 Tout d'abord, je voudrais remercier l'organisateur pour l'invitation à Tokyo. Aujourd'hui, je vais vous parler de la stabilité de Minkowski avec la symétrie de translation, mais tout d'abord, je vais vous introduire un peu le contexte. En général, la relativité du space-time est décrivée par le manifold M équipé avec la métrique Laurentian G. Donc, généralement, le manifold est de 4 dimensions. Donc, la métrique Laurentian, c'est une métrique avec une signature minus 1, 1, 1, 1. Et donc, l'équation Einstein, link la géométrie de l'univers à la distribution de matière et d'énergie qui est présente. Et ils peuvent être rétenus. Armue nu minus 1, 1⁄2 of RG mu nu equal T mu nu. Donc, je vais expliquer ce que c'est. Armue nu est l'answer riche. Vous pouvez le voir comme... Donc, il décrive la curvature de la métrique. Et vous pouvez le voir comme seconde ordre non-linear opérateur de la métrique G et en français, c'est de la forme G x 2 dérivatives de G plus d'un produit de G G x DG. Or, c'est la curvature scalaire. C'est la trace de l'answer riche. Et donc, g mu nu, c'est la métrique Laurentian. Et g mu nu, c'est l'answer d'énergie imposante. C'est l'objectif qui décrive la distribution de matière et d'énergie. Et sa forme dépend de la modèle de matière qu'on étudie. Comme une forme différente, soit on étudie un ordre parfait, ou un field électromagnétique. Mais dans notre cas, on va prendre g mu nu equal à 0. Donc, c'est en vacuum. Il n'y a pas de matière. Et si tu prends la trace de cette équation, tu obtiennes r minus 1,5, non, r times 1,5 times la trace de g mu nu equal à 0. Et donc tu obtiennes que r est equal à 0. Et donc, l'équation Einstein en vacuum consiste juste en regardant la métrique Laurentian G qui est riche et flat, qui est riche dans l'answer r mu nu est equal à 0. Donc, une solution particulière est donnée par Minkowski métrique. Minkowski spacetime. C'est r4 équipé avec la métrique m, qui est minus dt² plus dx1² plus dx2² plus dx3². Donc, cette métrique est une métrique flat, mais ce n'est pas la seule solution à l'équation Einstein en vacuum. Actuellement, le set est très dynamique. Pour le voir, nous pouvons écrire l'équation Einstein comme problème de coche. Donc, la data initiale pour l'équation Einstein est triplette sigma j bar k. Vous pouvez le voir comme la data de ce qu'est le espace, ce qu'est le espace qui ressemble à un instant t est equal à 0 et qu'est-ce que c'est la vitesse de propagation à t est equal à 0. La vitesse de deformation. Donc, sigma est une surface 3D. La métrique 3D. G bar est une métrique remanée. En k, c'est une métrique 2D. La question d'équation Einstein avec cette data initiale consiste à trouver la solution de l'équation Einstein vacuum donc avec la vitesse d'équation g est equal à 0. Et comme ça, sigma s'embête en m, g restricte à sigma est la métrique remanée g bar. En k, c'est la seconde forme fondamentale de l'embêtement de sigma en m. Mais vous pouvez voir en k que la data à temps t est equal à 0 avec respect au temps de la métrique g. La data initiale ne peut pas être trouvée habituellement parce que l'équation ici dépend seulement de la data initiale. Ces sont l'équation r00-1⁸ rg0-0 equal à 0 et r0i equal à 0. Donc, elles peuvent être rétendues actuellement comme r bar minus k square plus tau square equal à 0, où r bar est la tête d'endroitie, sorry, c'est la tête de la tête de la tête d'endroitie donc la tête d'endroitie de la tête d'endedroitie k c'est ici, la norme est supprimée avec respect aux emplacements de la métrique g. La tente d'endroitie de la tête d'endroitie c'est l'endroitie qui se s'appelle la tête de min. Et donc, c'est cette équation. Et la autre équation peut être élevé. Divergence de K minus gradient of tau est equal à 0. Donc, ce sont des équations qui dépendent seulement de la date de G bar en K. Mais quand elles sont soldées, l'équation Einstein est localement basée. Donc, cette très importante théorie est due pour l'initial data sigma G bar K avec une nouvelle régularité. Donc, une nouvelle régularité. La solution de la constrainte, vous