tu veux définir le set de direction déterminé par ce set F comme tout les sub-spaces d'une dimension sont expérimentés par des différences des deux éléments non distincts donc si tu penses projectivement que l'infinité de l'espace vecteur est collinée avec un paire de points dans le set F F est finie ou non ? pour la définition je n'ai pas besoin d'assumer de la finie finie mais maintenant on va bouger à la finie finie donc on fixe un fil de fin fin de toute la queue on regarde juste le espace vecteur de deux dimensions sur la queue c'est la queue plus une une dimension sub-spaces c'est la queue plus une direction possible et la question s'adresse pour la taille de la liste de un set qui détermine toutes les directions possibles donc c'est la question donc il y a un peu d'observations que tu peux faire donc il y a un bas bond sur la queue alpha donc un set de taille N qui est en plus de deux directions et donc la liste N sur la queue n'est au moins de la queue plus une tu as un bas bond pour la queue alpha et tu peux facilement voir que la route square de deux queue réalise ceci et puis il y a un bas bond qui est aussi linéaire dans la route square qui est un peu plus drôle mais c'est aussi possible donc c'est possible un peu plus grand que deux et ça marche mais ici la question s'adresse pour une valeur précise c'est la même c'est pour la queue ? oui ce bas bond oui et donc c'est recordé dans un liste de problèmes dans l'additive combinatorique publié il y a 10 ans donc je vais laisser ça pour le taser et maintenant et maintenant j'aimerais expliquer comment nous avons rencontré ces différentes questions alors que en commençant en pensant sur des questions basées sur les groupes unita des représentations de groupes donc je vais mettre maintenant la notation donc je vais parler de représentations unitaires de groupes unitaires et c'est très convenu d'utiliser EREP pour représentations unitaires et donc la théorie de représentations unitaires de groupes et spécialement des groupes locales en général il a commencé longtemps et j'aimerais vous remercier l'une des théorèmes ici c'est un théorème par rapport à Gelfand et Rykov en 43 il dit que qu'un groupe a suffisamment une représentation irréduciable et que la formulation précise est la suivante chaque G dans G, différent de l'identité il existe un EREP par qui est non trivial sur G donc et ce que j'aimerais vous parler c'est des kernels de représentations irréduciables donc c'est un set de groupes normaux de groupes G et j'aimerais vous obtenir d'informations sur eux vous avez déjà défendu la notion de mon titre donc un set F en G sera appelé irréduciable et faceful si il existe un EREP par G c'est non trivial sur tous les éléments non triviales donc c'est la notion d'un Fandreikov qui dit que chaque single ton dans un groupe est irréduciable et faceful et puis ce que j'ai appris de Pierre c'est aussi un résultat de la théorie générale valide pour chaque groupe prouvé par Walter en 74 et Walter prouve que dans chaque groupe un EREP est irréduciable et faceful donc je ne sais pas pourquoi j'ai trouvé cette théorie plutôt intuitive et Pierre m'a mentionné que pour moi, il m'a mentionné que dans ce talk je l'ai présenté je l'ai referté plus tard et ce que certainement peut être pointé c'est que certainement ce n'est pas vrai pour les triples c'est parce que vous pouvez prendre un groupe très facile le groupe de Clien Fierre il y a 4 représentations irréduciables et chaque de eux quitte l'involution de cette groupe donc le triple d'involution en G d'un subset irréduciable et faceful pour étudier cette notion on a décidé d'introduire une propriété donc on dit pour N un integer on dit que le groupe a une propriété PN si chaque set F en G d'un certain nombre est irréduciable et faceful et donc le rôle qui était le rôle qu'on a décidé de prendre pour notre projet c'est de décrire algebraiquement les groupes avec la propriété PN et donc ce est ce que je vais expliquer ce qu'est la solution que nous avons obtenue comment on peut décrire ces groupes je ne vais pas dire le principal thème mais je vais seulement mentionner une chose donc le principal thème qui va venir plus tard implique la suivante c'est un corollaire que je veux dédiquer à Alain c'est le fait que P of 60 implique P of 61 et clairement le grand n est donc le plus fort est la condition donc PN implique PN minus 1 et cette implication est une entre beaucoup d'autres par exemple P of 10 implique P of 11 et puis je ne sais pas tous de ces je sais un le plus fort implique P of 97 et donc le gaffe n'est pas le plus fort le gaffe n'est pas le plus fort c'est pourquoi je l'ai mentionné donc il y a des groupes et oui je voudrais expliquer où ces groupes viennent peut-on faire des groupes locales pas seulement des groupes spécifiques tu peux, bien sûr les questions font du sens je ne sais pas l'answer dans le cas général mais c'est certain possible même si des arguments que j'utilise sont confinés dans le cas discret mais des technologies sont disponibles pour les plus générales ok, donc c'est pour chaque groupe je ne sais pas si c'est le fait ah, pardon c'est pour les groupes comptables merci je vais mentionner les relevance donc