 Bueno, muchas gracias. Bueno, quería comenzar agradeciendo a la organización por la invitación. Es un gran placer y un gran honor estar aquí para hablar sobre geometría vibracional. Y quería aprovechar también para felicitarlos a la organización por la organización que están haciendo, que está saliendo precioso el coloquio. Entonces, bueno, como dice o sugiere el nombre de la charla, va a ser una charla bastante informal sobre la geometría vibracional, un poco para que la gente entienda un poco de qué se trata este tema. Y, bueno, y presentar un poco los resultados que hay en el área, un poco también de la parte histórica un poquito. Entonces, para comenzar con geometría vibracional, como es una subaria de la geometría algebraica, voy entonces a comenzar explicando un poquito lo que es una variedad algebraica. Entonces, bueno, voy a trabajar con variedades algebraicas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, pero claro que el que no esté acostumbrado con eso puede siempre pensar en los complejos, que es el prototipo de los cuerpos algebraicamente cerrados. Y después, incluso más adelante, ya voy a considerar característica cero y directamente los complejos para simplificar y tener un poco más, cada uno tener una intuición de lo que está pasando, el que no está acostumbrado con los cuerpos generales. Entonces, empiezo diciendo lo que es el espacio a fin de dimensión n. El espacio a fin de dimensión n es simplemente k a la n, si fueran los complejos, c a la n, donde se considera, perdón, se conjunto con una topología, que se llama la topología zariski, que lo único que voy a decir es que cómo son los conjuntos cerrados de esa topología, los cerrados son los conjuntos de ceros de un número finito, un número finito de polinomios. O sea que, si tenemos k a la n, conjunto de ceros de un polinomio, uno piensa que es una hiper superficie ahí, si estamos en k3 es una superficie, después el conjunto de ceros de otro polinomio es otra superficie y la intersección de esas cosas van dando lo que son los conjuntos cerrados aquí. Uno ya ve entonces con eso, que si esos son los cerrados, los abiertos en general son muy grandes, por lo menos si pensamos en los complejos, y para tener una idea intuitiva en los reales también, aunque no está dentro de los cuerpos en generalmente cerrados, uno ve que los abiertos son muy grandes, en general son densos en este conjunto. Entonces, es el espacio a fin, y después está el espacio proyectivo, que el espacio proyectivo de dimensión n-1 es el conjunto de los subespacios de dimensión 1 de k a la n. O sea, que son las rectas, digamos, que pasan por el origen, yo ir a dibujar así pienso que no preciso luz, se ve más o menos. Entonces ya, digamos, si se precisa luz, ustedes me dicen, ya sos lo grande, entonces aquí si yo tomo el caso de k3 que claro que voy a pensar el dibujo va a ser en R3, en realidad, entonces en el origen, hay todas las rectas que pasan por el origen, cada recta es un punto de ese espacio proyectivo, que en el caso de k3 será el p2. Y la topología que se le considera, cuando hablo del espacio proyectivo, ya está incluida la topología, es la topología inducida por esa aplicación natural, que lo que hace es, a un vector que es nonulo, a un vector nonulo, le asocia la correspondiente recta, que genera ese vector. Entonces el espacio proyectivo, que en este caso va a ser un plano, lo puedo pensar como algo, aquí digamos, más o menos, como si fuera un plano, que está representando los puntos, cada recta de estas cortan un puntito, entonces el plano proyectivo serían esos puntitos, y claro, cuando yo coloco un plano para representarlo, en realidad me estoy perdiendo las rectas que son paralelas al plano, porque están en el infinito, están allá lejos son los puntos del infinito del plano, y entonces claro, si la topología es la inducida por esa flecha, entonces para saber lo que quiere decir, un conjunto cerrado, yo tengo que tomar, si tengo un conjunto aquí, en mi plano proyectivo, en este caso, entonces tengo que tomar todas las rectas, porque tengo que tomar la preimagen de esa flecha, tomar todas las rectas, y eso me da todo un dibujo así, todas las rectas que pasan por el origen, y lo que quiero saber, para saber si este es un cerrado, quiero saber si el conjunto de todas las rectas es un cerrado, entonces eso quiere decir que, acá yo sé lo que son los cerrados, son polinomios, en este caso de tres variables, igualados a 0, o sea, las ecuaciones, de esta forma, f, g, igualados a 0, etcétera, pero bueno, si yo tomo una solución cualquiera, x y z, un vector no nulo aquí, entonces, como eso tiene que valer para toda esta recta, si lo multiplico por un lambda, este vector, un punto p, y acá un punto lambda p, entonces tiene que continuar anulándose, y eso significa que el polinomio tiene que ser homogéneo, porque si el polinomio tiene monomios de distinto grado, cuando sustituyo las variables por lambda multiplicado por cada una de ellas, me va a aparecer un lambda al grado de cada monomio, así que para que esto siga siendo siempre 0 en toda la recta, los polinomios tienen que ser homogéneos, así que la diferencia es simplemente esa, los cerrados en el espacio proyectivo siempre van a ser cerrados por un número finito de polinomios homogéneos, ¿sabes? y eso entonces son los espacios más básicos, y ahora viene la definición de variedad hebraica, una variedad hebraica sobre el cuerpo que estoy trabajando, se dice que es simplemente un abierto de un cerrado irreducible, que ahora