 Gracias. Bienvenidos todos, todas. Continuamos ahora con nuestro minicurso 4, charla 4, caso diagonal, ¿no, Héctor? Con Héctor Pastén, ecuaciones de ofentinas con pocas soluciones. Esa es un placer tenerte hoy con nosotros Héctor, a pantales subato. Muchas gracias, gracias por la presentación y una vez más agradezco a quienes se han quedado porque ya es el cuarto día y la cuarta clase, entonces estamos todos cansados. Así que gracias por quedarse. Bien, hoy voy a hablar sobre los teoremas de Fartins. Fartins tiene muchos teoremas, por supuesto, pero dentro de la charla se van a dar cuenta que teoremas me refiero. Y para comenzar, tenemos una pregunta que en este momento yo creo que muchos se han hecho y la pregunta es ¿qué pasa con los puntos racionales de una curva? Porque ayer estudiamos ese tema, pero no en profundidad, solamente el teorema de Chabotí, el teorema de Koleman, pero en general ¿qué ocurre con los puntos de una curva? Y tenemos el siguiente teorema de Fartins. Esto resuelve una conjetura de Mordem. Dice que si yo tengo una curva suave, proyectiva, geometricamente irregusible, una curva bonita, ya definida sobre Q, definida sobre los números racionales y con género al menos dos. Entonces el número de puntos racionales es finito. Ok, automáticamente no hay que pedirle nada al rango del jacobiano, no hay que pedir nada, esto funciona. Y funciona no solamente con Q, sino que también con los números gaussianos Q con I o con los Q con raíz de dos, en realidad cualquier extensión finita de Q, cualquiera. Aquí ven curvas dibujadas porque las pienso sobre los complejos, entonces en género cero la recta proyectiva es la esfera de Riemann. En género 1 estamos hablando de curvas elícticas y eso sobre los números complejos son un toro. Género 2 hacia arriba es donde el teorema de Fartins y la conjetura de Mordell tienen consideración en ese caso. ¿Por qué dejamos fuera género cero y por qué dejamos fuera el género 1? Creo que lo mencioné ayer pero lo voy a repetir. Género 0 uno tiene por ejemplo la recta proyectiva y ella tiene infinitos puntos racionales, infinitos. Y en género 1 yo puedo tener curvas elícticas de rango positivo, de rango no cero y también tienen infinitos puntos racionales. Por lo tanto el teorema no puede partir en género 1, no puede partir en género cero, debe partir en género 2. Bien, eso es el teorema de Fartins. Como siempre, si alguien tiene dudas o quiere hacer un comentario puede hacerlo en el chat o puede preguntar por el micrófono. A mí me parece bien si me interrumpen. Voy a dejar el chat abierto. Así que si alguien me quiere interrumpir puede hacerlo. Sobre la demostración no la vamos a hacer aquí porque es difícil. Sin embargo este libro, si alguien quiere tomar apunte a este libro, tiene la demostración. Lo voy a escribir en el chat. Entonces en el chat el libro se llama arithmetic geometry y es el procedimiento de una conferencia y es editado por Cornel y Silverman. Si alguien quiere estudiar la demostración. La demostración de Fartins está en un artículo, pero el artículo es difícil y por eso hay un prosense de conferencia donde esté explicado todo el material. No es el único pero a mí me parece muy bueno. Entonces la demostración de Fartins usa el método de espacios de Mowgli. ¿Quién me refiero con eso? A cada punto de la curva, recordemos que hay una curva. X es la curva. Entonces a cada punto racional de la curva, yo le voy a asociar una variedad abeliana auxiliar. Uno construye esta variedad abeliana. ¿De qué manera? Primero al punto le asocio una curva y a esa curva le construyo su Jacobiano. Entonces tengo una variedad abeliana. Y después uno estudia el espacio de Mowgli de variedades abelianas y demuestra propiedades de finitud ahí. Además hay que estudiar representaciones heliádicas de Galois. Y esto es muy interesante, muy