 over de algoritmes in algebraische nummertheorie. Vandaag heb ik over de ring van de interesse op een gegeven algebraische nummerfiel gegeven. Dat was misschien niet een heel makkelijke lectie, maar dat is waarom je een avond op had. En in order te compenseren voor dit, ik wil vandaag iets wat meer intelligente is. De meeste subjecte zal de co-prime base-algorithm generaliseren, die ik op het eerst opgesproken heb, en ik zal je in het eerste lectie reminden, om het te generaliseren op ideals te maken, maar ik wil beginnen met discussie over een voorbeeld dat ik eerlijk opgemerkt heb. Dus ik neem een algebraische nummer in mijn voedsel, en ik assumeer gewoon om de generaties te vervoegen dat het niet een rationale nummer is, dus het is een algebraische nummer. Ik assumeer dat het een algebraische interesse is, en de deur ik het noem het N, en het is alweer 2. En dan heb ik gezegd, dat als je de ideaal generaties van Van en Gemma wilt maken, in ieder geval, als je de laatste ring wilt vinden, over die dit gebeurt, dan moet je de ring generaties van Gemma, interessekte met de ring generaties van Gemma, in reverse. Nogmaals moet er een onderdeel zijn, maar de interessekte is een onderdeel en ik zal je meer explicitele informatie geven over deze onderdeel in de eerste deur van mijn lectie. En als je wilt, dan zie je dat dit hetzelfde is tot Gemma zelf, of en alleen als Gemma is ontdekt in Gemma in reverse. In andere woorden, of en alleen als Gemma is ontdekt in Zegemma in reverse, die is het geval, als je het gewoon rijdt, of en alleen als Gemma is een algebrek interessekte, dus het hoort om oké. En als het niet een algebrek interessekte is, dan kan het in reverse nog een algebrek interessekte zijn en dan de ring die we praten over wordt generaties van de inverse. Er is altijd een symmetrie in wat ik zeggen over deze ring tussen Gemma en Gemma in reverse. Ik kan deze groep van Gemma in reverse multiplijden zonder de gevolgen te veranderen. Oké, nu wat ik eerst zal doen is vertellen een perfecte explicitele basis over Zee voor deze ring. Ik zal deze ring A in het moment nemen en ik heb er wat ruimte nodig voor deze. Ik denk dat ik twee zwartboven zal gebruiken zoals als ze een zijn. En ik zal even kijken op deze relatie ontdekt door Gemma. Oh, ik vermoed het te introduceren. Dus F in Zee X dat is de reducerbare polynomial van Gemma. En ik bedoel me dat het reducerbaar is als een element van deze ring. Ik ben niet nodig dat het moniek is, maar ik wil de coofficiënts zijn om interessekte te zijn. En het reducerbare F zal niet bevindigd worden door een prime nummer zodat het betekent dat het GCD van de coofficiënts is gelijk als 1. De AI generert Zee als een groep. Dus ik schrijf nu deze relatie voor Gemma en dat is gegeven door de vervolging van deze polynomial en dit is gelijk als 0 maar ik zal het een meer speciaal naam geven namelijk PN omdat het een expressie van de graden N is. En op deze blackboard ik doe de correspondeerende dingen voor Gemma Inverse maar ik doe het in de andere deur en je ziet wat ik bedoel dus ik schrijf nu de laatste coofficiënt en dat is de expressie van de graden 0 en daarom ik het als Q0 en dan PN-1 ik bedoel deze expressie door Gemma dus dat is AN tot Gemma plus N-1 en dan ga je AN-1 Gemma N-2 en op het eind er is de A1 Gemma en ik stop op de A1 omdat op deze blackboard ik het niet zou willen hebben negatieve kracht van Gemma maar ze zijn blij om op de andere blackboard te appearn en ik repeat de laatste term en dan heb ik A0 tot de kracht Gemma Inverse die ik kie Q1 omdat het op de graden 1 in Gemma Inverse en in deze manier je continu dus let me op het eind wat je ziet hier heb je P1 die is AN Gemma plus AN-1 hier heb je AN-1 plus en dan ga je tot je een expressie van de graden N-1 Q-inverse dus dat is mijn QN-1 en de laatste dat is de volledige coofficiënt van mijn polynomial F en hier hebben we de AN de volledige coofficiënt is AN en hier heb je de relatie genoemd door Gemma Inverse die is dezelfde polynomial red dus dat is QN die is 0 ok nu een van de easy observaties