 Je vais parler d'une distance entre les configurations de pétrinettes qui sont mutuelles et riche. Oui, j'ai mis une belle picture, peut-être que certains d'entre vous savent que c'est un bon jeu. Je pense que c'est un bon logo pour FST-TCSD. Le pétrinette est un modèle de concurrence. Mathémétiquement, c'est un modèle très simple. Ce modèle est donné à un set fin de ce que l'on appelle les actions, qui sont un peu des vectors naturels. Normalement, ce modèle n'est pas juste donné de cette façon. Il y a une représentation graphique de pétrinette. Je vous présente un exemple de cette représentation. Assumez-vous que vous avez une pétrinette où la dimension est libre et que vous avez 4 actions donnée de cette façon. Vous pouvez créer une picture de cette pétrinette qui sera une partie de graphique. Il y a quelques nodes qui seront entre la dimension et la dimension. Donc, dans votre cas, nous avons 3 nodes qui sont élémentés par P1, P2 et P3. Normalement, ces nodes sont appelés places pour une pétrinette. Vous avez aussi des nodes correspondant aux actions. Ici, vous avez A1, A2, A3 et A4. Ces valeurs correspondent à l'input de places pour les actions et à l'output des places pour les autres parties, de places pour les actions. Comme vous pouvez le voir, depuis que j'ai deux là-bas, je vais mettre deux à cette position. C'est un modèle de pétrinette. Il y a beaucoup d'applications. En logic, database, pétrinette sont aussi utilisées pour modèler beaucoup de différents systèmes. Je ne vais pas parler de ça. Je vais directement bouger à la cémantique de la pétrinette qui est donnée comme un système de transition labellite. C'est-à-dire que la cémantique est donnée comme l'infinite graphique où les nodes correspondent à la configuration de votre système. Dans le cas de la pétrinette, c'est un secteur naturel. Les labels sont juste les actions de la pétrinette. La relation de transition est donnée comme suivi. Vous pouvez bouger de la configuration X à la configuration Y en utilisant la action A où A est la paire des vectors UV. Si X est largeur que l'équivalent component par component pour vous et la nouvelle configuration Y est obtenue de X juste par retirer ce vector U pour vous vérifier. Et puis vous avez un V. Par exemple si j'aimerais ouvrir la pétrinette, le système de transition labellite et la partie réchable du système de transition à partir de la configuration 110 qui est usually denotée de cette façon vous avez un token dans la place P1 un token en P2 correspondant à la configuration 21 et 0 au token dans la place P3 puis vous pouvez exécuter A3 parce que A3 la première partie de A3 est de retirer 1 de P1, de retirer 1 de P2 et de ajouter 2 de P3 donc la configuration que vous obtenez en ce cas c'est 0, 0, 1, 2 et vous pouvez continuer de cette façon et vous obtenez un graphe en ce cas le graphe est finit mais en général quand vous regardez la partie réchable de votre graphe la configuration peut être infinie donc pour la pétrinette il y a un problème central c'est à dire que beaucoup de problèmes réduisent à ce problème c'est le problème de réchabilité donc dans ce graphe vous prenez 2 configurations une initiale et une finale donc il y a un path ou moins une initiale pour la finale donc le problème de réchabilité a été prouvé d'être un espace exponentiel difficile par Lipton en 1976 et puis 4 ans plus tard il a été prouvé d'être décidable la prouve a été prouve ou l'algorithme, la présentation de l'algorithme a été prouve par Cozaraju un an plus tard et par Lambert 10 ans plus tard et aujourd'hui on s'appelle l'algorithme KLMalgorithme avec respect au correspondance d'autorne et mais ce n'est pas... donc il y a un algorithme pour décider le problème de réchabilité et il y a aussi un autre un algorithme très simple mais il est basé sur une technique inumerative que j'introduis en 2009 donc la main idée est un concept très simple quand vous voulez décider le problème de réchabilité le problème de réchabilité est quand la configuration n'est pas réchable parce que quand la configuration est réchable vous avez une faillite de réchabilité juste par proposant un path mais quand la configuration n'est pas réchable d'habitude vous avez besoin d'une variante inductive qui explique pourquoi cette configuration n'est pas réchable et dans ce paper, en 2009 j'ai prouvé que grâce à cet algorithme, par inspectant la façon dont cet algorithme est exécuté nous pouvons extracter une variante inductive dans la arithmétique presseburger donc on peut définir l'inéqualité de toute façon sur un set de configurations qui proviennent une variante inductive prouvant que la configuration n'est pas réchable donc la première prouve était basée sur cet algorithme