 En 1764, le mathématicien français Etienne Bezou publie recherche sur le degré des équations. Un mémoire dans lequel il détaille sur une cinquantaine de pages des méthodes pour résoudre des équations polinomiales. Il en résultera alors le théorème de Bezou, un théorème fondamental de la géométrie algébrique. Ça tombe bien, j'ai deux minutes pour en parler. Attention, cette vidéo parle de géométrie algébrique. Il y sera donc question de géométrie, mais aussi d'algebra. Vous voilà prévenu. Si jamais on me demande quel est mon théorème préféré, je répondrai, probablement après un trop longtemps d'hésitation, le théorème de Bezou. Il présente en effet tout ce qui fait le sel de la recherche en mathématique, le passage d'un énoncé simple, intuitif mais faux, à quelque chose de plus rigoureux, forcément plus complexe, mais plus profond. Bon, jusqu'à présent, personne ne m'a encore posé cette question, mais je garde cette réponse dans un coin au cas où. Le théorème de Bezou énonce ceci. Si deux antirrelatifs A et B sont premiers entre eux, alors il existe deux autres antirrelatifs X et Y tels que AX plus B et Y égale 1, et réciproquement. En fait, ce théorème porte plutôt le nom d'identité de Bezou, ou de théorème de Bachet de Bezou. Et ce n'est pas du tout celui-là dont je veux parler aujourd'hui. Je vais en fait parler du théorème de Bezou en géométrie algébrique, qui énonce ceci. Deux courbes algébriques planent respectivement de degrés N et de degrés P, possèdent exactement N fois P pour une intersection. Pour comprendre l'énoncé, il faut bien sûr comprendre ce qu'est une courbe algébrique plan, et ce que représente leur degré. Les plus simples sont les courbes de degré 1, puisqu'il s'agit des droites du plan. On dit que ces courbes sont algébriques, dans le sens où elles possèdent une équation polénomiale. Celle-ci a par exemple pour équation X plus 2Y moins 8 égale 0, celle-là pour équation X moins 4 égale 0 et ainsi de suite. De manière plus générale, on peut trouver pour n'importe quelle droite une équation de la forme P2XY égale 0, où P est un polinombe d'inconnu X et Y est de degré 1. Un peu plus compliqué, on a les courbes algébriques de degré 2, c'est-à-dire les courbes définies par une équation de la forme P2XY égale 0, où P est un polinombe de degré 2. Ces courbes portent le nom de conic, on les retrouve entre autres, les cercles, les ellipses, les paraboles, les hyperboles, mais aussi les couples de droite. Toutes ces courbes peuvent être décrées par une équation polénomiale à 2 inconnus et de degré 2. C'est-à-dire une équation où les inconnus XY apparaissent au moins une fois sous la forme d'un produit XY ou d'un carré X carré ou Y carré. Ce cercle centré en 1, 1 et de rayon 2, et bien une combats algébriques de degré 2, puisque les coordonnées XY de ces points vérifient tous l'équation X carré plus XY carré, moins 2X, moins 2Y, moins 2, égale 0. Les courbes de degré 3 portent le nom de courbes cubiques, et il en existe une belle ribambelle de différentes formes. De façon plus générale, une équation polénomiale de n'importe quel degré permet de définir une courbe algébrique. Cette équation-là, qui est de degré 6, décrit cette courbe appelée quadrifolium. Autre exemple avec celle-ci, de degré 5, qui décrit une courbe appelée quintique de l'hôpital. Bref, les courbes algébriques sont les courbes définies par une équation polénomiale, et c'est ce qui se fait de plus joli en termes de courbes mathématiques. Revenons donc aux théorèmes de Bézou, qui dit que deux courbes algébriques planent respectivement de degré n et de degré p possèdent exactement n x p point d'intersection. En prenant deux courbes de degré 1, c'est-à-dire des droites, on a bien 1 x 1 égale 1 point d'intersection. En prenant une droite de degré 1 et une conique de degré 2, on retrouve bien 1 x 2 égale 2 point d'intersection. Avec deux coniques, les courbes de degré 2, on retrouve bien 2 x 2 égale 4 point d'intersection, et avec une courbe de degré 4 et une courbe de degré 2, on retrouve bien 2 x 4 égale 8 point d'intersection. On pourrait multiplier les exemples. Le théorème de Bézou fonctionne donc comme il faut, tout le monde est content. Enfin presque, je vous entends déjà derrière votre écran en train de préparer plein de contre-exemples pour me prouver que j'ai tort. C'est vrai, l'énoncé que je vous ai donné est trop simple pour être honnête, mais on va tenter de le parfaire. Premier contre-exemple, voici deux courbes algebraiques, chacune de degré 1, des droites en fait, où se trouve