 آسلام علیکم لیکچر No. 22 آپ نے کالکلس کی سیریز میں آج شروع کرتے ہیں تو اس میں بھی ہم اپلکیشنز of ڈریوٹس کی بات کریں گے لیکن from a theoretical point of view for now اس میں یہ ہے کہ ڈریوٹس کی جو ہم نے ابھی تک کہہ لیں آرسنل جسے ہم کیا سکتے ہیں ایک طرح ہم نے develop کیے جو ہمارے پاس اس کی جو weaponry ہے ایک طرح سے کہہ سکتے ہیں یہ جو ڈولز ہیں ان کو استعمال کر کے ہم مزید theoretical ideas develop کریں گے جو آگے چلے پھر ہم ایک ساتھ ان سب کو ملا کے پھر ہم دیکھیں گے کہ applied problem میں کیسے استعمال ہوتی ہیں تو آئی اس کا start کرتے ہیں اس لیکچر کو اس میں ہم کیا آج کال بات چیت آج کیا بات کریں گے کیسی اس کی بارے میں بات چیت کریں گے اس کو screen بھی دیکھلتے ہیں دیٹل میں کہ وہ کیا ہے ساری چیزیں آئی دیکھیں طوپ ایک جناب ہے آج کے لکچر کا relative extreme سب سے پہلے تی ایک extreme کیا چیز ہوتی ہے extreme بیسکلی extreme value سے ایک طرح سے نکالا گیا derived word ہے ہو سکتا ہے کچھ dictionary سے مل جائے میرے جو microsoft جو وہ ہے word اس میں میں جب بھی دالتا ہوں word extreme تو وہ recognize نہیں کرتا تو غالبا بناس کی dictionary میں نہیں ہے لیکن اس کا وہی definition یہ یہ سر mathematical terminology بیسکل پلورال ہے ایک طرح کا extreme values کا تو اس میں ہم بیسکل لیکچر میں یہاں سی ظاہر ہو رہا ہو گا آپ کو کہ will talk about certain type of extreme values of functions تو آئی دیکھیں کہ اس کے اندر کیا سب details ہیں سب topics کیا ہے اچھا جی تو relative maxima کی بات کریں گے یعنی بیسکل اس کو ابھی مزید define کریں گے کیا ہوتی ہیں relative maxima لیکن in general تھوڑا ساگر intuitively بات کریں تو definitely اس میں تھوڑا ساپ اخص کر لیا ہوگا مانے آپ نے کہ maxima سے مرادہ maximum value of some sort اس کے لہذا پھر ہم relative minima کی بات کریں گے minima of course kind of sounds like minimum values تو will talk about those also پھر ہم critical points کے بارے بات کریں گے یہ کیا ہے special very important points will look at them in detail later on اس کے لیوہا ہم first derivative test کی بات کریں گے what is that and what does it mean testing for what وہ بھی بات میں دیکھیں گے کیا ہوتا ہے basically a derivative first derivative test جو it's in regards to with regards to finding maximum values maxima اور minima similarly a second derivative test ہوتا ہے اس کے بھی بات کریں گے آگے چلکے یہ بھی ایک چیز ہوتی ہے اس کے لیوہا ہم دیکھیں گے کی ساری چیز جو بھی تک ہم نے جنگ کی بات کی ہے ان کو استعمال کر کے ہم گرافس میں کیسے ان کو استعمال کر سکتے ہیں to graph to sketch graphs of polynomials and similarly how to use them to graph sketch graphs of rational functions جناب یہ ہے اچکہ جنڈہ بیسکل اس میں شروع کرتے ہیں کچھ بات چید بیسکل پہلہ topic ہے ہمارا relative maxima کا تو وہ میکسیم ویلیوز والی بات کی تھی میں نے کہ basically sounds like maxima sounds like maximum value that is exactly what it is relative سے کیا مرات ہے اس میں تھوڑی سی details ہیں تو بات یہ ہوتی ہے کہ relative maxima کی جو ہم بات کرتے ہیں کسی function کی تو بات یہ ہوتی ہے کہ what we want to do is basically find a certain maximum value for a function on a given interval بھی تک جو ہم نے پیشل لیکچر میں بات کی تھی کہ کچھ ہم نے increasing functions or decreasing functions ویرہا کنگہ ویٹی کی بات کی تھی تو اس میں بھی سب بات چیط جو ہی تھی وہ ایک given interval میں ہوئی تھی سیمہوری یہاں پر بھی ہم جو بات کریں گے میکسیم ویلیوز کی تو they will be on a given interval جب ہم انٹرول بے بات کرتے ہیں تو یہاں پر automatically relative relativeی کی کونسپت آ جاتا ہے کہ if you're talking about a maximum value on a given interval it's only maximum in that interval یا نہیں ہو ایک اور انٹرول میں اس کی فنکشن کی ایسی میکسیم ویلی ہو جو پشلے انٹرول میں میکسیم ویلی جو تھی اس سے زادہ بڑی ہو اس کے مثال آپ اس طرح سمجھ سکتے ہیں کہ اگر آپ بات کرتے ہیں جسے اپنی جو مرگلہ ہلزیں ہماری اسلام باد میں تو ان میں جو آپ دیکھیں کہ ان کی کچھ شیپ ایسے ایسے بنتی ہے یعنی کرویسی ہیں زیرہ عام طور پہ پہاڑ ایسے ہوتے ہیں تو اس میں پہاڑی کا اونچائی بھی آتی ہے پھر ایک ویلی بھی آتی ہے نیچے کو پھر ایک اور پہاڑی آتی جو ہوسکتے تھا اور انچیوں پھر ایک ایسی ویلی ہے جو کافی نیچیوں تو اس میں بات یہ ہے کہ اگر آپ سے میں کہوں کہ بھی مرگلہ ہلز ہیں اس میں آپ مجھے اس کی میکسیم ویلیو یعنی ہیسٹ جو ہل ہے یعنی جو میکسیم ہیسٹ چھوٹی جو اس کی ہے وہ آپ بتایں کونسی ہے تو اگر میں ایک جگہ کھڑا ہوں مرگلہ ہلز پر کسی بھی سلام باتی کسی ایریہ میں تو مجھے مرگلہ ہلز کا صرف اتنا ایک حت تک ایک حصہ نظر آئے گا تو ظاہرے میں اس حصے کے اندر بتا سکوں گا کہ اتنے حصے میں کونسی سب سے اونچی چھوٹی ہے اس کے بعد جو مرگلہ ہلز آگے جاتی ہیں اگر جو مجھے نظر نہیں آ رہی ہوسکتا اس میں کیسی ہو جو بہت ہی اونچی ہو لیکن مجھے نظر نہیں آ رہی تو یہ کہانا غلط ہوگا