 اسلام علیکم لیکچر No. 33 start کرتے ہیں آج اور امیدے آپ سب لوگ پرپیٹ ہوں گے اس کے لیے درانے کا مخصد نہیں ہے میرا یہ تو میں نے ایسی بات کہ دیتا ہے آپ لوگ پرپیٹ ہوں گے مطلب یہ کہ امیدے آپ تک جو پچھلے لیکچرز گزرہ ہیں وہ ٹیک ٹھاک جا رہے ہیں اور اس کی چاری پریکٹس وغرہ صحیح جا رہی ہے ہومورک وغرہ آسائنمنٹز اور جبا کی چیزیں تو یہ کہ اس لیکچر میں بھی وہی توپکس ہیں کالکلس کے انتگریشن کے حوالے سے مزید جو اب انتگریل کالکلس ہم نے شروع کیا پچھلے کچھ لیکچر سے اس کا بیسکلی اب جتنا بھی ہم کام کریں گے زیادہ ترجہ ہوگا اب لے کچھ لیکچرز تک وہ اسی کی انیگی اوپر اس کا انحسار ہوگا اس توپکس کے اوپر یہ جو انتگریشن کا ہے کیونکہ یہ اور انتگریشن کے حوالے سے مطلب کیا ہے کیا انحسار ہوگا یعنی کے انتگریشن جس کو ہم نے ایریا اندر دیفائن کیا تھا دیفننٹ انتگریل کو وہ کونسپٹ کافی پرومننٹ رہے گا اگلے کچھ لیکچرز میں اور ابھی تک دیکھ بھی چکیں کہ ایریہ اندر دکرف کیسے معلوم کرتے ہیں اور اب ہمیں دیکھیں گے اس لیکچر میں کہ اس کو جنرلائس کیسے کیا جا سکتا ہے کہ کہا نکا مخصد یہ کہ اگر آپ کے پاس دو کرفز ہیں اور ان کے درمیان آپ اگر ایریہ معلوم کرنا چاہیں تو وہ کیسے کریں گے تو وہ ہم بسی لیکچر میں دیکھیں گے آگے چل کے بلکہ اور انٹرستنگ ہو جائے گا توپک کیونکہ ایریا اندر دکرف تو ظاہر ہے ان اٹسلف کافی انٹرستنگ توپک ہے اور اس کی اپلکیشنز میں خالصے آپ سوچ سکتے ہیں کہاں کہاں ہو سکتی ہیں یعنی وہ ہی بات کہ اگر ہمیں کوئی دو دیمیشنل کوئی پکچر دیوی ہے اس کا ایریہ ہم معلوم کرنا چاہ رہے ہیں سوچ سکتا ہے آگے چلکہ ہم اس کو امپلیمنٹ کریں کسی جگہ اپلائٹ پرولم میں تو یہ چو تھیوری ہم نے ابھی تک دیویلپ کی ہے انٹگریشن کی اور ایریا اندر دکرف کی یہ ہی استمال ہو گی اور یہ اس کا بیگران یہ کہ جیزاہر ہے یہ کیسے دیویلپ ہوئی یہ ایٹین ہندڈز میں اور سے کچھر سے پہلے بہتی ایک میجر پرولم تھی کہ جناب ایریہ ارگلر ارگلر ریجن کا کیسے معلوم کیا جا سکتا ہے یعنی جو میٹرک فیگرز ہوتے ہیں یا جنے پولیگونز بھی کہہ سکتے ہیں ایک تو وہ ہوتے ہیں سکویرز، ٹرائنگلز، ریکٹانگلز اکٹاگونز اس طرح کے جو ہوتے ہیں ان کا بڑے آسانی سے معلوم کی جا سکتا ہے ایریہ ان کو سب دیوائٹ کر لیں انٹو سیمپلر ریجنز ٹرائنگل کا ہمار پاس فرملہ ہوتا ہے ایریہ معلوم کرنے کا آپ کے پاس اگر اکٹاگون ہے جس کی اٹھ سائٹز ہوتی ہیں تو اس کو آپ دبائٹ کر لیں انٹو اٹھ ریکٹانگلز، ٹرائنگلز اور ٹرائنگل کا ایریہ فرملہ استعمال کر کے آپ معلوم کر کے جناب آپ اپنہ ایریہ معلوم کر سکتے ہیں اکٹاگونل ریجن کا لیکن یہ ارگلر سرپرسز میں ریجنز میں ہم دیکھ چکیں کہ یہ تھوڑا مشکل ہوتا ہے لیکن تھیوری وہ ہی تھی کہ آپ ریکٹانگلز جو کہ بہت تھی علمینٹری جمیٹرک فیگرز ہیں ان کو استعمال کرتے ہوئے ایریہ ہم نے دیفائن کیا اور پھر اس کا لیمٹ وغیرہ جو ایک بہت ایک بیسک کانسپٹ آف کالکلز جو ہے وہ اپلائے کیا اور ہمارے پاس ایریہ پروبرم جو تھی اس کا سلوشن آگیا اب یہ ہے کہ اس کو جنلائس کریں گے تھوڑا سا آگے چلکے یہ ہوگا کہ ہم اس کو وولیوم معلوم کرنے کے لیے ہم انٹگرل جو دیفرنٹ انٹگرل ہوتا ہے اس کو استعمال کریں گے وہاں پہ جاکے کافی انٹرسٹنگ ہو جاتی ہیں چیزیں یعنی وہ واقعی میں آپ دیکھ سکتے ہیں جو ہم دیکھیں گے اگلی لیکچرز میں تو یہ جو وولیوم کا کانسپٹ ہے یہ ایک 3 دمیشنل کانسپٹ ہے ایک لیکچر میں میں اس کی بھی بات کی تھی کہ یہ جو ایریہ ہوتا ہے یہ ایک طرح سے 2 دمیشنل وولیوم کے طور پر اس کو انٹرپریٹ کیا جا سکتے ہیں یعنی کہہنے کا مقصد یہ کہ وولیوم جو ہوتا ہے وہ تو آپ کے پاس اگر جیسے یہ ایک 3 دمیشنل اپجیکٹ ہے اس کی ویٹھ ہے یہ ایک لیکچ اس کی لینٹ ہے اس کی ویٹھ ہے اور تھوڑی سی ہائٹ ہے تو وولیوم جو ہوتا ہے بیسک یہ ایک طرح کرہ ریکٹانگلر 3 دمیشنل فگر ہے تو اس کا وولیوم جو ہوگا وہ پروڈکٹ ہوگا ساری دمیشنز کا اس کی یعنی جو وہ لینٹ ویٹھ اور ہائٹ ہے ان کو پروڈکٹ لیں گے ان کا تو وولیوم آجائے گا اسی کو اگر ایک دمیشنل لور کر دیں 2 دمیشنل میں تو یہ فگر جو ہے یہ ریکٹانگل بن جاتا ہے اور وولیوم جو ہوتا ہے 2 دمیشنل وہ ہوتا ہے ایریہ کیونکہ آپ ہائٹ نکال دیں تو آپ کے پاس پروڈکٹ آتا ہے لینٹ اور ویٹھ کا اور اسی یہی وہی فرملہ ہے جو ہم استعمال کرتے ہیں to find the area of a ریکٹانگل تو یہ ایک نیچلسی بات ہے کہ جب وولیوم کی بات ہم کریں گے جو 3 دمیشنل ایک concept ہے کہ وولیوم ہوتی ہے کہ ایک چیز کے اندر اسی ایک جو اپجیکٹ ہے اس کے اندر کتنی مختال آسکتی ہے کسی بھی چیز کی یعنی اگر میں اس سے پانی سے بھرنا چاہوں تو کتنا پانی اس کے اندر آسکتے ہیں تو وہ ایک دیکھ سکتے ہیں گے چونکہ 2 دمیشنل کا ایک جنلیزیشن ہے انٹو the 3rd دمیشن تو اگر انٹگرل جو تھا definitely انٹگرل اس کو استعمال کیا ہم نے ایریہ معلوم کرنے کے لیے 2 دمیشنل فیگرز کا یا گرافز کا تو ایری انٹو the گراف of a function تو اس کو پھر ہم ظاہرہ extend کر سکتے ہیں انٹو the 3rd دمیشن اور اس کا ایک طریقہ ہوگا وہ ہم آگے چلکے دیکھیں گے لیکن مقصد کہانے کا یہ کہ یہ بہتی انٹرسٹنگ ایک idea سب آنے والے ہیں اور جو ابھی تک ہم دیکھ چکے ہیں وہ بھی خود اپنے طور پہ کافی انٹرسٹنگ ہیں اچھا اب آج کے لکچر میں پھر کیا بات ہمیں کرنی ہیں اس کے بارے میں تھوڑا سا دیکھ لیتے ہیں اس