hermoso, muy hermoso. Pero los detalles son muy complicados como para este cursillo, pero simplemente para contarles que hay técnicas de demostración que nosotros no hemos estudiado. Hay más matemática, más allá. Si alguien quiere estudiar. Otras demostraciones. Hay otra demostración posterior por Paul Voita de 1991 y usa el método de aproximación de Ofantina. O sea, mira los puntos racionales y construye aproximaciones racionales y construye un polínome auxiliar y mira que el polínome auxiliar no se anule en un punto racional, etcétera. Aquellos que hicieron el ejercicio de demostrar el teorema de Liudín, esa técnica es la que se usa, pero mucho más avanzada. Y Voita hizo esto en el lenguaje de la geometría de Arakelov, que es un lenguaje muy conveniente para poder hacer la aproximación de Ofantina. Después, Enrico Bombieri simplificó esta demostración y la expresó en términos clásicos, con polinomio solamente, a diferencia de Voita que lo hizo con geometría de Arakelov. Y este método de aproximación de Ofantina, luego Faltings lo tomó y logró José Hernández hace una pregunta, voy a terminar mi frase, voy a responder eso, José. Entonces, Faltings tomó esta idea de la aproximación de Ofantina y la generalizó a dimensión superior. Entonces, no solamente curvas, sino que variedades de dimensión superior que estén dentro de una variedad abeliana. Las curvas yo las puedo poner dentro de su jacobiano. Ahí no hay problemas, pero hay superficies que no se pueden poner dentro de una variedad abeliana. Los teoremas de Faltings son en el caso que sí se pueden poner dentro de una variedad abeliana. Vamos a hablar de eso también. ¿De qué se trata la teoría de Arakelov? La geometría de Arakelov. Si yo tengo una, si yo tengo una curva, voy a hacer un ejemplo aquí, muy sencillo. Si yo tengo una curva x al cuadrado igual, perdón, y al cuadrado igual x al cubo menos uno. Tengo esa curva elíptica por ejemplo. Eso está bien, salvo que no les dije sobre dónde. Entonces esto puede ser sobre q o puede ser sobre el campo con dos elementos o puede ser sobre el campo con tres elementos, etcétera. A veces tiene mala reducción, a veces da algo con singularidades, a veces no. Y yo puedo pensar entonces en una superficie. Quizá ni siquiera lo voy a dibujar. Puedo pensar en una superficie. Esa superficie que es en una, imaginen una recta y en esa recta van marcando números primos. Y sobre cada número último, colocan la curva vista sobre f2, f3, f5, f7. Esto es una familia de curvas, por lo tanto esto es una superficie. Bien, la manera correcta de hacer eso es que en realidad esto está fibrado sobre el espectro de zeta. La teoría de Arakelov es eso y además considerar métricas hermitianas en todos los shifts que aparecen, todos. Poner métricas en la curvilística, medir distancias y hacer teoría de intersección de acuerdo a eso. Entonces es complicado, es muy útil, pero es un poco complicado. Si alguien quiere profundizar más, me puede enviar un correo electrónico y yo puedo enviar material para que lo pueda leer. No hay problema con eso. Bueno, volviendo a lo que estaba hablando, el método de aproximación de Ophantina lo utilizó Faltings para generalizar su propio teorema a dimensión superior dentro de una variedad aveliana. Y recientemente, en 2018, hubo una nueva demostración por Ryan Lawrence y Akshay Venkatesh. Ellos se inspiraron en la demostración original de Faltings, pero hicieron otra cosa. Ellos directamente trabajan con representaciones de Galois. No necesitan estudiar las variedades avelianas, sino que trabajan con familias de representaciones de Galois. Lo que de verdad están haciendo ellos es teoría de coche pedálico. Pero solamente para contarles que hay todavía mucho que entender en todo esto. Vamos a ver un ejemplo. Tomo un polinomio sin factores repetidos y de grado al menos 5. Lo