کہ جو میں آپ کو بتا رہا ہوں چوٹی سب سے اونچی ہے وہ ابسلوٹلی میکسیم یہ ابسلوٹلی ہیسٹ ہیل ہے مرگلہ ہلز کی چین کی لیکن یہ کہانا سی ہوگا کہ انہا گیون نیبر ہوڑ انہا گیون ویسینٹی this is the ہیسٹ point تو اسی آئیڈیا کو بیسیکل ہم زموڈل لے سکتے ہیں جب ہم فنکشنس کی بات کرتے ہیں سیملوڈ لی اگر آپ مینیموم ویالیوز کی بات کر رہے ہیں ریلیٹف مینیمہ جنے ہم کہتے ہیں تو وہ بھی یہی بات ہے کہ جیسا مرگلہ ہلز میں لوز point بھی آتے ہیں کچھ یعنی ویالی جو بنتی ہے تو اس میں سب سے لوز کونسی ہے again وہی بات ہے دپینٹ کرتا ہے میں کیسی نیبر ہوڑ میں کھڑا کہ آپ سے سوال پوچھ رہا ہوں آپ کے جواب بھی اسی پر بیس ہوگا تو اسی طرح سے جو فنکشنس کی باتی ہے again we talk about relative minima یا minimum values in a given interval تو وہی بات ہے کہ it'll become relative to that interval only that's why we use the word relative in relative maxima and relative minima اچھا تو اس سارے کنسپٹ کو فرملائس کرنے کے لئے تھوڑا سمجھانے کے لئے ایک تصویر بنالتے ہیں کہ یہ ساری maxima اور minima ہوتے کیا ہے یہ relative maxima minima کیا ہوتے ہیں تو let's make a picture of a graph of some function it could be some function I don't know what the equation is اس کا گراف ہے اور اس پر دیکھ لیتے ہیں کچھ ایسے point ہیں جو relative maxima اور relative minima کہلائے جا سکتے ہیں تو یہ دیکھتے ہیں یہ جناف فگر ہے آپ کے سامنے اس میں دیکھیں کہ یہ آپ کے پاس کچھ point ہیں جو relative maxima یہ relative maximum کہلائے سکتے ہیں اگر ایک point کی بات ہو رہی ہے تو relative maximum ہوگا اس کی plural جو جائے گی وہ relative maxima ہو جائیں گے اگر بہت سارے ایسے point ہیں جنے maximum values کہلائے سکتے ہیں ایک انٹرول میں کسی کیون انٹرول میں اور اس طرح سے relative minimum values کی بھی بات کر سکتے ہیں اس پکچھر میں آپ دیکھ سکتے ہیں کہ what basically these things mean اچھا جی تو اس کو ظاہر ہے تھوڑا صفاملی ڈفائن کرتے ہیں تو ایک definition بنا رہتے ہیں and let me put it on the screen for you this definition and then we'll talk about this further یہ جناب 3 definition ہے بیسکل جو ایک ساتھ ہیں 4.3.1 4.3.2 and 4.3.3 اس میں دیکھلی جی کہ 4.3.1 پہلی definition کی بات کرتے ہیں a function f is said to have a relative maximum at a point x not if f of x not is greater than equal to f of x for all x in some open interval containing x not اچھا جی تو اس definition میں کہ جو آپ کا relative maximum ہوتا ہے maximum love ستمال کی ہے maximum کی بجائے کیونکہ آپ ایک point کی بات کر رہے ہیں تو اس میں یہ ایک ایسا point ہوتا ہے جہاں پہ ایک خاص ایک x value ہوتی جہاں پہ corresponding y value ہوگی جس کو جو function میں آپ وہ x value ڈالیں گے تو corresponding y value آئی گی اس کو اگر آپ ڈاریں گے گراف میں تو on that interval ایک پتکلر interval ہوگا اس interval میں وہ y value magnitude میں سب سے بڑی ہوگی یعنی سب سے اونچائی پی ہوگی گراف بھی جب آپ کریں گے گراف میں سب سے اونچا point جو ہوگا وہ اس y value کا ہوگا بیسکلی تو یہ اس definition کا مقصد تھا اس میں equality بھی علاوٹ تھی انہیں جب انہوں نے کہا تھا کہ f of x not is greater than or equal to f of x for all x in that interval تو کہنے کا مقصد یہ کہ equality کا کیا مطلب ہے اس میں equality کا مطلب یہ کہ اگر equal ہو بھی جائیں تو اس میں basically get a point which is ایک function کی جو values ہوگی وہ constant ہوگی تو اس میں kind of interesting اس کی تھوڑسی آپ example کر کے دیکھیں تو I think this would be something that you can explore yourself کہ equality کیوں علاوٹ ہے ہمیں یہ بیسکلی maximum relative maximum کی definition ہے اسی طرح سے آپ relative minimum کی بھی آپ کو definition دیوی ہے اس کو پڑھوں گا نہیں میں سامنے آپ کی screen پی ابھی آئی تھی ابھی آجا تھی بلک دیتے اور اس طرح سے ایک اور definition جس میں extreme کی بات کی گئی extreme کی تو screen بھی دیکھ لیتے ہیں اور میبھی انگے بارے میں تھوڑسی بات کر لیں گے تو یہ آپ کے سامنے definition 4.3.2 آگئی relative minimum کی حوالے سے آپ کے سامنے ٹیکس میں بھی ہوگی آپ خود پر لیجے گا it's pretty much the same as the first definition اس کے بعد آپ کے پاس definition 4.3.3 آجاتی ہے یہاں پہ ہے کہ definition میں relative extreme کی بات کی گئی یہ ایک extreme value جیسے کہہ لیں تو وہ ایک ایسے point ہوتا ہے x not جہاں پہ یہاں تو relative maximum ہوگا یہ relative minimum and in that case you will say that at that point x not you have a relative extreme یعنی کہانے کا مقصد یہ کہ extreme کا مطلب یہ کہ یہاں تو maximum value ہے یا minimum value ہے it's an extreme value یا تو maximum یا minimum اور extreme value کا مطلب یہ ہوتا ہے کہ وہاں پر ان دونوں میں سے ایک case کر کر رہا ہے تو ایک example کے طور پہ آپ ایک graph بنالتے ہیں اس میں آپ دیکھ لیجے کہ تو سکن وی ہو جائے گا idea کہ what exactly is a relative maximum