 En este último vídeo del curso vamos a presentar la nueva, o más general, unidad de información que viene del mundo de la mecánica cuántica. Os recordamos la unidad de información habitual, el bit. Un bit admite dos valores posibles, 0 y 1, y así codificamos la información que sea texto, imágenes, vídeos, como cadenas de bits que después podemos almacenar o transmitir. Matemáticamente el bit se puede considerar como un elemento del cuerpo F2 que también tiene estructura de espacio vectorial de dimensión 1 sobre F2. Del mismo modo, dos bits B1, B2 toman cuatro valores posibles y se pueden considerar como un elemento, un vector del espacio vectorial F22, un espacio vectorial de dimensión 2 sobre F2. El Q-bit, el bit cuántico, de la misma manera que los bits puede tomar los valores 0 o 1. Pero a diferencia de los bits también puede ser una mezcla de los dos valores, una mezcla que formalmente se llama superposición. A continuación veremos que los Q-bits son elementos vectores del espacio vectorial complejo de dimensión 2. Definición, un Q-bit es un vector de C2 de norma 1. Os recordamos que la norma de un vector corresponde a la raíz cuadrada del producto interior de Q con sí mismo. Y vamos a ver unos ejemplos. El vector 1, 0 es un Q-bit, ya que su norma cuadrada es igual a 1, entonces su norma es igual a 1. El vector 0, y es un Q-bit. Lo mismo para el vector y sobre raíz de 2, 1 sobre raíz de 2 y también para este último vector. Antes de seguir introducimos un poco de notación. Por razones que no vamos a examinar los Q-bits, aunque son vectores, no se escriben de la forma vectorial habitual, sino como combinación lineal de los elementos de la base canónica. Es decir, los vectores 1, 0 y 0, 1. Que notamos como 0 y 1, respectivamente. En la notación habitual, Q es igual al vector alfa-beta, donde alfa-beta son números complejos, ya que Q es un Q-bit y entonces de norma 1, la suma de los módulos cuadrados de alfa y beta debe ser igual a 1. Repetimos, esta igualdad es equivalente a la condición que la norma es igual a 1, que la norma cuadrada es igual a 1, lo que es equivalente a que la norma es igual a 1. Bien, escribimos los Q-bits que acabamos de ver con la nueva notación y 0 es igual a 0, 0 y es igual a y 1. Los vectores siguientes son combinaciones lineales de 0 y 1 con los coeficientes correspondientes. A continuación, vamos a ver el aspecto interesante de los Q-bits. Sea Q, el Q-bit alfa-0 más beta-1 y notamos que cuando se observa el Q-bit Q, de hecho, colapsa a uno de los estados 0 o 1 con probabilidad módulo de alfa cuadrado y módulo de beta cuadrado respectivamente. ¿Qué significa esto? Aquí tenemos nuestro Q-bit y introducimos un observador. El observador debe evaluar el valor del Q-bit Q. De hecho, lo que se va a medir como el valor del Q-bit es 0 con probabilidad módulo de alfa al cuadrado o 1 con probabilidad módulo de beta al cuadrado. Y os recordamos que la suma de estos dos valores que corresponde a la norma de Q al cuadrado es igual a 1 por definición. Entonces, las probabilidades están bien definidas. Vamos a ver unos ejemplos concretos. Aquí tenemos los bits que hemos visto previamente. Introducimos también un observador. Si Q es igual a 0, el observador va a ver 0 con probabilidad 1. Es decir que el valor de Q está completamente determinado. Del mismo modo, si Q es igual a 1, entonces el observador mide 1 con probabilidad 1. Ahora, si Q es igual al Q-bit siguiente, calculando los módulos de los coeficientes, deducimos que el observador mide 0 o 1 con la misma probabilidad, 1 sobre 2. Seguimos con otros ejemplos. En el primer caso, el observador mide 0 o 1 con probabilidad 1 sobre 2. Es decir, 50%. En el segundo caso, el observador mide 0 con probabilidad 7 sobre 8 y 1 con probabilidad 1 sobre 8. Os recordamos que las probabilidades se obtienen a partir de los coeficientes en la expresión de Q. A continuación, vamos a ver qué tipo de transformaciones podemos hacer con los Q-bits. Proposición, sea F una aplicación lineal de C2 a C2, F toma vectores de C2 y da vectores de C2. Si F es una transformación de Q-bits, es decir, si la imagen de un Q-bit por F es un Q-bit, entonces la representación matricial de F es una matriz unitaria. Y vamos a ver por qué. Sea V cualquier vector de C2, no necesariamente un Q-bit y consideramos la imagen de V por F. Usando la propiedad lineal, notamos que F de V es igual a la norma de V veces F de V sobre norma de V. Ahora, ya que V sobre norma de V tiene norma 1 y así es un Q-bit, y ya que F transforma Q-bits en Q-bits, deducimos que F de V sobre norma de V tiene norma 1. Y entonces la norma de F de V es igual a la norma de V. Concluimos usando el ejercicio optativo que hemos visto en el vídeo anterior que dice que las únicas aplicaciones lineales que no afectan la norma corresponden a matrices unitarias. Por otro lado, si F es una aplicación lineal que corresponde a una matriz unitaria, entonces la imagen de un Q-bit por F es un otro Q-bit. En resumen, una aplicación lineal es una transformación de Q-bits si y solo si su representación matricial es unitaria. Vamos a ver unos ejemplos para aclarar todo esto. Sea Q el Q-bit siguiente y os recordamos también la anotación vectorial habitual. Consideramos la matriz unitaria M y la aplicación correspondiente. Es decir, M transforma el vector alfa-beta en el vector beta-alfa lo que implica que los coeficientes en la expresión del Q-bit se intercambian. En particular, el Q-bit siguiente se transforma al Q-bit con los coeficientes intercambiados. Y así introduciendo el observador deducimos que las probabilidades de la medición también se intercambian. Consideramos una otra matriz unitaria y el Q-bit cero. Y tomamos nota de que a partir de un Q-bit completamente determinado obtenemos un Q-bit que puede dar ambos valores con la misma probabilidad. Os damos un Q-bit y una matriz unitaria. Tenéis que aplicar la transformación que corresponde a la matriz y os pedimos de evaluar la probabilidad que se observe cero durante la medición del Q-bit resultante. Acabamos el curso con la resolución del ejercicio. Aquí tenemos nuestro Q-bit Q y la matriz unitaria U. Primero escribimos Q de la manera vectorial habitual. Después calculamos la imagen de Q por U ya que U es unitaria obtenemos un Q-bit con la expresión siguiente. Notamos alfa y beta los coeficientes de cero y uno respectivamente. Y así introduciendo nuestro observador deducimos que va a haber cero con probabilidad módulo de alfa al cuadrado es decir 2 sobre 3 y uno con probabilidad módulo de beta al cuadrado es decir 1 sobre 3 y entonces la probabilidad que el observador mide cero es 2 sobre 3.