digo lo que es, afino projectivo, cuando digo afino projectivo me refiero, o en el caso del espacio afín, un subconjunto del espacio afín, o un subconjunto del espacio projectivo, que sea un abierto dentro de un cerrado. Para decirlo que es irreducible simplemente lo comento y ahora les voy a dar unos ejemplos, irreducible quiere decir que no se puede poner comunión de otros cerrados, distintos. Entonces veamos unos ejemplos en el caso del K3, que claro que en el dibujo va a ser R3. Esa por ejemplo vean, X1 igual X2 igual X3 menos 1 igual 0, es dado por una única ecuación, entonces para que eso sea anule, X1 es 0, X2 es 0, X3 es 1, así que es la unión de tres planos, el plano X1 igual 0, es un plano así y otro plano así y después otro plano X3 igual 1, otro plano que pasa a una cierta altura. Una unión de tres planos, acá sigue para atrás. Entonces como ven ahí, ese conjunto es una unión de tres planos, porque la ecuación da eso, entonces no es irreducible porque es unión de otros cerrados. Los planos en sí son conjuntos de 0 de un polinomio también, X1 igual 0, esos sí son irreducibles porque ya veo que no los puedo escribir como unión de otros. Así que reducible no quiere decir eso nada más, es un conjunto cerrado un poco mínimo en algún sentido dado por una ecuación. Muy bien. Entonces esa otra, bueno, es bien conocida es la ecuación de lafera, bueno, acá lo estoy pensando en un cuerpo cualquiera, pero es otro conjunto cerrado y este sí es irreducible no se puede poner como unión de otros conjuntos cerrados más chicos y después el cono que esa ecuación, ustedes ven que X3 es más o menos raíz de X1 al cuadrado más X2 al cuadrado entonces es un cono cuadrático, como se dice porque tiene una ecuación de grados 2 y un dibujo puede ser más o menos así. Y bueno, y después intersecciones de esas cosas, porque si esos son cerrados estos justamente están dados por una única ecuación un único polinomio, bueno si ahora hago intersecciones están dados por más de un polinomio y ahí por ejemplo intersectan con un plano de aquellos a este cono, ahí pueden ver qué pasa, es que si el plano es así van a aparecer van a aparecer dos rectas que ya no es irreducible porque es unión de dos cosas si lo corto así me va a aparecer una circunferencia que sí es irreducible, etcétera y eso va generando los conjuntos cerrados en el caso de K3 y las mismas ecuaciones valen en KN si yo quiero o sea que son ejemplos también en cualquier variable y se las puede generalizar si uno quiere y después qué pasa en el espacio proyectivo bueno ejemplos asociados en el espacio proyectivo cuando trabajo en el espacio proyectivo los polinomios tienen que ser homogéneos entonces todos los ejemplos esos no me sirven pero este por ejemplo este no me sirve porque no es homogéneo el X3 es igual uno solo tampoco pero los otros sí X1 y X2 solo si por ejemplo si tomo el plano si este es el plano bueno vamos a ponerlo distinto vamos a ponerlo así igual, importa si este es X1 igual cero y acá está el origen y estoy representando acá está mi plano proyectivo entonces este plano corta a lo largo una recta entonces esta ecuación de plano cuando la veo como en el espacio proyectivo es una recta y más interesante es este cuando este también es homogéneo este de aquí entonces vean que cuando lo voy a representar en el plano proyectivo si lo veo acá abajo todas las rectas que pasan por el origen dan lugar a puntitos en el espacio proyectivo entonces es lo que tiene, le parece un círculo en el espacio proyectivo este va a dar un círculo o una cónica más en general entonces estos ejemplos ya ilustran algunas cositas que son importantes en geometría algebraica las variedades algebraicas naturalmente vienen con singularidades como pasa aquí de esa forma ah es cierto me di cuenta el momento que lo tenía acá me lo voy a poner en la izquierda el que estoy acostumbrado con micrófono que es el 12 metros bueno está bien entonces vean que no hay vuelta me gusta el estrellato bueno entonces como les decía las variedades algebraicas naturalmente vienen con singularidades que lo que no pasa en otra geometría diferencial las variedades naturalmente son sin singularidades acá son con singularidades pero además hay un ejemplo interesante aquí que es una variedad que tiene una singularidad cuando es una variedad fin pero lo que corresponde en el caso proyectivo es no singular muy bien y ahora voy a hablar de lo que son los morfismos y funciones entonces empiezo con un ejemplo que es muy ilustrativo es muy simple pero que es muy ilustrativo y es lo siguiente es uno mi amorfismo que va de K K es el espacio a fin de dimensión 1 K al a 1 es la variedad por X al cubo menos X al cuadrado igual 1 igual 0 así acabamos de hacer un dibujito para esa tenemos el plano a fin y tenemos una curva que es más o menos así por lo menos su dibujo real es así esta es la curva esa X al cubo menos y cuadrado igual 0 y tenemos una aplicación que va de la recta fin en esa curva que también es a fin que es la que ustedes imaginan es la parametrización la que uno ya conoce de antes porque te va entre cuadrado te va al cubo entonces yo digo que eso es uno mi amorfismo porque es fácil ver que eso es billectivo es una aplicación billectiva y dentro del plano a fin de la recta a fin perdón el conjunto de los polinomios ahí como tienen una sola variable porque escana entonces el conjunto de ceros de un polinomio un número finito de puntos así que los puntos son cerrados ahí y ese conjunto está mandando cerrados en cerrados