آئی دیکھتے ہیں یہ جناب ایک graph ہے of some function f ہمیں equation نہیں پتا کیا ہے یہ آپ کے سامنے آگئے اس میں دیکھئے کہ this graph has a relative maximum in the interval a,b it's an open interval because from the graph it's obvious that f of x not یعنی جو point x not اس کو اگر evaluate کریں اس کی y value معلوم کریں تو graph پہ آپ دیکھ لیجے کہ it's greater than or equal to the y values corresponding to all of the other x values اچھا جی اب next topic ہم جس کی بات کرتے ہیں وہ ہے critical points تو یہ critical points کیا ہوتے well these basically are points which are of interest because of relative extreme values that may occur in a given graph of a given function تو مخصد یہ کہنے کہ critical points سے کیسی points ہوتے ہیں جہاں پہ extreme values basically اکر کر رہی ہوتی ہیں یہاں پہ اس کو تھوڑا سا define کرنے کے لیے ایک تھوڑی سی motivation یہ ہے کہ اس میں ابھی میں تصویر بناؤں گا اس میں آپ دیکھ لی جے گا کہ جو میں کہا رہا ہوں وہ صحیح ہے یہ جو extreme values ہوتی ہیں i.e. relative maximum یا relative minimum these are actually points they occur at points so these can be viewed as points where a graph changes from increasing to decreasing and vice versa یا concavity ان کی شد چینج ہو رہی ہو تو ان کو اس میں بلکہ ایک فگر بناتے ہیں جہاں پہ آپ کو بلکہ یہ اس بات کا تھوڑا سا motivation ملے گی آئی دیکھتے ہیں یہ جناب آپ کے سان میں تصویر ہے اس میں دیکھ لی جیے کہ جتنے بھی points ہیں یہاں پہنچ جو relative maximum یا minimum ہے وہاں پہ آپ کی وہ ہے چینج ہو رہی ہے function کی increase increasing function تھا وہ change increasing ہو گئے and vice versa تو یہ ایک طرح کا motivation تھی for defining critical points ایک چیز اور ہے جو critical points کو define کرنے میں help کرے گی اس کو میں screen پہلک دیتا ہوں let's look at that یہ جو فگر بلکہ ابھی آپ کے سامنے تھا اس کو پھر سے دیکھ لیتے ہیں screen پے اس میں دیکھئے کہ جو آپ کی relative extreme ہیں یا جو extreme relative minimum یا maximum of a function they are occurring at points where f has a horizontal tangent or where the function is not differentiable تو یہ نہیں کہنے کا مقصد کیا ہے مقصد یہ کہ horizontal tangents ہیں تو اس کا مطلب ہے کہ slope of these tangent lines is equal to zero which is again transferred into the fact that the derivative is equal to zero at that point or the points of non-differentiability ہیں وہاں پہاں of course we don't know how to differentiate the function we just don't have the derivative and derivative does not exist at the points where the function is not differentiable تو یہ point سامتہور پہ جو non-differentiability کے ہوتے ہیں یہ ہم نے پہلے بھی ایک دفعہ دیکھتے بہت سے ان کے qualify کرنے کے طریقے ہوتے ہیں لیکن یہاں پہاں دیکھیں کہ these are basically in this case particularly یہاں پہاں وہاں وہاں پہاں جہاں پہاں کارنرز اکر کر رہے ہوں گے یعنی کچھ اسی شیپ ہوگی جہاں پہاں ایسا کارنر ہے بلکہ جہاں ہم derivative کی بات کر رہے تھے کہ کارنرز پر گراف جو آپ کا جو فنکشن ہے اس کا جو گراف ہے جہاں پہاں کارنرز اکر کر کرتے ہیں وہاں پہاں derivative اگس نہیں کرتا تو ان کو n چیزوں کو استعمال کرتے ہیں ہم critical points کو دفعین کرتے ہیں تو یہ critical points کو ایک ثیرم کی form میں دفعین کر لیتے ہیں تو let me put it on the screen for you یہ ثیرم آپ کے سامنے 4.3.4 if f has a relative extremum at x not یعنیہاں تو relative maximum ہوگا یا relative minimum then either f prime of x not is equal to 0 or f is not differentiable at x not تو یہ ایک طرح کا آپ کے پاس بتانے کا ڈرمین کرنے کا طریقہ ہے کہ کہاں پہ relative maximum ہم جو اکر کرتے ہیں اب ایک definition اور ہے critical points کی جو آپ ہم اس ثیرم کے بعد دیکھلتے ہیں اس کو بھی screen پہلک دیتے ہیں آئی دیکھتے ہیں definition آپ کے سامنے جی کہ a critical point for a function f any value of x in the domain of f at which f prime of x is equal to 0 یعنی derivative جہاں وہ 0 ہوگا yes slope of the tangent line is equal to 0 at that point or at which f is not differentiable the critical points are called critical points where f prime of x is equal to 0 yet derivative is 0 are called stationary points of f تو جناب یہ definition ہے critical points کی اس میں یہ بات ہے کہ جہاں پر بھی derivative 0 ہو یا function کا derivative exist نہ کرتا وہ critical points کیلاتے ہیں اور وہ آئے critical points جہاں پر derivative 0 کی براہ بار ہوتا ہے ان کی بھی a special terminology ان کو ہم کہتے ہیں stationary points those stationary points will be of a lot of interest of course وہ آئے critical points بھی if interest ہوں گے جہاں پر function derivative exist نہیں کرتا تو آئی score develop کرتے ہیں جہاں آپ کے سامنے