g comptables finite ou infinie ok ok, donc c'est l'introduction laissez-moi maintenant prendre un peu de temps en discutant des groupes faciles donc un bon moyen pour un groupe pour satisfaire la propriété PN pour n'importe quelle valeur pour faire une représentation irradiucible donc, pour le moment d'entendre ce qui est un problème classique donc la première observation va au Sjurzlema ok, Sjurzlema nous dit que si g, chaque groupe est irradiucible et fête puis chaque subgroupe finite dans le centre de g est cyclique ok, parce que le centre de g par une représentation irradiucible il doit être map pour pour le groupe Sjurzlema par une représentation irradiucible et en Burnside en 1911 donc, bien sûr, il était aware de ça mais il était aussi aware que cette nécessaire condition n'est pas suffisante donc cette nécessaire condition n'est pas suffisante pour g pour irradiucible pour Burnside c'est g finite et je vais vous convaincre d'un claim Burnside donc, considère le groupe le groupe suivant tu prends un espace vector de dimension 2 par S3 et tu actes sur par le groupe multiplicatif de S3 qui acte par la multiplication scale donc c'est un groupe d'ordre 18 et c'est centre-free c'est très facile de voir maintenant, g a 2 rètes de degrés 1 venant de la question de l'équipe 2 mais g il y a aussi beaucoup plus de quotations donc chaque fois je prends un espace de dimension 1 par S3 c'est bien sûr invariant par cette action je peux le tuer et donc tu vois que g a donc tu as 4 quotations isomorphique 2 F3 semi direct F3 star qui est la même que le groupe symétrique S3 mais S3 nous savons que c'est une représentation irédicible il a 2 une représentation irédicible de degrés 2 nous avons 4 rètes de g de degrés 2 et c'est bien parce 18 plus 4 x 4 donc nous avons tous et tu vois que toutes ces représentations tuent au moins un groupe symétrique de toutes les 3 ok et donc c'est une appendix et puis bien sûr les gens ont essayé de trouver des caractérisations algébriques de l'irréduction pour les groupes symétriques et des papiers déjà dans les années 20 je ne vais pas mentionner tous les groupes mais je vais mentionner la fin de la histoire donc c'est un théorème pour les groupes symétriques et une extension dans l'infinite case c'est pour Bâchir Becquat et Pierre de la Harpe en 2008 ok, donc let me right donc Gachut donc g est un groupe et pour Gachut c'est un groupe symétrique le cas général est Becquat de la Harpe puis g est irréduciably faithful si et seulement si pour tous A1 et Am minimal finite abilien normal subgroupes de g les subgroupes qui génèrent sont tous ensemble ok, donc c'est un subgroup de g finite normal et nous avons besoin d'un subgroup de g qui est généré par une seule conjugation class donc comme un subgroup normal il est généré par un élément ok, est le statement clair ? qu'est-ce que le groupe g est irréduciably faithful ? g est irréduciably faithful c'est g, comme un subset de g c'est irréduciably faithful donc ça veut dire que g a une representation irréduciable c'est faithful qu'est-ce que c'est un subgroup minimal ? donc c'est minimal entre les subgroups normales de g finite abilien oui bien sûr donc je veux dire chaque un est minimal et puis tu prends tous leurs ensemble donc tu peux vérifier qu'est-ce que c'est un subgroup minimal ok, donc qu'est-ce que les subgroups normales dans ce groupe g ici il y a tous les subgroups cycliques de tous les 3 dans g il y a 4 de ces tous ensemble ils génèrent cette f3 x f3 et ce n'est pas généré par une seule conjugation class pour tes théories est-ce que c'est un contraire exemple c'est un contraire donc tu vois que c'est un groupe qui est torsion-free il n'y a pas de subgroupes non triviales et donc cette caractérisation est de la condition ok maintenant, prends un groupe incontentable qui est de la cardinale qui est abilienne et qui est de la cardinale plus grande que la f0 ok, donc c'est un contraire exemple pour le pn c'est l'implication pour pn je ne peux pas j'ai besoin de l'assumption de la comptabilité et je n'ai pas pu discuter dans le cas général ok donc les conséquences de ce résultat concernant ma histoire l'un d'entre elles est le suivant donc un groupe g comptable est irréduciable et faithful si et seulement si g a pn pour all n ok donc l'une direction est claire tout le temps et l'autre direction c'est un conséquence d'un statement parce que si le groupe n'est pas irréduciable et faithful nous avons appris et que ça vient de l'existence d'un groupe g distingué d'un groupe g normal qui a des problèmes et donc nous pouvons prendre l'inverse f pour être l'inverse d'un groupe g vous pouvez trouver le converse sous les trois produits le converse ici donc peut-être je ne sais si l'inverse est irréduciable pour l'inverse je ne peux pas prendre l'inverse mais si cette condition ne s'occupe alors vous pouvez montrer que pn est faible si cette condition n'est pas normal si il n'y a pas de subgroupes irréduciable et faithful automatiquement si l'inverse est irréduciable peut-être que c'est le pn m exactement vous pouvez l'utiliser le converse f que vous pouvez prendre c'est le subgroupe normal parce que c'est un subgroup de g et celui-ci n'est pas irréduciable