empiezo a evaluar en todos los números racionales, todos. Y esto sólo puede tener finitos cuadrados. O sea, yo evaluo mi polinomio y a lo más finitas veces me puede dar un cuadrado racional. Se ve sorprendente porque son infinitos valores y en los racionales los cuadrados son densos. Hay un montón de cuadrados. Entonces, ¿cómo es esto posible? La ecuación es y al cuadrado igual al polinomio. Esa es la ecuación. Pero esto, como el grado es mayor o igual que 5, define una curva hiperelíptica. ¿Qué género tiene? Parte entera de r menos 1 sobre 2. Esto es una fórmula para el género de las curvas hiperelípticas. Y como el r es al menos 5, esto es al menos 2. Así que aquí hay finitas soluciones racionales solamente. Bien. Entonces, eso es un ejemplo de cómo se utiliza el teorema de Faltings en un problema que, a primera vista, no tiene ninguna curva. Pero uno hace aparecer la curva. Pregunta sobre este ejemplo. Me gustaría que al menos este ejemplo se entendiera muy bien. Ahora un segundo ejemplo. Sí, sí. De hecho, de hecho, ese ejemplo, a ver, al final de cuentas, también no basta con Chabotí Koleman para establecer esta. El problema es el rango del jacobiano. La condición. Sí. Porque no siempre se cumple. Se cumple muchas veces, pero no siempre. El teorema de Faltings no tiene una condición sobre el rango del jacobiano. El teorema de Faltings es cierto siempre. Ok. Esa es la gran diferencia. Otra pregunta y una disculpa de antemano por insistir, pero más o menos por lo que comentaste sobre así a grandes rasgos sobre Arakeloch. De alguna manera, es como intentar recuperar digamos la información sobre los puntos de coordenadas nacionales en la curva. Conociendo los puntos. Sí, pero un poco más, porque también necesitan la información de la métrica. Ok. Necesitan información de la métrica, distancias. Es como una especie de lo local y lo global, más o menos. Hay una parte de eso, pero no es lo único que ocurre. Yo diría que el aspecto global se entiende mejor cuando uno estudia la demostración de los teoremas fundamentales de Arakeloch, porque no va hasta con las definiciones. Uno necesita teoremas para que algo se llame teoría. Y cuando miras los teoremas en la teoría de Arakeloch, muchas de las demostraciones requieren el uso de variedades abelianas y la aritmética de variedades abelianas. Ok. Entonces, hay un input global. No es solamente información local. Muy bien. Gracias. Sí, bien. Es un poco como cuando tú estudias intersección de curvas en una superficie. Hay algunas cosas que se pueden hacer de manera sencilla, pero en algún momento necesitas el mapa de clases que te envía a cogomología. El papel de la cogomología lo cumple en las variedades abelianas en la teoría de Arakeloch. En algún sentido. Esto no es exacto. Hay que estudiar la teoría para entender bien de qué se trata eso, pero lo que te puedo decir en una conversación es simplemente eso, que hay un input global y viene de la geometría de números, de los cuerpos convexos de Minkowski y viene también de las variedades abelianas. Bien. Por ejemplo, la ecuación de Fermat, pero con un exponente fijo, por ejemplo, puede imaginarse que n es igual a 7. O n es igual a 51. No sé lo que prefieren. Lo dejan fijo. Y tiene finitas soluciones coprimas en los enteros. ¿Por qué? La ecuación define una curva proyectiva. Es homogénea, homogénea, tres variables. Por lo tanto, define una curva proyectiva en el plano proyectivo en las coordenadas homogéneas X y Z. Y el género de una curva suave en el plano es el grado menos uno, el grado menos dos dividido por dos. Y en este caso, como n es mayor igual que 4. Bueno, el mínimo sería con 4 menos 1, 4 menos 2, dividido por 2, y eso es 3. Así que el teorema de Faltings da un resultado parcial muy general de la conjetura de Fermat, del último teorema de Fermat, un resultado parcial. No