entonces es uno mi amorfismo sin embargo verán que son bien distintas las dos curvas porque esta es así y la otra es una recta es solo una recta abstracta no está metida a ningún lado ahora voy a decir lo que son las funciones regulares en X, por funciones regulares que nos están acostumbrados lo que es el equivalente en geometría hebraica a las funciones diferenciables en un punto les llamamos regulares más que diferenciables pero es eso todas las regulares en un punto de una variedad el conjunto de las funciones regulares se lo denota así o con la variedad y el puntito y es simplemente son las funciones de un abierto un entorno del punto dentro de la variedad X un entorno del punto X que van sobre el cuerpo K y tales que esas funciones son un consciente de polinomios si estamos hablando de estamos en el caso a fin en el caso projectivo son dos polinomios homogéneos del mismo grado para que el consciente funcione bien cuando hago la relación de equivalencia esas son las funciones regulares y hay una relación de equivalencia ahí que es la que uno se imagina porque una función phi se puede escribir de muchas maneras como un consciente de polinomios entonces bueno, si tengo dos escrituras lo que quiero es que haya un abiertito que esté contenido en los otros dos y donde la restricción de hacer equivalencias ahí y entonces el anillo de gérmenes como se dice a veces también que creo que ya lo han citado en algunas chavas y bueno, entonces un morfismo entre dos variedades es simplemente una aplicación continua que induce un homo morfismo de esa forma porque observo este anillo este conjunto que está acá perdón de funciones es un K espacio vectorial porque sus imágenes van en K y además puedo multiplicarlas y me dan funciones del mismo tipo y las puedo sumar, así que es un anillo entonces es un anillo y entonces tiene sentido hacer lo que dice ahí porque si tengo X e I y tomo un puntito acá le calculo la imagen por la aplicación y entonces a una función regular que está en un abierto su phi X acá que va en K la pulvaqueo como se dice a veces o sea la compongo con esta y me da una función regular en algún abierto acá y esto entonces me manda funciones regulares de este anillo en el otro y lo que quiero es que eso sea un homo morfismo en el sentido del álgebra o sea un homo morfismo de anillos o de cada álgebra eso es lo que se llama un morfismo muy bien bueno y entonces en el ejemplo de arriba un homo morfismo con la topología por lo menos que introducimos hay aplicación inversa fuera el origen es esta si yo escribo esta función X y le asocio I sobre X que tengo derecho porque vieron las funciones regulares son conscientes de polinomios I sobre X es I este al cubo lo divido por T al cuadrado y me da T, si es distinto de 0 entonces tengo la inversa que me da T así que esto es una aplicación bien que funciona bien la inversa como es de este tipo es fácil ver que esto con esta definición induce un isomorfismo entre abiertos de ambas variedades los abiertos son la curva sin la singularidad y la recta sin el origen que es el que va en la singularidad porque este punto es la imagen de la origen acá bueno este es el prototipo de las funciones que yo quiero estudiar isomorfismo entre abiertos de una variedad pero es importante notar estas las variedades no son isomorfas porque lo que está pasando es que la inversa si existe es esta porque si la inversa en todo el abierto salvo en un punto y esta no hay como extenderla es imposible así que no podría tener una inversa aunque la función funciona bien de hecho es un morfismo de variedades pero su inversa no existe o sea que no es un isomorfismo lo que nos deja tranquilo porque si estas dos objetos fueran isomorfos alguna cosa rara había porque uno tiene una singularidad y el otro no bien entonces ahora ya vamos a las aplicaciones vibracionales una aplicación vibracional entre dos variedades que se la escribe puntillado para indicar que no tienen por qué estar definida siempre en todo el conjunto es un isomorfismo entre abiertos de X y de Y entonces lo que uno quiere cuando tiene aplicaciones vibracionales es comparar no toda la variedad entera pero un abierto lo que pasa es que como les había comentado al principio en esta geometría los abiertos son densos entonces son abiertos muy grandes entonces eso es lo que está pasando ahí si fuera como en geometría diferencial los abiertos son chiquitos entonces esto no dice mucho en términos globales y en ese caso cuando exista una tal función una tal aplicación se dice que X es vibracionalmente equivalente lo anoto así con Y hay abiertos que son iguales entonces estas dos del ejemplo son vibracionalmente equivalentes la recta fin y la cúbica cuspidari como se llama es ahí si X es Y entonces bueno tenemos un grupo que es el grupo de las aplicaciones vibracionales porque estas como son puedo componer y tengo inversas entonces tengo un grupo que es de todas las aplicaciones vibracionales y lo vamos a llamar de esa forma entonces ya puedo plantear lo que llama el problema de clasificación vibracional como decían en el resumen la idea acá es tener una variedad de hebraica y el conjunto y esa es la geometría o sea los movimientos que voy a permitir en esta geometría van a ser esos y lo que se quiere es tratar de clasificar esos objetos ese es el problema más grande la geometría y entonces el problema de clasificación se lo puede poner así de manera no muy informal acá de vuelta, acá hay variedades afines y proyectivas las proyectivas son los cerrados en el