کا جو وہ ہے topic اور جو سب topics ہوں گے ان کو لکھ لیتے ہیں دیکھ لیتے ہیں کہ وہ کیا ہے topic ہے آج کا جی application of the definite integral تو ظاہر سی بات ہے کہ immediately آپ کہہ رہو گا یہ تو واقی بہت انٹرسٹنگ چیز ہے کہ ابھی تک ہم نے اس کی theory دیکھی ہے تھوڑی سی application دیکھی ہے جہاں پہ area کے ہم نے بات کی تھی finding area under the graph of a given continuous function اب اس کی توڑی سی مزید application دیکھ لیں گے تو اس میں basic concept وہ یہ کہ area problem جہاں وہ زیرہ غور رہ گی کہ this area problem جہاں اس کو تھوڑا سا generalize کریں گے in terms of finding area between two curves اور پھر اس کے اسی topic کے دو طریقے ہیں اس کو دیکھنے کے اور وہ ہے کہ جی آپ دیکھنا چاہیں گے کہ ہم area کیسٹرہ معلوم کر سکتے ہیں between the graphs of two continuous functions y equals f of x and y equals g of x اور اس کے ساتھ ساتھ ہم یہ بھی دیکھنا چاہیں گے کہ area کیسٹرہ معلوم کیا جاتا ہے between x equals v of y and x equals w of y تو یہ آچ کا basic agenda ہے تو جو last ابھی جو میں نے بات کی تھوڑی سی کہ finding the area between x equals v of y and x equals w of y تو یہ آپ تھوڑا سا سوچ رہنے گے کہ یہ کیا چیز ہے اس میں definitely آپ نے realize کر لیا ہوگا کہ یہ functions ہی ہے ظاہرہ notation functions کیے لیکن یہ bullet functions ہیں ایک طرح سے میں نے variable change کر دیئنج کر دیئنج یعنی dependent variable جو ہے وہ اب y ہو گے اور independent variable جو ہے I'm sorry independent variable جو ہے وہ y ہو گے اور dependent variable ہے وہ اب x ہو گے یہ اُس کی opposite alert چیز ہے جو پہلے ہم دیکھتے ہیں کہ y جو ہے وہ dependent variable ہوتا ہے x جو ہوتا ہے وہ independent variable ہوتا ہے تو مقصد یہ کہانے گا کہ کچھ problems real life میں جو ہم دیکھتے ہیں مثال کے طور پر ابھی ہم دیکھیں گے کہ دو functions کی درمیان graph جو ہے دو functions کی ان کے درمیان area معلوم کرنا ہے تو اس میں کبھی کبھی ضروری ہوتا ہے کہ آپ functions کو alert کرکے دیکھیں یعنی ایک different point of view سے in the sense کہ آپ ان کو variables کو چینج کر دیتے ہیں their relationship between each other in terms of being one being dependent on the other تو یہ ہم دیکھیں گے آگے چلے تھوڑا سا تو آئیں شروع کرتے ہیں پھر اس لیکچر کو formally تو پہلہ topic جو ہے وہ مطلب main topic تو وہ یہ ہے کہ جی finding area between the graph of two functions تو اس کے بارے میں کچھ بات چید کر لیتے ہیں کہ کیا details ہیں اور کس چیز کے بارے میں ہم بات کریں گے اور کس طرح کریں گے تو کچھ چیزیں ہیں چند چیزیں جو لکھ لیتے ہیں تاکہ سمجھ آجائیں درہ reference ہو جائیں کی تو اس میں یہ ہے کہ جی سب سے پہلے تو area problem کے بارے میں ہم بات کر رہے ہیں تو area problem تو ہے finding area between two curves یعنی graphs of two functions پہلی جو چیز ہم دیکھیں گے وہ ہوگی area between the graphs of two functions y equals f of x and y equals g of x تو یہ یہاں پہ وہی relationship ہے y اور x کی جو ابھی تک ہم دیکھتے ہیں یعنی y جہاں وہ dependent variable ہے x جہاں وہ independent variable ہے اور اب کہانے کا مقصد یہ کہ in terms of finding the area اب جب area کی ہم بات کرتے ہیں تو اس میں یہ ہے کہ پچھلے لیکچے اس میں ہم نے دیکھا کہ ہمارا جو function جو تھا f of x اس کے گراف کے نیچے ہم دیکھنا چاہ رہے تھے کتنا area ہے لیکن اس میں یاد ہوگا آپ کو کہ ہم نے ذارہتر ایسا area دیکھا تھا جو confined تھا اگر ہم ایسا function دیکھ رہے تھے جو non-negative ہے یعنی جس کی values y values جو ہم ساری x axis سے اوپر یا x axis کے اوپر لائے کرتی ہیں تو اس میں ہم نے ایک upper limit جو تھا تھوڑا سا وہ ایک گراف ہو گیا تھا function کا ایسے کر کے بنالی جیے جیسے بھی continuous function کا اور lower limit جو تھا یہ confinement تھی اس کی جہاں پہ وہ confined ہوتا تھا نیچے وہ x axis تھا اور خاص طور پہ x axis پر کوئی a given interval تھا جس پہ آپ اس کو confine کرتے تھے تو یہ ایک قدرتیسی ایک natural see beginning تھی کہ اگر simple case ایسا ہو کہ ایک fun graph ہے جو x axis سے اوپر رہتا ہے میشہ ایک کسی function کا تو ہمیں area معلوم کرنے ہے below that function a graph of that function and above an interval on the x axis یعنی ہم x axis سے نیچے نہیں گئے تھے اور جو natural confinement تھی وہ x axis پر کوئی interval تھا اب اس کے بعد ہم نے یہ دیکھا کہ ٹھیک ہے non negative function جتے وہ تو ایک special case سے ہم نے اس کو generalize بھی کیا تھا اس concept کو کہ اگر آپ کہیں کہ آپ کا function وہ negative values بھی لے سکتا ہے تو ہم نے کہا تھا کہ آپ کا function x axis سے نیچے ہوگا اور اس میں پھر ہم نے ایک concept define کیا تھا of net area یعنی کوئی ایسا function جو positive بھی رہتا ہے non negative بھی رہتا ہے ایک interval پے اور negative بھی ہو جاتا ہے تو اس میں ہم areas معلوم کرتے ہیں جو حصہ جو graph کا x axis سے اوپر ہوتا