 Merci à tous les organisateurs pour l'invitation. Aujourd'hui, je pense qu'il n'y a pas de question sur la langue que je dois parler. Il faut être en anglais. Je vais discuter sur le sujet, c'est un travail très joint avec Alex Kontorovitch. Il y a aussi un travail sur l'engagement. Le team général est... Le team général est d'understand des vintagères qui ne sont pas exactement ce que vous faites, ce sont des objets arrichométiques, objets qui sont produits dans les orbites de groupes lignes ou dans les orbites de groupes de sub, ou des groupes sub-sémi-groupes de groupes lignes. Ce sont des structures qui peuvent être communes. C'est un team qui a été étudié depuis un temps dans différentes formes. Le début de l'input de Petus était l'émergence d'une nouvelle théorie sur les dégâts spectraux qui permettent de faire une sévénie dans ces créatures. Mais ensuite, la histoire a évolué et l'un a été plus ambitieux et a vraiment voulu comprendre les vintagères que vous obtenez dans un orbite. Ce que je vais faire, c'est de donner un overview de certains des résultats. Je pense que c'est mieux d'avoir un overview que d'essayer d'aller dans plus de détails, car les détails sont assez longues et je ne serais pas capable de dire trop bien, et je serais probablement lossé très vite. Parce que j'essaie de faire quelque chose qui n'est pas trop technique, je veux juste focusser sur les idées principales et les méthodes qui sont intéressées. Ce que je vais faire, c'est de donner un petit peu d'introduction du matériel et le background sur le niveau des techniques qui sont intéressées, en particulier les résultats sur les dégâts spectraux qui sont intéressés à cette théorie et aussi les méthodes de comptabilisation. Et puis, ce que je veux discuter sur certains applications, et il y a des applications naturelles, comme on le voit, il y a des applications sur ce qu'on appelle les paquets intergalapalons. Il y a aussi deux problèmes sur les rationaux avec les quotations parlementales et la conjecture de Zaremba. Et puis, on a aussi un travail sur le comptabilisation qui est à l'arrivée du Turem d'Ikki Distribution dans les fieldes réels quadratiques et le problème des géodésiques en ligne. Donc, les premières deux soucis vont être basément dans le contexte, vont être dans le contexte de ces problèmes locales pour les problèmes mondiaux, et la dernière sera en tout cas dans ce qu'il pourrait sembler comme une application naturelle de ce problème d'arrivée dans l'orbitage. Donc, je vais vous donner un petit souvenir. Ce que je veux faire, c'est que ce soit un peu introducteur. Je veux vous remercier comment la méthode du Turem d'Ikki Distribution et pourquoi, en tout cas, dans le présent, c'est-à-dire, que sont les éléments qui me permettent dans le contexte de ces groupes ou des orbites semi-groupes pour avoir une chance de performer, dans un moyen successe, une méthode circulaire. Donc, basiquement, ce que nous avons, on dirait qu'on regarde un set d'integres, qui sont produisées d'une ou d'autre façon, qui sont des sub-sets d'une à l'autre, le moyen qu'on set-up est de dire qu'il y a une distribution sur l'un à l'autre à l'autre, dont je vais normaliser pour la simplicité, pour être une distribution de probabilité. Et ce que nous espérons, c'est que c'est généralement distribué d'Ikki et que nous voulons dire que, basiquement, le soutien de cette distribution est presque tout le monde. Donc, pour vous donner une application typique pour dire qu'il s'agit du problème de Goldback, le problème de la banque de Goldback, vous regardez tous les intégres, qui peuvent être, on dirait, obtenus, comme l'avantage d'une ou d'autres primes bondées par N, et on veut dire que vous avez tout le monde, et bien, on ne peut pas prouver ça, mais ce qui va arriver, c'est que l'un peut montrer, au moins avec la technologie présente, que le set d'exception est très petit. Donc, c'est l'ID. Donc, ce qu'on fait, c'est que vous regardez la transformation de la fourrie. Donc, nous prenons l'ANDA, nous prenons la transformation de la fourrie et nous avons un peu d'exponential de l'ANDA, qui est un fonctionnement sur le cercle, et puis, basiquement, une étude est l'ANDA par l'exponential de l'ANDA. Et l'ID est la suivante, c'est de faire une subdivision de ce, donc, l'inverse transformation de la fourrie, vous récapturez l'ANDA par l'ANDA. Donc, l'ID est de faire une subdivision dans des marges de manière plus grande, par restricter cette intégrale, premièrement, aux neighborhoods, les petites neighborhoods de rationnels avec un petit denominateur. Donc, il y a un quart de paramètres, qui est B, et qui va généralement dépendre de N. Donc, vous regardez les rationnels de la forme A par Q, avec Q, plus ou moins, et puis les neighborhoods qui sont de la forme B par N. Donc, vous devez regarder ça comme un petit set, mais tout de suite, l'ID est de faire une contribution principale. Ensuite, il y a le reste. Donc, maintenant, ce qu'est-ce que c'est bon pour? Bien, ce que vous faites, c'est que, vous retournez à l'ANDA, qui est donné par l'inverse transformation de l'ANDA, et vous restrictez cette intégrale pour le set de grands marges. Donc, ensuite, il y a plusieurs idées. Tout d'abord, ce que vous voulez dire, c'est que, donc, c'est une nouvelle, c'est une fonction de l'ANDA1 de N. Et ce l'ANDA1 de N tend à être bien compréhendé. Donc, la première chose, et c'est ce qu'ils s'appellent les contrôles et les marges, c'est que vous voulez dire que l'ANDA1 et l'ANDA1N sont un peu proches ensemble. Donc, l'usuel de l'analyse est par exemple, une façon de l'analyse est par exemple, par exemple, c'est la 2e norme de la différence de l'ANDA1 et de l'ANDA1 qui est, bien sûr, contrôlée par Parseval par la 2e norme de S de Theta sur le complément des marges grands marges. Donc, n'oubliez pas que l'ANDA1 était normalisé. Donc, si je l'intégrerais sur tous les cercles, je pourrais avoir 1 sur N. Donc, l'idée est que, si vous bougez ces marges grands