et puis en 2012 j'ai offert une nouvelle prouve juste basée sur un bon code sur un bon code sur l'exécution dans le système de transition lab associé à une pétrinette ok donc il y a un algorithme simple mais à ce point la complexité n'était pas connue du problème de réchabilité avec Sylvain Schmit on a travaillé sur ce problème et on a commencé à proposer une complexité une complexité computationale de cet algorithme en 2015 et puis très récemment à peu près cette année nous avons montré qu'en fait le problème de réchabilité par modifier cet algorithme et aussi par modifier la fonction qui explique pourquoi le algorithme est terminé nous prouvons avec Sylvain que ce problème est facile pour la complexité donc il semble qu'il est assez haut mais c'est un résultat important parce que quand le set de réchabilité de pétrinette est finit nous pouvons facilement prouver que ce set contains à peu près un nombre de configuration de réchabilité donc quand le set de réchabilité est finit comme dans mon exemple prévu on peut juste énumérer toutes les configurations possibles réchables et décider si votre configuration est réchable ou pas dans le temps de la pétrinette parce que la pétrinette est à peu près la pétrinette mais en fait c'était pas connu si cet résultat est encore encore plus haut quand le set de réchabilité peut être infini et avec Sylvain on prouve que c'est le cas en fait on peut décider le problème de réchabilité dans le temps de la pétrinette c'est le même et aussi récemment nous avons réimprimé la pétrinette la pétrinette exponentielle pour la pétrinette complexe donc ça veut dire que le problème de réchabilité est non élémentaire donc c'est un problème très difficile mais en plein sur quelques problèmes je veux dire logique, automatique ou quelque chose comme ça quand vous voulez utiliser un problème de réchabilité pour la pétrinette peut-être c'est pas exactement le problème de réchabilité c'est un problème de réchabilité et c'est il y a plusieurs exemples des cas où en fait ce que vous avez vraiment besoin c'est le problème de réchabilité mutuelle c'est-à-dire que vous avez 2 configurations et la question est est-il qu'il existe un moyen de bouger de l'une configuration à l'autre et de revenir à l'autre original donc naturellement ce problème peut être solved avec le problème de réchabilité vous avez les deux pèles c'est-à-dire que vous allez obtenir une complexité pour ce problème mais en fait si vous le faites de l'autre façon vous pouvez obtenir une meilleure complexité donc juste pour revenir au problème de réchabilité mutuelle c'est équivalent si vous avez 2 configurations si vous êtes dans le même component connecté de la grave de réchabilité donc par exemple si vous regardez cet exemple, mon exemple et le système de transition de l'abri associé à cet exemple vous pouvez voir que ces configurations sont dans le même component connecté et ce sont pas c'est-à-dire qu'il y a différents composants le problème de réchabilité mutuelle signifie que quand vous voulez bouger de la configuration à l'autre et que vous voulez revenir c'est-à-dire que chaque action que vous performez au cours est réversible quand vous faites une action c'est toujours possible de réverser si vous faites A2, vous pouvez faire A3, A1 et revenir à cette configuration mais pour Petrinet ce n'est pas si simple on ne peut pas classifier l'action dans le réversible et le réversible si vous regardez cet exemple naturellement A4 est toujours réversible, on le remet de cet endroit et donc le nombre de tokens le nombre que nous avons créé en tout cas mais si vous voyez A1 c'est réversible de cette configuration mais c'est réversible de cette configuration ok, donc le problème, le problème de réchabilité mutuelle ne peut pas être réduit par juste de remettre les actions réversibles c'est juste un important remark pour motiver l'état de l'art donc le problème de réchabilité mutuelle était prouvé d'être décidable en 1977 juste parce que si vous regardez la relation de réchabilité la relation de réchabilité mutuelle c'est une relation congruente sur les numéros naturels avec l'addition, donc c'est similaire et en particulier vous pouvez prouver que le problème de réchabilité est décidable dans cet contexte général le problème de réchabilité mutuelle pour six clics Petrinet signifie que chaque action est réversible ce n'est pas le cas en général donc pour chaque action vous avez une autre action qui performe le converse c'est prouvé d'être d'être décidable en 1997 et récemment à concur, oui structurellement c'est le cas, ça signifie que pour chaque action vous avez une autre action qui fait le converse donc si vous... du point de vue mathématique de Petrinet ça signifie que