ایک سامل ہے اس میں ایک figures ہیں کچھ بنےوے basically 3 تصیرے بنیوے گراف سے کسی functions کے وہ functions کیا ہے ہمیں معلوم نہیں لیکن یہ دیکھئے کہ جہاں پہلے function ہے a اس میں جہاں point x0 ہے x0 is a critical point and stationary point as the tangent line has slope 0 تکی جہاں پہلے figure سے a سے آپ کو ظاہر ہو رہا ہے کہ it's a critical point of course it is a stationary point because the tangent line has slope 0 which translates to the derivative being equal to 0 in the next 2 graphs note that x0 is a critical point but it's not a stationary point because at that point in both of these pictures the derivative does not exist یہاں پہلے کچھ تھا سا idea ہم develop کرنا ہے further ابھی تھوڑی دیر میں دیکھیں گے تصیروں کا کیا مقصت تھا یہاں پہلے کہاں پہلے basically two points دو کسم کیا ہوتے ہیں ایک مطلب ان کی definition تو یہ کہ یہاں تو وہاں پہ derivative 0 ہوتا ہے یا function جو ہاں درفانشیبلی نہیں ہوتا تو یہ دو طائب کی critical points ہوتے ہیں جو جہاں پہ derivative 0 ہوتا ہے ان کم سٹیشنری point کہتے ہیں اور جو دوسرے ہوتے ہیں جہاں پہ function کا derivative exist نہیں کرتا ان کا کو خاص نام نہیں ان کو بس critical points کہتے ہیں where the derivative does not exist ابھی جو example ہم نے کیا اس میں آپ نے جو figure دیکھتے ہیں ان کو بلکہ بھی پھر سے دیکھلتے ہیں اس کے بارے میں کچھ بات چیت کرتے ہیں let's look at the figures again تو یہ جو آپ کے سامنے ابھی جو figures ہیں ان میں دیکھئے کہ جو پہلہ figure ہے جو بلکہ ایک figure جو ہے جس کو میں جی لیبل کیا ہوتے ہیں اس میں x not وہ critical point ہے لیکن اس پر کوئی relative extreme نہیں ہے یعنی نہ تو کوئی relative maximum کر کر رہا ہے نہ کوئی relative minimum تو یہ ہو سکتا ہے this can happen so how do we know at which points which critical points a relative extreme occurs or not یعنی یہ بڑا اچھا سوال ہے کہ ہمیں ہمارے پاس ایک critical point تو آگیا اب ہمیں کیسے پہلے چلے گا کہ یہاں پر maximum relative extreme ہے کہ نہیں ہے یعنی maximum ہے یعنی minimum کر کرتا ہے کہ نہیں کرتا تو اس کو ہم کیس طرح سے دیترمن کریں گے گراف اگر دیا ہوا تو obviously وہ بڑے رام سے ہم دیک سکتے ہیں کہ بھئی ایک ایسا point ہے لہذا فنکشن ڈریفرشی بل نہیں ہے تو of course وہاں پہاں ہم نے دیکھا تھا کہ یہ تصریص تھی یہ ظاہر ہو رہا ہے ان فگر سے کہ وہاں پہاں maximum یا minimum values کر نہیں کر رہیں لیکن in general کوئی ایسا اس کو idea کو ہم generalize کر سکتے ہیں نہیں کر سکتے ہیں تو اس کو کر سکتے ہیں اور ایک Theorem کی form میں اس کو دیکھیں آئی اسکرین پہ دیکھیں اس کو this is basically a Theorem and it's called the first derivative test اس کا اگر short form میں اس کو دیکھیں تو اس کو کہنے کا مقصد یہ ہے کہ اس کا یہ کافی بڑا تھی رہا میں آپ کے سامنے اس کو جلدی سے میں پڑھتا ہوں short form اس کی تھوڑی دیر میں دیکھ لیں گے suppose f is a continuous function and a is continuous at a critical point x0 then 3 things can are actually given if f' is greater than 0 on an open interval extending left from x0 and f' is less than 0 on an open interval extending right from x0 then f has a relative maximum at x0 یہ 3 چیزیں جو باقی ہیں اس میں دیوی ان کو I'll leave you you know let you basically read these it's also in the textbook یہ آپ کے سامنے سکرین پہ بھی آرہا ہے and you can see that this Theorem basically gives you a way of determining where relative maximums occur in terms of the first derivative اچھا جی تو اب یہ تبڑا سا Theorem ہم نے دیکھا اس کا کوئی شورٹ فرم میں ابھی تھوڑے دے پہلے کہا تھا اس کو بھی یعنی اس کا پوری اسنس کی اس Theorem کی تو اس کو بھی سکرین پہ لکھ لے تھے کہ what exactly is the essence of this Theorem let's put it on the screen the whole idea is that the relative extrema if any on an open interval where a function f is continuous and not constant occur at those critical points where f' changes sign یعنی وہی جو ابھی Theorem ہم نے دیکھا اس میں ہم نے یہی کہا تھا کہ a critical point ہے اس کے left میں بیسکلی کہانے کا مقصد یہ تھا کہ اگر a critical point ہے تو left پہ دیکھیں ایک open interval جس میں a derivative جو ہے وہ positive ہے اور اس کے right پہ دیکھیں کہ کیا اور a derivative کو مقصد سارا کہانے کا یہ تھا technical details تو تھیں وہ تو خراب دیکھ لیجے گا مجھے ابھی خود بھی یاد نہیں نہیں لیکن یہ ہے کہانے کا مقصد کہ آپ critical point لیتے ہیں اور دیکھتے ہیں آس پاس left اور right پہ derivative کا بیحویر کیا ہے اور وہی بات ہے کہ ہم یہ بیحویر یہ دیکھتے ہیں کہ وہ positive ہے اور negative کا ہے یا نہیں ہے اور کس طرف ہے اور کیسے ہے یعنی جو derivative کا sign change ہم دیکھنا چاہ رہے ہیں تو اگر sign change ہوتا ہے کہ a derivative کا around some critical point تو وہاں پہ relative