lo resuelve, pero dice algo muy importante. Ahora, un ejemplo que viene del análisis complejo. Un polinomio de unicidad y nignes polinomio. Un polinomio de unicidad es un polinomio que tiene la siguiente curiosa propiedad, que si ustedes me dan cualquier par de funciones meromorfas, por ejemplo, la exponencial y la función z de Riemann, ya, dos funciones meromorfas, se ocurre que p de F es igual a p de G, entonces F es igual a G. Eso es una propiedad del polinomio, no es una propiedad de F y G. En algún sentido está diciendo que la función p de M en M es inyectiva, es eso solamente. La función p de M en M. Y estas cosas existen. Y aquí hay un ejemplo, x a la n menos x, cuando el n es al menos 5. Y esto es un teorema de análisis complejo, ya, no, no es algo de teoría de números. Esto viene de resultado. Este ejemplo en particular viene de un artículo de Hua y Yang. La referencia precisa es tener la punta. Bien. Hay dudas sobre esta noción, porque la voy a utilizar. Un ejemplo que no es unicnes polinomio, un ejemplo que no es unicnes polinomio, puede ser x al cuadrado. Porque si F al cuadrado es igual a G al cuadrado, lo único que yo puedo decir es que F es igual a más o menos G. Ya no tienen por qué ser iguales. Entonces, eso es un ejemplo que no es unicnes polinomio. Y estos sí lo son. Proposición. Si ustedes toman unicnes polinomio, si toman un polinomio de unicidad, entonces la función de Q en Q es inyectiva, salvo quizás finitos puntos inyectiva. Eso es interesante, porque si ustedes piensan en el ejemplo P de x igual a x elevado a 5 menos x, ya. Este es un ejemplo de unicnes polinomio. Y el gráfico real, el gráfico en los reales es algo así. Y esta función en los reales no es inyectiva. No es inyectiva, porque yo corto horizontalmente y a veces corta en 3 puntos. Y Q es venzo en los reales. Sin embargo, la función va a ser inyectiva en Q, salvo finitos puntos. Se fijan, hay un tema, no es tan obvio esto. Demostración. Veo la ecuación de la inyectividad. P de x igual a P de y. Y eso define una curva plana y voy a tomarse una componente irreducible. Una componente irreducible, porque esto puede tener muchas componentes. Ya y voy a suponer que esta componente tiene género menor o igual que uno. Si tiene género menor o igual que uno puede tener género cero. Y si tiene género cero es básicamente la esfera de Riemann y se puede parametrizar. Si tiene género uno básicamente es una curva elíptica y se puede parametrizar con la función P de y. En cualquier caso tengo una parametrización de los complejos que voy en esta curva c. Una parametrización. Tengo que tomar la clausura proyectiva, por supuesto. Y concretamente significa que f es dado por una f1 y una f2 funciones meromorfas que van en la x y la y. Eso cuando yo reemplazo me dice que P de f1 es igual a P de f2. Pero f, perdón, P es un y un igne es polinomio, un polinomio de unicidad. Por lo tanto f1 es igual a f2. Si y eso que significa que la curva que yo estaba hablando esta curva es la diagonal. O sea que x, la única componente de género cero o uno que tiene es la diagonal. Y el teorema de faltings me dice que entonces las soluciones de esta ecuación están todas en la diagonal, salvo finitas. Porque las otras componentes son curvas de género mayor que uno. Las de género cero o uno son solamente la diagonal. Preguntas sobre esta demostración. Bueno, si surge alguna duda me dice, ni volvemos a esto. Entonces aquí les di aplicaciones del teorema de faltings. Son aplicaciones que tienen algo en común que no es simplemente aquí hay una curva. Aplica el teorema de faltings. Sino que vienen de otro problema. Y ahora vamos al teorema grande de faltings. ¿Por qué entre comillas? Porque faltings tiene muchas teoremas grandes. Por eso. Básicamente todo lo que hace faltings es algo grande. Entonces por eso entre comillas. Sea