leur point d'intersection. Pour le trouver, il est nécessaire de se tourner vers une branche de la géométrie appelée la géométrie projective. Les deux droites se coupent bien, mais sur une ligne imaginaire appelée l'horizon. En effet, si je penche ma caméra pour regarder ce qui se passe au loin, je ne peux que constater que les deux droites ont bien un point d'intersection, mais sur cette droite d'horizon. En géométrie projective, il est donc tout à fait justifié de dire que deux droites parallèles ont un point d'intersection. Car c'est la branche des mathématiques qui s'occupe de modéliser les notions de perspective et d'horizon. Deuxième exemple, on prend cette parabole courbe de degré 2 et cette droite de degré 1. On constate un seul point d'intersection, mais le thème de Bézou en implique 2. Le deuxième est en fait situé lui aussi sur la ligne d'horizon. Cette opération de rotation de caméra se traduit parfaitement en équation mathématiquement, mais je ne détaillerai pas l'aspect technique ici. Même si ce point d'intersection peut sembler artificiel, il doit être pris en compte. Bref, il faut corriger l'énoncé du thème de Bézou. Deux courbes algébriques projectives planent respectivement de degré n et de degré p, possèdent exactement n fois p point d'intersection. Deuxième contre exemple, voici deux courbes algébriques, chacune de degré 2, qui ont donc 4 points d'intersection. On voit bien 2 points d'intersection, mais où se trouvent les deux autres ? Pour le découvrir, on va mettre le problème en équation. On cherche les points de coordonnée x, y qui vérifie à la fois x² plus y² égale 2 et y² égale x. En substituant y² à x dans la première équation, on doit donc résoudre x² plus x égale 2, qui a pour solution x égale 1 et x égale moins 2. En remplaçant x par 1 dans la deuxième équation, on obtient y² égale 1, soit y égale 1 ou y égale moins 1. On retrouve donc les coordonnées x, y égale 1, 1 et 1, moins 1, c'est-à-dire celles des deux premiers points visibles. Au contraire, si on remplace x par moins 2 dans la deuxième équation, on obtient y² égale moins 2. Cette dernière équation n'a pas de solution réelle. Cependant, les nombreux complexes sauve la mise puisque l'équation a de même de même de solutions complexes qui sont iracine 2 et moins iracine 2. On obtient donc les deux autres points d'intersection de coordonnées, moins 2, iracine 2 et moins 2, moins iracine 2. Ils ne sont pas visibles directement puisqu'ils se trouvent dans le plan complexe, mais on a bien nos quatre points d'intersection promis. Il peut d'ailleurs aussi arriver que l'ensemble des points d'intersection soit dans le plan complexe, comme c'est le cas quand on cherche l'intersection entre ce cercle et cette parabole. Les quatre points d'intersection existent bel et bien, mais ils ont tous des coordonnées complexes. Bref, il faut corriger les noms séduiteurs M de Bézou. Deux combats de gébrics projectifs complexes planent respectivement de degré n et de degré p possèdent exactement n fois p points d'intersection. Troisième contre-exemple, voici deux combats de gébrics l'une de degré 1 et l'autre de degré 2 qui ont donc deux points d'intersection. On voit bien un point d'intersection, mais où se trouve l'autre ? Eh bien dans ce cas, les points d'intersection sont en réalité tous les deux exactement au même endroit. On dit en fait que ce point est de multiplicité d'eux, c'est ce qui arrive lorsque deux courbes sont tangentes l'une à l'autre. En fait, on peut faire correspondre la multiplicité d'un point au nombre de points d'intersection qui apparaissent lorsque l'une des courbes est légèrement transformée. Cette définition n'est pas rigoureuse, mais elle permet de comprendre ce qui se passe. Dans le cas de la droite tangente au cercle, un léger déplacement de cette droite peut faire apparaître deux vrais points d'intersection. Autre exemple, où se trouve les trois points d'intersection entre cette courbe cubique de degré 3 et cette droite de degré 1. Eh bien, ils sont tous les trois au même endroit. Pour le voir, il suffit de perturber un peu la cubique, ce sont bien trois points d'intersection qui apparaissent. Un dernier exemple, avec cette droite de degré 1 et cette cubique de degré 3, où se trouve les trois points d'intersection. Dans ce cas, la cubique s'auto-intersecte, si bien qu'il semble légitime de compter double ce point d'intersection. C'est bien le cas, puisqu'en déplaçant légèrement la droite, ce sont deux points d'intersection qui apparaissent. Bref, il faut corriger