marges, et ce n'est, bien sûr, pas toujours le vrai, mais dans les situations où nous pouvons jouer ce jeu, c'est ce qui se passe. Vous avez quelque chose qui est petit avec respect à 1 sur N. Donc, rèflement, ce que ça veut dire c'est que, dans le support de l'ANDA1, ce n'est pas trop différent de ce que vous avez dans le support de l'ANDA1. Et la différence est une erreur ici qui va être, dans les termes de support, va être de l'esprit en Epsilon. Donc, selon comment l'Epsilon va prendre l'Epsilon, cela va ajouter une erreur là-bas et ça peut être la seule erreur. Je n'exclure pas que, même l'ANDA1 n'est pas connu d'avoir un support full ou de l'ANDA1 non nécessairement d'un à un à un à N. Mais au moins, ce qui va arriver là-bas, c'est l'idée de respecter ces marges grands marges que nous avons une bonne understanding de ce qui se passe là-bas. Donc, l'ANDA1n, qui est une intégrale et un très petit set juste près des marges, des marges, petites marges de petits rationnels, bien, ce qui est typiquement est que l'ANDA1n va être un produit de densité. Donc, vous allez avoir une densité archimédiale qui est sigma n, pardon, qui est pi n, qui est juste, en ce cas, l'ordre de l'ANDA1n. Et puis, en tout cas, il y a une factorisation qui vient de factoriser cette modulaire Q qui lead à une représentation, basiquement une représentation dans un produit de densités locales. Et donc, la raison pourquoi nous pouvons faire ça est que nous voulons, dans un sens, avoir une très bonne understanding de, dire, cette fonction de cette initiale distribution, l'ANDA1n, de, dire, un point de vue modulaire, quand nous sommes en train de prendre la modulaire suffisamment petite. Donc, quand nous sommes en train de regarder, basiquement, nous devons comprendre ce que l'ANDA1n est de la setse d'integers moins que l'ANDA1n, qui a une préscription de la condition de congrès, disons, d'être equal à l'A mod Q, qui a été offert. La Q n'est pas trop grande. Lors que nous avons cette compréciation, nous avons une bonne description de ce qui se passe sur les margeurs. Donc, je vous rappelle qu'il y a un paramètre B à l'involver. Et donc, à l'un de l'autre, cette compréciation, ici, va être plus facile quand le B est petit, parce que nous avons pris de très petites neighborhoods de rations avec un très petit dénominateur. A l'autre hand, si le B est trop petit, alors le erreur, le epsilon, qui était obtenu avant, cet epsilon va être plus grand. Donc, c'est une compréciation entre comment on peut avoir un large B pour avoir un petit epsilon possible et comment on peut choisir le B pour avoir encore le contrôle sur les margeurs. Donc, c'est une histoire qui a été répétée sur et sur, mais je vais vous dire pourquoi, dans le contexte des orbites de groupes ou des groupes semi-groupes, nous avons une chance d'améliorer un truc comme ça. Donc, avant tout, les marges principaux. Donc, comme c'est clair de ce que j'ai dit, c'est-à-dire, ce qu'on doit comprendre là est la distribution du set d'un modeler, en fait un point d'archimédiaire de l'archimédien mais seulement dans une façon assez modeste dans le sens que nous devons savoir quelque chose sur la distribution du mode Q où le Q n'est pas trop large. Et il se termine que, en fait, c'est possible parce que des méthodes spectuelles. Donc, l'archimédiaire peut être performée par basiquement l'Aix-Philippe, donc, l'Aix-Philippe théorie ou d'autres méthodes qui vont vous donner un compte précis dans les orbites de ces groupes. Et, en fait, donc ce qui est en train est un phénomène spectraux que je vous rappelle et qui dit qu'initiellement ce qui s'est passé est que on a réalisé que nous pouvons bien sûr, vous avez cette technique spectrause aussi dans les groupes congruents des groupes présents. Mais ce que l'on a réalisé à un point c'est que cette approche spectrause peut être formée uniforme dans un sens sur les groupes congruents dans un sens ce que nous avons était une extension de l'extension de l'extérieur. Et donc, somehow, la approche spectrause qui s'involve dans cette approche spectrause est assez essentielle en déterminant ce qui peut vraiment être capturé par les méthodes spectraux. Dans les stages d'aujourd'hui nous faisons vraiment tout, seulement en utilisant les approche spectraux. Non, somehow, le nouveau développement est que nous réalise que c'était mieux d'utiliser seulement les méthodes spectraux sur les marges majeurs et puis commencer à regarder pour dire plus d'autres techniques en fait, il y a des techniques plus robustes qui peuvent être les les marges majeurs. Donc, une vous voyez, si vous n'avez pas sur les marges majeurs, alors nous en faisons des rationnels qui ont un grand dénominateur donc nous n'avons pas assez d'inquiétude sur la distribution pour ces modèles donc nous regardons d'autres techniques et donc, ce sont vraiment les techniques puissantes puissantes dans le sens qu'elles n'ont pas besoin d'avoir trop de structure. Une such technique a été développée par Vinogradov qui sont des estimations sur les sams exponentiaux qui ont une structure multilénieuse. Donc, ce n'est pas nécessaire d'avoir d'un genre d'input arithmétique dans un sens. Nous devons vraiment savoir très peu. Donc, pourquoi pouvons-nous avoir une structure multilénieuse ? Nous avons un groupe semi-groupe donc nous pouvons multiplier un groupe semi-groupe ou un groupe semi-groupe donc nous pouvons multiplier les éléments et parce que nous pouvons multiplier les éléments de toute façon vous pourriez imaginer qu'il y a une espèce pour avoir une structure multilénieuse. Dans certaines autres instances ce que peut être utilisé même si, comme je l'ai dit, ce groupe n'est pas ce que mon collègue Peter Saranak s'appelle c'est un groupe semi-groupe qui signifie ce n'est pas ce n'est pas un groupe semi-groupe d'un groupe sub-groupe en aucun sens. Donc si ce groupe est combinatoriel il peut avoir des groupes sub-groups et nous pouvons ensuite explorer ces groupes sub-groups pour faire des estimations