a una variedad abeliana. Y sea X una sub variedad vive metida dentro. Voy a mostrarles aquí un dibujo. Bien. A es la variedad abeliana. X es una sub variedad que podría ser abeliana, podría ser cualquier cosa. Bien. Z dentro de X va a ser la clausura de zariski de todos los puntos racionales de X. O sea el lugar geométrico donde están las soluciones racionales de mi ecuación. Entonces ese lugar geométrico es la unión de finitos trasladados de sub variedades abelianas. En el dibujo, en el dibujo aparecen cinco puntos y dos curvas. ¿Qué tipo de curva debería ser esto? ¿Qué tipo de curva debería ser eso según este teorema? Me iba a decir elíptica o racional. No elíptica. Podría ser racional. Pero no lo es. Pero no lo es. Y el motivo es que una variedad abeliana nunca contiene curvas racionales. Nunca va a contener una curva racional la variedad abeliana. Eso es un teorema que uno demuestra usando diferenciales. Porque la variedad abeliana tiene muchos diferenciales, mientras que la esfera de Riemann no tiene diferenciales regulares. Todos tienen polos. Bien. Entonces lo que yo estaba diciendo acá, estas curvas que aparecen tienen que ser trasladados de sus variedades abelianas. Y como son curvas en el dibujo, tienen que ser curvas elípticas. Y esos puntos están considerados porque recuerden que los puntos también son variedades abelianas de dimensión cero. Así que hay finitos puntos, finitas curvas elípticas, finitas superficies abelianas, etcétera. Pero eso es lo que conforma el lugar geométrico de dónde están las soluciones racionales de X. Eso es lo que dice el teorema de Fartens. Y eso podría ocurrir que X está lleno, lleno, lleno, lleno de puntos racionales. ¿Qué pasaría en ese caso? Eso está bien. Significa que X es una variedad abeliana. Y el otro caso extremo es que X no contiene variedades abelianas no triviales. Puntos siempre contienen, pero no contiene variedades abelianas no triviales. Eso puede ocurrir también. De hecho, si van a la ayudantía de hoy, hay un ejemplo donde eso ocurre. Hay un X muy explícito que no contiene variedades abelianas de dimensión positiva. Y en este caso se concluye que el número de puntos racionales de esta variedad X es finito. No puede haber infinitos, porque si hubiera infinitos, tendrían que estar en algún lugar. Su clausura de Sariski tendría que tener dimensión positiva. Y la clausura de Sariski es una unión de trasladados de sus variedades abelianas. Espero que se entienda lo que dice el teorema grande de Fartens. Alguien tiene algún comentario que hacer, alguna pregunta, alguna duda, algo que a lo mejor no se entienda. ¿Algún ejemplo de cómo ocurre en esas curvas eléctricas? Claro. Hay un ejemplo que te pudo comentar de mi propia investigación. Las variedades sobre, ah, claro. El X, yo no lo dije, debería ser, no, pero dice sub variedad. Cuando uno dice sub variedad, es una variedad que está inmersa. Entonces, en este caso es un conjunto cerrado dentro de A. A es proyectivo y un cerrado dentro de un proyectivo tiene que ser proyectivo. Responde eso a la duda, Lesslie. Me cumplí. O sea, lo que quise decir era si las variedades sobre proyectivo siempre serían cerradas o sobre algunos abelianos. Hay variedades, hay dos tipos de variedades básicos que son las variedades afines y las proyectivas. Y con ellas uno puede construir muchas cosas. Las proyectivas es lo que uno tiene en mente como algo cerrado y las afines es lo que uno tiene en mente como algo abierto. Hay cosas intermedias por supuesto. Y las variedades abelianas, por definición, se pide que sean proyectivas. Y hay variedades como, por ejemplo, el espacio afín, que no son proyectivas. Dentro de su clausura proyectiva forman un abierto. Entonces, aquí la idea es que cualquier tipo de variedad va a ser proyectivo afín porque el final no importa porque sí tiene sub