avez une existence locale de solution pour l'équation de l'Ancient. Mais habituellement, cette solution ne peut pas être élevé par l'équation de l'initial data sigma G bar K. Cette solution ne peut pas être élevé globalement. Donc, je ne le verrai jamais. La régularité peut être formée. Mais si vous considérez la perturbation d'une particulare solution globale, vous pourriez y avoir une existence globale. Et donc, c'est le cas pour Minkowski spacetam. La stabilité. Donc, l'initial data pour Minkowski spacetam, ça peut être, par exemple, S3 équipé avec la métrique Euclidean delta et la métrique C2T, ce qui est 0. Mais ça pourrait aussi être autre chose. Vous pouvez aussi imaginer Minkowski spacetam que j'ai créé ici. Et j'ai créé sur ma surface, comme ça. Et ensuite, vous obtenez un autre asset d'initial data. Mais nous considérons ça. Et si vous avez la stabilité de Minkowski, donc prouvé par Christodoulou, un grand-mère de l'initial data dans les années 90, j'ai créé un asset R3, J bar K, donc J bar en K, avait pas de régularité. J bar est close à delta, K est small, dans un sens. Et aussi, vous assumez que l'initial data est asymptotiquement flat. C'est-à-dire que J bar est au delta à l'infinité avec un peu de détail. En K, 10 à 0, à l'infinité. Ensuite, vous avez une existence globale de solution et une convergence à l'infinité pour Minkowski. Donc il y a un autre prouvé de cette théorie, qui est due à Linblad et Rodjanski, qui choisissent d'explanuer les coordonnées d'initial data. Donc, dans ce truc, nous serons aussi intéressés dans la stabilité de Minkowski, mais dans un contexte assez différent. Dans le cas de la présence de la symétrie de translation. Donc, nous allons étudier un manifold de la forme R4 R2 X3 Rt équipé avec une métrique de la forme G pour la métrique 3 plus 1 est equal E minus 2 phi G plus E 2 phi dX32 où G est la métrique de Laurentian sur R2 plus 1 ou R2 times Rt et phi c'est la fonction scalaire et on assume que phi en G bar est indépendant d'un ordinateur X3. Sorry, non, G la métrique de Laurentian plus 1. Et puis, une équipée de vacuum pour, si vous assumez que G4 satisfait une équipée de vacuum on obtient un système pour phi en G qui est de l'ambition dans la métrique G de phi est equal à 0 et la réponse riche de G est equal à d mu phi d mu phi. Donc, ce sont maintenant un système d'équation dans R2 plus 1. Donc, il y a une solution particulière pour ce problème qui est actuellement Minkowski spacetime dans la dimension 3 plus 1 parce que Minkowski spacetime a beaucoup de symétries et en particulier, il a une symétrie de translation. Et cette solution, donc solution de Minkowski correspond à la solution phi est equal à 0 et G est equal à Minkowski spacetime dans une dimension 2 plus 1 que j'appelle M2 minus dt² plus dx² plus dx². Et donc, la question naturelle qu'on peut poser est-ce que la solution est stable pour ce système ? Je vais juste faire un petit remarque et la réponse à cette question n'est pas donnée par la stabilité de Minkowski spacetime par Chris Odoluk-Leinermann ou Linn-Bladronowski parce que la perturbation qu'on considère a une symétrie de translation donc, en particulier, elles ne sont pas asymptotiquement flates dans 3 plus 1 dimension parce qu'on ne peut pas converger à l'infinité à la métrique d'église si vous devez rester la même dans une direction. Et donc, je vais maintenant vous donner la réponse à cela. Donc, oui, c'est stable mais tout d'abord pour être plus précis je dois vous donner quelles sont les données initiales qu'on peut prendre. Donc, les données initiales doivent être une solution de l'équation constante. Donc, là-bas je dirais une équation constrainte en vacuum mais si vous n'êtes pas en vacuum si vous avez un temps d'énergie plus en temps comme ce serait le cas ici on a un côté droit dans l'équation ça juste signifie que vous avez un côté droit sur le constrain. Donc, ici, ce côté droit est donné par les données à temps t equals 0 de phi en dt phi donc, cela sera donné phi dt phi à temps t equals 0 est donné et ensuite, nous pouvons regarder la