sur les margements. Maintenant, ce que j'ai envie de faire c'est de commencer par rappeler un petit peu de ces méthodes spectrailles basicement il y a deux techniques il y a les techniques automorphiques c'est l'ex-Philippe et puis il y a une technique symbolique donc je vais vous dire quelque chose je vais vous donner un petit peu de l'arrivée et puis des détails des détails autour des méthodes automorphiques et je ne vais pas dire trop beaucoup sur les techniques symboliques qui sont plus compliquées l'idée est la suivante essentiellement comme je l'ai dit vous voulez faire des comptes eventually vous avez ce donc les groupes sub-groups je dois dire c'était sur le slide mais de toute façon les groupes sont either sitting in SL2Z ou SL2 sur les synthesis de go donc nous devons faire quelque sorte de comptes en orbites donc c'est le plus facile c'est d'avoir des fonctions qui sont constructées en utilisant les éléments groupes et puis nous comptons pour un archimédien pour un archimédien normal juste pour le problème le point c'est que cette question sur le slide la question est si vous êtes en train de prendre un groupe sub-groupe landa sur SL2Z ou SL2 de synthesis de go c'est une histoire pour SL2 si vous êtes dans une situation SL3 vous devez remplir une h2 par h3 donc il y a une théorie complètement analogue dans l'H3 ce qui serait involvementant si vous étudiez les groupes de SL2 sur les synthesis de go ce sera le cas pour ces packings de zappolons de toute façon c'est-à-dire cette observation réduit l'issue réduit l'issue pour faire un genre de hyperbolic comptabilité où on est tentant de savoir exactement avec une formulae asymptotique quel est le nombre de éléments g dans ce groupe sub-groupe qui est dans un bol qui est défini avec cette norme ici de radius ou autre et ensuite on peut aussi imposer nous pouvons imposer certaines conditions de congruence mais imposer ces conditions de congruence pour respecter les éléments g pour les groupes sub-groups des groupes sub-groups qu'est-ce qui est l'intérêt d'observer à ce point de vue il y a une théorie qui vous explique comment handlez-vous donc je vous remercie les backgrounds donc ce que nous allons faire c'est de créer un groupe sub-groupe de SL2Z ou de SL2 sur les centagres de gorge et ce que nous souhaitons c'est que c'est non élémentaire dans le sens que le set limit donc vous avez un set limit pour cet groupe que c'est une dimension donc dans le cas de SL2 donc il y aura une dimension ce que nous souhaitons c'est qu'on a une dimension qui est strictement positive donc c'est typiquement moins que l'une parce que nous regardons un groupe sub-groupe si vous êtes dans le cas de SL3 alors l'une doit être je vous remercie j'ai bloqué votre vue je ne sais pas ce côté de cette machine je ne sais pas à gauche ou à droite je peux changer pour que tout le monde donc dans ce cas de SL3 le delta va être entre 0 et 2 donc il y a un niveau critique donc dans les deux cas c'est une demi-tour dans les trois cas c'est une donc ce qui se passe c'est que si le delta est moins que une demi-tour vous avez une théorie spectrale donc vous pouvez utiliser pour faire l'account qui vous donne une formula asymptotique où le terme de lead est basé par le la valeur la plus basse comme nous le verrons donc ces sont les méthodes de plus de analyses donc la théorie de la théorie de laaxe basiquement réduit l'issue d'avoir une gamme spectrale ce qui est une issue séparée quand le delta est moins que une demi-tour vous n'avez pas une théorie spectrale donc il y a des choses qui vont être un peu plus difficiles mais vous avez vous avez encore l'approche thermodynamique de l'approche symbolique donc dans l'approche symbolique nous ne parlons pas de lagape spectrale mais nous parlons de les régions de résolvent et basiquement c'est une théorie qui a été développée dans les années et le nouveau input est qu'à un moment dans cette théorie nous pouvons incorporer un point additionnel du point de vue donc nous avons on ne va pas dire trop trop ce que nous faisons est d'extender l'objectif principal qui gouverne cette approche thermodynamique qui est le réveil transfert on peut trouver une extension de l'appareil transfert dans l'appareil modeler où nous pouvons capturer les modèles dans une façon uniforme et puis nous avons un contrôle uniforme de la région de résolvent donc cela joue très bien le rôle de ce qui est fait avec la théorie spectrale et la théorie lagape donc c'est plus compliqué il ne sera pas trop trop mais ok la deuxième méthode est que nous n'avons pas vraiment besoin d'un entier groupe donc c'est plus local et en particulier cette deuxième technique l'appareil thermodynamique s'applique aussi dans le set semi-group alors je ne sais pas comment appeler les premières techniques quand vous avez un set semi-group donc si nous parlons d'un problème zarembe par exemple même si le semi-group est assez chiant nous n'avons vraiment pas d'accès à ces méthodes automorphiques je vous remercie de ce que l'appareil lagape est donc nous avons ce qui se passe c'est que nous pouvons regarder à la surface de Riemann qui est obtenue par coach et puis nous avons les fonctions F qui sont invariées dans l'action de l'appareil et nous regardons le spectrum de cela donc comme je l'ai dit en ce cas nous pouvons exploiter une théorie 2 spectra parce que la valeur la plus haute lambda 0 qui est delta 1-delta où delta est la dimension du set limit va être séparé du reste du spectrum donc en début vous avez un point spectrum et puis en bas vous allez avoir un spectrum continu mais ce qui est important c'est que entre lambda 0 et lambda 1 il y a ce gap pourquoi c'est important ? Il y a un résultat par Lux et Philippe qui explique deux sites de la picture il y a un point PDE qui s'évolue autour de l'équation de la wave et il y a un point géométrique et ce qui vous permet d'expresser une quantité donc nous parlons de cette quantité hyperbole donc nous fixons un élément W0 en h et en fait