quand vous avez un paire de vectors vous avez aussi un paire où vous réverses l'input et l'output c'est la définition de réversible réversible ça signifie que le paire de vectors est mutuel et réchable le paire de vectors ce n'est pas structurellement donc c'est un peu plus plus puissant mais il ne peut pas être appliqué sur ce genre de Petrinet et et en concur, je prouve qu'en fait le problème de réchabilité mutuelle en général, son espagnol est complet et l'idée c'est de prouver que si deux configurations sont mutuelles et réchables il existe des short runs qui permettent d'avoir un rythme de réchabilité ce résultat de réchabilité mutuelle a été utilisé dans plusieurs applications pour Petrinet mais aussi pour... pour autres modèles par exemple, avec Grégoire Suth et Pravin on prouve que nous pouvons introduire, grâce au problème de réchabilité mutuelle on peut introduire la logique sur les traces de Petrinet qui est disponible dans l'espagnol et comme cela, la logique donne une façon uniforme pour exprimer les propriétés comme ce lieu est abandonné ou ces deux places sont simultanément abandonnées, la langue acceptée la langue d'action qui commence par une configuration initiale est régulière et contexte tous ces problèmes peuvent être décrivés avec une simple formule dans cette logique qui est disponible dans l'espagnol avec Ravier Sparsa, Pierre Ganti et Rupak Majunda nous avons aussi prouvé que la vérification de protocoles populaires décidant si un protocole populaire est bien spécifié nous avons prouvé que ce problème peut être réduit à la question de réchabilité mutuelle la question de réchabilité mutuelle l'existence d'un problème en Petrinet c'était un problème long qui était prouvé d'être décidable aussi grâce au problème de réchabilité mutuelle par Ike Best et Ravier Sparsa donc un problème en homestate est une configuration comme ça, si vous commencez de la configuration initiale quoi que la configuration soit riche c'est toujours possible de revenir à cette configuration donc décider qu'il existe une configuration c'était un problème ouvert et ils le souvient grâce au problème de réchabilité mutuelle avec Peter Yanschar et Grégoire Sutt nous avons prouvé que décider le set de réchabilité en commençant par une configuration initiale si la configuration de réchabilité est le state de configuration donc on peut atteindre toutes les configurations possibles ce problème est complet une fois de nouveau, en utilisant le résultat de réchabilité mutuelle que j'ai donné en concurrence mais récemment j'ai reçu un email de Serge Haddad il m'a demandé quelque chose sur Petrinet et j'ai dit oui, pas de problème et j'ai utilisé le résultat de réchabilité mutuelle de concurrence mais je n'étais pas correct Serge a besoin d'une chose plus précise que ce qu'il a été donné dans mon paper concurrence donc j'ai décidé de revisiter le problème et d'introduire le résultat que vous trouverez dans le procédé de FSTTCS DCR c'est un notion plus précise d'un petit rythme pour le problème de réchabilité mutuelle donc j'explique que si les deux configurations sont réchables il y a des longs termes entre les deux configurations en fait ce que Serge voulait c'était quelque chose que j'explique que la distance entre les deux configurations j'ai defini le suivi la distance entre les deux configurations de configuration de réchabilité mutuelle c'est le minimum length d'un cycle entre les deux configurations et la question de Serge a été réduite pour provider une bande à la distance qui est légèrement respectée à la distance de l'Euclidean entre X et Y en fait c'est ce que j'ai donné dans le procédé j'ai prouvé que si vous avez un pétrinette comme toutes les valeurs que vous pouvez, je veux dire les numéros que vous utilisez dans votre pétrinette sont bandés par des m en fait pour chaque paire de configurations X et Y la distance entre X et Y est bandée par la norme de Y-X à un constant où cet constant c'est juste un constant de cette forme vous voyez c'est un polynomial et le degré c'est quelque chose d'exponential donc il n'y a aucun moyen d'éviter l'exponential de l'exponential ici dans la dimension parce que le problème de l'exponential c'est l'exponential donc l'exponential ne peut pas être plus petit que l'exponential plus long mais aussi cette distance est bandée par une fonction légère de Y-X c'est aussi optimal dans le sens où il n'y a aucun moyen d'avancer de X à Y depuis que vous bougez étape par étape par ajouter des vecteurs il n'y a aucun moyen d'avoir une distance sublinaire donc ce résultat est optimal avec respect à la distance entre X et Y et la norme de Y-X donc c'était l'introduction juste pour expliquer le contexte de cet résultat je ne vais