solution de l'équation constrainte de la forme g bar donc, nous regardons la solution r2 g bar k et sans plus d'intérêt depuis que g bar est maintenant une métrique sur r2 nous pouvons assurer que g bar est dans la classe conforme de la métrique euclidean donc g bar est equal e 2 lambda times delta et nous pouvons aussi décomposer k dans la partie trace et la trace nous ne faisons rien de cela nous allons écrire k equals h plus 1 1⁄2 de g times tau tau est la trace de k c'est la covéture donc h est la trace et donc, la équation constrainte consiste maintenant dans un système électrique pour lambda et h pour lambda et h avec tau dans les paramètres dans l'équation donc c'est ok parce que donc lambda est une fonction entre la trace dans une question simétrique dans deux dimensions c'est 2 et nous avons 3 équations constraintes dans deux dimensions donc nous avons le bon nombre d'équations pour le bon nombre d'équations et la théorie sera la suivante donc Assumez que phi d t phi sont h2 times h1 pour l'implicité Assumez que c'est compact c'est supporté dans quelques boules b0r et Assumez que c'est d'un size epsilon small et nous avons aussi prendre quelque fonction cita dans h1 compact c'est supporté dans l'équation 1 cette cita sera la 3e data pour tau et puis il existe donc il existe un set de paramètres a0 a1 unique paramètre a0, a1 a2, c1 c2, g en big a en r et il existe une solution unique lambda h solution de la constrain avec lambda est equal à minus a0 times une cote de fonction qui est 1 à l'infinité et 0 dans la milieu times logarithm on peut prendre une cote de fonction entre 0 et 1 plus un big o d'1 en r plus delta h, vous pouvez aussi faire des développements pour h mais je n'ai pas écrit ça parce qu'il y a des matrices et c'est compliqué et tau tau n'est pas pas assez libre tau est equal à theta times a1 c1 plus a2 c1 plus e minus lambda times big a times theta donc en theta c1 c1 c2 c1 c2 et oui, donc je vais faire des petits communs euh donc ici vous voyez que euh, oui, tau n'est pas pas très libre, le seul freedom est dans la option de cette fonction theta la autre partie est imposée pour avoir la bonne condition de monalité pour inverser l'unité système pour lambda et h euh aussi euh le paramètre a0 ici vous avez lambda qui est euh, donc le premier terme dans le développement de lambda est log of r ça veut dire que la métrique la métrique g bar ici est asymptotiquement la métrique en cône avec un déficit angle donné par a0 euh, et euh le paramètre g euh, vous ne le voyez pas actuellement dans le développement, dans le développement asymptotique de h et il correspond à l'angular momentum donc c'est juste pour vous précisément les données initiales qu'on considère donc maintenant laissez moi les stabilités donc maintenant donc phi dt phi, euh, on dirait plus de régularité que h2 times h1 pour exemple on dirait h30 times h29 exemple euh, encore maintenant c'est vraiment euh c'est pas simplification, c'est vraiment nous avons besoin d'assumer qu'ils sont compactement supportés b0r et puis euh, prendre teta, ou quoi que soit pour exemple 0 pour simplifier mais euh, ou quoi soit et puis les données initiales de la suivante théorie lead à une solution globale donc il existe une solution globale g phi qui est le développement d'une teta, par exemple, de la priorité comme ça donc pour décrire un peu on peut introduire deux systèmes coordonnées deux systèmes coordonnées le premier système coordonnées dans le c le futur de b0r le futur de les données initiales pour phi donc dans cet état, nous avons un système coordonnées tx1 x2 pour que nous pouvons avoir l'estimation phi est moins que la constante x epsilon x 1 plus s 1,5 1 plus q presque 1,5 donc minus la métrique mince en 2 plus 1 est moins que epsilon x 1 plus s presque 1,5 où, juste pour fixer expliquer la notation r ceta pour les coordonnées s c'est r plus t en q r minus t et dans le autre dans le complément de c donc c complément nous avons un autre système coordonnées tx1 x1 x2 donc il n'y a pas besoin dans le complément de c pour vous donner l'estimation pour