espacio proyectivo y las afines los cerrados en el espacio afín y después están los abiertos de las cosas pero si la variedad no es proyectiva entonces el problema de clasificación es algo que es intratable en realidad no voy a entrar en los detalles pero para pensar un poco en lo que uno conoce la geometría cuando no digo compacta ya que existen y hay mucha gente que estudia pero clasificar variedades que no son compactas mismo superficie ya es un problema intratable en general porque son abiertos los otros entonces bueno es algo que lo pueda chicar mucho entonces la idea es que la idea es que proyectivo implica compacto si estoy en los complejos son implica compacto entonces me estoy restringiendo a esta superficie, a estas variedades perdón y se desea clasificar el par z las vibracionales de z donde z es proyectiva también tan la misma clase no singular o sea que no puede tener cosas raras como estas el modelo que yo estoy buscando y tal que sea vibracionalmente equivalente o sea que dada una variedad cualquiera yo busco otra que sea proyectiva también que no tenga singularidades y que sea vibracionalmente equivalente y después quiero decir cosas sobre esas y yo puedo decir muchas cosas digo ah bueno esta hora para cada x yo me encuentro una que tiene tales propiedades y esa será la clasificación muy bien ahí hablo un poquitito claro de la desimularización pero muy poco y es lo siguiente simplemente si la característica del cuerpo es cero que es lo que le pasa a los complejos que le paso no pero en el dibujo lo puse con el dibujo no lo definio opa esta medio loquito el cosito ahi va creo que entra a cantar me parece que le gusta si característica es cero entonces existe siempre un monofismo de z en x sobreyectivo y vibracional sea vibracional en este sentido ni somorfismo entre abiertos pero además sobreyectivo con z proyectiva y no singular eso es un resultado de los años 60 entonces quiere decir esto me permite decir que bueno en característica cero ese problema esta bien planteado puedo empezar a trabajar es porque siempre se que existe una zeta que no tiene esas singularidades y entonces puedo tratar de empezar a clasificar esa zeta si la característica es positiva ahi hay problemas no se sabe en general todavia pero no voy a entrar en ese detalle entonces a partir de ahora vamos a pensar siempre en el caso donde si existe y entonces voy a hacer un pequeño raconto de lo que es la clasificación bueno esta la clasificación de curvas se conoce todo esencialmente hay siempre cosas hay que hay gente que trabaja en curvas todavia para saber cuáles son los grupos pero yo voy a hacer algo de superficies tomé este tema están las curvas que sabe bien, bien clásico la superficie que ya es un poco menos clásico pero también ya tiene unos ciertos años y después esta la dimensión 3 y superior donde hay toda una selva y donde se sabe muy poco pero en dimensión 3 hay una clasificación bastante razonable pero que donde hay pila de gente trabajando todavia y dimensión superior recientemente ahora dicen que hay teóricamente una clasificación pero después hay que empezar a trabajar para saber como son las variedades pero en dimensión 2 quiero dar ese ejemplo que este es un caso ya más conocido y por lo menos para tomarle un poquito el gustito a lo que pasa los años ahí son porque la clasificación se llama de Enrique Scodaira la clasificación fue hecha por Enrique sobre los complejos el 49 la terminó en la serie artículos hay mucha gente que contribuyó ahí otros matemáticos no son los ricos pero se la atribuye a él la clasificación y lo que hizo Scodaira en una serie de trabajos que terminan en el 68 es extender esa clasificación para el caso de superficies compactas complejas que no son algebraicas y además para hacer eso introdujo un invariante muy importante unas técnicas que son las que se usan en hoy en día para recuperar la clasificación de Enrique entonces un día la gente dice siempre la clasificación de Enrique Scodaira mismo que sea en los complejos entonces hay tres invariantes vibracionales invariantes vibracionales quiere decir que si dos variedades son vibracionalmente equivalentes y lisas, porque ahora ya me considero supongo que son todas lisas entonces estos son los mismos si son vibracionalmente equivalentes K de X es un numerito que puede ser menos infinito este numerito que es lo que llaman la dimensión de Scodaira menos infinito 0 1 y 2 12 por ser superficie si estamos con variedades de dimensión 3 es menos infinito 0 1 2 3 etcétera y después hay dos otros invariantes G es el género que no debía decir lo que es pero bueno es el espacio de formas global etcétera no importa mucho pero son dos numeritos porque no voy a entrar en los detalles y Q es la irregularidad pero entonces hay tres invariantes que son los que se necesitan para clasificar y la clasificación es esa lista que la idea es solo presentarla y hacer algunos pequeños comentarios pero para que tenga una idea de que es el tipo de cosas que uno busca entonces ahí lo que dice es que si las dimensiones de Scodaira son estas aquí que son las posibilidades que están acá y los usan estos acá yo me puedo encontrar un representante de la clase la primera de todas ahí ven que es el más conocido que es el plano proyectivo superficie más conocida después aparece un producto de una recta proyectiva por Cg que es una curva lisa de género G el G este es distinto del otro, el G en la curva que no voy a entrar en lo que es pero bueno es una curva esa familia de curva es conocida