variedad, ¿verdad? Lo que pasa es que cuando depende del autor, pero para mí una sub variedad, una sub variedad debe ser cerrada dentro de la variedad ambiente. ¿Verdad? Y como la variedad ambiente es A y A es proyectiva, X tiene que ser proyectivo. Ok. Y entonces está dependiendo de las condiciones que definan la sub variedad dependiendo del autor. Según nos iba comentando este. Pero, por lo general, cuando uno dice variedad es definido por los ceros de polinomios. Entonces tiene que ser cerrado. Bien. Me había olvidado de la otra pregunta. Si me la pueden recordar, la otra pregunta era si se puede ver ejemplos, claro, era ejemplos donde aparecen curvas elípticas, ¿cierto? Sí, por ejemplo, jacobianos, son siempre variedades sabelianas sobre Q. Es como la relación con el anterior. Puede ocurrir que un jacobiano tenga curvas elípticas dentro. Eso puede ocurrir. Por ejemplo, uno puede tener una curva de género 2, cuyo jacobiano tiene dimensión 2. Su jacobiano es una superficie, ¿sí? Y esa superficie podría ser el producto de dos curvas elípticas. Eso ocurre. ¿No sé si eso es el tipo de ejemplo que andas pensando? Bueno, no. Digamos algún otro ejemplo interesante de cómo aparecen estas curvas elípticas en alguna otra variedad sabeliana. Lo que ocurre es que hay un teorema de descomposición de variedades sabelianas. Si mal no recuerdo, se llama teorema de Poincaré, que dice que toda variedad sabeliana es isógena al producto de variedades sabelianas que no se pueden seguir descomponiendo. Porque las que no se pueden seguir descomponiendo se llaman simples. Las curvas elípticas son un ejemplo de variedad simple. Y en ese sentido, hay muchas variedades sabelianas que cuando tú las descompones en sus pedazos simples aparecen curvas elípticas. Eso es parte de la naturaleza de las variedades sabelianas. En el ejemplo de la ayudantía de hoy van a ver un ejemplo donde aparecen curvas elípticas. Porque la variedad sabeliana que van a utilizar es un producto de tres curvas elípticas. Por eso. Pero no sé si eso responde la duda, pero es muy frecuente que aparecen curvas elípticas cuando uno descompone la variedad sabeliana. Bueno, voy a continuar. Aquí hay un ejemplo. Tomen una curva elíptica de rango positivo. Va a haber un abierto dentro de la superficie E cross E y una función polinomial en U. De modo que la función de los puntos racionales de U en Q es inyectiva. Este enunciado se ve un poco enredado, pero lo que me importa que entienden es lo siguiente. U es una superficie y Q está en una línea. Y aún así este polinomio es inyectivo. Va de una superficie en una línea y es inyectivo en puntos racionales. Porque hay preguntas sobre el enunciado. Esto construye un ejemplo de una función que va de dimensión superior a dimensión más pequeña de manera inyectiva con los puntos racionales. Este tipo de funciones no se sabía si existían. Esto fue un problema abierto por un tiempo. La versión original es de Friedman y Sayer. Y ahora sabemos que esto existe. Idea de la demostración. Uno necesita ver la inyectividad. Bueno, esta es F mayor. F de X igual a F de I en U cross U. Donde tengo que elegir bien la función F, pero la ecuación de la inyectividad es esa. ¿Dónde está esto? Esto está en U cross U. U está en E cross N. Entonces todo esto está en E a la cuarta. La variedad abeliana que voy a utilizar es una curva elíptica a la potencia 4. Si tengo una ecuación definiendo algo dentro de dimensión 4, significa que obtengo algo de dimensión 3. Entonces obtengo algo de dimensión 3. Y uno quisiera aplicar el teorema de Faltins. Muy parecido al ejemplo anterior. El de la inyectividad del unígnes polinomian. Inyectividad. ¿Se acuerdan de ese? Me gustaría hacer algo parecido aquí y aplicar el teorema de Faltins en dimensión superior. Pero eso no basta porque uno tiene que encontrar explícitamente