 اسلام علیکم لیکچر نمبر 25 کے ساتھ میں حاضر ہوں پھر اس میں آج ہم ایک نیا توپک شروع کریں گے بیسکلی ٹوٹلی نیو انہ سینس کالکلس ہی ہوگا لیکن بیسکلی ٹل بی اے دی ادھر پرانچ آف کالکلس جو ہم نے کافی پہلے میرے خالصے جب ہم شروع شروع کے لیکچرس کی بات کر رہے تھے جب ہم نے دریوٹیوز اور لیمٹس کا بات یہ غالبن لیمٹس کی جبہ شروع شروع کی تھی تو اس وقت میں نے کہا تھا کہ کالکلس کی دو مجر کلاسز ہوتی ہیں دو توپکس ہوتے ہیں ایک ہوتا ہے دیفرنچل کالکلس یا دریوٹیوز جس میں شامل ہوتے اور ایک ہوتا ہے انتگرل کالکلس یا جس کے اندر انتگریشن انوامل ہوتی ہے یا انتائی دریوٹیوز یا انٹی دریوٹیوز شامل ہوتے تو یہ سب اب ہم دریوٹیوز اور دیفرنچل کالکلس جو ہے وہ ہم کر چکیں ابھی جو پچھلے چیپٹرز ہم نے لیکچرز دیکھے اور جو اس کی کارسپورننگ چیپٹرز ان ٹیکست میں وہ ہم سب دیکھ چکیں بات کر چکیں اس کے بارے میں کافی ٹیٹیل میں بات ہوئیے اور اس کی اپلکیشنز بھی ہم نے دیکھیں پچھلے لیکچر میں بلکہ کافی اندرستنگ توپکس تھے جس میں ہم نے دیکھیں مینویلی تھیورم وغیرہ اور رولز تھیورم اس میں ایک ایک سامپل بھی کی تھی بڑے چیسی جو مجھے تو بہت پسند ہے میں بار بار اسی کو دہر آتا ہوں کیونکہ it's such a nice ایک سامپل لیکن یہ کہ وہ جو ہم نے کہا تھا کہ میں ٹیٹیل کرتا ہوں یہاں سے سلام بات تک on a bus and اس کے اندر acceleration کی بات آئی تھی کہ at one point during the journey acceleration of a bus has to be of that bus has to be zero somewhere یہ رولز تھیورم کی اپلکیشن تھی جو ہم نے real life میں کر دی تھی تو it's a very good example اس میں یہ ہے کہ اس کو اگر آپ اور سے سوچیں اس کے بارے میں تو میں لسے بھی کہا تھا کہ there are philosophical implications of this theorem and particularly of this example پھر ہم نے ایک اور example بھی میں نے شہد mention کی تھی کہ وہ زرہ higher level کی تھی جس میں میرحا سے یہ کہا تھا کہ اگر دو ایک continuous function جس میں ہم نے بیسیکل یہ کہا تھا کہ سفیرز ہوتے ہیں یعنی بالز جینا ہم کہا لیں جو مطمیٹکی ان کو اگر آپ دیکھیں سفیرز کو یا بالز کو تو ان کے اوپر کچھ پاتے کی جا سکتی ہیں اس میں ایک بات یہ تھی کہ continuous functions کچھ ہوتے ہیں جو ایک سفیرز سے اپنے ایک سفیرز دوسر سفیر میں ماب کرتے ہیں چیزوں کو یا اسی سفیرز سے اپنے آپ کے اندر تو اس میں نے کہا تھا کہ اس کی کچھ اپنے ایک سمپل دیکھتی کہ جی on the planet earth at any given moment in time there are 2 points on the planet where temperature and air pressure are the same تو اس میں یہ تھا کہ we don't know which those 2 points are but it's guaranteed that that's the case تو یہ اس طرح کی کچھ باتے تھیں جو mathematics میں کے اندر اگر آپ دیکھیں تو obviously these are very interesting یا یہ سوچنے والی بات ہے کہ جی کیا وجہ ہے کہ why is it guaranteed کہ on the planet earth there are 2 places 2 points whatever they may be you'll have temperature and air pressure the same تو ایک تو یہ کہ جی کیوں گارنٹیڈ ہے اس کے بہت ایک بڑے لمبچورہ سوال ہے اس کے اوپر کافی ریسارچ کی جا سکتی ہے اور کی بھی گئی یہ کی نل اس کے اس کے علاوہ ہے کہ یہ سوال بھی ایک اس کی اپلکیشن سکتی ہے یہ آپ کے اوپر ہے یعنی اور کرییٹف لوگ جو ہوتے ہیں کرییٹف تنکن کرتے ہیں ان کے اوپر ہوتا ہے کہ جی how to apply these beautiful ideas from mathematics to practical things کے جی ہم پریکٹکلی کیسے ان کو exploit کر سکتے ہیں for benefit اور اس کے علاوہ all sorts of benefits basically تو خیر یہ کچھ چند باتے تھیں جو ہم نے دیکھیں differential calculus میں اور اس میں یہ تھا کہ i hope you appreciated کہ کیسے ان کو ہم اپلائے کرتے ہیں جب optimization کی problems بھی کی تھی تو اس وقت بھی i hope کہ آپ نے دیکھا ہوگا کہ جی that was a very remarkable thing we could do we could talk about so many things یعنی real life میں business میں جب ہم industry میں اگر کہیں کوئی business لگانا چاہے تو we want to optimize or minimize minimize or maximize cost ظاہرہ cost کو تو میں نے مائزی کرنا چاہیں گے labor efficiency کو maximize کرنا چاہیں گے تو point یہ ہوتا ہے کہ ان دونا چیزوں کو اگر quantities کو function کے طور پر لگ دیں اور particularly continuous function کے طور پر then we saw that we could basically you know do anything we wanted to using the extreme value theorem بڑا زبدس دھیورم تھا اور اس کے لیوہا ایک اور دھیورم تھا جو ہم نے دیکھا تھا جس میں میکسمائیزیشن کے حوال سے جو تھا تو یہ سب ہم نے دیکھیں چیزیں اور I think you definitely appreciate کہ there is something to mathematics mathematics is not a dry subject at least it should not be after you have taken this course and I hope that's what I will be able to convey to you if nothing else کہ mathematics is not something dry and useless it's actually the science it's the queen of sciences and it should be given due respect اچھا جی یہ تو آج کی ہو گئی تھوڑی سی انڈوڈیکٹری بات اب آج کے topic کے بارے میں بات کرتے ہیں اب یہ بات نکلی تھی کہ جی شروع کیا تھا میں نے کہا نا کہ جی differential calculus ہم کر چکیں ٹھیک ہے جی ہو چکا ہے اب دوسرا کالکلس کیا ہوتا ہے وہ ہوتا ہے انٹی دریویٹیس کا یعنی دریویٹیس کا جو انٹی ہوتا ہے وہ کیا ہوتا ہے وہ ہم دیکھیں گے تھوڑی دیر میں یعنی ان کا اولا ٹیک طرح سے دریویٹیس کا ہم انٹیغریشن بھی کہتے ہیں ہم ایک فنکتن ہے اس کا انٹی دریویٹیف