en ce cas W0 et W devraient être, je dirais et puis vous regardez que vous comptez tous les éléments gamma en lambda avec la propriété que la distance hyperbole de gamma W0 à W est boundé par S donc le point est que si vous regardez cette formule vous allez avoir des termes ici qui viennent du spectrum discret il y a un autre terme ici mais même dans ces premières termes la contribution générale vient vraiment d'un point de vue d'un point de vue d'un point de vue d'un point de vue d'un point de vue d'un point de vue de delta 0 donc il y a une relation entre l'alimentation de l'alimentation vous définissez delta G par cette formule et vous voyez que la main contribution va venir de cette l'alimentation assumption que le certain gap entre l'alimentation de l'alimentation et l'alimentation de l'alimentation donc si vous pouvezー établir que vous avez cette l'alimentation une contribution de la mode la plus basée qui vous donnera l'air d'un pouvoir de delta. Il y a un constant absolu ici. Et puis quelque chose qui n'est pas seulement petit, mais vous allez avoir un pouvoir de gain. Parce que le delta 1 va être vraiment séparé du delta 0. Nous aimerions avoir ce phénomène comme uniforme possible et en particulier nous devons avoir ce phénomène. Donc nous avons ce phénomène dans le groupe Lande, mais nous devons aussi comprendre ce phénomène dans les groupes congruents de ce Lande, parce que nous devons faire le comptage, pas seulement pour ce norme archimédiaire, mais aussi quand nous imposons les restrictions sur le gamma, qui sont d'un modulaire. Donc ce que nous voulons aussi pouvoir faire, c'est le nombre de gammes qui sont dans la queue de Lande, où la queue de Lande est l'élément de la queue de Lande, qui est l'identité de la queue, et qui a un norme qui est formé par n. Donc, bien sûr, pour chaque individuel de la queue, nous avons toujours ce phénomène, mais ensuite nous voulons savoir comment cette gamme va évoluer avec la queue. Et c'est exactement le point d'expandre le theorem de Selberg pour ces groupes de la queue de Lande. Donc, dans le theorem de Selberg, le Lande est juste tout de l'SL2Z. Et puis, comment cette gamme s'exprime ? Bien, c'est uniforme sur la queue, et ce que Selberg prouve, c'est que c'est à peu près 3 à 16, et en fait, la conjecture est que ça devrait être à peu près une quarte, ce qui signifie que dans la photo que je vous ai donné avant, vous n'avez pas ce... Ah, merde ! C'est que vous n'avez pas ce... Sorry, vous n'avez pas ces valeurs exceptionnelles là-bas. Donc, ce qu'est le... Un important input est le développement de un theorem de Selberg, un analog de theorem de Selberg pour ces groupes de la queue de SL2Z. Donc, nous avons le même set-up. Nous avons la queue de Lande finitiellement générée non élémentaire en SL2Z, et nous avons pris les groupes de congrès de la queue de Lande. Si nous évoquons h sur la queue de Lande, nous avons une grande surface de Riemann parce qu'il y a plus de fonctions qui vont être invariantes sous l'action de la queue de Lande. Donc, parce que nous avons plus de fonctions, il y a une chance d'entraîner des spectraux. Bien, il y a une... Donc, tout d'abord, ce que je vais assumer est que, encore une fois, la queue de Lande est plus grande que l'autre half, d'ailleurs, cette histoire s'arrête. Et donc, il y a une belle observation, c'est que la note basse reste la même. Le problème est ce qui se passe avec la... On va voir. Le problème est ce qui se passe avec la prochaine. Donc, ce que nous avons prouvé est que la prochaine, la queue de Lande 1 de Lande, va être séparée de la queue de Lande 0, par un epsilon. Ce qui est indépendant de la queue et va dépendre, bien sûr, possiblement de la queue de Lande. En principe, ce epsilon est effectif, mais c'est assez petit. Donc, à l'époque, bien, nous essayons de jouer. En fait, quand la queue de Lande est attaquée à une half, il y a un résultat explicite par Alex Gambert, qui vous permet de faire des précisions, mais encore une fois, l'utilisation de ce gap spectraux dans ce type de choses que je parle de, si on parle d'un niveau de distribution, dans un sens, c'est assez restrictif. En tout cas, l'existence d'une sorte de gap spectraux est encore assez d'attendre avec des grands arcs dans les applications que je vais discuter. Et donc, nous utilisons cet résultat dans un moyen assez crucial. Un commentaire sur la preuve. Ici, nous parlons de un gap spectraux géométrique. Maintenant, si tu prends l'L2 spatiale sur l'HMOTLanda queue avec un petit peu d'abuse de la langue, tu peux voir ça comme l'L2 HMOTLanda avec une extension vector et cette extension vector c'est quasiment l'espace d'Hilbert sur l'L2 queue. En essayant de summariser la preuve de cet résultat c'est un papier joint avec Alex Gambert et Peter Sarnac. Donc, si quelque chose se passe avec un gap spectraux, il doit vraiment arriver dans cette extension de l'HMOTLanda queue qui s'amène à dire que quelque chose va se passer avec le gap spectraux sur l'HMOTLanda queue qui est induisible par S. Donc, cet argument qui n'est pas pas une complète trivialité, j'ai besoin d'expliquer mais le point est que nous pouvons réduire le problème du gap géométrique pour le gap spectraux dans ces graphes KL qui n'ont pas bien compris. Donc, ce que nous savons c'est que nous faisons la réduction de l'HMOTLanda queue nous avons l'approximation forte le principe qui vous donnera quelque chose qui est en train et puis nous avons les graphes KL qui sont induisibles par le set S et ce que nous avons c'est les familles d'expander et nous avons ces gap spectraux qui sont uniformes dans le sens qu'ils sont uniformes sur la queue qui éventuellement traduit dans ces gap géométriques que nous avons écrit. Donc, la conséquence est de ce que j'ai dit avant c'est que nous avons pas seulement un compte d'archimédia mais aussi des restrictions modulaires avec un termes de lead et un termes d'erreur ce qui est important pour ces termes c'est qu'il y a un effet de queue