et faithful comme conséquence de l'inverse donc il y a d'autres conséquences par exemple dans les groupes finiaires une chose que vous pouvez apprendre c'est que si vous prendre un groupe finiaire et que vous modélisez le radical le plus grand subgroupe normal ce sera un groupe irréduciable et faithful c'est plutôt l'observation donc en particulier, chaque groupe finiaire a une erreur qui est urréduciable et aussi il y a un analogue dans l'inverse mais je ne vais pas le voir ok je vais maintenant bouger à des groupes habiliens et donc c'est le premier cas où nous avons d'autres outils pour comprendre la représentation unitaire et puis, déjà là, on va comprendre où se sont les graines entre les différents n pour les propriétés pn donc ici c'est la proposition dans le cas habiliens donc g est une groupe habiliens puis g est un n n est une integer puis g n'a pas pn si et seulement si g contient un subgroupe isomorphique à cp x cp ou p est une prime qui est à la fois n-1 ok, donc par ce que je veux dire, g contient un subgroupe finiel, un subgroupe isomorphique à la production directe de deux copies d'un groupe psychique de prime tout le p ok, donc je vais vous prouver pour vous donc, encore une direction c'est clair par Schoeslemma si mon groupe habiliens contient ça, donc c'est un subgroupe non psychique donc quelque chose est tué et ce qui est tué, donc je peux prendre un set de p plus 1 qui contient un subgroupe psychique de prime d'ordre de cp x cp et donc ce set de p plus 1 c'est irréduciably unfaîtré donc g n'a pas une property p p plus 1, donc il n'a pas une property pn donc c'est Schoeslemma et donc ce qui se passe dans la direction de l'ordre donc par l'assumption d'un sub set de g d'une taille de la plus n qui est irréduciably unfaîtré ok, donc ça implique que pour chaque irréduciable représentation de g et g hat dénose la collection d'équivalences c'est un caractère en ce cas c'est un caractère c'est un groupe de caractères un élément x non trivial en f par f par x c'est l'identité et donc let me write this as follows so the collection of characters is the union over all non trivial elements of x of f sorry of the annihilator of x, the collection of characters is not trivial on x ok but now the key point in this case is that the set of characters is not only a set, it's a group under point wise multiplication ok so I've expressed a group as a union of proper subgroups a finite union of proper subgroups and then you may recall that theorem due to Bargava which is a neat observation about all groups a group h is a union of less than n proper normal subgroups if and only if h maps onto cp x cp where p is prime at most n-1 ok g is commutative here no g is commutative here h is any group here but I'm talking about normal subgroups there ok and now so we see that the dual, the portraying dual of g here is a union of at most n subgroups ok so from this observation we conclude that the dual of g maps onto cp x cp but then the double dual of g contains a copy of cp x cp and the dual of g is g ok Bargava, the group is absolutely arbitrary but it's a theorem about normal subgroups ok so you can also ask whether an arbitrary group can be a union of for example 7 subgroups exactement 7 propres subgroups il turns out that it's not the case but that's a much deeper theorem due to Tomkinson ok so it's really about normal subgroups so now let's let's move on to the general case and for the general case I want to discuss one more family of examples so p will be a prime q a power a power of p and m a non-zero integer and now let me take w the m dimensional vector space over fq and v will be the direct sum of copies of w and how many do I take I take m plus 1 copies and my group g which I'll call g subqm by definition it's the semi direct product of v with glw acting diagonally ok so that's a finite group ok and what I claim is that gqm has property pn minus 1 but not property pn where n is q to the m plus q to the m minus 1 plus q plus 1 so why is this the case so first of all we have seen one of these groups before so g3 1 this was burn size example so why am I claiming this so you need to recall the gachutes bekadela art theorem ok so in order to understand whether this group is irreduciably faithful or not you have to go through the enumeration of all these minimal finite normal subgroups so what are these minimal abelian normal subgroups of g it's not too difficult to see that they are contained in v and so v I can see it as a g module and so the minimal abelian normal subgroups are just the simple submodules here ok what is the meaning of n n is exactly the number of simple submodules n this value is the number of simple zgqm submodules of v so now I have to check whether taking any collection of such finite minimal subgroups the corresponding normal subgroup is singly generated so this means that as a module this module will be cyclic but a number of factors which is the dimension plus 1 I happen to have a module that's not cyclic if I had taken one less summand here I would get a cyclic module so it means that if I kill any summand in v which will be a normal subgroup of gqm this condition is satisfied and I get an irreduciably