pas entrer dans les détails de la preuve vous avez la preuve dans le procédé je veux juste vous donner 2 résultats techniques qui peuvent être utiles dans certains autres contextes que juste de la richability ou de l'héritage mutuel pour les pétrinettes donc on le verra je vous présenterai le résultat sur la constance de l'exponential et si j'ai le temps je vais expliquer quelques résultats sur les extracteurs la constance de l'exponential c'est un résultat très bon il y a un papier d'une page qui donne le résultat donc le papier est assez short mais vous verrez que c'est un résultat très important dans le problème de richability de systèmes manipulés donc intuitivement quand vous avez une execution dans un système manipulé comme une pétrinette et si vous voulez éviter une valeur négative vous vous souvenez que les configurations sont victoires de nombre naturels donc à un moment les actions peuvent diminuer et vous êtes bloqué il n'y a aucun moyen de continuer l'exécution et souvent quand vous voulez décider un problème de richability pour une pétrinette la première étape est d'éloigner les sémantiques pour aller aux valeurs négatives donc vous essayez de trouver une execution et d'une configuration X et de la configuration Y et en-delà de l'exécution vous allowz l'exécution pour être négative et puis vous allez réorder votre execution d'une certaine façon pendant l'exécution vous êtes toujours sur 0 c'est une très simple idée qui fonctionne bien pour la pétrinette et la constance de Stenitz permet de réorder pour l'exemple, vous voyez j'ai une séquence de vectors j'ai ajouté les vectors z1, v2, v3, v4, etc et puis j'utilise v10, v11, 12, etc et j'ai obtenu ces valeurs donc à un moment je bouge de cette configuration pour cette configuration par une séquence de vectors et malheureusement, ce vector est peut-être trop petit, vous avez des valeurs négatives donc vous avez besoin de réorder est-ce possible de réorder cette séquence de vectors dans une bonne façon donc quand je dis une bonne façon j'aimerais rester along la direction de ce total summe ce vector qui est le total summe de les vectors along avec cela naturellement vous pouvez réorder le premier exécution v1, v2 et v10 et puis v3, v4, v11 etc donc comme vous pouvez le voir, je reste along de cette séquence et de plus en plus je progresserai je progresserai step by step along cette direction donc pour moi, c'est une bonne réordition de la séquence de vectors et la question est est-ce toujours possible de réorder une séquence de vectors comme cela, vous ne faites pas trop trop beaucoup du total summe de votre séquence de vectors donc c'est le papier le papier de 1 page donc si vous considérez une séquence de vectors v1, vk de vrais numéros vector de vrais numéros comme la norme de chaque vector est bandée par 1 et si vous faites le total summe de ce vector en fait il y a toujours une permutation de les vectors comme tout le total summe n'est pas si loin du total summe vector et vous voyez, nous progressons step by step parce que c'est pour chaque n entre d & k où k est le nombre de vectors nous allons dans la direction v divided by k donc nous progressons step by step by v divided by k et la séquence de la séquence c'est en fait ce qui est le meilleur possible valeur que vous pouvez mettre ici et dans ce papier, ils montrent que c'est optimal donc la dimension de la séquence la valeur de la dimension c'est en fait le meilleur valeur pour pouvoir réorder une séquence de vectors de cette façon vous ne divergez pas de cette direction donc en ce cas nous sommes dans la dimension 2 et la distance n'est pas plus plus que 2 en ce exemple donc ce change constant result est très utile pour réorder un run de cette façon vous restez en longue direction mais même si vous ne divergez pas trop de cette direction peut-être que vous commencez de quelque chose trop petit sur quelques components donc en tout cas vous vouliez extracter sur votre run sur un possible run donc vous vouliez extracter des components qui sont très grandes en tout cas et il y a un moyen de faire ça basé sur la notion de extracteurs mais je vous remercie et vous pouvez trouver des techniques dans les procédés de toute façon c'est un moyen d'abstracter d'abstracter un vector de nombre naturel en gardant de toutes les valeurs et mettre en partie large c'est difficile parce que si vous avez une séquence de nombre peut-être chaque nombre n'est pas si loin d'un autre donc c'est difficile de séparer un set de numéros en un petit et un large mais en fait si vous avez pas seulement une séquence mais une séquence de séquence qui s'appelle un extracteur il y a un moyen de définir la notion de small et de grands components donc pour conclure