con nombre esta la superficie K3 que es una superficie muy famosa una familia en realidad es una familia muy famosa y que se estudia hoy en día incluso mucho y cuyas cuyas hermanas mayores son las famosas variedades de calabiado con la cual los físicos de teoría de cuerdas alucinan son las las hermanas restas y después viene un recubrimiento 2 a 1 de una K3 es una superficie abeliana que no importa mucho solo hago notar que la última la última clase la superficie de tipo general son casi todas por eso el nombre sugiere un poco eso, la mayor parte son de tipo general y entonces voy a dar unos ejemplos en el caso de P3 que es lo que pasa en P3 con esta clasificación que hay uno que puede imaginar R3 si no está muy acostumbrado y ahí te le llamo S a la variedad de X que es una superficie como estamos en P3 que tiene dimensión 3 adentro la otra tiene dimensión 2 entonces más o menos fácil ver que si yo tengo una ecuación dada por un polinomio me va a dar justamente una superficie entonces esta tiene que estar dada por una única ecuación porque donde tenga otra ecuación la superficie, la corto con otra me va a dar algo más chiquito así que es más o menos razonable pensar que la superficie está dada por una única ecuación como estamos en el caso proyectivo va a ser una ecuación de un polinomio homogéneo entonces puede tener grado 1 grado 2, grado 3, grado 4 ustedes pueden conseguir ejemplos bueno cuando es grado 1 es un plano el polinomio grado 1 igualado a 0 da un plano grado 2 es lo que llamo una cuadrica porque es lo que conocemos por lo menos en R3 es así, así que acá se llama igual después grado 3 ya llaman cúbicas igual y después no se pero el grado el grado de la superficie es eso, el grado del polinomio que la define el polinomio grado mínimo porque claro que si un polinomio la define lo elevo al cuadrado por ejemplo ese no me importa el más chiquito entonces tiene un grado y es el grado de la superficie el grado del polinomio que la define si el grado es menor igual que 3 y es lisa entonces es vibracionalmente equivalente a p2 así que estoy dentro de la primera clase acá, todas son tienen un mismo representante si el grado es 4 entonces estoy en la clase de laska 3 acá, es esta es otro tipo de superficie y después si el grado es mayor igual que 5 o sea que en p3 hay solo eso y casi todas las infinitas clases que vienen después son todas de tipo general para que vean que ya en p3 tipo general es casi todo y eso pasa siempre y ahora voy a hablar de la geometría vibracional cuando digo geometría voy a ir bueno en el grupo de los movimientos que tengo en estos espacios como es entonces si es que es como en la tabla esa que estaba antes y es distinta del plano proyectivo entonces las vibracionales y el conjunto de las aplicaciones vibracionales es lo mismo que los automorfismos seguro que yo dije que una vibracional es un isomorfismo entre abiertos acá está diciendo no, no precisa, acá son isomorfismos es como que se simplifica la geometría es lo misma cosa como en el caso de los automorfismos de p2 los automorfismos de p2 que es p,gl,3c eso es, gl el grupo general lineal son las matrices 3x3 invertibles le pongo un p adelante cuando lo quiero multiplicar por una constante no nula y que considera como lo mismo porque como voy a trabajar en el plano en el espacio proyectivo preciso poder multiplicar por bandas, entonces eso nada más son matrices invertibles 3x3 módulos de relación entonces los automorfismos de p2 son eso nada más que son lo que llaman lineales porque son matrices entonces como en este caso que es eso bien conocido el grupo a de x en el caso de la variedad es un grupo algebraico que lo que tenemos que retener de eso es la variedad hebraica una variedad tiene su dimensión por otro lado si la dimensión de c2 que eran las de tipo general esas que decía que están últimas en la lista el grupo automorfismo infinito o sea esas variedades son muy interesantes tienen mucha riqueza el punto de vista comológico tienen pilas de números y pilas de propiedades pero su geometría no es rica tiene un grupo finito y en general es la identidad o sea casi todas son la identidad y después algunas son finitos entonces la geometría ahí no es muy interesante en ese sentido del grupo de los movimientos ahora que pasa a convivir entonces de p2 porque p2 no está dentro de esas que lo digo que los automorfismos es la misma cosa que las aplicaciones vibracionales justo acá la cosa cambia las aplicaciones vibracionales acá se pueden poner como es un viejo torema en héter castel nuevo que dice que son los dos automorfismos que estos claro que son aplicaciones vibracionales o son automorfismos y una única muchachita acá que les voy a presentar ahora sigma2 que es una aplicación vibracional que no es unisomorfismo y sigma2 es así la voy a definir por 3 ecuaciones polinomiales acaba un polinomio f0, f1, f2 fi homogéneos del mismo grado en general son así, uno tendría que poner incluso dos puntitos porque están en el proyectivo acá pero no quiero complicarla para que no está práctico con esto las defino todas las aplicaciones vibracionales se van a definir con polinomios homogéneos del mismo grado en el caso proyectivo tienen que ser del mismo grado para que funcione eso de multiplicar con un landa estas en particular las sigma2 estos polinomios que pueden ser de cualquier grado son dos, por eso es dos ya le llamé x y, así que vamos a hacer así acá va a ser yz acá va a ser xz y acá va a ser xy entonces esa transformación que como estamos