phi nous sommes dans le futur de le set où phi n'est pas 0 dans le complément de cet état donc phi est equal à 0 donc nous avons besoin de savoir g et nous ne comparons pas g avec la métrique mince mais avec une autre métrique ga et nous avons que g minus ga est moins le constat epsilon x1 plus s presque 1,5 x1 plus q 1 plus delta avec delta c'est un paramètre entre 1,5 et 1 et c'est un paramètre que nous devons mettre dans cette théorie pour obtenir les données initiales et donc je vais vous dire ce que c'est cette métrique ga ce n'est pas une métrique mince ga donc pardon vous devez mettre s' et q' parce que c'est vous prenez r', c', pour être la coordinate polar associée aux coordinates entre s', q' c'est défendu par r' plus t' r' minus t' donc ga, il faut exprimer dans la coordinate prime je vais mettre prime donc c'est d'p'2 plus dr'2 plus un terme c'est g' dq' c'est r' plus q' times a0 plus a1 c'est c' plus a2 c'est c' dq dq' donc cette quantité g a0, a1, a2 sont les quantités qui sont données par la théorie cette quantité est prescrite par les initiales data en cette métrique ce n'est pas une cosquimétrique parce qu'il a un déficit angle à l'infinité comme si vous je suis désolé cette assumption, vous dites que la phase compact est supportée, mais la métrique est une vraie perturbation donc pour la métrique, vous vous lavez parce que vous ne pouvez pas prouver la théorie et la métrique la métrique elle-même vous lavez une perturbation générale mais la phase compact est supportée est-ce que c'est ce que vous pensez ? oui, la perturbation métrique est donnée par la théorie qui vous donne les initiales data la seule liberté une fois que la théorie est donnée la seule liberté est une petite liberté dans la choisie de la courte de sens ce n'est pas vraiment une liberté parce que ce que j'explique c'est que, même pour Minkowski même pour la métrique vous avez toujours la liberté de choisir si vous voulez que la théorie est 0 c'est la glissage si vous voulez la phase compact est supportée par la perturbation vous ne pouvez pas avoir la stabilité de Minkowski ce n'est pas la même théorie si vous avez la phase compact supportée par la perturbation comment est-ce que la stabilité de Minkowski avec le climat de Christodoulou c'est ma question le problème est la perturbation si vous considérez la perturbation maintenant en 3 plus 1 ce n'est pas dans le cas du climat de Christodoulou parce que avec la symétrie de translation vous devez ajouter une autre direction dans laquelle vous êtes symétrique et avec cette symétrie vous n'êtes pas asymptotiquement flat donc vous n'êtes pas donc c'est un autre secteur et dans ce secteur la phase compact est supportée sur les fibres R2 mais ce n'est pas compact supporté si on retourne à 3 dimensions et il y a une extra direction parce que parce que nous sommes symétriques nous n'avons pas comme si nous étions supportés dans un cylindre vous devez répliquer ça avec DK pour être en office si vous vouliez prendre le feu pour être DK n'est-ce pas compact supporté ? alors je ne sais pas il y a des difficultés techniques que je ne sais comment résoudre donc je ne sais pas je ne peux pas vous donner une réponse à ça donc maintenant je vais dans le reste de la discussion je vais vous donner quelques éléments pour vous comprendre pourquoi j'ai besoin deux systèmes de coordonnage pour décrire ma solution vous pouvez aussi introduire un système de coordonnage global mais si vous avez un système de coordonnage global vous aurez un G.A. qui est très bien vous aurez une méchante méchante donc quelques éléments cette stratégie pour prouver cette théorie est inspirée par l'imbrad de Ronyanski donc nous introduirons des coordonnages mais avant d'introduire nous allons juste décrire l'answer riche dans un système de coordonnage excusez-moi je n'assume rien de ce système de coordonnage et puis vous pouvez juste compter que l'answer riche est la dédévative du symbole crystal et du symbole crystal est la dédévative de la métrique donc juste une compétition basique que l'armue nu est 1-1⁄2 de la délambation