mais parce qu'il y a un gain epsilon ici vous pouvez prendre une queue assez grande et vous pouvez prendre la queue la plus grande qui est assez belle et bien, parce que sur ce sujet de l'approximation de l'approximation forte nous devons assumer que la queue est co-prime avec les modulations fixées de la queue 0 non, si la queue n'est pas co-prime avec la queue 0, il y a une autre formule possible qui vous donne aussi une description maintenant avant d'aller à ça je vais vous dire que dans l'autre cas, donc non, ce qui se passe quand la queue delta est moins de 1,5, vous n'avez pas ça mais vous pouvez encore produire une formule pour le compte d'archimédia en utilisant ces techniques thermodynamiques et le operator de transfert qui bien, à l'époque c'était juste un main terme et puis quelque chose qui est peu le main terme mais ces choses ont été développées plus tard c'est important pour les gens comme Dol Gopiat et puis NO qui ont vraiment créé cette technique qui est très quantitative à nouveau avec du pouvoir et ce que nous devions faire c'était de trouver une sorte de cette technique où vous aussi involveez la restriction de modèles donc nous devions modifier ces opérations de transfert pour que vous puissiez encore avoir ces régions 0,3 pour le résolvent en fait nous ne sommes pas 100% successeurs dans le sens que nous n'avons pas assez de pouvoir mais nous avons encore quelque chose qui est fort enough d'être un peu plus bon comme ceci et ça va affecter des résultats que je vais mentionner en même sens, quelles sont les camps donc il y a un extra problème avec cette restriction de modèles donc ce que nous n'avons pas fait c'est d'extender la théorie Dol Gopiat dans les aspects modèles donc toutes les informations dans ces aspects modèles sont vraiment des expansions groupes et ça donne quelque chose qui est un peu moins il y a un autre problème avec ce qui est différent avec l'approche symbolique donc comme je l'ai dit, si vous avez un delta qui est près de l'une, vous avez le résultat de Gambert qui vous donne une explication epsilon dans la technique symbolique vous allez avoir un asymptote comme ça mais qu'un gain qui va être bien va dépendre du set initial du set de générateur donc ce que vous pouvez faire c'est prendre des groupes ou des groupes semi-groupes qui ressemblent beaucoup plus assumez-vous que vous êtes dans le contexte de l'arambaproblem on va prendre un groupes semi-groupes qui est beaucoup plus sincère et nous espérons que vous allez avoir un meilleur, un petit termes aéreur en un sens, mais nous ne savons pas parce que ce n'est pas vraiment clair ce serait horrendant de essayer de faire des résultats c'est comment le gain de l'arambaproblem donc c'est une autre difficulté donc la première application juste pour illustrer cette théorie c'est le problème d'entraîner la paquette en fait c'est une illustration d'une théorie correspondante en h3 mais comme je l'ai dit ces théories sont complètement analogues et le problème spectraux là-bas va être capturé par ces techniques de laxe philippe les techniques appliquées dans la paquette en h3 donc pour ceux qui ne sont pas habitués avec cela, ce que nous étudions sont les curvatures de cercles qui sont obtenues dans les so-called cercle polonien le point principal qui était observé par Sodie à l'époque c'est que si on regarde la paquette où les 3 cercles donc ici vous avez la paquette c'est parce que c'est parce que vous allez dans l'intérieur donc j'ai ce cercle puis j'ai celui-ci donc nous avons ces 4 cercles leurs curvatures sont 11, 24, 21 et 28 ce qui se passe ce n'est pas si difficile à voir mais de toute façon, c'est une belle observation en regardant Sodie c'est que quand vous continuez à remplir les couches avec les cercles en utilisant la paquette donc nous avons ici les cercles 24, 21 et la paquette est 11 alors vous êtes en regardant ces cercles mutuelles donc vous avez 28 et puis vous avez un complément ici qui est 40 et puis vous pouvez continuer à remplir tous ces cercles vont avoir des curvatures interagées et la question est quelles interagées vous êtes vraiment obtenues donc le problème s'est étudiant dans une séquence de papiers par Graham Lagarias Mallow Wilson-Yann et puis c'était aussi avorté par Peter Sernac à plusieurs occasions c'est en fait, en début que nous étions appliquant ces spectacles dans les problèmes donc nous voulions savoir si nous avons des primes dans ces orbites mais en tout cas les conjectures qui sont publiées initialement la première conjecture qui est une conjecture modeste c'est que les collections si vous regardez les cercles interagées et vous regardez les curvatures correspondantes les collections de ces curvatures forment un set d'integres donc vous pouvez être plus bas non, je ne pense pas que c'est formulé aussi dans le travail de ces gars mais c'était vraiment formulé par Sernac plus probablement c'est vrai c'est que vous avez un principal local dans le sens que tous les intégres sont produisants jusqu'à une fin de condition donc ce que vous savez la première conjecture a été élevé la première conjecture est beaucoup plus facile la deuxième conjecture n'est pas élevé et c'est un petit peu sur le niveau de ce qu'on a dit sur le bain et le goldback c'est qu'on ne sait pas que vous pouvez élevé les intégres comme les deux primes même les intégres mais encore nous savons que c'est vrai excepté pour un petit set donc c'est un petit peu la même situation ici qu'il y a des procédés et des orbites de groupes bien, première c'est un groupe apollonien c'est un groupe sub-group de groupes correspondent à une forme quadratique de signature 3-1 qui est la 1 donc en autres mots ce qui est le vallage de cette forme quadratique dans les 4 variables la vallage de cette forme quadratique est une condition nécessaire pour les cercles donc si nous avons une configuration de cercles avec radius x1, x2, x4 qui sont très tangents puis nous avons le vallage de cette forme quadratique et donc basically