معلوم کرنا ہے تو اس کا کیا مطلب ہوگا ہم انٹیدریویٹیس کا یعنی دریویٹیس کا کیا ہوتا ہے وہ انٹی دریویٹیس کا یعنی دریویٹیس کا ایک جمیٹرکل انٹی پرٹیشن ہوگی حصہ کرتے ہوگی اور ایک ثیوریٹکل ہوگی اور ہم دیکھیں گے کیا ہوتی ہے تو ڈایی اس کو پہلے سمرائس کر لیتے ہیں کہ today's لگچر میں کیا ہم باچیت کریں گے تو انتگریشن کی بات ہم کریں گے طوپک لگچر کے یہ یہ انتگریشن تو اس میں ہم بیسکلی ہم بیسکلی دیکھنے کیا دینا مجھر کالکلوس پرون کیا اور کبھی مجھے بہت ہوتا ہے تو بہتی اس پرون کیا ہے تو بہتی سی ہم بیسکلی ننوہ شاییتوں کو اور اپرینہ بردتی محزن لہنہ زخوری ہو جاتا ہے جنہی سیدیت محزن میں لے ہے جس نےberry شاییتوں میں بركٹ سرکلز دو شاییٹری محزن بھی ہے اور یہ جو یہاںddیہ شاییتوں کو ب总 there شاییتوں کو دیکھے ہیں ان کا ایریہ کیسے معلوم کر جا سکتے ہیں تو ایک تو یہ ہوگے جناب ایریہ پروبرم پھر ہم انٹی دریوٹیس کی بات کریں گے کہ what are انٹی دریوٹیس وہی پہلے بھی میں کہا چکہوں کہ جو انٹی دریوٹیس ہوتے we also call them well the process of finding انٹی دریوٹیس we will see what they are and then we will see that the process involved in finding the انٹی دریوٹیس is called integration integration کیا ہوتی وہ بھی دیکھیں گے پھر جی انٹیگریسن کی کچھ some formulas ہوں گے we will see what the integration formulas are پھر ایک چیز ہم دیکھیں گے call the indefinite integral whatever that means for now we will see what that is and at the end we will see the properties of the indefinite integral area problem سے start کرتے ہیں کہ what is the area problem so let's talk about that اس میں area problem کی بات وہی ہے کہ جی ابھی میں نے شروع میں جا سکا تھوڑی در پہلے کہ تو ایک دیزائر ہے کہالیں انسانیت کے ساتھ ہے کافی عرصے سے like throughout history people have been scientist mathematicians have been involved in trying to find areas of particular type of shapes and stuff shapes of course اور اس کی وجہ کیا تھی ایک وجہ تو یہ تھی کہ طرح سی بات ہے کہ practical issues تھی کہ بھی اگر آپ کو کوئی چیز بنانی ہے یعنی اگر آپ کو گھر بنانا ہے تو اس میں آپ اگر سکویر گھر بنائیں گے تو کتنا ایریہ کورڈ ہوگا کیا اس کا حصاب کتاب ہوگا تو یہ بیسک جو اسیو اس کی وجہ سے people started developing these ideas of finding areas of basic shapes یعنی 2 dimensional shapes ذہر ہے ایریہ کی بات ہوتی ہے تو 2 dimension میں ہوتی ہے اگر آپ 3rd میں چلا جائے تو you are talking about volume تو ہم volume کی بات نہیں کریں گے we will just talk about its area ہم کہیں گے کہ ہم اس کا area معلوم کرنے ہیں اچھا یہاں پہ ایک مددار سی بات میں نے جب ذکر کیا ابھی کہ آپ 2 dimensional اور 3 dimensional کی بات ہوئی تو یہاں پہ کچھ تھوڑا سا آپ نے سوچ ہوگا کہ یہ جو 3 dimension میں volume کیسے ہو جاتا ہے تو یہ بھی بہت anteresting topic ہے mathematics کا its really something to think about جب 1 dimension میں ہوتے ہیں basically if you have a line cd line صرف ایک line تو theoretically speaking ہم اس کو کہ سکتے ہیں کہ یہ 1 dimensional line ہے تو اگر اور عام طور پہ maths میں جب بھی آپ line دیکھتے ہیں تو assumption یہ ہوتی ہے کہ a line is 1 dimensional اس کی just for just length ہے تکنس کوئی نہیں ہے ظاہر ہے تکنس ہماری نظر میں تو ہے کیونکہ ہم نے draw کیا ایک paper پہ لیکن theoretically we are assuming that it has no thickness اس کا مطلب یہ کہ a line اگر آپ کے پاس ہے you can only find the length of that line اور اگر اس line کو جیسے اگر آپ کو اس line تھی آپ اس کے جو end point ہے ان سے آپ perpendicular move کریں اوپر کی طرف یعنی اور ہر point سے line پے تو کیا آپ کے پاس ایک shape آتی ہے you get a square چکے جی تو اب اگدم سے آپ دیکھیں کہ line سے جاں پہ length ہی اب آپ کے پاس ایک square آ گئے اور square کی اندر now you can talk about the area of the square تو in a sense really جب length کی بات کی the length was a 1 dimensional area you can say that اور 3rd dimension میں نے گا تھا کہ it's a 3 dimensional area ہے تو really question ہے کہ it's a general concept جس کو ہم نے 2 dimension میں ہم area کہتے ہیں 3 dimension میں volume کہتے ہیں 1 dimension میں length کہتے ہیں تو یہ کیا ہے اب یہاں پہ بات ہوتی ہے کہ why should we stop at the 3rd dimension اگر یعنی آپ کے پاس ایک square آ گئے اس کا آپ نے area معلوم کر لیا اب آپ کے پاس square ہے ایسے کر کے and if you imagine کریں یہ میرے desk کے اوپر line کر رہا ہے تو اس کو اگر ہم ریس کریں ایسے perpendicular to the square بہت سارے squares ایسے draw کریں continuous fashion میں تو آپ کے پاس a cube آ جاتا ہے cube کی ہم جب ہم اپس cube آتا ہے then we start talking about volume یعنی اس کے cube کے اندر کتنی capacity ہے matter hold کرنے کی یہ کوئی solid یا کوئی چیز آپ بھریں اس میں تو how much can that how much is that capacity تو area جو وہ volume بن چکے 3rd dimension میں اب وہاں پے کیوں lookیں why don't we go into the 4th dimension کے بارے میں شاہد ذکر کیا ہو کہ نہیں کیا ہو لیکن یہ بات ہے کہ اگر آپ کوس cube آ گئے تو اس cube کو آپ 4 dimension میں کیسے لےکے جائیں گے how would you get جیسے ہم نے one dimensional line سے square بنایا square سے پھر ہم نے a cube بنایا cube سے ہم کو a 4 dimensional cube بنا سکتے ہیں اسے اسے عام