trabajando con cosas que están definidas en un abierto entonces puedo dividir todo por x y z entonces me queda uno sobre x uno sobre y uno sobre z que es lo mismo, la misma aplicación pero esta muestra claramente que es invertible que es el xy esa es una aplicación muy simple pero de grado 2 se dice porque estaba por polinomios de grado 2 y ahí uno puede decir papá es un poquitito más difícil pero hay una sola más que tenemos que poner en realidad eso es ilusorio tiene una gran complejidad este grupo solo esa cosa que le ponemos nueva hace que se haga extremamente complicado este conjunto entonces es una unión infinita los vir d son los subconjunos de aplicaciones vibracionales de grado d ya les dije allá que si el polinomios tiene un cierto grado fijo cualquiera es una aplicación de grado d entonces las de grado 1 cuando d es 1 son las lineales es esto pg l3 cuando el grado 2 no sé lo que son pero es una variedad de dimensión 6 donde está esa sigma 2 y ahí las de vir d son todas variedades algebraicas ya no son cerradas ni proyectivas son realmente abiertos y las dimensiones van van creciendo y de hecho tiende infinito o sea que está legisimo de ser un grupo algebraico una variedad es un objeto raro y tiene propiedades extrañas después si tengo tiempo voy a hablar un poquitito pero entonces cambia completamente la situación bueno ahora entonces voy a pasar al caso general pero entonces ahora ya me voy a centrar en el caso general como les decía no voy a hablar de la clasificación en general de dimensión 3 pero pasa más o menos lo mismo de que el conjunto de aplicaciones vibracionales realmente es muy distinto para p2 y después aparecen aplicaciones vibracionales que no son automorfismos solamente cuando la variedad representante es un producto de algo vibracionalmente es un producto de algo por algún proyectivo, algún espacio projectivo por ejemplo p1 por algo o p1 por algo que hay muy poquitas pero p2 por algo entonces ahí como está p2 aparecen estos bichos y en general son automorfismos y realmente aparece una geometría compleja cuando está el espacio projectivo de dimensión 3 y sobre ese si no se sabe casi nada entonces voy a concentrar en el caso de dimensión superior en S para hablar unas pocas palabras y la idea de lo que voy a hacer acá es les voy a contar un resultado vamos a ver en qué hora andamos en general no hay resultados generales para p3 y pn salvo yo les voy a poner uno acá general quiero decir p el grupo el grupo vibracional de pn tiene tal propiedad eso hay casi ningún resultado de eso, lo que hay son estudios de familias interesantes incluso algunos subgrupos interesantes y después hay pila de preguntas y bueno un poco para motivarlos a los que quieran después trabajar en esto les voy a contar un resultado que junto con el resultado de que es conexo con una cierta topología creo que es el único resultado general que se conoce y ese siguiente lo primero que uno quiere hacer cuando tiene un grupo principalmente grupos complicados es tratar de encontrar generadores conocidos y decir bueno generadores que yo eso si los conozco no conozco mucho el grupo pero tengo una familia de generadores que todos los grupos tienen su familia de generadores pero que sean que los generadores sean conocidos por ejemplo como acá bueno acá yo sé que agarro las lineales que es lo más simple del mundo y agarro sigma 2 que es aquella aplicación y tal pero eso como muestra el resultado de abajo no me dice pila de cosas pero igual mismo así puede ser complicadiza bueno si acá uno agarra las vibracionales y pone un conjunto de generadores hasta ahora no se conoce ningún conjunto de generadores que uno pueda escribirlas generadores son estas son familias claro ya me espero que debe ser complicado pero que son familias tal o un número finito son estas eso no se conoce pero si hubiera una familia de generadores que sí existen entonces la propiedad que tienen es que si yo miro las aplicaciones que no son lineales o sea las realmente vibracionales de verdad entonces hay una cantidad infinita seguro o sea que completamente distinto al caso anterior que hay una sola no sigma 2 acá hay infinitas las no lineales son infinitas y más en característica cero son no numerables muy seguro o sea que entonces voy a tener que si encuentro alguna vez generadores van a ser familias de generadores muy bien entonces es un resultado general que dice bueno la cosa acá es bastante compleja y por eso es que se conoce poco entonces lo que voy a hacer hasta el final de la charla ahora es presentarles una serie de preguntas y problemas en los cuales voy a introducir algunas cositas que son todas sobre este conjunto no sobre las aplicaciones pero en general sobre el grupo Vir que todas valen para el grupo de aplicaciones vibracionales de pn en general son las mismas solo que son cada vez más complicadas como no se entiende bien p3 entonces se espera que no se sepa mucho sobre pn esto sí vale para pn se demuestra para pn también bueno entonces la primera que ahí explico un poco lo que está entre comillas toda FIC que es el grupo de aplicaciones vibracionales mansa esa terminología es robada de un problema más viejo de los automorfismos de K3 los automorfismos a fines había una pregunta se conocía en 1940 y pocos se demostró que los automorfismos de A2 son un grupo bien conocido que es un producto amalgamado de dos grupos los lineales a partir de ahí se definieron las mismas aplicaciones en A3 se definieron las mismas aplicaciones en K3 las de John Kier y las lineales