faithful group but if I don't kill that the group cannot be irreduciably faithful and so this means that every irrep of that group kills at least one of these simple modules now what I can do is I can take a non zero element in each of these simple submodules and you have n equals to that number such simple submodule and this will be a subset of g of that size of size n which is irreduciably unfaithful I think we are ready for stating the main theorem the main theorem will tell us basically that this phenomenon that we observed on that specific example of a finite group is essentially the only obstruction so now let g be a countable group and n an integer assume g has property pn-1 and let f inside g a subset an irreduciably unfaithful subset of size n then I claim the following if you take look at the normal closure let me call it u the normal closure of f inside g this is a finite elementary abelian p group for some prime p in particular I can view this u as an fpg module and moreover I can describe this u as an fpg module as follows so moreover there exist a finite simple fpg module which is of dimension I will call of dimension m over the commutant of g in the endomorphism algebra of w so let me call this k such that 2 things hold the first thing is that u is isomorphic to the direct sum of l copies of w for some l which is at least m so I take here at least m plus 1 copies of w where m is this dimension and the second point is that n can be expressed as q to the power m plus q to the power n minus 1 plus q plus 1 where q is the size of k which is this commutant the centralizer so that's k so this result describes the only essentially the only irreducibly unfaithful subsets of size n inside groups that have property pn ok, but the equality here is of course important because it is so the explanation of p16 plus p61 so corollary so if a countable is so if there exists a countable group g with pn minus 1 but not pn then n is of this form ok so it's the cardinality of a projective space over a finite field you can go one step further is that p of 0 which is a tautological statement on any group implies p of 1 which implies p of 2 ok, so this is the Gelfand-Reichhoff theorem and this is the Walter theorem neither 1 nor 2 is the cardinality of a finite projective space over a finite field ok and so now I will use the remaining couple of minutes to discuss a variation now I want to discuss about irreducibly injective states so what do I mean by this so my basic definition was this notion of irreducibly faithfulness which was the property that a non trivial element gets mapped to a non trivial operator ok instead of this use, instead of faithfulness in that sense I could use the notion of injectivity so say a group G has property Qn if every set f in G of size at most n is irreducibly injective in that sense for every set of size n I can find some irrep of G whose restriction to that finite set is injective, that's my new concept thank you, thank you, yeah so there is one obvious relation is that for any n G of n choose 2 implies Q of n right so that's the quadratic relation that's obvious, right if you have a set of size n you can form you can choose n choose 2 quotients among them and this set of n choose 2 quotients will be irreducibly faithful if and only if the set is irreducibly injective ok notice that the converse of this obvious inequality holds for n equals 2 3 and 4 ok but what we observed is that P of 9 is equivalent to Q of 5 so so for n equals 5 it's no longer an implication which is the reverse of this inequality and this we had to use the computer to verify this unfortunately and let me finish by convincing you that it becomes considerably more complicated to to study the property Qn rather than P of n just because there is one extra question involved related to additive matrix so if g is a group that's irreducibly unfaithful if it's unfaithful then it fails to satisfy property Pn for some n so it will also fail to satisfy Qn for some n and so I can define alpha of g to be the unique n such that g has Qn minus 1 but not Qn ok there exists obviously by definition such an integer n because I assume g is not irreducibly faithful and so in particular I want to compute this number for any irreducibly unfaithful group and so take for example g to be cp cross cp ok ok so that's my prototypical unfaithful group and then what you discover and again that's a rather easy observation is that this is the number alpha p that I was looking for in the open problem that I mentioned in my introduction so it's the least size of a subset of fp times fp ah mais qu'est-ce qu'il y a avec l'équation ou l'équalité de p ah non non c'est un lien avec la deuxième partie de ma introduction ok donc il y a aussi un lien avec la première partie donc donc je n'ai pas formulé précisément ce que j'ai regardé en caractérant Qn mais une chose qu'on peut demander c'est qu'il est equivalent à p de phi de n pour une fonction phi ça peut être vrai ou pas mais maintenant, pour répondre à ça probablement je vais avoir à savoir je sais la structure additive de ces modules devient rélevante c'est peut-être le point qu'on peut faire je vais arrêter ici