طور پہ hyper cube بھی کہا جاتا ہے mathematics میں تو وہ کیسے بنے گا بن سکتے ہیں آپ cube کی جتنی بھی directions ہیں faces ہیں ان سے 90 degree perpendicular outward تو آپ کو 4 dimensional hyper cube بھی اب یہ اتنی سیمپل بات نہیں ہے سوچنے کی بات یہ کہ ٹیکہ 90 degree پہ موف تو کریں گے لیکن موف کہا کریں گے آپ کو 4th dimension کیا ہوتی ہے اور 4th dimension کیا ہوتی ہے well as the creatures of 3 dimensions we don't know ہم اس کی طرف point نہیں کر سکتے کیونکہ ہمارے دو capacity نہیں ہے ہم صرف 3 dimensions میں باتے کر سکتے ہیں اور سوچتے ہیں یہ a physically لیکن mathematically we can do whatever we want to یعنی mathematically میں آپ کو بتایا ہے کہ how to move into the 4th dimension تو 4th dimension میںگر آپ کے پاس a cube آگیا hyper cube تو اس کا بھی ہم ایک volume کی بات کر سکتے ہیں تو اس کو ہم hyper volume کیا سکتے ہیں تو point یہ مصد یہ کہ یہ بڑا interesting ideas ہیں اور calculus کی جو ابھی ہم topic بات پے شروع کریں گے area کی problem جسے میں بات شروع کی تھی اسی میں یہ ہے کہ آگے چلکے جب آپ multivariate calculus کریں گے تو یہ area problem جو اس میں integration کیا role پلے کرتی ہے آگے چلکے ہم دیکھیں گے کہ integration ہی volume کو مجر کرنے میں help کرے گی 3 dimensions میں اور پھر 3 dimension میں کیا بلکہ ہم n dimensions یعنی کوئی بھی number لے لیں n آپ 9 dimension ہو کچھ بھی ہو اس میں آپ ایک 9 dimensional object کا volume معلوم کر سکتے ہیں تو خیر I hope that was interesting یہ بات کرنا تو آسان ہوتی ہیں philosophical باتیں but these are interesting things to do یہ باتیں ہو گئی اب ہم واپس جاتے ہیں اپنی فلحال جو basics a concept جو ہم develop کر رہے ہیں اس کی بات کرتے ہیں area problem کی تو let me write down something آپ اس کو دیکھ لیجے کہ now area problem کی بات ہو رہی ہے تو اس میں ہم کیا جاننا چاہتے ہیں ہم یہ جاننا چاہتے ہیں کہ given a continuous and non-negative function on an interval particularly a closed interval ab find the area between the graph of the function f and the interval ab on the x axis تو یہاں پہ ایک نئی ترمانولوجی ہے non-negative function what is a non-negative function یہ بیسکلی ایسا function ہے non-negative کا مطلب ہوتا ہے کہ وہ values جو 0 سے بڑی ہوں یا 0 کے برابر ہوں تو f of x اگر non-negative ہے اس کا مطلب ہے کہ اس کی values جو وہ 0 ہوں گی یا اس سے بڑی ہوں گی negative نہیں ہو سکتی that's basically what non-negative is اور یہ جو ہم نے ابھی problem دیکھی کہ that's basically what we wrote down یہ ہے تو اس کا پکچر بنا لیتے ہیں پکٹوریل آئیڈیہ زیادہ رہتا ہے اچھا رہتا ہے تو let's look at that اس میں دیکھئے کہ آپ کے پاس ایک گراف ہے here's the x y axis ایک انٹرول ہے a comma b اور اس میں ایک گراف بناو ہے y equals f of x اور اس کے جو نیچے جو آئیڈیا ہے confined by on the top by the graph of the function and at the bottom by the interval یہاں on the sides by a and b یہاں آئیڈیا ہم معلوم کرنا چاہیں گے بیسکلی تو یہ بیسکلی یہاں problem ہے اب اس کو کیسے تکل کیا جائے یعنی یہ جو آپ اپنے بھی پکچر دیکھی اس میں جو آئیڈیا ہم معلوم کرنا چاہ رہے it's a very strange looking shape two dimensional shape ہے it's not a square it's not a triangle it's nothing no polygon it's not even a polygon of any source we have seen تو یہ درہ مشکل ہوگا اس کا آئیڈیا معلوم کرنا لیکن ہم معلوم ضرور کرنا چاہیں گے تو کیسے کرتے ہیں آئیڈیا دیکھتے ہیں اس میں ایسا کرتے ہیں کہ تھوڑا سا سب سے پہلے تو جو ابھی آپ نے تصویر دیکھی اس میں یہ تھا کہ a اور b کے درمیان ایک انٹرول ہے اور اس انٹرول نیچے نیچے وہاں پہ bottom پہ انٹرول ہے top پہ ایک function کا گراف اور ان دونوں کے درمیان جو فردسٹ وہ ہے area ہے اس کو ہمیں معلوم کرنا تو اب ایسا کرتے ہیں کہ تھوڑا سا انٹرول کرنے کے لئے اس کو اس کو تھوڑا سا جنرلائس کرتے ہیں اور بجائے اس کے کہ جو right end point تھا انٹرول کا b ایک پرٹکلر constant value تھی اس کو ایک variable کا طور پلس کو ٹریٹ کرتے ہیں انٹرول b let's start looking at the interval close interval a all the way to x یعنی x جو ہے it'll be just some number جس کو ہم value اسائن کریں گے تو یہ ہمیں وہاں تک کا distance مل جائے گا یعنی اس کی بھی ایک picture بنالتے ہیں and you'll see what I'm saying کہ یہ جو تصویر آ رہی آپ کے پاس میں نوٹ کیجے کہ یہ وہی گراف ہے on the top at the bottom جو آپ کے پاس انٹرول ہے یہ a سے b کی بجائے آپ a سے x تک ہو گئے اور بیچ میں جو آپ ایریہ معلوم کرنا چاہر ہیں اس کو لکھا ہے as a of x تو point یہ ہے کہ basically اب جو distance ہے جو آپ کا ایریہ معلوم کرنا چاہر ہیں وہ ایک constant area نہیں ہے بلکہ it's a changing area یعنی جو value آپ x کو سائن کریں گے بیچ میں جو aیریہ آئے گا it'll depend on what that x value is لہذا جو aیریہ ہوگا it's now treated as a function of that number or that variable x تو یہ ایک طرح سے مطلب اگر aیریہ جوہاں trace out ہو رہا ہے یعنی اگر یہ آپ کا گراف بناو ہے on the top at the bottom here's the x axis یہاں پہ a ہے اور آپ یہاں پہ آپ کا top پہ گراف ہے اسے کر کے تو آپ ایک طرح سے trace out کر رہے ہیں ایریہ under the graph above the x axis all the way to the point x جہاں پہ میں کہوں گا x رکھے یہاں پہاں گا رکھتا ہے تو آپ اتنا