de la façon dont ce groupe apollonien est qu'on a les initiales 4 curvatures de la base de les 4 puis nous avons les autres curvatures chaque fois par taking l'action d'éléments dans un groupe sub-group A d'un groupe orthogonal qui s'appelle le groupe apollonien l'action d'un on on ce que l'on appelle ici le quadratique root donc on acte A sur cette forme quadratique ici taking any element of A acte on cette forme quadratique et on a un autre forme quadratique qui est aussi curvatures of circles in the packing associated to these initial circles and by doing that we're getting everybody now what is nice about this apollonion packing group is that it is finally generated so you have 4 elements here S1, S2, S3, S4 which are generating this apollonion packing group and so now ok this what has this group to do with SL2 over the goal syntegers well under the so there are 2 features of this group which are important if you take the if you see what happens under the spin double cover you're retrieving this group as the image of a group of SL2 over the goal syntegers which is finitely generated and which is nice in the sense that it's the dimension of the limit set it's going to be bigger than one remember if we are in the H streak in that situation the one half has to be replaced by one so what Boyd showed is that in fact you have a group of dimension exactly exactly that so it's more than one that corresponds to the house of dimension of the residual area of the residual area in any given packing so spectrum method supply which is already good but still the group is not very sick because we are far far away from 2 so it wouldn't be possible to use Gambert's result for instance that's one feature then there is another feature although this group is certainly a synt group there are sub groups which are very nice because what turns out is that the groups generated by this particular elements so we take S1, S2, S3 any three of them turns out that these groups are arithmetic and their orbits can be described by binary quadratic forms now if you have to prove things about sets of integers which are kind of produced by arithmetic objects like binary quadratic forms you are in quite good shape so in whatever I am talking about there are the two aspects there is a spectral aspect and there is this presence of small arithmetic subgroups which are both going to be important so what are the results well there is a following result obtained in the thesis of Elena Fuchs so by the strong approximation property we know that if we do a reduction mode Q we are going to take we are going to get everybody provided Q is with a certain integer so what we had to be understood there is what are precisely the exceptional places so it turns out that what she proved is that the only problems come at 2 and at 3 so in some sense what we know in terms of local obstruction what we are getting there tells us what are the possible local obstructions so they appear at 2 and at 3 so what we showed first using mainly the subgroups which produce these binary quadratic forms and use also representation of integers by families of binary quadratic forms what we proved is that this positive density conjecture holds this is a joint paper with Fuchs and then later with Contorovich we use some of these techniques in respect to theory to prove more and show that we have actually the local to global principle in the sense that we are getting everybody which is admitted from the local point of view with a possible exceptional set which is small in the sense that we get the power gain here of course we would very much like not to have this problem but the difficulty somehow to explain the difficulty the same level as trying to prove what we feel maybe we are wrong that there is something smarter to do there but basically on the level of doing binary what we know to do so why, how is this put into work well what we are doing is trying so remember the circle method I was talking about creating a generating function and I want to create a generating function so that I can as well exploit the spectral theory as as well as the additional structure well in that case in order to treat the minor arcs what I want to be able to exploit are these arithmetic subgroups so what I am doing here is a factor T so we want to we are looking at integer the elements which are bounded by T and we are factoring T as a product of T0 and X square for some reason T0 is going to be very small small power of T then there is X square which is the main thing so why do I write X square well here I am going to introduce special elements in my apollonian group which are obtained from one of these arithmetic subgroups and say for your information the way they appear what only matters here is the bottom row what I am getting here are quadratic forms in X and Y then so we are putting here we are multiplying so we use the group structure here so we are multiplying with a gamma which is in a ball of radius T0 in a full ball so here we can exploit the spectral spectral aspects we are taking T0 small it doesn't matter if T is going to suffice so we let this operate on the root quadruple so what we are getting here are quadruples of curvatures that will appear in the corresponding integral apollonian circle packing and we are just picking out the fourth coordinate so what we are producing here are curvatures in this packing and what it turns out is that this is a good combination now why is this a good combination well on one hand we are having the CXY which is completely explicit these are quadratic forms in X and Y and we can use that to estimate the minor arcs note that one quadratic one quadratic form wouldn't quite do it because you only have two variables but because there is also the gamma there we really have a family of quadratic forms and this is enough to get the control which is needed on the minor arcs on the other hand we also have to control exactly what happens on the