 Seguimos con el núcleo y la imagen y vamos a mostrar que estos dos subconjuntos son espacios vectoriales. A continuación vamos a ver que el núcleo y la imagen de una aplicación lineal son espacios vectoriales. Proposición, SEAF, una aplicación lineal de V a VW, los subconjuntos CARES y IM de F, son subespacios de V y VW, respectivamente. Y vamos a demostrar esta proposición. Os recordamos que solo tenemos que comprobar tres cosas, el conjunto no está vacío, la suma está bien definida, la multiplicación está bien definida. Primero, notamos que el elemento, que la imagen del elemento neutro de V por F es igual al elemento neutro de VW. Por esta razón deducimos que ambos conjuntos no son vacíos ya que cada conjunto CARE y el núcleo de la imagen contienen los elementos neutros respectivos. Por otro lado, tenemos que mostrar que la suma de dos elementos del núcleo y de la imagen dan elementos del núcleo y de la imagen respectivamente y mostrar que la multiplicación escalar está bien definida para cada espacio. Entonces deducimos que los dos conjuntos asociados a F son espacios vectoriales. Una pregunta, SEAF, una aplicación lineal tal que en la base canónica la matriz asociada es la siguiente. Os pedimos de hallar cuáles de las igualdades siguientes, son ciertas. Esto se puede hacer calculando explícitamente el núcleo y la imagen y así podríais deducir cuáles son ciertas. Os damos un momento. Espero que hayáis visto que hay dos respuestas correctas y que estas son la primera y la tercera. Acabamos este vídeo con un ejercicio. Os pedimos de hallar el núcleo y la imagen de la función siguiente, una función F de R2, R3 a R3 y de calcular las dimensiones de los espacios asociados.