ایریہ معلوم کر رہے ہیں اگر x کو میں تھوڑا آو بہاں لے جو تو اب اتنا ایریہ آگیا ہے میرے پاس تو یہ جتنا میں بہاں بہاں extend کروں گا x کو آگے پیچے that's how much area I will trace out and that's what I want to find out تو ایک طرح سے ہم اس طرح سے تو let's see how we can develop this further اچھا اب یہ تو ہم جو بات شروع کیا ہم نے اس میں یہ ہے کہ اس کا کچھ исторیکل background ہے تھوڑا ہی سائے اتنے لمبی ڈیٹیال میں نہیں جاؤنگا جیسے میں پہلے کچھ لیکٹرز میں کیا تھا کیونکہ اس کے ان لوگ جو کرکٹرز انولوڈ ہیں ان کے بارے میں ہم بات کر چکے پہلے نیوٹنز آئیزک نیوٹن جن کا ہم نے میت دیکھا تھا پشلے لیکٹرز میں اور ایک جو فرنچ میتیمٹیشن تھے لیبنٹس تو یہ دونوں ہمیشہا ساتھ ساتھ آتے ہیں جب بھی کالکلس کی بات ہوتی ہے تو ان دونوں کے نام ایک دوسرے کے ساتھ ساتھ آتے ہیں کیونکہ دے اور بوث کردیٹ for being the developers of calculus basically and truly so they were the ones who initiated a lot of things in calculus تو یہ جو ابھی ہم نے تھوڑی سی بات کیے تو اب یہ یاد رکھیں کہ ہم کرنا کیا چاہ رہے ہیں ہمارا مخصد یہ ہے کہ ہم ایریہ معلوم کرنے کسی طرح سے یہ جو ہم نے دیکھا کرف کے نیچے گراف کے نیچے اور x axis سے اوپر والا اس کو معلوم کرنے تو نیوٹن اور لیبنٹس نے کچھ development یہاں پہ کی تھی اس کو دیکھتے ہیں کہ how they did this ان دونوں کا idea یہ تھا کہ اب unknown quantity جو ہے وہ ہے area یا a of x تو اس کو کیسے معلوم کریں تو یہ بڑی کریٹف سے thinking تھیں کی اور ابھی ہم دیکنے کیوں اتنی کریٹف تھی نیوٹن اور لیبنٹس کہتا ہے کہ to find the unknown function a of x first find its derivative find the derivative of a of x and then somehow using that derivative which you now know go backwards and find the area or the function a of x that is a it's kind of a twisted not twisted but convoluted thinking but that's how mathematics works اس میں convoluted thinking involved ہوتی ہے کہ آپ نے پہلے ایک چیز جو unknown اس کے ایک چیز معلوم کی اور پھر الٹا واپس جاکے وہی چیز معلوم کریں گے تو یہ بیسکلی idea ہے جو ہم یہاں ہم یہاں بھی develop کریں گے to find the area function a of x first find its derivative and then using the derivative find somehow a of x اور جو بیچ میں somehow ہے وہ ہم دیکھیں گے کیا ہے تو آئی اس کے بارے میں تھوڑی سے اور بات کرتے ہیں اس کو تھوڑا سا لکھ لیتے ہیں کہ what exactly are we trying to find out یعنی اگر ہم ڈریویٹف معلوم کرنا چاہ رہے ہیں a of x کا تو وہ کیا ہوگا ہمیں پتہا ہے ڈریویٹف کی definition let's look at this یہاں پہ یہ ہے کہ جی اگر a prime of x معلوم کرنا ہے یعنی derivative of a of x تو that is equal to limit as h goes to 0 of a of x plus h minus a of x divided by h اور یہاں پر تھوڑی دل کیا اسم کرتے ہیں کہ h is bigger than greater than 0 یعنی یہ positive number ہے اور negative number نہیں ہے تو اب یہ ہمارے پاس ڈریویٹف آگیا اب اس میں نوٹ کیجئے کہ کچھ geometry interpretation لیتے ہیں کہ یہ جو ہم نے بھی لکھا دیکھا جی a prime of x جی ہے وہ limit ہے as h goes to 0 of a of x plus h minus a of x یہ جو top ہے a of x plus h minus a of x یہ کیا چیتے اس کی جیمٹرک پکچھر بناتے ہیں تو تھوڑا سکلیر ہو جائے کہ بعد کیا چیز ہو کسی چیز کی بات ہو رہی ہے آئی تصویر دیکھتے اس میں دیکھئے کہ بیسکل جو تصویر ہے ہمارے پاس وہ ہے ایک ایسے function کی یعنی ایک ایسی ہے کہ جو ایک اپر آپ کے پاس گراف دیا ہے f of x کا اور نیچے x axis ہے اور جو top part تھا a of x plus h minus a of x یہ ایک area ڈیفائن کر رہا ہے which is the area which you get when you subtract the area from starting from a on the x axis all the way to the point x plus h یہ آپ کا area ہو جائے گا a of x plus h اور دوسرہ اس میں سے آپ سپٹریکٹ کر دیں area starting from a all the way to the number x تو یہ جب آپ سپٹریکٹ کریں گے تو آپ کے سام پاس جو area آئے گا result وہ آپ کے سامنے ہے that's basically what you're looking for and that's what basically the top part represents تو یہ آپ کے سامنے تصویر آگئی I hope that makes some sense اب یہ ہے کہ اس کے بارے میں ہم کیا کہ سکتے ہیں how do we find this area یہ جو top کا ہے a of x plus h minus a of x اس کو ہمیں معلوم کرنا ہے یہ کسی طرح پروکسیمیٹ کر لیں معلوم کرنا تو دور کی بات ہے بھی let's try to approximate it تو اس کے بارے میں دیکھتے ہیں کیسے کریں گے اس میں نوٹ کیجئے کہ اگر آپ کا یہ جو تصیریک ہے آپ کے سامنے اور آ رہی یہ جو اس میں area معلوم کرنا تھا a of x plus h minus a of x اس کو ہم اپروکسیمیٹ کر سکتے ہیں ایک ریکٹانگل سے جس کی آپ کے سامنے تصویر بنیوی ہے اس کے جو end point ہیں وہ ہے lower end point یہ x ہے اور جو upper end point وہ x plus h ہے تو یعنی جو thickness اس ریکٹانگل کی وہ ہے جناب h چیک اس میں ایک midpoint معلوم کر لیں اس کا ریکٹانگل کا اور یہ midpoint جو ہوگا یہ تچ کرے گا گراف کو y equals f of x کے تو یعنی جو یہ جو آپ کے سامنے ایک height ہے اس ریکٹانگل کی بیسکل وہ ہوگی f of c یعنی جو c point ہے midpoint اس پہ آپ evaluate کنے function کو تو آپ کو height مل جائے گی اس ریکٹانگل کی تو یہ بیسکلی اس طریقے سے آپ اس کی اس ریکٹانگل کے area معلوم کر سکتے ہیں اگر آپ کے پاس ریکٹانگل کی height ہے اور width ہے براسان اس کا area معلوم کرنا تو اس کو لکھ لیتے ہیں دیکھئے کہ a of x plus