major arcs and this is why we have the gamma here so the gamma is restricted to a full ball for which you have this precise lux phillips counting and the extension to the modular setting so the control of what exactly happens on the major arcs comes from having the presence of this gamma and then well one can play with that and eventually one gets power saving but whatever estimates we have are very very far from being able to prove that we would get everybody so we can get an error term which is just small in an L2 sense with the power gain and there it's more or less where it stops what we have there for the moment so this is one application the other application so this was an application of the of the theory in the group setting what I want to describe you next is an application in the semi group setting which is rather natural which is to to Zaremba's conjecture and well this has to do with understanding rationals that have partial quotients so the problem that was initially motivated by some more applied considerations what Zaremba conjectured is that if I give you a modulus so let me go back one please if I give you any integer d it is possible to find a b which is co-prime with d such that the fraction b over d has partial quotients which are bounded by capital A where capital A well he conjectured could be taken equal to 5 and then there are other versions of this conjecture which are more bold with an a equals 3 or even an a equals 2 provided un finite number of of exceptions this problem is still open there has been work by Niederreiter proving this conjecture for very special choices of d techniques that do not seem to extend in general so the work with Contour which is in some sense a statement which comes reasonably close to the truth that again we managed to prove such results allowing a very small set of exceptions I should maybe start by telling you why Zaremba introduced this problem it has to do with distribution good distributions of points so basically if you are in one dimension and you want to distribute n points as well as you can in dimension it is not so clear how you are going to choose these points basically what you want to do is minimize discrepancy which is the maximum of the difference between the area of of some sub rectangle with the relative number of points in my set that fall into this rectangle note we are not only taking squares we are taking general rectangles and in dimension 2 there is an so you can't do this too well in dimension 2 there is a result by Schmidt which tells you that there is some limitation of how well you can distribute points and the best discrepancy optimal discrepancy is log n over n so this is any choice this discrepancy is going to be bigger than log n over n so what Zaremba shows is that you could realize this log n over n by arithmetical techniques by doing the following what you are doing is you are taking some D and B which is co-prime with D and such that partial quotations of B over D are bounded by A the following sequence in the unit square you are taking J over D and then you take BJ over D where BJ is reduced by D so you get D points you are getting D points in the square and it turns out that these points are reasonably well distributed because the discrepancy is bounded by that same quantity which is log D over D up to a factor and this factor is going to be in terms of A which brings in the significance of their fountain information about the fraction B over D this is also a problem that appear in the context of pseudo-randomness because if we are looking at a special case of the linear congruential pseudo-random number generator which is obtained by multiplying with B and no translation so if we would take D prime and we take B a primitive element mod D then we can start looking so we are getting a sequence of D elements here we take B power J over D reduced mod 1 study the distribution of the sequence and also study what's even more important of the pairs of consecutive elements what they call the serial correlation for pairs now if I assume that may be is primitive mod D then this B at the power J basically gives me everything all the residues mod D and so the discrepancy of that sequence is controlled just as the same as the discrepancy of the set X that I introduced before so we want to we are interested for instance in producing prime numbers D and for which we have an element B which is primitive mod D and such that that the partial quotients of B over D would be bounded by by some fixed constant A these are pictures which were produced by my court I have no idea how he produced but you see that this is it's really true what Zaremba is claiming because here you have some instance of B over D where the partial quotients are really small, they are bounded by 3 and when you look at this the distribution say for the serial correlation you get something that really looks like on the other hand if you look at so this is again here we have a prime number we have a primitive numerator but now a B over D which has some large partial quotients and right away you see that this distribution is much less nice so this estimate of Zaremba really reflects the true behavior that you can see say on pictures so what are the results I think then I probably will stop soon and we will discuss then what we do after that so with contour of this what we showed is that if we take A equals 50 DA is a set of density 1 and even in a more quantitative form in particular the error term well the error term can even be improved note this one over lock lock on dynamical method this is just the shortcoming that come in the because of the of the zero free resonant free region in the modular aspect which is not quite uniform but slowly deteriorate so this has effect there but there is a chance well one can do better and maybe one can even get a power saving there but that result was improved further by a student of Alex Contorovich who obtained the same