ہے وہ تھا ہم بڑے ارام سے معلوم کر سکتے ہیں جو نیچے ہوتا ہے اس میں confinement ایسے ہوتی ہے کہ اپر limit ہوتی ہے یعنی اسے area کی confinement وہ ہے x axis کا جو interval تھا اور نیچے وہ graph ہوتا ہے function کا تو اس میں پھر ہم نے concept کو جو area نیچے لائے کرتا ہے x axis سے اس کو ہم نے minus کا sign دے دیا تھا یہ ظاہر کرنے کے لیے کہ جی یہ x axis سے نیچے ہے اور پھر ہم نے سارا یعنی اگر net area ایسا define کیا تھا کہ آپ سارے areas معلوم کرنے x axis سے اوپر اور نیچے آپ کے پاس result ہا جاتا ہے آپ کے جو net area آپ کو معلوم کرنا تھا اس کا اچھا آپ اس idea کو مزید جنوالیس کرتے ہیں اس لیکچر میں اور اب یہ کہیں گے ہم کے بجائے اس کے آپ کی یہ situation ہو ایک طرح سے یہ a particular situation ایک special situation جہاں پہ آپ کا confinement جو lower یا اپر confinement ہے وہ x axis ہے اس کو ہم ہٹا دے دیں ہم کہتے ہیں کہ کوئی ہمارے پاس اگر generally speaking ایک graph ہے ایک function کا اور ایک اور graph ہے دوسرے function کا اور یہ دونوں ایک دوسرے کے اوپر نیچے ایسے لائے کرتے ہیں تو ان کے درمیان جو area confinement ہورا ہے وہ ہم کیسے معلوم کریں گے تو یہ basic topic اس لیکچر کا یہ ہم اس کو dress کرتے ہیں یعنی اس میں ایسا کرتے ہیں اس کو لکھ لیتے ہیں کہ area problem ہے یہ ہے کیا یعنی پہلی area problem کیا ہے first area problem is اس کو لکھ لیتے ہیں the first area problem basically says suppose that f and g are continuous functions on an interval ab یہ اسی طرحاں جیسے پہلے f a function تھا ab per continuous اب ایک اور function آگے g اور اس میں ہم ایک stipulation رکھتے ہیں ایک condition رکھتے ہیں کہ f of x is greater than equal to g of x whenever x is between a and b یا کہلیں کہ x is a is less than equal to x and x is less than equal to b تو کہانے کا مصد یہ ہے کہ یہ جو function f of x ہے یہ g of x کی جو یعنی کہ لیں کہ جو y values ہیں f of x کی یہ ساری g of x کی y value سے برابر ہیں یا اس سے بڑی ہیں تو اس میں اگر آپ گراف بنائیں گے گرافکلی اس کا مطلب یہ ہوتا ہے کہ جو f function کا گراف ہے وہ جی function کے گراف سے اپر رہتا ہے یا اس سے اس کے بلکل برابر ہوتا ہے یہ آپ کی condition ہے یہ نہیں ہو سکتا ہے کہ f کا گراف g کے گراف سے نیچی آجا ہے یہ ایک سپیشل کنڈیشن ہے اس کو بعد میں ہم ہٹا دیں گے لیکن بگننگ چونکہ نیا ایک concept ہو رہا ہے سٹارٹ کر رہے ہیں لہذا ایک سپیشل کیسے سٹارٹ کرتے ہیں اور پھر اس کو مزید جنولائس کر لیں گے تو آنے اس کو پھر کلیٹ کرلتے ہیں اس کو پوری طرح لکھ لیتے ہیں تو اب یہ کنڈشن تھی کہ f of x جی ہے وہ گی of x سے بڑا ہے یا برابر ہے اس کے جب بھی x a اور b کے درمیان ہوگا تو اب questions یہ کہ یہ جو ہم کرنا چاہر ہیں وہ ہے کہ find the area a of the region bounded above by y equals f of x and below by y equals g of x and on the sides by the lines x equals a and x equals b یہ اس کا ابھی تھوڑے سی بات کرتے ہیں اس کے بارے میں جو ابھی آپ دیکھ رہے ہیں ساتھ میں ایک پکچر بھی ہے یہ پکچر کنوی کر دے گی تھوڑا سا idea کہ what exactly it is that we are trying to do ٹیک جی تو اب کہنے کا مقصد یہ ہے اس ایریہ problem میں کہ ہم یہ چاہتے ہیں کہ دو functions ہی ہم ہر پاس ایک جو ہے وہ دوسری سے بڑا ہے یا اس کی برابر ہے on a given interval تو اب اس کا مطلب گرافک لیے کہ جو بڑا function جس کو ہم f کہہ رہے ہیں اس کا گراف چھوٹے function g of x سے اوپر یہ اس کی برابر رہتے ہیں تو اب نیچرلی سی بات ہے کہ اگر ایک function اسے جا رہا ہے یہ f ہو گیا اور اس کے نیچے ایک g function جا رہا ہے ذوڑی نہیں ہے کہ اسے جائے جائے اسے f ہے ہو سکتا ہے اسے کر کے function ہو g اور اس کے اوپر ایک function اسے کر کے ہو f تو ان کے obviously درمیان میں ایک area confined area آجاتا ہے یعنی یہ اگر f ہے اور یہ g ہے تو نیچرلی یہ جو area جس کو ایک طرح سے میں کلر کر رہا ہوں اس وقت اپنی انگلی سے یہ area جو ہے یہ ہمارے انٹرست کا ہے ہم چاہتے ہیں کہ اس کو معلوم کریں کہ کتنا ہے تو یہ basically area problem ہے آپ کی اس کو ہم نے بھی لکھے بھی دیکھ لیا کہ formally کی ہم کیا کرنا چاہر ہیں تو اب اس کے بارے میں مزید بات چیت شروع کرتے ہیں اچھا اس کو اب کس طرح معلوم کریں گے یعنی ہمارے پاس سمجھ آ گئی کہ ہم کرنا کیا چاہ رہے ہیں ہمارے پاس ایک دو function ہیں درمیان میں ان کے area ہے کیسے معلوم کریں گے تو اس کو معلوم اس طرح کر سکتے ہیں کہ آپ سب سے پہلے تو دیکھیں کہ آپ کو یہ معلوم یہ اگر آپ ایک طرح سوچیں کہ وہی concept ہے جو ریمان سمز کا ہم نے استعمال کیا تھا شروع کے لیکچرز میں جب انتگرلز اور انتگریشن کی بات ہوئی تھی اور area under the curve کی بات کی تھی تو اس میں ہم نے کہا تھا کہ approximate کرتے ہیں اس کو as you know area under the curve by using rectangles تو یہاں پہ بھی concept وہی ہوگا یعنی ہم directly integrals کو استعمال کر لیں گے definite integrals کو to write down the expression for the area of this situation لیکن background میں آہر ہے چونکہ definite integrals