h minus a of x divided by h جو ہوگا اس کو approximate کر سکتے ہیں by the area of that particularly ریکٹانگل تو یہ top پہ تو آجائے گا f of c times h is just the area of the ریکٹانگل لیکن کوش ہم اس کو divide بھی کر رہے ہیں h سے تو ہم اس کو بھی divide کر دیتے ہیں h سے تو f of c times h اس کو by h سے تو f of c times h divided by h آجائے گیا یہ تو سمبر سی بات ہے یہ تو برابر ہے f of c کے تو let's call this capital A اچھا جی تو آپ ایک بات اور نوٹ کیجئے کہ اب یہ جو approximate کیا ہم نے وہ particular area using this particular ریکٹانگل تو approximation ہے ظاہر ہے area کے اندر وہ چیز نہیں ہے جو ریکٹانگل میں ریکٹانگل میں تھوڑی سی extra information تھی ریکٹانگل کا وہ extra ہے اور ہمیں تھوڑا سا ایرر دے گا وہ تو ایرر کو کیسے ہم ختم کریں تو ایرر کو ہم ایسے ختم کر سکتے ہیں کہ اگر ہم کہیں کہ g h جو ہے اگر وہ 0 کو اپروچ کرے تو کیا ہوگا یعنی what happens if h approach is 0 یعنی جو تکنہ سے ریکٹانگل کی if that goes to 0 what happens let's write this down نوٹ کریں کہ that the error in the approximation will approach 0 as h goes to 0 so basically what we're saying is that the derivative of the function a of x a prime x equals limit as h goes to 0 of a of x plus h minus a of x divided by h well that's equal to limit as h goes to 0 of f of c اچھا جی تو یہ آپ کا ایک conclusion of my draw کی basically نوٹ کریں کہ اگر h 0 کو اپروچ کر رہا ہے تو what's happening to c نوٹ کریں کہ of course as h approaches 0 c approaches x چونکہ c midpoint تو وہ x کی طرف موف کرے گا جیسے پوری ٹکنہ 0 ہوگی تو c جو وہ ایک x کی طرف موف کرے گا اور لیکن اس میں Corresponding y values کیا ہوگا یعنی کہ چونکہ function continues ہم نے assume کیا ہے تو ان میں کوئی break نہیں آئے گا اور ہم یہ کہہ سکتے ہیں کہ as h goes to 0 c goes to x and then what happens to the corresponding value f of c what happens to f of c اگر cx کو اپروچ کر رہے تو continuous function ہے تو it must be that f of c approaches f of x یعنی cx کو جا رہے تو f of c f of x کو اپروچ کر رہے تو ہمیں دیکھ لے کیا سکتے ہیں ہم کہہ سکتے ہیں اسم یہ کہہ سکتے ہیں کہ limit as h goes to 0 of f of c equals f of x and that implies that a prime of x is equal to f of x تو جناب یہ بیسک idea یہ تھا سارا بیسک idea جو ہم a conclude کرنا تھا تو اس کو یعنی ہم نے کیا کیا hopefully you're following this کہ ہم نے ایک طرح سے کچھ جو derivative function تھا وہ ہم نے معلوم کر لی ہے یعنی ہمیں پتا نہیں معلوم نہیں تھا کہ جی area function کیا ہے لیکن ہمیں یہ معلوم ہے کہ اس کا derivative function کیا ہے وہ کیا ہے وہ ہے f of x کیا ہمیں پتا ہے f of x کیا ہے بالکل پتا ہے بالکل اسلی پتا ہے کہ وہی تو وہ function ہے جس کے نیچے کا area ہم معلوم کرنا چاہے تو وہ تو ہمیں پتا ہونا چاہے we should know the equation for that function تو اگر derivative ہمارے پاس ہے area کا اور ہمیں پتا ہے وہ اس function کی برابر ہے جس کے نیچے ہم area معلوم کر رہے ہیں then we are done we are happily you know satisfied کہ of course we have achieved something یعنی ایک unknown quantity سے ہم نے known quantity derive کیا ہے تو let me put it down actually formally the derivative of the area function a of x is the function whose graph forms the upper boundary of the region under which the area has to be found یہ ایک بہت بڑی break through تھی جو newton or leibnitz نے basically اچیف کی تھی in terms of finding areas اور یہ واقی اگر philosophically سوچیں another philosophical point in mathematics کہ آپ کو نہیں معلوم کیا ہے لیکن آپ اس کا derivative معلوم کر سکتے ہیں that's remarkable یعنی or derivative turns out to be what turns out to be a quantity you already know it is actually a philosophical thing one must question whether it turned out to be that function f of x itself something to think about خیر ہم ایسا کرتے ہیں ایک اجامبل دیکھ لیتے ہیں and try to make these ideas more concrete اجامبل جناب ہے کہ find the area of the region under the graph of the function f of x equals x square over the interval close interval 0 and 1 تو یہ ہمیں basically معلوم کرنا ہے areas کے نیچے اس کا ایک فگر بنالتے ہیں so that we get an idea what's going on ایک اجامبل بیسکل یہ یہ اس کا فگر ساب کے سامنے اس میں دیکھ لیجے کہ we want to find the area under the graph of f of x equals x square over the interval 0 and 1 تو ہم اس کو کیسے معلوم کریں گے ہم اس کو اسی طرح معلوم کریں گے جیسے ابھی ہم نے یہ تھوڑی سی تھیوریٹکل بات کی تھی کہ بجائے 0 سے 1 تک جانے کے ہم جائیں گے from 0 to the variable x و پھر دیکھیں گے کیا ہوتے تو آئیے کچھ کالکلیشنز کرتے ہیں اس میں دیکھ لیجے کہ سیمپل سی بات ہے کہ جو اگر آپ 0 سے x تک جا رہے ہیں close interval میں تو from the discussion we already had earlier تھوڑی دیر پہلے یہ صاحب ظاہر ہے کہ جو derivative ہے اس area کا جو آپ معلوم کرنا چاہے ہیں under the curve it's basically called a prime of x is equal to x square تو یعنی یہ اس میں کو کالکلیشن نہیں کی میں نے I just used what I just developed a few minutes ago theory جو develop کی تھی وہ استعمال کی ہے کہ a of x a of x کا جو quantity ہمیں نہیں