las variedades abelianas contenidas en X. Antes hubo que encontrar las curvas de género 0 o 1, que al final dio solamente la diagonal. En este caso hay que encontrar variedades abelianas y eso es difícil. Y ahí es donde uno tiene que elegir bien qué función F es la que voy a utilizar. Y se hace algo inspirado en las unígnes polinomian, pero inspirado no es exactamente lo mismo porque esto es dimensión superior. Pero la idea es que un ejemplo tan extraño de ir inyectivamente desde una superficie a una recta se puede hacer en puntos racionales, en los puntos racionales. Esto se puede hacer usando el teorema de Faltins en dimensión superior. Y aquí hay una versión más precisa del teorema de Faltins y no lo vamos a leer entero porque está bien técnico, pero lo que me interesa es esto. El número de puntos, la cantidad de puntos es una unión, se ve como una unión de cosas, de cuántas cosas? R, de R cosas. Entonces esto tiene que ver, el R en este caso el R sería 7. Tengo una cosa, dos cosas y aquí hay cinco otras cosas, donde cosa significa cuántas variedades abelianas aparecen. Aquí aparecieron, en este dibujo aparecieron 7. Cinco de dimensión cero, dos de dimensión uno. Entonces el R es ese número, en el teorema de Remond. Y este número R es acotado por una fórmula fea, pero que aún así es explícita. Y esa fórmula explícita sirve en aplicaciones para poder tener información de cuántos puntos racionales puede tener una variedad. Bien, eso no nos vamos a detener acá porque es algo técnico, pero simplemente la moral de esto, la lección es que si alguna vez necesitan usar el teorema de Falkings, pero contando cuántos puntos hay, se puede, no exacto, da una cota, pero esa cota muchas veces es suficiente para lo que uno quiere hacer. Y el último tema del que me gustaría hablar es hiperbolicidad. Hay muchas nociones de hiperbolicidad, la que voy a utilizar yo se llama Brody hiperbolicidad por un matemático de apellido Brody. Entonces, C, A, M, una variedad compleja compacta. Puede ser, por ejemplo, la esfera de Riemann, o puede ser un espacio proyectivo, o puede ser una curva de género 7. Bien. Entonces, M es hiperbólico si toda función o la morfa de los complejos en esta variedad compleja es constante. Por ejemplo, ¿qué curvas tienen esa propiedad? Aquellas de género al menos dos y eso es un teorema de Picard, un teorema interesante, más difícil de Picard. Productos de variedades hiperbólicas de nuevo de hiperbólico, y eso es natural porque si tengo un producto y soy constante en una dirección y constante en la otra dirección, entonces es constante. Variedades abelianas de dimensión positiva no son hiperbólicas. Y el motivo es que se pueden ver como un toro complejo. Y al verlo como un toro complejo, al verlo como un toro complejo, o sea, un espacio vectorial complejo, cocientado por un retículo, dentro del espacio vectorial complejo, yo puedo enviar una función olomórfa. Y después, desciendo al cociente, yo obtengo una función olomórfa en la variedad abeliana. Así que las variedades abelianas no son un ejemplo hiperbólico, nunca, nunca. Y aquí hay un corollario. Tomemos una variedad abeliana y una sub variedad definida sobre Q. Si esa sub variedad es hiperbólica, entonces el número de puntos racionales es finito. Esto es muy interesante porque conecta una noción de la geometría, como es la hiperbólicidad, con una noción de la aritmética, que son los puntos racionales, que haya pocos puntos racionales, que son finitos. Bueno, por contradicción, o contrareciplo, no sé cómo va a terminar esto. Creo que es por contradicción. Si X tuviera infinitos puntos racionales, miren la clausura de Zarizki. Y la clausura de Zarizki de esos puntos racionales por el teorema de Faltings debería contener alguna variedad abeliana, de dimensión positiva. Pero la variedad abeliana no es