استعمال کیا گے so limit اور ایک ریمان سم تو شامل ہے اس میں وہ ہم غور سے نہیں دیکھیں گے کیا ہے لیکن motivation کے طور پر ایسے imagine کر لیں کہ آپ کے پاس چونکہ f کا گراف دیا اور g کا گراف دیا تو سب سے پہلے تو یہ معلوم کرنا ہے کہ جو اگر میں ایک rectangle بناتا ہوں تو اس کی height کیسے معلوم کروں گا میں یعنی جب area under the curve کی بات ہوئی تھی تو اس میں ہم نے کہا تھا کہ rectangle کی height جو تھی وہ natural سے تھی آپ نے x axis پہ جو انٹرول تھا اس میں ایک point چوز کیا تھا x اگر آپ کا arbitrary kth انٹرول تھا کوئی اس میں آپ نے x k star جو تھا ایک arbitrary point چوز کیا تھا اور اسی corresponding آپ نے value دیکھی تھی کہ اوپر کیا ہے corresponding to that point the value of the function f of x k star تو اس طرح سے آپ کے پاس height آگئی تھی rectangle کی تو یہاں پہ ہم کیسے کریں گے وہی ساری تھی ہوئی ہے وہی سارا concept ہے وہی background ہے ہاں ہی انٹروپریٹ اسے نیو آئیڈیہ جہاں پہ ہمارے پاس لور جو کنفائنمنٹ ہے آریا کی وہ ایک اور گراف ہے ایک function کا تو اس کو ایسے کرتے ہیں کہ ہم کہتے ہیں جی height معلوم کرنیے ایک ایسے rectangle کی جو اگر آپ کے پاس یہ میں نے کہا تھا f کا function ہے گراف ہے function f کا اور اس کے نیچے گراف ہے g function کا تو ان کے درمیان میں ایک rectangle بنالتا ہوں جو ا Top ت oppر تовать گراف f of x کے گراف کو نیچے تkiego گراف gaaf g of x گراف کو تو اس کی confined کسی معلوم کر سکتے ہیں یEEEE this rectangle اس کی جو upper touch گراف g of x کو یہ کی سام لوم کریں گے تو ایک تو اگر جب ہم یہ sprinkle معلوم کر لیں گے تو ہم دیکھ سکتے ہیں پہلل بیس ایک ہیeries کسی معلوم کریں گے جبح brings بھائیت معلوم ہو گئی تو اس کو جنلائس کر دیں گے for the whole interval and we'll be done. ایک تو یہ طریقہ اس پرولم کو سالف کرنے کا یہ ہم تھوڑی دیر بات دیکھیں گے یہ تھوڑی سی انڈروڈکشن ہو گئی کہ ہم جب اس کو فرمالی قویٹلی ایک طریقہ دویلپ کریں گے ایڈیاں معلوم کرنے کا تو یہ ریکٹانگل والا ہی طریقہ استعمال کریں گے لیکن ایک طریقہ اور ہے زیادہ بیسک جو ایڈیاں کنوے کرتا ہے کہ ہم کرنا کیا چاہر ہیں تو اس کو دیکھ لے دیں کہ ہم کیسے کر سکتے ہیں تو ایسا کرتے ہیں کہ پرکچر ابھی آپ نے تھوڑی در پہلے دیکھی تھی جو کنوے کر رہی تھی ایڈیاں کہ ہم کونسا ایڈیاں معلوم کرنا چاہر ہیں تو یہاں پر اب یہ نوٹ کریں کہ چونکہ اگر میں f of x کا جو گراف ہے اس کا ایڈیاں اگر میں معلوم کرنو اس کے نیچے جو ایڈیاں ہے اور ساتھ ہی میں ایک ایڈیاں معلوم کرنو گی of x کے گراف کے نیچے تو اور ان دونوں کو اگر سپٹریکٹ کرو میں تو میرے پاس وہ رزالت آئے گا جو میں چاہتا ہوں یعنی ایڈیاں between the گراف's of f of x and g of x اس کو لکھ لے دیں کہ میں کہنا کیا چاہ رہوں ہم یہ کہنا چاہ رہے ہیں کہ f and g جو ہیں وہ نور نگیٹف فنکشنز ہیں یعنی سب سے پہلے ہم نور نگیٹف فنکشنزوں کنسیڈر کرتے ہیں جیسے ہم نے پہلے بھی کیا تھا بعد میں جنولیس کر لیتے ہیں to include any function سب سے پہلے نور نگیٹف فنکشنز اگر ہم کہتے ہیں f and g ہیں تو اس میں یہ ہوگا کہ اس کا مطلب ہے کہ دونوں جو ہیں ان کے گراف's f and g کے وہ x axis سے اوپر یا اس کے اوپر لائے کرتے ہیں x axis پہ تو اب ہے کہ g and g are non-negative functions on ab than the following fact that area between those two curves will be defined by area under f minus area under g اور یہاں پر ایک figure ہے یہ دیکھ لیں کہ اس figure سےabouzیстی بات ہے that is exactly what we are trying to find۔ یہ جو figure آپ کو یہاں پر بتا رہے یہ ، آپ کا دوسرہ طریقہ ہوگے ہم اس کو ایک اور بیسک طریقے سے دیکھتے ہیں کہ ہم کرنا کیا چاہ رہے ہیں تو مخصد یہ کہ اب یہاں پہ ایک سٹیپلیشن یہ بھی رکھی کہ اف اور جی نور نیگیٹف ہیں تو ایک سیکسس سے ان کے اوپر ہے ان کا گراف تو آٹمیٹکلی ذایرسی بات ہے کہ اگر آپ جی جو ہے وہ ایک سیکسس سے اوپر ہے اور اف کا جو گراف ہے وہ جی کے گراف سے اوپر ہے تو یعنی ایک طرح کی لیر بنگے یہ ایک سیکسس ہو گیا یہ گراف ہوگے جی کا ایک سیکسس سے اوپر اور جی کے گراف سے اوپر آپ کا اف function جو ہے اس کا گراف ہے تو آبیسی بات ہے کہ اگر آپ پورا اف function کے گراف کے نیچے ایریہ معلوم کر لیں اس کے بعد جی کے گراف کے نیچے ایریہ معلوم کر لیں ان دونوں ایریہ سکے سپٹیک کریں گے تو آپ کے پاس وہ آئے گا جو اف function اف کے گراف کے اور جی گراف کے درمیان ملائے کرتا ہے یہ پکچھر ابھی آپ کے سامنے تھی اس کو آپ دیکھ سکتے ہیں کہ آپ جب آپ ان دونوں کو سپٹیک کریں گے ایریہ اس کو under the graphs of f and g تو ایریہ جو ہے وہ آجائے گا تو یہ بلکہ ٹیکس بک میں بھی اس کی پکچھر ہے آپ غور سے اس میں بھی دیکھ سکتے ہیں اب یہ زیادہ بیسک طریقہ تھا اس کانسپ کو سمجھنے کا تو اب اس کو ہم تھوڑا سا فارملائس کرتے ہیں اس میں انٹگریشن کی کچھ وہ دالتے ہیں نوٹیشن تو ایسا کرتے ہیں کہ دیفنٹ انٹگریل جس کے ذریعے ہم ایریہ under the curve ڈیفائن کرتے ہیں یا exactly وہی اس کا مطلب ہے دیفنٹ انٹگریل کا ایریہ under the graph of a given function on a given interval اس میں اس کو ہم لکھ لیتے ہیں اس