donc le résultat principal de l'abstracteur c'est ce résultat c'est l'abstracteur de la suivante donc vous voyez que c'est une bounde avec respect à la distance de l'excédent entre les deux configurations c'est obtenu grâce à la constance je voudrais remercier Mathieu Sengler et Encolasique pour rapprocher ce résultat et c'est aussi basé sur la notion d'abstracteur et les autres techniques donc si vous ne savez pas ce sont les techniques vous devez voir les papiers de raccord des 19 ans c'est un très bon papier j'aimerais introduire une question à l'opinion pour cette slide c'est une question de Félix Klattke une question réelle durant la présentation donc le problème de la richability pour la patrinette c'est l'art pour le tour généralement quand vous avez un problème vous devez savoir de quelle partie votre problème est difficile est-ce par la dimension est-ce par la valeur de la patrinette qui fait le problème de tour en fait si vous fixez la dimension de la patrinette nous savons que le problème la probleme de richability est difficile pour 10-13 expositions donc le fait que nous avons le tour le hâte de la tour en fait ça correspond à la dimension de votre patrinette mais si vous fixez la patrinette et maintenant vous regardez le problème de richability pour cette patrinette la question est quelle est la complexité du problème de richability et cette question est liée à le résultat de la richability mutuelle que je vous avais proposé parce que j'ai dit que le problème de richability mutuel est incroyable le hâte de la patrinette est légèrement bandé avec respect à la norme de Y-X mais naturellement j'ai mis la partie de la patrinette donc tout de suite il semble raisonnable d'essayer de trouver la complexité du problème de richability quand vous fixez la patrinette et d'ailleurs est-ce vrai que le hâte de la patrinette de la configuration X est toujours légère dans Y-X donc ce problème est ouvert et il n'y a aucun moyen d'utiliser ce que l'on a fait récemment afin d'obtenir une bande basse qui n'est pas élémentaire donc peut-être qu'il complète le set de conjecture qui est offert par Ronco il s'invite donc à une conjecture mais pour le moment on n'a pas un résultat merci c'est-à-dire que tout le résultat fixe la complexité d'utiliser la patrinette de la patrinette d'utiliser la patrinette d'utiliser la patrinette d'utiliser la patrinette donc... vous pouvez le décider dans l'exponential space parce que pour un moment vous pouvez écrire un formula d'expliquer cette propreté mais peut-être que votre question est est-ce que l'exponential space est complète donc généralement quand vous regardez un problème pour la patrinette, vous avez un peu d'exponential space basse très facile mais pour votre problème peut-être parce que c'est une sorte de propreté structurelle et pour la propreté structurelle parfois c'est juste de polinomiel donc peut-être celui-ci je ne sais pas le 13 ce n'est pas le 13 c'est juste en fait ce résultat le problème de la patrinette pour la patrinette c'est obtenu par composant des patrinettes de nombreuses fois et pour chaque composition on obtient un exponential dans la complexité on obtient un exponential bloc la première fois que le problème de la richability pour cette petite patrinette est exponential et c'est double exponential et à chaque étape on a une nouvelle dimension en fait on simulate des machines de ski et on a besoin d'un extra-counter dans ces compositions mais initialement on a besoin d'un extra-counter pour avoir ce petit programme composant de nombreuses fois et c'est pourquoi on obtient le 13 mais peut-être c'est moins peut-être on ne sait pas si vous regardez un projet de la construction un projet de construction il n'y a pas de construction il n'y a pas de construction donc il est cool si vous regardez dans notre réduction on simulate un ski mince un fixé mais si vous utilisez un ski mince vous pouvez simuler une machine de l'universal mince et en particulier il semble que le problème de la richability quand vous fixez la patrinette c'est 10-14 ou d'exponential si vous avez un extra-counter mais ce n'est pas vrai parce que tout de suite dans cette simulation on doit commencer par un nombre large et large qui est encodé dans la patrinette à un moment dans la réduction on a besoin d'une patrinette comme sur une transition on a un weight qui est un nombre et comme sur la complexité de la simulation il sera 2x2x2 de ce nombre où le nombre de l'univers est la dimension de votre patrinette et donc on ne peut pas utiliser je pense que c'est possible d'utiliser ce résultat pour obtenir une complexité aussi de cette forme quand vous fixez la patrinette mais ce n'est pas vrai nous avons besoin d'autres choses