extremہ اکر کرتے ہیں تو یہ بیسکلی اس کے a Theorem کا مقصد تھا کہانے کا اور اس کا ایک example of course کر لیتے ہیں تاکہ concept was a clear جے آئی دیکھنے example اچھا جی example ہے آپ کے سامنے the question is locate the relative extremہ of the function f of x equals 3x to the power 5 thirds minus 15x to the power 2 thirds اچھا یہ اس function تو ہے اس کی powers بڑی ہے جیب سی 5 thirds and 2 thirds but again کوئی مسئل نہیں derivative اگر ہم نا چاہیں گے we can do that by using power rule تو آئے calculation start کرتے ہیں f prime معلوم کرنا ہے تو f prime of x of course from this will give will give us 5x to the power 2 thirds power rule apply کیا ہے minus 10x to the power negative one third which can be simplified to 5x to the power negative one third times x minus 2 یہ کیسے ہوا کوئی بڑی باتنے simple algebra ہے یہاں پہ دیکھ سکتے ہیں آپ کی کتنی algebraic prowess ہے hopefully you can see how this was done it's very simple and give it a try yourself اس کو further simplify کر سکتے ہیں as 5 divided by x to the power one third times x minus 2 تو اب یہ آپ کے پاس derivative آگئے اب ہمیں کیا کرنا ہے ہمیں اس کے locate کرنے تھے points جہاں پہ یہ extreme value ذکر کرتے ہیں تو وہ تھیرم سمال کریں گے تھیرم کیسے سمال کریں گے آئی دیکھتے ہیں یہاں پہ دو critical point سب سے پہلے تو یہ دیکھیں اکر کرتے ہیں derivative جو تھا اس کی equation کو دیکھیں تو اس میں denominator میں x تھا تو ظاہرہ جاگر x equals 0 ہوگا تو ایک problem ہو جائے گے کیوںکہ derivative exist نہیں کرے گا کیوںکہ denominator میں derivative کے x ہے اورگر وہاں پہ 0 ڈالنے the derivative will be undefined so x equals 0 will be a critical point لیکن ساتھی میں یہ بھی دیکھیں کہ x equals 2 اگر ہوگا تو that will also that will actually turn derivative into 0 i.e. f prime will equal 0 at x equals 2 so x equals 2 will be a critical point also it will actually be a stationary point so that's why we have these two critical points x equals 0 and x equals 2 where x equals 2 is a stationary point اچھا جی تو اب ہمیں extreme values کے بارے میں بات کرنے ہیں تو i.e. ہم یہ معلوم کرنا ہے کہ extreme values کہاں پہاں کر کرتے ہیں کیسے کرتے ہیں and all that تو آئیے دیکھیں ہمیں پہاں سے سولف کرتے ہیں now we need to know where there is a relative extreme by checking for the changing sign of f prime at the two critical points یعنی جو تیرم تھا وہ یہ ساری اس کی ایسنس میں جو ہم نے شارٹ فرم لیکھی دے تیرم کی تیرم کا مقصد کہاں گئی تھا کہ critical points دیے میں اب آپ چک کیجی ان کے آسپاس کے f prime کا behavior کیا ہے یا وہ f prime کا sign change ہو رہا ہے کون سے critical point کے آسپاس ہو رہا ہے یہ آپ کے سامنے جناب یہاں پر ہم تیرم استعمال کرتے ہیں جو ابھی ہم نے دیکھا تھا اور یہاں ایک number line تست بنالتے ہیں جو ہم پہلے بھی ایک دفعہ دیکھ چکیں اور اس کو اگر ہم بنائیں تو یہ آپ کے سامنے ایک figure میں بنالتا ہوں یہ اس figure میں آپ کے سامنے ہے ایک number line دیویے اس میں دونہ critical points 0 or 2 اور f prime کا behavior دیکھنا ہے تو بخصت کہنا ہے کہ یہ جو critical یہ جو line بنیے number line یہاں پر اگر 0 سے left پر کوئی point پک کریں گے اور evaluate کریں اگر آپ f prime تو result آتا ہے positive so we put positive in that interval یہ نہیں ایک طناکہ interval بن گیا یہ 0 سے right پر اگر آپ کوئی point پک کریں گے تو آپ دیکھئے آپ کا result آتا ہے derivative کا negative so I put a negative sign in that over there اگر 2 سے اگر left کوئی point پک کرتا ہوں تو again derivative آتا ہے so I get a negative sign there similarly 2 سے a right پر اگر کوئی point I will get a positive value for the derivative and I have that number line اور یہاں پر آپ دیکھئے کہ کچھ sign changes ہو رہے تو sign changes this number line سے ظاہر ہو گے یعنی 0 کے پاس یعنی starting from the left of 0 جب میں right پر پوچھناوں 0 کے so derivative کا sign change ہوتا ہے similarly جب تو derivative کا sign again change ہوتا ہے تو ان دونوں point پر relative کوئی نا کوئی extreme value کر کر رہی ہے کیا ہے وہ وہ ہم ایک graph بنالتے ہیں اس function اور دیکھلے دیں کیا ہے آئیے وہ بناتے ہیں یہاں پر دیکھئے کہ آپ کے سامنے یہ جو graph ہے اس میں دیکھ لیں کہ آپ کے پاس 0 ہے وہاں پر relative maximum کر کرتا ہے اور جو آپ کا point x equals 2 وہاں پر relative maximum تو جناب یہ آپ کا ایک طرح سے تھیرم کی application ہو گئی آپ نے دیکھ لیا کہ critical points معلوم کرنے کے بعد کس طرح سے ہم extreme values کو ڈیٹرمٹ کرتے ہیں یہاں پر basically derivative کو test کیا تھا جو derivative کو استعمال کیا تھا to find out if ایج دو critical points آئے تھے ان میں سے کس طرح وہاں پر extreme value کر کرے گی ہم نے اس تھیرم کو لیکن یہاں کہ اس تھیرم