کانسپ کو جو ابھی ہم نے دیوعلپ کیا یعنی ایریہ جو دیسایڈ ہے وہ ایریہ under the graph of f minus the area under the graph of g ہے تو اس کو ہم کیسے لکھیں گے انٹگریل کی فرمے لکھ لیتے ہیں اب ہم لکھ سکتے ہیں ایریہ desired area جو f or g کے گراف کے درمیان ہے is equal to the integral a to b of f of x minus the integral a to b of g of x زیرہ dxb n کے ساتھ اور اس کو ہم simplified version میں لکھ سکتے ہیں using properties of integrals as the integral a to b of the quantity f of x minus g of x dx تو یہ جو میں نے ابھی last term ہم نے دیکھی لکھی بھی تھی کہ integral a to b of the quantity f of x minus g of x dx یہ وہی کانسپت ہے کہ پہلے ایریہ معلوم کر لیں آپ f کے گراف کے نیچے پھر g کے گراف کے نیچے اور result کو minus کر دیں تو you're done لیکن یہ تو ہم نے individual integrals کے طور پہ لکھا تھا یہ جو f of x minus g of x ہے یہ کیا چیز ہے یہاں پہ وہ کانسپٹ آتا ہے جو میں تھوڑی دل پہلے کہا تھا کہ ایک ریکٹانگل کی ہائٹ معلوم کرنی ہیں جو آپ بناتے ہیں جو اوپر تچ کر رہا ہے f کے گراف کو اور نیچے تچ کر رہا ہے g کے گراف کو تو آبیسی باتا کہ اس کو اور extend کریں گے تو eventually x axis پر کسی point کو تچ کرے گا in some given interval تو ایک طرح کر یہ ریمان سم والا ریکٹانگل بن جاتا ہے اور ایک x axis میں ہے آپ کے پاس اس پر ایک point کی جو انٹر بلہ اس میں ایک point ہے x k star کہلیں corresponding to this you have a rectangle ریکٹانگل کی کیا بیٹ تو ہوگی ہم چاہیں گا تو یہی کہ بہت پتلا سو تو for all extensive purposes ہم ابھی کہہ سکتے ہیں کہ یہ جو آپ نے ریکٹانگل بنایا ہے think of it as a line بہتی پتلیسی ایک line ہو جس کی بہتی باریسی چڑائی ہو اور اس میں اصل بات یہ ہے کہ ہائٹ کیا ہوگی اس لائن کی یا اس کی لمبائی کیا ہوگی یعنی ایک طرح کا distance معلوم کرنے والی بات ہے تو یہ تو ہمیں پتا ہے کیسے کر سکتے ہیں جو اس کی value top پہ ہے minus اس وہ بڑی value ہے اس میں سے minus کر دیجے نیچے والی value یعنی top پہ جو value ہے اس کی جو coordinate ہے اس لائن کا وہ ہے جناب x k star comma f of x k star اور جو نیچے point ہے وہ ہے x k star comma g of x k star تو لمبائی جو اس کی ہوگی وہ تو f or g کے جو y values ہیں corresponding to the functions f and g ان کے تحت اس کو ہم دیفائن کریں گے لمبائی کو تو اگر سی بات ہے لمبائی ہوگی f of x k star minus g of x k star تو یہ تو ایک پتکلر ہم نے لائن لی تھی ایک rectangle لیا تھا اس کو اگر آپ جنرلی دیکھیں تو بہت سارے اس طرح کی لائنے بنیں گی تو ان جنرل کہنے کا مطلب یہ کہ جب آپ اس کو انٹگرل کی فرم میں لکھیں گے یعنی تو آپ نے بہت ساری لائنے بنائیں گے تو آپ کی ریمان سم بنے گا اس کو انٹگرل کی فرم میں لکھیں گے تو اوٹمتکلی آپ کا جو rectangle ہے جو یہ آپ کی لائن ہے اس کی لمبائی بنیں گی f of x minus g of x اور یہ ابھی ہم نے تھوڑے دے پر لکھا دیکھا کہ exactly وہی چیز ہے اور یہ وہاں سے ایک تو یہ طریقہ ہے اس کو سمجنے کا کہ آپ کرنا کیا چاہ رہے ہیں کہ آپ اس لائن کی لمبائی معلوم کر کے اور انٹگرل کر لیں گے using the riemansum theory or concept دوسرا یہ ہے جب زیادہ بیسک تھا کہ جی آپ اپنے بڑے گراف جو امچہ گراف ہے اس کے نیچے ایریہ معلوم کریں confined by the x axis اور چھوٹے والے کے نیچے معلوم کریں اور ان دنوں کو سپٹریک کر دیں تو ایریہ آجاتا ہے اور وہی چیز دونوں کیز میں answer is the same اب یہ ہے کہ اب چونکہ یہاں پر ایک special case یہ دیکھا تھا ہم نے کہ f or g جو ہے اپنے ایک negative functions تھے یہ ایک special condition ہے یعنی ایک طرح کی extra آپ نے condition لگائی بھی real life میں تو یہ ہوتا ہے کہ functions کسی طرح کی بھی ہو سکتے ہیں ہو سکتا ہے x axis سے نیچے لائے کرتے ہیں اور دونوں تو پھر کیا ہم کیسے ہم اس کو کیسے handle کریں گے یعنی اگر f or g جو ہے ان میں سے ایک بھی negative اس میں ہے y axis میں جس کا مطلب کہنے کہ یہ ہے کہ x axis سے نیچے ہے ان کا گراف تو پھر ہم کیا کر سکتے ہیں تو اس کو لکھ لیتے ہیں کہ کیا ہم ادرس کرنا چاہ رہے ہیں وہ کیا ہے کیا ہے کہ what if f and g take on negative values also and this basically means that the graphs are below the x axis for some values in the interval ab تو یعنی کچھ ایسی values ہوں گی given interval ab میں جن کے لیے آپ کے دونوں graphs یعنی میں سے ایک جو ہے وہ x axis کے لیے نیچے x axis سے نیچے ہو سکتا ہے بالکل ممکن ہے تو اب اس کو کیسے ٹیکل کریں گے یعنی کہ how do we find the area under the curve given کے ایک یا دونوں negative values بھی لیے رہے ہیں تو اس کا بڑا سیمبر سیک سوڈوشن ہے اس کو مخصد یہ ہوتا ہے کہ ہم نے ایک translations کی بات کی تھی کافی پہلے شروع شروع میں کہ graphs کو translate کیسے کرتے ہیں اگر آپ کے پاس ایک function ہے اس کا graph دیا ہوا ہے اس کو ہمیں move کرنا ہے اگر x direction میں move کرنا ہے آگے پیچے یعنی x axis ہے اس کو ادھر لے گئے graph کو یا ادھر پیچھے لے گئے یہ اگر y direction میں اوپر یہ نیچے کرنا ہے تو ہم کر سکتے ہیں by adding a an appropriate constant