dans la métrique G de la compétition métrique G mu nu plus des termes quadratiques en DG plus des termes qui sont de la forme G, rho, mu D, mu H rho et vous avez aussi le symbole du symbole nu du symbole nu H rho où H rho est quelque chose qui dépend d'une quantité qui dépend de la dédévative de G qui peut être écrit comme 1 sur la route square déterminante de la métrique G de la compétition métrique D alpha de la route square déterminante de G et la compétition d'indices c'est juste que nous prenons le inverse de la métrique et ce c'est juste rien mais la délambation dans la métrique G de la compétition métrique X rho et donc si vous assumez que votre compétition métrique satisfait comme que H rho est 0 vous êtes dans les coordinates et puis notre système d'équation qui était là on le appelle en ordinateur il peut être écrit comme un système d'équation de la métrique FI délambation de la métrique G de FI est 0 délambation de la métrique G de G mu nu est comme minus 2 D mu phi D mu phi plus des termes quadratiques en DG et donc la question est nous avons l'existence de solution globale pour cet système pour un petit data et pour avoir une idée je vais vous donner ce qui se passe pour une équation wave en 2 plus 1 donc le délambation d'un délambation de phi satisfait une équation wave avec initial data smoothenouf délambation d'enouf compacter supporté d'une taille epsilon comme l'assumption qu'on a pour phi puis un délambation de phi en suivant le délambation délambation epsilon parce que l'initial data c'est epsilon sur 1 plus s 1,5 1 plus q 3,5 et si vous avez pas un délambation d'enouf mais ce qu'on appelle le bon délambation vous avez plus de délambation pour phi donc le bon délambation c'est le délambation avec respect à s où s est r plus t ou vous pouvez aussi prendre d'heta phi par r c'est aussi un bon délambation et puis vous avez plus de délambation c'est délambation actuellement epsilon par 1 plus s 3,5 1 plus q 1,5 donc cela implique que si vous considérez une équation non-ménère de la forme délambation de phi d u pour exemple parce que c'est comme c'est un bon modèle pour nos problèmes puis si vous assumez un bout de frappe sur u qui est que vous satisfiez le même estimate qu'une solution pour l'équation de 3-way vous satisfiez donc le bout de frappe est l'estimate et si vous voulez le récupérer vous faites un estimate d'énergie donc vous multipliez par dtu que d t de l'intégral de d u2 sera moins que l'intégral d u2 de du et vous estimez une de vos dérivations de l'infinité avec cet estimate c'est moins que epsilon par le bout de frappe d u2 l'intégral de d u2 est l'énergie de vous qui s'assume d'être bondé parce que c'est partie de l'estimation que l'énergie est bondée et donc vous obtenez que c'est moins que epsilon d t d u2 et donc l'énergie d d u2 est créée comme epsilon d t et donc et donc si vous voulez vous récupérer l'intégral de l'intégral de d u2 vous devez s'assurer que epsilon d t est bondé et donc vous avez l'existence en temps d t moins que 1 par epsilon vous d'accordez au du x de l'intensité de l'insigt ou vous l'assumez ? oui, oui, on assume on assume que vous satisfiez l'estimation de la solution de n0 equal à 0 Est ce que la conclusion ou l'assumement à l'innovation que l'intensité d'interprète est moins que que l'intensité des longuesqu'à l'intensité c'est la conclusion Vous n'avez pas à faire de la grondelle, je pense que c'est une protrusion. Vous n'avez pas à faire de la grondelle ici, assumez-vous que vous avez le côté à l'intérieur de l'affaire que vous croyez. Oui, et puis vous intégriez? La salle de l'affaire est fondée, la énergie est fondée à l'intérieur de l'affaire, et là vous avez les sépales de l'abri. Oui, c'est bien. Vous n'avez pas de la salle de l'énergie ici? Vous n'avez pas de la salle pour moi. Nous allons assumer que si c'est epsilon, nous intégrerons, nous obtenons la route square de t, et si nous voulons remettre à ce bondage, nous obtenirons que nous devons assumer que t est moins que 1 par epsilon squared. Mais si nous avons des structures sur la non-linearité, si