سے ہم یہاں پر جل گیا کہ کون سے critical points جہاں پر extreme value کر کرے گی in this example بوٹھ of these critical points ایسے تھے یہ دونوں critical points جہاں پر extreme value کر کیا extreme value نے تو یہ آپ نے apply کیا تھیرم کو اچھا جی اب یہ تو ایک طرح ایک test ہم نے دیکھ لیا for finding extreme values اب اس سے زیادہ ایک آسان test بھی ہے جو ہم ایک دیکھتے ہیں یہ جو test تھا ایک first derivative test کہتے ہیں ایسے little bit complicated تھوڑا سا انوالد ہے تو کوششی ہوتی کوئی زاد آسان طریقہ نکل ہے تو there is actually a relatively simpler way of finding out you know where extreme values کر تو آئی اس کو بھی دیکھ لیتے ہیں سکین پہ لکتے ہیں یہ بھی جناب ایک تھیرم کی form ہے here is the تھیرم it's basically called the second derivative test suppose that f is twice differentiable at a stationery x0 it's a twice differentiable کا مطلب یہ ایک اس کا second derivative exist کرتا ہے at a stationery point x0 یعنی point وہ x0 وہ stationery ہونا چاہئے یعنی وہاں پہ f prime of جو first derivative وہ 0 کی برابہ ہونا چاہئے then if f double prime of x یعنی second derivative جو ہے اگر سکار x0 پہ evaluate کریں and the value comes out to be greater than 0 than f has a relative minimum at x0 جناب یہ آپ کا second derivative تست ہوگیا it's a shorter certainly quicker یعنی ذہر جو میں لکھا بھی سکین پہ دیکھا آپ نے لکھاوا it's obviously much quicker too much shorter at least in terms of understanding also to apply تو اس کی ایکسامپل کر لیتے ہیں and let's see how this can be used تو let's look at an example یہ آپ کے پاس ایکسامپل کی over ہكا شاکتا ہے ا endpoint آہ ان سمرا شاکتا ہے پہ zdeھا ایکسامپل آونہ see Optہ فکر جو اسیder ایکسامپل بھول وزار ایکسامپل سفا lore تو اس کے بتا آپ laisser نکمن آ seiner باب Develop روز ن YJ لم ت� اور بتا מא�ن چیز n HD ایکسامپلكان 없어 بای ہوسکتا یہ ایک ایسا فنشن ہوتا جہاں پہ سیکنڈ ریویٹف ڈیسٹ نہ کرتا ہوتا ہی نہیں لیکن یہاں پہ ڈیسٹ کرتا ہے ان جنڈرل اور ابھی ہمیں ڈیسٹیشنری پویںٹس بھی سکیں معلوم کرنے تو ہارڈو ہی find ڈیسٹیشنری پویںٹس to apply the ڈیسٹیشنری پویںٹس are the places where the first ڈیویٹف ڈیسٹیشنری پویںٹس ڈیسٹیشنری پویںٹس is equal to zero so let's find those points if we do zero to x prime of x then we have the equation that I wrote on it 4x times x minus 1 times x plus 1 that gives us x equals zero x equals one or x equals minus one these are the three stationery points we have and what we will do is we will use them and see that we will evaluate them on stationery points the second ڈیویٹف کو so there are three so the second ڈیویٹف at zero will be minus four which is less than zero second ڈیویٹف at one is eight which is positive so it's greater than zero and the second ڈیویٹف at minus one is also eight and it's greater than zero so now we know the values of the second ڈیویٹف now what can we expect from it let me put it on the screen it'll be easier to see what we can conclude by this analysis is that there is a relative maximum at x equals zero and relative minimum ڈیویٹف at x equals one and x equals minus one maximum ڈیویٹف at x equals zero because the second ڈیویٹف value is less than zero and there are two other points where two minimum values occur relative minimums because the second ڈیویٹف was positive so when your second ڈیویٹف test is done very much shorter way of finding out where relative maximum and minimum occur so let's go ahead now let's go ahead and talk about graphs of polynomials now there are two more topics in this lecture there are graphs of polynomials and graphs of rational functions so the purpose is that what we have talked about till now in this lecture basically about finding the maximum and minimum values relative maximum relative minimum or relative extrema we use them together and the concept we talked about in the last lecture if we use them then what can we say about graphs graphs of polynomials basically so real life ڈیویٹف is actually the same as I told you in the last lecture when we plot points we have a rough sketch of the graph function but in general real life problems applied engineering problems we don't want an exact picture of a graph function we want its properties in general properties and we have a lot of information to extract from them now we will develop that concept let's write it on the screen a little bit what we want to do basically graphs are a good way to understand the behavior of a function but many times it's hard to sketch the graph of the function so it is often necessary to understand the