to the variable in the direction of which you want your graph to move تو یہ طریقہ ہم یہاں ہم یہاں پناتے ہیں اس کو لکھ لیتے ہیں کہ solution کیا تھا ہے ان دو سوالوں کا solution ہے جی we can basically remedy this problem the problem where f and g can take on negative values if we translate the two graphs by a constant so big that it shifts both f and g above the x axis یہ ہمارا solution ہوگا اس کا ہم ایک اتنا بڑا constant add کریں گے دونوں f and g میں y values میں یعنی ہم چونکے اب یہ ہے کہ چونکے question یہ ہے problem یہ ہے کہ اگر graphs جہاں وہ y axis کی negative direction میں ہیں تو وہ ہم نہیں چاہتے تو ان کو اوپر کیسے لائے جائے یعنی positive direction میں کیسے لیا ہے x axis کے سیمپل سی بات ہے کہ دونوں میں ایک اتنا بڑا constant add کریں y values میں دونوں کی کہ ساری اس کی corresponding y values ہیں وہ positive ہو جائیں اور یہ بڑا ایرام سے ہو سکتا ہے تو اب آپ کہہ رہا ہوں گے تھیکے اگر translate کر لیا graph by adding an appropriate big constant to both the functions تو کیا area change نہیں ہو جائے گا ان دونوں کے درمیان تو اس کا جراب یہ کہ جی نہیں area اس کا change نہیں ہوگا یہ جو area ان کے درمیان confined a graphs کے وہ بالکل وہی رہے گا جو پہلے تھا اور سوجنے کی تھوڑی سی بات ہے کہ اگر آپ وار کریں کہ آپ نے صرف graphs ہی تو move کییں ان کے درمیان جو fasla ہے وہ تو move نہیں ہوگا تو جب fasla ان دونوں کے درمیان change نہیں ہوگا یا ایک graph زادہ move نہیں ہوگا دوسرے graph سے تو area تو تنی رہے گا it's going to stay the same idea یہی تھا کہ ایک وہی constant جو آپ f of x میں add کریں گے اسی کو add کریں g of x میں تاکہ ان کے درمیان والا جو fasla ہے جس کے ذریعے ہم area معلوم کریں گے وہ تبدیل نہ ہوگا تو اب اس کو لکھ لیتیں اور وہی بات ہے کہ چونکہ ہم کلیم کر رہے ہیں کہ area change نہیں ہوتا تو اس کا تھوڑی سی motivation دیکھیں گے کیوں نہیں ہوتا اس کا ایک چھوٹیسی کالکلیشن ہے اس کو لکھ لیتے ہیں دیکھیں گے ہو کیا رہے دیکھیں کہ جو area تھا جو ہم معلوم کرنا چاہ رہے ہیں f of x اور g of x کے درمیان اب ہم داوہ کر رہے ہیں کہ وہ ہم add کر دیں constants دونوں میں تو وہ پھر بھی وہی رہے گا جو پہلے تھا تو تیکھیں دیکھ لیتیں انٹیکرال a سے لے کے b تک اب ہم معلوم کریں گے f of x plus m کا اور ساتھ میں اس میں سے minus کر دیں گے انٹیکرال from a to b of g of x plus m اب اس میں اگر آپ نورٹ کریں کہ اس کو ایک انٹیکرال کی فرم میں لکھیں تو رزلٹ آتا ہے انٹیکرال a to b f of x minus g of x plus m minus m اور plus اور m اور minus m جہاں وہ کیانسل ہو جاتے ہیں اور وہی رزلٹ آتا ہے ایریا کا جو پہلے ہم دیکھ چکیں اور ساتھ میں دیکھ لیں کہ جو اس کا جو ہم نے constants ایڈ کرنے کی بات کی تھی اس سے جو جیومیٹرک افیکٹ ہوتا ہے وہ کیا ہے ٹرانسلیشن کا اس کے لیے آپ کے سامنے ایک پکچر ہے فگر ہے دیکھ لیں کہ اگر اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ اگر ایک بھی گراف نیچے تھا یا اگر دونوں بھی ہو سکتے ہیں نیچے ہوتے x axis سے تو ایک اپروپریئیٹ constant ایڈ کریں گے تو یہ دونوں نون نیگیٹف فنکشنز میں کنورٹ ہو جائیں گے تو یہ آپ کا وہالی اسیو اڈرس ہو گئی کہ ایریا سیچویشن میں کیا کرتے ہیں اب اس ایریا کی دیفنیشن کو فرملی لکھ لیتے ہیں کہ ہم ایریا ایریا سیچوی ایریا ایریا ایریا جو جانتا ہے ایک حادت کرو جو جانتا ہے اپنی ہر سو اسیو ا کی نییٹف ایریا سیچویشن انہوں اپنی شخص اپنی اپنی شخص اگر اپنی نیچا اپنی شخص جو کنفیشن نہ ہو اور ایک چھوٹا سا الگوردم سبن جائے جس کو آپ فالو کرکے ایریہ معلوم کرنے تو ان کو لکھ لیتے ہیں کہ یہ کیا سٹیپس ہو سکتے ہیں اس میں یہ یاد رکھیں کہ یہ ایک actually box کے طور پر میں لکھ دیتا ہوں اور سب سے بڑی بات جو یاد رکھنے کی وہ ہے یہ ہے کہ جی اگر ریجن جو ہے جو کنفائنٹ ہے by two curves اگر وہ complicated ڈیجن بنتا ہے تو it may be difficult to write down the integrand یعنی جو آپ جس چیز کو ڈیگریٹ کرنا چاہ رہے ہیں the difference of two functions اس کو درہا ہے the whore of a car اس میں کرنے پڑے گی یہ بھی ہو سکتا ہے کہ آپ کے جو limits ہیں وہ مشکل ہو تو it may be hard to find the limits of integration لیکن یہ کہ اب اس میں جو پرسیجہ رہے ہیں دونوں problems کو address کرنے کا وہ آپ کے سامنے ہیں تین steps ہیں اس کو آپ دیکھلی جی ٹیکس پوک میں بھی آپ کے پاس اور ابھی بھی دیکھ سکتے ہیں آپ اس کو تھوڑی در غور سے دیکھ لیتے ہیں ساتھ میں کچھ فیگرز ہیں جو ہر سٹپ کو گرافکلی رپریزنٹ کر رہے ہیں اچھا جی اب اگزامپل کرتے ہیں اور استعمال کرتے ہیں وہ سارا concept جو ابھی دکھا ہم نے develop کیا تو اگزامپل کیا ہے اگزامپل دیکھ لیتے ہیں اگزامپل ہے جی find the area of the region bounded above by y equals x plus six and below by y equals x square and on the sides by the lines x equals zero and x equals two اور یہ اس کی actually ایک picture ہے جو آپ دیکھ لیں representing the problem that we are trying to solve right now تو اب یہ ہے کہ اس کو ہم area معلوم