la version u est comme du u, c'est un bon dérivé de u, que je n'ai pas du bar u, alors quand nous faisons la même chose, si nous, pour exemple, si nous intégrons du bar u, nous utilisons le cimet que nous avons pour un bon dérivé de u, puis, ce que nous obtenons, c'est que nous avons, à l'intérieur d'une epsilon times 1 par square root de t, nous avons t à la 3,5, et donc c'est intergéable, et il y a une existence globale. Et donc, ce résultat était parmi Rochiga, pour ce cas particulier, mais à l'arrière, il y avait des résultats par Alinac pour un problème similaire. Donc, infortuniellement, l'équation en wavecoordinate n'a pas la bonne structure. Pour voir la structure, nous avons besoin d'introduire un autre frame. So, L equal dt plus dr, L bar equal dt minus dr, and u equal dceta over r. Et dans ce frame, l'équation de Einstein peut être élevé. Donc, si nous débrouillons toutes les non-alignées qui involve un bon dérivé, parce que nous avons d'autres décès pour avoir un résultat global, alors ce qu'il reste, c'est que l'inversion de phi est equal à 0, l'inversion minus gLL dq phi squared equal à 0, l'inversion de gLL minus gLL dq squared gLL equal à 0, et l'inversion de gL bar L bar minus gLL dq squared gL bar L bar equal dq phi squared. Donc, la seule termes que nous avons gardées sont les termes quasi-linear, qui involveent deux pas dérivétifs de phi, mais au fond d'elles, il y a une terme qui est gLL. À la droite de l'intérieur, nous avons gardé dq phi squared, parce que c'est la seule terme qui n'a pas le résultat. Et puis, ça semble être mauvais, mais nous pouvons, comme l'a été élevé pour la stabilité de Milkovski dans la coordination wave en 3 plus 1, si nous utilisons la condition de coordination wave, nous obtainons une relation entre des dérivéts de g. Et en particulier, cela vous donne un dérivé de gLL. Un bad dérivé de gLL est comme un bon dérivé d'autres coefficients de métriques. Et donc, les termes qui involveent un gLL, ici, sont comme les termes qui ont la structure nulle, donc nous pouvons négliguer. Et nous y sommes, avec le système suivant, de l'ambition de phi est 0, et de l'ambition de gL bar l bar est dq phi squared. Donc, nous allons essayer de speed-up un peu, pour conclure. Cette structure, c'était appelée la structure de Wichner et l'a été introduit par Linblad et Ronan Steecky. Et il leur permet de prouver l'existence globale, mais avec des clots de logarithmiques, par rapport à la facture qu'ici, il n'y a pas de structure nulle. Donc, en 3 plus 1, nous avons une existence globale, mais avec des clots de logarithmiques, g minus m est seulement, comme, log of t over t. Mais dans notre cas, la losse est plus dramatique parce que, comme je l'ai dit ici, vous avez une grossesse dans l'énergie, comme dq t. Donc, actuellement, c'est juste parce que nous n'avons pas choisi je dis ça, peut-être, nous n'avons pas choisi les correctes coordonnées et juste un très petit mot, pour voir cela, nous pouvons assumer que nous avons trouvé un système idéal de coordonnées, dans cet système idéal de coordonnées, chaque métro est efficace comme le détail que nous voulons, c'est-à-dire le détail de la solution pour l'équation de la wave, qui est 1 over square root of t. Et dans ce système idéal, g minus, nous assumons que, dans cet système idéal de coordonnées, nous pouvons write g minus m than epsilon over square root of t. Et puis, dans ce système idéal de coordonnées, nous pouvons compter l'answer riche, le bad 1 r l bar l bar, qui est seulement dq phi squared, qui est dq phi squared. Nous pouvons compter que c'est minus dq squared de g u u plus des autres termes qui sont comme epsilon over square root of t. Sorry, t to the three-halves. Et ceci, à l'arrière de l'icone, c'est comme epsilon squared over t. Et donc, ce qui signifie que le terme qui serait le meilleur d'accepter ce bad terme dans l'équation n'est pas g l bar l bar, comme c'est dans le programme de g l bar. Mais c'est g u u. Et donc, ce que nous pouvons faire est d'imposer à avoir ce terme qui serait le meilleur de l'accepter c'est en utilisant