hiperbólica. Porque, como les comentaba, es el cociente de un espacio vectorial. Pero está contenida dentro de X y X es hiperbólica, con tradición. Eso. Así que el teorema de Faltings nos permite conectar la hiperbolicidad con la aritmética. Y eso, en realidad, es una conjetura de lang en mucha más generalidad. Dice que, ni siquiera tengo que pedir esto. Eso. Que X esté contenido en una variedad abeliana, lang conjetura que no es necesario. Que si yo tengo una variedad suave, proyectiva, definida sobre Q, de modo que es hiperbólica, entonces, automáticamente, debería ocurrir que tiene finitos puntos irracionales. Para curvas, esto es el teorema de Faltings. Porque las curvas hiperbólicas son aquellas de género mayor igual que dos. Gracias a Picard. Lo que sabemos es lo que les conté. No hay más. Esto es lo único que sabemos sobre esa conjetura. Bien. Eso concluye la clase. Y dejo abierto para preguntas. Eso es lo que les quería contar. Tenemos preguntas o comentarios. Yo tengo una pregunta solo para confirmar alguna cosa. Puedes volver a la diapositiva anterior. Cuando dices, yo creo que está relacionado con la pregunta del Lesslie. Cuando dices, toma la clausura de Sarisky. Te estás tomando dentro de los puntos complejos de la variedad, ¿cierto? No, sobre Q. La clausura de Sarisky es sobre el campo que trabajo. Ahora, como esquema, ese es el tema. Yo trabajo siempre como esquema. Entonces, me da una variedad definida sobre Q que podría no tener puntos sobre Q. O podría tener pocos puntos sobre Q. En este caso es una clausura de Sarisky, entonces está densa de puntos sobre Q. Pero para mí las variedades no tienen por qué tener puntos. Cuando digo definida sobre, me refiero a los coeficientes de la ecuación. Sí, la pregunta es por qué la necesidad tomar. O sea, por qué X de Q ya no es cerrado. Ah, porque X de Q no es cerrado. Piensa en el siguiente ejemplo. Tomás la recta proyectiva. Entonces, X de Q, en este caso, son los números racionales y el punto del infinito. Eso es un conjunto numerable, pero eso no es una variedad algebraica. Es una unión numerable de variedades algebraicas. Los puntos, cada punto es una variedad algebraica. Eso es una unión numerable de variedades algebraicas, pero en sí no es una variedad algebraica. Eso es denso dentro de la recta proyectiva, pero no es la recta proyectiva. Entonces, son los puntos. Son la clausura de Sarisky dentro de la recta proyectiva. Claro, y en ese caso da toda la recta proyectiva. Sí, pero yo hago esa distinción. Puntos no es lo mismo que la variedad. La variedad es el esquema. O sea, las depaciones que la definen toda esa información. Sí, yo sé. Estamos hablando un poco de eso en el curso de Tony. Sí, vale, gracias. OK. Las preguntas o comentarios. Sí, una pregunta. No creo que ayude mucho, pero nada más es una curiosidad. Si tienes una variedad aquí compleja, compacta, hiperbólica con esta definición, hay una métrica remaniana que tenga curvatura seccional negativa. O sea, si coincide un poco como con la definición. Sí, la métrica de Kobayashi. Hay dos definiciones de hiperbolicidad. Una es la hiperbolicidad de Kobayashi, usando métricas de curvatura negativa. Y la otra es la hiperbolicidad de Brody, usando que todas las funciones con lomorfas son constantes. Y hay una dirección que es fácil, que es hiperbolicidad de Kobayashi, implica hiperbolicidad de Brody. El recíproco es cierto en el caso compacto. Y eso es un teorema de Brody. Creo que fue su decisión doctora, no estoy seguro. OK, entonces sí son equivalentes. En el caso compacto. OK. Entonces en este caso compacto, si la variedad sobre Q es infinito, es porque de alguna manera no puedes darle una métrica con curvatura negativa en todos lados. Exacto. Exacto. Gracias. Unas preguntas, comentarios. Bien, si no. Hagamos un aplauso a Héctor Ronaldo. Muchas gracias. Buenas.