y uno se preguntaba si eso generaba todo el grupo entonces a esa se le llaman las mansas a las que son cosas conocidas o sea cosas lineales y cosas que son de un tipo especial entonces las que son composición de esas le digo mansas y entonces la pregunta era son todas mansas o hay cosas salvajes entre comillas bueno eso fue en el año 1932 Nagata propone un contra ejemplo es un matemático muy conocido propone un contra ejemplo que recién se demostró en los 2006-2004 entonces ahí si es un teorema se destacó y hubiera ér hicieron un teorema que dice no en realidad esa no es mansa y además hay una clase de cuatro tipos diferentes de salvajes o sea es un universo complicadísimo pero eso son solo los automorfismos de K3 entonces esto es la misma pregunta proyectiva entonces yo les voy a acá a introducir algunas cositas la cosa es la siguiente uno puede definir un grupo este es de John Kier es un matemático vamos somos matemáticos francés muy antiguo no muy antiguo en 1800 y pico mediados a 1800 las transformaciones que después se generalizan y bueno el grupo de John Kier es un sub grupo de conjunto de las vibracionales que no voy a explicar mucho lo que es pero voy a decirlo es un PGL2 PGL2 son eso las matrices 2x2 invertibles multiplicando por algo o sea que son las transformaciones de medios para los que vieron números complejos solo que los coeficientes acá son funciones en dos variables y eso es un producto de mi directo adentro de las VIR pero de P2 una dimensión menos estas de alguna forma las considero más o menos conocidas tengo un teorema de estructura que es el que les comenté antes y entonces se puede construir un sub grupo de esta forma que son dos cosas conocidas porque como estos son transformaciones de medios las puedo escribir de esa forma así con una variable nueva y donde estos numeritos que aparecen acá son más numeritos son funciones pero por lo menos tengo una escritura todas esas las puedo escribir explícitamente esas aplicaciones ese grupo es un sub grupo gigantesco en realidad tiene la misma propiedad y está adentro de Cremona perdón, adentro de las aplicaciones vibracionales que se llama el grupo de Cremona por eso a veces se me escapa y entonces bueno las mansas sería este grupo más automorfismos TGL siempre es una dimensión más sobre los complejos, o sea las matrices entonces las mansas son estas más estas composiciones de esas son las mansas y uno se pregunta, son todas mansas las de aquí yo pienso que no pero no sé cómo se demuestra tengo hasta un candidato pero no se demuestra entonces esa es una de las preguntas hay mucha gente que hay cuántos que están trabajando tratando de ver de que el caso afina este pero entonces uno de los temas de investigación que es interesante, me parece otra es una pregunta que nos hace siempre que tiene un grupo el grupo es simple o sea no admite ningún sub grupo normal no trivial o no es simple esa es la primera pregunta que nos hace un grupo esta pregunta en el caso de P2 fue propuesta por Safarevic en los años 60 de siglo pasado y recién fue demostrado hace unos 4 años se demostró por la negativa simple de P2 la misma pregunta para la dimensión superior no se sabe y de hecho algunos piensan los que han trabajado en esa área que aquí tal vez sí sea simple pero no se sabe entonces hace otra pregunta bien algebraica que es interesante, importante entonces otra es clasificar los subgrupos de orden primo esto también se hizo en el caso de P2 de hecho en el caso de P2 en teoría se clasificaron todos los subgrupos finitos lo hizo Dolgachev y Skosky son dos matemáticos rusos pero ya en el caso anterior los sabelianos habían hecho primero se hicieron los orden P después los sabelianos y después los de grupo finito eso está todo en P2, en P3 no sabe nada salvo los de orden 2 que más o menos hay una cierta clasificación de los de orden 2 que son las involuciones que siempre son interesantes las involuciones porque cuando aún cosiente por una involución obtengo un recubrimiento de tipo de orden 2 y eso es uno de los temas interesantes entonces la gente se interesa y ni que hablar cuando hay grupos primos también entonces las cuestiones vienen por los cosientes otra pregunta interesante, después hay dos más acá dos o tres caracterizarlas su variedades de vir de PN claro, vir de PN no es una variedad porque tiene dimensión infinita de hecho es un límite de variedades que crecen igual que en el caso de P2 pero tanto como P2 tienen propiedades muy extrañas uno puede introducir una topología en este grupo muy parecida a la que sería la topología que tendría si fuera una variedad hebraica sería la de las variedades hebraicas esa misma topología uno la define en este objeto solo que se sabe que no es una variedad hebraica y entonces le aparecen propiedades extrañas por ejemplo con un colega de suiza pudimos verificar que las curvas se pueden caracterizar se va a dar lo que es una curva la manera que uno hace para obtener su variedad es aquí la manera natural es tomar una variedad y una aplicación PN en general donde aquí yo sé que de vuelta estoy con el micro son polinomios x0 voy a poner hasta xn acá también FN son polinomios pero y aunque los coeficientes de los polinomios sean funciones regulares en x que no sean constantes sean funciones regulares entonces te obtengo una manera es como una especie de morfismo de la variedad en las vibracionales si este conjunto fuera una variedad todas las subvaridades de él son la adherencia a la imagen de morfismo de esa forma si fuera una