کرنا ہے جو اس in دو functions کے بیش میں confined ہے اس کو ہم کیسے کریں گے وہی steps follow کرتے ہیں جو ابھی ہم نے تھوڑی در پہلے دیکھے ایک box کی form میں اور ان کو یہاں پے لکنا شروع کر دیتے ہیں تاکہ اسانی رکھ کرنے میں problem سب سے پہلے دیکھیں کہ یہ جو آپ کی ہے جو situation ہے وہ یہ ہے کہ آپ کو نیچے سے confined ہے 0 سے 2 تک آپ کا interval ہے کیونکہ on the left x equals zero لائن ہے on the right x equals two لائن ہے جو confined کر رہی ہے نیچے y equals x square ہے اوپر y equals x plus six تو ایک rectangle بنالیں یا لائن بنالیں اور دیکھ لیں کہ اس کی لنٹ کیسے معلوم کریں گے in general اس کی لنٹ ہوگی value of this line on the top subtracted from from that subtract the value of the coordinate of the line at the bottom تو آپ کے پاس result آجائے گا جناب simply the integral zero to two of x plus six minus x square quantity dx اس کو انٹگریٹ کرنا بڑا سان ہے break کر کے انٹگریٹ کریں تو result آتا ہے x square plus x square divided by two plus six x minus x cube divided by three evaluated at the end points two and zero using the first fundamental theorem of calculus and the result is just 34 over three یہ جناب example کر لی ہم نے اتنی مشکل نہیں تھی وہی بات ہے کہ ایک آپ نے پہلے وہی بات جو steps میں تھے ہمارے پاس step تھا کہ یہ لائن بنائے جو ایک تنگل کو رپلزن کر رہا ہے اس لائن کا جو value ہے جہاں پر وہ تچ کر رہی ہے اوپر والے function کی گراف کو وہ کیا ہوگی وہ ظاہر ہے گراف کی value ہوگی جو کہ point arbitrary ہے x تو اوپر والی value ہوگی function کی x plus six کی نیچے والے جو ہے وہ x square ہو جائے گا دونوں کو سپٹریکٹ کرنے اور result انٹگریٹ کرنے اور result آپ کے سامنے آجاتا ہے اچھا ایک example اور کر لیتے مزید کلیر ہو جائے گا کچھ concepts اور اس example بلکہ ایسا کرتے ہیں کہ یہ جو لائنز ہم نے left و right پر بنائیں تھی confinement کی لئے area کی region کے area کی لئے اس کو ان کو ہٹا دیتے ہیں اور اب ایسا ہوگا کہ in general آپ کے پاس یہ لائنز نہیں ہوگی اور لائنز کی جگہ ایسا بھی ہو سکتا ہے اس لیے نہیں ہوگی کیونکہ عام طور پہ ایسے ہوتا ہے کہ آپ کے جو اوپر والا گراف ہے اور جو نیچے والا گراف ہے وہ دونوں انٹرسیکٹ کر رہے ہوتے ہیں یعنی اگر یہ ف کا گراف ہے تو جی جو ہے وہ کچھ ایسا کرکی ہو سکتا ہے اور آپ دیکھ لیں کہ یہ جو لائنز ہونی چاہیے تھی یہ بالکل پنچ ہو کر انٹرسیکشن پوینٹز بن گئے of the two graphs of the two functions تو اس case میں ایک example دیکھ لیتے ہیں جس میں یہ case بھی ہے تو example لکھ لیتے ہیں example ہے جی find the area of the region that is enclosed by y equals x square and y equals x plus six تو اس میں ہم نے کوئی lines نہیں دیں کہ جی left پہ x equals something x equals something یہ دو لائنے نہیں ہیں تو اس کا مطلب یہ ہے کہ آپ کے جو گراف سہیں دونوں یہ کہنہ کہاں انٹرسیکٹ کر رہے ہیں یعنی نیچل سی بات ہے کہ اگر لائنز نہیں دیمی تو assumption یہ ہی ہوگی کہ دونوں گراف سہیں انٹرسیکٹ کریں گے اور یہاں سے آپ کو آپ کی وہ مل جائے گی جو لائنز ہیں وہ لائنز نہیں ہوں گی بلکہ پوینٹز ہوں گے اچھا ان میں انٹرسٹنگ بات یہ کہ جو لائنز تھی یہ limits of integration ڈیگریشن ڈیفائن کر دیتے ہیں تو اس case میں اب یہ ہوگا کہ جو پوینٹز ہیں point of intersection of the two graphs دیس will define the limits of integration ڈیگریشن زیرسی بات ہے ایریہ تو ان دونوں کے pass جا کے ختم ہو جاتا ہے جو confined ہے تو یہاں سے آپ کے پاس limits آ جائیں گے ان کے تو آئیے اس کو کرتے ہیں اس میں دیکھیں کہ figure آپ کے سامنے ہے اس میں یہ situation ہے اس example میں اور ہمیں area معلوم کرنا ہے تو area کی calculation کیا ہوگی area کی calculation کرنے سے پہلے آپ کو اپنے intersection points معلوم کرنے اور intersection points آپ معلوم کر سکتے ہیں جب دونوں graphs کی جو corresponding equations ہیں ان کو equate کر دیں کیونکہ intersection points پر دونوں برابر ہوں گی result آتا ہے x square equals x plus 6 یہاں سے آپ کی calculations بھی آپ کے سامنے کچھ quadratic equation ہے جس کو آپ factor کر کے result نکال سکتے ہیں کہ x جو ہوگا وہ minus 2 اور x equals 3 دو values آتی ہیں یہ آپ کے limits of integration ہو گے اب آپ اپنا area معلوم کر لیں as area is equal to integral minus 2 to 3 of x plus 6 minus x square dx equals یہ وہی example ہے جو ہم پہلے کر چکیں صرف یہاں پے limits different ہے تو calculation آپ integral جو معلوم کیا ہے وہ وہی ہے جو پہلے آیا تھا and derivative now evaluation جو ہوگی end points پہلے ہوگی or has a result آئے گا 125 divided by 6 اچھا جی اب یہ example بھی ہو گئی اب second area problem جہاں وہ address کر لیتے ہیں یعنی اس میں وہ functions جو ہمارے وہ ان کی relationship جو variables کیا ہے وہ ہم alert کر دیتے ہیں اور دیکھیں کہ پھر کیا ہوتا ہے تو اس کو لکھ لیتے ہیں کہ second area problem ہے کیا اس میں second area problem آپ کے problem