les nos séduits théorèmes de Bézou. Deux courbes algebraiques projectifs complexes planent, respectivement de degré N et de degré P possèdent exactement N fois P point d'intersection, comptées avec leur multiplicité. Bien sûr, on peut mélanger tous ces concepts, par exemple, où se trouve les deux points d'intersection entre cette hyperbol, courbe de degré 2 et cette droite de degré 1. Il y a bien un point d'intersection à l'infini, mais celui-ci compte en fait double. En effet, quand on déplace légèrement la droite, on voit bien apparaître deux points d'intersection, dont un se trouve toujours sur la ligne d'horizon. C'est en fait ce qui arrive lorsque deux courbes sont à symptôtes l'une à l'autre. Je termine par un dernier exemple, un peu mindfuck, où se trouve les quatre points d'intersection de ces deux cercles concentriques. Et bien là, il est nécessaire de passer par les calculs pour voir que les quatre points d'intersection sont en réalité deux points de multiplicité 2, mais que ceux-ci se trouvent sur une ligne à l'infini, mais une ligne à l'infini complexe. Oui, cela semble n'importe quoi, mais ce ne sont pas trois barrières d'abstraction qui vont suffire à rendre faux ce bon théorème de Bézou. Il reste un dernier contre-exemple à prendre en compte. Où se trouve les quatre points d'intersection entre ce couple de droite, qui est une courbe algebraique de degré 2, et ce couple-ci, lui aussi de degré 2. Ici, ce ne sont pas quatre points d'intersection que l'on peut voir, mais bien une infinité. En fait, les deux courbes en ce que l'on appelle une composante commune, c'est-à-dire un morceau que l'on retrouve à l'identique sur les deux courbes. C'est ce qui arrive lorsque les polynômes ont un facteur en commun. On préfère ne pas prendre en compte ces quarts dégénérés puisque c'est finalement le seul contre-exemple qui limite vraiment la validité du théorème. Bref, il faut corriger l'énoncé du théorème de Bézou. Deux courbes algebraiques projectives complexes planent, sans composante commune, respectivement de degré n et de degré p poussées d'exactement n fois p point d'intersection comptées avec leur multiplicité. On a donc enfin un énoncé qui a l'air correct. Il ne reste plus qu'à le démontrer et le tour réjouer. La preuve est technique, donc je préfère ne pas en parler. En fait, cet énoncé illustre assez bien une part de la recherche en mathématiques. On part d'un énoncé intuitif, et on essaye de le pousser dans ses retranchements pour déterminer quelles sont les meilleures hypothèses. Les mathématiciens sont déjà en tétu, et quand ils tiennent un énoncé pratique même un peu bancal, ils font tout pour le rendre juste. Cela implique parfois de changer de point de vue, comme lorsque l'on a été amené à considérer les courbes comme projectifs puis complexes, ou bien de construire un nouveau concept comme celui de la multiplicité. Le mathématicien cherchera ensuite à généraliser des espaces de dimension supérieure, ou à d'autres structures que celles des nombres complexes. Il existe d'ailleurs une formulation alternative au théorème de Bézou, qui n'a pas besoin de prendre en compte toutes ces considérations projectives ou complexes, et qui énoncent ceci, deux courbes algebraiques planent sans composante commune, respectivement de degré n et de degré p, possède au plus n fois p point d'intersection. Seulement voilà, les mathématiciens n'aiment pas les solutions de facilité. Quand on tient un bel énoncé, pourquoi chercher à le minimiser, quand on peut faire le contraire. Bref, le théorème de Bézou est l'un des premiers théorèmes que l'on croise en géométrie algébrique, l'un des principaux domaines étudiés aujourd'hui dans les labos de mathématiques. Un haut fait de la discipline est la résolution de la conjecture de Fermat, qui énonce que l'équation x puissance n plus y puissance n égale z puissance n n a pas de solution entière dès que n est strictement supérieur à 2. Le mathématicien anglais Andrew Wiles est parvenu en 1995, grâce à son indubitable génie et aux courbes elliptiques, une classe particulière de courbes algébriques, à démontrer ce théorème de Fermat qui résistait depuis presque 360 ans. Début 2016, on a d'ailleurs remis à Wiles le prix Abel, l'une des plus prestigieuses récompenses en mathématiques. On trouve aussi de nombreuses applications de ces courbes elliptiques en cryptographie. Elles permettent de mettre au point des méthodes de chiffrement particulièrement puissantes et qui, c'est sûr, marqueront le futur. Mais ça, c'est une autre histoire.