معلوم اس کا derivative ہمیں معلوم ہے it's the same function under whose graph I am trying to find the area چکے جی تو وہ ہے function x square تو a prime of x turns out to be the function x square اب مقصد یہ کہ اب ہمیں a of x معلوم کرنا ہے تو ہم کیسے معلوم کریں سیمپل سی بات ہے کہ اگر derivative معلوم ہے تو ہمیں کوئی ایسا function دھوننا چاہے a of x کی لیے as a candidate for a of x جو ایسا ہو کہ اگر ہم اس کو differentiate کریں اس کا derivative معلوم کریں تو result جو ہے وہ x square آئے اس کو تھوڑا سا پھر سے غور سے سنلیجے کہ ہوا کیا basically ہوا یہ کہ a prime of x derivative وہ تو ہمارے پاس ہے x square ہمیں a of x معلوم کرنے تو a of x ظاہر سی بات ہے کہ ایک ایسا function ہوگا جس کا اگر ہم derivative لیں یا اس کو اگر ہم differentiate کریں تو ہمارے پاس results آئے x square it's given to us تو ہمیں ایسا کوئی function معلوم کرنے تو how do we find that پہلان ہم نے وہ technique develop نہیں کی ہے کہ جو ہمیں بتائے گی کہ وہ function کیسے معلوم کریں لیکن guessing ضرور کی جا سکتی ہمیں تھوڑیسی guesses کر لیتے ہیں کہ کوئی ایسا function آپ کے ذہن میں آ رہے جو اگر آپ تھوڑا سوچیں تو اس کو اگر آپ differentiate کریں تو آپ کا result وہ x square آئے اس کے بارے میرے ذہن میں تو ایک function ہے ذہن میں کیا میں چیٹنگ کر رہا ہوں میں لکھ کے لائے تھا اپنے لیئے تو ظاہرہ I know میں notes پر پے کر کے لائے تھا تو خیر یہ تھوڑا سیمپل سا function ہے تو I already know what the answer should be تو again the question is کوئی ایک ایسا function دھوننے جس کو اگر differentiate کریں تو result x square آئے تو here is a function آپ دیکھ لیجے لکھا ہے کہ the function is a of x equals 1 third x to the power 3 تو یہ function ایک ایسا function ہے کہ اس کو اگر آپ derivative لیں تو آپ کا result کیا آئے گا دیکھ لیتے ہیں ہمیں پتا ہے کیسے differentiate کرتے ہیں 1 third constant ہے اس کو بھال لیا ہے d over dx operator جہاں وہ x cube پر لگا دیں result آتا ہے 3x square using the power rule 3x square times 1 third نیچے جب 3 ہے وہ cancel ہو جائے گا اوپا والے 3 سے result کیا آتا ہے x square and that is exactly what we are looking for تو یہ گیسنگ تھی لیکن سیمپل گیسنگ تھی تو ہمارے پاس آپ area function کیا آگیا a of x turns out to be 1 over 3 x cubed تو یہ آپ کا آپ کا area function ہے اچھا اب یہ area function تو آگیا لیکن اب ہمیں معلوم کرنا تھا area from 0 to 1 تو اب 0 to x جو ہم نے supposed کیا تھا تھوڑی درکلی interval اس میں x جگہ 1 دال دیجے that is equivalent to saying there in the formula that we have for the function a of x substitute the value x equals 1 تو اگر a of x have a 1 over 3 x to the power 3 ہے اس میں 1 دال دیجے x جگہ result کیا آئے گا 1 تو I am sorry 1 third 1 third times 1 is 1 third تو آپ کا basically جو result ہے وہ یہ ہے کہ the area under the curve of y equals x square from 0 to 1 is 1 third units what are those units we are not concerned with that right now we are concerned with just basically developing a way to find the area and we just did that اچھا جی اب یہ بات بھی ہو گئی کہ area کیسے معلوم کرتے ہیں ٹھیک ہے اب اس کو تھوڑی درکلی ایک طرف رکھتے ہیں اور antiderivatives کی بات کرتے ہیں یعنی antiderivatives کیا ہوتے ہیں these are basically functions we are looking for which when you differentiate you get a certain particular function that you wanted to be ایک طرح سے اس کی informal definition ہے اس کو دیکھ لیتے ہیں دیفنیشن کو formally formal definition ہے جناب کہ a function capital F let's call it capital F big F is called an antiderivative of a function a small f on a given interval if the derivative of the big capital F function f prime of x equals the small f of x for all x in that interval جناب یہ اس کی definition ہے these are actually some abstract but let's do a few examples so it will show what we are trying to say so let's see an example an example is that there are some functions in front of you one third x cubed apart from this one third x cubed plus two apart from this there is another function one third times x cubed minus pi and another function is one third x cubed plus some constant c i.e c could be any constant but let's note کہ سارے جو فنکشنز ہی آپ کے سامنے آئے تھے these are all antiderivatives of a particular function and that particular function is x square یعنی اگر آپ ان سب کا derivative لیں تو results آئے گا x square تو ہم کہہ سکتے ہیں کہ سارے جو فنکشنز تھے they were antiderivatives of the function f of x equals x square and that's basically what the definition was saying also اور اچھا یہ بات بھی ہے نوٹ کرنے کی کہ یہ جو ہم نے ابھی اگر دیکھی اس میں سارے فنکشنز جو تھے یہ انتی دریویٹف تھے اس f of x equals x square کہ on the interval minus infinity to positive infinity ایک بات اور بھی آپ نوٹ کی کہ constants جو ہوتے they don't matter تو in general basically you can say that if f of x capital f of x is an antiderivative of some function small f of x then capital f of x plus c is also an antiderivative of the small f of x function اس کو لکھ لیتے