جہاں یہ آپ کے سامنے ہے اس میں basically فرق یہ ہے کہ آپ کی جو relationship ہے between x and y وہ آپ نے alert کر دیے اور جو آپ کے interval تھا اب اس کو بلکہ پر لیتے ہیں کہ suppose that w and v are continuous functions of y یعنی x کی جگہ ہم پہلے functions of x دیکھ رہے تھے اب functions of y دیکھیں گے on an interval c d and that w of y is greater than equal to v of y for y between c and d اور یہ بات ہے کہ w کا جو گراف ہے وہ v کے گراف سے اوپر رہے گا on the interval تو پھر ایریہ جو ہے اس کا وہ ہمیں معلوم کرنے which is basically finding the area a of the region bounded on the left by x equals v of y on the right by x equals w of y and above and below by the lines y equals d and y equals c اور ساتھ میں ایک پکچر بلکہ بنالیتے ہیں تو یہ آپ کو آپ دیکھ سکتے ہیں کہ this is basically what we are trying to do اس میں relationship ہو گئی یہ یہ جو lines پہلے x ڈیفائن کر رہا تھا اب وہ y سے ڈیفائن ہو رہی ہیں اور گراف جو ہے وہ بیسکلی top اور bottom کی بجائے left اور right ہو گئے تو یہ جو ہے آپ کا وہ ہے نئی سیکن ایریہ problem اس کو کہہ سکتے ہیں اس میں صرف مخصد یہ ہے کہ آپ بجائے اس کے کے اوپر اور نیچے کر رہا ہوں گراف کبھی کبھی آپ کے ریجنز ایسے بنتے ہیں کہ اس سائٹ پہ گراف ہوگا اور اس سائٹ پہ گراف ہوگا تو تب ہم کیسے ایریہ معلوم کر سکتے ہیں تو یہ یعنی کہانے کا مخصد یہ ہے کہ گراف اس سائٹ پہ ہے اور left سائٹ اور right سائٹ پہ دو گراف سیں تو جو right سائٹ والا ہوگا وہ بڑا ہوگا left والے سے اور جو اس کی اور اس میں اس کو یعنی اگر آپ function کے طور پہ لکھنا چاہیں گے تو یہ بیسکلی اولٹ ہو جائے گا جہاں پہ x کی f of x والے functions تھے اس میں اوپر اور نیچے کی بات تھی اب y کے functions جہاں وہ left اور right کی بات کریں گے ہم لوگ تو یہ اس طرح سے دیکھ لیتے ہیں کہ اس کو کیسے ہم ادرس کریں گے جب ایسا case ہوگا اور ایریہ کیسے معلوم کریں گے جو اس ریجن کا جو confined ہے by 2 graphs one is on the right one is on the left اس کا ایریہ معلوم کرنے کے لیے جیسے ہم نے پہلے اسی طرح سے معلوم کریں گے جس طرح ہم نے functions of x کا معلوم کیا تھا تو اس کی ایک definition ہے جو لکھ لیتے ہیں اور definition اسی سے ملتی جلتی ہے اس definition سے جو پہلے ہم نے دیکھی تھی x کے functions کی لیے تو آئے دیکھ لیتے ہیں definition ہے جناب if w and v are continuous functions and w of y is greater than equal to v of y for all y in cd the interval cd then the area of the region bounded on the left by the graph of x equals v of y on the right by x equals w of y below by y equals c and above by y equals d is given by area equals integral from c to d of the difference of the two functions d y یہ جناب آپ کی definition ہوگی اب اس کو استعمال کر لیتے ہیں اور ایک اس کا ایک example کر لیتے ہیں تاکہ کلیر ہو جائے کہ ہو کیا رہے آئے example دیکھتے ہیں example جناب ہے find the area of the region confined by x equals y square and x equals y plus 2 اس میں دیکھیں کہ left boundary جو ہے وہ function ڈیفائن کر رہا ہے جو یعنی left graph ہوگا وہ ہوگا x equals y square right پہ جو ہوگا وہ ہوگا x equals y plus 2 اور ایسا کیوں ہے ایسا اس لی ہے کہ y plus 2 is greater than y square basically for that ڈرول او ڈرول کیا ہے یہ یہ ہم دیکھ سکتے ہیں وہ ڈرول ہوگا جہاں پہ یہ دونہ گراف سنٹرسیکٹ کریں گے جہاں پہ پہ انٹرسیکٹ کریں گے آپ y square کو برابر رکھیں y plus 2 کے سالف کریں اس ڈیفائن کو تو رزالت آتا ہے دو آنسر جائیں گے y کے لیے minus 1 اور 2 ان دو یہ دو limits ہو جائیں گے انٹیگریشن کے اور اب آپ ڈیفائن معلوم کر سکتے ہیں as area equals minus 1 to 2 of y plus 2 minus y square d y اسی طرح جیسے ہم نے پہلے functions of x کیلی کیا تھا تو رزالت آتا ہے y square divided by 2 plus 2 y minus y cubed divided by 3 evaluated at the limits minus 1 to 2 اور یہ آپ جب کریں گے تو رزالت آتا ہے 9 divided by 2 تو جناب یہ ڈیفائن ہم نے کرلی جہاں پہ functions دے تھے وہ functions of y تھے یعنی جہاں پر functions of x ہم نے دیکھتے تھے وہ ایسے functions سے جو ایک دوسرے کے اوپر اوپر نیچے کی relationship تھی ان میں گرافس میں ان کے اب ہم نے ایسے دیکھے جو functions of y ہیں اور ان کی relationship ان کے گرافس میں ہے کہ ایک دوسرے کے آگے پیچھے یہ لائے کرتے ہیں اور ان کے درمیان جو ڈیڈین بنتا ہے اس کا ڈیڈین میں معلوم کرنا تھا تو ہم نے ڈیڈین دیکھی کہ کیسے کر سکتے ہیں اور اس میں وہی بات ہے کہ ساری باتے وہی ہیں جو ہم نے functions of x کیلی دیکھی تھی سالہ طریقہ کا وہی ہے limits بھی اسی طرح معلوم کیا جاتے ہیں کہ آپ جہاں پہ دونوں انٹرسیکٹ کر رہے ہیں وہاں پہ آپ معلوم کر لیں کون سے پوئنٹس ہیں y کی value کیا ہیں اور آپ کے پاس limits آ جاتے ہیں اب باقی calculations تو ہمیں آتی ہے اب تک ہم ڈیڈین بنتے ہیں تو کافی اسان تھی وہ ہم کر سکتے ہیں جناب یہ آج کا لیکچر ہوگئے پھر ختم کرتے ہیں اس کو یہاں پے اور اگلی دفعاب سے ملاقات ہوگی اللہ