les coordonnées d'un programme de g en général qui consistent en choisant h rho est equal à 0. Nous pouvons choisir que c'est equal à f rho, d'autres fonctions. En tant que ce ne dépend sur le dérivatif de G, nous ne perdons pas la structure hyperbole et ce que nous pouvons faire, c'est juste de choisir si nous pouvons imputer l'alpha H alpha, qui est une expression en termes du dérivatif de G. La main contribution en ce terme est DQ de GUU. Et donc, nous avons juste d'imposer que l'alpha H alpha est comme l'intégral de DQ phi squared R DQ par R, donc imposer ça. Et puis, si nous imponsons cette choisie, ce que nous obtenons, c'est qu'au lieu de ce système, ce terme est en train de s'occuper et ce qu'il reste est une cubic non-linear termes sans structure, qui est G LL bar minus M LL bar d'alpha DQ phi squared. Et pour ceci, maintenant, avec une structure comme ça, c'est vraiment l'équivalent de la case 3 plus 1. Et nous obtenons juste une logarithmi-close, en comparaison à ce que nous espérons. Mais, juste très rapidement, pour conclure, cette choisie a quelques conséquences. Cela signifie que dans l'outside, oui, cela signifie une perturbation au-delà de l'icone, qui est une très non privée transformation des coordonnées au-delà de l'icone, ce qui est pourquoi nous avons besoin d'introduire deux systèmes de coordonnées distinctes si nous voulons avoir une bonne description de notre solution. Donc, merci beaucoup pour votre attention. Je suis un peu confusé sur la question de la quadratic termes. Je comprends que si vous venez de 3 dimensions à 2 dimensions et que l'alcool est satisfait, vous n'en avez qu'une quatrième, ce n'est pas un bon ordre d'alcool. Donc, la même histoire, c'est qu'il y a une non-linearité cubique. Si vous avez une non-linearité cubique, vous avez toujours une logarithmi-close. Normalement, si vous avez une structure. Donc, comment vous... Mais c'est la même chose, parce que ces termes cubiques, sans structure, apparaissent seulement pour gl-bar-l-bar, ce qui est une bonne coefficient, gl-bar-l-bar only meets good derivatives. Donc, ça va augmenter l'algorithme. Oui, gl-bar-l-bar, c'est comme... Le point 3dk pour gl-bar-l-bar, c'est comme log of t over square root of t. Mais aussi ici, quand vous dites que vous avez un bon ordre d'alcool, normalement, vous n'en avez qu'une quatrième, c'est une quatrième, donc vous n'avez qu'une quadratic non-linearité satisfait que l'alcool. Ce n'est pas bon enough, vous avez besoin d'autres, non ? Non, c'est bon enough, c'est bon enough, parce que vous avez un over t. En particulier, parce que vous utilisez des derivatives. Donc, la termine qui n'a qu'une single derivative, quand vous utilisez... quand vous voulez utiliser une bonne derivative pour ça, vous êtes sorti restricté par ce que vous pouvez faire en termes d'énergie. En tout cas, on peut parler de ça. C'est-à-dire que c'est l'équivalent des matins dans deux dimensions ? Non. C'est-à-dire que c'est l'équivalent des matins dans deux dimensions ? Oui, c'est l'équivalent des matins dans les couleurs. Excusez-moi, si vous n'avez qu'une quatrième pour l'alcool, est-ce que vous n'avez pas de support pour les perturbations ? Non. Parce que c'est vraiment différent d'un support pour les perturbations. Oui, j'ai prouvé l'existence globale, sans avoir besoin de cette assumption. C'est tout un issue logarithmique, c'est comme un issue logique. C'est une question relative. Parce que c'est l'équivalent de 2 plus 1, la gravité avec l'escalier, vous dîtes que le même résultat n'est sans restriction de l'inertiel. Dès que l'angle déficit est moins que 2 parts. Qu'est-ce que c'est le même résultat, sans la assumption de support compact ? Non, sans la assumption de moins. Oui, c'est vrai que les gens pensent ça. Je présume qu'il n'y a pas... Vous avez fait un cas de polarisation ici, donc je présume qu'il n'y a pas de difficulté Non, ce n'est pas différent. Parce que dans ce cas, vous avez juste à ajouter plus d'équations, mais ce que vous ajoutez, c'est que l'inertiel n'a pas d'équations, donc ce n'est pas transparent.