ہیں اس کو دیکھ لیجی آپ کے سامنے اس کو بلکہ تیرم کی فرم میں لکھ لیتے ہیں if f of x is any antiderivative of small f of x on a given interval then for any value of c the function f of x capital f of x plus c is also an antiderivative of the small f function on that interval moreover any every antiderivative of the small f function on the interval is expressible in the form f of x plus c تو یہ جناب آپ کی ایک تیرم ہو گیا اس میں constants کا رول بھی پتہ چل گیا کیا ہوتے اس کے بارے میں تھوڑا سا بہت مزید غور بھی کر سکتے ہیں لیکن examples کریں گے تو it'll become clear تو آگی آگے جلتے ہیں اچھا اب ایک process اس میں ہے بیسکل antiderivatives کو جو معلوم ہم کرتے ہیں تو اس میں a process involved ہوتے یہ process جو ہوتے the process of finding antiderivatives is basically what is called integration تو یہ integration کو ابھی ہم تھوڑا سا دیکھتے ہیں کیا ہے اس کو ظاہرہ ہم یہ جاننا چاہیں گے کہ کوئی ایسا formal طریقہ ہے ایک mechanical طریقہ somehow جو ہمیں antiderivatives معلوم کرنے کے لیے help کرے ظاہرہ ہم جاننا چاہتے ہیں کہ یہ a given function کے antiderivatives کی آئیں تو اس کے لیے ایک طریقہ ہوتا ہے جسے ہم integration کہتے ہیں تو وہ یہ antideferenciation بھی کلاتی ہے ہمیں integration استعمال ہوتا ہے تو آئی اس کے بارے میں تھوڑی سی بات کرتے ہیں ابھی ہم نے کہا کہ جی اگر آپ کے پاس کوئی function ہے capital F such that d over dx of capital F of x equals some other function small f of x than any function of the form capital F of x plus c is an antiderivative of the small f of x function یہ بھی تیرم بھی دیکھا ہے اس کا اس کو لکھنے کے لیے ہم ایسے لکھیں گے دیکھ لیتے ہیں کہ اس کی جو نوٹیشن ہے وہ ہے ایک لنبا سیک سائن ہوتا ہے اس کو integral sign کہتے ہیں it's basically an elongated form of the letter s and we write integral f of x dx equals capital F of x plus c تو یہ اس کو ہم کیسے پرتے ہیں اس کو ہم ایسے پرتے ہیں کہ جی basically یہ جو ابھی سیمبل دیکھا ہم نے آئی اس کو پھر سے دیکھ لیتے ہیں جو ابھی ہم نے سکرین پے دیکھا تھا کہ integral f of x dx equals f of x plus c this is read as the indefinite integral of f of x equals f of x یعنی capital F of x یہاں پہاں چھوٹا ہے پہاں بڑا ہے سوڑا کنی فیوزیں گے لیکن if you see it written down I think it will make sense اچھا یہ دیکھے کہ right-hand side جو تھی اس equation کی جس میں capital F function ہے وہ سپیسفائیڈ نہیں ہے would depend بھی کرتا ہے جو ایک capital C constant function constant number تو یہ چونکہ سپیسفائیڈ ایک quantity ہے تو اس کو that's why we call this the indefinite integral that's the reason why we call it indefinite اور جو c ہوتا ہے capital C اس کو عام طور پہاں ہم کہتے ہیں the constant of integration just terminology we should take care of right now تو آئے example دیکھ لیتے ہیں پھرک let's do an example with the terminology we have introduced so far let's look at this example ابھی ہم نے تھوڑے پہلے دیکھا کہ جو function ہے small f of x equals x square اس کے antiderivatives جو ہیں وہ ہیں اس form کے capital f of x equals one third x to the power 3 plus c so with the terminology we have introduced so far we can write down integral of x square dx equals one third x to the power 3 plus c اچھا اس میں آپ یہ سوچ رہا ہوں گے کہ جو integral function integral کے بعد function آتا پھر ایک dx لکھا ہوتا ہے یہ کیا چیز ہے اس کو تھوڑے اس کے کافی deep meaning ہے in a sense لیکن اس کو ابھی ہم ignore کر دیں گے اس deep meaning کو صرف یہ کہہ لیتے ہیں کہ dx فلحال it basically serves to identify the independent variable involved in the process of finding the antiderivatives یعنی اگر dx لکھا ہے تو امارہا independent variable جو اگر x ہوگا اگر dt لکھا ہے تو independent variable جو اگر t ہوگا اگر d s لکھا ہوتا تو independent variable جو وہ s ہوتا it's just that for now کہ dx identifies the independent variable اچھا اب integration کے بارے میں تو ہم نے بات کر لی اب سوال یہ کہ how do we integrate how do we find antiderivatives اس میں یہ ہے کہ اس کا کچھ formulas ہیں کچھ بیسک جو یہ process ہوتا ہے it's a guess work i.e. guessing کے through ہم یہ کرتے ہیں اس کو formally ہم آگے چلکے develop کریں گے کہ properly کیسے گیا جاتا ہے لیکن اس وقت یہ guessing game ہے اس میں یہ ہے کہ تھوڑے سے کچھ formulas ہیں جو ابھی دیکھ لیتے ہیں table میں یہ بک میں بھی آپ کی اور ان کو ہم use کریں گے for further doing further examples تو آئیے دیکھتے ہیں ان کو یہ جناب آپ کے سامنے table ہے اس میں کچھ formulas دیے میں یہ آپ دیک لیجے some basic functions and the equivalent integration formulas تو یعنی آپ کو بتا رہے ہیں کہ کون سے functions کا کون سے antiderivative ہے تو یہ it's very helpful to look at these and we can use these actually right now تو یہ سب جو table میں ہم نے ابھی formulas دیکھیں ان کو استعمال کرتے to actually do an example تو آئیے ایک example کرتے ہیں کچھ 3-4 example ایک ساتھ کرتے ہیں let's see سب سے پہلے تو یہ کہ جو x square function تا تو اس کا انتگرل جو ہوگا integral x square dx equals x cube divided by 3 plus the constant c یعنی کوئی بھی number