behavior in terms of maxima and minima and concavity so we will look at how the stuff that we saw in the previous lecture and this one actually so far how that will help us in graphing or sketching the graphs of polynomials and rational functions now let's talk about polynomials first of all what are polynomials now you have to recall that polynomials are basically very nice kind of functions they are continuous obviously کوئی مسئلہ نہیں ہوتے کوئی breaks نہیں ہوتے کوئی cuts نہیں ہوتے ان کے اندر graphs میں اور اس کے لیوہے کارنارز بھی نہیں ہوتے اس کی بارے میں ہم نے شہد بات نہ کیوں لیکن یہ بھی ایک fact ہے کہ polynomials کے جو graphs ہوتے ان کے گارنارز کہیں نہیں ہوتے یعنی اس طرح کی جو گارنارز ہوتے وہ نہیں ہوتے ہر چیز جو ہوتی ہے ایک طرح کی smooth ڈلی rounded ڈسی ہوتی ہے اور ایک طرہ سے mathematically speaking it's a very nice kind of a graph for analysis sake ہم گراف کرنا چاہتے ہیں تو اس کے بارے میں کیا کہتے ہیں تو اس کی تھوڑی سی کچھ ایک ٹیکنیق سے ایک طرح کی generalize کر کے ہم لکھ لیتے ہیں یہ ایک screen پہ دیکھتے ہیں polynomials کو اگر ہمیں گراف کرنا ہے تو let's put down these few facts that we want to use let p of x be a polynomial function ہم f کی جگہ p سمال کریں گے for polynomial first thing to do is to calculate first thing to do if you want to graph or to sketch the graph of this polynomial is to calculate the first derivative p prime of x and the second derivative p double prime of x next thing to do is to basically use p prime and using p prime determine the stationary points and the intervals of increase and decrease using the second derivative p double prime determine the inflection points and intervals where p is concave up and concave down and plot all of the above the last thing to do is to plot all of the above along with the x and y intercepts اچھا یہاں پہ inflection points کی بات ہی تھی تو میرے حال سے اس کے بارے ہم نے پہلے بات کی تھی لیکن یہاں پھر سے کہتے ہیں کہ inflection points وہو point ہوتے ہیں جہاں پہ concavity change ہوتی ہے ایک given graph کی یعنی اگر کوئی ایسا point ہوتے جہاں پہ concave up سے وہ concave down ہوتے تو بہت ہی تھی جانا ہوتے ہیں تو ہےگی اب اس کو دیکھتے ہیں گرافنگ میں کیسے ہر میں ہلپ کرے گی یہ چیز اس میں ایک اگر کارلے دیں اس کی جو ابھی ہم نے تھوڑا سا لکھا تھا اس کو استعمال کرتے ہیں اور ایک سمپل کرتے ہیں اور ایک سمپل کو گراف کرتے ہیں ایسی سیکین پہ چلتے ہیں جناب آپ کے پاس فنکشن دیا ہوا ہے پولنومیل پی اف ایک سی کولز جان اس just a variable 3x plus 2 تو اب اس کو ہمیں گراف کرنا ہے یعنی اس کا سکیچ بنانا ہے 햇 گراف کا تو اس کے لئے سب سے پہلے کیا کرنا چاہئی ہے ہم نے دیکھا تھا کہ سب سے پہلے first derivative second derivative معلوم کرلیتے ہیں تو وہ معلوم کرتے ہیں first derivative ہے dy by dx yp prime is equal to 3x square minus 3 which is equal to 3 times x minus 1 times x plus 1 یہ میں اس فکٹر کر لی ہے بیسکی سمالورڈی ٹ cambi LA تہاجی درجوہ اس ساکت wallpaper خطہ راکھ دیو گliningا نا ایاں دونبڈے کیاگر اечь مہل dzisiaj quien 거의 ایک شایھن لہذا گھوٹ ایکسےOU سراہز آیا field یعنی ہے وہ بارے ایک اٹھ کے ساتھ انہی ڈیویٹی yo آپ نے دیکھ لیے پر سیکنڈریوٹیز ہوگا ہے اب بھی جو سٹیشنری پوائنٹس ہیں اور انفلکشن پوائنٹس ہوگا رہا ہے یہ میں آپ کے پر چھوڑتا ہوں آپ کو پہلے دیکھ لیے جے گا کیسے معلم کرتے ہیں ہمیں پتہ ہے یہاں پر ایک فگر بنا رہتے ہیں جس میں ہم دیکھتے ہیں کہ اس کا کیا یہ جو گراف بنا ہے اس کا کیسے ہم what do we have what information do we have so far آئی اس کا دیکھتے ہیں در ایک فگر یہاں پر ایک فگر ہے اس میں دیکھئے کہ this figure shows the intervals of increase and decrease of and of concavity تو یہ سامنے آپ کے ایک فگر ہے اس میں دیکھلیجے کہ there is indeed the case and we know how to find the intervals of increase and decrease by using the first derivative or concavity کیلی ہم second derivative سمال کر سکتے and we see that we have a rough sketch of this polynomial so far اچھا آپ ایک تھوڑیسی انفرمیشن اس میں ایٹ کر دیتے ہیں y-intercept معلوم کر لیتے ہیں y-intercept کیا ہوگا اس کا جو آپ کی x value ہے اس کو zero کر دیں تو آپ کے بس y-intercept کی value آجائے گی تو وہ کیا ہوگی اس کو دیکھ لیتے ہیں اس کین پر y-intercept is at the point where x is zero well y turns out to be two so the y-intercept occurs at zero comma two and also the inflection point میں بتا دیتا ہوں it occurs at x equals zero تو اب اس سپ کو information کو آپ سمال کر کے اس کا آپ سکیچ بنا سکتے ہیں تو یہ سکیچ سکین پر دیکھ لیتے ہیں کیسے بنائے تو آئیے دیکھتے ہیں یہ جناب آپ کے سامنے ہے سکیچ یہ تھوڑی سی بلکی کچھ values بھی پلوٹ کر لیتے ہیں اس میں میں یہ اس میں ایک figure ہے اس میں آپ کے پاس ایک table ہے جس