hier dat we generaliseren is dat als je kijkt naar dit Gemma moet het niet een algebrijke integer zijn het zal een algebrijke integer zijn zelfs alleen als dat de volledige coofficiënt AN is plus 1 of minus 1 maar in de genereel geval deze AN zal niet 0 zijn want F is de graden N en het is erg makkelijk dat als je genoemd Gemma door AN dus dat is deze expressie hier dan is dat een algebrijke integer maar ook deze P1 is een algebrijke integer en deze P1 is P0 ok en eigenlijk alle deze P's zijn algebrijke integers en we bekijken de groep die ze genereren en ik calle het capital D dus capital D is genererd door deze N plus 1 element dus ik kan de eerste omgeving die is 0 en alle andere ze hebben verschillende graden in Gemma dus ze zal linearly independig zijn en ik krijg dus een directe sum van de Z times Pi dat is een groep en het is called D want op een moment het zal de rol van een denominator de denominator van mijn Gemma ok dat is iets die wordt gelijk hier doe ik de symmetrische dat is gewoon hetzelfde met Gemma inverse in de plek van Gemma en dat is called N want het is de numerator van Gemma zoals je het zal ontdekken om Gemma en Gemma in te veranderen dan de numerator en de denominator te veranderen wat is de vraag en waarom is de sum direct waarom is de sum direct want al deze expressies zoals polynomiëls in Gemma hebben verschillende graden en Gemma heeft een graden N de kracht van Gemma is linearly independant van de 0's 1 tot de N-1 en sinds de A-N is het non-zero deze zijn ook linearly independant ok goede tax en de A-0 is ook non-zero want Gemma is niet 0 Gemma is of de graden 2 dus dezelfde storied is gelijk op de andere plek ok nu is er een ding dat we moeten bezoeken en dat is dat als je een van de p's dat je ziet op deze zwarte bord tot de q dat zit op dezelfde lijn dan zie je de toplijn, deze is 0 en hier krijg je A-0 en deze p-N-1 als je deze twee expressions op deze lijn dan krijg je de A-1 maar als je de A-1 uitleggen dan krijg je de relatie geïnteresseerd door Gemma maar dat het hele ding geënterseerd door Gemma en hetzelfde gebeurt door de table dus hier zie je dat dit sum een ordinary integer en dit betekent dat als ik modulo integers werk dan zijn deze groepen dezelfde D plus Z is gelijk N plus Z en dit is echt de hero van de verhaal en ik zal je vertellen waarom er is wat interessant van identies die je krijgt als je twee van deze p's en ik wil het niet nemen, het is al in de noten en het is een soort van makkelijk, je kunt het zien als een challenge om deze identies te ontdekken voor jezelf en ze implieven dat D onder multipliceerd is D x D is in D want hetzelfde zal echt zijn voor N maar dat betekent dat D of N een ring is want het kan niet de unit-element dat de A N niet B plus of minus 1 is en hetzelfde is voor de A0 maar als je de unit-element joint dan zie je dat dit eigenlijk een ring, ik neem het A het is een ring het is niet alleen closed onder multipliceerd maar het heeft ook de unit-element en je ziet dat D en N zijn ideals van A want als je D by A multiplieert je krijgt Z times D die is natuurlijk D itself plus D times D die zit in D en hetzelfde voor N en je kunt ook zien dat de verschil tussen A en D is echt heel klein als je een basis voor A wilt misschien moet ik dat eerst draaien en alles wat je moet doen is deze 0 basisvector door de unit-element je krijgt dus dit is de sum van I is 1 tot N minus 1 van Z times PI dus je ziet dat als een abelian groep dit A modulo D is een cyclic groep van de absolute value van AN en het is een heel easy exercice in algebra dat als de additive groep over ring is isomorphic tot een cyclic groep dan eigenlijk deze zijn isomorphic als ring dat is niet moeilijk om te zien en gelijkwijs natuurlijk A modulo N is isomorphic Z modulo A0 Z en dat is ook als ring ok dan de volgende afspraak is en ik zal nu proeven dat D en N de denominator en de numerator en ik zal nu vertellen waarom dat is numeratoren en denominatoren ze moeten co-prime en dat is wat ze zijn D en N zijn co-prime en dus dat betekent dat de unit element is