variedad pero este no es una variedad de estos bichos o la adherencia las imágenes son variedades y bueno no son en general para curva son pero para dimensión todos pasan cosas raras aparece que los cuando uno toma a vir los de grado de nada más que es una variedad grandota acá en la adherencia acá están cosas de grado más chico con E más chico que D en la adherencia y si la imagen de este morfismo no es una curva o sea una superficie donde esa superficie pase por unos puntos de alguna forma que no entendemos bien no sabemos bien qué pasa pero entonces ese objeto que pasa la imagen esa se transforma el punto se transforma en un punto absorbente de alguna manera para el conjunto de forma que todas las curvas que metan adentro van todas para ahí eso no permite que sea una variedad porque si yo tengo una variedad y tomo un punto siempre ya tiene una curva que no pasa por el punto si es una variedad de verdad ahí no puedo, ahí ese punto se transforma en algo entonces hay un fenómeno raro que no lo entendemos bien tampoco y que está pasando y eso no permite que sean variedades pero entonces uno quiere saber bueno y cómo las caracterizo las variedades, cuáles son qué es lo que tiene que pasar para que sí sean y eso no se sabe y bueno y después tengo otros dos temas que son más de otras áreas pero que son interesantes en este en particular a mí me ha interesado he trabajado un poco en el caso de P2 el caso de P2 es que está ahora bastante entendido las simetrías vibracionales cuando les hablaba de geometría vibracional decía que es una variedad con un grupo que son las aplicaciones irracionales que son mis movimientos bueno lo mismo se puede hacer con una afoleación una afoleación no puede pensar una forma de pensarla fácil son las trayectorias de un campo hay otras pero que claro ese campo puede tener singularidades entonces son las trayectorias de un campo todo eso me parte la variedad en curvas y con algunas singularidades y entonces me pregunto cuáles son las simetrías o sea aplicaciones vibracionales que me cambian la variedad como movimientos dentro de la afoleación y clasificarlas es el mismo problema de hecho como son estas afoleaciones no sé es un producto curvas o es de tipo ricati o yo que se dode cosas de otros tiros entonces hay todo un problema y se han resuelto bastante en el caso de superficies y está todo en abierto en dimensión 3 porque por una cosa muy simple no se sabe cuáles son las afoleaciones singulares en P3 no se sabe muy poco porque es muy complicado el tema entonces se sabe poco encontrar buenos ejemplos ya está bueno y por último clasificar los sistemas dinámicos esto es un tema que en el caso de las aplicaciones vibracionales empezó por el año 2000 2000 y algo con la escuela francesa ahí vino Fabre, Cantaz, otros matemáticos y algunos estudiantes motivados por cosas de los sistemas dinámicos reales empezaron a preguntarse qué pasaba si yo agar una transformación o un automorfismo una variedad y lo empiezo a iterar y entonces bueno eso me va a generar una dinámica y quiero saber cómo es esa dinámica lo mismo si agar un bicho de estos que se empieza a complicar porque estas no están definidas siempre entonces empiezo a tener que entender bien dónde no están definidas y qué pasa con eso entonces en el caso de superficies fue esencialmente resuelto por 2004 2006 más o menos un resultado de Fabre y Johnson que clasifican mismo para variedades superficies y ahí empezó a pensar un poco en dimensión superior y bueno ahí es toda una selva de vuelta y entonces es un tema interesante encontrar sistemas dinámicos y entenderlos y lo último que voy a decir es comentarles para terminar cómo se hace esto en el caso de P2 de hecho en el caso de superficies también pero es más difícil porque hay que trabajar más con comologías pero la cosa es así lo que pasa con la dinámica si yo agar una de esas transformaciones lo pongo en P2 pero como les digo funciona para una variedad caleriana y una aplicación bimeromorfa por ejemplo pero en el caso de P2 yo sé que esta tiene un grado que son los polinomios que la definen entonces cuando voy componiendo esta n veces o m veces que la escribo así entonces uno se pregunta y qué pasa con el grado acá está definida por polinomios de grado de por ejemplo entonces cuál es el grado que lo pongo D la fista definida por polinomios de grado D y ahora la compongo mbc consigo mismo y digo de qué grados queda definida con qué grado los polinomios bueno uno le analiza el crecimiento esto crece el grado de la forma y ahí aparecen varias posibilidades acotado linealmente o sea tipo cn o sea distinto de cero un número real positivo cn cuadrado lo mismo y después de forma potencial eso es lo que pasa en dimensión 2 entonces el crecimiento es lo que determina la dinámica este caso es el que corresponde a la entropia positiva que hay realmente eso controlados y aparecen preservaciones especiales elípticas o racionales y bueno lo mismo se define en general y el límite de esto de la raíz ms esto tiene algo que se llama el primer grado dinámico de phi y esto puede ser cero perdón uno o positivo o mayor que uno mayor que uno es la entropia positiva que es lo que pasa abajo como se calcula digamos los moderados de alguna manera y bueno se define en dimensión 3 y aparecen 2 esto se llama el grado dinámico aparecen dos grados dinámicos y bueno hay toda una cosa que se empieza a hacer pero por ahora no se sabe casi nada entonces son temas interesantes para trabajar era eso que quería contarles muchas gracias