میں x کی کچھ values input کی گئے ہیں corresponding polynomial کی values آگئے ہیں ساتھ ہی میں intercept بھی ہے اور جو information ہم نے ابھی معلوم کی تھی وہ سب سمال کر کے ہمارے سامنے یہ ایک figure آتا ہے ایک sketch آتا ہے graph کا and that is exactly what we were looking for اچھا جی اب polynomial کا graph کو ہم نے دیکھ لیے کیسے معلوم کرتے ہیں اب rational functions کی graphs کی بات کرتے ہیں how do we graph rational functions تو آئیے اس کو بھی screen پے دیکھ لیتے ہیں کچھ ایک techniques ہے ان کی سب سب پہلے تو یاد کریں rational functions are basically a function defined by a ratio of polynomials r of x equals p of x divided by q of x it's obvious that if q of x the bottom polynomial is equal to 0 then r of x must have a discontinuity زیر سی بات ہے اگر denominator zero جیتے تو function undefined جاتا ہے and you have a discontinuity چونکہ bottom function جہاں ہوئے polynomial ہے تو this is basically equivalent to saying that the rational function will have discontinuities at the zeros or the roots of the given polynomial in the denominator ایک بات ہو گئی آئیے دیکھنے آگے اس میں یہ بھی دیکھیں کہ اچھا اس میں یہ تو ہم نے دیکھ لیے اب اس میں اب ایک سامپل کر لیتے ہیں let's look at the graph of f of x equals x divided by x minus 2 تو اب یہ ایک ہمارے پاس ایک function ہے جوکہ rational function ہے top جہاں وہ بھی ایک polynomial ہے bottom جو function ہے وہ بھی polynomial ہے اب اس کو ہمیں گراف کرنے ہیں تو اس کو تھوڑا سا آنالیس کرتے ہیں and let's see what we can do to graph this اس کا ایک فگر بھی بنا دیتے ہیں کہ what we are looking at یہاں پہلے سے میں بنا دیتا ہوں آپ کے لیے تو بڑا سان ساتھا اس میں یہ فگر ہے اس میں آپ کے سامنے گراف ہے اب اس گراف کو use کرتے ہوئے ہم کچھ definitions یہاں پہلے دیتے ہیں دیکھئے کے there is a vertical discontinuity at x equals 2 in this graph certainly and there is a horizontal discontinuity at y equals 1 in this graph تو یہ یہاں پہ کچھ discontinuities آگئے ہیں ان کو definition کتا پہ دیکھتے ہیں let's put it on the screen again یہ جناب definition آپ کے سامنے ہے definition جس میں آپ کو vertical asymptote or horizontal asymptote define کیا گئے basically idea یہ ہے کہ a vertical asymptote occurs where the denominator is 0 basically and the horizontal asymptote is kind of more exotically define horizontal asymptote for a graph occurs where limit as x goes to positive infinity of f of x is certain number y not and the same number y not comes out when you take the limit as x goes to negative infinity آپ ایک سامپل کر لیتے ہیں جس میں ہم اس کو گراف کریں گے a rational function کو let's look at that function ہے جناب x square plus 2x divided by x square minus 1 تو اس کو ہمیں گراف کرنا ہے تو سب سے پہلے اس کے asymptotes معلوم کرتے ہیں vertical asymptotes occur where the denominator is equal to 0 so x square minus 1 should equal to 0 these are the points well that happens when the points when x takes on the value minus 1 and 1 so we get that those 2 numbers as basically vertical asymptotes now horizontal asymptotes کہاں پے ہوں گے یہاں پے ہم سمال کرتے ہیں we take the limit of this function as x goes to positive infinity تو یہ ایک پولونومیل ہے اس میں جو اس کا لیمت معلوم کرنے کا طریقہ ہم دیکھ چکیں پشلے لیکچر میں this is the same thing as taking the limit as x goes to infinity positive infinity of x square over x square which is equal to 1 and the same thing happens when you take the limit as x goes to minus infinity so it follows that y equals 1 is the horizontal asymptote اچھا جی تو یہ ہم نے دیکھا کہ اس فنکشن میں کہ کیسے horizontal asymptotes معلوم کرتے ہیں اور کیسے vertical asymptotes معلوم کرتے ہیں تو یہ اس لیکچر کو یہاں پے ہم ختم کرتے ہیں اس میں کچھ ڈیٹیلز اور ہیں میں آپ کے اوپا چھوڑتا ہوں تکسٹ میں آپ کے پاس تکسپک میں آپ کا سیکشن ہے 4.4 اس میں یہ تھوڑی سی اور ڈیٹیلز ہیں اس کے بارے میں جو آپ دیکھلیجے گا وہ بیسیکلی اس میں کچھ گرافنڈیٹیلز ہیں آپ کے اوپا چھوڑتا ہوں اس کے بارے میں ہمیں ہمورک پرووضن بھی ہیں جو آپ کرلیجے گا تو دیرل also help you تو آپ اس کو ختم کرتے ہیں آپ اس لیکچر کو آج کیا بات کی ہم نے دریورٹف ٹیرس کے بارے میں بات بات کی جس میں ہم نے دیکھا کہ ہم کیسے ڈرافنگ میں ہمیں کیسے help ہوتی ہے اور اس کے علاوہ ڈیٹیلز ڈیٹیلز کیا ہوتے ہیں بغیرہ بغیرہ تو اس میں یہ ہے کہ کوئی سوالات اگر ہوں آپ کو تو you can email میں ہم اس پہ بات چیت کر سکتے ہیں اور ویسے وہی بات کیا آپ ڈیٹیلز کریں گے ہوں but it will basically clarify all of the things now next time تک اجادت دیجی next time ڈیٹیلز ڈیٹیلز ڈیٹیلز ڈیٹیلز ڈیٹیلز ڈیٹیلز ڈیٹیلز ڈیٹیلز ڈیٹیلز ڈیٹیلز ڈیٹیلز ڈیٹیلز ڈیٹیلز ڈیٹیلز ڈیٹیلز