proved the same thing knowing instead of A equals 50 he got A equals 5 and in any case because we have a very small exceptional set here what is possible for instance if you look at R 51 for instance you will get infinitely many fractions B over D which is is a primitive root mod D so the result is stated for the linear pseudo-concruential number generator is valid for that this particular multiplier B the well the what is really where does this really fits in well you see the role of the group and the semi group it's just how you produce such creatures if you want to produce elements rations B over D with small with bounded partial quotients what you do is the following basically writing the partial quotations of B over D is given by A1, AK this is the same as writing down an equality of this kind about matrices they are not well they are determinant is minus 1 but you can turn it by taking even you can turn it into determinants which are 1 so I mean I shouldn't call it SL2Z but basically what you have here is roughly speaking behaves like a semi group of SL2Z and then what we want to do is extract we want to understand say how many elements D we can produce as a lower right corner of such products so the products they don't form a group they only form a semi group I like to study that and we like to take a large why do we like to take a large because that in some sense there is a counterpart of this dimension delta of the group and this counterpart here is just the dimension of the counter set of real numbers between 0 and 1 that have continued fraction expansion bounded by A so here we are not talking about rational numbers we are going to the limit we are taking the full set of real numbers between 0 and 1 with partial quotations bounded by A so these are counter sets so these counter sets have been studied in fact also with the thermo dynamical method in particular by Jentkinson Polycott who got the precise dimension of the counter set that corresponds to A equals 2 and what's important for us is a result of Hensley that tells me that when A is large this dimension delta A is going to get close to 1 so in some sense the role of this delta A delta B in the case of subgroups of SL2Z so what we do is that we are producing the D's by taking the right lower corner and then the action of GA and well like to follow the previous scheme and how do we do that well we are not going to take a full ball we are not going to have a mutilino structure what we are going to take is a product of balls because we have a semi-group a product of balls that allows me on the minor arcs to do Vinogradoff note that in order to well you can always do this Vinogradoff thing but in order to gain enough it's absolutely essential that delta is very close to 1 and that even Vinogradoff's standard trivial but somehow it's not completely trivial there so if you really want to get enough I think we did before in the group setting so it's kind of reproducing these arguments so this is general don't use the group structure we're just using the fact that we have big subsets of balls in SL2Z but we need this product structure and then on the major arcs of course we are again exploiting the spectral methods but now through the symbolic approach because we have a semi-group so even that the semi-group is very sick we can't apply the Lax Phillips because we don't have the automorphic we don't have a group so we can't use this automorphic technique but we can use the spectral we can use this symbolic technique as was used before in the study of this candle set and the information we are getting is sufficient but note that what you would expect is that when the A is getting larger because the semi-group is getting bigger in some sense then we are better off on the level of the major arcs simply because we are expecting this zero free region of the resolvent to get better and better unfortunately we don't know that because this whole story is messy and complicated enough that it's absolutely unclear it would be a nightmare to track this down of how things eventually depend on A so on one hand we have to take A sufficiently large in order to supply the estimates for the minor arcs but the effect is that somehow on the level of this we could have something which is getting worse so this is a little catch and this is also going to be apparent in the next application I will not, I will stop here unless people are desperate to hear more but I guess I have to stop here maybe I will continue then the next time and I will describe you another application of this this study of in fact it will be quadratic irrationals the study of this bounded partial quotient constructions in the context of Duke's theorem where in some sense we are showing the limitations of Duke's equidistribution theorem but really I think I should stop here and then we will continue with that next time which is basically the last application which is going to be an application of sieving in fact to low laying geodesics so I will postpone that until next time maybe so ok people were very nice they didn't interrupt me so they can ask questions I have a nice question so in the study group thing what happened if you look at the group generated by the matrices you probably get everything you probably get everything we didn't really study it in detail but likely I think Alex told me once well if you would have trying to think say presumably the group is going to be everything they are going to be everything but but if I have to guess I think it's clear but it doesn't really tell you too much in fact what we were hoping is to find a trick to reduce this semi group case to the group case which would have made our life much easier but then eventually give up and so since there is anyway the other technique, the symbolic technique that works for semi groups but there are certain drawbacks of that and this will be apparent in the next thing I am going to talk about you have a question