constant ہو سکتا یہ تو ہم دیکھی چکیں اس کے لہا� اگر x cube کا انتگرل معلوم کریں تو integral x cube dx جو ہوگا وہ from the table it's obvious کہ it should equal کیا ہونا چاہی ہے it should be x to the power 4 and similarly 1 over x to the power 5 کا انتگرل جو ہوگا اس کو اگر آپ لکھ لیں as x to the power minus 5 dx تو یہ ہو جائے گا 1 over 4 x to the power 4 plus c یہ تو کچھ examples بھی ہو گئی اب indefinite integral کی کچھ properties ہیں جن کو دیکھ لے تھے اور ان کو پھر ہم آگے چل کے اور استعمال کریں گے for various reasons یعنی اگر آپ کو یا تو derivative کی جب بات کی تھی تو کچھ property scene derivatives کی جو ہم نے دیکھی تھی اور پھر for granted لے لی تھے کہ بھئی ٹیکہ ہم ان کو استعمال کریں گے similarly integrals کی بھی ایسی کچھ properties ہیں ان کو بھی دیکھ لے تھے ان کو theorem کی form میں لکھ لے تھے سب سے پہلے تو یہ کہ d over dx the integral of f of x dx وہ برابر ہے f of x کے تو یہ جو ہم نے ابھی دیکھا کہ integral of f of x dx کاگر آپ derivative لیں تو آپ کے پاس وہی function آتا ہے f of x آپ انٹیکرال لے رہے تھے ذہری سی بات ہے اب یہاں پہاہن کیا جو بنا وہ یہ ہے کہ differentiation and integration are opposites of each other they cancel each other in a sense یعنی جو کام integration کرتیے اس کو ullat کر دیتیے differentiation اور جو کام differentiation کرتیے اس کو ullat کر دیتیے derivation یا differentiation تیک جی تو یہ ایک this formula کا مخصت تھا اب اس کا یہ theorem دیکھ لے تھے اس میں جناب یہ a theorem ہے آپ کے سامنے simple سے facts ہے کہ اگر constant take ہے multiply ہو رہا ہے function سے اور اس کا انٹیکرال آپ لیں تو constant بہار آ جاتا ہے اور باقی integral doesn't change اگر آپ کے پاس sum ہے if you have the sum of two functions f and g and you're taking the integration or the integral of the sum of those two functions well it's the same as the integral of the sum of the integrals of the individual functions similarly اگر difference ہے تو وہ بھی distribute ہو جاتا ہے over the sum یہ کچھ properties تھی جو ہم prove نہیں کریں گے will take these for granted اور اب ان کو استعمال کر کے کچھ ایک دو example کر لیتے ہیں example کرتے ہیں let's try to evaluate the integral for cosine x dx یہاں simple سے بات ہے theorem جو بھی دیکھا اس کا پہلر rule apply کیجی for کو بہار لے جائے اور اس کے بعد کو سائن x dx کا اندیگرل آپ لینا چاہ رہے ہیں تو وہ ابھی ٹیبل دیکھا تھا تھوڑی در پہلے اس کے حوالے سے the result should be 4 times sine of x plus c and we can rewrite this as 4 times sine of x plus k اور یہاں پے k جو ہے وہ 4c کی برابر ہو جائے گا تو یہ ایک example لیے جہاں پہاں ہم نے table بھی استعمال کیا اور یہ theorem بھی تو ایک last example اور کل لیتے ہیں اور دیکھتے ہیں تو سکتا ہے اندیگریشن میں ایک سامبل ہے جناب find the integral of x square plus x quantity dx تو سمبل سی بات ہے کہ theorem کو استعمال کرتے ہیں اس کو بریک کر سکتے ہیں over the sum اور ہم ہم get integral of x square dx plus the integral of x dx and of course we know from the table and that's in your book also that the result should be for the first one the result should be one third times x to the power three اور دسرہ والا اس کے لیے result آئے گا plus one over two x to the power two اور آخر میں plus c لکھ دیتے ہیں for the constant اچھا جی آپ لوگ شہت خوش ہوگا ہوں گے میں نے کہا تھا last example تو last example تو ہے لیکن that doesn't mean that the lecture is over تھوڑی چیزیں اور رہتی ہیں اور اس میں ایک تو چیزیں یہ کچھ a theorem ہی ہے basically جو theorem ہم نے دیکھا تھا ابھی سم کے لیے اندیگریشن کا اس کو دیکھ لیتے ہیں یہ بیسکلی last چیز ہوگی اس لیکچر کی تو ہے یہ اس کو دیکھتے ہیں جنرلائز version of the second and third part of the theorem we just saw is انٹرگل اگر آپ کے پاس ایک سم ہے of functions that are multiplied by constants تو یہ دستربیوت ہو جاتا ہے over the sums and you can always pull out the constants across the integration sign تو یہ جناب آپ کا last جو بات کرنی تھی آج کے لیکچر کی یہ ہم نے ابھی جنرلائز version دیکھا ہے اس تھیورم کا ڈریویٹرز میں بھی ہم نے ایک ایسا تھیورم دیکھا تھا اور اس کو شاید پروف بھی کیا تھا لیکن اسی طرح کی چیز تھی and this is very helpful آگے چلکے جب انٹیگریشن کریں گے we will see that's a very helpful thing اچھا جی تو اب ہم ختم کرتے ہیں لیکچر یہی پے تو آج کے لیکچر میں کیا تھا topic ایک طرح سے importance لی ہے کہ اب ہم انٹیکریشن وغیرہ کی بات شروع کیا ایریا کی بات کیا ایریا under the curve تو next time اس idea کو further develop کریں گے فلال جو concept تھے آج کے ہی تھے کہ ہمیں ہم نے دیکھا interplay between antiderivatives and derivatives and why we need them ہم نے area function معلوم کرنا تھا اس کے لیے ہم نے a cute techniques تمال کی کہ جیس کا پہلے آپ derivative معلوم کر لیں and turned out to be a quantity we knew already and then we went backwards and found the original area function تو hopefully اس کا کچھ آپ کو appreciation آپ نے develop کی ہوگی آپ homework کیا do the homework اور کوئی مسئلہ ہوتا پوچھ لیجے گا پھر اگلی دفعہ ملاقات کریں گے thank you Allah Hafiz