een sum van een element van D en een element van N en waarom is dat? dat zou eigenlijk al beyond de zwembad zijn de P's zijn in D en de Q's zijn in N dus alle A's zijn in de sum en de A's ze genereren de groep Z dus de unit element is ook in D plus N en dat is suficiënt en eigenlijk ook nodig voor D plus N om a te zijn ok en dan we hebben de numerator en denominator vraag suppose dat ik op deze P N minus 1 en ik multiplie met gamma dan krijg je de vorige lijn except voor de A0 die hier zit dus dit is gelijk naar minus Q0 en in hetzelfde als je geen P beyond de top lijn en ik multiplie met gamma dan krijg ik minus de Q op de vorige lijn dus ik denk dat dit moet zijn N minus 1 minus J en dat involveert alle P's en de Q's die je ziet die zijn 0 dus dat shows dat we hebben dat gamma times D is gelijk naar N dus alles die lukt wanneer je wil de denominator de denominator is dat we nog moeten laten zien dat D is invertieel dus laten we zien wanneer we kunnen proeven dat D is invertieel als ik op mijn A dat is D plus N dat is iets wat ik showed op de onderste kant en N is gamma D dus dat is D plus D gamma en dat is dezelfde als D times de ideal dat we eigenlijk ontdekend zijn dit is de ideal dat we willen maken invertieel om te verblijven omdat A de verblijven is dit is ik heb dat niet gezegd maar er is een argument die in de noten is en die is een beetje verblijven essentieel met gauze lemma op polynomiëls over Z die je kunt laten zien dat als je een element kan in mijn voet both as a integer polynomial in gamma en als een integer polynomial in gamma invertieel dan eigenlijk het zal een linieer combinatie zijn van deze elementen die een basis vormen van A dat is iets in de noten het is niet moeilijk maar ik wil niet spenden het tijd eigenlijk proeven dit het ding dat we willen om invertieel te zijn en low and behold het is invertieel de invertieel is D en dat ook dat D invertieel is dus je ziet ook nu dat hetzelfde is waarom ik interleer de rollen van gamma en gamma invertieel die eigenlijk van de vorige lijn op een divisie van gamma dus dat betekent dat D en N zijn co-prime invertieel ideals en gamma gamma de ideeel generatie van gamma is de kwast de numerator divide door de denominator ja, er is ja, zoveel vragen over dit oké, dus er is een meer ding dat ik zou willen op dit punt en dat is dat er nu een interessant groep van invertieel ideals van A en ik wil je vertellen welk groep dat is en wat is interessant over het want dat is iets dat ik wil extenden in de rest van de lectie en ook in mijn lectie tomorrow en dat is de volgende laten we de notatie introduceren I of A dat is de set van invertieel A ideals dus wat je weet natuurlijk is dat als A een dedekende ring is en zoals oké dan dit zal een vrije abelie groep genereren door de maximale ideals van A en ja, dat als je dat wilt echt doen om dit effectief te maken dan moet je maximale ideals vinden en prime factoriseren dat is moeilijk dus we zijn in het proces te vinden een replacement voor dat en je moet hier voorzien je moet hier voorzien ik heb gebleven voor een dedekende ring dit is een vrije groep voor de meeste de accepties zijn echt acceptieel deze groep is niet torgen vrije het is torgen vrije zelfs alleen als de ring in een heel specifiek sens is heel dicht tot de voelring van integraties misschien is er een exercice om het in de noden anders kunnen we inventeren voor je dus dit is een groep dat je niet zet zoveel controle over zoals in het geval dat a is oké maar in onze situatie er is een interessant subgroep hier en dat is genererd door d en n en dat is vri over z met wel van rank bij de meeste twee omdat er twee generaties zijn en het heeft een basis wel die elementen van d en n die zijn kwaliteit om in de basis te zijn dus ik neem alle x's in d en n dat is niet het unitideal x is niet a dus als gamma en gamma inverse zijn beide algebraische integraties dus gamma is een unit dan de rank is 0 als gamma is een algebraische integraties maar het inverse is niet dan n is een basis en er is geen denominatie de andere manier voor gamma is